Sindicato dos Servidores Públicos
Municipais de São Vicente
Material de Apoio de Matemática Básica
Caio Ricardo Faiad da Silva
Setembro/11-Novembro/11
Apresentação
Este material foi preparado com a intenção de ajudá-lo a compreender
ideias e conceitos importantes da Matemática que costumam ser cobrados em
Concursos Públicos de nível Fundamental e Médio.
Ele foi escrito numa linguagem simples e informal, cuja intenção é levá-lo
a compreensão dos assuntos básicos da Matemática, da maneira mais clara
possível.
A maior parte dos textos explicativos e dos exercícios foi retirada da
internet e por não ter sido revisada, está proibida a reprodução sem prévia
autorização.
Nossa expectativa é que esse material torne útil e interessante o seu
Curso de Matemática e que seja importante no sucesso do seu Concurso Público.
Bons Estudos!!
Conjunto
Matematicamente falando, um conjunto é uma coleção de elementos.
Elemento é cada objeto do conjunto. Como exemplo pode-se citar a padaria onde
cada tipo de pão é um elemento do conjunto padaria.
Notações
P = {média, broa, cará, baguete}
ou
Observe que para fazer parte de um conjunto os elementos devem possuir
uma característica comum.
Pense agora num mercado. Se você for comprar carne você se dirige ao
setor de carnes (açougue), se for comprar pão ao setor de pães (padaria), se for
comprar frios ao setor de frios, e assim por diante. Dizemos então que o mercado é
um conjunto e que a padaria, o açougue e o setor de frios são subconjuntos. Em
outras palavras subconjuntos são conjuntos dentro de outro conjunto.
Como os subconjuntos H, P e A estão contidos no conjunto M os
elementos desses subconjuntos pertencem ao conjunto M. Pode-se observar
também no diagrama acima que maçã, pêra e abacaxi pertencem ao subconjunto H,
mas não pertence ao subconjunto A, ou seja, os elementos do subconjunto H não
existem no subconjunto A.
Os números também são descritos em forma de conjuntos de acordo com
suas características.
1. Números Naturais (N): zero e números positivos
N = {0, 1, 2, 3, ...}
2. Números Inteiros (Z): números positivos, negativos e o zero
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
Obs: Todo número natural é inteiro, logo N é subconjunto de Z
3. Números Racionais (Q): números que que podem ser escritos na
forma de fração.
Números decimais exatos são racionais, pois
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10
Números decimais periódicos são racionais, pois
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
2,3333 ...= 21/9
0,2111 ...= 19/90
Todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração, logo Z é
subconjunto de Q
4. Números Irracionais (I): números que não podem ser expressos na
forma de fração a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
São compostos por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo:
5. Números Reais (R): união dos números racionais com os irracionais
Operações
1) Adição e Subtração
Adição (+) combina dois números em um único, a soma. Já a subtração
(-) é uma operação matemática que indica quanto é um valor numérico se dele for
removido outro valor numérico.
Lembre-se que subtração é a operação inversa da adição: Se 15 +10 = 25
então 25 – 15 =10 e 25 - 10 = 15
2) Multiplicação e Divisão
Multiplicação (x ou . ou *) é uma forma simples de adicionar uma
quantidade finita de números iguais. Por exemplo:
4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Importante: qualquer número multiplicado por zero é zero  358x0 = 0
Divisão (÷ ou : ou /) é a operação inversa da multiplicação. O ato de dividir
por um elemento só quando esse elemento for diferente de zero. Em outras
palavras, na divisão 4 : 0 não existe um valor real.
3) Potenciação e Radiciação
Potenciação é uma forma simples de multiplicar uma quantidade finita de
números iguais. Por exemplo:
43 = 4 x 4 x 4 = 64
Nomenclatura
Radiciação é a operação oposta a potenciação. Exemplo:
Nomenclatura
Para um número real a, a expressão
x que verifica xn = a. Em, exemplo prático
representa o único número real
= 2 porque 23 = 2 x 2 x 2 = 8.
Propriedades da Potenciação e Radiciação
Fatoração Numérica
Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é,
escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração
utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com
as regras de divisibilidade em razão do termo a ser fatorado. Números primos são
aqueles que podem ser divididos somente por um e por ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 23,...).
Critérios de divisibilidade mais importantes
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja,
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu
último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado
com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 se a soma de seus
algarismos é divisível por 3. Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1 + 8 = 9 que é
divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5 + 7 + 6 = 18 que é divisível por 3, mas
134 não é divisível por 3, pois 1 + 3 + 4 = 8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se o seu último
algarismo é 0 (zero) ou 5. Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o
algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero)
nem 5.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3
ao mesmo tempo. Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus
algarismos: 7 + 5 + 6 = 18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par
e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8 + 7 + 2 = 17
não é divisível por 3.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 se a soma dos seus
algarismos é um número divisível por 9. Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1 + 9
+ 3 + 5 = 18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5 + 3 + 8 + 1
= 17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 se termina com o
algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 é divisível por 10, pois termina em 0 (zero), mas
6342 não termina em 0 (zero).
