TAREFA 2
1. Critérios de divisibilidade
1.1. Sim, porque 2 x 5 + 6 = 16 (16 é múltiplo de 4)
1.2. Como 1 + 2 + 5 + 6 + 7 = 21, 21 é múltiplo de 3 mas não de 9, então 12567 é múltiplo de (divisível por) 3, mas não
de 9.
1.3. Sabendo que 8 + 5 + 5 = 18 e 18 é múltiplo de 3 e 9, conclui-se que 855 é múltiplo de 3 e de 9.
1.4. Como 2 x 3 + 4 = 10 e dez não é múltiplo de 4, 13734 não é múltiplo de 4. Mas como 4 é múltiplo de 2, conclui-se
que 13734 é múltiplo de 2.
1.5. 3405 é múltiplo de 5 uma vez que o algarismo das unidades é 5, por outro lado o número não é múltiplo de 2
pois o algarismo das unidades não é múltiplo de 2.
1.6. 3450 é múltiplo de 2 e de 5, uma vez que o algarismo das unidades é múltiplo de 2 e de 5.
2. 2532 postais.
2.1. Não, uma vez que a soma dos algarismos (2 + 5 + 3 + 2 = 12) não é múltiplo de 9.
2.2. Não, porque o algarismo das unidades não é múltiplo de 5.
2.3. Sim, porque 2 x 3 + 2 = 8 e 8 é múltiplo de 4.
2.4. Sim, uma vez que a soma dos algarismos é 12 que é múltiplo de 3 (ver alínea 2.1)
3. O número 114 é um número natural divisível por 2 não por 4, uma vez que o algarismo das unidades é múltiplo
de 2 e
2 x 2 + 4 = 6 não é múltiplo de 4 (critério de divisibilidade por 4).
4. Qualquer número múltiplo de 4 também é de 2, uma vez que 4 é múltiplo 2.
5. O número 213 é múltiplo de 3, mas não de 9, porque a soma dos algarismos (2 + 1 + 3 = 6) não é múltiplo de 9,
mas é múltiplo de 3.
6. Qualquer número múltiplo de 4 também é de 2, porque 9 é múltiplo 3.
7. 715_ Para ser múltiplo de 3 e de 4 tem de acontecer em simultâneo o seguinte:
7 + 1 + 5 + _ = 13 + _ = múltiplo de 3 (pode ser 15)
2 x 5 + _ = múltiplo de 4 (pode ser 12 ou 16)
Tem de ser o número 2, porque 7 + 1 + 5 + 2 = 15 (múltiplo de 3) e 2 x 5 + 2 = 12 (múltiplo de 4)
TAREFA 3
1.
1.1. As decomposições em fatores primos dos números enunciados são: 30 = 2 x 3 x 5 e 42 = 2 x 3 x 7
30 2
15 3
5 5
1
42 2
21 3
7 7
1
1.2. D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 15, 30}
1.3. M.d.c.(30, 42) = 2 x 3 = 6 (observa que multiplicámos apenas os fatores comuns às decomposições apresentadas
na alínea anterior)
1.4. M.m.c.(30, 42) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 (observa que multiplicámos todos os fatores, os comuns e não comuns)
1.5. Como m.m.c.(30, 42) = 210, como calculado na alínea anterior, todos os múltiplos comuns de 30 e 42 são
múltiplos de 210, ou seja, 210, 420 e 630.
2. A partir dos números 15, 60 e 70
2.1. 60 é múltiplo de 15, porque 15 x 4 = 60, ou seja, 60 : 15 = 4 (resto zero)
2.2. Quando existem dois números em que um é múltiplo do outro, verifica-se o seguinte:
2.2.1. M.d.c. (15, 60) = 15
2.2.2. M.m.c.(15, 60) = 60
2.3. 70 não é múltiplo de 60 porque 70 : 60 = 1,1(6) significa que 1, 16666666666… (o quociente não é inteiro, ou se
o for dá resto diferente de zero).
3. Números primos entre si.
3.1. Dos números 40, 63, 55, para identificar números primos entre si precisamos decompor cada um dos números
enunciados:
