WECIQ 2006 - Artigos
Uma proposta de critério de separabilidade
para estados quânticos com 3 q-bits
Wanessa C. Gazzoni1 , Carlile Lavor2 , Reginaldo Palazzo Jr.1
1
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Caixa Postal 6101 – 13.083-970 – Campinas – SP – Brasil
2
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Caixa Postal 6065 – 13081-970 – Campinas – SP – Brasil
{wanessa, palazzo}@dt.fee.unicamp.br, [email protected]
Abstract. In this paper we propose a separability criterion to three qubits states
and a geometric interpretation of this criterion. According to this model, we
describe the algebric classification, as entangled or non-entangled, for all three
qubits states. Based on the results presented, we are working on a criterion for
states with N qubits.
Resumo. Neste trabalho, propomos um critério de separabilidade para estados
com três q-bits e uma interpretação geométrica das equações que o definem.
De acordo com este modelo, descrevemos a classificação desses estados entre
emaranhados ou separáveis. Uma proposta para a construção do critério para
estados com N q-bits está em desenvolvimento.
1. Introdução
A existência de correlações não-locais entre sistemas quânticos remotos
(emaranhamento) é a característica mais importante dos fenômenos quânticos
[Linden and Popescu 1997] e foi discutida pela primeira vez em 1935 por Einstein, Podolsky e Rosen em [Einstein et al 1935].
Na década de 90, surgiram
as primeiras pesquisas que utilizavam o emaranhamento como recurso físico
para a realização de tarefas de processamento de informação, tais como a criptografia quântica, [Ekert 1991, Nielsen and Chuang 2000], o teletransporte quântico [Bennett et al 1993, Nielsen and Chuang 2000] e a codificação superdensa
[Bennett et al 1992, Nielsen and Chuang 2000]. A partir de então, trabalhos envolvendo
emaranhamento têm sido apresentados com freqüência e abordam, entre outros fatos,
suas características intrínsecas [Rigolin 2005] e as propriedades algébrico-geométricas
do espaço definido pelos estados emaranhados [Bengtsson et al 2001, Bennett et al 1995,
Coffman et al 1999, Linden and Popescu 1997, Mosseri and Dandoloff 2001].
A proposta de um critério que permita a classificação de um estado génerico em
emaranhado ou separável é o tema deste trabalho para estados com três q-bits. Na Seção
2, apresentamos um resumo do critério, da identificação geométrica associada e da classificação de estados com dois q-bits. Baseados nessas idéias, na Seção 3.1, construímos
275
o critério para N = 3 e, na Seção 3.2, apresentamos a interpretação geométrica das
equações que o definem. Finalmente, na Seção 3.3, classificamos todos os estados com
três q-bits, a partir da interpretação dada anteriormente.
2. Estados com 2 q-bits
Embora nosso objetivo refira-se ao estudo dos estados quânticos com três q-bits, comentaremos brevemente alguns aspectos para o caso com 2 q-bits que serão importantes
no desenvolvimento da proposta para estados com 3 q-bits. Salientamos que, tanto o
critério de separabilidade quanto a classificação dos estados são resultados conhecidos
para o caso com 2 q-bits (veja, por exemplo, [Peres 1993]). O que fazemos é reescrevêlos no formato adequado para o desenvolvimento da proposta para o caso com 3 q-bits.
2.1. Critério de separabilidade
Um estado quântico genérico com dois q-bits pode ser representado na forma
|ψi = α0 |00i + α1 |01i + α2 |10i + α3 |11i,
(1)
onde α0 , α1 , α2 , α3 ∈ C, tais que |α0 |2 + |α1 |2 + |α2 |2 + |α3 |2 = 1.
Consideremos dois estados quânticos de um q-bit
|ϕ1 i = a|0i + b|1i e
|ϕ2 i = c|0i + d|1i,
(2)
onde a, b, c, d ∈ C, |a|2 + |b|2 = 1 e |c|2 + |d|2 = 1.
Usando essas informações, temos a seguinte definição, dada em [Peres 1993].
Definição 2.1.1. Um estado genérico de dois q-bits |ψi é dito separável se puder
ser escrito na forma |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i, ou seja, |ψi = |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i.
