Notas Suplementares de
História da Matemática
Fernando Deeke Sasse
CCT - UDESC
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História e Verdades
“Na medida em que está a serviço da vida, história está a serviço de um
poder não histórico, e, portanto, subordinada, ela nunca poderá se tornar
uma ciência pura tal como, por exemplo, matemática... História percence
ao homem vivo em três aspectos; ela pertence a ele com um ser que age e
luta, como um ser que preserva e reverencia, como um ser que sofre e busca
salvação.”(Nietzsche 1983, p. 67)
“American history practical math
Studyin hard and tryin to pass.”(Berry 1957)
As palavras de Chuck Berry parecem ser aplicáveis ao estudante de hoje de história,
matemática ou história da matemática, do que as de Nietzsche; história pertence àqueles
que vão às aulas e que fazem os exames.
E. H. Carr em seu livro faz uma crı́tica à idéia de que a história é simplesmente o
acúmulo de fatos na ordem apropriada:
“What had gone wrong was the belief in this untiring and unending accumulation of hard facts as the foundation of history, the belief that facts speak for
themselves and that we cannot have too many facts, a belief at that time so
unquestioning that few historians then thought it necessary - and some still
think it unnecessary today - to ask themselves the question What is history?’
”(Carr 2001, p. 10)
Se aceitarmos a dicotomia de Carr entre historiadores que fazem a pergunta e aqueles
que consideram o acúmulo de fatos suficiente, a tendência geral é que mais especialistas
e historiadores da matemática fazem a pergunta e a maior parte dos autores de textos
gerais, mais usados em cursos, em geral não fazem a pergunta.
O caso dos gregos é particularmente especial, pois há tão poucos fatos realmente
estabelecidos. Consequentemente, um bom número de especulações tem adquirido o status
de fatos. Por exemplos, é usualmente afirmado que Eudoxus de Cnidus inventou a teoria
das proporções no livro V de Euclides. Há evidências para isso, mas elas são tênues. Neste
caso, Fowler acha isso suspeito, enquanto que Knorr acha mais plausı́vel, mas ambos, como
especialistas, necessariamente discutem sobre esse status. Por outro lado, em todos os
textos gerais de história isso adquiriu um status de fato, pois (de acordo com os termos
de Carr), se história lida com fatos, deverı́amos ter uma clara linha que a separa de nãofatos. Nessa perspectiva, especulações, reconstruções e argumentos interrompem a fluidez
da narrativa.
Como resultado, em geral, os estudantes não têm acesso ao estudo de história no sentido de Carr. Boa partes dos livros-texto, seja por escolha ou por demandas de mercado,
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são escritos no modo de Acton, mesmo que seus autores façam sua pesquisa de modo
totalmente diferente.
Já não é mais possı́vel escrever como Montucla, de um progresso ininterrupto do
princı́pio até a perfeição do presente, e tais autores são cientes da necessidade de serem justos na descrição outras civilizações. No entanto, o preço destas boas maneiras
acadêmicas é a perda de qualquer argumento. Neste ponto devemos lembrar da observação
de Nietzsche de que é necessário esquecer alguns detalhes.
Como os exemplos acima mostram, o vı́vido campo da dúvida e debate que envolve a
pesquisa em história da matemática encontram-se traduzidos a um panorama morto de
certezas. O aspecto da história da matemática mais interessante, que é sua prática, é
omitido.
Uma alternativa consiste em, durante o estudo de história da matemática, algumas
vezes focar numa cultura, outras num perı́odo histórico ou um evento especı́fico ou fundamental. Em cada estágio é interessante levantar questões, considerar como as várias
autoridades no assunto trataram tais questões. Em algumas ocasiões é interessante enfatizar a história e noutras a historiografia, ou seja, o estudo do que os historiadores estão
fazendo.
Por exemplo, a contribuição islâmica para a matemática tem sido subestimada? Em
caso positivo, por quê? Como ela deveria ser descrita? Houve uma revolução em matemática no século XVII? Quais seriam os critérios para decidir se uma revolução ocorreu?
As opiniões de vários autores devem ser consideradas e o estudante deveria ser capaz se
formular suas próprias.
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Os Primeiros Sistemas de Numeração
A raiz do nome matemática é a palavra grega mathemata, que originalmente era usada
para indicar de forma geral qualquer assunto de estudo. Afirma-se que os pitagóricos
usaram tal termo para descrever aritmética e geometria. Antes disso, cada um destes
temas era designado por um nome separado.
A matemática, no entanto, pelo que conhecemos, tem suas origens antes de 3000 AC,
no Egito e Babilônia. Tomando o ponto de vista mais amplo de que a matemática envolve
o estudo de questões natureza quantitativa ou espacial - número, tamanho, ordem e forma
- constatamos que esta é uma atividade que tem estado presente desde os primórdios da
experiência humana.
Em qualquer tempo e cultura, houve pessoas com desejo de compreender a forma do
mundo à volta. É comumente aceito que a matemática se originou de problemas práticos
relativos à contagem e gravação de números. O nascimento da idéia de número é tão oculta
atrás do véu de eras incontáveis que é muito tentador tentar especular sobre as evidências
arqueológicas que ilustram as mais antigas noções de número. Nossos ancestrais de 30000
anos atrás, por exemplo, provavelmente já tinham necessidade de contar seus animais,
ferramentas, ou marcar a passagem de dias. Mas a evolução das técnicas de contagem,
com suas formas orais e escritas de representação números, foi gradual e não permite uma
precisa determinação de datas precisas para seus estágios.
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Matemática Babilônica
Quando falamos da matemática babilônica estamos nos referindo ao tipo de matemática
que se desenvolveu na antiga Mesopotâmio - a região entre os rio Tigre e Eufrates, atual
Iraque. O termo ”babilônico” aqui tem sentido mais amplo do que aquele referido à antiga
cidade da Babilônia.
Até recentemente a matemática babilônica era conhecida somente através de referências
difusas na literatura clássica grega à Caldéia. Com base nestas referências, supôs-se por
muito tempo que os Babilônios se restringiam a uma certa numerologia, associada a misticismos. No entanto, durante o século XIX arqueólogos começaram a escavar colinas
(mounds) na região das antigas cidades da Mesopotâmia. Estas colinas eram constituı́das
por debris de casas e palácios dessas antigas cidades. As casas eram construı́das essencialmente com barro cru (como ainda ocorre hoje). Novas casas foram construı́das sobre
o mesmo sı́tio, erodida por chuvas e ventos, ao longo do tempo e pouco a pouco o nı́vel
do solo foi subindo até se formarem as colinas vistas hoje. Este processo continua até
hoje, pois várias destas colinas são até hoje ocupadas por vilas formadas por descendentes diretos dos antigos habitantes das cidades enterradas. Portanto, seções transversais
destas elevações revelam camadas após camadas, correspondentes a diferentes estágios da
mesma cidade, quanto mais embaixo, mais antiga.
Escavações de elevações revelaram, entre muitas outras evidências do esplendor de
antigas civilizações, milhares de tabletes de barro contendo escritas. Logo foi reconhecido
que muitos deles estavam relacionados com números, mas somente há aproximadamente
40 anos atrás um entendimento mais profundo e apreciação da matemática babilônica foi
obtido.
São conhecidos aproximadamente 400 tabletes e fragmentos de tabletes de conteúdo
matemático que foram cuidadosamente copiados, transcritos, traduzidos e analisados. O
tabletes originais estão em diferentes museus e coleções de diferentes paı́ses; algumas
vezes diferentes partes do mesmo tablete estão em diferentes lugares. Um tablete inteiro
- muito poucos estão nestas condições - tem o tamanho de uma mão e são feitos de barro
normalmente cru. A escrita é chamada cuneiforme, ou seja, na forma de cunhas, pois
os sı́mbolos eram constituı́dos de marcas simples impressas com um instrumento sobre o
tablete enquanto ele estava úmido. A maior parte destes tabletes data aproximadamente
1700 AC ±200 anos e o resto dos últimos três séculos DC. Não há qualquer explicação
satisfatória para este longo intervalo entre os dois grupos. A idade dos tabletes pode
ser inferida a partir do estrato da elevação onde eles foram encontrados, ou do estilo
da escrita, pois o conteúdo não dá qualquer pista sobre a idade. Parece curioso para
aqueles que são familiares com a explosão evolutiva da matemática e das ciências no
últimos dois séculos, que a matemática babilônica não somente manteve seu carácter
por aproximadamente 2000 anos, apesar de violentas mudanças polı́ticas, mas também
manteve seu conteúdo dentro de suas fronteiras. Não é possı́vel, através dos tabletes
disponı́veis, detectar qualquer desenvolvimento (há, no entanto, tabletes muito antigos
exibindo os primeiros estágios do sistema numérico babilônico, e também notamos uma
preferência por exemplos numéricos mais elaborados nos textos mais tardios.
Parece, portanto, que a criação da matemática babilônica ocorreu com grande rapidez
e que este curto perı́odo de tempo foi seguido por outro de longa estagnação. Dos criadores da matemática babilônica nada é conhecido atualmente, exceto o resultado do seu
trabalho.
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Figura 1: Tablete
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Sistema de Numeração Babilônico
Para analisar a matemática babilônica é necessário conhecer inicialmente o sistema numérico
babilônico.
Veremos como é possı́vel descobrir a estrutura deste sistema numérico a partir de textos
somente, sem necessariamente conhecimentos prévios. Obviamente, isso é mais fácil de
ser feito quando se conhece o resultado final, de modo que não devemos subestimar as
dificuldades enfrentadas pelos scholars que pela primeira fizeram as descobertas a serem
apresentadas a seguir.
Na Fig.1 vemos a cópia, frente e verso, de um tablete babilônico. Cada lado consiste
de sinais simples dispostos duas colunas, denotadas na figura por Col. I e Col. II. Levando
em conta ambos os lados vemos que cada coluna tem 24 linhas. Consideremos a coluna
I, começando pelo tôpo. Na primeira linha temos uma cunha vertica, na segunda, dois
e na terceira, etc. Naturalmente podemos identificar, até a linha 9 os elementos como
1,2,3, ... , 9, pois este é o número de cunhas verticais em cada linha. Notemos que elas
são agrupadas em trı́ades, o que faz sua leitura mais simples. Por exemplo, 8 é escrito
em três nı́veis: dois com três cunhas e um com duas. Depois de 9 temos um novo sinal,
uma cunha angular. Se entendemos este sı́mbolo com 10, as oito linhas seguintes são
facilmente interpretadas, pois elas são constituı́das de uma cunha angular e as cunhas
verticais, já decifradas, para 1 até 8. Elas podem então ser interpretadas como 11, 12,
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13, ..., 18. A próxima linha contém um sı́mbolo especial para 19 e algumas marcas de
correção (em geral o 19 é representado usando o mesma idéia dos seus antecessores). Nas
quatro linhas subsequentes temos dois, três, quatro e cinco cunhas angulares, que devem
representar 20, 30, 40 e 50.
Apliquemos agora este conhecimento à coluna II. Sem dificuldades reconhecemos as
primeiras seis linhas como 9, 18, 27, 36, 45, 54. Poderı́amos agora supor de que temos um
tábua de multiplicação para 9. Neste caso, as linhas 7 e 8 deveriam resultar em 63 e
72, mas encontramos uma cunha vertical seguida por um 3 e um 12, respectivamente.
Obviamente, não faria sentido ler este cunha vertical como 1. A única coisa que faria
sentido seria fazer com que ela seja equivalente a 60. Devemos transcrever estas linhas
como 1,2 e 1,12, fazendo com que 1 seja associado a 69, de modo que
1, 3 = 1 · 60 + 3 = 63 ,
e
1, 12 = 1 · 60 + 12 = 72 .
As próximas linhas podem ser transcritas e interpretadas como
1, 21 = 81
1, 30 = 90
1, 39 = 99
1, 48 = 108
1, 57 = 117
de acordo com a hipótese de esta é uma tabela de mutliplicação por 9.
A décima quarta linha tem duas cunhas verticais e um 6, que transcrevemos como 2, 6.
Como isso deve resultar em 14 · 9 = 126, interpretamos o 2 como 120 = 2 · 60. Podemos
agora transcrever as seguintes linhas na forma:
2, 15 = 2 · 60 + 15 = 135
2, 24 = 144
2, 33 = 153
2, 42 = 162
2, 51 = 171
A próxima linha tem somente um 3, que devemos interpretar como 3 · 60 = 180
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Sistemas Numéricos Posicionais
As similaridades entre o nosso sistema numérico e o babilônico são diversas: nós, como
eles, empregamos um número finito de sı́mbolos ou dı́gitos para expressar todos o inteiros;
e nós também os usamos atribuindo importância à posição de um dı́gito. Ou seja, para
cada posição que um sı́mbolo é movido para a esquerda, seu valor é multiplicado por um
fator constante (10 no sistema decimal e 60 no sexagesimal). Nós, tal como eles, fazemos
extenso uso deste princı́pio para expressar certas frações, levando dı́gitos à direita, para
além da unidade. Ou seja, mover um dı́gito à direita uma vez significa dividir seu valor
pelo valor constante 10 ou 60. Tais números 10 e 60 são chamados bases dos sistemas
decimal e sexagesimal, respectivamente.
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Número 12 e o Egito
Graças à evidência documentada do uso egı́pcio de relógios do sol, a maior parte dos
historiadores acreditam que eles foram a primeira civilização a dividir o dia em partes
menores.
Os primeiros relógios de sol eram simplesmente estacas fincadas no solo que indicavam
o tempo e a direção da sombra resultante. Já por volta de 1500 AC os egı́pcios há haviam
desenvolvido um relógio de sol mais avançado. Uma barra em forma de T era fincada no
solo e o instrumento era calibrado para dividir o intervalo entre o nascer do sol e o por
do sol em 12 partes. Esta divisão provavelmente se deveu à importância do número 12.
Normalmente isso é tipicamente atribuı́do ou ao fato de que há 12 ciclos lunares em um
ano ou o número de juntas nos dedos de uma mão (polegar excluı́do), fazendo com que
seja possı́vel contar até 12 em uma mão.’
A seguinte geração de relógios de sou provavelmente definiu a primeira representação
do que agora chamamos de hora. Embora as horas, definidas deste modo, dentro de
um dado dia sejam aproximadamente iguais, seus comprimentos variam ao longo do ano,
sendo as horas do verão muito mais longas do que as de inverno. Sem luz artificial, era
normal naquela época que se considerasse perı́odos do dia e da noite como sendo duas
entidades opostas, em lugar de pertencer ao mesmo dia. Sem a ajuda dos relógios de sol,
dividir os intervalos noturnos era uma tarefa relativamente complexa.
Durante a era dos primeiros relógios de sol, no entanto, astrônomos egı́pcios também
observaram um conjunto de 36 estrelas que dividiam o cı́rculo celeste em partes iguais, A
passagem da noite poderia ser marcada pela aparição de 18 destas estrelas, três das quais
eram atribuı́das a cada um dos dois perı́odos de crepúsculo, quando as estrelas não eram
muito bem visı́veis. O perı́odo de total escuridão era marcado pelas 12 estrelas restantes,
novamente resultando em 12 divisões da noite.
Durante o perı́odo do Novo Império (1550 AC - 1070 AC) este sistema de medidas foi
simplificado para usar um conjunto de 24 estrelas, 12 das quais marcavam a passagem da
noite. A clepsydra, ou relógio d’água, foi também usada para marcar o tempo durante a
noite, foi provavelmente o aparato marcador de tempo mais acurado da antiguidade. Este
relógio - uma especimen do qual foi encontrado no templo de Ammon em Karnak, datando
de 1400 AC - era um recipiente com superfı́cies interiores inclinadas para compensar o
decréscimo da pressão, com escalas que marcavam a divisão da noite em 12 partes, durante
vários meses.
Com a divisão dos tempos do dia em da noite em 12 partes, o conceito de dia de 24
horas estava funcionando. O conceito de horas com valor fixo, no entanto, não surgiu até
o perı́odo helenı́stico, quando astrônomos gregos começaram a usar tal sistema para seus
cálculos teóricos. Hiparco, que trabalhou principalmente entre 147 e 127 AC, propôs a o
conceito de hora definida na divisão em 12 partes do dia do equinócio, ou seja, quando
dia e noite têm durações iguais. Apesar desta sugestão, leigos continuaram a usar horas
sazonais até o aparecimento dos primeiros relógios mecânicos na Europa, durante do século
XIV.
O número 60 também entrou cena novamente. Hipparchus e outros astrônomos gregos
empregaram técnicas astronômicas desenvolvidas na Babilônia, dois mil anos antes. O
sistema sexagesimal perdura até hoje na medida de ângulos, coordenadas geográficas e
tempo.
O astrônomo grego Erastosthenes (que viveu aproximadamente entre 276 a 194 AC)
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usou o sistema sexagesimal para dividir um cı́rculo em 60 partes, de modo a elaborar um
sistema geográfico de latitude, com linhas horizontais passando por lugares conhecidos
na época. Um século mais tarde Hipparchus normalizou as linhas de latitude, fazendo-as
paralelas e obedientes à geometria da Terra. Ele também elaborou um sistema de linhas
de longitude que abrangiam 360 graus e que iam de norte a sul. Claudius Ptolomeu de
Alexandria, por volta de 150 AD, em seu Mathematik Sýntaxis (Tratado Matemático),
popularizado pelo nome árabe Almagesto (al-kitabu-l-mijisti, ou a grande compilação),
expandiu o trabalho de Hipparchus subdividindo cada uma dos 360 graus de latitude e
longitude em 60 segmentos e depois novamente cada segmento em mais 60 partes. A
primeira divisão, partes minutae primae, ou primeiro minuto, ficou conhecida somente
como “minuto”. A segunda segmentação, partes minutae secundae, ou segundo minuto,
ficou conhecido como “segundo”.
Minutos e segundos, no entanto, não forma usados para a marcação quotidiana do
tempo até muitos séculos depois do Almagesto. Relógios dividiam as horas em metades,
terços e quartos e às vezes em 12 partes, mas nunca por 60. De fato, uma hora não
era comumente entendida com a duração de 60 minutos. Não era prático para o público
em geral considerar minutos até que os primeiros relógios mecânicos aparecessem no fim
século VXI. Mesmo hoje, muitos relógios tem resolução de somente um minuto e não
mostram segundos.
Graças às antigas civilizações que definiram e preservaram as divisões do tempo, a
sociedade moderna hoje usa um dia de 24 horas, uma hora de 60 minutos e um minuto
de 60 segundos. Avanços na ciência da medida do tempo, no entanto, mudou como essas
unidades são medidas. Segundos antes eram definidos dividindo eventos astronômicos em
pequenas partes. No Sistema Internacional de Unidades (SI) um segundo era definido
como uma fração do dia solar médio. Em 1967 o segundo foi redefinido como a duração
de 9,192,631,770 transições de energia do átomo de césio, que passo a definir o Tempo
Universal Coordenado (UTC).
É interessante notar que, de modo a manter o tempo atômico de acordo com o tempo
astronômico, alguns segundos são ocasionalmente adicionados ao UTC. Assim, nem todos os minutos contêm 60 segundos. Alguns raros minutos, que ocorrem a uma taxa
aproximadamente 8 por década, contêm 61.
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Matemática e realidade
Quais leis governam nosso universo? Como podemos conhecê-las? Como pode este conhecimento pode nos ajudar a compreender o mundo? Desde o inı́cio de sua existência o
homem tem estado com questões como esta. Pelo menos eles tentaram encontrar sentido
nas influências que controlam o mundo referindo-se ao tipo de seu conhecimento quotidiano. Eles imaginaram que o que ou quem controlava seu mundo o faria do mesmo modo
que eles usavam para controlar suas coisas. Inicialmente ele consideravam que seu destino
estava sob influência de seres agindo de um modo familias àquele impulsionado pelas necessidades humanas: orgulho, amor, ambição, raiva, medo, vingança, paixão, retribuição,
lealdade. De acordo com isso, eventos naturais, tais como a luz do sol, chuvas, tempestades, famina, doença ou pestilência, eram entendido em termos de caprichos dos deuses ou
deusas, motivados por tais sentimentos humanos. A única ação percebida como influente
nesses eventos seria a adoração de figuras de deuses. No entanto, padrões graduais de
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um diferente tipo começaram a estabelecer sua regularidade. A precisão do movimento
do sol através do céu e sua clara relação com a alternância do dia e da noite eram o
exemplo mais claro. Por outro lado a posição do sol relativa à orbe das estrelas parecia
estar estreitamente associada com a mudança e incançável regularidade das estações, com
consequente influência no clima, vegetação e comportamento animal.
O movimento da Lua também parecia estar fortemente controlado, e suas fases determinadas por sua posição geométrica relativamente ao Sol. Nas costas as marés pareciam
ter uma regularidade estreitamente associada à posição (e fase) da Lua. Finalmente foram
percebidos os movimentos complicados, mas extremamente regulares dos planetas. Se os
céus estavam mesmo controlados pelos caprichos dos deuses, então esses deuses devem
estar sujeitos ao do-mı́nio de leis matemáticas. Similarmente, as leis que controlam os
fenômenos terrestres, por serem influenciadas pelos fenômenos celestes compartilhavam a
regularidade matemática que parecia guiar os deuses. Tal tipo de relação entre corpos celestes e eventos terrestres foi frequentemente exagerada ou mal en-tendida, assumindo um
grau de importância inapropriado, levando às conotações mı́sticas e ocultas da astrologia.
Foram necessários muitos séculos até que o rigor do entendimento cientı́fico permitisse
que as verdadeiras influências celestiais fossem separadas daquelas mı́sticas. Mesmo assim,
desde o inı́cio, era claro desde os primeiros tempos que tais influências realmente existiam e
que as leis matemáticas celestes deveriam ter relevância na Terra. De forma independente
disso, foram percebidas outras regularidades no comportamento dos objetos terrestres.
Uma delas foi a tendência de todas as coisas moverem-se na mesma direção para baixo,
de acordo com a influência do que agora chamamos gravidade. Observou-se que a matéria
também se transformava de uma forma para a outra, tal como o derretimento do gelo
ou a dissolução do sal, mas a massa permanecia constante, o que reflete o que hoje
chamamos de lei da conservação da massa. Além disso, notou-se que que muitos corpos
materiais tinham a importante propriedade de manter suas formas, de forma que a idéia
de movimento espacial rı́gido surgiu, tornando-se possı́vel entender as relações espaciais
em termos de uma geometria bem definida e precisa, que hoje chamados de geometria
euclideana 3-dimensional. Também a noção de linha reta nesta geometria, acabou por
tornar-se a mesma que aquela fornecida por raios de luz (ou linhas de visão). Havia
uma considerável precisão e beleza nestas idéias, que exerciam considerável fascinação
nos antigos, do mesmo modo que nos fascina nos dias de hoje.
No entanto, com relação aos dias de hoje, as implicações desta precisão matemática
para as ações do mundo frequentemente parece não muito interessante e limitadas, a despeito do fato de que a matemática parece revelar uma profunda verdade. Similarmente,
muitas pessoas nos tempos antigos deixavam suas imaginações serem levadas, pela fascinação pelo assunto, para muito além do escopo do que seria apropriado. Em astrologia,
por exemplo, figuras geométricas também frequentemente engendravam conotações mı́sticas e ocultas, tais como os supostos poderes mágicos de pentagramas e hexagramas. É
também famosa a associação entre os sólidos platônicos e os estados básico elementares
da matéria (2). Muito tempo foi necessário que chegássemos até as noções que temos hoje
das relações entre massa, gravidade, geometria, movimento planetário e o comportamento
da luz.
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Figura 2: Sólidos Platônicos associados aos quatro elementos (fogo, ar, água e terra),
junto com o firmamento celestial, representado pelo dodecaedro (R. Penrose, The Road
to Reality, Jonathan Cape, London, 2004)
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Frações no Egito e Mesopotâmia
Números foram usados na antiguidade para contar e medir, de modo que uma necessidade
de números fracionais deve ter aparecido muito cedo. Frações são complicadas de se escrever, e fazer contas com elas pode ser difı́cil. O problema dos ”números quebrados”deve ter
sido o primeiro problema matemático realmente desafiador. Como representar frações?
Egı́pcios e Mesopotâmicos apresentaram respostas bastante diferentes.
No Egito (e mais tarde na Grécia e maior parte do mundo Mediterrâneo) a noção
fundamental era “a n-ésima parte”, tal como em “a terceira parte de seis é dois”. Nesta
linguagem, expressarı́amos a idéia de dividir 7 por 3 como, “Qual é a terceira parte de
sete?”A resposta é: “dois e o terço”. O processo era complicado por um fator adicional:
nunca se guardava o resultado final usando mais do que o mesmo tipo de parte. Assim,
o número que queremos expressar como ”duas quintas partes”teria que ser dado como
”o terço e décimo-quinto”, ou seja, no que hoje chamamos de frações unitárias: 2/5 =
1/3 + 1/15.
Na Mesopotâmia, encontramos uma idéia bastante diferente. Em primeiro lugar os
babilônios tinham um modo de gerar sı́mbolos para todos os números de 1 a 59 e um
sistema posicional que permitia a representação de frações tal como nosso sistema decimal.
Nenhum destes sistemas é realmente apropriado para lidar bem com números complicados. Na Mesopotâmia, por exemplo, somente expressões sexagesimais finitas eram
empregadas, de modo que os escribas não eram capazes de escrever o valor exato do
recı́proco de 7, pois não há representação sexagesimal finita para 1/7. Na prática, isso
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significava que dividir por 7 requeria encontrar uma resposta aproximada.
O sistema de ”partes”egı́pcio, por outro lado, pode representar qualquer número racional positivo, mas este procedimento requer uma sequência de denominadores que aos
nossos olhos parece muito complicada. Por exemplo, um papirus inclui um número que
é: 14, o 4th, o 56th, o 97th, o 194th, o 338th, o 679th, o 776th, que em notação moderna
é 1428/97.
As civilizações mediterrâneas preservaram ambos sistemas por algum tempo. A maior
parte dos números evolvidos nos cálculos quotidianos eram especificados usando o sistema
de ”partes”. Por outro lado, a astronomia e navegação requeriam maior precisão, de modo
que nestas aplicações o sistema sexagesimal era utilizado. Isso incluia a medida de tempo
e ângulos. O fato de que ainda dividimos uma hora em sessenta minutos e um minuto
em sessenta segundos é uma herança do sistema sexagesimal babilônico utilizado por
astrônomos gregos.
9
Geometria e números incomensuráveis
Os gregos inventaram as primeiras provas matemáticas. Eles foram os primeiros a tentar fazer matemática em um modo dedutivo rigoroso, usando claras suposições iniciais
e afirmações cuidadosas. Isso talvez os tenha levado a serem muito cuidadosos sobre
números e suas relações com outras magnitudes.
Por volta do 400-300 AC os gregos fizeram a descoberta fundamental das “magnitudes
incomensuráveis”. Ou seja, eles descobriram que não é sempre possı́vel expressar dois
dados comprimentos como múltiplos inteiros de um terceiro comprimento. Não somente
os gregos perceberam que números o comprimentos são coisas conceitualmente distintas,
mas também eles encontraram uma prova de que não é possı́vel usar números (racionais)
para representar comprimentos. O argumentos deles era o seguinte: suponhamos que
temos dois segmentos de linhas. Se seus comprimentos são ambos dados por números,
então estes dois números podem envolver, no pior dos casos, frações.. Mudando a unidade
de comprimento podemos fazer com que ambos os comprimentos correspondam a números
inteiros. Em outras palavras, deve ser possı́vel escolher um comprimento unitário de tal
modo que cada um dos nossos segmentos consistam de um número inteiro múltiplo da
unidade. Os dois segmentos podem então ser medidos juntos ou seja, dizemos que eles
são “comensuráveis”. O ponto importante é que os gregos puderam provar que isso nem
sempre é possı́vel.
O exemplo padrão apresentado era relacionado ao lado e a diagonal de um quadrado.
Não sabemos exatamente quando eles estabeleceram isso pela primeira vez, mas talvez
o argumento fosse como o seguinte: se subtraı́mos o lado da diagonal, obteremos um
segmento mais curto que ambos. Se o lado e a diagonal são medidos em uma unidade
comum, assim será sua diferenças. Agora repetimos o argumento: tomamos o resto, o
definimos como a diagonal de um novo quadrado, e o subtraı́mos do lado até obtermos
um segundo resto, menor que o primeiro. Este segundo resto também será medido pela
mesma unidade. De fato, este processo não termina nunca. Produziremos segmentos cada
vez menores. Depois de algumas iterações, o segmento resto será menor do que a unidade
que supostamente mede um número inteiro para os segmentos. Isso é impossı́vel (nenhum
número inteiro pode ser menor do que 1), de modo que podemos concluir que a unidade
comum, de fato, não existe.
10
Figura 3: Proposição I.37 dos Elementos de Euclides
Certamente a diagonal tem um comprimento. Hoje dirı́amos
√ que se o comprimento
2 unidades, e interprede um lado é uma unidade, então o comprimento
da
diagonal
é
√
tarı́amos
√ este argumento mostrando que 2 não é uma fração. Os gregos não entendiam
como 2 poderia ser um número. Ao contrário ele era um comprimento, ou melhor, a
razão entre a diagonal e comprimento do lado de um quadrado.
10
Os Elementos de Euclides como Paradigma de
Prova Matemática
A obra Elementos de Euclides é o trabalho paradigmático da matemática grega, em parte
pelo que esta obra tem a dizer sobre conceitos básicos, ferramentas, resultados e problemas de geometria e aritmética sintéticos, e em parte pelo estabelecimento do papel da
prova matemática e da forma essencial que uma tal prova deve ter. Todas as provas que
aparecem nos Elementos possuem seis partes, e são acompanhadas por um diagrama. Ilustraremos isso com o exemplo da proposição I.37 do texto de Euclides. É importante que
esclarecer o significado de certos termos que diferem do correspondente moderno. Assim,
dois triângulos são ditos estar “nas mesmas paralelas” se eles têm a mesma altura e suas
bases são contidas em uma linha única. Quaisquer duas figuras são ditas “iguais” se suas
áreas são iguais. No que se segue os nomes das partes das provas são incluı́dos, emboras
eles não apareçam no texto original. O diagramas correspondente à prova é mostrado na
figura 3.
Protasis (enunciado). Triângulos que estão na mesma base e nas mesmas paralelas
são iguais um ao outro.
Ekthesis (setting out). Sejam ABC, DBC triângulos na mesma base BC e nas mesmas paralelas AD e BC.
Diorismos (definição do objetivo). Eu digo que o triângulo ABC é igual ao triângulo
11
DBC.
Kataskeue (construção). Seja AD produzida em ambas as direções para E e F; através
de C seja CF desenhada paralela a BD.