Observe a decomposição em fatores primos dos números a seguir:
24 = 2 x 2 x 2 x 3
10 = 2 x 5
52 = 2 x 2 x 13
600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5
Forma prática de fatoração
O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna
da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo
primo os resultados deverão ser colocados na coluna da direita. As divisões deverão
ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é reduzi-lo ao
número 1. Exemplos:
Quando a fatoração é realizada simultaneamente entre dois ou mais
números obtêm-se o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Exemplo:
Expressões numéricas e algébricas
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que elas
representam expressões algébricas ou numéricas:
 Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado
ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x
representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
 Ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o
preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x
representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
 Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o
valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos
uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas
matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras
figuras planas.
Expressão algébrica
Objeto matemático
A=bxh
Área do retângulo
A=bxh/2
Área do triângulo
P=4a
Perímetro do quadrado
Figura
Expressões Numéricas: São expressões matemáticas que envolvem
operações com números. Por exemplo:
(5 × 4) + 15
102 : 52 + 51. 23 - 50
[(52 - 6. 22).3 + (13 - 7)2 : 3] : 5
Expressões algébricas
Expressões Algébricas: São expressões matemáticas que apresentam
letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por
exemplo:
2a + 7b
(3c + 4) - 5
23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que
cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a
seguinte ordem:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
a) Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a
operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
b) A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes
sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
c) Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos
variáveis por valores negativos.
Exemplos:
1. Consideremos P = 2A + 10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5 + 10 = 10 + 10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é
o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A
para 9, teremos:
P = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A = 9, o valor numérico de P = 2A + 10 é igual a 28.
2. Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida.
Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se
que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma
expressão algébrica da forma: P = a + a + a = 3a. Substituindo a = 5cm nesta
expressão, obtemos P = 3 × 5 cm = 15 cm.
3. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a
expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A = L × L = L². Assim,
se L = 7 cm, então A = 7 × 7 = 49cm².
Operações envolvendo frações
Adição e Subtração de Frações
1º Caso: Denominadores iguais
Soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se o denominador.
Exemplos
2º Caso: Denominadores diferentes
Obtêm-se frações equivalentes com denominadores iguais ao MMC dos
denominadores das frações e em seguida aplica-se a regra do 1º Caso.
a)
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos
numeradores. Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo
denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos
denominadores. Será o MMC(3, 5, 13):
Como sabemos, o MMC(3, 5, 13) = 195. Logo todas as frações terão o
denominador comum 195.
O novo numerador de cada uma delas será apurado, simplesmente
dividindo-se 195 pelo seu denominador atual e em seguida multiplicando-se o
produto encontrado pelo numerador original:
1
1
65
 Para /3 temos que: 195 : 3 . 1 = 65, logo: /3 = /195
2
2
78
 Para /5 temos que: 195 : 5 . 2 = 78, logo: /5 = /195
3
3
45
 Para /13 temos que: 195 : 13 . 3 = 45, logo: /13 = /195
Obtemos assim, três frações equivalentes às frações originais sendo que
todas contendo o denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro
exemplo:
b)
Como as frações não possuem os mesmos denominadores,
primeiramente devemos a apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador
comum.
Sabemos que o MMC (9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o
denominador comum.
Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo,
que possuam o denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo
seu denominador e em seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador:
8
8
56
 Para /9 temos que: 63 : 9 . 8 = 56, logo: /9 = /63
1
1
21
 Para /3 temos que: 63 : 3 . 1 = 21, logo: /3 = /63
2
2
18
 Para /7 temos que: 63 : 7 . 2 = 18, logo: /7 = /63
Finalmente podemos realizar a subtração:
Multiplicação e Divisão de Frações
Nas multiplicações de frações multiplica-se numerador com numerador e
denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto. Exemplos:
Já na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira
fração pelo inverso da segunda. Se necessário simplifique. Exemplos
Exercícios
1) Efetue, observando as definições e propriedades:
a) (-2)³
e) 0³
i)
b)
f) 0º
j) (0,5)³
c) 500¹
g)
l) 15¹
d) 100º
h)
m)
2) O valor de
n)
o)
p)
q)
, é:
(a) 0,0264 (b) 0,0336 (c) 0,1056 (d) 0,2568 (e) 0,6256
3) O valor da expressão
é:
(a) -5/6 (b) 5/6 (c) 1 (d) -5/3 (e) -5/2
4) O valor de
é
(a) -15/17 (b) -16/17 (c) -15/16 (d) -17/16
5) Simplificando-se a expressão
, obtém-se:
(a) 0,16 (b) 0,24 (c) 1,12 (d) 1,16 (e) 1,24
6) O valor da expressão
(A) -4 (B) 1/9 (C) 1 (D) 5/4 (E) 9
é:
7) A expressão
(A)
é igual a:
(B)
(C)
(D)
(E)
8) O valor de
para
e
(A)
(C)
(D)
(B)
9) Simplificando
(A)
(B)
(E)
encontramos:
(C)
(D)
(E)
10) O valor da expressão
é:
(A) 3.103 (B) 3 (C) 3.10 (D) 9.103 (E) 27.103
11) O valor da expressão
(A)
(B)
(C)
(D)
é:
(E)
12) Calcule o valor numérico das expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
13) Determine o valor numérico de 5m  2 x para os seguintes casos:
a) m = 2 e x = 3
b) m = 4 e x = - 7
c) m = - 4 e x = 9
14) Calcule p( p  1)( p  2) para p  5 .