40
20
10
5
1
2
2
2
5
63 3
21 3
7 7
1
55 5
11 11
1
3.1.1. Os números 40 e 63 são primos entre si, porque m.d.c. (40, 63) = 1
Também se verifica que 63 e 55 são primos entre si, porque m.d.c. (63, 55) = 1
3.1.2. Os números 40 e 55, porque m.d.c. (40, 55) = 5
3.2. Não, porque têm como divisor comum o número 2.
4. Tabela (propriedade do m.m.c. e m.d.c.)
a
6
12
14
28
39
150
165
b
8
20
15
18
45
70
26
12 2
6 2
3 3
1
12 = 22 x 3
axb
48
240
210
504
1755
10500
4290
m.m.c.(a, b)
24
2
2 x 3 x 5 = 60
2 x 3 x 5 x 7 = 210
22 x 7 x 32 = 252
32 x 5 x 13 = 585
2 x 52 x 3 x 7 = 1050
2 x 3 x 5 x 11 x 13 = 4290
20 2
10 2
5 5
1
20 = 22 x 5
150 2
75 3
25 5
5 5
1
150 = 2 x 3 x 52
14 2
7 7
1
14 = 2 x 7
70 2
35 5
7 7
1
70 = 2 x 5 x 7
15 3
5 5
1
15 = 3 x 5
165 3
55 5
11 11
1
165 = 3 x 5 x 11
m.d.c.(a, b)
2
2
2 =4
1
2
3
2 x 5 = 10
1
28 2
14 2
7 7
1
28 = 22 x 7
26 2
13 13
1
26 = 2 x 13
m.m.c.(a, b) x m.d.c.(a, b)
48
240
210
504
1755
10500
4290
39 3
13 13
1
39 = 3 x 13
45 5
9 3
3 3
1
45 = 5 x 32
18 2
9 3
3 3
1
18 = 2 x 32
TAREFA 4
1. Se os lápis podem ser agrupados em conjuntos de 3 ou 4, significa que o seu número é múltiplo de 3 e de 4
m.m.c.(3, 4) = 12
Sabe-se que os múltiplos comuns de 3 e 4 são múltiplos de 12, ou seja, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96.
Existem 96 lápis para agrupar.
2. 160 cadeiras agrupadas em conjuntos de 4 (mesas de 4 cadeiras) e 6 (mesas de 6 cadeiras)
2.1. 5 mesas de 4 cadeiras, significa 20 cadeiras em mesas de 4 cadeiras, sobrando 140 cadeiras (160 – 20)
140 não é múltiplo de 6, por isso não é possível que existam exatamente 5 mesas com 4 cadeiras.
2.2. Se forem 7 mesas de 4 cadeiras, significa existirem 28 cadeiras. Assim, 160 – 28 = 132, sobram 132.
132 : 6 = 22, por isso existem 22 mesas com 6 cadeiras.
2.3. Se forem 12 mesas de 6 cadeiras, utilizam-se nessas mesas 12 x 6 = 72 cadeiras, sobrando 88 cadeiras.
Assim, 88 : 4 = 22, ou seja existem 22 mesas com 4 cadeiras.
3. Comboios partem de 18 em 18 minutos e os autocarros de 24 em 24 minutos.
3.1. Determina-se o m.m.c. (18, 24) = 23 x 32 = 72 (vê os cálculos abaixo), ou seja, voltam a partir ao mesmo
tempo 72 minutos depois.
18 2
24 2
12 2
9 3
3 3
6 2
1
3 3
18 = 2 x 32
1
18 = 23 x 3
3.2. Às 10h30, significa 150 minutos depois das 8h00. Se reparares 2 x 72 = 144 minutos, o que significa que
voltam a partir juntos (o autocarro e o comboio) às 10h24. Assim, é fácil ver que a Sofia irá apanhar o
comboio, pois é o primeiro a sair da estação (18 minutos depois, às 10h42).
4. Existem 240 missangas vermelhas, 150 verdes e 105 amarelas. A solução da situação resolve-se através do
cálculo do m.d.c.(150, 105)
150 2
105 5
240 2
75 3
25 5
5 5
1
150 = 2 x 3 x 52
11 11
1
105 = 5 x 11
Sabendo que m.d.c.(150, 105) = 5
A Joana pode fazer no máximo 5 pulseiras.
240 : 5 = 48
150 : 5 = 30
105 : 5 = 11
Cada pulseira tem 48 missangas vermelhas, 30 verdes e 11 amarelas.
5. 500 amêndoas de chocolate e 280 de licor.
5.1. Não é possível, porque 35 não é divisor de 500
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
240 = 24 x 3 x 5
5.2. A determinação do número máximo de pacotes com a mesma composição equivale a determinar o
m.d.c.(500, 280).
500 2
280 2
250 2
140 2
125 5
70 2
25 5
35 5
5 5
7 7
1
1
280 = 22 x 53
280 = 23 x 5 x 7
O m.d.c.(500, 280) = 22 x 5 = 20.
O número máximo de pacotes que podem ser utilizados é 20, tendo cada uma 25 (500 : 20 = 25) amêndoas
de chocolate e 14 (280 : 20 = 14) amêndoas de licor.
