CO 77: Abordagem do Teorema de Euler no Ensino Básico
José Querginaldo Bezerra
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
[email protected]
Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
[email protected]
RESUMO
A Abordagem do Teorema de Euler no Ensino Básico é uma proposta de comunicação oral ou
oficina para ser apresentado no XI Seminário Nacional de História da Matemática, em Natal RN,
destinada a professores de matemática do ensino básico, numa perspectiva histórica,
contextualizando as discussões e contribuições de vários matemáticos sobre o assunto, desde sua
divulgação por Leonhard Euler em 1758. Nosso objetivo maior é apresentar uma demonstração
alternativa, que entendemos ser mais simples e compreensível que as demais que se tem
conhecimento, inclusive a prova do professor Zoroastro Ajambuja, que nos serviu de inspiração.
Em nossa experiência em sala de aula, por mais de dez anos com as disciplinas de Geometria
Euclideana, constatamos que a demonstração do Azambuja e a prova de Cauchy apresentavam
dificuldades de compreensão por parte dos alunos do curso de licenciatura em matemática, a de
Azambuja por ser muito “rebuscada” e a de Cauchy por usar resultados de Topologia. Ao adotar
nossa demonstração observamos uma maior compreensão da argumentação usada e um melhor
desempenho dos alunos nos questionamentos levantados como feedback.
Palavras-chave: Euler; Poliedro; Ensino Básico; Demonstração e Contextualização.
Introdução
A palavra Poliedro vem do grego poly, que significa muitos ou vários e edro, que
significa face, ou seja, muitas faces. Os poliedros foram objetos de estudo de muitos
filósofos da antiguidade e faziam parte das teorias sobre o universo.
Os poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII de Os
Elementos de Euclides é dedicado aos sólidos regulares e inclui cálculos que determinam a
razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita. Ainda neste livro é
enunciado (provado?) que os poliedros regulares, conhecidos por poliedros de Platão, são
apenas cinco, o tetraedro, o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.
Figura 1
A História é cheia de exemplos de filósofos, matemáticos e astrônomos que
exploraram os resultados sobre poliedros contidos nos livros Os Elementos. Em seu
primeiro grande trabalho, Mysterium Cosmographicum de 1600, Johannes Kepler (15711630) utilizou os cinco poliedros regulares para construir o seu modelo para o sistema
solar. A figura abaixo ilustra esse modelo.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26000825/f3.item.r=Johannes%20Kepler
Figura 2
2
O Teorema de Euler ( ou Relação de Euler), de 1758, foi enunciado por Leonhard
Euler (1707 - 1783) e diz que V - A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número
de arestas e F é o número de faces de um poliedro. Um manuscrito de 1639 produzido por
Descartes traz indícios de que ele tinha conhecimentos básicos sobre o número de arestas,
vértices e lados de um poliedro, mas que não culminaram na fórmula V - A + F = 2.
Esse resultado tem sido amplamente abordado na Educação Básica sem que uma
demonstração formal, nesse nível de escolaridade, seja apresentada de forma
“compreensível” aos alunos. Na maior parte das vezes o resultado é apenas utilizado na
resolução de exercícios de Geometria ou pede-se a simples verificação da fórmula para
poliedros específicos.
No entanto, a simplicidade do enunciado e a facilidade de ilustrá-lo com exemplos
e conta-exemplos torna o Teorema atraente e cria um ambiente favorável para a exploração
de outros conceitos e relações importantes sobre poliedros. Um exemplo é a prova de que ,
de fato, só existem cinco poliedros regulares.
Euler supunha o Teorema verdadeiro para todos os poliedros, mas existem
poliedros para os quais o resultado não é verdadeiro como o da figura a seguir, onde V – A
+ F = 16 – 32 + 16 = 0.
Figura 3
As demonstrações
O principal objetivo desse trabalho consiste em discutir algumas demonstrações do
Teorema de Euler para poliedros convexos. Após anos de experiência no ensino superior e
a análise do conteúdo sobre a relação de Euler para poliedros convexos nos livros
didáticos, ou em livros voltados para a formação inicial de professores de Matemática,
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notamos a carência de uma demonstração que seja compreendida com mais clareza pelos
alunos.
A demonstração de Cauchy, “Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857)”, apesar de
simples, não é adequada para alunos do ensino básico pois supõe conhecimentos de
Topologia, quando fala em inflar o poliedro até obter uma esfera e, principalmente, porque
omite detalhes sobre a retirada dos triângulos, após a triangularização das faces [Lima,
1985].
