Prof. M. Sc. Jarbas Thaunahy Santos de Almeida
1
Aula 6
A distribuição normal e outras
distribuições contínuas
2
Roteiro
Introdução
Distribuições de probabilidades
contínuas
A distribuição normal
A distribuição uniforme
A distribuição exponencial
3
Introdução
No papel de encarregado do desenvolvimento do portal
da OurCampus! Na Web, você se depara com uma tarefa
diferente que envolve uma mensuração contínua, uma
vez que um tempo de download pode corresponder a
qualquer valor, e não simplesmente a um número inteiro.
4
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
Uma função de densidade da
probabilidade
é
a
expressão
matemática que define a distribuição
dos valores para uma variável
aleatória contínua.
5
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
Três distribuições de probabilidades contínuas
Distribuição Normal
Distribuição Uniforme
Distribuição Exponencial
6
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
A distribuição normal é simétrica e tem formato de sino,
implicando que a maior parte dos valores tende a se concentrar
em torno da média aritmética, que, devido ao formato simétrico
da distribuição, é igual à mediana. Embora os valores em uma
distribuição normal possam se estender desde o infinito negativo
até o infinito positivo, o formato da distribuição faz com que seja
bastante improvável que ocorram valores extremamente grandes
ou extremamente pequenos.
7
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
Na distribuição uniforme cada um dos valores apresenta igual
probabilidade de ocorrência, em qualquer lugar do intervalo entre
o menor valor e o maior valor. Algumas vezes chamada de
distribuição retangular, a distribuição uniforme é simétrica e, por
conseguinte, a média aritmética é igual à mediana.
8
Distribuições de Probabilidades
Contínuas
A distribuição exponencial é assimétrica à direita, fazendo com
que a média aritmética seja maior do que a mediana. A amplitude
da distribuição exponencial se estende de zero até o infinito
positivo, embora o formato da distribuição se torne improvável a
ocorrência de valores extremamente grandes.
9
A distribuição normal
Algumas vezes chamada de distribuição de Gauss, é a distribuição contínua
mais habitualmente utilizada na estatística.
A distribuição normal é de vital importância na estatística por três razões
principais:
- Inúmeras variáveis contínuas comuns no mundo dos negócios possuem
distribuições que se assemelham estreitamente à distribuição normal;
- A distribuição normal pode ser utilizada para fazer aproximações para várias
distribuições de probabilidades discretas;
- A distribuição normal proporciona a base para a inferência estatística
clássica em razão de sua relação com o teorema do limite central.
10
A distribuição normal
A distribuição normal é representada pelo clássico formato de sino.
Na distribuição normal, você pode calcular a probabilidade de que ocorram
valores dentro dos limites de determinadas amplitudes ou intervalos.
No entanto, a probabilidade exata de um valor específico a partir de uma
distribuição contínua tal como a distribuição normal é zero.
Essa propriedade faz a distinção entre variáveis contínuas, que são
mensuradas, e variáveis discretas, que são contadas.
11
A distribuição normal
A distribuição normal possui várias propriedades teóricas importantes:
- Ela é simétrica, e sua média aritmética e mediana são, consequentemente,
iguais;
- Em sua aparência, tem o formato de um sino;
- Sua amplitude interquartil é igual a 1,33 desvio-padrão. Consequentemente,
os 50% dos valores centrais estão contidos no âmbito de um intervalo que
tem como limites dois terços de um desvio-padrão abaixo da média aritmética
e dois terços de um desvio-padrão acima da média aritmética;
- Possui uma amplitude infinita (- < X < +).
12
A distribuição normal
Os dados a seguir apresentam a quantidade de refrigerante contida em 10.000
garrafas de 1 litro, abastecidas em um dia recente.
13
A distribuição normal
Os dados a seguir apresentam a quantidade de refrigerante contida em 10.000
garrafas de 1 litro, abastecidas em um dia recente.
14
A distribuição normal
A expressão matemática que representa a função densidade de
uma probabilidade é representada pelo símbolo f(X).
15
A distribuição normal
Função de densidade da probabilidade normal
1
 (1 / 2 )[( X   ) /  ]2
f (X ) 
e
2 
e = constante matemática aproximada por 2,71828
 = constante matemática aproximada por 3,14159
 = média aritmética
 = desvio-padrão
X = qualquer valor da variável contínua, em que -  < X < 
16
A distribuição normal
1
 (1 / 2 )[( X   ) /  ]2
f (X ) 
e
2 
Uma vez que e e  correspondem a constantes matemáticas, as
probabilidades da variável aleatória X dependem somente de
dois parâmetros da distribuição normal – a média aritmética ()
e o desvio-padrão ().
17
A distribuição normal
Fórmula de transformação
O valor de Z é igual à diferença entre X e a média
aritmética, dividida pelo desvio-padrão.
Z
X 

Tabela de distribuição normal padronizada acumulada
18
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Um download de 9 segundos é equivalente a uma unidade padronizada
acima da média aritmética.
Z
X 

97
Z
 1
2
19
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Qual a probabilidade de um download abaixo de 9 segundos?
Tabela de distribuição normal padronizada acumulada
97
Z
 1
2
Probabilidade de 84,1345%
20
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Um download de 1 segundo é equivalente a três unidades padronizadas
abaixo da média aritmética.
Z
X 