TAREFA 5
1. Temperatura no 1.º momento: -3 ºC;
1.1. (+5) – (-3) = 5 + 3 = 8
1.2. (-3) + (+8)=(+5)
temperatura no 2.º momento: +5 ºC
2. As variações de temperatura nas seguintes situações são representadas pelas seguintes expressões:
2.1. (+7) – (+2) = 7 – 2 = 5
2.2. (-10) – (-6) = -10 + 6 = -4
2.3. (-5) – (+8) = -5 – 8 = -13
2.4. (+8) – (-1) = 8 + 1 = 9
3. A temperatura no 2.º momento é:
3.1. 7
3.2. -7
3.3. 9
3.4. -7
3.5. 29
3.6. -12
4. Receitas e despesas
4.1. A tabela completa:
2.ª feira
Receita
315
Despesa
-78
Balanço
237
3.ª feira
427
-125
302
4.ª feira
585
-640
-55
5.ª feira
378
-95
283
4.2. O balanço correspondeu a prejuízo na 4.ª feira e 6.ª feira
4.3. O lucro foi maior no Sábado
4.4. O lucro da semana é dado pela expressão:
237 + 302 + (-55) + 283 + (-84) + 633 = 1316
O lucro da semana foi de 1316 €
6.ª feira
453
-537
-84
Sábado
863
-230
633
TAREFA 6
1. A variação da temperatura se:
1.1. (+12) – (+5) = 12 – 5 = 7
1.2. (+7) – (-3) = 7 + 3 = 10
1.3. (-7) – (-11) = -7 + 11 = 4
1.4. (-12) – (-8) = -12 + 8 = -4
2. Simplificando, obtém-se:
2.1. 18 – 7 = 11
2.2. 11 - 18 = -7
2.3. 11 + 7 = 18
2.4. 9 + 7 = 16
2.5. 16 – 9 = 7
2.6. 16 – 7 = 9
2.7. -15 + 8 = -7
2.8. -7 + 15 = 8
2.9. -7 – 8 = -15
2.10. 9 + 5 = 14
3. Simplificando e resolvendo:
3.1. -18 – 7 + 4 = -25 + 4 = -21
3.2. 53 – 65 + 2 = 55 – 65 = -10 (adicionei os números com os mesmo sinal (positivos))
3.3. 37 + 12 – 45 = 49 – 45 = 4
3.4. -41 + 50 + 9 = -41 + 59 = 18
3.5. -11 – (-3 – 5) = -11 – (-8) = -11 + 8 = -3
3.6. 68 – (-4 + 58) = 68 – (+54) = 68 – 54 = 14
4. As tabelas completas:
-
-5
11
-25
30
3
8
-8
28
-27
-18
-13
-29
7
-48
14
19
3
39
-16
-17
-12
-28
8
-47
x
12
-3
-9
-21
15
y
-5
-8
4
-13
28
x-y y-x
17 -17
5
-5
-13 13
-8
8
-13 13
TAREFA 7
1. Quadrados mágicos
1.1. As somas pretendidas mostram que o quadrado é mágico:
3
3
3
0
-1
4
5
1
-3
-2
3
2
3
3
3
3
3
1.2. O quadrado completo:
-9
-9
-9
-9
-4
-5
0
1
-3
-7
-6
-1
-2
-9
-9
-9
-9
1.3. A tabela completa:
1
3
11
15
3
-3
-1
9
7
Nota: os números a negrito
podem ser outros, desde
que a soma dos 2 da 1.ª
linha seja 16 e os da 2.ª
linha seja 6.
2. Linguagem matemática
2.1. (-6) + (+11) (o simétrico de -11 é +11)
2.2. 18 – (+5) (o simétrico de -5 é +5)
2.3. (-1) + (-2) + (-3)
2.4. 5 - (-9)
3. Expressões numéricas:
3.1. -7 + 5 – 12 =
3.2. 13 – 15 + (-3) =
3.3. -31 – (27 – 35) =
3.4. –(-5 + 7) + 9 =
3.5. -29 – (-3 – 17) =
3.6. -34 + (47 – 71) =
4. Os quadrados ficam preenchidos da seguinte forma:
-11
9
-7
-5
3
-6
0
-1
8
-4
-2
-16 -4
-14 -17
6
-21 -10 -13 -1
1
-15 -32
2
2
-12
1
-11 -9
-2
13
12
-8
A soma de todos os números escritos nos quadrados brancos é dada pela expressão:
-6 – 1 – 4 – 16 – 14 – 21 – 13 +1 – 32 + 2 – 11 – 2 =-119 + 3 = -116
TAREFA 8
1. As igualdades completas:
1.1. 5 x 3 = 15
1.2. 4 x (-2) = 8
1.3. 3 x (-5) = -15
1.4. -6 x 5 = -30
1.5. 4 x (-2) = -8
1.6. (-5) x (-8) = 40
2. Tabela completa:
a
-2
6
-7
-9
-3
1
-12
b axb bxa
5
-10
-10
-3 -18
-18
-8
56
56
2
-18
-18
-4
12
12
-10 -10
-10
0
0
0
3. O esquema fica completo com os números:
A = -7 + 10 = 3
3; -9; -45; 180; -360
4. Em linguagem matemática, obtém-se:
4.1. (-4) x (-3) = 12
4.2. (-1) x (-2) x (-3) = (+2) x (-3) = -6
4.3. 7 x (-3 + 5) = 7 x (+2) = 14
4.4. (-3) x (11 – 9) = (-3) x (+2) = -6
4.5. (-5) x (7 – (-3)) = (-5) x (7 + 3) = (-5) x 10 = -50
5. Ao determinar o valor que representa cada uma das seguintes expressões, ter cuidado com a prioridade
das operações:
5.1. -6 x (-8 + 5) = -6 x (-3) = 18
5.2. 5 x (-4) + 4 x (-2) = -20 – 8 = -28
5.3. (-7 + 5) x (-2 – 3) = (-2) x (-5) = 10
5.4. 15 – 4 x 10 = 15 – 40 = -25
5.5. -14 + 3 x (5 – 9) = -14 + 3 x (-4) = -14 – 12 = -26
5.6. – 2 - 7 x (-3) = -2 + 21 = 19
5.7. 5 – (17 – 20) x (-2) = 5 – (-3) x (-2) = 5 – (+ 6) = 5 – 6 = -1
5.8. 1 + (-5 + 11) x (-3) = 1 + (+6) + (-3) = 1 + 6 – 3 = 7 – 3 = 4
5.9. -25 + 3 x (-4) + 30 = - 25 – 12 + 30 = -37 + 30 = -7
5.10.
