Curso de Manejo de águas pluviais
Capitulo151- Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III
Engenheiro Plínio Tomaz 13 de janeiro de 2014 [email protected]
Capítulo 151
Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III
151-1
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Capitulo 151- Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III
151.1 Introdução
Quando queremos a máxima precipitação, o máximo vento, o máximo pico de vazão, etc,
usamos:
1- Distribuição de Gumbel dos valores extremos (Brasil, Canadá)
2- Distribuição Log-Pearson Tipo III ( Estados Unidos)
No Brasil e Canadá é muito usada a distribuição de Gumbel quando queremos a
máxima precipitação, a máxima enchente, etc. Nos Estados Unidos o uso mais frequente é a
Distribuição Log-Pearson Tipo III que é recomendada por vários órgãos públicos.
151.2 Noções de estatística
Vamos mostrar algumas noções de estatística algumas equações do momento: média,
desvio padrão e desvio padrão.
Média X
É a soma dos dados dividido pelo número deles.
Em Excel: X= MEDIA (A1:A50)
Desvio padrão S
É a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças da media dividido por n-1.
Em Excel: S= DESVPAD (A1:A50)
Coeficiente de variação Cv
É o quociente entre o desvio padrão e a média.
Cv= S/ X
151-2
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Distribuição normal
Figura 151.1- Curva normal
Skewness (g)
Dá uma idéia se a curva normal está distorcida para a direita ou para a esquerda. O Skewness
mede a simetria da curva e quando g=0 temos simetria perfeita, isto é, a curva normal.
Em Excel: SKEW= DISTORÇÃO (A1:A50)
Figura 151.2- A esquerda temos skewness positivo e a direita skewness negativo
151-3
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151.3 Distribuição de Gumbel
A distribuição de Gumbel foi introduzida em 1941 e é chamada de Distribuição de Gumbel ou
simplesmente Gumbel. O objetivo é achar a máxima enchente de um rio, a máxima precipitação, o
máximo vento, etc.
Tenho usado a distribuição de Gumbel em regiões onde não existe uma equação de chuva
intensa, mas existe muitos dados de precipitação diária através de pluviômetros. Com os dados das
precipitações diárias usamos a distribuição de Gumbel para vários períodos de retorno e depois
usamos as relações entre as precipitações, transformando as chuvas de um dia para 24h. Depois
usamos a relação de precipitações para chuvas de 24h para chuvas de 1h e assim por diante. Isto está
no meu livro Cálculos Hidrológicos e Hidráulicos para obras municipais no capítulo de Chuvas
Intensas.
Uma vez em um congresso de Biodiversidade e Recursos Hídricos conversei com um
engenheiro peruano que morava no interior do Peru e que sua cidade não tinha equação de chuva,
mas tinha somente as precipitações diárias de mais de 30 anos. Dei o meu livro já citado de
presente para o mesmo para servir de modelo nos cálculos. Você não obtém a equação chuva
intensa, mas uma tabela para diversos períodos de retornos e diversos tempos de duração da chuva
desde 24h até 5min que serve para uso em cálculo precisando as vezes de uma pequena interpolação
linear.
Primeiramente vamos mostrar a distribuição de Gumbel conforme Righeto, 1998 que é a mais
usada no Brasil e de fácil aplicação, existindo inclusive programas em Excel, bastando entrar com
os dados das precipitações diárias. Temos muito utilizado a distribuição de Gumbel conforme
Righeto, 1998.
151.4 Distribuição de Gumbel conforme Righeto
Vamos explicar a Distribuição de Gumbel usando um exemplo da cidade de Guarulhos usando
dados do Posto Bonsucesso com dados de 58 anos conforme Tabela (151.1) para Tr=25anos.
Righeto usa os mesmos critérios de Ven Te Chow, 1988 e da ASCE, 1996.
