universidade federal do rio grande do norte
centro de ciências exatas e da terra
departamento de física teórica e experimental
programa de pós-graduação em física
SIMETRIA DE INVARIÂNCIA DE ESCALA
DISCRETA, LOG-PERIODICIDADE E
SINGULARIDADES EM TEMPO FINITO
CYNTIA VANESSA HENRIQUE BEZERRA DE SANTANA
Natal, 1º de março de 2013
cyntia vanessa henrique bezerra de santana
SIMETRIA DE INVARIÂNCIA DE ESCALA
DISCRETA, LOG-PERIODICIDADE E
SINGULARIDADES EM TEMPO FINITO
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de PósGraduação em Física do Departamento de Física Teórica
e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de mestre em Física.
Orientador: Prof. Dr. Madras Viswanathan Gandhi Mohan
Natal, 1º de março de 2013
ii
Agradecimentos
Agradeço ao professor Gandhi pela contribuição neste trabalho e por sempre inspirar
motivação para minha vida profissional e pessoal.
Agradeço também aos amigos que estiveram comigo ao longo desta jornada (e desde
antes deste trabalho) Aline, Gislene, Samuraí, Tiago, Thiago Rafael, Thiago Crisóstomo,
Tiago César, André, Amanda e Gabrielle, por terem contribuído direta ou indiretamente
para o meu sucesso profissional e pessoal.
Agradeço à minha família, Grace e Luís, por me apoiarem sempre que foi/é preciso.
Finalmente, ao professor Luciano, pelo apoio desde minha graduação, e ao CNPq,
pelo apoio financeiro concedido.
iii
Resumo
Venho apresentar uma revisão e análise do tema de simetria de invariância de escala discreta.
O assunto vem sendo estudado nas últimas décadas, pois é uma propriedade matemática que
se descobriu estar presente em diversos sistemas: físicos, econômicos, sociais etc. Primeiramente, é feita uma revisão dos conceitos de simetria de invariância de escala, de singularidades
e de log-periodicidade, mostrando como tais conceitos se relacionam. Venho também discutir
a relevância prática destes, como em casos de previsão de terremotos violentos e de previsão
de quebras em mercados financeiros. Finalmente, apresento os resultados de uma análise
preliminar de dados da bolsa de valores BOVESPA, no contexto da crise financeira global de
2008.
iv
Abstract
I present a review and analysis of discrete scale invariance symmetry. The topic has been
studied in the recent decades because it is a mathematical property that was found to be
present in diverse systems: physical, economic, social etc. First, I review the concepts of scale
invariance symmetry, of singularities and of log-periodicity, showing how these concepts interrelate. I also discuss their practical relevance, such as for prediction of violent earthquakes
and for prediction of financial markets crashes. Finally, I present the results of a preliminary
analysis of data from the BOVESPA stock exchange, in the context of the global financial
crisis of 2008.
v
Índice
Agradecimentos
iii
Resumo
iv
Abstract
v
1 Introdução
1
2 Simetria e as leis da Física
3
2.1
Conservação dos observáveis físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Simetria de invariância de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Fractais e leis de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Invariância de escala discreta
24
3.1
Comparação com invariância de escala contínua . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Expoentes de escala reais e complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3
Log-periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4 Singularidades em Matemática e Física
4.1
Tipos de singularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
31
31
4.2
Singularidades em tempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3
Singularidades em tempo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.4
Pontos críticos como singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.5
Criticalidade auto-organizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.6
Criticalidade em terremotos, rupturas e quebras de bolsas . . . . . . . . . . .
39
5 Precursores log-periódicos em fenômenos críticos
42
5.1
Precursores log-periódicos em fratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.2
Precursores log-periódicos em terremotos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3
Precursores log-periódicos em partos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.4
A dificuldade de estimar o tempo crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6 Resultados
47
6.1
Quebra na bolsa de valores BOVESPA em 2008 . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2
Análise dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7 Conclusão
52
7.1
Conclusão e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.2
Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Referências
56
vii
Lista de Figuras
2.1
Emmy Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
Fractal construído com DLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5
Uma árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.6
Uma rede aluvial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.7
Broccoli Romanesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.8
Uma descarga elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.9
Gráfico da lei de potência f (x) = x−1,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.10 Gráfico da lei de potência f (x) = x−1,5 em escala logarítmica . . . . . . . . .
22
3.1
Gráfico da função log-periódica f (x) = cos(30 ln(10 − x)). . . . . . . . . . . .
28
3.2
Gráfico da função log-periódica f (y) = cos(30y), em que y = ln(10 − x). . . .
29
4.1
Gráfico da função f (t) = t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2
Gráfico da função f (t) = (4 − t)−1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.1
Gráfico da energia versus pressão em rupturas . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.1
Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2
Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo e os ajustes correspondentes 50
viii
6.3
Gráficos, em diferentes escalas, do índice BOVESPA em função do tempo . .
ix
51
Lista de Tabelas
2.1
Simetrias e conservações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6.1
Parâmetros de ajustes para a função (6.1) e para a função (6.2) . . . . . . .
49
x
Capı́tulo
1
Introdução
Fenômenos que carregam consigo grande poder de destruição sempre costumam chamar a atenção das pessoas ao redor do mundo, justamente pelo poder que eles têm de afetar
drasticamente a vida das pessoas. Exemplos são os terremotos de grande magnitude (e, se
for o caso, os tsunamis decorrentes, como o que aconteceu no Japão em 2011, que matou
mais de 15 mil pessoas1 ), as crises financeiras (como a crise mundial de 2008, que levou à
falência empresas americanas2 ), dentre outros fenômenos cooperativos e globais.
Tais desastres surgem de sistemas que possuem uma natureza complexa, pois a evolução destes sistemas ao longo do tempo não é passível de explicação satisfatória, quando
somente se analisa seus constituintes isoladamente. O comportamento coletivo coerente que
aparece quando estes fenômenos críticos se instalam é algo misterioso, no sentido de que não
se sabe até que ponto pode chegar a uma catástrofe, uma vez que ela foi iniciada.
Contudo, parece válido tentar entender estes sistemas aparentemente imprevisíveis,
pois entender seus mecanismos subjacentes e poder fazer predições, por mais difícil que
sejam, podem ajudar a minimizar os danos provocados pelos eventos catastróficos. De fato,
isto já vem sendo feito nas últimas décadas, por cientistas em todo o mundo. Áreas de
estudo da Física como Transições de Fase e Sistemas Complexos, desde suas concepções, têm
contribuído para uma melhor compreensão destes eventos críticos.
Mais especificamente, é crescente o número de trabalhos que retratam eventos ca1
2
http://veja.abril.com.br/tema/tsunami-no-japao
http://topicos.estadao.com.br/crise-2008
1
Capítulo 1. Introdução
2
tastróficos como pontos críticos ou pontos singulares de funções que, teoricamente, regem a
dinâmica de sistemas, como uma rede de falhas geológicas ou como o mercado financeiro,
dentre outros sistemas complexos. Na vizinhança dos pontos críticos, estes sistemas apresentam estruturas auto-semelhantes ou estruturas auto-afins, o que evidencia a maneira peculiar
como seus constituintes se organizam. Este tipo de organização, por sua vez, elucida propriedades matemáticas interessantes, como a simetria de invariância de escala, que em termos
coloquiais, significa que o sistema parece o mesmo independente da distância que se olha
para ele.
Reunindo todos os conceitos mencionados acima e também outros, vários cientistas
criaram modelos para simular a dinâmica destes eventos críticos. Alguns deles afirmam
que os fenômenos catastróficos não só podem ser explicados razoavelmente como também
previstos, sendo D. Sornette o mais ativo desta vertente (ver referência [1]). E, embora
vários estudiosos estejam trabalhando no sentido de verificar tal afirmação, ainda não há um
resultado consensual sobre sua veracidade.
Neste mesmo espírito, esta dissertação tenta levar em conta os aspectos mencionados
anteriormente com a finalidade de refletir sobre tais fenômenos críticos e apontar a pertinência
do modelo log-periódico, na descrição e na predição de grandes catástrofes.
Capı́tulo
2
Simetria e as leis da Física
Este capítulo trata de simetria e de invariância de propriedades de sistemas físicos.
Primeiramente, será feita uma breve revisão das relações, descobertas até então, entre simetria e conservação de quantidades físicas, os chamados princípios de conservação. Em
seguida, será visto que estas relações são decorrentes do Teorema de Noether, um teorema
que afirma que uma simetria sempre está associada a uma quantidade conservada. Um caso
especial de simetria será tratado na seção subsequente, a simetria de invariância de escala,
que carrega consigo conceitos próprios, como auto-semelhança e auto-afinidade, que serão
devidamente discutidos. Por fim, serão analisados os objetos fractais, que apresentam a simetria de invariância de escala; será feita uma breve explanação sobre suas formas e sobre
as relações matemáticas que os definem.
2.1
Conservação dos observáveis físicos
Nas Ciências Naturais, os conceitos mais marcantes e norteadores que existem são
aqueles relacionados à conservação de alguma quantidade, pois o conhecimento sobre as
quantidades que são invariantes em processos físicos auxilia no estudo da dinâmica desses
processos. A descoberta e compreensão dessas situações onde há conservação de alguma
quantidade física é fundamental inclusive para definir propriedades e variáveis, que parecem
intuitivas, como aconteceu com o conceito de calor, que até o século XIX não tinha definição
3
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
4
tão consistente e só ficou melhor definido à medida que estudos foram feitos a cerca da
conservação do que hoje se chama energia.
As leis de conservação, também conhecidas como princípios de conservação, definem sob quais circunstâncias certa quantidade se conserva. Algumas das leis de conservação
conhecidas até os dias atuais são: conservação da energia, conservação do momento linear,
conservação do momento angular e conservação da carga, dentre outras. A seguir são enunciadas algumas dessas leis de conservação:
• conservação do momento linear: “O momento total de um sistema isolado de partículas
P
é constante: P~ =
p~i = p~1 + p~2 + p~3 + · · · = const.”([2], p. 86), em que p~i é o momento
linear de cada partícula e P~ o momento linear total do sistema;
• conservação do momento angular: “Se nenhum torque externo atua no sistema de partículas, o momento angular permanece constante.”([3], 18-4);
• conservação da carga elétrica: “Em qualquer processo que ocorra no universo, a quantidade total de carga elétrica deve permanecer constante.”([2], p. 582);
• conservação da energia1 : “Quando a força é conservativa2 , a energia total E da partícula
permanece constante”([2], p. 142), tal que E = Ec + Ep , (Ec é energia cinética e Ep é
energia potencial), e de maneira mais geral: “a soma da energia cinética com a energia
potencial interna, ou energia própria, de um sistema de partículas isolado permanece
constante em relação a um observador inercial”([2], p. 277).
Além das leis de conservação descritas acima, também existem aquelas que surgiram
somente após o advento da Mecânica Quântica; podem ser chamadas de leis de conservação
quanto-mecânicas. Um exemplo é a lei de conservação da paridade, que está relacionada à
invariância da paridade diante de uma reversão de todas as coordenadas no espaço (a paridade
pode ser par ou ímpar; se após a reversão a função de onda permanecer com o mesmo sinal,
a paridade é par, senão, é ímpar). As leis de conservação já conhecidas antes da Mecânica
Quântica também têm suas equivalências nessa área; por exemplo, a conservação da carga
elétrica está relacionada a uma mudança de fase na função de onda das partículas.
1
Vale ressaltar que este enunciado se refere ao contexto da Mecânica Clássica, no qual existe a conservação
da energia mecânica. Já no contexto relativísitco a conservação da energia torna-se conservação da massaenergia.
2
Força conservativa é aquela cujo trabalho realizado para deslocar um objeto independe do caminho
escolhido, de forma que o trabalho depende somente do ponto inicial e do ponto final.
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
5
O que é notável, e comum às leis de conservação, é que a conservação de uma
quantidade sempre está relacionada a uma transformação simétrica de outra variável. No caso
da conservação da energia, não importa qual transformação energética ocorra num sistema
isolado, isto é, não importa se aconteceu transformação de um tipo de energia em outro
tipo em um determinado instante ou em outro instante posterior ou anterior, a energia total
medida em cada instante é a mesma. A seguir, uma tabela resumindo a relação entre algumas
simetrias e leis de conservação.
Tabela 2.1: Simetrias e conservações.
Operações de simetria
Translação no espaço
Rotação por um ângulo fixo
Translação no tempo
Reversão de coordenadas no espaço
2.2
Quantidade conservada
Momento linear
Momento angular
Energia
Paridade
Teorema de Noether
Figura 2.1: Emmy Noether. Disponível em:[4].
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
6
O Teorema de Noether, bastante celebrado entre os físicos, tem seu nome em homenagem à matemática alemã Emmy Noether (1882 - 1935, foto na figura 2.1). Dada a grande
relevância deste teorema para a Física e para a Matemática, cabe aqui devida apresentação
de sua autora, como segue abaixo.
Emmy Noether era filha do notório matemático, e professor da Universidade de
Erlangen (Alemanha), Max Noether (1844 - 1921), que atualmente costuma ser conhecido
como o “pai de Emmy Noether”, dada a grande contribuição que ela deu à Matemática.
Porém antes disso, Emmy Noether, em sua adolescência, estudou línguas (Alemão, Francês e
Inglês), Aritmética e piano, e mais tarde adquiriu certificados para lecionar Francês e Inglês
nas escolas para garotas, mas ela escolheu, por fim, estudar Matemática (em 1900).
Contudo, por causa das convenções sociais vigentes que minavam o estudo das Ciências por parte das mulheres naquele época, Emmy Noether só pôde começar seus estudos
em universidade como ouvinte; somente após alguns anos, em 1904, que pôde se matricular,
na Universidade de Erlangen (após ter sido aceita na Universidade de Göttingen, em 1903).
Conseguiu obter seu doutorado em 1907, mas não pôde lecionar em universidades alemãs;
ela continuou sua pesquisa por si própria e cuidou de seu pai. A partir daí, Emmy Noether
publicou vários trabalhos que a tornaram bastante conhecida no meio acadêmico; tornouse membro de sociedades de matemáticos e lecionou, em 1913, em Viena. Mesmo assim,
ainda não era permitido oficialmente mulheres serem professoras nas universidades alemãs;
em 1915 retornou a Göttingen, e enquanto os matemáticos e professores David Hilbert (1862
- 1943) e Felix Klein (1849 - 1925) intercediam para que ela pudesse lecionar na Universidade
de Göttingen, ela trabalhou por alguns semestres sem ser remunerada assumindo as turmas
que estavam sob a supervisão de David Hilbert; nessa época, ela publicou seu trabalho mais
conhecido, o que contém o Teorema de Noether. Após esse trabalho, Emmy Noether se dedicou à Álgebra, e deu contribuições significativas à área atualmente conhecida como Álgebra
Abstrata ou Álgebra Moderna.
Durante os anos seguintes, Emmy Noether colaborou com vários matemáticos (como
Helmut Hasse e Richard Brauer) e recebeu alguns prêmios (como o “Alfred AckermannTeubner Memorial Prize for the Advancement of Mathematical Knowledge”). Porém, a política antissemita adotada pelo governo nazista a forçou a sair da Universidade de Gottingen
em 1933. Ela, então, aceitou um convite para a Bryn Mawr College e, finalmente, pôde trabalhar independentemente, como professora, nessa faculdade nos Estados Unidos e também
lecionou no Institute for Advanced Study, em Princeton, EUA. Infelizmente, Emmy Noether
veio a falecer dois anos após chegar aos Estados Unidos, aos 53 anos, devido a complicações
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
7
após uma cirurgia de retirada de um tumor uterino (Informações disponíveis em [4] e [6]).
Como citado anteriormente, em 1918, Emmy Noether publicou um artigo no qual
provou dois teoremas, por um dos quais ela obteve grande reconhecimento, especialmente por
parte dos físicos. Neste artigo, “Invariante Variationsprobleme” (Nachrichten von der Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 235-257, 1918), Noether, utilizando
Cálculo Variacional e o formalismo de Teoria de Grupos, demonstra que se a integral I, que
os físicos reconhecem como a integral da ação3 é invariante sob transformações infinitesimais
dos parâmetros de um grupo, existe uma quantidade que permanece constante, isto é, se
conserva. De fato, Noether afirmou isso de maneira mais geral (e não no formalismo da
Mecânica Lagrangeana):
Se a integral I é invariante com respeito a um Gρ , então ρ combinações independentes das expressões de Lagrange se tornam divergências — e disso, reciprocamente, a
invariância de I com respeito a G se segue. O teorema vale inclusive no caso limite de
infinitos parâmetros.([5], p. 188)
Noether também provou nesse artigo uma afirmação de Hilbert sobre “a conexão da falha
das leis de conservação da energia adequada à ‘relatividade geral’ ” ([5], p. 201).
Em termos da Mecânica Lagrangeana, o teorema de Noether pode ser expressado
da maneira a seguir4 . Seja S a integral da ação de um sistema. Supondo que essa integral
é invariante quando o sistema passa pelas seguintes transformações infinitesimais nas suas
coordenadas generalizadas
t → t0 = t + X(q(t), t)
(2.1)
qi (t) → qi0 (t0 ) = qi (t) + Ψi (q(t), t)
(2.2)
em que X e Ψi são funções reais conhecidas e um parâmetro infinitesimal arbitrário5 , então
∆S = 0. Seja S 0 a integral da ação após as transformações acima. Então:
Z
t0 2
0
0
0
0
0
Z
t2
L(q , dq /dt , t )dt −
t0 1
L(q, q̇, t)dt = 0
(2.3)
t1
Reescrevendo a ação S 0 em função das coordenadas não-transformadas, isto é, em função de
Rt
S = t12 L(q, q̇, t)dt, em que L(q, q̇, t) é a lagrangeana do sistema considerado.
4
Para uma abordagem mais abrangente da demonstração acima, consultar a referência [7].
5
O teorema também vale para variações finitas dos parâmetros.
3
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
8
q(t), t e suas derivadas, tem-se:
Z
t2
0
Z
t2
L(q + Ψ, q̇ + ξ, t + X)(1 + Ẋ)dt −
L(q, q̇, t)dt = 0
(2.4)
t1
t1
com ξi = Ψ̇i − q˙i Ẋ. Após expandir em série de Taylor a lagrangeana com as coordenadas
transformadas e escrever t0 em função de t como variável de integração, excluindo os termos
de ordem maior do que 1 em , tem-se que
n X
∂L
∂L
∂L
Ψi
+ (Ψ̇i − q˙i Ẋ)
+ LẊ +
X=0
∂q
∂
q
˙
∂t
i
i
i=1
(2.5)
que utilizando a equação de Lagrange e as propriedades da função energia h6 torna-se
n d X
∂L
− hX = 0
Ψi
dt i=1
∂ q˙i
(2.6)
Com isso, a quantidade que é conservada sob as transformações (2.1) e (2.2) é:
n
X
∂L
i=1
∂ q˙i
(q˙i X − Ψ̇i ) − LX = constante
(2.7)
O teorema de Noether também é válido quando a integral da ação é quase-invariante,
isto é, quando a variação da integral da ação é uma integral de uma derivada total de uma
função das coordenadas q e t, G = G(q, t); neste caso, a quantidade conservada é:
n
X
∂L
i=1
∂ q˙i
(q˙i X − Ψ̇i ) − LX + G = constante
(2.8)
Para a Física, a principal implicação desse teorema é: sempre que a lagrangeana
de um sistema for invariante sob transformação de uma coordenada, uma quantidade física
é conservada. Dependendo da coordenada generalizada que é transformada e não altera a
lagrangeana, certa lei de conservação surge. Por exemplo, se a lagrangeana não depende explicitamente da coordenada generalizada q (chamada de cíclica) e q sofre uma transformação
a lagrangeana não é alterada e a quantidade conservada sob a transformação é o momento
6
h=
n
P
i=1
q˙i
∂L
−L
∂ q˙i
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
9
conjugado p; se a lagrangeana é invariante por um deslocamento no tempo, a energia é
conservada.
Em suma, todas as leis de conservação que foram observadas empiricamente ao longo
da história da ciência até a publicação do artigo de Noether podem ser obtidas através do
teorema de Noether. Desde então, esse teorema é utilizado como “guia” para a descoberta de
novas quantidades que se conservam.
O teorema de Noether mostra que a simetria das equações de Lagrange resulta na
conservação de uma variável física, como exemplificado na seção anterior: uma simetria
no espaço resulta na conservação do momento linear, uma simetria temporal resulta na
conservação da energia, uma simetria rotacional resulta na conservação do momento angular,
e assim por diante.
2.3
Simetria de invariância de escala
De acordo com o teorema de Noether exposto anteriormente, sempre que houver uma
simetria, isto é, sempre que alguma quantidade ou equação for invariante quando ocorre uma
transformação sobre ela, espera-se que outro parâmetro seja conservado. Um outro interessante tipo de simetria, e que será mais explorada neste trabalho, é a simetria de invariância de
escala, que no entanto não está relacionado ao teorema de Noether7 , pois a integral da ação
dos sistemas físicos não permanece invariante quando se faz uma transformação de escala,
isto é, quando se muda a dimensão das variáveis físicas.
Escala é uma palavra com diferentes significados, mas o significado mais usual em
Ciências Naturais e Matemática é aquele relacionado a quantidade de tempo e de espaço:
é uma razão entre um tamanho típico (de um objeto, ou de um evento) e outro tamanho
qualquer. Por exemplo, uma escala de um mapa geográfico é a razão entre uma distância
(centímetro, milímetro etc.) no desenho e o seu correspondente tamanho na realidade. Portanto, uma transformação de escala consiste em alterar o valor dessa razão entre tamanhos;
numa equação, quando se multiplica uma variável por uma fração, diz-se que houve uma
transformação de escala dessa variável. Nesse contexto, “falando sobre um objeto (material
7
Há trabalhos em Mecânica Quântica, na área de Física de Partículas e Física de Altas Energias, em
que os conceitos de simetria de invariância de escala e o teorema de Noether são relacionados, trabalhos nos
quais são feitas algumas “aproximações” para adequar o hamiltoniano à simetria de invariância de escala e
encontrar uma quantidade conservada utilizando esse teorema (para mais detalhes, ver referência [9]).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
10
ou matemático), invariância de escala se refere à sua invariância sobre mudanças de escalas
de observação” ([8], p. 148), ou seja, um objeto ou evento que sofre uma transformação de
escala é invariante de escala se ele se parece o mesmo depois de transformado.
O objeto invariante de escala pode ser uma equação, uma quantidade física etc. A
invariância de escala também pode se referir a objetos geométricos chamados fractais (que
serão mais detalhados na seção seguinte) e a funções analíticas, como a Função de Distribuição
de Probabilidade (FDP) ou a função de correlação. Para objetos materiais e objetos fractais, o
que se conserva sob uma transformação de escala, isto é, quando são observados por diferentes
escalas, é a forma do objeto. Uma quantidade, para ser conservada quando passa por uma
transformação de escala, que pode ser vista como uma mudança de unidade de medida, deve
ser adimensional, isto é, não deve possuir uma unidade de medida que a defina. Com isso, as
equações da Física, para serem invariantes de escala, deveriam ser adimensionais, mas isso
não acontece.
A característica mais perceptível em fractais é a de que, se se tomar uma parte do
fractal e aumentá-la até o tamanho do fractal, as duas estruturas, parte e o todo, se tornam
indistinguíveis. Esta característica, de se parecer o mesmo sob todas as escalas, é chamada de
auto-semelhança ou auto-similaridade. Pode acontecer de o fractal não ser auto-similar, mas
ser auto-afim. Uma transformação afim é aquela que mapeia pontos de uma figura em outro
espaço através de uma função afim, ou seja, através de uma função com a forma P’ = AP+B,
em que A é a matriz de transformação dos pontos (x, y, z) em (x0 , y 0 , z 0 ), B é uma matriz
coluna de coeficientes lineares e P’ é o ponto P depois de transformado. São transformações
afins: translação, rotação, escalamento (mudança de escala), cisalhamento e espelhamento
([11]). O que se chama auto-afinidade é um escalamento, em que a matriz de transformação
tem elementos diferentes para transformar x e y em x0 e y 0 (no caso bidimensional) e após
essa transformação o conjunto de pontos parece inalterado (no caso da auto-similaridade,
os elementos da matriz de transformação são iguais para transformar x e y). A expressão
matemática para auto-afinidade é:
h(x) ' b−α h(bx)
(2.9)
em que α (ou H, em alguns textos) é o chamado expoente de Hölder ou expoente auto-afim
([12], p. 47). Isso significa que reescalando a coordenada x por um fator b (x → bx), para
que o fractal seja idêntico à sua versão não reescalada, a coordenada y (que é h(x)) tem que
ser reescalada por um fator bα (h → bα h); α = 1 é o caso do fractal auto-similar.
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
2.4
11
Fractais e leis de potência
Como mencionado anteriormente, existem objetos matemáticos que se comportam
da mesma maneira sob diversas escalas de observação, isto é, têm simetria de invariância
de escala. Tais objetos são chamados fractais. A origem do uso desse termo data de 1975
quando o matemático (polonês e) francês Benoît Mandelbrot(1924 - 2010)8 descreveu tais
objetos no ensaio chamado “Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension” 9 Dimension".
Um fractal é um objeto cuja relação entre sua massa (aqui definida como quantidade de espaço
que o fractal ocupa) e seu tamanho linear10 é definida por uma dimensão não necessariamente
inteira, conhecida como dimensão fractal. A título de comparação, objetos regulares, os quais
são bem definidos utilizando a geometria euclidiana (fractais não o são), são retas, retângulos,
cubos (e quaisquer objetos materiais com essas formas e com densidade uniforme), e têm a
relação entre sua massa (no caso de retas, a massa é o comprimento; para retângulos, é
a área; para cubos, é o volume) e tamanho linear determinada por uma dimensão inteira
(dimensão no sentido mais comumente entendido, dimensão euclidiana). Por exemplo, um
cubo de açúcar tem uma massa (neste caso, massa no sentido físico) m que é proporcional
ao tamanho da sua aresta l (o que se chama tamanho linear) elevado à potência 3, isto é:
m(l) ∼ l3 , em que o 3 é justamente o valor da dimensão desse objeto, que é de chamada
dimensão topológica.
O termo “dimensão” não tem sempre o mesmo significado em Física e em Matemática;
na verdade, há vários conceitos de dimensão em Matemática. Em Física (e no senso comum),
dimensão é a quantidade mínima de coordenadas necessárias para descrever um ponto de um
objeto. Já em Matemática, a definição de dimensão depende do espaço que se considera; o
conceito de dimensão aparece em diversas áreas da Matemática: Teoria de Grupos, Teoria
de Conjuntos etc. Porém, há uma definição de dimensão que é conveniente para caracterizar
objetos fractais: a dimensão de Hausdorff.
A dimensão de Hausdorff é um número real não-negativo que está associado a espaços
métricos (nos quais a noção de distância é definida); é uma generalização de dimensão nos
8
Mais informações em: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Mandelbrot.
html (acessado em 04/09/2012).
9
Em 1977 esse ensaio foi republicado em inglês e deu origem ao livro “The Fractal Geometry of Nature”
publicado em 1982, que é um dos trabalhos mais conhecidos de Mandelbrot.
10
Tamanho linear é um segmento de reta que é utilizado para construir “caixas” que servem de unidade
de medida para cobrir um objeto. Seja o tamanho linear. Se o objeto que se deseja cobrir é uma linha, a
unidade de medida (caixa) é , se é um quadrado, a unidade de medida é 2 , e assim por diante.
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
12
espaços vetoriais reais. Isto significa que objetos regulares têm dimensão de Hausdorff inteira
e objetos irregulares são aqueles cuja dimensão de Hausdorrf é fracionária. Portanto, a
dimensão fractal mencionada anteriormente é a dimensão de Hausdorff.
No que concerne a dimensão, o que diferencia um objeto regular de um objeto fractal
é que a dimensão fractal é um número fracionário (mas também pode assumir valores inteiros)
enquanto que a dimensão topológica é necessariamente um número inteiro. Portanto, para
um fractal, pode-se escrever:
M (L) = ALdf
(2.10)
em que M (L) é a massa do objeto fractal, L é o tamanho linear e df é a dimensão fractal.
Visualmente, um objeto fractal é bastante distinto de um objeto regular; um fractal
parece irregular, mas apresenta um padrão em sua estrutura, uma lei de formação. Este pode
ser classificado em dois tipos: determinístico ou aleatório. Em relação a forma como ele é
construído, um fractal pode ser classificado como determinístico ou como aleatório. Ambos
os tipos são construídos com base em leis (regras) de formação, sendo que a diferença entre
um e outro tipo se dá pela ausência ou presença passos aleatórios durante o processo de
construção. Um fractal determinístico tem sempre a mesma aparência, pois todos os passos
de sua construção são bem determinados (ver figuras 2.2 e 2.3). Por sua vez, um fractal
aleatório tem pelo menos um passo aleatório durante sua construção, o que faz sua forma
final ter uma certa probabilidade de ocorrência (ver figura 2.4 e os fractais “naturais” em 2.5,
2.6, 2.7 e 2.8).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
13
Figura 2.2: Conjunto de Mandelbrot, disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/
Mandelbrot_set (acessado em 04/09/2012). É um conjunto de números complexos C, construído iterativamente com o mapeamento Zn+1 = Zn2 + C, com Z0 = 0. O contorno desse
objeto tem dimensão fractal (ou dimensão de Hausdorff) igual a 2 (Demonstração em: Shishikura (1994)).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
14
Figura 2.3: Conjunto de Cantor, quatro iterações, disponível em [13], p. 9. A dimensão
fractal deste objeto é df = ln 2/ ln 3 (ver [13], p. 8).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
15
Figura 2.4: Fractal construído utilizando o método Diffusion Limited Aggregation (DLA),
em [12], p. 8. Sucintamente, o método consiste em, a cada iteração, liberar um caminhante
aleatório a partir de uma posição aleatória tomada a uma distância fixa da semente inicial
em torno da qual ocorre todo o processo seguinte de agregação.
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
16
Figura 2.5: Uma árvore, com estrutura aproximadamente fractal. Disponível em: http:
//aidobonsai.com/2011/10/18/fractais-e-o-bonsai (acessado em 08/01/2013)
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
17
Figura 2.6: Foto de satélite da rede aluvial, no sudeste da Jordânia, disponível em: http:
//butdoesitfloat.com/ (acessado em 04/09/2012). Parece uma estrutura fractal, autosimilar.
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
18
Figura 2.7: Um tipo de brócolis, Broccoli Romanesco, cuja estrutura é auto-semelhante e
tem forma de um espiral logarítmico. Disponível em: http://berkshireviews.wordpress.
com/2012/03/17/weekly-photo-challenge-unusual-1/ (acessado em 08/01/2013).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
19
Figura 2.8: Uma descarga elétrica no céu, formando um fractal aleatório. Disponível em:
http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-1-5.html (acessado em 08/01/2013).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
20
Para calcular a dimensão fractal de tais objetos fractais (de acordo com [10], p.
532) utiliza-se uma definição baseada em contagem de caixas. Tomando-se uma curva de
tamanho unitário e dividindo-a em N segmentos de tamanho l, tem-se N = 1/l; à medida
que l decresce, N aumenta linearmente. De maneira similar, tomando-se um quadrado de
área unitária e dividindo-o em N sub-quadrados de lado l, tem-se N = 1/l2 . Então, de
maneira geral, N = 1/lD , em que D é a dimensão fractal do objeto e N o número de caixas
necessárias para cobrir o fractal. Portanto, a dimensão fractal é dada por:
D=
ln N
ln(1/l)
(2.11)
Como exemplo, a dimensão fractal do Conjunto de Cantor (figura 2.8) pode ser
calculada da seguinte maneira. Este fractal é construído dividindo um intervalo unitário em
três intervalos iguais, de tamanho l cada, e retirando o central. Então, sobram 2 segmentos
de tamanho 1/l cada. Faz-se o mesmo procedimento para cada um dos intervalos restantes;
na segunda iteração (n = 2, na figura 2.8), tem-se 4 segmentos com tamanho 1/9 cada. Na
n-ésima iteração, o número de segmentos (e caixas necessárias para cobri-los) N (l) é 2n , cada
qual com tamanho l = (1/3)n . Reescrevendo (2.10) e utilizando os valores acima, no limite
de n → ∞:
D=
ln N (l)
ln N (l)
→D=−
ln(1/l)
ln l
ln 2
ln 2
D=−
=
ln(1/3)
ln 3
(2.12)
(2.13)
A função (2.9) é um tipo de função conhecida como Lei de Potência (ver exemplos
nas figuras 2.9 e 2.10). Este termo, lei de potência, se refere às funções que são soluções de
equações do tipo (ver [12], p. 47)
f (λx) = λp f (x)
(2.14)
que mostra que a função f , dependente de x, é invariante de escala sob a transformação
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
21
x → λx, para um dado termo constante λp . Portanto, a forma de uma lei de potência é
f (x) = Cxp
(2.15)
pois obedece a equação funcional (2.14 )(substituindo x por λx na equação (2.15) que resulta
na equação( 2.14)).
Figura 2.9: Uma lei de potência, f (x) = x−1,5 . Observa-se que quanto menores os valores de
x, maiores os valores de f (x).
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
22
Figura 2.10: A mesma lei de potência da figura anterior, mas com os eixos em escala logarítmica.
No contexto de fractais, o expoente p é chamado expoente de escala; por exemplo,
na relação da massa do fractal com seu tamanho linear, a dimensão fractal df é o expoente
de escala. Esses expoentes podem ser calculados utilizando o formalismo de Grupo de Renormalização; este surgiu, inicialmente, no contexto de Teoria Quântica de Campos (década
de 1950) e depois foi usado no contexto de Fenômenos Críticos (década de 1970).
Esta técnica de Grupo de Renormalização é bastante utilizada para tratar sistemas
de muitos corpos, pois consiste em reduzir o número de parâmetros necessários para descrever
o sistema (tal como passar de uma descrição microscópica para uma descrição macroscópica,
quando tratando de Mecânica Estatística) através de uma transformação de escala. É um
processo iterativo em que um parâmetro independente, como o tamanho linear de um sistema,
é reescalado e as quantidades dependentes deste são reescaladas de acordo. Se quando depois
Capítulo 2. Simetria e as leis da Física
23
de ser reescalado (renormalizado) o sistema parecer o mesmo de antes, diz-se que o sistema
é invariante de escala (que é o caso dos fractais).
A importância do Grupo de Renormalização deve-se ao fato de que realizando-se
sucessivas transformações de escala pode-se chegar a um ponto fixo (ponto crítico). Este é
um ponto no qual um parâmetro independente assume um valor específico que faz com que
o sistema se apresente o mesmo sob todas as escalas de observação, não importando quantas
transformações são feitas sobre ele a partir de então. Quando isso acontece, as quantidades
dependentes deste parâmetro divergem; este comportamento é típico de fenômenos críticos,
sistemas sob alguma transição de fase. Um exemplo simples e famoso de sistemas que são
analisados com o formalismo de Grupo de Renormalização são sistemas magnéticos (em que
a temperatura de Curie é o ponto crítico).
Os problemas resolvidos com Grupo de Renormalização apresentam uma relação
recursiva para as funções do parâmetro que é reescalado, tal como a expressão (2.14). Através
da lei de potência pertinente a essa relação recursiva é possível calcular os expoentes críticos
do sistema em estudo, expoentes que determinam como as quantidades (macroscópicas) se
comportam quando o sistema está em seu ponto crítico.
Capı́tulo
3
Invariância de escala discreta
3.1
Comparação com invariância de escala contínua
Invariância de escala, como visto anteriormente, é uma característica marcante de
fractais e, no geral, “significa reproduzir a si mesmo em diferentes escalas de tempo ou espaço”
([14]). Em particular, esse tipo de comportamento de um objeto, sistema, ou parâmetro,
é chamado de invariância de escala contínua. Por exemplo, um sistema com invariância de
escala contínua é uma esfera (ou qualquer objeto com simetria esférica), na qual uma mudança
contínua em qualquer de suas coordenadas angulares, uma rotação infinitesimal, não altera
as propriedades físicas do sistema, ele se parece o mesmo antes e depois da rotação.
A invariância de escala contínua de uma função arbitrária (ou um observável), sob
a transformação de um parâmetro (de controle) x para x0 = λx, é representada matematicamente pela relação
f (x) = µf (x0 ) → f (x) = µf (λx)
(3.1)
cuja solução é dada por uma lei de potência, que tem forma
f (x) = Cxα
(3.2)
e α é suposto ser um número real e λ pode assumir qualquer valor real.
Já invariância de escala discreta é uma restrição à invariância de escala contínua, pois
neste caso, o sistema, ou observável, é invariante de escala (obedece à equação (3.1)) somente
24
Capítulo 3. Invariância de escala discreta
25
para determinados valores de λ (e µ), que formam um conjunto de valores λ1 , λ2 , λ3 , ... que
podem ser escritos como λp = λp , em que λ é chamada razão de escala fundamental. Exemplos
de objetos invariantes de escala discreta são alguns fractais, como o Conjunto de Cantor
(figura 2.3), que somente é auto-similar quando observado por uma resolução (inverso de
escala) com valor que é uma potência de 3, isto é, só é invariante de escala quando λp = 3p ,
e 3 é razão de escala fundamental para este objeto.
No Conjunto de Cantor, a dimensão fractal é dada pela equação
ln Nλ (n)
λ→0
ln λ
D = lim
(3.3)
em que λ é o fator de aumento (ver equação (2.11)), que neste cálculo pode assumir qualquer
valor real. Porém, para valores de λ entre 3p e 3p+1 , Nλ (n) não muda (só há um salto no valor
de Nλ , de 2p para 2p+1 , exatamente quando o fator de aumento é 3p+1 ) e consequentemente
o valor da dimensão fractal diminui. O valor de D = 0, 63 só ocorre para valores de λ que
sejam potências de 3. Na próxima seção este comportamento será melhor descrito.
A invariância de escala discreta, que é uma quebra parcial da simetria de invariância
de escala contínua, aparece em diversas situações. Didier Sornette ([8], p. 160) cita algumas
destas situações: hierarquia geométrica embutida, auto-funções da transformada de Laplace,
turbulência etc.
3.2
Expoentes de escala reais e complexos
Considerando que um observável é invariante de escala contínua, encontra-se o valor
do expoente α que garante esta invariância de escala através da substituição da solução (3.2)
na equação (3.1):
Cxα = µCλα xα
(3.4)
1 = µλα
1
ln
= ln λα
µ
ln µ
α=−
ln λ
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Capítulo 3. Invariância de escala discreta
26
Uma generalização para a relação de escala (3.1) é considerar o expoente de escala
da lei de potência (3.2) como sendo um número complexo, em vez de um número real. Assim,
usando a fórmula de Euler (eiθ = cos θ + i sin θ) e fazendo α = β + iω, tem-se:
(3.8)
f (x) = Cxβ+iω
β+iω
(3.9)
f (x) = Celn(x)
f (x) = Ce(β+iω) ln x = Ceβ ln x eiω ln x
(3.10)
f (x) = Ceβ ln x [cos(ω ln x) + i sin(ω ln x)]
(3.11)
f (x) = Cxβ [cos(ω ln x) + i sin(ω ln x)]
(3.12)
em que Cxβ cos(ω ln x) é a parte real e xβ sin(ω ln x) é a parte imaginária desta lei de potência,
ou seja, a lei de potência se tornou uma função oscilante no logaritmo de x. Reescrevendo a
condição (3.5) para invariância de escala,
µλα = e2πni
(3.13)
com n sendo um número inteiro, obtém-se uma expressão para o expoente de escala análoga
à obtida em (3.7):
e2πni
ln λ = ln
µ
α ln λ = 2πni − ln µ
ln µ 2πn
αn = −
+
i
ln λ ln λ
α
(3.14)
(3.15)
(3.16)
De acordo com o exposto acima, observa-se que, a partir da generalização do expoente de escala assumindo um valor complexo, a invariância de escala, expressada por (3.1),
é restringida para apenas algumas transformações do parâmetro x (a relação (3.1) só é obedecida para os valores de α que são aqueles dados por (3.16)), ou, de maneira equivalente, a
invariância de escala discreta resulta no expoente imaginário da lei de potência (3.2). Para
n = 0, o valor de αn , em (3.16), recai no valor de α, em (3.7), no caso da invariância de escala
contínua, no qual não há restrição no valor do expoente para valores inteiros de n. Portanto,
diz-se que a expressão (3.16) fornece uma correção no valor do expoente de escala, sendo o
segundo termo no lado direito desta equação a dita correção.