-350 + 750 x (-5 + 5) = -350 + 750 x 0 = -350
5.11.
750 + 500 x (-2) = 750 – 1000 = -250
5.12.
35 x (-5) + 17 x 8 = -175 + 136 = -39
TAREFA 9
1. As igualdades ficam verdadeiras da seguinte forma:
1.1. 30:6 = 5 e 30:5 = 6
1.2. -28:(-4) = 7 e -28:7 = -4
1.3. -24:8 = -3 e -24:(-3) = 8
1.4. 54:(-6)=-9 e 54:(-9) = -6
2. A tabela completa:
a
-12
20
-18
48
-90
-250
b
3
-5
2
-12
-3
25
a:b
-4
-4
-9
-4
30
-10
(divisão de números com sinais diferentes = resultado com sinal negativo)
(divisão de números com sinais iguais = resultado com sinal positivo)
-
3. Comparando os valores das expressões numéricas:
3.1. (-48 : 6) : 2 = -8 : 2 = -4
-48 : (6 : 2) = -48 : 3 = -16
Os resultados mostram que a divisão não goza da propriedade associativa, ou seja, não é possível alterar
a ordem das operações.
3.2. (50:(-10)) : (-5) = -5:(-5) = 1
50 : [-10 : (-5)] = 50 : 2 = 25
A mesma conclusão que na primeira alínea.
3.3. -56 : 4 : (-2) = -14 : (-2) = 7
-56 : [4 : (-2)] = -56 : (-2) = 28
A mesma conclusão que na primeira alínea.
3.4. (-8 + 6) : (-2) = -2 : (-2) = 1
-8 : (-2) + 6 : (-2) = 4 + (-3) = 1
A divisão é distributiva relativamente à adição.
3.5. (12 – 15) : 3 = -3 : 3 = -1
12 : 3 – 15 : 3 = 4 – 5 = -1
A mesma conclusão que na anterior.
3.6. (-8 + 20 – 32) : (-4) = (12 – 32) : (-4) = -20 : (-4) = 5
-8 : (-4) + 20 : (-4) – 32 : (-4) = 2 – 5 + 8 = -3 + 8 = 5
A mesma conclusão que as anteriores.