Tabela 151.1- Precipitações máximas diárias anuais do Posto Bonsucesso em Guarulhos
Posto pluviométrico de Bonsucesso Guarulhos Ano
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
Precipitação máxima diária
anual (mm)
47
70,3
85,2
64
87,4
88,3
76,2
96
60,41
135,6
80,6
118,4
54,6
Ano
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
151-4
Precipitação máxima
diária anual (mm)
59,2
112,5
85,6
56,5
44,4
93,2
107
88,2
76,5
85,1
76,3
146,2
39,9
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1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
70,8
57,1
45,5
74,6
67,9
57,2
59,5
83,9
59,2
97,6
59,8
52,5
66,5
60,6
68,5
90
43
57,6
68,9
43,4
68,4
53,7
87,1
69,5
118
117,9
80,2
92,8
1994
1995
1996
1997
média
desvio padrão
51,5
67,2
71,9
57,9
75,08 mm
23,29 mm
Para analisar as maiores precipitações para fins de projeto hidráulicos, é usada a distribuição
de Gumbel, conforme Righeto, 1998 página 190.
 = 6 0,5 . S / 
 = ( – 0,577 . )
sendo S = desvio padrão = 23,29mm e  = média = 75,08mm achamos os parâmetros  e .
= 18
=64,69
Na distribuição de Gumbel, conforme Righeto, 1998 página 219 temos:
P( 1 dia; T) - 
--------------------- = - ln ( ln ( 1 / F (P(dia; T))))

151-5
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sendo F ( P(dia ;T)) = 1 – (1 / T )
T= período de retorno e
ln= logaritmo neperiano.
Como exemplo, para período de retorno T= 25 anos
F (P( 1dia ; 25)) = 1 – (1 / 25) = 1-0,04 =0,96
P( 1 dia; 25) - 
--------------------- = - ln ( ln ( 1 / 0,96)) =3,1985

P( 1 dia; 25) – 64,69
------------------------------ =
18
3,1985
P( 1 dia; 25) – 64,69 = 3,1985 . 18 = 57,57
P( 1 dia; 25) – 64,69 = 57,57 + 64,69 =122,26mm
Para isto façamos a Tabela 152.2 onde acharemos os valores de P (dia; T) para um período de
retorno de 2, 5 , 10, 15, 20, 25, 50 e 100 anos.
Tabela 151.2-Cálculo das precipitações máximas de 1 dia em milímetros, para vários períodos
de retorno usando a distribuição de Gumbel
Variáveis
Valores obtidos usando a distribuição de Gumbel
18,00 18,00 18,00 18,00 18,00
18,00 18,00
18,00
β
64,7 64,7 64,7
64,7
64,7
64,7
64,7
64,7
α
Período de retorno 2
5
10
15
20
25
50
100
T
0,50 0,80 0,90
0,93
0,95
0,96
0,98
0,99
F(1dia;T)
P( 1dia;T) (mm) 71,30 91,70 105,21 112,8 118,16 122,26 134,93 147,50
3
151-6
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151.5 Distribuição de Gumbel conforme Subramanya, 2008
Vamos fazer uma aplicação prática de Gumbel.
XT= Xm + K . σ
Sendo:
XT= valor extremo para um determinado período de retorno
Xm= valor médio da amostra
σ = desvio padrão da amostra
K= fator de frequência determinado por:
K= (yT – yn) / Sn
Sendo:
K= fator de frequência
yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1))))
T= período de retorno (anos)
yn= média reduzida fornecida pela Tabela (151.3) em função do tamanho da amostra N
Nota 1: quando n —> ∞ yn= 0,577
N= tamanho da amostra.
Sn= desvio padrão reduzido fornecido pela Tabela (151.4) em função do tamanho da
amostra.
Nota 2: quando n —> ∞ Sn= 1,2825
Tabela 151.3- Valores da média reduzida yn para o método de Gumbel em função do
tamanho da amostra N
Fonte: Subramanya, 2008
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Tabela 151.4- Valores do desvio padrão reduzido Sn para o método de Gumbel em
função do tamanho da amostra N
Fonte: Subramanya, 2008
Exemplo 151.1
Usando os dados de N=58 anos de precipitações máximas de Guarulhos, achar a
precipitação máxima par Tr=100anos usando o Método de
Gumbel conforme apresentação de Subramanya, 2008.
Periodo de retorno desejado: Tr=T= 100 anos
Média da amostra: Xm= 75,08mm
Desvio padrão da amostra: σ= 23,29mm
Cálculo de yT
yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1))))
yT= - ( Ln (Ln (100/ (100-1)))) = 4,60
Cálculo de K
K= (yT – yn) / Sn
Conforme Tabela (151.3) vamos achar o valor de yn entrando com N=58 que é o
tamanho da amostra. Então achamos yn= 0,5515
Conforme Tabela (151.4) vamos achar o valor Sn entrando com N=58 que é o
tamanho da amostra. Então achamos Sn= 1,1721
K= (yT – yn) / Sn
K= (4,60 – 0,5515) / 1,1721 = 3,45
Portanto, conforme Gumbel o valor máximo da precipitação diaria em Guarulhos é:
XT= Xm + K . σ
Média da amostra: Xm= 75,08mm
Desvio padrão da amostra: σ= 23,29mm
151-8
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XT= 75,08 + 3,45x 23,29= 155,53mm
Portanto, a precipitação máxima diaria para Tr=100anos é 155,53mm.
Verifique que o valor obtido foi de 155,53mm que é maior que o obtido usando
Righeto, 2008 que foi de 147,50mm. O motivo é que Subramanya, 2008 considera a
amostra e não o valor infinito da amostra.
151.6 Limite de confiança
Subramanya, 2008 estima de uma maneira bem simples o limite de confiança.
O limite de confiança da amostra xT será:
x1= xT + f(c) . Se
x2= xT – f(c) . Se
O valor f(c) é obtido na Tabela (151.5) conforme a escolha da probabilidade de
confiança desejada.
O valor de Se é obtido da seguinte maneira:
Se = b. σ / N 0,5
Sendo:
Se= erro provável
σ= desvio padrão da amostra
N= número de amostras
b= fornecido pela equação:
b= ( 1+1,3K + 1,1K2) 0,5
O valor de K é o mesmo obitdo anteriormente: K= (yT – yn) / Sn
Tabela 151.5- Valores de f(c) em função da confiança da probabilidade escolhida
c em %
50
68
80
90
95
99
f (c)
0,674
1,00
1,282
1,645
1,96
2,58
Fonte: Subramanya, 2008
Exemplo 151.2
Para o exemplo anterior calcular o intervalo de confiança para 95% de probabilidade a
precipitação máxima diaria para Guarulhos.
XT= 155,53mm (já calculado)
K= 3,45 ( já calculado)
b= ( 1+1,3K + 1,1K2) 0,5
b= ( 1+1,3x3,45 + 1,1x3,452) 0,5
b= 4,31
Se = b. σ / N 0,5
Se = 4,31x3,45 / 58 0,5
Se=13,19
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Escolhida a probabilidade de 95% entrando na Tabela (151.5) achamos f (c)= 1,96.
x1= xT + f(c) . Se
x2= xT – f(c) . Se
x1= 155,53 + 1,96x 13,19= 181,39 x2= 155,53 – 1,96x 13,19= 129,67 Portanto, o intervalo de confiança com 95% de probabilidade é que a o valor
máximo para Tr=100anos esteja entre 129,67mm e 181,39mm. Informamos que
achamos 155,53mm.
Exemplo 151.2- Extraído e adaptado de Subramanya, 2008.
Usando o método de Gumbel achar as vazões máximas em um rio para diversos períodos
de retorno: 2anos, 10 anos, 25 anos, 50anos, 100 anos, 200 anos, 500 anos e 1000
anos, bem como o intervalo de confiança cujos dados estão na Tabela (151.6).