Dessa definição, seguem os lemas abaixo.
Lema 2.1.1. Um estado genérico com dois q-bits |ψi, dado em (1), é separável
se, e somente se, as igualdades abaixo são simultaneamente satisfeitas:
α0 = ac,
(3)
α1 = ad,
(4)
α2 = bc,
(5)
α3 = bd,
(6)
onde a, b, c, d são dados em (2).
Demonstração. Suponha que |ψi seja separável. Pela Definição 2.1.1, temos que
|ψi = |ϕ1 i⊗|ϕ2 i = ac|00i+ad|01i+bc|10i+bd|11i, onde |ac|2 +|ad|2 +|bc|2 +|bd|2 = 1,
donde decorrem as equações de (3) a (6). Supondo que as igualdades (3), (4), (5) e
(6) sejam simultaneamente satisfeitas e substituindo-as nas respectivas posições em (1),
obtemos que |ψi = ac|00i + ad|01i + bc|10i + bd|11i = (a|0i + b|1i) ⊗ (c|0i + d|1i), o
que classifica |ψi como separável. 276
Lema 2.1.2. As igualdades (3), (4), (5) e (6) são simultaneamente satisfeitas se, e
somente se,
α0 α3 = α1 α2 .
(7)
Demonstração. Suponha que (3), (4), (5) e (6) sejam simultaneamente satisfeitas. Então,
(7) é satisfeita para quaisquer escolhas de a, b, c e d. Mostraremos agora o contrário, ou
seja, dados α0 , α1 , α2 , α3 ∈ C, tais que |α0 |2 + |α1 |2 + |α2 |2 + |α3 |2 = 1, é possível
escrevê-los em forma de produto de outros dois números complexos, usando mais uma
restrição: α0 α3 = α1 α2 . Para isso, basta considerar os dois casos a seguir.
1. Suponha que os coeficientes α0 , α1 , α2 , α3 ∈ C∗ , onde C∗ denota o conjunto dos
números complexos não nulos. Escolhemos a seguinte decomposição para uma
escolha de β0 fixo: α0 = β0 β2 , α1 = β0 β3 e α2 = β1 β2 , onde β0 , β1 , β2 , β3 ∈ C∗ .
Como α0 6= 0 e β0 6= 0, então β2 é único. Disto decorre que β3 é único e β1
também é único. Consequentemente, de (7), temos que a única representação para
α3 é α3 = β1 β3 .
2. Se α0 = 0, por (7) temos que α1 = 0 ou α2 = 0. Para ambos nulos, temos
como estado resultante |ψi = α3 |11i, que é separável. Segue, pelo Lema 2.1.1,
que as decomposições (3), (4), (5) e (6) são válidas. Sem perda de generalidade,
suponhamos que α1 = 0 e α2 6= 0. Se α3 = 0, então o estado resultante é |ψi =
α2 |10i. Caso contrário, |ψi = α2 |10i + α3 |11i = |1i ⊗ (α2 |0i + α3 |1i. Nos dois
casos, temos estados separáveis e, pelo Lema 2.1.1, as decomposições (3), (4), (5)
e (6) são válidas. O mesmo resultado pode ser obtido supondo α1 = 0, α2 = 0 ou
α3 = 0. A proposição abaixo decorre diretamente dos Lemas 2.1.1 e 2.1.2.
Proposição 2.1.1. Um estado genérico de dois q-bits |ψi, dado em (1), é separável
se, e somente se, α0 α3 = α1 α2 .
Em seguida, apresentamos uma interpretação geométrica para a equação (7). Esta
interpretação baseia-se no conceito de distância de Hamming. Seguem as definições
necessárias.
Definição 2.1.2. Sejam s e t dois vetores com coordenadas em {0, 1}. A distância
de Hamming entre s e t, denotada por dist(s,t), é definida pelo número de posições em
que as coordenadas são distintas. Por exemplo, se s=(01) e t=(10), então temos que dist(s,
t)=2.
Definição 2.1.3. Seja αm , para algum m ∈ {0, · · · , 2N − 1}, o m-ésimo coeficiente de um estado quântico genérico com N q-bits. Dado N , definimos rb(m) como
sendo a representação binária do índice m.
