X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER
Inácio Antônio Athayde Oliveira
Secretária de Educação do Distrito Federal
[email protected]
Ana Maria Redolfi Gandulfo
Universidade de Brasília
[email protected]
Resumo: Um novo olhar para o Teorema de Euler é uma proposta de mini-curso para ser
apresentado no X ENEM em Salvador, BA, destinado a professores de matemática do nível
médio. O principal objetivo consiste em estudar o famoso teorema de Euler, experimentar
suas aplicações e explorar algumas de suas generalizações. Serão definidos os elementos
geométricos básicos dos poliedros convexos, calculada a característica de Euler dessas figuras
e demonstrado experimentalmente o teorema de Euler, bem como as aplicações desses
conceitos. Visando generalizar esse teorema, o trabalho incluirá a construção de figuras
espaciais tais como os conjuntos poliédricos e das figuras disco, toro e banda de Möbius,
entre outras. A característica de Euler será calculada em cada uma dessas figuras. A
abordagem dinâmica dos temas mediante atividades, experiências e demonstrações, inclui
construções geométricas e a manipulação de modelos matemáticos. Todos os materiais e as
correspondentes soluções serão colocados a disposição dos professores participantes. Com
este curso procura-se incentivar o estudo dos conceitos geométricos, promover o uso de
materiais didáticos em sala de aula e que os professores adquiram experiências que os tornem
multiplicadores perante os colegas na escola em que ensinam.
Palavras-chave: Euler; Característica; Poliedros.
Histórico
A seguinte relação V  A  F  2 (1) é conhecida como a Fórmula de Euler em
reconhecimento a Leonard Euler (1707-1783) que a publicou em 1750, com a formulação que
para cada sólido limitado por superfícies planas, o número de faces aumentado pelo número
de vértices excede por dois o número de arestas. Tudo indica que Euler não tinha uma prova
satisfatória dessa identidade, mas ficou convencido da sua validade pela consideração de
numerosos exemplos. Segundo algumas fontes, Descartes (1596-1650), por volta de 1639,
tinha conhecimentos sobre os elementos de um poliedro referentes ao número de V vértices,
A arestas e F faces, mas não foram achadas evidências de seu conhecimento da fórmula (1).
No início do século XIX apontaram-se evidências indicativas que a relação (1) não pode ser
verdadeira na generalidade afirmada, pois surgiram casos de exceções. Assim, resultou em um
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número de reformulações da versão básica da Fórmula de Euler e na introdução dos vários
parâmetros que substituíram o valor 2 no segundo membro de (1).
Poliedros
Para unificação da linguagem, em cada tema definiremos os elementos básicos e
investigaremos suas propriedades, segundo o tratamento em (Coxeter, 1961; Gandulfo, 2007).
Poliedro é a figura formada por um conjunto finito de polígonos com as propriedades:
i) A intersecção de dois polígonos do conjunto é um lado ou é um vértice ou é vazia.
ii) Todo lado de um polígono é lado de um e somente mais um polígono do conjunto.
iii) Dois polígonos com um lado comum não pertencem ao mesmo plano.
As faces do poliedro são os polígonos que o definem e os lados e vértices
desses polígonos são, respectivamente, as arestas e os vértices do poliedro. Um poliedro é
convexo se está contido num dos semi-espaços em relação ao plano por cada uma de suas
faces. Caso contrário, o poliedro é não-convexo. Os poliedros podem ser classificados pelo
número de faces: tetraedro (3), hexágono (6), decaedro (10), etc.
Atividade 1 - Construa poliedros utilizando a definição acima.. Faça um registro
dos elementos e classifique cada um dos poliedros construídos.
Atividade 2 – Determine a soma dos ângulos internos das faces de um poliedro
convexo que concorrem em cada vértice do poliedro.
Um poliedro é regular se ele é convexo, todas suas faces são polígonos regulares e em
cada vértice concorre o mesmo número de faces.
Atividade 3 – Construa todos os poliedros regulares possíveis.
Atividade 4 – Faça uma tabela o número de faces(F), de vértices(V), de arestas (A),
número de lados das faces (p) e o número de arestas por vértice (q) dos poliedros da
Atividade 3.
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Os poliedros regulares são cinco. “Os pares de valores {p,q} são chamados os
símbolos de Schläfli para os cinco poliedros convexos regulares.” (Kappaff, 1990)
Fig1 – Poliedros regulares
O teorema de Euler para poliedros convexos
Inicialmente trataremos da demonstração mais conhecida, aplicando método de
indução.
Teorema de Euler. Se P é um poliedro convexo com F faces, A arestas e V vértices
então vale a relação
V  A  F  2.
Demonstração. Consideramos um poliedro convexo P qualquer, com
F faces, V
vértices, A arestas e dele é retirada uma face, dando o poliedro Pn . Suponhamos que no
poliedro aberto ficam Fn faces, Vn vértices, An arestas, queremos provar que eles verificam a
relação Vn  An  Fn  1
(2)
Verifique que (2) é válida para Fn  1 , levando em conta que neste caso temos um polígono
convexo P1 de k lados, logo Vn  k e An  k . Portanto Vn  An  Fn  k  k  1  1 .
Pelo método de indução finita, com respeito ao número de faces da figura,
´´
suponhamos que a relação (2) é válida para um poliedro aberto P de F ' faces, o qual possui
V ' vértices e A' arestas, isto é,
V '  A'  F '  1
(3)
Para provar que (2) também é válida para um poliedro aberto Pn com F '  1 faces, o
qual possui F '  1  Fn faces, Vn vértices, An arestas tais que:
Fn  F '  1 ; An  A'  p  q
Vn  V '  p  q  1
( q arestas coincidiram)
( q arestas coincidindo, q  1 vértices coincidem).
Calcule (2) aplicando as considerações anteriores e (3), de onde
Vn  An  Fn  V '  p  q  1   A'  p  q   F '  1 
 V '  A'  F '
Em conseqüência, (2) é válida para Pn .
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Considere agora o poliedro P com F faces, V vértices, A arestas, levando em conta
que Vn  V , An  A e Fn  F  1 , então obtemos para P a identidade V  A  F  2 .
Na seguinte demonstração do Teorema de Euler, de autoria de A. M. Legendre, são
usadas projeções de poliedros na esfera e elementos de trigonometria esférica. Segundo em
(Lima, 1991). Temos:
Demonstração do Teorema de Euler por A. M. Legendre - Sejam um poliedro convexo
P, com V vértices, A arestas e F faces e uma esfera E, de raio r, com centro em O, ponto
interior do poliedro P. Suponhamos, sem perda de generalidade, que as faces de P são
triângulos, pois se não é esse o caso, sempre é possível decompor cada face em triângulos
utilizando diagonais. Esse processo de triangulação não modifica o número de V  A  F ,
pois toda vez que traçamos uma diagonal em uma face, a quantidade V não altera, enquanto
cada uma das quantidades A e F aumentam uma unidade, esses aumentos se cancelam na
expressão V  A  F . Projetando radialmente o poliedro P
sobre a esfera E, teremos uma decomposição de E em triângulos
esféricos T, dispostos de maneira similar à disposição no
poliedro P. Em particular, a esfera E fica recoberta por F
triângulos esféricos T, com um total de V vértices e A lados.
Na Figura 2 o triângulo esférico t, sobre a esfera E, é projeção
Fig. 2
radial do triângulo T. Pelo Teorema de Girard  ,  e  são
ângulos
internos
de
um
triângulo
esférico,
medidos
em
radianos,
então
     
a
,
R2
     
a
foi fundamental para que Legendre demonstrasse o Teorema de
R2
onde
a
é
a
área
desse
triângulo.
Essa
fórmula
Euler.
Assim para cada um desses triângulos T, vale o teorema de Girard. Portanto, segue
que S    
A
, onde S  é a soma das medidas em radianos dos ângulos internos dos
R2
triângulos esféricos T e A é a área do triângulo esférico T. O número total de triângulos
esféricos é F e a soma total das medidas em radianos dos ângulos internos desses F
triângulos é dada por
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 S   . F 

F
R

(4)
2
A soma dos ângulos em torno de cada vértice é 2 , logo
S

 2 . V
(5)
e a área da superfície esférica E é 4 r 2 , portanto
Substituindo (5) e (6) em (4) resulta
A

 4 R 2
2  .V   . F 
(6)
4 R 2
de onde segue que
R2
2V  F  4 , em conseqüência 2V  F  4 . Para obtermos uma relação entre F , número
de triângulos esféricos T, e A , número total de lados desses triângulos T, basta perceber que
todo triângulo T tem três lados, e toda aresta é lado de dois triângulos T, assim 3F  2 A ,
então
F  2 A  2F .
