FEX 1001
3 - COLISÃO INELÁSTICA
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Objetivo
Obter o coeciente de restituição entre uma bola e o chão.
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Teoria
Uma colisão entre dois corpos pode ser classicada considerando-se a energia cinética total antes e depois da colisão. Se a
energia cinética se conserva, a colisão é chamada totalmente elástica; se parte da energia cinética se transforma em outra
forma de energia, a colisão é inelástica. Quando os dois corpos permanecem unidos após a colisão, esta é dita totalmente
inelástica. Considere uma bola que, sendo solta do repouso da altura inicial
Hi ,
chega ao chão com uma velocidade
vi .
Imediatamente após o contato com o chão, a bola se deforma e segue sofrendo uma compressão, até atingir o repouso
(situação de compressão máxima). A partir desse instante, ela passa a se expandir e salta, deixando o chão com velocidade
vf ,
indo até a altura
Hf .
Observe que, em geral, a bola deixa o chão com uma velocidade menor que a velocidade que
possuía quando atingiu o chão, visto que a altura
Hf
é menor que a altura inicial da qual ela foi solta. A gura 1 ilustra
esta situação.
Hi
Hf
vf
vi
Figura 1: A bola cai de uma altura
atingindo a altura
Hi
e chega ao solo com velocidade
vi .
Após a colisão, ela sai com velocidade
vf
Hf .
Pode-se denir o coeciente de restituição,
r,
de uma colisão deste tipo através da razão entre as velocidades de saída
do solo e de chegada ao solo, ou seja
r=
|vf |
.
|vi |
(1)
O coeciente de restituição pode ser utilizado como um indicativo de quão elástico é o choque entre a bola e o chão. A
perda de energia cinética nessa colisão é dada pela diferença entre a energia cinética da bola ao colidir com o chão e a
energia cinética da mesma ao deixar o chão, ou seja
∆K =
1
1
mv 2 − mv 2 ,
2 f 2 i
que, em termos do coeciente de restituição, pode ser colocada na forma
∆K =
1
mv 2 r2 − 1 .
2 i
(2)
Observe que esta variação de energia cinética é negativa, indicando uma perda de energia cinética. Na realidade, esta
perda corresponde, sicamente, a uma transformação de energia cinética em outras formas de energia durante a colisão.
As equações (1) e (2) mostram que, numa colisão totalmente elástica
r =1
e a energia cinética é conservada durante
a colisão. Numa colisão inelástica, devido a transformação de parte da energia cinética em outras formas de energia, a
velocidade de saída do chão
vf
1
que dá
∆U = mg (Hf − Hi ) ,
1 Considerando-se o nível zero de energia potencial gravitacional no chão.
1
r<1
e, portanto,
∆K < 0.
energia potencial gravitacional no
Ui = mgHi . Após colidir com o chão, a bola retorna
Uf = mgHf . Logo, a variação de energia potencial vale
momento em que a bola é solta vale
potencial gravitacional vale
vi , o
U. A
é menor do que a velocidade de chegada ao chão
Vamos analisar a situação em termos de energia potencial gravitacional
à altura
Hf ,
onde sua energia
(3)
que também é negativa, pois
Hf < Hi .
Considerando que a energia mecânica se conserva entre o instante inicial quando
a bola foi solta e o instante imediatamente anterior ao choque com o solo, podemos escrever
mgHi =
1
2
2 mvi , o que dá
para a variação de energia cinética
∆K = mgHi r2 − 1 .
Mas
∆K =
1
1
mvf2 − mvi2 = mgHf − mgHi
2
2
(4)
que, inserida na equação (4), nos dá
mgHi r2 − 1 = mg (Hf − Hi ) ,
ou seja,
r2 =
Hf
,
Hi
dando o coeciente de restituição em termos da razão entre as alturas antes e após a colisão da bola com o chão. Desta
forma, a altura que a bola atinge após colidir com o chão será sempre uma fração xa da altura inicial da qual ela caiu.
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Descrição do Experimento
O experimento consiste em deixar uma bola cair de uma altura e medir a altura que ela sobe após a colisão com o chão.
A seguir, solta-se novamente a bola desta nova altura, medindo-se novamente a nova altura nal. Serão anotadas cerca
de cinco alturas diferentes. Como existem erros na altura de lançamento e na leitura da altura de subida, é conveniente
repetir o lançamento seguidas vezes da mesma altura, am de se obter o valor médio da altura de subida.
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Equipamento/Material
1. Régua decimetrada.
2. Bola de silicone.
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(a)
Procedimento Experimental
Antes de começar suas medidas, treine um pouco a maneira de observar e medir para possibilitar um melhor resultado,
com menor erro.
(b)
Deixe a bola cair da uma altura
Ho
(desconhecida) acima de
18, 0 dm
e anote a altura
H1
atingida após a primeira
colisão inelástica com o solo. Repita a operação quatro vezes e determine o valor médio da altura
o desvio médio da mesma, ou seja,
(c)
Em seguida, solte a bola desta altura média
o valor médio
hH2 i
atingida e
hH1 i e meça o valor de H2 , repetindo o procedimento am de determinar
e de seu desvio médio. Faça o procedimento acima para as cinco primeiras colisões, anotando
os dados na Tabela da folha de questionário.
(d)
hH1 i
h∆H1 i.
Responda as demais questões da folha de questionário.
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FEX 1001
3 - COLISÃO INELÁSTICA
Tabela 1
Altura (
)
medida 1
medida 2
medida 3
medida 4
medida 5
altura média:
desvio médio:
hHi
h∆Hi
H1
H2
H3
H4
H5
1.
A relação entre a
n-ésima
altura (Hn ) e a altura inicial (Ho ) é
Hn = Ho r2n .
Linearize esta equação
mostrando claramente os coecientes angular e linear da reta.
2. Construa o gráco linearizado em papel adequado utilizando os dados de sua Tabela 1.
3. Calcule, a partir do gráco linearizado, o valor do coeciente de restituição entre a bola e o chão e o valor
da altura inicial de lançamento
4. Usando o fato de que
5.
r2 =
Ho .
Indique no gráco os pontos lidos. Mostre os cálculos com clareza.
H2
H3
Hn
H1
=
=
= ··· =
,
Ho
H1
H2
Hn−1
Usando a igualdade acima e os valores médios de
hHi i
mostre que
Hn = Ho r2n .
da Tabela 1, calcule os diferentes valores do
coeciente de restituição e complete a tabela 2 abaixo.
Tabela 2
p
H2 /H1
6.
p
H3 /H2
Calcule o valor médio de
hri
p
H4 /H3
p
H5 /H4
hri
e compare com o valor que você obteve a partir do gráco linearizado,
calculando o erro percentual. Adote o valor médio como valor de referência. Mostre os cálculos com clareza.
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