2.2. Interpretação geométrica do critério de separabilidade para N = 2
De acordo com a Definição 2.1.3, é possível associar ao índice i de αi , i ∈ {0, 1, 2, 3},
uma única representação binária rb(i), para N = 2 fixo. Pela notação dada em (1), cada i
está associado à representação binária que constitui o ket do qual αi é coeficiente.
No espaço formado por todas as seqüências de dois dígitos sobre o alfabeto binário
(espaço de Hamming), os vértices de um quadrado de lado unitário são representados
por 00, 01, 10 e 11. Esta representação é única, a menos de isometrias. Como há
277
uma única representação binária constituindo cada ket, podemos associar, de forma bem
definida, cada representação binária a um vértice do quadrado unitário, uma vez que
{00, 01, 10, 11} = {rb(i), i = 0, 1, 2, 3} (Figura 1). Caso o αi associado a um dado
vértice i seja nulo, dizemos que tal vértice não está definido.
Definição 2.2.1. Dois vértices i, j do quadrado unitário são ditos consecutivos,
se dist(rb(i), rb(j)) = 1 e coincidentes, se dist(rb(i), rb(j)) = 0. Para simplificar a
notação, daqui por diante adotaremos a expressão dist(i, j).
Decorrente da Definição 2.2.1, concluímos que, se dist(i, j) = 2, então i e j são
vértices não consecutivos e definem uma diagonal, que denotaremos simplesmente por
(i, j). Sendo αi e αj os coeficientes associados a i e j, respectivamente, associaremos
a diagonal (i, j) ao produto αi .αj . Quando uma diagonal contém pelo menos um vértice cujo coeficiente associado é nulo, dizemos que a diagonal não está definida. Essa
associação será fundamental para o restante do trabalho e ficará mais clara adiante.
α2 ∼ 10
α3 ∼ 11
00
01
10
11
α0 ∼ 00
00
0
1
1
2
01
1
0
2
1
10
1
2
0
1
11
2
1
1
0
α1 ∼ 01
Tabela 1.
Figura 1.
Na Tabela 1, apresentamos a distribuição das distâncias de Hamming entre as
representações binárias para N = 2. Considerando os casos que definem diagonais,
temos as seguintes associações:
(01, 10) ←→ α1 α2
e (00, 11) ←→ α0 α3 .
Como são diagonais do mesmo quadrado, relacionaremos esse fato à equação
α0 α3 = α1 α2 , que é exatamente a equação que constitui o critério de separabilidade
para N = 2.
2.3. Classificação dos estados com 2 q-bits
• Estados com 4 parcelas. Neste caso, basta verificar se a equação α0 α3 = α1 α2
é satisfeita. Em caso afirmativo, temos estado separável. Caso contrário, temos
estado emaranhado.
• Estados com 3 parcelas. Neste caso, um único vértice i do quadrado tem o respectivo coeficiente αi nulo. Então, temos uma diagonal do quadrado definida e outra
não, de tal forma que (7) não é satisfeita por ter um membro igual a zero e o outro
não. Por isso, concluímos que um estado qualquer de 2 q-bits com três parcelas é
emaranhado.
• Estados com 2 parcelas. Neste caso, dois vértices do quadrado, i e j, têm coeficientes nulos. Se dist(i, j) = 1, os vértices são consecutivos e as duas diagonais
não estão definidas, de forma que (7) é satisfeita e os estados correspondentes
são separáveis. Se dist(i, j) = 2, temos apenas uma diagonal definida, o que
implica que (7) não é satisfeita e os estados são emaranhados. São exemplos
278
desta classe |β00 i = α√
0 |00i + α3 |11i e |β01 i√= α1 |01i + α2 |10i, que, para a
escolha α0 = α3 = ± 2/2 e α1 = α2 = ± 2/2, resultam nos pares de Bell
[Nielsen and Chuang 2000].
• Estados com 1 parcela. Neste caso, ambas as diagonais não estão definidas e, por
isso, (7) é satisfeita. Portanto, todos os estados com uma parcela são separáveis.
3. Estados com 3 q-bits
Baseados nos resultados apresentados na Seção 2, passamos ao estudo para N = 3.