1 7
Z
 3
2
21
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Qual a probabilidade de um download abaixo de 1 segundo?
Tabela de distribuição normal padronizada acumulada
1 7
Z
 3
2
Probabilidade de 0,1350%
22
A distribuição normal
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Qual a probabilidade de um download esteja abaixo de 7 segundos ou acima
de 9 segundos?
P(X < 7) = 0,500
P(X < 7 ou X > 9)
77
Z
0
2
P(X > 9) = 1 – P(x < 9) = 1 – 0,841345
P(X > 9) = 0,158655
97
Z
 1
2
P(X < 7 ou X > 9) = 0,500 + 0,158555
P(X < 7 ou X > 9) = 0,658555
P(X < 7 ou X > 9) = 65,8555%
24
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Qual a probabilidade de um download esteja abaixo de 7 segundos ou acima
de 9 segundos?
25
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Qual a probabilidade de um download esteja entre 5 e 9 segundos?
P(X < 5) = 0,158655
P(5 < X < 9)
P(X < 9) = 0,841345
57
Z
 1
2
97
Z
 1
2
P(5 < X < 9) = 0,841345 - 0,158655
P(5 < X < 9) = 0,68269
P(5 < X < 9) = 68,269%
26
A distribuição normal
Para verificar a velocidade com que um vídeo é baixado, você abre um navegador na
Web em um computador de uso pessoal (PC) nos escritórios oficiais da OurCampus! e
mede o tempo de download. Dados passados indicam que a média aritmética do
tempo de download corresponde a 7 segundos e que o desvio-padrão é de 2
segundos. Qual a probabilidade de um download esteja entre 5 e 9 segundos?
27
A distribuição normal
Encontrando um valor de X associado a uma probabilidade conhecida
Z
X 

X    Z
28
A distribuição normal
Quanto tempo (em segundos) terá decorrido antes que 10% dos downloads de um
vídeo da OurCampus! tenham sido completados?
29
A distribuição normal
Quanto tempo (em segundos) terá decorrido antes que 10% dos downloads de um
vídeo da OurCampus! tenham sido completados?
Z = - 1,28
X    Z
X  7  (1,28).2
X  4,44 s
30
A distribuição normal
Quais são os valores superior e inferior de X, distribuídos simetricamente em torno da
média aritmética, que incluem 95% dos tempos de download da OurCampus!
Z = - 1,96 e Z = 1,96
X    Z
X  7  (1,96).2  3,08
X  7  (1,96).2  10,92
31
A distribuição normal
32
A distribuição uniforme
Na distribuição uniforme, um determinado valor apresenta a
mesma probabilidade de ocorrência em qualquer lugar no
intervalo entre o menos valor (a) e o maior valor (b).
Em decorrência de seu formato, a distribuição uniforme é algumas
vezes chamada de distribuição retangular.
33
A distribuição uniforme
FUNÇÃO DE DENSIDADE DA PROBABILIDADE UNIFORME
1
f (X ) 
ba
Se a ≤ X ≤ b e 0 em outras situações em que
a = valor mínimo de X
b = valor máximo de X
34
A distribuição uniforme
MÉDIA ARITMÉTICA DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
ab

2
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
2
(
b

a
)
2
 
12
(b  a )

12
2
35
A distribuição uniforme
Um dos usos mais comuns da distribuição uniforme é a seleção de
números aleatórios.
Quando utiliza a amostragem aleatória simples, pressupõe-se que
cada um dos valores é oriundo de uma distribuição uniforme que
possui um valor mínimo de 0 (zero) e um valor máximo de 1.
36
A distribuição uniforme
Em uma distribuição uniforme, qual é a probabilidade de se obter
um número aleatório entre 0,10 e 0,30?
P(0,10 < X < 0,30) = base x altura
P(0,10 < X < 0,30) = (0,30 – 0,10) x 1
P(0,10 < X < 0,30) = 0,20
37
A distribuição uniforme
0 1

 0,5
2
(1  0)
 
 0,0833
12
2
2
  0,0833  0,2887
38
A distribuição exponencial
É uma distribuição contínua que é assimétrica à direita e se
estende de zero até o infinito positivo.
A distribuição exponencial é amplamente utilizada na teoria das
filas para modelar a extensão do tempo decorrido entre chegadas
em processos tais como clientes em caixas eletrônicos, pacientes
dando entrada em uma unidade de emergência de um hospital e
pesquisas em um portal de busca na Web.
A distribuição exponencial é definida por um único parâmetro (),
a média aritmética do número de chegadas por unidade de
tempo.
39
A distribuição exponencial
FUNÇÃO DENSIDADE DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
f ( X )  e
 x
para X > 0
e = constante matemática aproximada por 2,71828
 = a média aritmética do número de chegadas por unidade
X = qualquer valor da variável contínua em que 0 < X < 
40
A distribuição exponencial
MÉDIA ARITMÉTICA PARA O TEMPO ENTRE CHEGADAS

1

DESVIO-PADRÃO DO TEMPO ENTRE CHEGADAS

1

41
A distribuição exponencial
PROBABILIDADE EXPONENCIAL ACUMULADA
P(tempo antes da próxima chegada  X)  1 - e -x
Suponha que clientes cheguem a um caixa eletrônico de um
banco a uma taxa de 20 por hora. Se um cliente acabou de chegar,
qual é a probabilidade de que o próximo cliente chegue dentro de
um intervalo de 6 minutos (0,1 hora)?
P(tempo antes da próxima chegada  X)  1 - e -20(0,1)
P(tempo antes da próxima chegada  X)  0,8647
42
A distribuição exponencial
43