Apodeixis (prova). Então cada uma das figuras EBCA, DBFC é um paralelogramo;
ele eles são iguais, pois eles estão na mesma base BC e nas mesmas paralelas BC, EF.
Além disso, o triângulo ABC é a metade do paralelogramo EBCA, pois o diâmetro DC o
bissecta. Portanto o triângulo ABC é igual aod triângulo DBC.
Sumperasma (conclusão). Portanto triângulos que estão na mesma base e estão nas
mesmas paralelas são iguais um ao outro.
Este é um exemplo de uma proposição que estabelece uma propriedade de figuras geométricas.
Os Elementos também incluem proposições que expressam uma tarefa a ser efetuada. Um
exemplo é a Proposição I.1: “Sobre uma dada linha reta finita construir um triângulo
equilátero”. As mesmas seis partes da prova e um diagrama invariantemente aparecem
nas proposições deste tipo. Esta estrutura formal é também seguida em todas as proposições que aparecem nos três livros de aritmética dos Elementos e, mais importante,
todos eles são acompanhados de um diagrama.
Por exemplo, consideremos a Proposição IX.35, que na sua versão original pode ser
lida na seguinte forma:
Se tantos números quanto quisermos estiverem na proporção continuada, e
sejam subtraı́dos do segundo e último números igual ao primeiro, então, assim
como o excesso do segundo está para o primeiro, assim será o excesso do último
para todos os que o precedem.
Esta complicada formulação pode parecer incompreensı́vel em uma primeira leitura. Em
termos modernos, um equivalente deste teorema diria que, dada uma progressão geométrica,
a1 , a 2 , . . . a n ,
temos
a2 − a1
an+1 − a1
=
.
a1 , a 2 , . . . a n
a1
Esta transliteração, no entanto, falha em transmitir o espı́rito da original, onde nenhuma
manipulação simbólica formal é feita. Além disso, a prova algébrica moderna falha em
atribuir a ubiquidade dos diagramas nas provas matemáticas gregas, mesmo que elas não
sejam necessárias para um verdadeira contrução geométrica. De fato, o diagrama que
acompanha proposição IX.35 é mostrada na figura 4 e as primeiras linhas da prova são as
seguintes:
Sejam quantos números desejarmos na proporção continuada A, BC, D, EF,
começando de A e sejam subtraı́dos de BC e EF os números BG, FH, todos
iguais a A; eu digo que, assim como GC está para A, assim está EH para A,
BC, D. Pois seja FK feito igual a BC e FL igual a D ...
12
Figura 4: Proposição IX.35 dos Elementos de Euclides
Esta proposição e esta prova são bons exemplos das capacidades e limitações das práticas
de notação da matemática grega e, especialmente, como eles conseguiam realizar provas
sem um verdadeira linguagem simbólica. Em particular, isso demonstra que provas nunca
foram concebidas pelos gregos, mesmo idealmente, como construtos puramente lógicos,
mas sim como tipos especı́ficos de argumentos a serem aplicados a um diagrama. O
diagrama não era somente uma ajuda visual para a argumentação. De fato, através da
parte do ekthesis da prova, ele incorporava a idéia referida pelo caráter geral e formulação
da proposição.
Junto com a centralidade dos diagramas, a estrutura de seis partes é também tı́pica da
maior parte da matemática grega. As construções e diagramas que tipicamente aparecem
na provas matemáticas gregas não eram de uma forma arbitrária, mas são consideradas
hoje como construções de esquadro e compasso. O raciocı́nio na parte do apodeixis pode
ser ou uma dedução direta ou um argumento por contradição, mas o resultado era sempre
conhecido previamente e a prova era um meio de justificá-lo. Além disso, o pensamento
geométrico grego e, em particular, o estilo de provas geométricas de Euclides, seguiam
estritamente o princı́pio da homogeneidade. Ou seja, magnitudes eram somente comparadas, adicionadas ou subtraı́das de magnitudes de mesmo tipo: números, comprimentos,
áreas ou volumes.
11
Construção de Euclides do pentágono regular
Inicialmente consideremos a a construção de pentágono regular utilizando a matemática
de hoje. É claro que o que problema pode ser resolvido se conseguirmos construir uma
ângulo de 72◦ , pois 72◦ = 360◦ /5 é o ângulo central no pentágono.
De fato, o problema é mais fácilmente tratado construindo um decágono regular
(polı́gono de dez lados). Ou seja, podemos construir um ângulo de 36◦ = 72◦ /2 facilmente devido às propriedades do triângulo central OAB na Figura 5. Queremos inscrever
o decágono regular em um dado cı́rculo de centro O e raio r. Tentaremos expressar o
comprimento x de um lado do decágono em termos de um raio r, de modo que x pode
13
Figura 5: Ângulo central de decágono
ser construı́do com esquadro e compasso. O triângulo isóceles OAB tem x como base e
seus lados OA e OB são iguais aos raio r. O ângulo no vértice O é o ângulo central do
decágono, ou seja, 36◦ .
Inicialmente observamos que os ângulos OAB e OBA são iguais a 72◦ , pois a soma
dos ângulos internos de um triângulo é 180◦ . Determinamos agora um ponto C sobre o
segmento OB, tal que AC = x. Portanto, o triângulo ABC é isóceles, de modo que o
ângulo ACB é igual a 72◦ . Isso implica que β = α = 36◦ .
Como o triângulo COA tem ângulos iguais (de 36◦ ) em A e O, concluı́mos que OC = x.
Portanto, CB = r−x. Notamos agora que o triângulo original OAB é similar ao triângulo
ABC, de modo que
x
r
=
,
(1)
x
r−x
e
x2 + rx − r2 = 0 .
(2)
Tomando o valor positivo da solução da equação acima obtemos
r √
√
1
2
2
−r + r + 4r =
5−1 .
x=
2
2
(3)
Portanto, se o raio r do cı́rculo circunscrito é r, o lado x do decágono é dado por (3).
Apresentaremos agora a construção de x com esquadro e compasso que reproduz a
expressão algébrica (3). Sejam AB e CD dois diâmetros perpendiculares em um cı́rculo
de centro O e raio r, como mostrado na Figura 6. Além disso, seja M o ponto médio de
OB. Tendo M como centro e M C como um raio, desenhamos um cı́rculo que intercepta
OA em E. Mostraremos que OE = x é o lado do decágono regular inscrito no cı́rculo.
Segue-se do teorema de Pitágoras que
p
√
√
M C = OM 2 + OC 2 = (r/2)2 + r2 = r 5/2 .
(4)
Portanto,
√
r 5 r
r √
OE = M E − M O = M C − M O =
− =
5−1 ,
2
2
2
14
(5)
Figura 6: Construção do pentágono com régua e compasso
de acordo com (3). Portanto, OE será dez vezes uma corda que no cı́rculo de raio r, e o
pentágono regular pode ser facilmente desenhado se selecionamos pontos alternados como
vértices.
Examinemos com mais cuidado a prova dada acima para vermos quais ferramentas
matemáticas foram empregadas, além dos teoremas geométricos mais elementares, tais
como aquele que assegura que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦ . Para
estabelecer (1) o principal teorema da teoria de similaridade:
Se os correspondentes ângulos de dois triângulos são iguais, então seus lados
correspondentes são proporcionais.
O passo de (1) a (3) fez uso da solução da equação quadrática. Na verificação da construção, empregamos o teorema de Pitágoras.
Consideremos agora a solução de Euclides do mesmo problema, prestando particular
atenção às ferramentas que ele usou. Pode parecer
12
Matemática grega prática e o problema da duplicação do cubo
But, unlike Euclid, who attempts to prove musical propositions through mathematical theorems, Nicomachus seeks to show their validity by measurement of
the lengths of strings. (Entry “Nicomachus of Gerasa’ in Dictionary of Scientific Biography)
15
O problema associado à escassez documental histórica para a matemática grega antes
de Euclides se ameniza para o perı́odo seguinte, aproximadamente entre 300 AC e 600
DC. Há uma grande variedade de material, mas bastante heterogêneo e disperso no tempo
e no espaço. Os historiadores são frequentemente vagos sobre as datas dos escritores e
a sobrevivência do material é determinada principalmente por chance. A citação acima
refere-se ao trabalho de Nicomachus de Gerasa (Jerash, na Palestina), cujas contribuições
na aritmética, filosofia e música são consideradas importantes na idade média européia
e islâmica, sobrevivendo assim até hoje (embora seja considerado pobre em aritmética).
Ao, menos, como a citação mostra, ele tinha uma abordagem prática para a matemática,
muito diferente daquela que consideramos “tipicamente” grega.
Quantos seriam os caminhos que levariam a alguém tornar-se um matemático grego,
e como eles mudaram ao longo de 900 anos de história da cultura grega? Como eles
interagiam? Como os romanos, em geral retratados como uma civilização dominadora e
inculta, sem interesse na ciência, contribuiu para a matemática da época, no perı́odo em
que eles dominaram o mundo grego (100 AC - 400 DC), em especial quando o a parte
latina do império colapsou e a “grega” sobreviveu? A interpretação do contexto do mundo
matemático grego é pouco entendida. A herança que foi transmitida como importante,
principalmente no século XVI, foi aquela de Euclides, Archimedes, e aqueles que seguiram
seus modelos: axiomas, teoremas e provas. A ideologia tradicionalmente atribuı́da aos
gregos, devida especialmente a Platão, é a de que a matemática não deveria lidar com o
mundo real ou com problemas aplicados. A realidade é certamente mais complicada e,
mesmo aceitando que perdemos ao longo do tempo os registros dos carpinteiros, coletores
de impostos, arquitetos e engenheiros - que devemos supor existiram - há uma grande
variedade e complexidade remanescente.
Um bom exemplo da interação da teoria e prática é dado, surpreendentemente, o pelo
clássico problema da duplicação do cubo. O problema parece ter sido formulado em algum
tempo antes de 400 AC na seguinte forma:
Dado um cubo C, para construir um cubo D cujo volume cujo volume é o
dobro de volume de C.
√
É fácil hoje ver que se o lado de C mede a unidades, o lado de D deve ter lado 3 2a
unidades. No entanto, analisemos tal problema no contexto do mundo grego clássico.
Uma dos primeiros passo para resolver o problema da duplicação de um cubo foi dado
por Hippocrates ( 470-410 AC). Um problema mais geral já havia sido formulado nos
seguintes termos:
(i) Encontrar um cubo cuja razão para um dado cubo é igual à razão entre duas linhas.