3.7. 30 : (-3 + 5) = 30 : 2 = 15
30 : (-3) + 30 : 5 = -10 + 6 = -4
3.8. -24 : (6 – 4) = -24 : 2 = -12
-24 : 6 – 24 : (-4) = -4 + 6 = 2
A mesma conclusão que na alínea anterior
4. O preenchimento é o seguinte:
4.1. -36 : (-4) = 9
-36 : (-36) = 1
-36 : 6 = -6
4.2. 45 : (-9) = -5
45 : (-15) = -3
45 : 5 = 9
TAREFA 10
1. Preenchendo o esquema de acordo com os números fornecidos obtém-se os seguintes resultados:
-5
→ x2 → -10 → -3 → -13 → x3 → -39 → +9 → -30 → : (-6) →
5
1
→ x2 →
→ : (-6) →
-1
-7
→ x2 → -14 → -3 → -17 → x3 → -51 → +9 → -42 → : (-6) →
7
12
→ x2 →
2
24
→ -3 →
→ -3 →
-1
21
→ x3 →
→ x3 →
-3
63
→ +9 →
→ +9 →
6
72
→ : (-6) →
-12
2. Poderias colocar qualquer número à tua escolha, por exemplo 2, 5 ou 8:
2
→ x2 →
4
→ -3 →
1
→ x3 →
3
→ +9 →
12
→ : (-6) →
-2
5
→ x2 →
10
→ -3 →
7
→ x3 →
21
→ +9 →
30
→ : (-6) →
-5
8
→ x2 →
16
→ -3 →
13
→ x3 →
39
→ +9 →
48
→ : (-6) →
-8
3. O número obtido no ponto de chegada é o simétrico do número do ponto de partida.
4. Obtêm-se os seguintes números (simétricos) de acordo com a conjetura descrita na questão anterior:
4.1. 23
4.2. -35
TAREFA 11
1. Na forma de potência:
1.1. 24 (2 repete-se 4 vezes como fator na multiplicação)
1.2. (-3)5 (-3 repete-se 5 vezes como fator na multiplicação)
1.3. (-7)3
1.4. 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 37
1.5. 8 x 2 x 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25
1.6. 25 x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = (-5)6
2. Resulta:
2.1. (-3)2 = 9
2.2. (-5)3 = -125
2.3. (-1)15 = -1
2.4. (-1)40 = 1
2.5. 10 = 10000 (o número 1 seguido de 4 zeros)
2.6. (-10)2 = 100
2.7. 175 = 1
2.8. (-4)4 = 256
3. As expressões completas:
3.1. 23 x 24 = 27 (multiplicação de potências com a mesma base)
3.2. (-3)5 x 25 = (-6)5 (multiplicação de potências com o mesmo expoente)
3.3. 53 x 33 = 153 (multiplicação de potências com o mesmo expoente)
3.4. 75 : 73 = 78 (divisão de potências com a mesma base)
3.5. 127 : 122 = 125 (divisão de potências com a mesma base)
3.6. (-12)5 : (-3)5 = 365 (divisão de potências com o mesmo expoente)
3.7. (52)4 = 58 (porque no expoente tem de se obter 2 x ? = 8)
3.8. 83 = (23)3 = 29 (determinar o número de vezes para multiplicar o número 2 para obter 8)
3.9. 162 : 2? = (24)2 : 2? = 28 : 25 = 23 (primeiro escreve-se o 16 na forma de potência de base 2)
3.10.
16 = 24 (escrever 16 na forma de potência de base 2, determina-se o número de vezes necessárias
para multiplicar 2 para obter 16 – 4 vezes neste caso)
4. As afirmações tomam a forma:
4.1. 9 = 32
4.2. (-8) = (-2)3
4.3. (52)3 = 56
4.4. 53 x 25 = 53 x 52 = 55
4.5. 275 = (33)5 = 315
4.6. 433 : 262 = (22)33 : 262 = 266 : 262 = 266-62 = 24
5. Utilizando as regras das potências obtêm-se os seguintes resultados:
5.1. 55 : 53 – (-2)3 x (-2) = 52 – (-2)4 = 25 – 16 = 9
5.2. 92 : 34 = (32)2 : 34 = 34 : 34 = 1
5.3. (-2) =
5.4. (-3)2 + (-3)7 : (-3)5 = 9 + (-3)2 = 9 + 9 = 18
5.5. (-8)10 : (-4)10 : 43 = 210 : 43 = 210 : (22)3 = 210 : 26 = 210-6 = 24 = 16
5.6. 58 x 28 : 106 – 34 = 108 : 106 – 34 = 108-6 – 81 = 102 – 81 = 100 – 81 = 19
6. Simplificando os resultados:
6.1. (-3)5 : (-3)2 x (-3)4 = (-3)5 – 2 + 4 = (-3)7
6.2. 710 x (-4)10 : (-28)7 = (-28)10 x (-28)7 = (-28)10+7 = (-28)17
6.3. (65 : 25)3 : 313 = (35)3 : 313 = 315 : 313 = 315-13 = 32
6.4. (-5)7 x (-2)7 : 104 = 107 : 104 = 107 - 4 = 103
6.5. (7 – 32)8 : (-2)3 = (7 – 9)8 : (-2)3 = (-2)8 : (-2)3 = (-2)8 - 3 = (-2)5
6.6. [(-1)54 + 153]7 x 37 = (1 + 1)7 x 37 = 27 x 37 = (2 x 3)7 = 67
TAREFA 12
1. A Rita tem 100 peças quadradas com 1 cm de lado.
1.1. 9 peças obtém-se um quadrado com:
1.1.1. 3 cm de lado
1.1.2. 9 cm2
1.2. 5 cm, porque 52 = 25
1.3. 28 : 4 (n.º de lados) = 7 cm, ou seja foram utilizadas 7 x 7 = 49 peças
1.4. O lado do quadrado com:
1.4.1. 64 peças mede 8 cm
1.4.2. 81 cm2 significa que foram usadas 81 peças, ou seja, o lado mede 9 cm.
2. Sabendo que 122= 144, 132= 169 e 152= 225
2.1. 169 é um quadrado perfeito porque 132 = 169
2.2. 150 não é um quadrado perfeito porque não existe nenhum número inteiro que multiplicado por ele
próprio o produto seja 150.
2.3. Apenas o 196
2.4. O cálculo das expressões apresentadas:
2.4.1. 16 + 225 = 4 + 15 = 19
2.4.2. 9 x (144 - 64) = 3 x (12 – 8) = 3 x 4 = 12
2.4.3. 3 x100 - 25 + 2 x 49 = 3 x 10 – 25 + 2 x 7 = 30 – 25 + 14 = 5 + 14 = 19
2.4.4. 169 x 100 = 13 x 10 = 130
2.4.5. 225 − 200 + 14 = 25 + 14 = 5 + 14 = 19
2.4.6. 16 + 9 – (16 + 9) = 25 – (4 + 3) = 5 – 7 = -2
3. Sabendo que 70 = 2 x 5 x 7 e 72 = 23 x 32
3.1. Não existe nenhum quadrado perfeito maior do que 1 divisor de 70, uma vez que não existem
quadrados (números com expoente 2) na sua decomposição.
3.2. Os quadrados 22 = 4 e 32 = 9 são divisores de 72, uma vez que fazem parte da sua decomposição (72 = 2 x
22 x 32).
