COLÉGIO JOÃO PAULO I
INSTRUÇÕES
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Verifique se esta prova contém 25 questões. Caso contrário solicite outra ao fiscal. Não
serão aceitas reclamações posteriores.
Não será permitido uso de qualquer material de consulta, calculadora e objetos eletrônicos.
Não será permitida, sob hipótese alguma, a anotação de seu gabarito.
É obrigatória a apresentação de cálculos e resposta com caneta azul ou preta. Cálculos e
resposta a lápis não serão validados.
6ª OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA
09/09/2011
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A
B
C
D
E
___________________________________________________
Nome do Aluno
_______________________________________
Escola
DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. PROIBIDA A REPRODUÇÃO, AINDA QUE PARCIAL, SEM AUTORIZAÇÃO.
1
01. Quanto pesa? – A balança representada na figura abaixo está em equilíbrio com bolas e
saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os
saquinhos também.
O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de
(A) 1 bola.
(B) 2 bolas.
(C) 3 bolas.
(D) 5 bolas.
(E) 6 bolas.
Resolução:
Pela figura, temos que
5 sacos + 4 bolas = 2 sacos + 10 bolas
5 sacos – 2 sacos = 10 bolas – 4 bolas
3 sacos = 6 bolas
1 saco = 2 bolas
isolando as incógnitas
dividindo ambos os lados por “3”
02. Qual é o volume? – Três frascos, todos com capacidade igual a um litro, contêm
quantidades diferentes de um mesmo líquido, conforme ilustração. As frações que
melhor expressam as quantidades de líquidos contidos, aproximadamente, nos frascos
A, B e C, nessa ordem, são
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
2
(E)
.
Resolução:
Pelo figura,
•
O líquido contido no frasco A maior que a metade, então a fração deve ser maior que
0,5 ou
1
.
2
1
.
2
•
O líquido conido no frasco B é a metade, então a fração é 0,5 ou
•
O líquido contido no frasco A menor que a metade, então a fração deve ser menor
que 0,5 ou
1
.
2
Analisando as alternativas,
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
3
4
2
≅ 0,42 , ≅ 0,44 e = 0,4
7
9
5
1
2
1
= 0,6 , = 0,5 e = 0,25
2
3
4
2
2
4
= 0,6 , = 0,6 e = 0,5
4
3
6
2
4
3
= 0,6 , ≅ 0,57 e = 0,75
3
7
4
4
3
2
= 1 , = 0,8 e = 0,6
5
3
3
A alternativa que melhor representa o volume dos frascos é a (B)
03. A professora de Ângela quer dividir a turma em grupos. Sabendo que a turma pode ser
divida em grupos de 5 ou em grupos de 4, de maneira que sobra um aluno na segunda
opção, o número de alunos que a turma pode ter é
(A) 13.
(B) 32.
(C) 20.
(D) 25.
(E) 30.
Resolução:
“x” alunos tem essa turma. Pelo enunciado, x é um número divisível por 5 e x é um número
que deixa resto 1 na divisão por 4.
3
Analisando as alternativas,
(A) 13 não é divisível por 5
(B) 32 não é divisível por 5
(C) 20 não deixa resto 1 na divisão por 4
(D) é divisível por 5 e o resto da divisão por 4 é 1
(E) 20 não deixa resto 1 na divisão por 4
04. Na figura a seguir, está indicada uma seqüência de operações a serem efetuadas com o
número obtido na operação anterior.
Se o resultado foi 44, então o valor positivo de x que começou o processo é um número
(A) Primo.
(B) Múltiplo de 16.
(C) Divisor de 16.
(D) Quadrado perfeito.
(E) Ímpar.
Resolução:
Para encontrar o número x inicial, basta fazer a operação inversa (de baixo para cima).
4
resultado = 44
some 5 unidades = 44 + 5 = 49
extraia a raiz quadrada = 49 = 7
subtraia 3 unidades = 7 - 3 = 4
multiplique por 2 = 4 . 2 = 8
8 é divisor de 16
05. A reprodução de uma espécie de bactéria é tal que a população dobra a cada hora.
Sabendo que a população inicial era de 1 bactéria, após 4h o número de bactérias será
de
(A) 8.
(B) 10.
(C) 12.
(D) 16.
(E) 32.
Resolução:
A cada hora a população dobra, então:
Agora há 1 bactéria
Em 1h haverão 2 bactérias
Em 2h haverão 4 bactérias
Em 3h haverão 8 bactérias
Em 4h haverão 16 bactérias
06. Os lados do retângulo abaixo foram divididos em partes congruentes pelos pontos
destacados. Se a área hachurada é de 88 m², então a área desse retângulo é de
(A) 192 m².
(B) 200 m².
(C) 216 m².
(D) 256 m².
(E) 400 m².
5
Resolução:
A área hachurada é a área do retângulo menos as áreas dos dois triângulos.
Área do retângulo = base . altura = 4x . 3x = 12x²
Área triângulo 1 = cateto . cateto / 2 = 3x . 3x / 2 = 9x²/2
Área triângulo 2 = cateto . cateto / 2 = x . 4x / 2 = 4x²/2
88 = 12x² – 9x²/2 – 4x²/2
176 = 24x² - 9x² - 4x²
176 = 11x²
16 = x²
x=4
Área do retângulo = 12x² = 12 . 4² = 192 m²
07. Num certo país com 14 milhões de habitantes, 0,15% da população contraiu gripe. O
número de habitantes que não contraiu a gripe é
(A) 13 979 000.
(B) 1 397 900.
(C) 139 790.
(D) 13 979.
(E) 139 790 000.
Resolução:
Aplicando a regra de três
14000000 → 100%