Em termos de matemática moderna, sejam dual linhas de comprimento a e b. Devemos
encontrar dois cubos C1 e C2 com volumes V1 = x3 e V2 = y 3 , respectivamente. Então
devemos determinar x e y de modo que
x3
a
V1
= 3 = .
V2
y
b
Hippocrates reduziu este problema ao seguinte:
(ii) Dadas duas linhas, encontre duas médias proporcionais entre eles.
Ou seja, dada dual linhas a e b determine x e y tais que
a
x
y
= = .
x
y
b
16
(6)
(7)
Não discutiremos aqui como Hippocrates resolveu este problema. Consideraremos a
solução atribuı́da a Menaechmus.
É dito que Meneachmus descobriu as seções cônicas enquanto tentava resolver o problema da duplicação do cubo. A sua solução para encontrar duas médias proporcionais é
descrita por Eutocius em seu comentário de “Sobre a Esfera e o Cilindro”, de Arquimedes.
Suponhamos que temos dados a e b, e que queremos encontrar duas médias proporcionais x e y, de acordo com (7). Usando moderna matemática, que obviamente não
era disponı́vel a Menaechmus, podemos ver como as seções cônicas aparecem a partir da
resolução deste problema. De fato,
Por outro lado,
e
y
a
=
x
b
implica xy = ab .
(8)
x
y
=
y
b
implica y 2 = bx .
(9)
a
x
=
x
y
implica x2 = ay .
(10)
Menaechmus deu duas soluções. A primeira vem a partir da hipérbole retangular (8)
e da parábola (9). Os valores de x e y aparecem a partir intersecção das duas curvas, ou
seja,
√
√
3
3
x = a2 b ,
y = ab2 ,
(11)
que obviamente satisfaz (7). A segunda solução de Menaechmus usa a intersecção das
duas parábolas (9) e (10), que também resulta em (11).
Uma grande discussão entre historiadores no que se refere ao problema da duplicação
do cubo é que há uma solução mecânica, conhecida como máquina de Platão. Por um
lado, parece extremamente improvável que Platão tenha dado uma solução mecânica.
Plutarco, escreveu:
Platão repreendeu os discı́pulos de Eudoxus, Archytas e Menaechmus pelo uso
de meios mecânicos e instrumentais para resolver o problema da duplicação
do cubo; pois no seu desejo de encontrar de algum modo, duas médias proporcionais, eles recorreram a um método que era irracional. Ao proceder deste
modo, não é perdida de forma irredimı́vel o melhor da geometria, por uma
regressão ao nı́vel dos sentidos, que impede a criação ou mesmo a percepção
de imagens enternas e incorpóreas entre as quais Deus é eternamente deus?
Há duas teorias concernente à máquina de Platão para resolver o problema da duplicação do cubo. Uma teoria é que Platão inventou a solução mecânica para mostrar
como era fácil obter tais soluções, mas a teoria mais aceita é a de que a máquina de Platão
foi inventada por um de seus seguidores na Academia. Erastosthenes é importante nesta
história, pois Ele, por exemplo, mandou erigir uma coluna em Alexandria dedicada ao rei
Ptolomeu com uma epigrama sobre ele, relativamente à sua própria contribuição para o
problema da duplicação do cubo:
If, good friend, thou mindest to obtain from any small cube a cube the double
of it, and duly to change any solid figure into another, this is in thy power;
thou canst find the measure of a fold, a pit, or the broad basin of a hollow well,
17
by this method, that is, if thou thus catch between two rulers two means with
their extreme ends converging. Do not thou seek to do the difficult business
of Archytas’s cylinders, or to cut the cone in the triads of Menaechmus, or to
compass such a curved form of lines as is described by the god-fearing Eudoxus.
Nay thou couldst, on these tablets, easily find a myriad of means, beginning
from a small base. Happy art thou, Ptolemy, in that, as a father the equal of
his son in youthful vigour, thou hast thyself given him all that is dear to muses
and Kings, and may be in the future, O Zeus, god of heaven, also receive the
sceptre at thy hands. Thus may it be, and let any one who sees this offering
say “This is the gift of Eratosthenes of Cyrene”.
13
O Sistema posicional decimal
Nosso sistema para representar números inteiros foi criado por matemáticos da Índia,
provavelmente muito antes do século V DC. Eles criaram nove sı́mbolos para designar os
números de um a nove e usaram a posição destes sı́mbolos para indicar seu valor real.
Assim, um 3 na posição da unidade significa três, e um 3 na posição dos decimais significa
três dez, ou seja, trinta. Isso é, de fato, o que fazemos hoje. Os sı́mbolos mudaram, mas
não o princı́pio. Ao mesmo tempo, um marcador de posição foi desenvolvido para para
indicar um espaço não ocupado, que finalmente evoluiu para o que hoje entendemos por
zero.
A astronomia indiana fez uso extensivo de senos, que quase nunca são nunca são
números inteiros. Para representá-los, um sistema sexagesimal do estilo babilônico foi
utilizado, com cada unidade sexagesimal representada usando o sistema decimal. Assim,
“trinta e três e um quarto” pode ser representado por 33 15, ou seja, 33 unidades e 15
“minutos”.
O sistema de numeração posicional decimal foi transmitido da Índia para o mundo
islâmico relativamente cedo. No século IX DC em Baghdad, na então recentemente estabelecida capital do califado, Al-Khwarizmi escreveu um tratado descrevendo sistema
de numeração no estilo indiano, usando nove sı́mbolos. Muitos séculos mais tarde este
tratado foi traduzido ao latim. Ele foi tão popular e influente no fim da idade média
que o sistema de numeração decimal era frequentemente designado como “algorismo”. É
importante notar que no tratado de Al-Khwarizmi, o zero tinha ainda um status especial:
ele era um sinal posicional, não um número. No entanto, uma vez que temos um sı́mbolo,
e começamos a fazer aritmética utilizando este sı́mbolo, a distinção rapidamente desaparece. Temos que sabe como somar e multiplicar números por zero de modo a multiplicar
números de muitos dı́gitos. Deste modo, “nada” lentamente se tornou um número.
14
A importância do número
À medida que a cultura grega foi sendo deslocada por outras influências, a tradição prática
tornou-se mais importante. Podemos ver isso no outro livro famoso de Al-Khwarizmi, cujo
tı́tulo nos deu a palavra álgebra. O livro é, na verdade, um compêndio de muitos tipos
diferentes de problemas matemáticos práticos ou semi-práticos. Al-Khwarizmi abre o livro
com uma declaração que nos diz que já não estamos mais no mundo matemático grego:
“Quando que eu considero o que as pessoas querem ao calcular, eu vejo que é sempre um
18
número”. A primeira porção do livro de Al-Khwarizmi lida com equações quadráticas
e com as manipulações algébricas (somente em palavras, sem sı́mbolos) necessárias para
lidar com elas. Seu procedimento é o mesmo que usamos hoje que, claro, requer a extração
de uma raiz quadrada. No entanto, em todos os exemplos o número cuja raiz quadrada
deve ser calculada já é um quadrado, de modo que a raiz quadrada é facilmente encontrada.
Em outros pontos do livro, no entanto, vemos que Al-Khwarizmi começa a lidar com raı́zes
quadradas irracionais como entidades numéricas. Ele ensina o leitor como manipular
√
200) +
sı́mbolos
com
raı́zes
quadradas
e
dá
(em
palavras)
exemplos
tais
como
(20
−
√
( 200 − 10) = 10. Na segunda parte do livro, que lida com geometria e medidas, vemos
uma aproximação para uma raiz quadrada: “O produto é mil oitocentos e setenta e cinco;
tome sua raiz, e ela é sua área; ela é quarenta e três e um pouco.”
Os matemáticos do Islam medieval foi influenciada não somente pela tradição prática
representada por Al-Khwarizmi, mas também pela tradição grega, especialmente os Elementos de Euclides. Encontramos nas suas escritas uma mistura de precisão grega e uma
abordagem mais prática para a medida. Na obra de Omar Khayyam, Algebra, por exemplo, vemos teoremas no estilo grego e o desejo por soluções numéricas. Em sua discussão
sobre equações cúbicas, Khayyam consegue encontrar soluções por meio de construções
geométricas, mas lamenta sua inabilidade em encontrar valores numéricos. Lentamente,
no entanto,
a idéia do número começou a se desenvolver. Os gregos poderiam ter insistido
√
que 10 não é um número, e sim um nome para um segmento de linha, o lado de quadrado cuja área é 10, ou o nome
√ para uma razão. Entre os matemáticos medievais, tanto
no Islam quanto na Europa, 10 começou a se comportar mais e mais com um número,
participando de operações e mesmo aparecendo com a solução de certos problemas.
15
Dando o mesmo status para todos os números
A idéia de de estender o sistema posicional decimal para incluir frações foi desenvolvido
por vários matemáticos. Um dos mais influentes foi Stevin, um matemático e engenheiro
flamengo que popularizou o sistema em livreto chamado De Thiende (O Décimo), inicialmente publicado em 1585. Ao estender o valor de posição para décimos, centésimos, etc.,
Stevin criou o sistema ainda em uso hoje. Além disso, ele explicou como isso simplificava
cálculos que envolviam frações, e deu muitas aplicações práticas. O preâmbulo, de fato,
anuncia como o livro é destinado a “astrólogos, medidores de terra, medidores de tapetes”. Stevin certamente esteve ciente dos problemas criados no seu avanço. Ele sabia,
por exemplos, que a expansão decimal para 1/3 era infinitamente longa. Sua discussão
simplesmente dizia que embora fosse mais correto dizer que a expansão completa infinita
fosse a representação correta, na prática fazia pouca diferença se nós a truncássemos.
Stevin também era ciente de que seu sistema fornecia um modo de atribuir um
“número’ (significando uma expansão decimal) a qualquer comprimento. Ele via pouca
diferença entre 1.1764705882 (o começo
da expansão decimal de 20/17) e 1.4142135623 (o
√
começo da expansão decimal de 2). Em Aritmética ele declarou que todos os números
(positivos) eram quadrados, cubos, potências, etc., e que raı́zes eram somente números.
Ele também afirmou que “não há números absurdos, irracionais, irregulares, inexplicáveis’.
Todos esses eram termos usados para números irracionais, ou seja, números que não são
frações. O que Stevin estava propondo então era achatar a incrı́vel diversidade de “quantidades” ou “magnitudes” em uma expansiva noção de número, definido por expansões
19
decimais. Ele estava ciente de que estes números podiam ser representados por comprimentos ao longo de uma linha. Isso resultou numa clara noção do que hoje chamamos
números reais positivos.
A proposta de Stevin foi imensamente mais influente pela invenção dos logaritmos.
Tais como seno e cosseno, estas eram ferramentas computacionais práticas. Para serem
usados, eles tinham que ser tabulados, e as tábuas eram dadas em forma decimal. Logo
todos estavam usando a representação decimal. Somente muito mais tarde foi entendido
quão importante foi tal passo. Os números reais positivos não eram somente um grande
sistema numérico; eles eram um sistema numérico imensamente grande, cuja complexidade
interna até hoje não é totalmente entendida.
16
Real, Falso, Imaginário
Ao mesmo tempo em que Stevin escrevia, outros passos eram dados simultaneamente por
outros matemáticos: sob a pressão da teoria das equações, números negativos e números
complexos começaram a ser úteis. O próprio Stevin conhecia bem os números negativos,
mas se sentia muito confortável com eles. Por exemplo, ele explicou que o fato de que −3
é uma raiz de
x2 + x − 6
realmente significa que 3 é uma raiz do polinômio associado
x2 − x − 6 ,
obtido substituindo x por −x. O caso das equações cúbicas, no entanto, era mais complicado. O trabalho de vários matemáticos italianos no século XVI conduziu a um método
para resolver equações cúbicas.
A solução da cúbica (assim como a quártica) foi publicada por Gerolamo Cardano
(1501-1576) em seu tratado Ars Magna. No entanto, Cardano não foi o descobridor original destes resultados. A sugestão para a cúbica tinha já sido feita por Niccolò Tartaglia,
enquanto que a a quártica tinha sido resolvida por Ludovico Ferrari. Possivelmente o
próprio Tartaglia pode ter obtido a solução de outra fonte. A solução aparentemente foi
obtida pela primeira vez por um pouco conhecido professor na Universidade de Bologna
chamado Scipione del Ferro (ca. 1465-1526). Embora del Ferro não tenha publicado sua
solução ele a mostrou para seu estudante Antonio Maria Fior. Foi daı́ que aparentemente
Tartaglia aprendeu esta solução, por volta de 1541.
Como passo crucial, este método envolvia a extração de uma raiz quadrada. O problema era que o número, cuja raiz era necessária, algumas vezes era negativo. Até então,
quando uma problema algébrico resultava na extração da raiz quadrada de um número
negativo, o problema era simplesmente dito não ter solução. Para encontrar uma raiz de
ax3 + bx2 + cx + d ,
Cardano, em 1545 publicou a seguinte fórmula
n
2
o n
2
o
2 3 1/2
2 3 1/2
+ q + q − (r − p )
+p
x = q + q + (r − p )
com
p=−
b
,
3a
q = p3 +
bc − 3ad
,
6a2
20
r=
c
.
3a
Consideremos a equação estudada por Bombelli em seu livro em 1572:
x3 = 15x + 4 .
Claramente x = 4 é uma solução, mas para obter tal solução a raiz quadrada de -121
aparece.
Foi realmente Bombelli que decidiu ir em frente com esse aparente problema e computou, com seu “novo tipo de radical”, a solução da cúbica. Isso mostrou que a fórmula da
cúbica realmente funcionava. Mais importante, mostrava que estranhos novos números
podiam ser úteis.
Foi necessário algum tempo até que a maior parte dos matemáticos se sentisse confortável com essas novas quantidades. Aproximadamente 50 anos mais tarde, Albert
Girard e Descartes diziam que equações podem ter três tipos de raı́zes: verdadeira (positiva), falsa (negativa) e imaginária. Não é completamente claro se eles entendiam que
estas raı́zes imaginária seriam o que hoje chamamos de número complexos. Descartes, ao
menos, algumas vezes parecia dizer que que uma equação de grau n deve ter n raı́zes e
que aqueles que não são nem “verdadeiros” nem “falsos” devem ser imaginados.
Lentamente, no entanto, números complexos começaram a ser usados. Eles apareceram
na teoria de equações, em debates sobre logaritmos de números negativos e em conexão
com trigonometria. Sua conexão com as funções seno e cosseno (via a exponencial) tornouse uma poderosa ferramenta graças a Euler, no século XVIII. Por volta da metade do século
XVIII já era bem conhecido que todo polinômio tinha um conjunto completo de raı́zes
nos números complexos. O resultado tornou-se conhecido com o teorema fundamental da
álgebra. Ele finalmente provado, para satisfação geral, por Gauss. Portanto, a teoria das
equações não parecia requerer qualquer extensão da noção de número.
17
Sistemas numéricos, velho e novo
Como números complexos são claramente diferentes de números reais, sua presença estimulou sua classificação em diferentes tipos. O egalitarianismo de Stevin teve seu impacto,
mas não era muito fácil apagar o fato de que números inteiros eram mais belos que números
decimais, e que frações são mais fáceis de entender do que números irracionais.
No século XIX, todo tipo de novas idéias criaram a necessidade de uma maior atenção
para esta classificação. Em teoria de números, Gauss e Kummer começaram a examinar
conjuntos de números complexos que se comportavam de modo análoga aos inteiros, tais
como o conjunto de números, a + ib, com a e b inteiros.
Na teoria de equações, Galois indicou que para fazer uma análise cuidadosa da solubilidade de uma equação devemos começar concordando sobre quais números são considerados
racionais. Por exemplo, ele apontou que no teorema de Abel sobre a insolubilidade da
equação quı́ntica, “racional” significava “expressável como um quociente de polinômios
nos sı́mbolos usados como os coeficientes da equação.” Ele ainda notou que o conjunto
de todas expressões como esta obedeciam as regras usuais da aritmética.
No século XVIII, Johann Lambert tinha estabelecido que e e π eram irracionais, e
conjecturou que, de fato, dele eram transcendentais, ou seja, não eram raı́zes de qualquer equação polinomial. Mesmo a existência de números transcendentais era conhecida
nesta época. Liouville provou que tais números existem em 1844. Em poucas décadas
foi provado que ambos, e e π eram transcendentais. Logo mais tarde, Cantor mostrou
21
que, de fato, a vasta maioria dos números reais era transcendental. A descoberta de
Cantor chamou atenção, pela primeira vez, que o sistema de Stevin continha profundezas
desconhecidas.
Talvez a mais importante mudança no conceito de número tenha surgido após a descoberta de Hamilton, em 1843, de um sistema numérico completamente novo. Hamilton
havia notado que usar um sistema de coordandas no plano usando números complexos
(em lugar de simplesmente usar pares de números reais) vastamente simplificava a geometria plana. Ele ainda tentou encontrar um modo similar de parametrizar o espaço 3dimensional. Isso mostrou-se impossı́vel, mas levou Hamilton a um sistema 4-dimensional,
que ele denominou quaternions. Estes se comportavam de muito similar a números, com
um diferença crucial: a multiplicação não é comutativa. Ou seja, se q e q são quaternions,
então qq 0 6= qq.
Os quaternions foram o primeiro sistema de número “hipercomplexos”, e sua aparição
gerou muitas outras questões. Há outros sistemas similares a esse? O que conta com
sistema numérico? Se certos números falham em satisfazer a lei comutativa, podemos
inventar números que violam outras leis?
A longo prazo, este fermento intelectual levou os matemáticos a abandonarem a vaga
noção de “número” ou “quantidade” e se concentrarem na noção mais formal de uma
estrutura algébrica. Cada um dos sistemas numéricos, no fim das contas, é simplesmente
um conjunto de entidades no qual podemos realizar operações. O que os faz interessantes
é que eles podem ser usados para parametrizar ou coordenar sistemas que nos interessam. Os números inteiros, por exemplos, formalizam a noção de contagem, enquanto que
números reais parametrizam a linha e servem como base da geometria.
Por volta do começo do século XX, havia muitos sistemas numéricos conhecidos. Os
inteiros tinham o lugar de privilégio, seguidos por hierarquia consistindo dos números
racionais (frações), os números reais (os decimais de Stevin, agora formalizados), e os
números complexos. Ainda mais gerais que números complexos eram os quaternions.
Mas estes de forma nenhuma eram os únicos sistemas. Vários outros corpos diferentes de
números algébricos foram encontrados, subconjuntos dos números complexos, que podiam
ser entendidos como sistemas autônomos.
Galois introduziu sistemas finitos que obedeciam as regras usuais da aritmética, que
hoje chamamos corpos finitos. Corpos de funções foram descobertos, que certamente
não podem ser considerados números, mas suas analogias com os sistemas numéricos foi
investigada e explorada.
Em 1897, Kurt Hensel introduziu os chamados números p-adicos, que eram construı́dos
a partir de números racionais, dando uma papel especial ao número primo p (como o
pode ser escolhido à vontade, Hensel de fato criou um número infinito de novos sistemas.)
Estes também obedeciam as regras usuais da aritmética, no sentido de que a adição e
a multiplicação se comportavam da maneira usual. Em linguagem moderna eles eram
corpos. Os p-adicos foram o primeiro sistema reconhecidamente de números que não
possuı́a uma relação visı́vel com os números reais ou complexos - exceto pelo fato de
que ambos sistemas continham os números racionais. Como resultado, isso levou Ernst
Steinitz a criar em 1910 uma teoria abstrata de corpos (Algebraische Theorie der Körper ).
Este movimento em direção à abstração que apareceu no trabalho de Steintz também
ocorreu em outras partes da matemática, mais notavelmente na teoria de grupos e suas
representações e na teoria de números algébricos.
Todas essas teorias foram unificadas conceitualmente por Amalie Emmy Noether
22
(1882-1935), que criou um programa que ficou conhecido como “álgebra abstrata”. Isso
deixou os números para trás, completemente, sendo que o foco passou a ser numa estrutura
abstrata de conjuntos com operações.
Hoje não é fácil mais decidir o que conta como um “número”. Os objetos da sequencia
original de “inteiro, racional, real e complexo” são certamente números, mas também o são
os p-ádicos. Os quaternions raramente são referidos como números, embora eles possam
ser usados como coordenadas de certas noções matemáticas. De fato, mesmo sistemas
mais estranhos, como os octonions de Cayley. No fim das contas, tudo o que serve para
parametrizar ou coordenar um dado problema é o que usamos. Se o sistema necessários
não existe, temos somente que inventá-lo.
18
18.1
O Desenvolvimento do Rigor na Análise
Matemática
O nascimento do cálculo
O estudo do rigor em análise não é simples, pois a prática matemática mudou consideravelmente entre o perı́odo do aparecimento do cálculo (pouco antes de 1700) e o começo
do século XX. Num certo sentido, o critério básico para o que constitui um argumento
lógico e correto não mudou, mas as circunstâncias sob as quais poderı́amos requerer este
argumento, e mesmo o objetivo do argumento, tem variado com o tempo. Os volumosos
e famosos textos de cálculo dos anos 1700, associados como os nomes de Johan e Daniel
Bernoulli, Euler e Lagrange, careciam de clareza de fundamentos, o que acabou sendo
criticado e corrigido nos anos posteriores. Por volta de 1910 um consenso geral já havia
emergido sobre como fazer argumentos em análise rigorosos.
A matemática consiste em mais do que técnicas para cálculo, métodos para descrever
caracterı́sticas importantes de objetos geométricos, e modelos de fenômenos fı́sicos. Quase
todos os matemáticos hoje são treinados na produção de argumentos rigorosos para justificar suas conclusões. Tais conclusões são usualmente expressas como teoremas, que estão
afirmações, acompanhada por um argumento, ou prova, de que o argumento é realmente
verdadeiro.
Consideremos um exemplo simples: todo número inteiro positivo que é divisı́vel por 6
é também divisı́vel por 2. Percorrendo a tabela (6, 12, 18, 24, . . . ) vemos que cada número
é par, o que faz a afirmação facilmente aceitável. Uma possı́vel justificação seria dizer que
como 6 é divisı́vel por 2, então cada número divisı́vel por 6 deve também ser divisı́vel por
2. Tal justificativa poderia ou não ser considerada como uma prova suficiente, dependendo
do leitor. Por exemplo, ao ouvir tal justificativa poderı́amos levantar questões: é sempre
verdade que se a, b e c são números positivos tais que c é divisı́vel por b e b é divisı́vel
por a, então c é divisı́vel por a? O que é divisibilidade exatamente? O que é um número
inteiro? Os matemáticos lidam com tais questões precisamente definindo conceitos (tais
como divisibilidade de um número por outro), baseando as definições sobre um pequeno
número de termos não definidos (“número inteiro” poderia ser um deles, embora seja
possı́vel partir ainda mais atrás, com conjuntos). Por exemplo, poderı́amos definir um
número n como sendo divisı́vel por um número m se e somente se existe um inteiro q
tal que qm = n. Usando esta definição, poderı́amos dar uma prova mais precisa: se n é
divisı́vel por 6, então n = 6q, para algum q, de modo que n = 2(3q), o que prova que n é
23
divisı́vel por 2.
Portanto, usamos as definições para mostrar que divisibilidade por 2 ocorre sempre que
a divisibilidade por 6 ocorre. Historicamente escritores matemáticos tem ficado satisfeitos
com variados nı́veis de rigor. Resultados e métodos tem sido usados disseminadamente sem
o uso de justificativas completas como a descrita no parágrafo anterior, particularmente
nos campos da matemática que são novos ou que se desenvolvem rapidamente.
Algumas culturas, como a egı́pcia ou babilônica, por exemplo, tinham métodos de
multiplicação e divisão, mas nenhuma justificação para estes métodos sobreviveu e, de
fato, não parece que elas tenham existido. Os métodos eram provavelmente aceitos simplesmente porque eles funcionavam.
Por volta da metade do século XVII, matemáticos europeus que estavam engajados
em pesquisa conheciam bem o tipo de argumento rigoroso empregado nos Elementos de
Euclides. Embora os argumentos de Euclides não sejam suficientemente rigorosos pelos
padrões atuais, a idéia básica era clara: procedemos a partir de definições claras e idéias
geralmente aceitas (tais como o todo é maior que uma parte) para deduzir teoremas, passo
a passo, sem agregar nada extra. O modelo clássico do argumento geométrico de Euclides
foi usado extensivamente nas teorias de números inteiros (por Fermat, por exemplo), na
geometria analı́tica (Descartes) e em mecânica (Galileo).
O termo análise, por volta de 1600, era usado para referir-se à matemática onde se
trabalhava com um grandeza desconhecida (algo que hoje escreverı́amos com x) para realizar um cálculo ou encontrar um comprimento. Em outras palavras, ele era estreitamente
relacionado à álgebra, embora a noção tenha sido importada para a geometria por Descartes e outros. No entato, ao longo de século XVIII, a palavra passou a ser associada
com cálculo, que foi a principal área de aplicação das técnicas analı́ticas.
Quando falamos sobre rigor em análise, nos referimos exatamente à teoria rigorosa
da matemática associada com o cálculo diferencial e integral. Na segunda metade do
século XVII métodos rivais para o cálculo diferencial e integral foram desenvolvidos por
Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), que sintetizaram
e estenderam uma considerável quantidade de trabalhos anteriores associados a tangentes
e normais a curvas e com áreas de regiões limitadas por curvas. As técnicas foram um
grande sucesso e foram estendidas rapidamente em muitas direções, mais notadamente
em mecânica e equações diferenciais.
A caracterı́stica chave comum nestes métodos foi o uso de infinitos: em certo sentido,
eles envolviam o desenvolvimento de métodos que combinavam um número infinito de
quantidade infinitamente pequenas para obter uma resposta finita. Por exemplos, suponhamos que dividimos o cı́rculo em um grande número de partes iguais, marcando pontos
a distâncias iguais e depois juntando os pontos e criando triângulos com vértices comuns
no centro. A soma das áreas dos triângulos é uma aproximação para a área do cı́rculo e
quanto mais pontos usarmos, melhor será aproximação.
Se imaginarmos infinitos triângulos inscritos, a área de cada um deles será “infinitamente pequena” ou infinitesimal. No entanto, como o total envolve uma soma de áreas
de um número infinito de triângulos, podemos obter um total finito positivo (em lugar
de 0, obtido somando-se infinitos zeros, ou um número infinito, que obterı́amos somando
um número finito infinitas vezes). Muitas técnicas para fazer estes cálculos foram desenvolvidas, embora a interpretação do que realmente ocorria variasse. Eram os infinitos
envolvidos “realmente” infinitesimais ou meramente ou meramente “potenciais”? Se algo
é “realmente” infinitesimal, é realmente zero? Como é de se esperar, crı́ticas na época
24
eram abundantes. Newton, Leibniz e seus seguidores davam argumentos matemáticos
para justificar estes métodos. No entanto, a introdução de técnicas envolvendo objetos
infinitamente pequenos, tais como razões, processos de limite, somas infinitas, etc., implicava que seus criadores estavam explorando novo território em seus argumentos, de modo
que a inteligibilidade de seus argumentos era frequentemente comprometida por termos
vagos, ou por conclusões obtidas em pontos onde outras distintas poderiam ser igualmente
obtidas.
As representações em séries de Taylor, em particular, provocavam uma variedade de
questões. Uma função poderia ser escrita como uma série de tal modo a ter o mesmo
comportamento da função original em um dado ponto x = a, inclusive relativamente a
todas as suas derivadas:
∞
X f n (a)
f 00 (a)
2
(x − a) + · · · =
(x − a)n .
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +
2
n!
n=1
0
(12)
Embora tal fato já fosse conhecido por Newton, tais séries receberam o nome do discı́pulo
de Newton, Brook Taylor.
Um problema com os primeiros argumentos era que os termos discutidos eram usados em diferentes modos por diferentes autores. Outros problemas surgiram devido a
essa falta de claridade, pois ela escondia uma variedade de problemas. Talvez o mais
importantes deles era que um argumento poderia falhar em um contexto, mesmo que um
argumento muito similar pudesse funcionar perfeitamente bem em outro. Isso levou a
sérios problemas para a extensão da análise.
Finalmente, a análise tornou-se completamente rigorosa e as principais dificuldades
foram resolvidas, mas o processo foi muito longo, tendo sido completado somente no
começo do século XX.
Consideremos alguns exemplos dos tipos de dificuldades que apareceram no inı́cio,
usando um resultado de Leibniz. Suponhamos que temos duas variáveis, u(x) e v(x),
dependentes de uma variável x. Uma mudança infinitesimal em x é denotada por dx, a
diferencial de x. A diferencial é uma quantidade infinitesimal, pensada como uma magnitude geométrica, tal como um comprimento, por exemplo. Tal quantidade deveria poder
ser comparada e combinada com outras magnitude nos modos usuais (dois comprimentos
podem ser somados, divididos, etc.) Quando x muda para x + dx, u e v mudam para
u + du e v + dv, respectivamente. Leibniz concluiu que o produto uv poderia então mudar
para uv + udv + vdu, de modo que d(uv) = u dv + v du. Seu argumento era que
d(uv) = (u + du)(v + dv) − uv = udv + vdu + dudv .
No entanto, o termo du dv é um infinitesimal de segunda ordem, de magnitude muito menor que os infinitesimais de primeira ordem, de modo que pode ser tratado como zero. Um
tipo de crı́tica consistia na aparente inconsistência sobre como os infinitesimais eram tratados. Por exemplo, se queremos calcular a derivada de y = x2 , o cálculo correspondente
ao feito anteriormente mostra que
d(x · x)
(x + dx)(x + dx)
2xdx + (dx)2
d(x2 )
=
=
=
= 2x + dx
dx
dx
dx
dx
Tratamos então o termo dx no lado direito como sendo zero. Por outro lado, o termo dx no
lado esquerdo teve que ser considerado como uma quantidade infinitesimal não zero, pois
25
de outra forma não poderı́amos fazer uma divisão por ele. Então ele é zero ou não? E se
não foi, como é possı́vel resolver esta aparente inconsistência? Em um nı́vel um pouco mais
técnico, o cálculo exigiu que os matemáticos lidassem repetidamente com os valores finais
das razões da forma dy/dx quando numerador e denominador se aproximam ou realmente
chegam a zero. Esta apresentação usa a notação diferencial de Leibniz, embora as mesmas
questões tenham aparecido para Newton com uma abordagem de conceito e notação um
pouco diferentes. Newton geralmente falava de variáveis como dependentes do tempo,
e procurava, por exemplo, os valores aproximados quando ‘ı̀ncrementos evanescentes” –
intervalos de tempo infinitesimais – eram considerados. Um grande conjunto de confusões
aparecia precisamente da idéia de que quantidades variáveis estão no processo de mudança,
seja com o tempo ou com mudanças no valor de outra variável Isto significa que quando
falamos sobre valores de uma variável que se aproxima de um dado valor, mas sem uma
clara idéia de como esta aproximação é feita.