4. Sabendo que a área total do terreno é 261 m, o quadrado maior tem 144 m e o lado do quadrado menor
mede 6 m de comprimento.
4.1. A área do quadrado menor é 6 x 6 = 36 m2.
4.2. O lado do quadrado menor mede 6 m.
O lado do quadrado maior mede 144 = 12 m.
A área do quadrado azul = Área total do terreno – área do quadrado menor – área do quadrado maior
A quadrado azul = 261 – 144 – 36 = 81 m2.
Assim o lado do quadrado azul mede 81 = 9 m.
O perímetro do terreno é dado pela expressão que corresponde à soma do comprimento de todos os
lados no sentido dos ponteiros do relógio, começando pelo lado do quadrado maior:
12 + 12 + (12 – 9) + 9 + 9 + 9 + 6 + 6 + 6 + (12 – 6) = 24 + 3 + 27 + 18 + 6 = 78 m.
O perímetro do terreno é 78 m.
TAREFA 13
1. Construiu-se um quadrado com 196 peças quadradas cujo lado mede 3 cm de comprimento.
1.1. Sabe-se que existem 196 = 14 peças por linha ou coluna, assim cada lado do quadrado mede 14 x 3 = 42
cm.
O perímetro do quadrado construído é 4 x 42 = 168 cm.
1.2. Como cada peça contém 3 x 3 = 9 cm2 (área), uma vez que cada uma é um quadrado com 3 cm de lado e
também sabemos que 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34.
Por fim pode-se escrever 81 x 9 = 34 x 32 = 36.
2. 128 peças por hora, em 8 horas diárias cada uma vendida a 4€.
128 = 27 na forma de potência de base 2.
2.1. 128 x 8 = 27 x 8 = 27 x 23 = 27 + 3 = 210 = 1024
2.2. 128 x 8 x 2 x 4 = 27 x 23x 2 x 22 = 27 + 3 + 1 + 2 = 213
3. Área do quadrado = 256 m2.
256 = 16 = 24.
Repara que 256 = 28. Assim quando se determina a raiz quadrada, o expoente reduz-se a metade do valor.
4. As capicuas de três algarismos que são quadrados perfeitos, por tentativas conclui-se que são os números:
121 (=112), 484 (=222) e 676 (=262)
5. O lado do quadrado C = lado do quadrado B – lado do quadrado A = 17 – 11 = 6 cm.
Assim, a área do quadrado C é 6 x 6 = 36 cm2.
TAREFA 14
1. Sobre o cubo da figura:
1.1. Se a aresta = 2
1.1.1.
Área de cada face do cubo = 22 = 2x2 = 4
1.1.2.
Volume do cubo = 23 = 2x2x2 = 8
1.2. Se a área da face = 9
1.2.1.
Aresta do cubo = 9 = 3
1.2.2.
Volume do cubo = 33 = 3x3x3 = 27
1.3. Se o volume do cubo = 64
1.3.1.
Aresta do cubo = 64 = 4
1.3.2.
Área de cada face do cubo = 42 = 4x4 = 16
2. Sabendo que 43 = 64, 53 = 125 e 103 = 1000
2.1. 64 é um cubo perfeito, porque 64 = 4 (número inteiro)
2.2. 115 não é um cubo perfeito porque a sua raiz cubica não é número inteiro. Observa que:
64 < 115 < 125
64 < 115 < 125
4 < 115 < 5
2.3. Os números de três algarismos que são cubos perfeitos são:
53 = 125, 63 = 216 , 73 = 343 , 83 = 512, 93 = 729
3. Calculando as respetivas raízes, obtém-se:
3.1. 1 - 8 x 9 = 1 – 2 x 3 = 1 – 6 = -5
3.2. 343 – 27 = 7 – 3 = 4
3.3. 11 + 7 = 11 + 7 = 18
=
+ 4. Pela figura sabe-se que = 4 = 2 cm
= 216 = 6 cm
= 6 + 2 = 8 cm
5. Sabendo que o volume da caixa tem 512 cm3
5.1. O diâmetro do círculo = comprimento da aresta = 512 = 8 cm
Raio = = 4 cm
5.2. A área do quadrado laranja corresponde a metade da área da face.
área da face = 82 = 8x8 = 64 cm2
Área de cada quadrado laranja =
= 32 cm2
SEQUÊNCIAS – TAREFA 1
1. Observa a sequência e determina a regra de formação:
= 3, por isso obtém-se: 8 → 24 → 72 → 216 → 648 → 1944 (multiplica-se cada termo anterior por 3)
5 → -10 → 20 → -40 → 80 → -160
:
→
= x = = (multiplica-se cada termo por para obter o termo seguinte)
→ → → →
= 4, assim obtém-se a sequência: 0,25 → 1 → 4 → 16 → 64 → 256
2. Mais uma vez observa a sequência e determina a regra de formação:
-12 → -7 → -2 → 3 → 8 → 13 (adiciona-se ao termo anterior 5, porque – 7 – (-12) = -7 +12 = 5)
1 → 8 → 15 → 23 → 31 → 39 (adiciona-se 7 ao termo anterior)
→
→ → → → (adiciona-se ao termo anterior)
15 → 11 → 7 → 3 → -1 → -5 (obtém-se cada termo adicionando -4 a cada termo)
SEQUÊNCIAS – TAREFA 2
1. Potências de base 4:
1.1. As cinco primeiras potências: 4, 16, 64, 256 e 1024
1.2. O número 57273 não pode ser representado na forma de potência de base 4, uma vez que o algarismo
das unidades não é 4 ou 6.