x
→ 99,85%

100 . x = 14 000 000 . 99,85
x = 13 979 000
08. Sabendo que r//s, o valor em graus, do ângulo x na figura abaixo é
6
(A) 45°.
(B) 35°.
(C) 55°.
(D) 65°.
(E) 75°.
Resolução:
Aplicando a regra dos ângulos alternos internos, verifica-se 35° no ângulo formado pela
transversal com a reta r.
A soma dos três ângulos do triângulo vale 180°, então
x + 90° + 35° = 180°
x + 125° = 180°
x = 55°
09. Um eletricista quer consertar um poste de luz onde a lâmpada está a seis metros de
altura. Se a escada do eletricista tem 10 metros de comprimento então a distância da
base do poste até a base da escada, de forma que o topo da escada fique na altura da
lâmpada, deve ser de
(A) 3m.
(B) 6m.
(C) 12m.
(D) 8m.
(E) 4m.
7
Resolução:
Aplicando Pitágoras,
10² = 6² + x²
100 = 36 + x²
64 = x²
x=8
10. A fábrica JP produz e vende os produtos A, B e C. A tabela abaixo indica a produção e o
preço de venda desses produtos durante dois anos desse mês. Todos os produtos
fabricados foram vendidos.
É correto afirmar que
(A) Com a venda do produto A em maio de 2011, arrecadou-se R$ 1.500,00.
(B) A arrecadação, em 2011, com a venda do produto B foi maior em junho do que em
maio.
(C) A arrecadação, em 2011, com a venda do produto C foi maior em junho do que em
maio.
(D) A arrecadação, em 2011, com a venda do produto A foi menor em maio do que em
junho.
(E) A produção de todos os produtos foi maior em junho do que maio.
Resolução:
A arrecadação do produto B em junho foi: 100000 unidades a R$ 12 = R$ 1200000
A arrecadação do produto B em maio foi: 80000 unidades a R$ 13 = R$ 1040000
Portanto a arrecadação em junho foi maior do qua a de maio, conforme diz a alterantiva (B)
11. O número natural 123450 não é múltiplo de
8
(A) 10.
(B) 9.
(C) 6.
(D) 5.
(E) 4.
Resolução:
123450 é múltiplo de 10, pois o algarismo da unidade é 0
123450 é múltiplo de 9, pois a soma de todos os algarismo é um número múltiplo de 9
123450 é múltiplo de 6, pois é divisível por 2 e por 3
123450 é múltiplo de 5, pois o algarismo da unidade é 0 ou 5
123450 não é múltiplo de 4, pois a dezena final não é múltiplo de 4
12. A soma de três números naturais consecutivos é 189. A raiz quadrada do maior desses
números é
(A) 5.
(B) 6.
(C) 7.
(D) 8.
(E) 9.
Resolução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 189
3x + 3 = 189
3x = 186
x = 62
Os três números são 62, 63 e 64. A raiz quadrada do maior é 8.
13. Um número de 3 algarismos é divisível por 3. O algarismo das unidades é 2 e o das
centenas é 6. O algarismo das dezenas pode ser
(A) 0.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 9.
Resolução:
Seja o número de três algarismos XYZ, onde Z = 2 e X = 6
9
Como 6Y2 é divisível por 3, então a soma dos algarismos é divisível por 3.
6 + Y + 2 é divisível por 3
Y + 8 é divisível por 3
então Y pode ser 1, 4 ou 7
14. Certa máquina é capaz de produzir 8 réguas em cada minuto. A quantidade de réguas
que esta máquina consegue produzir em 15 minutos é
(A) 104.
(B) 110.
(C) 112.
(D) 128.
(E) 120.
Resolução:
8 . 15 = 120
15. Em uma prova de seleção, contendo 50 questões, sabe-se que todo candidato ganha 5
pontos por questão correta e perde 3 por questão errada. O número de questões
corretas de um candidato que obteve 130 pontos é
(A) 15.
(B) 35.
(C) 40.
(D) 45.
(E) 50.
Resolução:
Sendo A o número de acertos e E o número de erros
A + E = 50