Dados:
Tabela 151.6- Dados de vazão observada máxima por ano
Ano
Vazão
observada
(m3/s)
1
7826
2
6900
3
6771
4
6599
5
5060
6
5050
7
4903
8
4798
9
4652
10
4593
11
4366
12
4290
13
4175
14
4124
15
3873
16
3757
17
3700
18
3521
19
3496
20
3380
21
3320
22
2988
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23
2947
24
2947
25
2709
26
2399
27
1971
N= Media= Desvio padrão= 27
4263,52 1433,25 Tabela 151.7- Cálculos
T= yt= Tabela yn= Tabela Sn= K= xt= Para 95% f© b= Se= x1= x2= 2 10 25 0,37 2,25 3,20 0,53320 0,53320 0,53320 1,10040 1,10040 1,10040 ‐0,15 1,56 2,42 4046 6500 7735 1,96 0,91 251,04 4538 3554 1,96 2,39 658,96 7792 5209 1,96 3,26 898,13 9495 5975 50 100 3,90 4,60 0,53320 0,53320 1,10040 1,10040 3,06 3,70 8651 9561 Intervalo de confiança 1,96 1,96 3,91 4,56 1078,53 1258,89 10765 12028 6537 7093 200 500 1000 5,30 6,21 6,91 0,53320 0,53320 0,53320 1,10040 1,10040 1,10040 4,33 5,16 5,79 10467 11662 12566 1,96 1,96 1,96 5,22 6,08 6,74 1439,40 1678,33 1859,32 13288 14952 16210 7646 8373 8921 Observar na Figura (151.3) que colocamos todos os periodos de retorno e as vazões de
pico para os mesmos e que se encontram em uma reta conforme observado por
Subramanya, 2008.
151-11
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Figura 151.3- Vazões em função do periodo do retorno em papel com abcissa com
logaritmos
151-12
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151.7 Distribuição LogPearson Tipo III
No Brasil usamos para os extremos a distribuição de Gumbel, mas os americanos
usam geralmente a distribuição Log-Pearson Tipo III que muitas vezes é denominada
simplesmente de LP3I.
Para isto vamos usar logaritmo na base 10.
z= log x
Trabalharemos com a função z e teremos a média zm e o desvio padrão σz.
ZT= Zm + Kz . σz
Sendo:
ZT= média dos logaritmos
Zm= valor médio dos logartimos
Kz= obtido pela Tabela (151.8) em função de Tr e de Cs (skew). A distorção (skewness)
pode ser positiva ou negativa.
σz = desvio padrão dos logaritmos
Depois que calculamos usamos o antilogaritmo, ou seja, a definição de
logaritmo na base 10 é:
Log b= a
10 a =b
A única diferença está no coeficiente skew Cs que deve ser determinado e
depois entrado em uma tabela para achar o coeficiente Kz em função do período de
retorno T e do coeficiente de skew Cs.
O valor do coeficiente de Skew Cs é determinado por:
Cs= [ N .∑ (z – zm) 3 ]/ [ (N-1) (N-2) σz 3 ]
Sendo:
Cs= coeficiente de skew (distorção)
N= tamanho da amostra
z= valores obtidos z= log x
zm= média dos valores z obtidos
Quando o skew é positivo significa que a distorção é para a esquerda e
quando negativo a distorção é para a direita já mostrado na Figura (151.2).
Subramanya, 2008 salienta que quando Cs=0 a distribuição Log-Pearson Tipo
III se reduz a uma distribuição log-normal.
151-13
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Tabela 151.8- Valores de Kz em funçao de Tr e de Cs (skew)
Fonte: Subramanya, 2008
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Exemplo 151.3
Os dados são os mesmos de Guarulhos só que esta vez iremos usar a distribuição LogPearson III.