1.3. O algarismo das unidades das potências apresentadas é:
1.3.1. A divisão do expoente por dois, 57 : 2 dá resto 1, o que significa que o algarismo termina em 4.
1.3.2. O expoente 28 é múltiplo de 2, por essa razão, o algarismo das unidades da potência é 6.
1.4. Se o expoente for ímpar, a potência termina no algarismo 4, caso contrário (quando é par) termina no
algarismo 6.
2. Potências de base 3:
2.1. Ao completar a tabela:
Expoente n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
…
Algarismo das
3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
7
1
…
unidades
Repara que a sequências dos algarismos repete-se de 4 em 4: 3, 9, 7, 1
2.2. Se o expoente for múltiplo de 4, o algarismo das unidades é 1.
2.3. Procedendo da mesma forma que o Rui, pode-se determinar o algarismo das unidades das potências
apresentadas:
2.3.1. O resultado da divisão por 4, sabe-se que 47 = 11x4+ 3, o terceiro algarismo na sequência é 7
2.3.2. O resultado da divisão por 4, sabe-se que 30 = 7x4+ 2, o segundo algarismo na sequência é 9
2.3.3. O resultado da divisão por 4, sabe-se que 61 = 15x4+ 1, o primeiro algarismo na sequência é 3
2.3.4. O resultado da divisão por 4, sabe-se que 80 = 20x4+ 0, o quarto algarismo na sequência é 1
SEQUÊNCIAS – TAREFA 3
1. Conhecendo a sequência 5, 7, 1, 9, 5, 7, 1, 9, 5, 7, 1 , 9 observa-se que os algarismos 5, 7, 1, 9 se repetem
(sequência de 4 algarismos):
1.1. O termo de ordem 75: 75 = 18x4 + 3 (resto 3), assim o termo de ordem 75 é 1 (3.º algarismo na
sequência de 4 algarismos)
1.2. 25.º termo: 25 = 6x4+1, assim o termo é o 5 (1.º algarismo da sequência)
100º termo: 100 = 25x4, assim o algarismo é o 9.
A sua soma é: 5 + 9 = 14
1.3. A soma de 4 termos consecutivos da sequência é: 5 + 7 + 1 + 9 = 22
1.4. Sabe-se que 1250 = 4 x 312 + 21 e 2011 = 502 x 4 +3
Os termos de ordem 1250 (resto 1 na divisão por 4) e 2011 (resto 3), são respetivamente 5 e 1
2. Os termos em falta são:
2.1. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 , …
2.2. ,
,
, , ,
,…
2.3. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …
2.4. 1 , , 2 ,
, 3,
, 4, …
3. Conhecendo o termo geral da sequência 3n+2:
3.1. 1.º termo: n=1, 3x1+2 = 3 + 2 = 5
2.º termo: n=2, 3x2+2 = 6 + 2 = 8
3.º termo: n=3, 3x3+2 = 9 + 2 = 11
3.2. O número 51 não é termo da sequência, uma vez que 51 – 2 = 49, e 49 não é múltiplo de 3.
3.3. 68 é termo da sequência uma vez que: 68 – 2 = 66, e 66 é múltiplo de 3.
4. Conhecendo o termo geral da sequência
!
×
4.1. 1.º termo: n = 1, substituindo no termo geral obtém-se: ! = 2.º termo: n = 2, substituindo no termo geral obtém-se:
×
!
= =1
×
3.º termo: n = 3, substituindo no termo geral obtém-se: ! = ×
4.2. 12.º termo: n = 12, substituindo no termo geral obtém-se: ! = =
×
4.3. 6.º termo: n = 6, substituindo no termo geral obtém-se: ! =
=
5. A tabela completa:
Ordem do termo
…
1
2
3
4
5
N (termo
6
geral)
3
6
9
12
15
18
…
3n
4
7
12
19
28
39
…
N2+3
1
4
5
2
1
9
7
3
1
16
9
4
1
25
11
5
1
36
13
6
…
1
3
…
1
"
2" + 1
"
SEQUÊNCIAS – TAREFA 4 (Sequências com flores)
1. Observando a sequência:
1.1. São utilizadas 12 flores (4 tipos de flores).
1.2. 5 flores são margaridas brancas.
1.3. O tipo de flor que ocupa a posição:
1.3.1.40, é a Petúnia, porque 40 é múltiplo de 5.