5A − 3E = 130
A = 50 – E
5A – 3E = 130
5(50 – E) – 3E = 130
250 – 5E – 3E = 130
250 – 130 = 8E
120 = 8E
15 = E
10
como A = 50 – E
A = 50 – 15
A = 35
16. Um homem viveu
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
de sua vida como solteiro, viveu
de sua vida casado e os últimos
25 anos viúvo. Ele morreu com:
48 anos.
54 anos.
60 anos.
72 anos.
84 anos.
Resolução:
x x
+ + 25 = x
3 4
4x + 3x + 300 12x
=
12
12
7 x + 300 = 12x
300 = 5x
60 = x
17. A figura abaixo mostra um tabuleiro convencional de xadrez.
A área desse tabuleiro é 64 cm². Pedrinho retirou todas as peças (figura 1) e pintou um
quadrilátero (figura 2) onde três de seus vértices pertencem ao lado do tabuleiro e um
vértice é o ponto de encontro de quatro dos quadradinhos que formam o tabuleiro conforme
sugere a figura a seguir.
11
A área do quadrilátero é
(A) 32 cm².
(B) 28 cm².
(C) 24 cm².
(D) 20 cm².
(E) 16 cm².
Resolução:
A área do quadrilátero é igual a área do quadrado subtraindo as áreas dos três triângulos
8² −
8.2 4.8 4.8
−
−
= 64 − 8 − 16 − 16 = 24
2
2
2
1
18. Simplificando a expressão 1 −
, obtém-se
1
1+
1−
1
1+
1
2
(A) 0,75.
(B) 0,6.
(C) 0,5.
(D) 0,25.
(E) 0,1.
Resolução:
12
1
1−
1
1+
1+
1
1−
1
=1 −
1+
1
2
1
1−
1
=1 −
1
3
2
1+
=1 −
1
1−
19. O valor numérico da expressão
2
3
1
1+
1
1
3
=1 −
1 3
1
= 1 − = = 0,75
4 4
1+ 3
é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Resolução:
28 +28 = 28(1 + 1) = 28 . 21 = 28+1 = 29
20. O movimento que uma bola faz ao ser chutada pode ser descrito pela função
, onde
é a altura da bola em metros e
o tempo decorrido em
segundos. Assim, podemos afirmar que a altura máxima atingida pela bola é de
(A) 4m aos 2s.
(B) 4m aos 2,5s.
(C) 3m aos 3s.
(D) 3m aos 4s.
(E) 3m aos 2s.
Resolução:
Y v (Y do vértice) é a altura máxima
X v (X do vértice) é o tempo em que a bola atinge a altura máxima
b ² − 4ac
4² − 4.(−1).0 − 16
=−
=
=4
4a
4.(−1)
−4
b
4
−4
Xv = −
=−
=
=2
2a
2(−1) − 2
Yv = −
13
21. O quadrado mágico é um jogo em que devemos completar os espaços no quadrado de
