MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
1. Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no
ponto P reflete internamente três vezes e chega ao
ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo,
considere que o comprimento do segmento PB é de 6
cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um
retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são
congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão
interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe
luminoso no trajeto PFGHQ?
a) 12 cm.
b) 15 cm.
c) 16 cm.
d) 18 cm.
Resposta:[B]
ΔHPQ ΔFQP(L.A.A o )
HP
FQ
K e PF
ΔBHG
AG
BG
3
e HG = GF
2
ΔAFG(L.A.A o )
3
2
3
ΔAGF~ΔQPF
No ΔGBH : GH2
6 K
K
22
3
2
K
HQ
4
2
GH
5
2
No Δ HPQ: HQ2 42 32
HQ 5
Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é
PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.
2. Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão
fixadas em duas hastes retas, sendo que uma
delas está perpendicular às cordas. O
comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da
menor é de 30 cm. Sabendo que a haste não
perpendicular às cordas possui 25 cm de
comprimento da primeira à última corda, se
todas as cordas são equidistantes, a distância
entre duas cordas seguidas, em centímetros, é
a) 1. b) 1,5. c) 2.
d) 2,5.
e) 3.
Resposta: [E]
2
2
2
25 = 20 + (5x)
2
625 = 400 + 25x
2
25x = 225
2
x =9
x=3
3. As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma PA. Se x é a medida do menor ângulo
interno desse triângulo, o valor de tg x é:
a) 0,6
b) 0,5
c) 0,8
d) 0,45
e) 0,75
Resposta: [E]
Sejam  r,  e  r os lados do triângulo, em que  e r são reais positivos.
Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos
( r)2
2
( r)2
2
2r r 2
2
2
2r r 2
4r 2
 4r.
1
Sabendo que o menor ângulo interno do triângulo é oposto ao menor lado, vem
tgx
 r

4r r
4r
3
4
0,75.
4. A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é correto afirmar-se que
a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem 3 cm.
b)
são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem
3 cm.
c)
são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem
3 cm.
d)
são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem
e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem
Resposta: [C]
3 cm.
3 cm.
6.(6 3)
9.
2
Medida das diagonais maiores: 1 + 1 = 2 cm.
Número de diagonais: d =
Medida das diagonais menores: x.
2
2
2
Na figura: x + 1 = 2
x=
3
são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem
3 cm.
5. Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 30 cm por 21cm e dobrou
conforme o procedimento abaixo descrito.
1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M
2º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E
3º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.
2
4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.
Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR, em centímetros, é igual a
a) 6
b) 6 2
c) 9
d) 9 2
Resposta: [D]
ˆ
45.
O Δ MEN é isósceles, logo ENM
ˆ
ˆ
QRM
ENM
45 (ângulos correspondentes) e MQ = QR = 15 – 6 = 9.
2
2
Logo, o segmento MR = 9 + 9
2
MR
9
2.
6. A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e
dois círculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do
quadrado.
A razão entre R e r é igual a:
5
3
a) 2
b) 3
c)
d) 2
e)
2
2
Resposta: C
Observando a figura, podemos escrever que
R r
R2
2
R2
2.R.r r 2
4R2 6.Rr
R
2R r
R2
2
4R2
4Rr r 2
0
0(não convém) ou
3
R
r
3
2
7. Duas vilas da zona rural de um município localizam-se na mesma margem de um trecho retilíneo de um
rio. Devido a problemas de abastecimento de água, os moradores fizeram várias reivindicações à
prefeitura, solicitando a construção de uma estação de bombeamento de água para sanar esses
problemas. Um desenho do projeto, proposto pela prefeitura para a construção da estação, está
mostrado na figura a seguir. No projeto, estão destacados:
• Os pontos R1 e R2, representando os reservatórios de água de
cada vila, e as distâncias desses reservatórios ao rio.
• Os pontos A e B, localizados na margem do rio,
respectivamente, mais próximos dos reservatórios R1 e R2.
• O ponto S, localizado na margem do rio, entre os pontos A e B,
onde deverá ser construída a estação de bombeamento.
Com base nesses dados, para que a estação de bombeamento
fique a uma mesma distância dos dois reservatórios de água das
vilas, a distância entre os pontos A e S deverá ser de:
a) 3.775 m
b) 3.825 m
c) 3.875 m
d) 3.925 m
e) 3.975 m
Resposta: [C]
d2
x2 12 e d2
Logo, x2
12
x 4
x 4
2
2
42
42
8x 31
x 3,875
8. Uma pessoa caminhou 5 km para o norte, 5 km para o leste e 7 km para o norte, novamente. A que
distância ela está do seu ponto de partida?
a) 5 km
b) 13 km
c) 20 km
d) 27 km
Resposta: [B]
9. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos
internos de um hexágono é:
a) 180º
b) 360º
c) 540º
d) 720º
e) 900º
Resposta: [D]
O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo vértice.
Logo, a soma de seus ângulos internos será:
o
o
S = 4.180 = 720
4
10. O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado igual a 9 cm.
Seus lados foram divididos em 9 partes iguais e, pelos
pontos de divisão, traçaram-se paralelas à diagonal AC. A
soma dos comprimentos dessas paralelas incluindo AC é:
a) 90 2 cm
b) 72 2 cm
c) 81 2 cm
d) 80 2 cm
e) 86 2 cm
Resposta:
Logo,
[C]
a
soma
1 2 2 2 3 2
pedida
será
4 2 5 2 6 2 7 2 8 2
S
9 2
=
2
81 2
11. Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de
um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos
de Q é
a) 144 graus.
b) 150 graus.
c) 156 graus.
d) 162 graus.
Resposta:[B]
6.(6 3)
Lados de Q: n – 3 = 9
9
2
180 (12 2)
Ângulo interno de Q:
= 150 graus
12
Diagonais de P:
n = 12
12. Na figura ao lado, o pentágono ABCDE, inscrito no círculo, é
regular. A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e, indicados
na figura, é
°
°
°
a) 150 .
b) 180 .
c) 270 .
°
°
d) 360 .
e) 450 .
Resposta: B
13. Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B,
C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura
2). Seja D' esta nova posição do vértice D e x a distância de A a D'.
A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
x3
a) A =
42
x
c) A =
x3
441x
3
b) A =
84
x2
441
441x
84
441x
d) A =
e) A =
84
Resposta: [C]
5
x2
441
42
14. Se olharmos ao redor, perceberemos como o mundo evoluiu a partir do século XVIII e início do XIX,
com a Revolução Industrial. O advento da máquina, em suas variadas formas, alargou os horizontes do
homem, proporcionando novos recursos para o desenvolvimento urbano e industrial, desde as
descobertas de fontes de energia até a expansão de mercados e de territórios dentro e fora da Europa.
A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada durante a Revolução Industrial, constituindo fator
fundamental para o progresso da indústria e dos meios de transporte. Posteriormente, surgiram
máquinas com motores de combustão interna
que utilizam o mecanismo chamado "bielamanivela" - tal mecanismo transforma o
movimento de rotação de uma polia em
movimento de translação de um pistão (vaivém)
ou vice-versa.
Observe as duas configurações distintas desse
mecanismo representadas a seguir:
Sendo r o raio da polia, OQ1=OQ2=r e Q1P1=Q2P2,
conclui-se que, em (II), a distância entre P1 e P2 é:
a)
r
2
b) 2r
d) r 3
Resposta: [D]
c)
(r 3 )
2
e) r
15. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para
o revestimento de pisos ou paredes.
Entretanto, não são todas as combinações
de polígonos que se prestam a pavimentar
uma superfície plana, sem que haja falhas
ou superposições de ladrilhos, como ilustram
as figuras:
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos
internos.
Nome
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Figura
Ângulo interno
Nome
60°
90°
108°
Hexágono
Octágono
Eneágono
120°
135°
140°
Figura
Ângulo interno
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da
tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
a) triângulo.
b) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
6
Resposta: [B]
Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno
do quadrado mede 90°.
Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o
quadrado.
16. A área máxima que pode ter um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm é:
a) 50
b) 70
c) 35
d) 57
e) 25
Resposta: [A]
17. Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe as figuras anteriores, onde estão descritos
os passos iniciais para se fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de
papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que
os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da fig.3, pode-se concluir que o
ângulo BED mede:
°
a) 100
°
b) 112 30'
°
c) 115
°
d) 125 30'
°
e) 135
Resposta: [B]
18. Na figura a seguir determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento.
Resposta: 58
19. Um quadrado tem dois vértices numa circunferência e um lado tangente a ela, como mostra a figura a
2
seguir. Se a área do quadrado é de 36 cm , o raio da circunferência é, em centímetros,
a) 2,5
Resposta: [E]
b) 2,75
c) 3,25
d) 3,5
7
e) 3,75