1.3.2.73, é a margarida branca, porque o resto da divisão de 73 por 5 é 3 (3.ª flor)
1.3.3.114, é a margarida roxa, porque o resto da divisão de 114 por 5 é 4 (4.ª flor)
1.4. 62.ª flor corresponde a uma margarida branca (a 1.ª na sequência), porque o resto da divisão de 62 por 5 é
2. Conclui-se que não retira as flores de todos os tipos, apenas a margarida branca, a margarida roxa e a
petúnia.
2. Na nova sequência observa-se que:
2.1. Foram utilizadas 12 flores, (3 tipos flores)
2.2. Para fazer o ramo:
2.2.1.A Helena fez o ramo com 6 flores
2.2.2.O ramo tem flores dos 3 tipos, uma vez que 3 é número ímpar e a Helena retirou as flores que
ocupavam a ordem par. Se observares, a ordem 2 é ocupada por uma flor roxa, ordem 4, por uma flor
laranja e ordem 6 por uma flor branca.
2.2.3.O ramo tem 2 petúnias, as que ocupam a ordem 6 e 12.
SEQUÊNCIAS – TAREFA 5 (Sequências com estrelas)
1. Conhecendo o número de estrelas de cada figura: 4, 9, 14, 19, 24, …
2. 43 – 1 = 42, não é múltiplo de 5
54 – 1 = 53, não é múltiplo de 5
75 – 1 = 74, não é múltiplo de 5
86 – 1 = 85, é múltiplo de 5
Assim, 86 é o número que corresponde ao número de estrelas de uma figura da sequência.
3. 5n -1
4. 144 estrelas: 144+1=145, 145:5=29. Ordem 29.
5. 352 estrelas: 352 + 1 = 353 (não é múltiplo de 5)
749 estrelas: 749 + 1 = 750 (é múltiplo de 5).
É possível construir uma figura com 749 estrelas.
6. O algarismo das unidades, alterna entre o 4 e o 9.
7. O número de estrelas dos termos de ordem ímpar têm o algarismo das unidades 4 e os termos de ordem
par, apresentam o algarismo das unidades 9.
8. O termo de ordem 358, tem algarismo das unidades 9.
O termo de ordem 2011, tem o algarismo das unidades 4.
9. Com 200 estrelas é possível construir 50 figuras. 200:5=50.
SEQUÊNCIAS – TAREFA 6 (Tabelas numéricas)
1. O termo geral da sequência numérica:
1.1. O termo geral da sequência numérica é:
1.1.1. 5.ª coluna: 5n (múltiplos de 5)
1.1.2. 4.ª coluna: 5n – 1
1.1.3. 1.ª coluna: 5n – 4
1.2. Observa-se que a 5.ª coluna apesenta a sequência de múltiplos de 5, a 4.ª coluna, os mesmo
termos subtraindo 1, na 3.ª coluna, subtraindo 2 aos múltiplos de 5, na 2.ª coluna, subtraindo 3
aos múltiplos de 5 e na 1.ª coluna, subtraindo 4 aos múltiplos de 5.
1.2.1. 328 na divisão por 5, obtém-se resto 3, ou seja, obtém-se, subtraindo 2 a um múltiplo de 5,
neste caso, a 330 – 2 = 328, o que corresponde à 3.ª coluna.
1.2.2. 2010 na divisão por 5, obtém-se resto zero, ou seja, é um múltiplo de 5, o que corresponde
à 5.ª coluna.
1.2.3. 7834 na divisão por 5, obtém-se resto 4, ou seja, obtém-se, subtraindo 1 a um múltiplo de
5, neste caso, a 7835 – 1 = 7834, o que corresponde à 4.ª coluna.
1.3. O 1º número da 35.ª linha é 35x5 – 4 = 171
2. Ao observar a tabela da Ana, identifica-se a sequência dos múltiplos de 4 na 4.ª coluna. Nas colunas
anteriores a sequências de números corresponde à subtração de 1, 2 ou 3 aos múltiplos de 4.
2.1. A sequência de números que corresponde a uma linha da tabela da Ana é a II.
A forma de procurar a sequência é identificar um múltiplo de 4 na 4.ª coluna, o 152.
2.2. A expressão 4n – 1 corresponde à 3.ª coluna.
2.3. Verifica-se dividindo 177 por 4, que 177 = 180 – 3 o que faz o que coloca o número 177 na 1.ª
coluna. Assim, 177 + 178 + 179 + 180 = 714.
SEQUÊNCIAS – TAREFA 7
1. A última fila da 5.ª figura tem 9 octógonos e 10 quadrados.
A última fila da 8.ª figura tem 15 octógonos e 16 quadrados.
2. O termo geral é:
2.1. 2n – 1 representa o número de octógonos da última fila da figura de ordem n
2.2. 2n representa o número de quadrados da última fila da figura de ordem n.
2.3. n2 é o número total de octógonos da figura de ordem n.
3. Na 7.ª figura:
3.1. 7 filas
3.2. A última fila tem 13 octógonos
3.3. 72 = 49 octógonos
4. A expressão (A) (n +1)2
FUNÇÕES – TAREFA 1
1. A tabela completa:
2. O
3. Corresponde ao ponto
4. Tenho de identificar a distância à origem
5. Os polígonos podem ser identificados.