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GUMBEL PARA RIOS
Engenheiro Plinio Tomaz
Gumbel
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Dois casos básicos para achar vazão máxima:
A) Quando temos medições: Gumbel, Log-Pearson
Tipo III
B) Quando não temos medições: SCS, Clark, etc
Gumbel
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Método de Gumbel para rios quando temos
medições
Média X
É a soma dos dados dividido pelo número deles.
Média e Desvio padrão
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Em Excel: X= MEDIA (A1:A50)
Desvio padrão S
É a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças da media dividido por n-1.
Em Excel: S= DESVPAD (A1:A50)
Distribuição de Gumbel
conforme Subramanya
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y
Vamos fazer uma aplicação prática de Gumbel.
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XT= Xm + K . σ
Sendo:
XT= valor extremo para um determinado período de retorno
Xm= valor médio da amostra
σ = desvio padrão da amostra
K= fator de frequência determinado por:
K= (yT – yn) / Sn
Sendo:
K= fator de frequência
yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1))))
T= período de retorno (anos)
yn= média reduzida fornecida pela Tabela (151.3) em função do tamanho da amostra N
Nota 1: quando n —> ∞ yn= 0,577
N= tamanho da amostra.
Sn= desvio padrão reduzido fornecido pela Tabela (151.4) em função do tamanho da amostra.
Nota 2: quando n —> ∞ Sn= 1,2825
Valores da média reduzida yn para o método de Gumbel em função do
tamanho da amostra N
Tabela 151.3
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Valores do desvio padrão reduzido Sn para o método de Gumbel em função do
tamanho da amostra N.
Tabela 151.4
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Exemplo: 27 anos de medições. As vazões máximas anuais. Temos
a média e desvio padrão.
Calcular vazão máxima para Tr= 100 anos ?
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Ano
Vazão
observada
(m3/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
7826
6900
6771
6599
5060
5050
4903
4798
4652
4593
4366
4290
4175
4124
3873
3757
3700
3521
3496
3380
3320
2988
2947
2947
2709
2399
1971
N=
Media=
Desvio
padrão=
27
4263,52
1433,25
Gumbel
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N= 27 anos
Tabela 151.3 achamos yn=0,5332
Tabela 151.4 achamos Sn= 1,1004
yT= - ( Ln (Ln (T/ (T-1))))
yT= - ( Ln (Ln (100/ (100-1)))) = 4,60
K= (yT – yn) / Sn
K= (4,6 – 0,5332) / 1,1004 =3,70
Gumbel
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XT= Xm + K . σ
XT= 4263,52 + 3,70 x 1433= 9561
Portanto, para Tr=100 anos a vazão máxima
será 9561 m3/s.
Gumbel
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Intervalo de confiança para 95% de
probabilidade. Então f (c)= 1,96
O limite de confiança da amostra xT será:
x1= xT + f(c) . Se
x2= xT – f(c) . Se
b= ( 1+1,3K + 1,1K2) 0,5
b= ( 1+1,3x3,7 + 1,1x3,72) 0,5 =4,56
Se = b. σ / N 0,5
Se = 4,56x1433,24 / 270,5 = 1258,89
Gumbel
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x1= xT + f(c) . Se
x1= 9561 + 1,96 . 1258,89= 13.288 m3/s
x2= xT – f(c) . Se
X 2= 9561 – 1,96 . 1258,89 =7.093 m3/s
Portanto, com 95% de probabilidade a vazão de
pico estará entre 7093 m3/s a 13.288 m3/s