ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO I – PROBABILIDADES
1.4 – Álgebra dos acontecimentos
União de acontecimentos:
Intersecção de acontecimentos:
- Se A e B são independentes, A e B não são mutuamente
exclusivos
- Dois acontecimentos não podem ser simultaneamente
independentes e mutuamente exclusivos
Acontecimentos complementares:
Acontecimentos incompatíveis:
Para 3 acontecimentos A, B e C:
1)
2)
3)
4)
Propriedades dos acontecimentos
1) Associatividade:
Se uma destas proposições não for satisfeita, os acontecimentos
não são independentes
2) Comutatividade:
3) Distributividade:
Acontecimentos dependentes
4) Leis de De Morgan:
;
1.5 – Conceitos de Probabilidade
Abordagem clássica de Probabilidade
a = número de casos (resultados) favoráveis
b = número de casos (resultados) desfavoráveis
1.6 – Análise combinatória
Permutações simples (sem repetição):
Permutações completas (com repetição):
Permutações – n.º de elementos que se podem formar com n
elementos
Arranjos simples (sem repetição):
1.9 – Probabilidade condicionada
1.10 – Teorema da Soma
Se A e B forem mutuamente exclusivos:
Se A e B forem compatíveis:
1.11 – Probabilidade da Intersecção
Teorema do Produto para Acont. Dependentes
Arranjos completos (com repetição):
Arranjos – n.º de sequências que se podem formar com p dos n
elementos
Para 3 acontecimentos:
Para n acontecimentos:
Combinações simples (sem repetição):
Combinações completas (com repetição):
Combinações – n.º de agrupamentos que se podem formar com p
dos n elementos, considerando-se distintos dois agrupamentos
quando diferem entre si na natureza dos elementos que deles façam
parte.
1.7 – Medida de Probabilidade e Axiomática de
Kolmogorov
A1 –
A2 –
A3 – Em acontecimentos incompatíveis:
1–
;
2–
3–
4–
5–
6–
1.8 – Acontecimentos independentes
- Se A e B são mutuamente exclusivos, A e B são dependentes
Teorema do Produto para Acont. Independentes
Para n acontecimentos:
1.12 – Teorema da Probabilidade Total
Sejam
acontecimentos que formam S.
Seja, B, tal que
:
1.13 – Teorema de Bayes
Para 2 acontecimentos, tem-se:
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
2.2 – Função de distribuição
Propriedades da função de distribuição:
1)
2)
3)
4) É uma função contínua à direita
5)
6)
2.3 – Variáveis Aleatórias Discretas
Observações:
1)
2)
3)
2.5 – Valor Esperado de V.A.
Propriedades do valor esperado:
(X, Y são duas v.a. e K uma constante real)
Propriedades da função de probabilidade:
1)
2) Caso n finito,
Caso n infinito,
1) E(K) = K
2) E(K.X) = K.E(X)
3) E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
4) E(X,Y) = E(X).E(Y), se X e Y forem independentes
2.6 – Variância de V.A.
2.4 – Variáveis Aleatórias Contínuas
Propriedades da variância
(X, Y são duas v.a. e K uma constante real)
Propriedades da função densidade de probabilidade:
1)
2)
3)
1) V(K) = 0
2
2) V(K.X) = K .V(X)
3) V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y forem
independentes
2
2
4) V(X) = E(X )-E (X)
2
5) Se X é uma v.a. tal que E(X) = µ e V(X) = σ , então
a v.a.
tem E(W) = 0 e V(W) = 1
Desvio padrão:
4)
Observações:
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO III – DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADE
3.1 – Distribuições Discretas
Aditividade nas distribuições de Poisson
Distribuição Uniforme:
A distribuição Binomial converge para a distribuição de
Poisson, quando
e
, mantendo-se
3.2 – Distribuições contínuas
Distribuição Normal:
Distribuição de Bernoulli:
Distribuição Binomial:
Aditividade na Distribuição Normal
Corolário 1: Se
independentes em que
Corolário 2: Se
são v.a.