d) m = - 1 e x = - 2
e) m = 8 e x = - 10
f) m = 3 e x = 1/2
15) Calcule o valor numérico das expressões algébricas:
a) x 2  5x  8 para x  2
b) x 2  5x  8 para x  2
c) x 2  2 xy para x  4 e y  0
d) x 2  2 xy para x  2 e y  3
16) Se d 
n(n  3)
, calcule o valor de d para n  15 .
2
17) Calcule o valor numérico das expressões algébricas:
5a  m
para a  4 e m  1
a 2  3m 2
abc
b)
para a  3 , b  9 e c  8
5
a 2  b3
c)
para a  8 e b  4
ba
a)
18) Calcule o valor numérico de
1
1
x y
para x  e y  .
2
4
1  xy
19) Calcule o valor numérico de
3x 2  y
para x  2 e y  16 .
5 x
20) Calcule o valor numérico de
5am
a m
para a  2 e m  25 .
21) Existe o valor numérico da expressão
5x
para x  2 e y  2 ? Por
x y
quê?
22) Qual o valor numérico da expressão x 6  m 4 para x  1 e m  2 ?
23) Sendo a  10 , x  2 e y  1 , qual será o valor da expressão
a  3a x y 2 ?
3
2
2
24) O valor numérico da expressão p( p  a)( p  b)( p  c) para p  5 ,
a  1 , b  2 e c  3 é?
25) Se A  x 2 
1
2
, qual o valor de A para x  ?
5
5
26) Qual o valor da expressão
ab
1
2
para a  e b  ?
ab
3
5
27) Qual o valor numérico da expressão
x 2  4 x 2  3x  2
, para x  4 ?

x2
x 1
28) Qual o valor numérico da expressão
3a  b
para a  1 e b  3 ?
1 a
29) Sendo A  2 , B  1 e C  3 , qual é o valor numérico da expressão
A  5B
?
C
2
30) O valor da expressão
ab
para a  1 e b  2 ?
1  ab
31) Em uma cidade, os quarteirões ou quadras medem 110m de
comprimento por 80m de largura. Qual é a área de um quarteirão?
32) “Seu João” tem um terreno retangular que mede 25m de comprimento
e 15m de largura. Ele quer colocar um muro cercando este terreno, sem portão ou
outra entrada qualquer. Quantos metros de comprimento terá este muro?
33) Rodrigo quer construir um retângulo cuja área mede 20cm2 e o
perímetro é de 18cm. Quanto devem medir os lados desse retângulo?
34) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não
exista, escreva: não existe.
a)
e)
i)
n)
f)
j)
o)
g)
l)
b)
c)
d)
h)
m)
35) Aplicação de propriedades:
Exemplo 1:
a)
b)
c)
d)
e)
Exemplo 2:
f)
g)
h)
i)
j)
Exemplo 3:
l)
m)
n)
Exemplos 4:
o)
p)
q)
r)
Exemplo 5:
s)
t)
;
Exemplo 6:
u)
v)
x)
z)
Exemplo 7:
a`)
b`)
c`)
d`)
Exemplos 8:
e`)
f`)
g`)
h`)
i`)
36) Racionalize o denominador de cada fração:
u)
a)
f)
k)
z)
p)
v)
b)
g)
l)
q)
a`)
w)
c)
h)
m)
r)
b`)
x)
d)
i)
s)
n)
c`)
t)
e)
j)
y)
d`)
o)
37)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
38) Simplifique:
Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy
a) 8a³b²/2ab²
b) 4a³-2a²+8a / 2a
c) 18x³y²/6x²y³
39) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é:
(a) 100 (b) 50 (c) 250 (d) -150 (e) -200
40) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a:
(a) -0,1 (b) 0,2 (c) -0,3 (d) 0,4 (e) -0,5