2V  F  4
Portanto
que
pode
ser
expresso
como 2V  2 A  2F  4 , assim V  A  F  2 .
Característica de Euler para poliedros
No teorema de Euler temos que todos os poliedros convexos a V  A  F  2 é
válida. O membro esquerdo da equação é chamado de característica de Euler.
Podemos representar essa expressão da seguinte forma, utilizando a letra grega  :
V  A  F   P
(7)
Onde a característica de Euler  para os poliedros convexos tem valor dois.
Assim, a característica de Euler do octaedro é:  Octaedro   6  12  8  2 . Na
figura 3 cada face do octaedro foi divida em 4 partes, mediante o traçado de segmentos de
retas perpendiculares. Nesta figura os pontos (A) ou (B) serão considerados novos vértices, as
linhas como (AB) serão novas arestas e as áreas como (ABCD), novas faces. Assim teremos
32 faces, 56 arestas e 26 vértices, então
 Octaedro   2 6  56  32  2 , portanto, o
resultado da característica de Euler permanece inalterado.
Desenhando linhas malucas sobre o octaedro, criando uma porção de novas arestas,
vértices e faces, obterá sempre a mesma característica de Euler dois. Isso nos mostra que
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mesmo deformando o octaedro a característica de Euler continuará sendo dois.
Como
apresentado na Figura 4. A deformação pode ser tal que o octaedro acabe virando uma esfera.
Fig. 3
Fig. 4
Atividade 05 - Verificar a relação de Euler V + F = A + 2 para os poliedros
construídos.
Atividade 06 - Abrir os poliedros confeccionados na atividade 04 para descobrir uma
possível planificação para os mesmos. Desenhar no papel pontilhado as planificações
encontradas. Tente descobrir outras planificações para os mesmos poliedros.
O octaedro e a esfera são topologicamente idênticos, isto é, o octaedro é homeomorfo
a esfera. Podemos verificar o que falamos anteriormente, se construirmos o octaedro com
massa de modelar. Experimentalmente, é possível transformá-lo em uma esfera sem rasgar e
nem efetuar corte algum em sua superfície.
Um poliedro ser homeomorfo à esfera, intuitivamente, significa que ele pode ser
inflado apresentando um formato esférico, ou seja, um poliedro ser homeomorfo à esfera
significa que todo o conjunto de polígonos que forma o poliedro pode ser deformado, sem
destruir ou criar novas intersecções entre eles, de forma a se transformar em uma esfera. A
seqüência a seguir mostra o processo com um octaedro. Ver Figura 5.
Fig. 5
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Um poliedro é convexo se toda reta que contém algum ponto do seu interior intercepta
o poliedro em exatamente dois pontos. Os poliedros convexos estão incluídos entre os
poliedros homeomorfos a esfera: basta fixar um ponto do interior, que chamaremos de ponto
base e usar as retas que passam por esse ponto para deformar o poliedro até que se transforme
uma esfera com centro no ponto base.
Um exemplo bastante conhecido é o poliedro convexo com 12
faces pentagonais regulares congruentes e 20 faces hexagonais
regulares congruentes, a popular bola de futebol. Assim, dizemos que
um poliedro é homeomorfo à esfera se o conjunto de polígonos que
formam o poliedro quando inflado for levado ao formato de uma
esfera, sem que criem novas intersecções ou destruam as intersecções
já existentes. Isso só é possível com objetos topologicamente iguais.
Icosaedro Truncado
Fig. 6
Porém as coisas mudam se o espaço tiver um furo.
O Teorema de Euler na sua forma básica (1) é válido para a fronteira de poliedros
convexos 3-dimesionais limitados e fechados.