maneira que a soma dos números em cada diagonal, linha e coluna é constante. Além
disso, não é permitida a repetição de números na diagonal, linha ou coluna. Assim, os
valores de A, B, C, D e E no quadrado mágico abaixo são, respectivamente,
(A) 9, 2, 3, 7 e 1.
(B) 3, 2, 7, 1 e 9.
(C) 7, 3, 1, 9 e 2.
(D) 9, 7, 1, 3 e 2.
(E) 9, 2, 3, 7 e 4.
Resolução:
4+5+6=4+C+8
15 = C + 12
C=3
4+5+6=8+E+6
15 = E + 14
E=1
4+5+6=A+5+E
15 = A + 5 + 1
15 = A + 6
A=9
4+5+6=4+A+B
15 = 4 + 9 + B
15 = 13 + B
B=2
4+5+6=B+D+6
15 = 2 + D + 6
15 = D + 8
D=7
22. Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo
variável de R$ 1,50 por unidade produzida. O custo total de produção de 400 peças é de
(A) R$600,00.
(B) R$616,00.
14
(C) R$400,00.
(D) R$401,50.
(E) R$416,00.
Resolução:
Custo = 1,5x + 16
Custo = 1,5 . 400 + 16
Custo = 616,00
23. A empresa ótica JP possui a seguinte logomarca.
Essa logomarca é feita a partir de um quadrado ABCD cujo lado mede 4 cm (passo 1).
Traça um arco de circunferência BAD de raio 4 cm (passo 2). Pinta-se a parte exterior ao
arco e interior ao quadrado (passo 3). Analogamente repete-se essa operação para pintar a
parte oposta (passo 4).
A área pintada dessa logomarca é igual a
(A) 8(4 - π ) cm².
(B) 8(2 - π ) cm².
(C) 4(4 - π ) cm².
(D) 4(2 - π ) cm².
(E) 8 cm².
Resolução:
A área hachurada é fazer a área do quadrado e retirar um quarto do círculo e duplicar esse
resultado.
15
círculo 

2. quadrado −

4 

π.4² 

2. 4² −

4 

16π. 

2.16 −

4 

2.(16 − 4π)
8(4 − π)
24. O quociente de 5050 por 2525 é igual a
(A) 2525;
(B) 1025;
(C) 10025;
(D) 225;
(E) 2 x 2525.
Resolução:
50 50 50 25.50 25 2 25.25 25.50 25
=
=
= 2 25.50 25 = 100 25
25
25
25
25
25
25
25. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o
número de filhos. O número de filhos de Pedro é
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
(E) 6.
Resolução:
3x² = 63 – 12x
3x² + 12x – 63 = 0
x² + 4x – 21 = 0
Resolvendo a equação por Bháskara
x’ = -7 e x” = 3
como não há como ter -7 filhos, então o número de filhos é 3
16
17