Capítulo 3. Invariância de escala discreta
27
Desta maneira, para o Conjunto de Cantor, a dimensão fractal é dada por
2πn
i
ln 3
Dn = D +
(3.17)
com D = ln 2/ ln 3. Esta dimensão complexa descreve não somente o comportamento do fractal em uma dada resolução 3p (ver seção anterior), mas também em resoluções intermediárias
(λ 6= 3).
3.3
Log-periodicidade
A expressão para a invariância de escala, contínua ou discreta, não é alterada se em
vez do parâmetro x, a lei de potência tem o argumento xc − x (ou x − xc ), em que xc é um
valor constante (uma singularidade, como será visto no próximo capítulo). Desta maneira,
utilizando o expoente de escala corrigido (equação (3.16)) na lei de potência que descreve a
invariância de escala, com a substituição x → xc − x:
ln µ
2πn
f (xc − x) = C(xc − x)− ln λ (xc − x) ln λ i
ln µ
2πn
f (xc − x) = C(xc − x)− ln λ e ln λ i ln(xc −x)
(3.18)
(3.19)
De fato, f (xc − x) é uma soma das funções correspondentes a cada valor de n, então:
µ
− ln
ln λ
f (xc − x) = C(xc − x)
∞
X
2πn
e ln λ i ln(xc −x)
(3.20)
n=−∞
Expandindo em série de Fourier de funções pares
"
µ
− ln
ln λ
f (xc − x) = C(xc − x)
1+
∞
X
n=1
an cos
#
2πn
ln(xc − x)
ln λ
(3.21)
Nesta última expressão, costuma-se aproximar f (xc − x) até o primeiro termo do somatório,
que já fornece uma boa descrição dos sistemas que apresentam simetria de invariância de
escala discreta. Os termos maiores correspondem a dimensões de ordem maior. Porém, essa
expressão é utilizada de forma mais geral, como:
f (xc − x) = A1 + B1 (xc − x)β + C1 (xc − x)β cos(ω ln(xc − x) + φ)
(3.22)
Capítulo 3. Invariância de escala discreta
28
2π
ln µ
,ω=
e A1 , B1 e C1 são constantes.
ln λ
ln λ
De acordo com o que foi descrito até agora, percebe-se que uma simetria de invari-
em que β = −
ância de escala contínua é bem descrita por uma lei de potência, ao passo que uma simetria
de invariância de escala discreta corresponde não a uma lei de potência pura, mas a uma lei
de potência que é modulada por uma função periódica, mais precisamente, um cosseno de
um logaritmo; esse tipo de função é chamada log-periódica (ver figuras 3.1 e 3.2).
Figura 3.1: Gráfico da função log-periódica f (x) = cos(30 ln(10 − x)).
Capítulo 3. Invariância de escala discreta
Figura 3.2: Gráfico da função log-periódica f (y) = cos(30y), em que y = ln(10 − x).
29
Capítulo 3. Invariância de escala discreta
30
Este tipo de comportamento, log-periódico, exibe características interessantes, como
a existência de uma razão de escala preferencial, λ, que indica que o sistema ou objeto que
apresenta tal comportamento tem um tamanho de escala característico (tamanhos de escala
característicos: λ1 , λ2 , ...), diferentemente de um comportamento do tipo lei de potência, no
qual não existe nenhum tamanho de escala característico para os objetos descritos por tal
lei.
Desde 1992 ([15]), quando o geofísico francês Didier Sornette (1957-) propôs e estudou
um modelo para rupturas mecânicas, e posteriormente encontrou que a relação entre energia
de emissões acústicas em um tanque de pressão de foguetes e o estresse mecânico sobre estes
era bem representado pela teoria log-periódica, esta lei de potência com log-periodicidade
(equação (3.22)), tem sido bastante utilizada em análise de dados, especialmente análise de
séries temporais, por causa da sua capacidade de predição. Sornette, com esse tipo de ajuste
dos dados, conseguiu “prever” o tempo de ruptura dos tanques de pressão. Outros exemplos
de utilização desse ajuste log-periódico são na predição de terremotos de grande magnitude,
predição de quebra de bolsas de valores, dinâmica da população mundial, dinâmica dos índices
econômicos, dinâmica em turbulência, dentre outros (ver referência [1]).
Capı́tulo
4
Singularidades em Matemática e Física
4.1
Tipos de singularidade
Singularidade também é, como dimensão, uma palavra com vários significados, cada
qual pertinente a um contexto específico. Neste trabalho a definição de singularidade será
dada como é apresentada na Física e na Matemática1 .
No contexto de Análise Real, singularidade tem o mesmo significado que descontinuidade. Nesse contexto, “os pontos onde uma função f : I → R não é contínua são chamados
pontos de descontinuidade. Costuma-se dizer que a função tem uma descontinuidade em tal
ponto.”([16], p. 60). As descontinuidades podem ser:
• descontinuidade de 1ª espécie:
descontinuidade de salto: ocorre quando os limites à direita e à esquerda da função
existem, mas são diferentes;
descontinuidade removível: “Diz-se que uma função f tem uma descontinuidade
removível em x = c se limx→c existe mas f (c) 6= limx→c ou porque f (c) é indefinida ou
o valor de f (c) difere do valor do limite.”([17], p. 157);
1
Na Matemática, singularidade é definida em várias áreas de estudo, como em Análise Real, Análise
Complexa, Teoria de Singularidade etc.
31
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
32
Exemplo: a função
f (x) = 1, para x > 0
= −1, para x < 0
tem uma descontinuidade de 1ª espécie em x = 0.
• descontinuidade de 2ª espécie: quando a função tem uma descontinuidade que não
do tipo descontinuidade de 1ª espécie. Exemplo: a função f (x) = 1/x tem uma
descontinuidade de 2ª espécie em x = 0.
Em Análise Complexa, também existe mais de um tipo de singularidade, que se
parecem com as definições dadas acima. Uma singularidade ocorre quando uma função (de
variável complexa) f (z) deixa de ser analítica; o ponto onde isso ocorre é chamado ponto
singular e a função é dita possuir uma singularidade. Assim, um ponto singular pode ser
classificado das maneiras a seguir:
• Pontos singulares isolados: “O ponto z = z0 é chamado um ponto singular isolado de
f (z) se pudermos achar δ > 0 tal que o círculo |z − z0 | = δ não engloba nenhum outro
ponto singular além de z0 . Se tal δ não puder ser encontrado, chamamos z0 de uma
singularidade não-isolada.” ([18], p. 248);
• Pólos: “Se pudermos encontrar um inteiro positivo n tal que limz→z0 (z − z0 )n f (z) =
A 6= 0, então z = z0 é chamado um pólo de ordem n. Se n = 1, z0 é chamado um
pólo simples. Como exemplo, f (z) = 1/(z − 2) tem um pólo simples em z = 2. Mas
f (z) = 1/(z − 2)3 tem um pólo de ordem 3 em z = 2.” ([18], p. 248);
• Ponto de ramificação: “Uma função tem um ponto de ramificação em z0 se, circulando
z0 e retornando ao ponto inicial, a função não retorna ao valor inicial. Assim, a função
√
tem múltiplos valores. Um exemplo é f (z) = z, que tem um ponto de ramificação em
z = 0.” ([18], p. 248);
• Singularidades removíveis: “O ponto singular z0 é chamado uma singularidade removível
de f (z) se o limz→z0 f (z) existe. Por exemplo, o ponto singular em z = 0 na função
f (z) = sin(z)/z é uma singularidade removível, já que limz→0 sin(z)/z = 1.” ([18], p.
248);
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
33
• Singularidades essenciais: “Uma função tem uma singularidade essencial num ponto
z0 se ela tem pólos de ordem arbitrariamente alta que não podem ser eliminados por
multiplicação por (z − z0 )n , para qualquer escolha de n finito. Um exemplo é a função
f (z) = e1/(z−2) , que tem uma singularidade essencial em z = 2.” ([18], p. 248);
• Singularidades no infinito: “A singularidade de f (z) em z = ∞ é do mesmo tipo daquela
de f (1/w) em w = 0. Por exemplo, f (z) = z 2 tem um pólo de ordem 2 em z = ∞, já
que f (1/w) = w−2 tem um pólo de ordem 2 em w = 0.” ([18], p. 248).
As definições para singularidade, que foram dadas acima, são relacionadas a funções,
mas também pode haver singularidades em equações diferenciais. Além disso, existem as
singularidades espontâneas ou singularidades móveis, que aparecem nas soluções de equações
diferenciais não-lineares. São chamadas singularidades móveis, pois mudam de localização
(se movem no plano complexo) à medida que mudam as condições iniciais e/ou condições de
contorno do problema. Tais singularidades não ocorrem em equações diferenciais lineares.
Em Física, singularidades são definidas, principalmente, no contexto de Relatividade
Geral:
• Singularidade gravitacional: “Tem sido demonstrado que, sob condições razoavelmente
gerais, um objeto suficientemente maciço em colapso irá sofrer colapso gravitacional
contínuo, resultando na formação de uma singularidade gravitacional. A densidade de
energia da matéria que colapsa, assim como a curvatura do espaço-tempo, espera-se
que divirjam nessa singularidade.” ([19], p. 221);
• Singularidade nua: “A singularidade pode ou não ser visível a um observador distante.
Se a singularidade é invisível a um observador distante, dizemos que a estrela terminou
como um corpo negro. Se ela é visível, dizemos que a estrela terminou como uma
singularidade nua.” ([19], p. 222).
Há também outros usos do termo singularidade na Física, como as singularidades do
campo eletromagnético, que ocorrem quando os campos elétrico e/ou magnético divergem ou
são indefinidos em alguns pontos ao se resolver as equações de Maxwell.
Resumindo, singularidade em Matemática ou em Física sempre está associada à
noção de indefinição do valor de algum parâmetro, que tende a divergir no ponto singular.
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
4.2
34
Singularidades em tempo infinito
Quando se considera uma função cuja variável independente é o tempo, pode ocorrer
o que se chama de singularidade em tempo infinito. Isto significa que a função (f (t)) assume
um valor singular quando o tempo (variável t) assume um valor infinito. Exemplos de funções
que apresentam tal singularidade são: f (t) = t2 (ver figura 4.1), f (t) = t, polinômios em
geral etc.
Este tipo de singularidade é mais fácil de lidar do que o tipo que será visto na seção
seguinte (singularidade em tempo finito), pois se certas condições iniciais levam a uma singularidade em t = ∞, pequenas mudanças nestas condições ainda levam ao comportamento
singular no mesmo tempo, isto é, em t = ∞, o que não ocorre no caso de a singularidade ser
em tempo finito.