3.1. Construção do critério de separabilidade
Um estado genérico composto por três q-bits pode ser representado na forma
|ψi = α0 |000i + α1 |001i + α2 |010i + α3 |011i
+ α4 |100i + α5 |101i + α6 |110i + α7 |111i,
P
onde αi ∈ C, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, tais que 7i=0 |αi |2 = 1.
(8)
Consideremos três estados de um q-bit
|ϕ1 i = a|0i + b|1i,
|ϕ2 i = c|0i + d|1i,
|ϕ3 i = e|0i + f |1i,
tais que a, b, c, d, e, f ∈ C, |a|2 + |b|2 = 1, |c|2 + |d|2 = 1 e |e|2 + |f |2 = 1.
Definição 3.1.1. Um estado genérico com 3 q-bits |ψi, dado em (8), é dito separável se puder ser escrito como |ψi = |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i.
Considerando que
|ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i = ace|000i + acf |001i + ade|010i + adf |011i
+ bce|100i + bcf |101i + bde|110i + bdf |111i,
(9)
onde |ace|2 + |acf |2 + |ade|2 + |adf |2 + |bce|2 + |bcf |2 + |bde|2 + |bdf |2 = 1, obtemos
os lemas abaixo.
Lema 3.1.1. Um estado genérico com 3 q-bits |ψi, dado em (8), é separável se, e
somente se, as igualdades abaixo são simultaneamente satisfeitas:
α0 = ace,
α1 = acf,
α2 = ade,
α3 = adf,
α4 = bce,
α5 = bcf,
α6 = bde,
α7 = bdf.
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Demonstração. Supondo que |ψi = |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i e igualando os respectivos
coeficientes dos kets em (8) e (9), segue a verificação. Suponha agora que as igualdades
279
de (10) a (17) sejam simultaneamente satisfeitas. Substituindo cada uma delas nas respectivas posições em (8), obtemos:
|ψi = ace|000i + acf |001i + ade|010i + adf |011i + bce|100i
+ bcf |101i + bde|110i + bdf |111i
= a|0i ⊗ (ce|00i + cf |01i + de|10i + df |11i)
+ b|1i ⊗ (ce|00i + cf |01i + de|10i + df |11i)
= a|0i ⊗ {c|0i ⊗ (e|0i + f |1i) + d|1i ⊗ (e|0i + f |1i)}
+ b|1i ⊗ {c|0i ⊗ (e|0i + f |1i) + d|1i ⊗ (e|0i + f |1i)}
= (a|0i + b|1i) ⊗ (c|0i + d|1i) ⊗ (e|0i + f |1i)
= |ϕ1 i ⊗ |ϕ2 i ⊗ |ϕ3 i,
o que caracteriza |ψi como separável.
Lema 3.1.2. As igualdades de (10) a (17) são todas válidas se, e somente se, as
equações abaixo são simultaneamente satisfeitas:
α0 α3 = α1 α2 ,
(18)
α0 α5 = α1 α4 ,
(19)
α2 α7 = α3 α6 ,
(20)
α4 α7 = α5 α6 ,
(21)
α0 α6 = α2 α4 ,
(22)
α1 α7 = α3 α5 ,
(23)
α0 α7 = α1 α6 ,
(24)
α0 α7 = α2 α5 ,
(25)
α0 α7 = α3 α4 .
(26)
Demonstração. Supondo que as igualdades de (10) a (17) são simultaneamente
satisfeitas, é fácil verificar que as equações de (18) a (26) são satisfeitas para quaisquer
escolhas de a, b, c, d, e, f ∈ C, tais que |a|2 + |b|2 = 1, |c|2 + |d|2 = 1 e |e|2 + |f |2 = 1. A
“volta” pode ser demonstrada usando a mesma idéia utilizada na demonstração do Lema
2.1.2. A proposição abaixo decorre diretamente dos Lemas 3.1.1 e 3.1.2.
Proposição 3.1.1. Um estado genérico com 3 q-bits |ψi, dado em (8), é separável
se, e somente se, as equações de (18) a (26) são simultaneamente satisfeitas.
3.2. Interpretação geométrica das equações do critério
Para o caso N = 3, também é possível associar cada índice i dos coeficientes αi ’s, i ∈
{0, 1, · · · , 7}, à respectiva representação binária que, pela notação dada em (8), compõe
o ket do qual αi é coeficiente.
No espaço formado por todas as seqüências de três dígitos sobre o alfabeto binário,
os vértices de um cubo de lado unitário são representados de forma única, a menos de
280
isometrias, por {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} = {rb(i), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Como a representação binária de cada ket é única, podemos associar cada representação
binária a um vértice do cubo. Assim, dado um vértice i, há um único αi associado, como
mostra a Figura 2. Caso o respectivo αi seja nulo, dizemos que o vértice i não está
definido.
α6 ∼ 110
α7 ∼ 111
α3 ∼ 011
α2 ∼ 010
α4 ∼ 100
α0 ∼ 000
α1 ∼ 001
α5 ∼ 101
000
001
010
011
100
101
110
111
000
0
1
1
2
1
2
2
3
001
1
0
2
1
2
1
3
2
010
1
2
0
1
2
3
1
2
011
2
1
1
0
3
2
2
1
100
1
2
2
3
0
1
1
2
101
2
1
3
2
1
0
2
1
110
2
3
1
2
1
2
0
1
111
3
2
2
1
2
1
1
0
Tabela 2.
Figura 2.
A distribuição das distâncias de Hamming entre as representações binárias dos
kets são apresentadas na Tabela 2. Em termos desta distância, as definições para vértices
coincidentes e consecutivos, são análogas ao caso N = 2. Com relação às diagonais,
como as faces do cubo são quadrados, as diagonais das faces são geradas de forma análoga
ao caso N = 2: dados dois vértices i e j em uma face, esses definem uma diagonal de
face se dist(i, j) = 2. Dada uma outra diagonal (k, l), essa pertencerá à mesma face de
(i, j) se, e somente se, dist(i, k) = dist(j, l)) = 1. As diagonais principais do cubo, por
sua vez, são definidas por vértices i e j satisfazendo dist(i, j) = 3. Para associarmos uma
outra diagonal principal (k, l), escolhemos, por convenção, que dist(i, k) = dist(j, l) =
1. De acordo com a Tabela 2 e as restrições apresentadas, listamos as possibilidades de
combinações para as duas diagonais de cada face e para os pares de diagonais principais,
associados às equações envolvendo os coeficientes αi ’s, da mesma forma que fizemos no
caso N = 2:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(000, 011) e (001, 010) ←→ α0 α3
(000, 101) e (001, 100) ←→ α0 α5
(000, 110) e (010, 100) ←→ α0 α6
(001, 111) e (011, 101) ←→ α1 α7
(010, 111) e (011, 110) ←→ α2 α7
(100, 111) e (101, 110) ←→ α4 α7
(000, 111) e (001, 110) ←→ α0 α7
(000, 111) e (010, 101) ←→ α0 α7
(000, 111) e (011, 100) ←→ α0 α7
= α1 α2 ,
= α1 α4 ,
= α2 α4 ,
= α3 α5 ,
= α3 α6 ,
= α5 α6 ,
= α1 α6 ,
= α2 α5 ,
= α3 α4 .
Note que obtemos exatamente as equações de (18) a (26), que formam o critério de separabilidade para N = 3. A partir desse resultado, apresentamos a classificação dos estados
com 3 q-bits.
3.3. Classificação dos estados com 3 q-bits
Como as faces do cubo são quadrados, consideremos, inicialmente, os resultados obtidos
para o caso N = 2:
281
R1 . Se i e j são vértices associados a coeficientes nulos, tais que dist(i, j) = 2,
então a equação referente às diagonais da face que os contêm não é satisfeita;
R2 . Se i e j são vértices associados a coeficientes nulos, tais que dist(i, j) = 1,
as equações referentes às diagonais das faces que os contêm não é satisfeita;
R3 . Se há um único vértice com coeficiente nulo em uma face, a equação referente
às diagonais dessa face não é satisfeita.
Agora, consideremos as seguintes propriedades do cubo:
P1 . Sejam i e j vértices de um cubo. Há uma face que contém somente um dos
vértices i e j.
P2 . Sejam i, j e k vértices de um cubo. Se dist(i, j) = 3 e dist(i, k) = 2 (ou
dist(j, k) = 2), então há uma face contendo somente i e k (ou j e k) que, por sua vez, são
não consecutivos.
P3 . Se i, j e k são vértices de um cubo e dist(i, j) = dist(i, k) = 2, então não
existe uma face que contenha i, j e k.
Note que os resultados obtidos para o caso N = 2 são introduzidos no contexto
de N = 3 a partir das propriedades do cubo. Por exemplo, sejam i e j dois vértices
de um cubo associados aos coeficientes nulos αi e αj , respectivamente. Independente
das respectivas localizações, de acordo com P1 , haverá uma face contendo somente i.
Baseados em R3 , garantimos que a equação referente às diagonais dessa face não será
satisfeita, e, portanto, o estado obtido a partir de αi = αj = 0 é classificado como
emaranhado.
Com o objetivo de facilitar a argumentação da classificação que segue, consideremos i, j, k, l e m os vértices de um cubo associados a coeficientes nulos, no número
adequado para o total de parcelas de cada caso. As possibilidades de alocá-los no
cubo são apresentadas em função da distância entre um dos vértices, por exemplo,
o vértice i, que é mantido fixo, e os demais, na forma dist(i, j), dist(i, k), dist(i, l)
e dist(i, m). Cada uma dessas expressões assume o valor 1, 2 ou 3. Observando a ocorrência de cada um desses valores, definimos o vetor v, dado por: v =
(número de resultados ‘1’, número de resultados ‘2’, número de resultados ‘3’), que será
utilizado para os casos de estados com 3 e 4 parcelas.
• Estados com 8 parcelas. Se as equações de (18) a (26) são todas satisfeitas, então
temos estado separável. Caso contrário, temos estado emaranhado.
• Estados com 7 parcelas. Um único vértice tem coeficiente nulo associado. De
acordo com R3 , as equações referentes às diagonais das faces nas quais está contido não são satisfeitas. Por isso, temos estados emaranhados.
• Estados com 6 parcelas. Sejam i e j os vértices com coeficientes nulos. Para
i fixo, temos três casos referentes às possibilidades de valores da distância de
Hamming: dist(i, j) = 1, dist(i, j) = 2 e dist(i, j) = 3. De acordo com R2 , R1
e P1 , R3 , respectivamente, temos estados emaranhados para todos os casos.
• Estados com 5 parcelas. Os vértices i, j e k podem ser tais que:
1. dist(i, j) = 1 e dist(i, k) = 1. Segue que dist(j, k) = 2. Por P1 e R3 ,
temos estados emaranhados.
2. dist(i, j) = 1 e dist(i, k) = 2. Decorre que dist(j, k) = 1 ou 3. Para
282
os dois casos temos estados emaranhados, em consequência de P1 , R3 e
P2 , R1 , respectivamente.
3. dist(i, j) = 1 e dist(i, k) = 3. De acordo com P2 e R1 , temos estados
emaranhados. O mesmo argumento se aplica ao caso dist(i, j) = 2 e
dist(i, k) = 3.
4. dist(i, j) = dist(i, k) = 2. Por P3 e R1 , temos estados emaranhados.
• Estados com 4 parcelas. Os vértices i, j, k e l podem ser tais que:
1. dist(i, j) = dist(i, k) = 1 e dist(i, l) = 2.
(a) Se v = (210), então i, j, k e l pertencem à mesma face e fazse necessária a análise da equação referente às diagonais da face
oposta àquela que contém os vértices de coeficientes nulos. Os
vértices a, b, c, d contidos na face oposta são dados, sem perda de
generalidade, pela condição dist(i, a) = dist(j, b) = dist(k, c) =
dist(l, d) = 3. A equação referente a essa face é dada por
αa αb = αc αd , para a, b, c, d escolhidos de acordo com dist(a, b) =
dist(c, d) = 2. Se a equação for satisfeita, então o estado é separável. Caso contrário, é emaranhado.
(b) Se v = (111), então há uma face que contém um único vértice de
coeficiente nulo e, por R3 , temos estados emaranhados.
2. O mesmo argumento do item 1 (b) se aplica para os seguintes casos: (a)
dist(i, j) = dist(i, k) = 1 e dist(i, l) = 3; (b) dist(i, j) = 1, dist(i, k) =
2 e dist(i, l) = 3, com v = (210); (c) dist(i, j) = 1, dist(i, k) =
dist(i, l) = 2; (d) dist(i, j) = 3, dist(i, k) = dist(i, l) = 2 e (e)
dist(i, j) = dist(i, k) = dist(i, l) = 1.
3. dist(i, j) = dist(i, k) = dist(i, l) = 2. Nesse caso, existe uma face
com exatamente dois vértices de coeficientes nulos e não consecutivos.
De acordo com R1 , temos estados emaranhados. O mesmo argumento se
aplica a dist(i, j) = 1, dist(i, k) = 2 e dist(i, l) = 3, com v = (111).
• Estados com 3 parcelas. Os vértices i, j, k, l e m podem ser tais que:
1. dist(i, j) = dist(i, k) = dist(i, l) = 1 e dist(i, m) = 2. Há uma face
com apenas um dos vértices i, j, k, l e m. De acordo com R3 , temos estados emaranhados. O mesmo argumento se aplica aos seguintes casos: (a)
dist(i, j) = dist(i, k) = 1 e dist(i, l) = dist(i, m) = 2, com v = (321);
(b) dist(i, j) = dist(i, k) = 1, dist(i, l) = 2 e dist(i, m) = 3, com
v = (330) e (c) dist(i, j) = 1, dist(i, k) = dist(i, l) = 2 e dist(i, m) = 3,
com v = (420). Um exemplo para o caso (c) é o estado de Werner
|ψi = √13 (|001i + |010i + |100i): i, j, k, l, m = 0, 4, 5, 6, 7, respectivamente, de forma que dist(j, k) = dist(j, l) = dist(k, m) = dist(l, m) =
1, dist(j, m) = dist(k, l) = 2 =⇒ v = (420).
2. dist(i, j) = dist(i, k) = dist(i, l) = 1 e dist(i, m) = 3. Há uma face que
contém exatamente dois vértices de coeficientes nulos e não consecutivos.
De acordo com R1 , temos estados emaranhados. O mesmo argumento se
aplica aos seguintes casos: (a) dist(i, j) = 1, dist(i, k) = dist(i, l) =
dist(i, m) = 2; (b) dist(i, j) = dist(i, k) = dist(i, l) = 2 e dist(i, m) =
3; (c) dist(i, j) = 1, dist(i, k) = dist(i, l) = 2 e dist(i, m) = 3, com v =
(321); (d) dist(i, j) = dist(i, k) = 1 e dist(i, l) = dist(i, m) = 2, com
283
v = (222) e (e) dist(i, j) = dist(i, k) = 1, dist(i, l) = 2 e dist(i, m) = 3,
com v = (231).
• Estados com 2 parcelas. Nesse caso, o raciocínio utilizado para os casos 3 e 4
parcelas também é válido. Entretanto, temos uma condição simplificada para a
classificação. Considerando i e j os vértices associados a coeficientes não nulos,
se dist(i, j) 6= 1, então os estados são emaranhados. O estado GHZ, |ψi =
√1 (|000i + |111i), é um exemplo de emaranhado para duas parcelas, pois, nesse
2
caso, i = 0, j = 7 =⇒ dist(i, j) = 3.
• Estados com 1 parcela. De acordo com definição, todos são estados separáveis.
4. Considerações finais
De acordo com o critério proposto, é possível classificar em emaranhado ou separável
um estado qualquer com 3 q-bits. Esta classificação decorre da análise das equações de
(18) a (26) a partir dos valores dos coeficientes que caracterizam o estado. Além disso,
identificamos cada ket e o respectivo coeficiente aos vértices de um cubo unitário e associamos cada diagonal ao produto dos coeficientes dos vértices que a definem. Decorre
desta interpretação que o conjunto das possibilidades de vértices no cubo que definem
diagonais (nas faces ou principais) equivale ao conjunto de equações do critério. Assim, pela localização dos vértices com coeficientes nulos no cubo, pode-se verificar se as
equações envolvendo as duas diagonais de cada face e pares de diagonais principais são
satisfeitas, donde segue a classificação. Está em andamento a generalização do critério e
das interpretações geométricas apresentadas.
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