Tabela 151.9- Cálculos de z e (z-zm)3 usando Log-Pearson Tipo III
Ano
Precipitação
máxima
diária anual
(mm)
1940
47
1941
70,3
1942
85,2
1943
64
1944
87,4
1945
88,3
1946
76,2
1947
96
1948
60,41
1949
135,6
1950
80,6
1951
118,4
1952
54,6
1953
70,8
1954
57,1
1955
45,5
1956
74,6
1957
67,9
1958
57,2
1959
1960
59,5
83,9
1961
59,2
1962
97,6
1963
59,8
1964
52,5
1965
66,5
1966
60,6
1967
68,5
1968
90
1969
43
1970
57,6
1971
68,9
1972
43,4
z=log x (z‐zm)3 1,672098
1,846955
1,93044
1,80618
1,941511
1,945961
1,881955
1,982271
1,781109
2,13226
1,906335
2,073352
1,737193
1,850033
1,756636
1,658011
1,872739
1,83187
1,757396
1,774517
1,923762
1,772322
1,98945
1,776701
1,720159
1,822822
1,782473
1,835691
1,954243
1,633468
1,760422
1,838219
1,63749
‐0,00626 ‐8,3E‐07 0,000407 ‐0,00013 0,000618 0,00072 1,68E‐05 0,001996 ‐0,00043 0,021003 0,000125 0,010218 ‐0,00169 ‐2,5E‐07 ‐0,00099 ‐0,0078 4,4E‐06 ‐1,5E‐05 ‐0,00097 ‐0,00055 0,000306 ‐0,00059 0,002358 ‐0,00051 ‐0,00253 ‐3,8E‐05 ‐0,0004 ‐8,8E‐06 0,000938 ‐0,01107 ‐0,00088 ‐6E‐06 ‐0,01048 151-15
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1973
68,4
1974
53,7
1975
87,1
1976
69,5
1977
118
1978
117,9
1979
80,2
1980
92,8
1981
59,2
1982
112,5
1983
85,6
1984
56,5
1985
44,4
1986
93,2
1987
107
1988
88,2
1989
76,5
1990
85,1
1991
76,3
1992
146,2
1993
39,9
1994
51,5
1995
67,2
1996
71,9
1997
57,9
1,835056
1,729974
1,940018
1,841985
2,071882
2,071514
1,904174
1,967548
1,772322
2,051153
1,932474
1,752048
1,647383
1,969416
2,029384
1,945469
1,883661
1,92993
1,882525
2,164947
1,600973
1,711807
1,827369
1,856729
1,762679
Soma= 151-16
‐9,7E‐06 ‐0,00202 0,000586 ‐3E‐06 0,010012 0,009961 0,000109 0,001375 ‐0,00059 0,007392 0,000441 ‐0,00113 ‐0,00913 0,001445 0,005181 0,000708 2,04E‐05 0,000398 1,79E‐05 0,029388 ‐0,01666 ‐0,00302 ‐2,4E‐05 5,32E‐11 ‐0,00082 0,026991 Curso de Manejo de águas pluviais
Capitulo151- Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III
Engenheiro Plínio Tomaz 13 de janeiro de 2014 [email protected]
Tabela 151.10- Cálculos usando Log-Pearson Tipo III
Media= zm= Desvio padrão=σz Subramanya T=Tr= Cs= Kz= xt= antilog= 10 2,18= Intervalo de confiança Para 95% f(c)= b= Se= x1= x2= antlog= antlog= 1,86 0,13 100 0,23 2,50 2,18 150,98 1,96 3,34 0,06 2,29 2,07 194,83
116,99
Usando a definição de logaritmo achamos o valor para Tr=100anos de
150,98mm para precipitação máxima de um dia.