18.2
Os métodos do séculos XVIII e crı́ticas
Obviamente se o cálculo não tivesse sido um campo extremamente frutı́fero, ninguém se
preocuparia em criticá-lo. Os métodos de Newton e Leibnitz eram amplamente adotados
para a solução de problemas que já tinham interessado gerações anteriores (notavelmente
problemas de tangente e área) e para a formulação de e solução de problemas que estas
técnicas repentinamente tornaram acessı́veis. Problemas de áreas, máximos e mı́nimos,
a formulação e solução de equações diferenciais para descrever a forma de correntes dependuradas ou as posições de pontos de cordas vibrantes, aplicações à mecânica celeste,
a investigação de relacionados a propriedades de funções (pensadas em geral como expressões analı́ticas envolvendo quantidades variáveis) – todos estes campos e outros foram
desenvolvidos ao longo do século XVIII por matemáticos como Taylor, Johan e Daniel
Bernoulli, Euler, D’Alembert, Lagrange e outros. Todos eles aplicaram engenhosos argumentos de validade suspeita. Operações com séries divergentes, o uso de números
imaginários e manipulações envolvendo infinitos eram efetivamente usadas pelos mais capazes . No entanto, os métodos não podiam ser sempre explicados para os menos capazes,
de modo que certos resultados eram confiávelmente reprodutı́veis – uma situação muito
peculiar da matemática, pelos padrões atuais. Para fazer cálculos de Euler, era necessário
ser Euler. Esta foi uma situação que persistiu até boa parte do século seguinte.
Controvérsias especı́ficas frequentemente ilustravam questões que agora vemos como
um resultado de uma confusão de fundamentos. No caso de séries infinitas, por exemplo,
havia a confusão sobre o domı́nio de validade de expressões formais. Consideremos a série
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ···
Na definição elementar usual de hoje (devida a Cauchy, 1820) poderı́amos considerar esta
série como divergente pois a sequência de somas parciais 1, 0, 1, 0, . . . não tende a um
limite. No entanto, havia alguma controvérsia sobre o real significado de tais expressões.
Euler e Nicholas Bernoulli, por exemplo, discutiram a distinção potencial entre a soma e
o valor de uma soma infinita. Bernoulli, argumentou que 1 − 2 + 6 − 24 + 120 − · · · não
tem uma soma mas esta expressão algébrica constitui um valor. Seja qual for o significado
disso, Euler defendeu a noção de que a soma da série é o valor da expressão finita que
dá origem a esta série. Na sua obra Institutiones Calculi Differentialis (1775) ele dá o
exemplo de 1 − x + x2 − x3 + · · · , que vem da expressão 1/(1 + x), e mais tarde defendeu
26
a idéia de que isto significava que 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1/2, o que não foi universalmente
aceito.
Controvérsias similares apareceram ao considerar com estender os valores de funções
fora do seu domı́nio usual, como o logaritmo de números negativos.
Provavelmente a crı́tica mais famosa do século XVIII da linguagem e métodos da
época foi devida ao filósofo George Berkeley (1685-1753). O motto de Berkeley, “ser é ser
percebido”, expressa sua posição idealı́stica, que está acoplada com a visão de que a abstração de qualidades individuais, para os propósitos de discussões filosóficas, é impossı́vel.
Os objetos de estudo da filosofia deveriam, portanto, ser coisas que são percebidas, e
percebidas em sua integridade. A impossibilidade de perceber objetos infinitesimalmente
pequenos, combinados com sua natureza manifestamente abstrata, levou-o a atacar o sue
uso no seu tratado The Analyst: Or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician.
Referindo-se sarcasticamente em 1734 às grandezas infinitesimais como os “fantasmas das
quantidades partidas,” Berkeley argumentou que negligenciar alguma quantidade, não
importa quão pequena, era algo não apropriado no argumento matemático. Ele citou
Newton neste respeito, afirmando que “em matemática, erros devem ser condenados, não
importa quão pequenos.” Berkeley continuou, dizendo que “nada além da obscuridade
sobre o assunto” poderia ter induzido Newton a impor este tipo de raciocı́nio sobre seus
seguidores. Tais consideração, embora não convencessem os seguidores dos seus métodos,
contribuı́ram para um sentimento de que os aspectos do cálculo exigiam explicação mais
aprofundada.
Escritores como D’Alembert, Lazare Carnot, e outros tentaram enfrentar as crı́ticas de
fundamentos clarificando o que diferenciais eram, e deram uma variedade de argumentos
para justificar as operações em cálculo.
18.3
Euler
Euler contribuiu para o desenvolvimento geral da análise mais do que qualquer outro
indivı́duo no século XVIII, se seus métodos para justificar seus argumentos foram consideravelmente influentes, mesmo após sua morte. Em boa parte isso se deveu ao sucesso
e grande uso de seus livros-texto. Os procedimentos de Euler são algumas vezes considerados muito vagos, uma vez que ele manipulava livremente com a notação do cáculo,
e muitos dos seus argumentos são certamente deficientes de acordo com padrões atuais.
Isso é particularmente verdadeiro no que diz respeito a séries infinitas e produtos. Um
exemplo tı́pico é dado por uma das primeiras versões de sua prova de que
∞
X
π2
1
=
.
n2
6
n=1
Descrevemos seu método a seguir. Usando a expansão em série para sin x, ele considerou
os zeros de
√
x
sin x
x2 x3
√
=1− +
−
+ ··· .
3!
5!
7!
x
Eles estão em π 2 , (2π)2 , (3π)2 . . . . Aplicando (sem argumento) o teorema do fator para
equações algébricas finitas, ele expressou esta equação como
x x x 1− 2
1− 2
1 − 2 ··· = 0.
π
4π
9π
27
Agora pode ser visto que o coeficiente de x na soma infinita, −1/6, deve ser igual ao
negativo da soma dos coeficientes de x no produto. Euler provavelmente imaginou a
multiplicação de infinitos termos, selecionando somente o coeficiente de x, de modo que
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ··· = .
2
π
4π
9π
6
Multiplicando esta equação por π 2 obtemos a soma requerida.
Podemos hoje pensar neste método como tendo vários problemas. O produto de um
número infinito de termos pode ou não representar um valor finito, e hoje especificarı́amos
as condições para que isso aconteça. Além disso, a aplicação de um resultado válido para
polinômios finitos para uma série de potências (infinita) é um passo que requer justificação.
O próprio Euler apresentou, mais tarde, argumentos alternativos para este resultado.
No entanto, o fato que ele conhecia contra-exemplos – situações nas quais tais procedimentos não funcionam, não era, para ele, um obstáculo decisivo. Este ponto de vista,
no se raciocina em uma situação genérica que pode admitir algumas poucas exceções,
era comum naqueles tempos, e somente no final do século XIX um esforço conjunto foi
feito para estabelecer os resultados da análise de modos que determinam precisamente as
condições sob as quais os teoremas são válidos.
Euler não se envolveu na interpretação de somas infinitas ou infinitésimos. Algumas
vezes ele ficava satisfeito em considerar diferenciais como sendo de fato zero, e deduzir o
significado de uma razão de diferenciais a partir do contexto do problema:
Uma quantidade infinitesimalmente pequena é nada mais do que uma quantidade insignificante e portanto será considerada como sendo igual a zero.
. . . Assim, não há tantos mistérios escondidos neste conceito como usualmente
se acredita. Estes supostos mistérios tem feito com que o cálculo do infinitamente pequeno seja suspeito para muitas pessoas.
Esta afirmação, de sua obra Institutiones Calculi Differentialis, de 1755, foi seguida por
uma discussão sobre proporções onde uma das razões é 0/0, e uma justificação do fato
de que diferenciais podem ser desprezadas em cálculos com números ordinários. Isso representa uma boa parte do que aconteceu na sua prática, com equações diferenciais, por
exemplo. Assuntos controversos apareceram, no entanto, e debates sobre definições não
eram incomuns. O exemplo mais conhecido envolve discussões relacionadas com o chamado problema da corda vibrante, que envolveu Euler, D’Alembert e Daniel Bernoulli.
Essencialmente a questão era sobre quais as funções estudadas pela análise podiam realmente ser representadas por séries (em particular, séries trigonométricas). A idéia de que
uma curva de forma arbitrária poderia servir como uma posição inicial para uma corda
vibrante estendeu a idéia de função. O trabalho de Fourier, no inı́cio do século XIX, fez
tais funções analiticamente acessı́veis. Neste contexto, funções com gráficos quebrados
foram estudadas. Mais tarde, a questão de como lidar com tais funções tornou-se uma
questão fundamental para os fundamentos da análise.
18.4
Respostas no meio do século XVIII
Uma resposta significante a Berkeley foi dada por Colin MacLaurin (1698-1746), cujo livro
de 1742, A Treatise of Fluxions tentou clarificar os fundamentos do cálculo e eliminar
a idéia de quantidades infinitesimalmente pequenas. Os trabalhos de MacLaurin, ao
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contrário daqueles de outros contemporâneos britânicos, foram lidos com interesse no
continente, especialmente suas elaborações da mecânica celeste newtoniana.
MacLaurin tentou basear seu raciocı́nio na noção dos limites do que ele chamou quantidades finitas “atribuı́veis”. A obra de MacLaurin é conhecidamente obscura, mas ele
deu exemplos de como calcular limites de razões. Talvez sua contribuição mais importante
para a clarificação dos fundamentos da análise tenha sido sua influência em D’Alembert.
D’Alembert leu Berkeley e MacLaurin e os seguiu na rejeição dos infinitesimais com quantidades de existência real. Ao explorar a idéia de uma diferencial como um limite, ele
também tentou reconciliar sua idéia com aquela de que infinitesimais podem ser considerados consistentemente como sendo zero. Ele também defendeu a importância dos
limites geométricos em vez dos algébrico. Ele parecia querer enfatizar que as quantidades
investigadas deveriam ser tratadas não meramente de modo formal, por substituição e
simplificação. Ao contrário, elas deveriam ser entendidas com o limite de um comprimento (ou coleção de comprimentos), área ou outra quantidade dimensional, do mesmo
modo que um cı́rculo pode ser visto como um limite de polı́gonos inscritos. Seu objetivo
parece ter sido primariamente conseguir estabelecer a realidade dos objetos descritos nos
algoritmos então existentes (pois os cálculos que ele mesmo fazia eram realizados usando
diferenciais).
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