GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACET – FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS
Lista de Exercícios - Álgebra Abstrata I
Professor.: Rogério dos Reis Gonçalves
21 de Fevereiro de 2014
Acadêmico: ____________________________________________________________________________
1) Resolva os problemas 1, 2 p. 70 – 8, 9 e 10 p. 75 – 21, 22 e 23 p.79 – 27 e 29 p. 81 – 36 p. 84
2) Prove os critérios de divisibilidade por 2, 4, 5, 10 e 11, utilizando congruências.
3) Encontre o resto da divisão de
53
20
por 13.
4) Mostre que a equação x 3  117 y 3  5 não possui soluções inteiras. Dica: Utilize congruência
módulo 9.
5) Seja R a relação em N definida por aRb se, e somente se, a<b. Verifique se R é uma relação de
equivalência.
6) Seja uma relação D sobre o conjunto N dos números naturais tal que (a,b) D se, e somente se, a|b
(a divide b), isto é, se existe c N tal que b=ac. Mostre que D é uma relação de equivalência.
7) Seja R a relação definida no conjunto dos números reais por (x,y) R se, e somente se, |x|=|y|.
Prove que R é uma relação de equivalência.
8) Seja R a relação definida no plano cartesiano por (a,b)R(c,d) se, e somente se, a²+b²=c²+d².
Determine a classe de equivalência [(3, 4)].
9) Mostrar que a relação R formada por pares de números inteiros, definida por (a, b)R(c,d) se, e
somente se, a+d=b+c é uma relação de equivalência. Determinar a classe do par ordenado (2,1).
10) Definimos uma relação D sobre o conjunto dos números inteiros, com (a,b) D se, e somente se,
a|b. Mostre que esta relação D não é uma relação de ordem.
11) Seja R a relação em E={1,2,3,4,5} tal que xRy se, e somente se, x-y é múltiplo de 2.
a) Quais são os elementos de R?
b) Faça o diagrama de flechas para R.
R é reflexiva? R é simétrica? R é transitiva? R é anti-simétrica?
12) Se a Z e b Z definimos a relação a<b se, e somente se, b-a N. Mostrar que < é uma relação
de ordem sobre Z.
13) Seja f : A → B uma função. Considere a relação R sobre o conjunto A tal que xRy se, e somente
se f (x) = f ( y). Mostre que a relação R é de equivalência.