Figura 4.1: Gráfico da função f (t) = t2 . À medida que t tende ao infinito, a função também
faz o mesmo.
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
4.3
35
Singularidades em tempo finito
Uma singularidade em tempo finito é aquela que pode ocorrer em funções que têm
o tempo como parâmetro independente. A diferença neste caso, com relação à singularidade
em tempo infinito, é que a função f (t) diverge para o infinito em um tempo finito, isto é, em
um valor definido para o tempo (valor que não infinito).
Funções que exibem esse comportamento singular são, por exemplo, as que têm a
forma de uma lei de potência, f (t) = t−α . Para observar mais claramente tal fato, faz-se a
substituição da variável t para t0 − t, de maneira a singularidade aparece em t = t0 , à medida
que t assume valores crescentes; então a função fica: f (t) = (t0 − t)−α (ver exemplo na figura
4.2).
Diferentemente da singularidade em tempo infinito, a singularidade em tempo finito
não é um “fenômeno estável”, no sentido de que se as condições iniciais do problema forem
modificadas minimamente, as singularidades aparecerão ainda em um tempo finito, mas em
tempo diferente do tempo t0 que apareciam.
Este tipo de singularidades costuma aparecer em soluções de equações diferenciais
ordinárias não-lineares e de equações diferenciais parciais. Exemplos de situações em que
aparecem singularidades espontâneas em tempo finito são: nas equações de Euler para fluidos
não-viscosos, na moeda girante (disco de Euler), nas equações da Relatividade Geral sobre a
formação de buracos negros, dentre outras.
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
36
Figura 4.2: Gráfico da função f (t) = (4 − t)−1,2 . À medida que t tende ao valor 4, a função
tende ao infinito. O valor t = 4 é valor do tempo crítico tc . Se a função tivesse somente t em
vez de (tc − t), a singularidade aparecia em t = 0.
4.4
Pontos críticos como singularidades
Um ponto crítico, como conhecido na Física, é um valor específico que uma variável
física de um sistema assume quando este sofre uma transição de fase. Por exemplo, numa
transição de fase da matéria, quando a temperatura de uma substância atinge o valor da
temperatura de fusão ou de ebulição dessa substância o calor específico diverge neste valor
de temperatura, então diz-se que o ponto onde ocorre esta divergência é um ponto crítico.
Outro exemplo de um ponto crítico é aquele referente ao estado de um material (magnético)
que está à sua temperatura de Curie, que é a temperatura crítica que “separa” o estado
ferromagnético do estado paramagnético, e tem uma susceptibilidade magnética com valor
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
37
divergente para este valor de temperatura.
Em tais situações de transições de fase térmicas e de fenômenos críticos, as relações
matemáticas que melhor descrevem o comportamento dos sistemas são as leis de potência,
que têm, muitas vezes, como parâmetro independente a temperatura, e são da forma f (x) ∼
(T − Tc )λ ou f (x) ∼ ()λ ( = (T − Tc )/Tc é um parâmetro adimensional) em que Tc é a
temperatura crítica (onde ocorre a singularidade da variável física) e f (x) pode ser qualquer
função de variável que dependa da temperatura, como pressão e magnetização.
O comportamento singular desses observáveis físicos são caracterizados pelos expoentes críticos; estes são os expoentes das leis de potência, a exemplo do λ nas funções acima,
e têm um valor específico para cada tipo de fenômeno. Têm-se mostrado que tais expoentes
sejam universais, isto é, não dependam de particularidades do sistema considerado, e sim
da dimensionalidade do sistema, além de depender também do alcance das interações e do
hamiltoniano do sistema.
Em suma, as singularidades que aparecem nas funções que descrevem sistemas físicos
são os pontos críticos desses sistemas. Sempre que estiver em um ponto singular, o sistema
estará num estado crítico; em qualquer outro ponto ordinário, o sistema é dito estar em
equilíbrio (considerando-se que este somente passa por transformações quase estáticas).
4.5
Criticalidade auto-organizada
Um contexto diferente do contexto anterior se apresenta quando se trata de Criticalidade Auto-organizada.
Após o estudo sobre fractais ficar em evidência, principalmente através dos trabalho
de Mandelbrot, e levando-se em conta problemas em aberto, como o ruído “1/f ”, que é um
sinal cuja potência varia inversamente com a frequência do sinal, a questão imediata que se
levantou foi: “De onde vem tal comportamento complexo?” (ou alguma outra questão neste
mesmo sentido, de investigar a origem de tais fenômenos).
Uma tentativa de explicar a origem desses fenômenos complexos, em especial, o
ruído 1/f , foi feita em um trabalho publicado em 1987 por Per Bak, Chao Tang e Kurt
Wiesenfeld, intitulado “Self-Organized Criticality: An Explanation of 1/f Noise”, no qual
os autores definem este novo conceito de criticalidade auto-organizada, e explicam como
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
38
este comportamento é atingido. De acordo com este trabalho([20]), a criticalidade autoorganizada surge em sistemas dinâmicos que têm muitos graus de liberdade espaciais; estes
sistemas, depois de um longo tempo de evolução, naturalmente se tornam estruturas críticas
auto-organizadas de estados quase estáveis.
Os autores exemplificam este processo com um modelo de sistema de pêndulos amortecidos conectados entre si por uma mola. Em um sistema unidimensional, uma perturbação
aplicada em um pêndulo irá se propagar pelos seus vizinhos de maneira que quando a perturbação passa por cada pêndulo este volta para um estado minimamente estável, e após a
perturbação cessar (a energia dissipar), o sistema estará num estado minimamente estável.
Em um sistema em duas dimensões, a situação muda completamente, pois uma perturbação
aplicada em um pêndulo é amplificada pelos mais de dois vizinhos que este tem, que são perturbados e se tornam instáveis. Então, a perturbação se propaga e dá origem a mais estados
mais do que minimamente estáveis nos pêndulos, que por sua vez, atrapalham a propagação
do ruído (perturbação), até que a propagação cessa. A partir de então, o sistema se torna
estável, isto é, “quando a rede de estados minimamente estáveis for quebrada ao nível tal que
o sinal ruído não pode ser comunicado através de distâncias infinitas.”([20], p. 382). O ponto
onde isso ocorre, é um ponto crítico, pois neste não há escala de tamanho típica, o sistema
se torna uma estrutura invariante de escala de estados minimamente estáveis2 .
Porém, vale ressaltar que esta criticalidade é fundamentalmente diferente daquela
presente em sistemas que apresentam transição de fase. Em relação a estes últimos, é suposto
estar em equilíbrio e é levado a atingir um ponto crítico através do ajuste de um parâmetro
como a tempetura. Já em relação aos sistemas que apresentam criticalidade auto-organizada
(SOC, de Self-Organized Criticality), o ponto crítico não é atingido a partir do equilíbrio,
pelo contrário, a dinâmica de tais sistemas está fora de equilíbrio e as propriedades deste
atrator (ponto crítico) são insensíveis a qualquer parâmetro do modelo, ou seja, este ponto
não é alcançado através de ajuste de parâmetro nenhum.
Um exemplo físico ilustrativo da criticalidade auto-organizada é da pilha de areia.
Se uma pilha de areia tem grãos de areia caindo em seu topo, ela irá adquirir uma inclinação
muito grande, uma inclinação crítica (que é uma situação de não-equilíbrio), e consequentemente irá colapsar (que é quando ocorre uma avalanche) até que a inclinação média atinja
um valor crítico, que é quando o sistema se torna quase estável novamente, com relação a pequenas perturbações3 . Tem-se, neste modelo, que o tamanho das avalanches e sua frequência
2
3
Os autores mostram isso através simulações numéricas com autômatos celulares.
“O ruído ‘1/f’ é a resposta dinâmica da pilha de areia para pequenas oscilações aleatórias.”([20], p. 382)
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
39
se relacionam através de uma lei de potência.
No ponto crítico, sistemas criticamente auto-organizados têm clusters 4 de todos os
tamanhos, o que significa que perturbações locais se propagam em todas as escalas de tamanho, fazendo com que os tempos de vida destas perturbações também flutuem em todas as
escalas de tempo. Portanto, neste ponto, as flutuações temporais e outros observáveis físicos
se comportam de acordo com funções do tipo lei de potência, que descrevem apropriadamente
sistemas sem escala preferencial.
No artigo que deu origem à definição de criticalidade auto-organizada, os autores
ainda sugerem que “A ‘Física dos fractais’ poderia ser aquela que eles estão nos estados
minimamente estáveis originados de processos dinâmicos que param precisamente no ponto
crítico.” ([20], p. 382).
4.6
Criticalidade em terremotos, rupturas e quebras de
bolsas
Após a descoberta do (possível) mecanismo natural de auto-organização crítica, a
SOC, surgiram inúmeras possíveis explicações para fenômenos complexos cujas origens são
difíceis de determinar, como quebras de bolsas de valores, que se valeram desta premissa de
criticalidade auto-organizada. Dentre os fenômenos estudados sob esta óptica, a seguir serão
relatados três exemplos: terremotos, rupturas e quebras de bolsas de valores.
Uma das possíveis aplicações da SOC foi reconhecida pelos criadores da própria teoria, que publicaram trabalhos subsequentes ao da criação da SOC nos quais argumentam que
terremotos são consequência da auto-organização crítica da crosta terrestre. Como consta em
[21], supondo-se que terremotos surgem devido a deslizamentos da crosta terrestre ao longo
de falhas geológicas, a crosta, sujeita à pressão devido ao movimento das placas tectônicas,
pode ser vista como um sistema dissipativo e espacialmente “infinito” (com muitos graus de
liberdade). Nesse sistema, o estado crítico seria aquele em que uma força local na crosta pode
provocar, ou não (há um valor mínimo de força que provoca deslocamento), um deslocamento
que se propaga na vizinhança; sempre que houver deslocamento, essa atividade é uma avalanche e caracteriza um terremoto (à medida que a pressão aumenta, as avalanches se tornam
4
Regiões dentro das quais pequenas perturbações locais podem se propagar.
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
40
maiores, e os terremotos também). Nestas avalanches aparecem as características invariantes
de escala pertinentes a terremotos, como a lei de Gutenberg-Richter5 e a estrutura fractal de
falhas por onde se propagam os terremotos. Uma consequência disto, que os autores frisam
neste trabalho, é que terremotos de grande magnitude são intrinsecamente imprevisíveis, já
que o mecanismo que gera um pequeno terremoto é o mesmo que gera um grande terremoto.
Apesar da aparente adequação da SOC à explicação da dinâmica de terremotos,
há opiniões divergentes sobre o tema. Alguns cientistas, como Sornette ([22]), alegam que
terremotos são fenômenos críticos, como os tratados na Mecânica Estatística, por causa da
constatação de que um fenômeno de ruptura é um fenômeno crítico, por exemplo. Outro
fato que sugere este ponto de vista é o aumento do número de terremotos com magnitudes
intermediárias que é observado sempre antes do acontecimento de um terremoto de grande
magnitude, tal qual como ocorre em fenômenos na Física Estatística, como, por exemplo, o
aumento do comprimento de correlação em um sistema próximo a um ponto crítico. Desta
maneira, diferentemente do ponto de vista da SOC, terremotos são fenômenos passíveis de
previsibilidade; o aumento da sismicidade (como um ajuste de parâmetro) leva à ocorrência
de terrremotos enormes.
Como mencionado anteriormente, um fenômeno de ruptura, como propagação de
rachaduras ou deslizamento ao longo de falhas, pode ser explicado como um fenômeno crítico.
Portanto, rupturas obedecem a leis de potência, que são a distribuição de magnitude das
rachaduras, a distribuição de magnitudes de terremotos, a distribuição de tempo de espera
(tempo que leva de uma fratura, rachadura, terremoto, até a seguinte ocorrer), a distribuição
espacial (estrutura fractal), dentre outras quantidades pertinentes.
Expoentes de escala, relativos a fenômenos críticos, são ditos universais, mas observase ([23]) que tais expoentes dependem sim das especificidades do sistema considerado, tendo
seu valor alterado em algumas situações, como é observado próximo à ruptura, quando os
expoentes decrescem de valor. Este decréscimo próximo a rupturas pode servir como um
precursor para eventos de grande porte.
Por fim, um último exemplo, no qual algum tipo de criticalidade está presente, é o
de mercado de ações ou mercado financeiro. O mercado financeiro frequentemente é marcado
por períodos das chamadas crises financeiras, nas quais os índices de bolsas de valores têm
seus valores mais baixos, evidenciando a desvalorização das ações na bolsa de valores. No
5
Esta lei relaciona a quantidade de terremotos que ocorrem com magnitude maior do que m, que por sua
vez está relacionada com a energia liberada nesta ocorrência; sua forma é: dN/dE = m−τ , em que N é o
número de terremotos, E a energia liberada e τ o expoente de escala ([21], p. 15.635).
Capítulo 4. Singularidades em Matemática e Física
41
contexto da Física, estes períodos de crise costumam ser considerados períodos críticos e,
portanto, existem inúmeras tentativas de entender esta dinâmica utilizando as ferramentas
da Mecânica Estatística e também dos formalismos da área de Sistemas Complexos.
Através da análise dos dados correspondentes às flutuações dos valores de índices,
como feito em [24], pode-se reconhecer comportamentos do tipo lei de potência em quantidades como o tamanho das avalanches (queda dos índices), dentre outras, o que pode sugerir
que o mercado de ações esteja em um estado criticamente auto-organizado, em que os constituintes (os acionistas) se organizam de acordo com as informações que recebem de maneira
a vender ou comprar ações levando o sistema, eventualmente, a uma situação crítica (na
qual grande parte dos acionistas decidem vender suas ações baseados no comportamento de
“vizinhos” levando a uma grande queda nos preços das ações).
Contudo, no modelo simples de SOC, o tempo laminar (ou tempo de espera entre
avalanches) tem distribuição exponencial, e não em lei de potência (como surge no contexto
do mercado de ações (ver [24])), o que significa que o agente externo (no caso da pilha
de areia, a areia) atua aleatoriamente (a areia cai aleatoriamente em qualquer lugar da
pilha). A distribuição em lei de potência deste tempo laminar sugere correlações temporais
entre as avalanches (queda de preços de ações) que não podem ser explicadas com a SOC,
mas as demais características deste modelo (estruturas livres de escala) parecem descrever
razoavelmente o mercado de ações; então poderia-se utilizar um modelo de SOC modificado,
para levar em conta tais correlações.
Outra abordagem para este problema é através da analogia com fenômenos de turbulência hidrodinâmica, utilizando o modelo de turbulência em cascata, porém este modelo
não condiz com a invariância de escala encontrada no regime crítico, como mostrado em [25].
Pôde-se observar que, no mínimo, os três problemas citados acima, terremotos, rupturas e quebras de bolsas de valores, carecem de explicação satisfatória de suas dinâmicas;
no entanto, estudos utilizando os conceitos de Criticalidade Auto-organizada ou da Mecânica
Estatística parecem promissores no sentido de caracterizar estes fenômenos e fazer inferências
sobre o comportamento futuro dos sistemas estudados.
Capı́tulo
5
Precursores log-periódicos em fenômenos
críticos
5.1
Precursores log-periódicos em fratura
O fenômeno de ruptura é um fenômeno bastante presente no cotidiano e também
bastante estudado, mesmo assim, ainda não há total consenso sobre o mecanismo subjacente
a este evento. Contudo, resultados significativos foram obtidos do estudo sobre ruptura de
materiais. Por exemplo, sabe-se1 atualmente que quanto mais heterogêneo o material for,
mais sinais precursores da ruptura ele apresenta. Também se observa que as rupturas nestes
materiais heterogêneos se formam através de um processo de fusão de micro-rachaduras
(micro-fendas). A fusão de micro-rachaduras num material heterogêneo que venha a se
romper, é formada de acordo com a carga (peso) a que este material está submetido; esta
pode ir crescendo de valor com o passar do tempo ou ser constante ao longo do tempo. Com
o passar do tempo, esta tensão sobre o material é crítica e este se rompe.
De acordo com Sornette ([26]), e verificado por outros cientistas, as emissões acústicas
do material, que são as ondas mecâncias provocadas pelo movimento brusco de sistemas sob
tensão, ou, de maneira geral, a energia elástica emitida pelo material quando este está sob
tensão, é função do tempo-até-a-ruptura (time-to-failure) e obedece a uma lei de potência
com correções log-periódicas.
1
Na referência [26] há uma revisão geral sobre o tema.
42
Capítulo 5. Precursores log-periódicos em fenômenos críticos
43
De fato, tais correções log-periódicas denotam a aceleração da taxa de emissão acústica. Em [26], Sornette mostra que próximo ao (suposto) regime crítico, no qual ocorre a
ruptura do material2 , o melhor ajuste para as emissões acústicas é o de uma função que exibe
log-periodicidade, que dá conta de descrever a aceleração da emissão acústica à medida que
o valor da pressão exercida sobre o material aumenta até o valor da pressão-até-a-ruptura
(pressão crítica), como pode ser visto na figura 5.1. Depois de feito os ajustes, foi feita predição para o tempo em que ocorreu a ruptura através dos valores da pressão crítica, calculados
com os ajustes dos dados. Comparando-se com os valores reais, que foram medidos no experimento, o ajuste log-periódico forneceu valores próximos aos valores reais do tempo crítico
(quando a ruptura ocorreu), mostrando, assim, o poder preditivo desta abordagem. Assim, o
fato de a taxa de emissão acústica em materiais heterogêneos susceptíveis a rupturas crescer
aceleradamente próximo às rupturas pode ser percebido como um precursor de ruptura.
Figura 5.1: Gráfico da energia liberada em um experimento de ruptura versus pressão aplicada sobre o material e seu respectivo ajuste log-periódico. Disponível em: [26], p. 169.
2
Neste trabalho, o material são tanques esféricos de fibra de carbono ou fibra kevlar numa matriz de resina
com revestimento metálico de aço ou titânio.
Capítulo 5. Precursores log-periódicos em fenômenos críticos
5.2
44
Precursores log-periódicos em terremotos
A ocorrência de terremotos está associada a ocorrência de rupturas; terremotos acontecem ao longo de falhas, que são fraturas. Portanto, muitos resultados advindos das pesquisas sobre rupturas em materiais heterogêneos podem ser aplicados no contexto de terremotos.
Neste sentido, de acordo com [27], os terremotos de grande magnitude são pontos
críticos que se distinguem dos demais terremotos de magnitude baixa ou intermediária. Estes grandes terremotos ocorrem à medida que os terremotos de tamanho intermediário vão
crescendo em número e crescendo também em intensidade.
Há diversos modelos (listados em [27]) nos quais é observado o aumento acelerado da
atividade sísmica próximo a um grande terremoto, cuja explicação não é conhecida, mas há
diversas hipóteses diferentes subjacentes aos modelos que tentam explicar tal fato. Também
é constatado nestes modelos o aumento da magnitude dos terremotos, além da frequência,
próximo ao terremoto crítico.
Supondo que os maiores terremotos são correlacionados, espacialmente e temporalmente, pode-se esperar que sejam previsíveis. De fato, o aumento na taxa de sismicidade com
o estresse na crosta terrestre ou com o tempo é bem capturado por um ajuste do tipo lei de
potência com correções log-periódicas, quando se analisa dados sobre terremotos. Portanto,
a taxa acelerada da sismicidade antes de um grande terremoto pode ser interpretada como
um sinal precursor deste grande evento.
5.3
Precursores log-periódicos em partos
Outro caso em que o tratamento matemático acima pode ser feito, caso de uma
área distinta das anteriores, é no fenômeno de parto, nascimento, de seres humanos. Como
descrito no trabalho [28], observa-se que, durante a gestação do feto, o útero e as camadas
de tecido acima deste, comportam-se de maneiras diferentes entre si, ocorrendo contrações
na mãe de modo isolado e pontual. Cada camada de tecido revestindo o feto tem diferente
resposta aos diversos estímulos externos, e o sistema mãe-filho apresenta um comportamento
não-coerente.
Capítulo 5. Precursores log-periódicos em fenômenos críticos
45
O que acontece próximo à hora do parto é que o número de contrações na mãe
aumenta significativamente em quantidade e em intensidade. Isto é como se, agora, o sistema
mãe-feto se comportasse como um sistema coerente, que tem respostas similares aos estímulos
externos, de maneira a expulsar o feto do útero quando este está maduro.
Foi observado que a taxa da amplitude da atividade uterina global coerente aumenta
com o parâmetro de maturação (que representa as várias variáveis bioquímicas e fisiológicas).
Antes da hora do parto, esta amplitude A é, em média, zero, enquanto o valor do parâmetro
de maturação µ cresce. À medida que µ se aproxima de um valor crítico µc , indicando a proximidade da hora do parto, a amplitude da atividade uterina aumenta, e tal comportamento
é suposto seguir uma lei de potência. Então, o aumento da atividade uterina próximo ao
tempo crítico (hora do parto) é um sinal precursor para identificar a hora do nascimento do
feto.
Sinais de log-periodicidade também aparecem em fenômenos como quebra de bolsa
de valores, cujos precursores são a aceleração da oscilação dos preços (ou dos índices nos
mercados de ações), como explicado em [29]. Também já foi identificado o comportamento
log-periódico em dinâmica superdifusiva (em [30]) e em calor específico de sistemas em baixas
temperaturas (em [31]), por exemplo, dentre outros.
5.4
A dificuldade de estimar o tempo crítico
Através dos casos relatados anteriormente, pode se dizer que o modelo log-periódico,
explicado na seção 3.3, obteve sucesso em explicar certos fenômenos catastróficos difíceis de
lidar. Contudo, sua utilização para a previsão destes grandes eventos críticos é seriamente
contestada por diversos cientistas.
O problema encontrado, que é inerente ao modelo log-periódico, durante a utilização
deste para ajustar curvas aos dados é a minimização da soma do resíduos quadrados. Esta
minimização garante o melhor ajuste possível aos dados, mas no caso log-periódico, o qual
se trata de uma função não-linear, não é trivial encontrar o mínimo global da função, pois
esta função tem inúmeros mínimos locais.
Para contornar tal problema, boa parte dos trabalhos de pesquisa neste tema tem
proposto métodos de separação de ruído dos dados originais, com a intenção de observar
Capítulo 5. Precursores log-periódicos em fenômenos críticos
46
melhor o caráter log-periódico dos dados e melhorar a capacidade de previsão dos eventos
críticos, pois ruído atrapalha na estimação de parâmetros do modelo. Outros trabalhos
utilizam métodos não-paramétricos para melhor estimar o valor do tempo crítico tc (no caso de
séries temporais), como em feito em [32], e também em [33], que utiliza a chamada derivada(H, q) e a transformada de Hilbert para a análise de séries financeiras que apresentaram crise
em 1987, 1997 e 2000.
Capı́tulo
6
Resultados
6.1
Quebra na bolsa de valores BOVESPA em 2008
No ano de 2008, uma crise deflagrada em setembro de 2008 no mercado financeiro
dos Estados Unidos da América abalou os demais países do mundo, levando as bolsas de
valores destes países ao mais baixo patamar de valorização. No Brasil, esta queda nos valores
das ações pôde ser percebida através da queda do índice BOVESPA (Bolsa de Valores de São
Paulo), o IBOVESPA, que atingiu seu menor valor desde 27/10/20051 , 29.435 pontos.
A evolução do IBOVESPA durante este período é mostrada no gráfico a seguir (figura
6.1). De acordo com este gráfico, o maior valor atingido pelo índice entre 2006 e 2010 foi em
20/05/2008, 73.517 pontos, e o valor mínimo foi alcançado cinco meses após, em 27/10/2008,
29.435 pontos.
1
http://noticias.r7.com/economia/noticias/veja-os-piores-momentos-da-bolsa-durante-a-crise-2009102
html
47
Capítulo 6. Resultados
48
Figura 6.1: Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo, de 06/10/2006 a 27/10/2010.
Dados disponíveis em: http://br.financas.yahoo.com/q?s=^bvsp.
6.2
Análise dos dados
O período que é analisado neste trabalho é justamente o período apresentado anteriormente, com os valores diários (valores de fechamento da bolsa nos dias úteis) do
índice BOVESPA entre o dia 06/10/2006 e o dia 27/10/2010. Foram coletados no site
http://br.financas.yahoo.com/q?s=^bvsp 1.000 valores do índice BOVESPA correspondentes aos 1.000 dias (úteis para o mercado) compreendidos no período entre 06/10/2006 e
27/10/2010.
Como dito anteriormente, a teoria log-periódica descreve bem quebras em bolsas
de valores, e para observar tal comportamento log-periódico, foram feitos ajustes nos dados
do IBOVESPA em determinados intervalos de tempo utilizando funções log-periódicas. A
Capítulo 6. Resultados
49
primeira função utilizada foi f (tc − t) = A + B(tc − t)β + C(tc − t)β cos(ω ln(tc − t) + φ) (como
na equação (3.22)), mas esta não forneceu um bom ajuste aos dados. Já a segunda função,
que é uma aproximação até a segunda ordem da série (3.21), captura um comportamento
log-periódico nos dados do índice BOVESPA; esta função é:
f (tc − t) = A + B(tc − t)β + C(tc − t)β cos(ω ln(tc − t) + φ1 )
+D(tc − t)β cos(2ω ln(tc − t) + φ2 )
(6.1)
Também é utilizada a função abaixo, que é a mesma da equação (6.1) mas com o argumento
sendo t − tc :
f (t − tc ) = A + B(t − tc )β + C(t − tc )β cos(ω ln(t − tc ) + φ1 )
+D(t − tc )β cos(2ω ln(t − tc ) + φ2 )
(6.2)
Mais adiante é mostrado o gráfico (figura 6.2) com os melhores ajustes de curvas
para os dados do IBOVESPA, utilizando a função (6.1) e a função (6.2). O primeiro ajuste,
em verde, foi feito utilizando os pontos no intervalo de t = 334 (data: 22/2/2008) até t = 506
(data: 27/10/2008), e o segundo ajuste foi feito com pontos de t = 507 (data: 28/10/2008)
até t = 993 (data: 18/10/2010). O programa utilizado para fazer os gráficos foi o OriginPro
8 e este forneceu os ajustes, mostrados na tabela 6.1, para a região antes da quebra da bolsa
(três primeiras colunas) e para a região depois da quebra da bolsa (três últimas colunas).
Tabela 6.1: Parâmetros de ajustes para a função (6.1) e para a função (6.2), respectivamente,
da esquerda para a direita.
Parâmetros Valores Erros padrão
A 29211,20
3848,98
B 5180,86
2168,60
C
-832,75
237,71
D
-150,88
82,63
β
0,41
0,07
ω
7,02
0,14
φ1
21,00
0,64
φ2
30,84
1,48
tc
506
0
Parâmetros Valores Erros padrão
A 30573,44
853,80
B
586,27
120,68
C
99,93
17,00
D
-20,09
6,47
β
0,71
0,03
ω
7,30
0,08
φ1
21,82
0,46
φ2
24,37
0,95
tc
506
0
Capítulo 6. Resultados
50
Figura 6.2: Gráfico do índice BOVESPA em função do tempo, de 06/10/2006 a 27/10/2010, e
os ajustes correspondentes. Ambos ajustes foram feitos com o valor crítico tc = 506, suposta
data da quebra da BOVESPA.
O ponto tc foi fixado e o programa fez o ajuste não-linear de cada região no gráfico.
O valor tc = 506 corresponde ao valor mais baixo do IBOVESPA no período considerado. De
acordo com o gráfico 6.2, é possível observar que próximo a este valor de tc as oscilações na
função de ajuste (6.1) mostram uma breve aceleração, uma característica do modelo próximo
ao ponto crítico tc . O ajuste para os valores após a quebra tem parâmetros diferentes do
ajuste dos dados antes da quebra, mas também pode se observar oscilações neste, só que
mais suaves.
Os ajustes são compatíveis com a ideia de uma singularidade em tempo finito no dia
27/10/2008, suavizada por efeitos de tamanho finito. Pois, como já foi dito anteriormente, é
Capítulo 6. Resultados
51
impossível detectar singularidades puras na Natureza, dado que o infinito é uma abstração
matemática.
Outra característica pertinente a séries financeiras no geral é a fractalidade. A figura
6.3 mostra os dados utilizados neste capítulo no gráfico maior e nos demais gráficos um zoom
no intervalo central desses dados. Pode se perceber que os dados não formam uma fiel
estrutura auto-similar, mas se aproximam um pouco de tal tipo de estrutura.
Em resumo, a análise preliminar feita neste capítulo mostrou que os conceitos tratados nos capítulos anteriores são pertinentes a este problema da crise financeira em 2008,
embora não de maneira exata, pois os conceitos de fractais e singularidades só são exatos
matematicamente, em situações físicas, estes são aproximados.
Figura 6.3: Gráficos do índice BOVESPA em função do tempo. O primeiro, e maior, correspondem a todos os dados. O segundo, embaixo e à esquerda, é um zoom na parte central
do primeiro gráfico, e o terceiro gráfico, embaixo e à direita, é um zoom na parte central do
segundo gráfico.
Capı́tulo
7
Conclusão
7.1
Conclusão e discussão
A teoria log-periódica, como explanada neste trabalho, foi vista se adequar razoavelmente aos fenômenos ditos catastróficos que foram apresentados. De maneira geral,
como a simetria de invariância de escala discreta está diretamente relacionada a funções logperiódicas, espera-se que todos os sistemas que apresentam esta simetria possam ser descritos
adequadamente por estas funções.
Todavia, a descrição adequada de sistemas que apresentam a simetria de invariância
de escala discreta não é simples. Os dados relativos à energia liberada por terremotos ou
índices de bolsas de valores, por exemplo, têm que ser tratados estatisticamente, de maneira a
reduzir erros e ruídos. Ainda assim, às vezes não é possível identificar o caráter log-periódico
do fenômeno e nem utilizar a análise para fins de predição, dado que tal modelo não-linear é
inerentemente complicado por apresentar muitos mínimos locais.
No capítulo 6, tais dificuldades foram observadas, como também o aparecimento
de oscilações log-periódicas, na análise preliminar do índice BOVESPA na época da crise
financeira de 2008.
52
Capítulo 7. Conclusão
7.2
53
Perspectivas
De acordo com o exposto, propõe-se então a continuação da pesquisa neste tema,
de maneira a tentar driblar as dificuldades do modelo log-periódico. Isto pode ser feito
aplicando diversos testes estatísticos aos dados para verificar a real presença de oscilações
log-periódicas, como já vem sendo feito exaustivamente, ou também, através do estudo de
métodos numéricos que permitam a identificação dos mínimos globais das séries temporais
supostamente log-periódicas.
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