A demonstração publicada na RPM no 3, em 1983, pelo professor Zoroastro
Azambuja Filho, e republicada no livro A Matemática do Ensino Médio, vol. 2, da SBM, é
realmente elegante e precisa, como afirmam os autores do livro. No entanto, devido aos
“preparativos” para a demonstração da segunda parte do Teorema, onde o autor recorre aos
raios do sol para ilustrar o raciocínio utilizado, os alunos de licenciatura em matemática
apresentam dificuldades em compreender a prova. Essa dificuldade, acreditamos,
comprova a deficiência dos jovens universitários na leitura e compreensão de textos, de um
modo geral.
Para contornar essa dificuldade, elaboramos uma demonstração alternativa
inteiramente equivalente à prova do professor Zoroastro, onde destacamos a principal
hipótese, que é o fato do poliedro ser convexo. Essa demonstração foi plenamente aceita
pelos nossos alunos, tendo os mesmos demonstrado total compreensão da argumentação
empregada e respondido satisfatoriamente aos nossos questionamentos.
Demonstração alternativa
A demonstração consiste de duas partes, determinando-se em cada uma a soma S
dos ângulos internos dos polígonos que correspondem às faces do poliedro.
Primeira Parte – Nessa primeira parte, consideremos todas as F faces como sendo
polígonos regulares numerados de 1 a F e tomamos nk como sendo o número de lados da késima face, com 1≤ k ≤ F.
Como a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é igual a π(n-2) e
lembrando que as faces de um poliedro convexo também são polígonos convexos, segue
que a soma dos ângulos internos de todas as F faces de P é
S = π(n1-2) + π(n2-2) + π(n3-2) + ∙∙∙ + π(nF-2),
S = π[( n1 + n2 + n3 + ∙∙∙ + nF ) – ( 2 + 2 + 2 + ∙∙∙ +2 )],
S = π[ 2A – 2F]
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S = 2π[A – F].
Para obter o resultado anterior usamos dois fatos que merecem esclarecimentos:
n1 + n2 + n3 + ∙∙∙ + nF = 2A e 2 + 2 + 2 + ∙∙∙ +2 = 2F.
O primeiro é porque cada aresta de um poliedro pertence a duas e exatamente duas
faces e, o segundo é devido ao fato da soma 2 + 2 + 2 + ∙∙∙ +2 ter F parcelas.
Segunda Parte - Para a segunda parte da demonstração, consideramos que o
interior de um poliedro é uma região limitada do espaço e, portanto, pode sempre ficar
entre dois planos paralelos, como ilustra a figura abaixo. Sem perda de generalidade,
consideramos também que o poliedro está numa posição tal que nenhuma de suas faces
fique paralela à reta r, veja na figura abaixo, que é perpendicular aos planos α e β.
Figura 4
Como P é convexo, qualquer reta s, paralela à r, que intersecte P o fará em um ou
dois pontos. Se s intersectar P em um único ponto, projetamos esse ponto nos planos α e β,
obtendo em cada plano uma poligonal fechada C, que é um polígono convexo
correspondente à projeção da poligonal do espaço formada por arestas de P.
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Se a intersecção ocorrer em dois pontos, o que estiver mais próximo de α será
projetado em α e o outro será projetado em β. Desta forma, considerando apenas as
projeções de vértices e arestas, α ficará com a projeção de V1 vértices de P no seu interior e
as respectivas arestas, além de C, enquanto β ficará com a projeção de V2 vértices de P no
seu interior e as respectivas arestas, além do polígono C.
Então, se V0 é o número de vértices de P projetados em C, segue que
V = V0 + V1 + V2.
Agora vamos calcular a soma dos ângulos internos de todas as faces de P,
considerando que a soma dos ângulos internos de uma face é igual à soma dos ângulos
internos de sua projeção, já que, em função da posição que colocamos o poliedro P, essa
projeção preserva o número de lados de cada face.
Para os pontos que estão no interior de C, tanto em α quanto em β, a soma dos
ângulos com vértices nos mesmos é sempre igual a 2π. A soma dos ângulos internos de C
complementam a soma dos ângulos de todas as faces que foram projetadas em α e β .
Assim, a soma de todos os ângulos dos vértices projetados em α é
S1 = 2πV1 + π(V0 – 2 ).
Já a soma dos ângulos dos vértices projetados em β é
S2 = 2πV2 + π(V0 – 2 ).
Consequentemente,
S = S1 + S2 = 2πV1 + π(V0 – 2 ) + 2πV2 + π(V0 – 2 ) = 2π(V1 + V2 + V0 – 2).
Como V = V0 + V1 + V2, segue que S = 2π(V – 2).
Comparando os resultados obtidos nas duas partes, obtemos,
2π[A – F] = 2π(V – 2), ou seja, A – F = V – 2.
Portanto, V – A + F = 2.
Como observamos no início, essa demonstração é inteiramente equivalente à prova
do professor Zoroastro, com os vértices sombrios projetados no plano α, os vértices
iluminados projetados no plano β e o contorno aparente correspondendo à curva C.
A extratégia que adotamos para verificar à compreensão de nossa demonstração,
constou duas atividades, que exporemos a seguir:
Atividade 1 – Pegamos vários protótipos de poliedros, emprestados pelo
Laboratório de Matemática da UFRN e, segurando-os com as mãos, pedimos para os
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alunos desenharem a projeção dos vértices e respectivas arestas no chão e no teto da sala
de aula, como sugere a figura 5 para os planos α e β, respectivamente.
A maioria dos alunos respondeu satisfatoriamente e os que apresentaram alguma
dificuldade, se convenceram quando viram os desenhos dos colegas.
Atividade 2 – Distribuimos um desenho com um poliedro não convexo, como o da
figura 5 abaixo, e pedimos para eles desenharem os dois planos α e β, como na nossa
demonstração alternativa, fazendo as projeções dos vértices nos respectivos planos, para
verificarem a segunda parte da demonstração.
Nesse caso poucos responderam a contento, pois a maioria não conseguia desenhar os
planos satisfatoriamente. Mesmo assim, após nossa mediação, todos se convenceram da
veracidade da argumentação. Nessa atividade ficou claro que a fórmula de Euler também
se verifica em alguns poliedros não convexos.
Embora as demonstrações aqui apresentadas usem a hipótese dos poliedros serem
convexos, o Teorema de Eules também é valido em alguns poliedros não convexos, como é
o caso do poliedro da figura 5 a seguir. A figura representa um sólido com formato de um
prisma, do qual foi retirada uma pirâmide com base na face superior do prisma e V – A + F
= 7 – 12 + 7 = 2.
Figura 5
Um exemplo ainda mais surpreendente é o prisma (poliedro) contruído com base
na figura 6 a seguir, que representa uma poligonal fechada sem auto-interseções, com 33
vértices e 33 lados. Nesse poliedro não convexo, V = 66, A = 99, F = 35 e, então, V – A + F
2.
= 66 – 99 + 35 =
Figura 6
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A figura 6 foi desenhada com o Geogebra, que destacou o seu inetrior. Ela poderia
ser bem mais complicada, como ilustra a figura 118, página 282, do livro O QUE É
MATEMÁTICA? [Courant, R. e Robbins, H., 2000], onde temos dificuldade até para
identificar seu interior. Entretanto, se n é o número de lados do polígono, convexo ou não,
o prisma construído tendo esse polígono como base terá V = 2n, A = 3n e F = n + 2. Logo,
V – A + F = 2n – 3n + n + 2 = 2, isto é, a fórmula de Euler vale para qualquer prisma,
convexo ou não.
Conclusão
Como professor do ensino superior, nossa atuação sempre priorizou a
preocupação com o processo de ensino-aprendizagem em matemática, especialmente com
a formação/aperfeiçoamento de professores.
As disciplinas de Geometria Euclideana, que lecionamos há mais de 10 anos,
figuram como tema principal de nossos estudos e pesquisas, sempre com a preocupação de
melhorar nossas aulas, nossos textos e, principalmente a eficácia do processo ensino
aprendizagem. Em nossa experiência em sala de aula percebemos a dificuldade de
compreensão pelos alunos de Licenciatura em Matemática com temas cuja abordagem
geométrica faz-se necessária, especialmente quando a percepção espacial está envolvida.
Nesse sentido, abordamos o Teorema de Euler para poliedros contextualizando-o
historicamente, buscando motivar os alunos a superar as deficuldades apontadas
anteriormente.
Sobre a demonstração do professor Zoroastro Azambuja Filho, percebemos que a
dificuldade maior dos alunos é o fato dele projetar as duas partes do poliedro, a sombria e a
iluminada, num mesmo plano, daí nossa idéia de colocar o poliedro entre dois planos
paralelos.
Bibliografia
AZAMBUJA FILHO, Z. Demonstração do Teorema de Euler para poliedros convexos.
Revista do Professor de Matemática, São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, nº 3,
p. 15-17, 1983.
BOYER, C. B. História da Matemática. SP: Editora Edgar Blucher Ltda. Tradução de Elza
F. Gomide. 1974
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COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática?, Rio de Janeiro: Editora Ciência
Moderna. 2000.
LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio, volume 2. Rio de Janeiro: SBM. 2006.
LIMA, E. L. Matemática Universitária. Rio de Janeiro: SBM. 1985.
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b26000825/f3.item.r=Johannes%20Kepler
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