Características de Euler de conjuntos poliédricos
Conforme Euler mesmo achava essa fórmula é válida para todos os poliedros, mas se
vê facilmente que há uma falha quando pensamos em generalizar esta
fórmula para todos os poliedros. Provavelmente, Euler não considerou
a figura espacial representado na figura abaixo. A relação
V  A  F  2 é tratada para poliedros sem “buracos”. Aqui, por
exemplo, temos V  16 ,
V  A  F 2,
pois
A  32 e
F  16
16  32  16  0 .
no qual se tem
Assim
a
relação
Fig. 7
mencionada não é válida.
Dizemos que a relação V  A  F  2 é utilizada somente para poliedros sem
nenhum “buraco”, e então, reescrevendo a fórmula para poliedros em geral temos:
V  A  F  2  2g
(9)
g é chamado o gênero da superfície, representa o número de buracos do poliedro.
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O primeiro membro da equação (9) geralmente é chamada de característica de Euler e
denotada por  (P), de modo que (9) possam ser exprimidos novamente como
V  A  F   (P)
(10)
As equações (1), (9) e (10) relacionam os números dos vértices, das arestas e das faces
do poliedro às propriedades topológicas dos próprios poliedros. Os dois poliedros abaixo têm
um furo, isto é, g = 1, assim a relação V  A  F  2  2 g é válida para o poliedro da
Figura 9. Conforme em (Grünbaum, 1994).
Fig. 8
Fig.9
Entretanto, esta solução simples não é aplicável em todos os casos. O poliedro
mostrado na Figura 8 igualmente tem g = 1, mas V = 16, A = 24 e F = 10, assim
V  A  F  2 ; logo as relações (9) e (10) não são totalmente verdadeiras.
A coisa muda se o objeto tiver um furo. Se a fizermos sobre a superfície do toro o
mesmo que fizemos com o octaedro (traçando linhas onde serão construídas faces, arestas e
vértices) e depois contarmos, acharemos um número de Euler igual a zero, isto é,  (P)  0 .
O toro é uma figura espacial com um furo, é topologicamente diferente do octaedro e da
esfera. Seguindo o raciocínio da massa de modelar, não dá para transformar uma esfera de
massa em um toro sem cortar ou rasgar alguma coisa.
Figura 10
Em particular a característica de Euler: da esfera é  S   2 , do plano projectivo
é  (P)  1, do disco é  D  1 , do toro é  T   0 e da fita de Möbius é  M   0 .
Para cada conjunto poliédrico P a relação (4.2) constitui uma generalização para
conjuntos
poliédricos
das
equações
V  A F  2 ,
V  A  F  2  2g
V  A  F   (P) dadas para poliedros.
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Atividade 07 - Construir quatro conjuntos poliedros possíveis que satisfaz a
fórmula V  A  F  2  2 g . Complete a tabela abaixo.
Poliedros
Número de
faces F
Número de
vértices V
Número de
arestas A
 (P)
Atividade 08 - Este material pode ser bastante explorado no laboratório de ensino
de matemática de qualquer escola. Agora, elabore uma atividade que você possa utilizar
em suas aulas.
Conclusão
O teorema de Euler que relaciona faces, arestas e vértices de um poliedro é um
resultados que há décadas vem sendo estudado por vários geômetras e que devido a
simplicidade do seu enunciado e a generalidade de sua validez, tornou-se um resultado
atraente e popular. A utilização dos materiais didáticos para desenvolver as atividades
propostas neste mini-curso trará aos professores uma oportunidade de abordar os conteúdos
de geometria envolvidos neste teorema. Além disso, fornece uma alternativa didática as aulas,
através da utilização de materiais concretos para serem usados tanto em sala de aula ou em
um possível laboratório de matemática. Sendo este um espaço ausente em nossas escolas,
principalmente na rede pública. Portanto, pretendemos formar professores multiplicadores no
que diz a respeito de atividades voltadas para o laboratório de ensino em matemática.
Referências
Coxeter, H.S.M., (1961) Introduction to Geometry. New York: Wiley.
Gandulfo. A. M. (2007) Notas de aula do Curso de Especialização: Matemática para
Professores. Brasília: UnB.
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Grünbaum, B., Shephard G. C. (1994) A new look at Euler's theorem for polyhedra.
Amherst : American Mathematical Monthly.
Kappaff, J. (1990) Connections: the geometric bridge between art and science. New York:
McGraw-Hill.
Lima, E. L. (1991) Meu Professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática.
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