O intervalo de confiança para 95% de probabilidade estará entre 116,99mm e
194,83mm;
151-17
Curso de Manejo de águas pluviais
Capitulo151- Distribuição de Gumbel e Log-Pearson Tipo III
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Exemplo 15 1.4
Calcular a vazão máxima de um rio para Tr=100 anos usando LogPearson Tipo III
Tabela 151.11- Calculo usando LogPearson Tipo III
Ano
Vazao
1
7826
2
6900
3
6771
4
6599
5
5060
6
5050
7
4903
8
4798
9
4652
10
4593
11
4366
12
4290
13
4175
14
4124
15
3873
16
3757
17
3700
18
3521
19
3496
20
3380
21
3320
22
2988
23
2947
24
2947
25
2709
26
2399
27
1971
z=log x (z‐Zm)^3 3,89354
3,838849
3,830653
3,819478
3,704151
3,703291
3,690462
3,68106
3,66764
3,662096
3,640084
3,632457
3,620656
3,615319
3,588047
3,574841
3,568202
3,546666
3,543571
3,528917
3,521138
3,475381
3,46938
3,46938
3,432809
3,38003
3,294687
N= Media= Desvio padrão= 0,02349186
0,01244022
0,01116622
0,00957376
0,00091296
0,00088892
0,00057846
0,00040391
0,00022144
0,00016598
3,5753E‐05
1,6227E‐05
2,4693E‐06
5,4703E‐07
‐6,96E‐06
‐3,37E‐05
‐5,904E‐05
‐0,0002212
‐0,0002569
‐0,0004786
‐0,0006361
‐0,0022874
‐0,0026144
‐0,0026144
‐0,0052982
‐0,0117141
‐0,030504
0,00317381
27
3,61 0,14 151-18
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Tabela 151.12- Calculo usando LogPearson Tipo III
N= Media= Desvio padrão= Tr= Cs= Kz= xt= antlog= Intervalo de confiança Para 95% f©= b= Se= x1= x2= antlog= antlog= 27
3,61 0,14 Subramya
100 0,05 2,36 3,94 8798 1,96 3,20 0,09 4,12 3,77 13074 5920 A vazão máxima de pico conforme LogPearson Tipo III é 8.798 m3/s e com
95% de confiança o intervalo varia de 5.920 m3/s a 13.074 m3/s.
151.8 Comentários
Tabela 151.13- Comparação Gumbel e LogPearson Tipo III
Distribuição
Màxima
Intervalo de confiança com 95% de
probabilidade
3
Gumbel
9.561m /s
7.093 a 12.028
LogPerson Tipo III
8.798 m3/s
5.920 a 13.094
Usando dados metereológicos de chuvas diárias de Guarulhos durante 58 anos
obtivemos os valores das precipitações máximas diárias que estão na Tabela (151.11).
Tabela 151.14- Sumário para precipitação máxima diária para Tr=100anos com dados
de 58 anos em Guarulhos
Modelo usado
Precipitação máxima diária
Gumbel (Righeto, Chow, ASCE)
147,50mm
Gumbel (Subramanya)
155,53mm
Log-Pearson Tipo III
150,98mm
151-19
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151.9 Bibliografia e livros consultados
-ASCE (AMERICAN SOCIETY OF CIVIL ENGINEERS). Hydrology handbook, 2a ed.1996,
ISBN 0-7844-0138-1, 784 páginas.
-CHOW, VEN TE. Applied hydrology, Mcgraw-hill, 1988, 572 páginas. ISBN 07-100174-3.
-PONCE, VICTOR MIGUEL. Engineering hydrology. Prentice-Hall, 1989,, ISBN 0-13315466-1, 640 páginas.
-RIGHETTO, ANTONIO MAROZZI. Hidrologia e Recursos Hídricos. 1a ed. São Carlos:
Escola de Engenharia de São Carlos-USP, 1998, 819 páginas.
-SUBRAMANYA, K. Engineering hydrology. 3ª ed. Tata McGraw-Hil, New Delhi, 2008, ISB
978-0-07-015146-8, 434 páginas.
-SUBRAMANYA, K. Engineering Hydrology. 4ª ed. New Delhi, McGraw Hill, 2013,
ISBN (13) 978-9-38-328653-9 com 534 páginas.
-TOMAZ, PLINIO. Cálculos hidrológicos e hidráulicos. Navegar, 2ª ed. 2011, 592 páginas.
-TUCCI, CARLOS E. M. Hidrologia. ABRH, 1993, 943 páginas.
-WANIELISTA, MARTIN et al. Hydrology. 2ª ed. John /Wiley & Son, 1977, ISBN 0-47107259-1, 566 páginas.
151-20