MECÂNICA DOS FLUIDOS – 2
1. EMPUXO E O PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
• Arquimedes, um matemático, físico e engenheiro grego foi talvez o maior cientista da
antiguidade. De acordo com a lenda, o rei Heron de Siracusa o solicitou para determinar se
sua coroa era feita de ouro puro ou de outro metal. Obviamente a coroa não deveria sofrer
nenhum dano físico. Acredita-se, que ao tomar banho em uma banheira, chegou à resposta,
observando uma perda parcial de peso quando submergia suas pernas e braços. Conta-se que
Arquimedes ao perceber que havia solucionado o problema, saiu correndo nu pelas ruas de
Siracusa gritando “Eureka”, “Eureka”, que em grego significa, “Achei”... Arquimedes foi
morto por um soldado romano.
• Podemos chegar ao princípio de Arquimedes sem as devidas extravagâncias, da seguinte
maneira. Vamos focar nossa atenção em um hipotético cubo de água contido dentro de um
recipiente como mostrado na figura 1.
O cubo está em equilíbrio sob a ação da força peso, W, e da força
que a água exercer sobre ele, E. Nesta condição, temos que:
(1)
W E
• E se substituirmos o “cubo de água” por um cubo de aço com as
W
mesmas dimensões? Qual a força que o fará flutuar?
• Ora, a água que envolve o cubo de aço comporta-se da mesma
Figur
a1
maneira seja o cubo feito de qualquer material, ou seja, ela
“empurra” o cubo para cima. Portanto, a força que faz o aço
flutuar é a mesma que a força que atua sobre o cubo de água com as mesmas dimensões.
• Este resultado aplica-se para um objeto submerso de qualquer forma, tamanho ou densidade.
• Sabemos que a pressão no fundo do cubo da figura 1 é maior que a pressão no topo por uma
quantidade dada por:
∆P
ρ f gh
(2)
Onde ρf é a densidade do fluido (no caso água) e h é a altura do cubo. Desde que a diferença de
pressão é igual à força por unidade de área, isto é:
∆P
E
E
A
∆ PA
ρ f ghA
ρ f Vg
onde V é o volume do cubo. Desde que a massa de água no cubo é M
E
o peso do fluido deslocado.
W
ρ f Vg
Mg
(3)
ρ f V vemos que:
(4)
• Assim, da discussão acima, estabelecemos o princípio de Arquimedes como:
Qualquer corpo que esteja completamente ou parcialmente
submerso em um fluido recebe um empuxo igual ao peso do
fluido deslocado pelo corpo.
• Portanto, de acordo com o princípio de Arquimedes:
A intensidade do empuxo é sempre igual ao peso do fluido
descolado pelo objeto.
• Consideremos agora duas situações:
Um objeto totalmente submerso em fluido como mostrado na figura (2.a)
Consideremos que a densidade do fluido seja ρ f
E
e a
densidade do objeto será ρO . Assim, o peso do objeto será
dado por:
(5)
W ρO V O g
Onde VO é o volume do objeto. Pelo princípio de Arquimedes,
Figura
2.a
temos que o empuxo será dado por:
E
E ρ f gV O
A força resultante sobre o objeto será então dada por:
(6)
(7)
FR E W
ρ f ρO V O g
e aí temos duas situações a serem analisadas. No primeiro
caso, figura (2.a), vemos que a força resultante sobre o objeto
Figura
2.b
produz uma aceleração para cima significando com isto que o
empuxo é maior do que o peso do objeto, ou seja, a densidade do fluido, é maior
que a densidade do objeto.
Já na segunda situação, figura (2.b), o peso do objeto é maior que o empuxo, o que
faz que ele “afunde”, ou seja, a densidade do objeto é a maior que a do fluido.
Um objeto flutuando como mostrado na figura 3
Consideremos
V
um
objeto
flutuando
em
equilíbrio estático em um líquido, estando
parcialmente submerso. O empuxo, como no
caso anterior é balanceado pelo peso do objeto.
contudo, o volume do fluido deslocado, é
Figura
3
somente uma fração do volume do objeto que
está submerso (ou seja, corresponde ao volume
do objeto que está abaixo do nível do fluido,
como mostrado na figura). Portanto,
E = ρ f VD g
(8)
VD é o volume do fluido deslocado. Uma vez que o peso do objeto é dado por:
W = Mg = ρOVO g
(9)
e como
W = E ⇒ ρOVO g = ρ f VD g ⇒
VD ρ O
=
VO ρ f
(10)
Em condições normais, a densidade de um peixe é ligeiramente maior do que a
densidade da água. Por que então o peixe não afunda se ele não tem nenhum
mecanismo para ajustar a sua densidade?
Na realidade o peixe tem uma bexiga interna que o permite regular a sua
densidade, aumentando-a ou diminuindo-a e, desta maneira, permitindo que ele
flutue quando nadam a vairas profundidades.
•
EXEMPLOS
1. Uma peça de alumínio de 1kg, suspensa por uma corda, está completamente imersa
em um reservatório com água. Sendo a densidade do alumínio 2,7x103 kg/m3,
calcule a tensão na corda antes e depois que o alumínio foi imerso.
No ar
No fluido
Quando a peça de aluminio está suspensa no ar, temos que as
forças que atuam sobre ela estão mostradas na figura 4(a) e
como o corpo está em equilíbrio sobre a ação destas forças,
T
E
então:
T
1
T1 = W = Mg ∴T1 = (1kg )(9,8m / s 2 )∴
2
M
g
Figura 4(a)
T1 = 9,80 N
(11)
M
g
Neste cálculo não levamos em consideração o
Figura 4(b)
empuxo devido ao ar. Você poderia explicar o
motivo que nos levou a desprezar o efeito do ar sobe o corpo?
Quando a peça está imersa na água as força que atuam sobre ela estão indicadas na
figura 4(b) e temos que:
∑F
y
= T2 + E − Mg = 0 ∴ T2 = Mg − E
(12)
A fim de determinarmos o empuxo da água, devemos determinar o volume do
bloco pois, como podemos ver, o volume de água deslocado será exatamente igual
ao volume da peça. Portanto:
VAL = VD =
M AL
1kg
∴V AL = V D =
= 3, 7 ×10−4 kg / m3
2, 7 × 103 m3
ρ AL
(13)
E assim, o exmpuxo será:
E = ρ aguaVD g = (1× 103 kg / m3 )(3, 7 × 10−4 m3 )(9,8m / s 2 )∴ E = 3, 63N
(14)
Portanto, a tensão T2 na corda será dada por:
T2 = 9,80 − 3, 67 ∴T2 = 6,17 N
(15)