Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
→
→
1
→
01 Três vetores A , B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: Ax =
→
→
→
6, Ay= -3; Bx= -3, By=4; Cx=2, Cy=5. Qual o valor do módulo de A + B + C ?:
02 Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores:
Λ
Λ
→
→
a) A = 5 i + 3 j ,
Λ
Λ
→
b) B = 10 i -7 j ,
Λ
Λ
Λ
c) C = 2 i - 3 j + 4 k .
03 Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores:
→
→
→
→
→
→
Λ
Λ
→
Λ
Λ
A , B e C = A + B considere: A = -4 i -7 j , B = 3 i - 2 j .
04 Seja o triângulo retângulo em A, de vértices A=(3,-2,8), B=(0, 0, 2) e C=(-3,-5, 10).
Calcular: a) BH
b) m
c) n
05 Conhecendo-se os pontos A = (a, 0) e B = (0, a), achar as coordenadas do vértice C,
sabendo-se que o triângulo ABC é eqüilátero.
06 Um triângulo eqüilátero tem vértices A = (x, y), B = (3, 1) e C = (- 1, - 1). Calcular
o vértice A.
07 Sejam M = (2, - 1), M = (1, - 2) e M = (- 1, 3) os pontos médios dos lados de um
triângulo. Achar os vértices desse triângulo.
08 Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos (1, 2) e ( 5, 6). Determine a área do
quadrado.
09 Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é eqüidistante dos
pontos
Prof. M.Sc. Carlos Bezerra
Livro: © Copyright by Jacir J. Venturi [álgebra vetorial e geometria analítica]
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
2
10 Encontre o ponto P = (x, y) eqüidistante dos pontos P = (0, - 5), P = (- 1, 2) e P = (6, 3).
11 O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G = (4, 0) e M = (2, 3) o ponto
médio de BC . Achar as coordenadas do vértice A.
12 Num triângulo ABC, são dados os vértices A = (- 4, 10) e B = (8, -1). Determinar
o baricentro G e o vértice C, sabendo-se situados respectivamente sobre os eixos y e x.
13 Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido em três partes
iguais pelos pontos P = (- 1, 3) e P = (1, 5).
14 Dados u = (1, 2, 0), v= (2, 1, -1) e w = (0, 2, 3), achar:
a) 2u - v + 4w
b) 3(u + v) -2(2v - w)
15 Sendo A=(2,0,1) , B=(0,3,-2), C=(1,2,0), determinar D=(x,y,z) tal que BD=AB+CB.
16 Calcular o vetor oposto de AB sendo A = (1, 3, 2) e B = (0, -2, 3).
17 Conhecendo-se u = (1 , 2, 0 ), v = (0, 1, 3) e w = (-1, 3, 1) calcular os escalares m, n e p
em mu + nv + pw = (0, 0, 14).
18 Os vetores u, v e w formam um triângulo, conforme a figura. Sendo u=(1,2,0) e
v=(3,0,3), então w é igual a:
19 Determinar o vetor x, tal que 5x = u -2v, sendo u = (-1, 4, -15) e v = (-3, 2, 5).
Prof. M.Sc. Carlos Bezerra
Livro: © Copyright by Jacir J. Venturi [álgebra vetorial e geometria analítica]
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
20 Calcular P tal
3
que Dados A = (-1, -1, 0) e B = (3, 5, 0).
21 Determinar x, sabendo-se paralelos os vetores :
a) u = (1, 3, 10) e v = (-2, x, -20)
b) v = (0, 2, x) e w = (0, 3, 6)
c) u = 2i - 3 j - k e v = xi - 9j - 3k
22 Sendo A, B, C, D vértices consecutivos de um paralelogramo, calcular as coordenadas
do vértice D. Dados: A = (1, 3), B = (5, 11) e C = (6, 15)
23 Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na ordem escrita. Achar o
vértice A, sabendo-se que B = (0, 1, 3), C = (2, 3, 5) e D = (-1, 0, 2).
24 Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) são colineares.
25 Calcular x e y sabendo que os pontos A = (1, -1, 3), B = (x, y, 5) e C = (5, -13, 11) são
colineares.
26 Na figura abaixo, obter a expressão cartesiana do vetor (P - O).
Prof. M.Sc. Carlos Bezerra
Livro: © Copyright by Jacir J. Venturi [álgebra vetorial e geometria analítica]
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
4
27 Seja o paralelepípedo representado na figura. Conhecendo-se os vértices B=(1,2,3),
D= (2, 4, 3), E=(5,4,1) e F=(5,5,3), pede-se os vértices A e G.
28 Seja um paralelogramo construído sobre u e v. Determinar o ângulo entre as diagonais
do paralelogramo.
29 Calcular o ângulo entre os vetores a + 2b - c e - a + b - 2c, sabendo-se que | a | = | b | = |
c | = 1 e que a, b e c são mutuamente ortogonais
30 Na figura, calcular o ângulo entre os vetores b e c, sendo
Sugestão: Como c = a - b faça o produto escalar entre b e a-b
31 Calcular os módulos e o produto escalar dos vetores
32 Sendo u = i - 2j + k e v = - i + j, achar:
a) a medida do ângulo entre os vetores u e v;
b) a medida da projeção do vetor v sobre o vetor u.
Prof. M.Sc. Carlos Bezerra
Livro: © Copyright by Jacir J. Venturi [álgebra vetorial e geometria analítica]
Exercícios de apoio à disciplina Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
5
35 Achar o ângulo entre os vetores u = (10, -5, 0) e v = (1, 2, 3).
36 Provar que ABC é triângulo retângulo, sendo A=(3, -2, 8), B=(0, 0, 2) e C=(-3,-5,10).
37 Os vetores u = ai + j e v = 2i - j + 2k formam um ângulo de 45º.Achar os valores de a.
38 Seja o triângulo de vértices A=(0,0,0), B=(1,-2,1) e C=(1,1,-2). Pede-se o ângulo
interno ao vértice A.
39 Os pontos A = (2, 1, 2), B = (1, 2, z) e C = (-1, 0, -1) são vértices de um triângulo
retângulo, com ângulo reto em B.Calcular z.
Sugestão: O produto interno dos catetos deve ser nulo. Por exemplo: (B - A) . (C - B) = 0
40 Calcular o valor de m para que o vetor u + v seja ortogonal ao vetor w - u, onde
u=(2,1,m), v=(m + 2,-5,2) e w=(2m,8,m).
Prof. M.Sc. Carlos Bezerra
Livro: © Copyright by Jacir J. Venturi [álgebra vetorial e geometria analítica]