, então
, então
, onde
Aditividade nas Distribuições Binomiais
Aproximação da distribuição Binomial à distribuição
Normal (quando
)
Observação:
Ou seja,
Distribuição de Poisson:
Aproximação da distribuição Poisson à distribuição
Normal (quando
)
Ou seja,
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO IV – DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM
4.8.3 – População Normal
Estatísticas importantes:
4.8.3.1 – Distribuição da Média amostral quando σ
é conhecida
; Sn - total
4.6 - Teorema do limite central
2
4.8.3.2 – Distribuição da variância amostral
Corolário 1 (teorema de De Moivre e Laplace)
4.8.3.3 – Distribuição da média amostral quando σ
é desconhecida
4.7 – Distribuições Amostrais Teóricas
Se a população não tem uma distribuição Normal ou a
sua distribuição é desconhecida:
Se
:
Se for uma grande amostra,
4.8.3.4 – Distribuição da diferença entre médias
amostrais
Duas amostras independentes de duas populações
normais
:
4.8 – Distribuições amostrais mais importantes
4.8.1 – População Bernoulli (proporção)
Estatísticas importantes
Amostras de pequena dimensão,
Amostras de grande dimensão,
:
e
são conhecidas
Caso 2:
e
são desconhecidas, mas
Caso 3:
com e
e
são desconhecidas, mas diferentes e
:
:
4.8.2 – População Bernoulli (duas proporção)
Para duas populações de Bernoulli onde são extraídas
duas amostras independentes de grande dimensão,
Para
Caso 1:
2
Caso 4:
com e
Onde
e
são desconhecidas, mas diferentes e
é o maior inteiro contido em:
4.8.3.5 – Distribuição do quociente entre variâncias
amostrais
Duas amostras independentes e de duas
populações normais
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO V – ESTIMAÇÃO
5.2 – Estimação Pontual
1) Se
→
2) Se
→
3) Se
→
Grau ou coeficiente de confiança
Parâmetros (população)
(desconhecidos)
µ
σ
θ
τ
Estatísticas (amostra)
(conhecidos)
t
5.3 – Estimação por Intervalos
Intervalo de confiança (para )
Consultar a tabela do formulário disponível na Intranet (página 5) para determinar qual o IC consoante os
parâmetros a estimar, o tipo de população, a dimensão da amostra, se se conhece σ ou não e a distribuição
amostral
5.3.7 – Dimensão da amostra
Estimação da média, supondo uma amostra aleatória simples com reposição
5.3.8 – Dimensão da amostra
Estimação da proporção, supondo uma amostra aleatória simples com reposição
(média amostral subtraindo a média da população)
ESTATÍSTICA II – CAPÍTULO VI – ENSAIOS DE HIPÓTESES
6.4 – Etapas de um teste de hipóteses
1. Formulação da hipótese nula (
alternativa ( )
6.7 – Análise da Variância – ANOVA
) e da sua
Média amostral das observações da população i
2. Especificar o nível de significância ( ) desejado e
os valores críticos associados
3. Escolher o teste estatístico apropriado para testar
(em função da natureza dos dados)
4. Determinar a região de rejeição de
das etapas anteriores
, em função
5. Calcular o valor do teste a partir dos dados
amostrais e tomar uma decisão. Se este valor se
situar na zona de rejeição de
, esta é rejeitada. Se
se situar na zona de não rejeição, não podemos
rejeitar
SQT – soma de quadrados total
SQD – soma de quadrados dentro das amostras
SQE – soma de quadrados entre amostras
Consultar a tabela do formulário disponível na
Intranet (página 5) para determinar qual o teste a
utilizar consoante os parâmetros a estimar, o tipo
de população, a dimensão da amostra, se se
conhece σ ou não e a distribuição amostral
6.5 – Teste do Qui-Quadrado (variáveis
qualitativas)
Var. Y
Var. X
(Tabela de frequências observadas)
Margens da tabela de contingência:
Construção da tabela de frequências esperadas:
Hipótese de independência:
Estatística-teste: