ÍNDICE
Conjuntos
Sistema de numeração decimal e romano
Conjunto dos números naturais
Resolução de sistemas simples
Múltiplos e divisores
Números primos
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
Frações
Números decimais
Medida de comprimento
Medida de superfície
Medida de capacidade
Medida de Volume
Medida de massa
Áreas do retângulo, quadrado e do triângulo
Volume do paralelepípedo e do cubo
Unidades de tempo
Provas
Respostas dos exercícios e das provas
MATEMÁTICA - PREPARATÓRIO CMRJ - PEDRO II - ESCOLAS TÉCNICAS - 6º ANO
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106
0
Conjuntos
Noções de conjunto
É um grupo de coisas, pessoas, números, bichos, etc, normalmente de mesma espécie, representado entre chaves. Denominaremos por letras maiúsculas: A, B, C, D,... .
Exemplos:
- Conjunto das letras da palavra CADERNO = {C, A, D, E, R, N, O} = {A, C, D, E, N, O, R},
colocaremos sempre em ordem crescente.
- Conjunto dos números pares inteiros e positivos: A = {2, 4, 6, 8,...}. Os três pontinhos,
significa dizer que o conjunto continua indefinidamente. Note que o zero (0) não é par, não é
ímpar, não é positivo e não é negativo. Ele é neutro.
- Conjunto dos números ímpares, inteiros e positivos, maiores que 4 e menores que 11: A =
{5, 7, 9}
- Conjunto dos números pares, inteiros e positivos, maiores ou iguais a 5 e menores ou iguais a 12: A = {6, 8, 10, 12}.
Obs: Não escrevemos elementos repetidos em um conjunto: A {1, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 5} = {1, 2,
3, 4, 5}.
Símbolos usados:
< - menor que
> - maior que
≤ - menor ou igual a
≥ - maior ou igual a
Exemplo: - Escreva o conjunto dos números x, inteiros e positivos, tal que:
x > 4 = {5, 6, 7, 8, ...} x < 8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x ≤ 4 = {1, 2, 3, 4} x ≥ 2 = {2, 3, 4, 5, ...}
3 < x < 8 = {4, 5, 6, 7}. Sempre que um valor estiver entre dois outros valores, representaremos sempre assim:
a < x < b = x maior que a e menor que b.
a ≤ x < b = x maior ou igual a a e menor que b.
a < x ≤ b = x maior que a e menor ou igual a b.
a ≤ x ≤ b = x maior ou igual a a e menor ou igual a b.
Elementos
A cada componente de um conjunto, chamamos de elemento.
No conjunto A = {2, 4, 6, 8,...}, 2 é um elemento, 4 é um elemento, 8 é um elemento, etc.
Se 2 é elemento do conjunto A, então ele pertence a A e escrevemos 2 ∈ A. Se 5 não é
elemento do conjunto A, dizemos que 5 não pertence a A e escrevemos 5 ∉ A.
Símbolos usados: ∈ - pertence a
∉ - não pertence a
Usamos estes símbolos quando relacionamos elemento com conjunto.
n(A) ou #A significa número de elementos de A.
Exemplo: No conjunto B = {3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12} temos que n(B) = #B = 8.
Atenção: Um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Exemplos:
- Biblioteca é um conjunto de livros, logo os livros são elementos da biblioteca. Mas um livro é um conjunto de páginas. Acabamos de ver que um conjunto pode ser elemento de outro
conjunto.
- Seja A = {2, 3, {4, 5}, 6, 7}. Os elementos de A são: 2, 3, {4, 5}, 6 e 7. Veja que {4, 5} é
um conjunto e é elemento de A.
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1
Conjunto unitário e conjunto vazio
Conjunto unitário - é o conjunto que possui um único elemento.
Exemplos:
- Conjunto formado pelas vogais da palavra PAR = {A}. Tem um elemento.
- Qual dos conjuntos é unitário?
A = {3, 4, 5}, B = {35} e C = {7}. B e C, pois eles têm um elemento.
Conjunto vazio - é o conjunto que não tem elementos.
Exemplo:
- Conjunto dos estados brasileiros cujos nomes começam com a letra z.
Não tem estado brasileiro cujo nome começa com a letra z, logo é um conjunto vazio.
Representação do conjunto vazio: { } ou ø.
Cuidado!
{ ø } não é conjunto vazio e sim unitário, cujo elemento é o conjunto vazio.
Conjunto finito e conjunto infinito
Conjunto finito - quando conseguimos contar seus elementos.
Ex: A = {1, 2, 3, 4} n(A) = 4
Conjunto infinito - quando não conseguimos contar seus elementos.
Ex: A = {1, 2, 3, 4,...} n(A) = ???, não temos como contar.
Conjunto limitado - quando conhecemos o primeiro, último elemento ou os dois.
Ex: A = {1, 2, 3, 4,...}, conhecemos o primeiro elemento.
A = {..., 1, 2, 3, 4}, conhecemos o último elemento.
A = {1, 2, 3, 4}, conhecemos o primeiro e o último elementos.
Limitado à direita - quando conhecemos o último elemento e não conhecemos o primeiro
elemento.
Ex: A = {..., 1, 2, 3, 4}.
Limitado à esquerda - quando conhecemos o primeiro elemento e não conhecemos o último
elemento.
Ex: A = {1, 2, 3, 4,...}.
Conjunto ilimitado - quando não conhecemos o primeiro e o último elementos.
Subconjunto
Se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B, dizemos que A é
subconjunto de B, ou seja, A está contido em B e representamos por A ⊂ B ou B ⊃ A.
⊃ - não contém
Símbolos: ⊂ - está contido ⊃ - contém
⊄ - não está contido
Usamos estes símbolos quando relacionamos conjunto com conjunto.
Atenção para os conjuntos que são elementos de outro conjunto.
Obs: a abertura do símbolo estará sempre voltada para o conjunto que possuir maior número de elementos.
Pense no seguinte: pegue o conjunto com menos elementos (A) e coloque dentro do outro
(B). Se o conjunto B não se alterar, então A ⊂ B.
Exemplos:
A = {2, 3, 4, 7, 8} e B = {3, 4, 8} - A ⊃ B ou B ⊂ A. A tem mais elementos que B.
A = {2, 3, 4, 7, 8} e B = {3, 4, 5, 8} - A ⊃ B ou B ⊄ A. A tem mais elementos que B e 5 ∈ B,
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2
mas 5∉ A.
O conjunto vazio ({ } ou ø) é subconjunto de todos os conjuntos.
Vamos encontrar os subconjuntos de A = {1, 2, 3}:
ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Note que achamos número de elementos.
Com nenhum elemento, com 1 elemento, com 2 elementos, com 3 elementos, com 4 elementos,
até o número de elementos do conjunto. No caso, n(A) = 3, paramos em 3 elementos.
Ao conjunto formado pelos subconjuntos de A chamamos de CONJUNTO DAS PARTES
DE A ou PARTIÇÃO DE A e representamos por P(A).
Teremos no exemplo:
P(A) = {ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Note que cada conjunto que forma
P(A) é elemento de P(A). O que nos mostra, mais uma vez, que um conjunto pode ser elemento
de outro conjunto.
Poderemos achar quantos elementos tem P(A) sem encontrá-los: n(P(A)) = 2n, onde n é o
número de elementos de A.
Exemplo: Calcule quantos subconjuntos possuem os conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 3, 4} - n(A) = 4 → 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 subconjuntos
D = { } - n(D) = 0 → 20 = 1 subconjunto
Conjunto universo (U)
É o conjunto que contém todos os conjuntos de um problema.
Ex: Dados: A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {3, 5, 7, 8} e D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
D = U porque A ⊂ D, B ⊂ D e C ⊂ D.
No Diagrama de Venn, temos:
A
B
C
Note que A, B e C estão contidos em U, logo U é o
conjunto universo.
U
Operações com conjuntos
A = {1, 3, 5, 8, 10}
Usaremos dois tipos de representação:
Diagrama de Venn
1
A = {1, 3, 5, 8, 10} e o conhecido Diagrama de Venn
A
que é a representação cercando os elementos do con3
10
junto através de uma figura geométrica.
5
8
As operações são:
União (∪)
Interseção (∩)
Diferença (-)
São todos os elementos, comuns e não
comuns, de todos os
conjuntos.
São os elementos
comuns a todos os
conjuntos.
O que tem no primeiro conjunto e não tem
no segundo.
A
A
B
A
B
Complementar (CBA)
Se um conjunto A está contido em B,
chamamos de complementar de A em B
ao conjunto B - A.
B
B
A∩B
A-B
A∪B
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A
CBA = B - A
3
A exceção do complementar, que coloca uma condição, as operações darão como resultado
um conjunto. No caso do complementar, se o conjunto de cima não estiver contido no de baixo,
o resultado será NÃO EXISTE COMPLEMENTAR.
Chamamos de conjuntos disjuntos aos conjuntos cuja interseção é o conjunto vazio.
Quando forem três conjuntos, a representação no Diagrama de Venn será:
A
2
B
1
3
5
4
Atenção para numeração e
seu significado.
6
7
C
2 e 5 → A∩B
3 → B - (A ∪ C)
4 e 5 → A∩C 5 → A∩B∩C
1 → A - (B ∪ C)
5 e 6 → B ∩ C 7 → C - (A ∪ B) 2 → (A ∩ B) - C e por aí vai.
Exemplo:
Dados A = {1, 2, 3, 5, 6, 8}, B = {1, 8, 9, 10}, C = {4, 5, 6, 7, 8, 9} e D = {2, 3, 5}, calcule:
a) A ∩ B ∩ C = {8}
b) A ∩ D = {2, 3, 5}
c) B ∩ D = { } = ø
d) A - B = {2, 3, 5, 6, 8}
e) D - C = {2, 3}
f) (A ∩ B) ∩ (C ∪ D) = {1, 8} ∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {8}
g) (A - B) ∪ (B - A) = A ∆ B = {2, 3, 5, 6} ∪ {9, 10} = {2, 3, 5, 6, 9, 10}
h) CAD = A - D = {1, 6, 8}, isto porque D ⊂ A.
i) CCB = NÃO EXISTE, pois B ⊄ C
Marque no diagrama de Venn os conjuntos abaixo:
(A ∩ B) ∩ (C ∪ B)
A
2
[(A - B) ∪ (B - C)] ∩ (C - B)
B
1
A
2
3
5
5
4
B
1
3
4
6
6
7
7
C
C
A ∩ B corresponde às regiões 2 e 5
C ∪ B corresponde às regiões 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
A interseção dessas regiões são as regiões 2
e 5. Logo:
A
B
A - B corresponde às regiões 1 e 4
B - C corresponde às regiões 2 e 3
(A - B) ∪ (B - C) corresponde às regiões 1, 2,
3e4
C - B corresponde às regiões 4, e 7
A interseção dessas regiões é a região 4. Logo:
A
B
C
C
Vamos resolver dois problemas:
1. Em uma região com 125 pessoas, são lidos 2 jornais. 20 pessoas lêem somente o jornal
A, 40 pessoas lêem só o jornal B e 30 pessoas lêem os dois jornais. Responda:
a) quantas pessoas não lêem os jornais A e B.
b) quantas pessoas não lêem o jornal A.
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4
Vamos colocar os dados no diagrama de Venn. Começaremos sempre pela interseção dos
conjuntos. Veja que no diagrama temos 20 + 30 + 40 = 90 que é menor que o total de pessoas.
logo, 125 - 90 = 35 é o número de pessoas que estão fora do diagrama.
A
Respostas
B
20
30
40
35
a) 35 pessoas
b) 40 + 35 = 75 pessoas
2. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três produtos A, B e C, obteve-se o
seguinte quadro:
Produtos
Consumidores
A
100
B
150
C
110
AeB
20
BeC
40
AeC
30
a) Quantas pessoas foram entrevistadas na pesquisa?
b) Quantas pessoas lêem apenas um jornal?
A
10
Vamos montar o diagrama de Venn:
60
Respostas:
10
20
a) 60 +10 + 100 + 10 + 20 + 30 + 50 = 280 pessoas
b) 60 + 100 + 50 = 210 pessoas
50
Exercícios:
C
A, B e C
10
B
100
30
1. Utilize os símbolos ∈,∉,⊄,⊂, ⊃ e ⊃:
a) 2 ___ {1, 2}
b) 3 ___ {1, 2}
c) ø ___ {2, 3}
d) {1,2} ___ {1, 2, 3}
e) {1} ___ {1, 2}
f) {1, 2, 3} ___ {1,3}
g) ø ___ {ø, 1}
h) {1} ___ {{1}, 2, 3}
i) {0} ___ {{0}, 1, 2}
j) {1,{2}} ___{1, {2}, 3}
k) {{1, 2}} ___ {{1}, {2}, {1, 2}}
l) {ø, {1}} ___ {0, {{1}}, 2}
m) {0} ____ {0, {0}, ø}
n) {2, 3} ____ {2, 3}
2. Coloque ∈ ou ∉, sendo:
A= {a,e,i,o,u}
B= {b,c,d,i,g}
a) a ___ A
b) c ___ A
c) g ___ A
d) e ___ B
e) f ___ B
f) u ___ A
g) d ___ A
h) o ___ A
i) f ___ A
3. Complete com ∈ ou ⊂:
a) 1 ___ {1, 2}
c) {1, 2} ___ {1, 2, 3}
b) 1 ___ {1}
d) {1} ___ {1, 2, 3}
j) i ___ B
k) o ___ B
l) g ___ B
e) {1} ___ {0, {1}}
f) ø ___ {ø, {1}}
4. Qual das sentenças abaixo é falsa, sendo, C= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
a) 0 ∈ C
b) 8 ∉ C
c) 9 ∈ C
d) 2 ∈ C
e) 12 ∉ C
5. Se A={1, {9}, 9, 2}, assinale a afirmação errada:
a) 1 ∈ A
b) 9 ∈ A
c) {9} ∈ A
d) {9} ⊂ A
e) 2 ⊂ A
6. Qual dos conjuntos abaixo é unitário?
a) A: das letras da palavra mini
c) C: das cores da camisa do flamengo
b) B: das vogais da palavra série
d) D: da capital do Brasil
7. Marque a(s) verdadeira(s):
a) 1, 2 = {2, 1, 0}
b) {4, 8} e {5, 6} são disjuntos;
c) V é a representação do conjunto vazio
d) {1, 2} é unitário
e) {1, 2, 3, ...} é infinito
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8. A representação do conjunto unitário cujo elemento é o zero, é:
a) {ø}
b) {0}
c) {{0}}
d) 0
e) {1, 0}
9. Coloque ⊄,⊂, ⊃ e ⊃:
a) {1, 2, 3} ___ {5, 2, 6, 1, 3}
b) {a, b, c, d, e,f} ____ {d, e, f, g}
c) {0, 1, 2, 3, ...} ____ {10, 11}
d) {3, 6, 9} ___ {2, 4, 5, 8, ...}
10. Determine as seguintes interseções:
c) {2, 4} ∩ {8, 5}
a) {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 3, 5, 7}
b) {1, 4, 7} ∩ {1, 3, 5, 9}
d) {2, 5, 6} ∩ ø
11. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8}, então:
a) A ∪ B =
b) A ∩ B =
c) A - B =
d) B - A =
12. Sejam os conjuntos M = {2, 3, 4}, N = {3, 4, 5, 6} e O = {0, 1, 2, 3, 4}. Achar (M ∪ O) ∩ N.
13. Hachuriar, em cada diagrama, a região correspondente a operação dada.
c) A ∪ (B ∩ C)
e) A ∩ B
a) A ∩ B ∩ C
B
B
A
B
A
A
C
b) A ∩ (B ∪ C)
d) A ∪ B
B
C
f) (A ∪ B) ∩ C
B
A
A
B
A
C
C
14. Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 4}, C = {1, 4} e D = {0, 2, 5}, calcule:
a) C ∪ D
b) A ∪ B ∪ D
c) A ∩ B
d) C ∩ D
e) B - C
f) C - A
g) B - A
h) D - C
i) CAB
j) CCB
k) CAD
l) CAC
m) A ∆ B
n) B ∆ C
o) C ∆ D
p) (A ∪ C) ∩ B
q) (B ∪ D) ∩ C
r) (A - B) ∪ (B ∩ C)
s) (B - A) ∩ (D - C)
t) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D)
u) (C - B) ∩ (D - A)
v) (A ∪ B) ∪ (C ∩ D)
x) (B - C) ∩ (C - B)
15. Dados os conjuntos X = {1, 2}, Y = {0, 1, 2} e Z = {2, 4}, qual a alternativa que representa
a expressão cujo resultado é N = {1, 2}?
4
B
a) (X ∩ Y) ∪ Z
b) X ∩ Y ∩ Z
c) (X ∪ Y) ∩ Z
d) ∅ ∪ (X ∩ Y)
A
2
16. Considere o diagrama ao lado e determine o que se pede:
1
3
a) A
c) A ∪ B
e) A - B
g) CBA
b) B
d) A ∩ B
f) B - A
h) CAB
C
17. Considere o diagrama ao lado e determine o que se pede:
a) A
c) C
e) A - B
g) A - C
b) B
d) A ∩ B ∩ C
f) C - B
h) CCA
18. Sendo M = {{a}, {b}, {a, b}}, podemos afirmar que:
a) {a} ⊂ M
b) {a} ∈ M
c) {a} ∩ {b} ⊄ M
d) a ∈ M
A
B
2
0
1
4
5
3
e) {a} ∪ {b} ⊂ M
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19. Considere o conjunto W = {x ∈ N / 4 ≤ x ≤ 40}, x é múltiplo de 5 e não é múltiplo de 2, o
número de elementos de W é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
20. Se A é um subconjunto de B, então a interseção de A e B é:
a) B - A
b) B ∩ A
c) A
d) B
21. Se A e B são conjuntos, A - (A - B) é igual a:
a) A
b) B
c) A - B
d) A∪B
e) A ∩ B
A
22. Considerando a figura ao lado, é correto afirmar que a região negritada pode ser representada por:
a) (B - C) ∪ (C - A)
c) (C - B) ∪ (A - C)
e) (C - B) ∪ (C - A)
b) (A - C) ∪ (B - C)
d) (C - A) ∪ (B - A)
23. Considerando a figura ao lado, é correto afirmar
A
que a região negritada pode ser representada por:
d) A - (B ∩ C)
a) (A ∪ B) ∩ C
b) (A ∩ B) - A
e) A - (B - C)
c) (A ∩ B) - C
C
24. Considerando a figura ao lado, é correto afirmar que a região
negritada pode ser representada por:
a) A ∩ (C - B)
c) A ∩ (B - C)
e) (A ∪ B) - C
b) A ∪ (C - B)
d) A ∪ (B - C)
25. No diagrama ao lado temos que n(A) = 10, n(B) = 15,
n(A ∩ B) = 3, n(U) = 30. Determine os números de elementos das regiões I, II, III e IV.
I - ________
III - _________
II - ________
IV - _________
C
B
B
A
C
B
U
A
B
I
26. No diagrama dado temos que n(A ∩ B ∩ C) = 5, n(A ∩ B) = 11,
n(A ∩ C) = 9, n(B ∩ C) = 13, N(A) = 22, N(B) = 22, N(C) = 19 e
N(U) 36. Determine os números de elementos das regiões I,
II, III, IV, V, VI, VII, VIII..
I - ___
III - ___
V - ___
VII - ___
II - ___
IV - ___
VI - ___
VIII - ___
III
II
IV
U
A
II
I
B
III
V
IV
VI
VIII
VII
C
27. Considere três conjuntos A, B e C, tais que n(B∪C) = 20, n(A ∩ B) = 5, n(A ∩ C) = 4,
n(A ∩ B ∩ C) = 1 e n(A∪B∪C) = 22. O valor de n[A - (B ∩ C)] é:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
28. Considere três conjuntos A, B e C, tais que n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 8,
n(B ∩ C) = 9, n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. O valor de n[(A∪B) ∩ C] é:
a) 3
b) 10
c) 20
d) 21
e) 24
29. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de televisão favoritos: esporte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela indica quantas pessoas assistem a
esses programas.
Programas
E
N
H
E e N N e H E e H E, N e H
telespectadores 400 1200 1080
220
800
180
100
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Através desses dados, verifique:
a) o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas.
b) o número de pessoas da comunidade que assistem a pelo menos um dos três programas.
30. Dos 50 alunos de uma turma, 34 praticam futebol, 21 praticam natação e 5 não praticam nenhum desses dois esportes. Calcule quantos alunos dessa turma praticam somente
futebol.
31. Num grupo de 75 pessoas, há 35 que falam Inglês, 28 que falam Francês e 17 que falam
Inglês e Francês. Quantas pessoas não falam nenhum dos dois idiomas?
a) 12 pessoas b) 23 pessoas c) 29 pessoas d) 30 pessoas e) 40 pessoas
32. Em uma turma há 36 alunas, das quais 25 usam brincos, 13 usam pulseiras e 8 usam
brincos e pulseira. Pergunta-se:
a) Quantas usam brincos e não usam pulseiras?
b) Quantas usam brincos ou pulseiras?
c) Quantas não usam brincos nem pulseiras?
33. Em uma pesquisa feita a respeito da opção do adolescente pela beleza da mulher, verificou-se que num grupo de 200 rapazes:
1) 40 preferiam as louras;
5) 30 preferiam morenas e mulatas;
2) 80 preferiam as morenas;
6) 15 preferiam mulatas e louras;
3) 60 preferiam as mulatas;
7) 10 preferiam louras, morenas e mulatas.
4) 25 preferiam louras e morenas;
Pergunta-se:
a) Quantos preferiam apenas as louras?
b) Quantos não preferiam as mulatas?
c) Quantos preferiam louras e morenas, mas não mulatas?
d) Quantos não preferiam nenhuma das três?
34. Foi realizada uma pesquisa entre 800 eleitores de um certo candidato. Os resultados
foram os seguintes: 270 eleitores têm menos de 25 anos; 220 têm curso superior; 220
moram na Zona Sul; 120 têm menos de 25 anos e moram na Zona Sul; 110 moram na Zona
Sul e têm curso superior; 130 têm curso superior e menos de 25 anos; e 70 se enquadram nas três características. O número de eleitores que têm 25 anos ou mais, não moram na Zona Sul e não têm curso superior é:
a) 90
b) 380
c) 390
d) 400
e) 420
Sistema de numeração decimal e romano
Decimal
Este sistema é chamado decimal por dois motivos:
1. Usamos os algarismos indo-arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 (notem que são 10 algarismos). O zero(0) é o único dito não significativo e os outros, significativos.
2. Agrupamos e reagrupamos em grupos de 10 em 10.
a) dez unidades formam uma dezena.
b) dez dezenas formam uma centena.
c) dez centenas formam uma unidade de milhar.
d) dez unidades de milhar formam uma unidade de milhão e assim sucessivamente.
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8
Cada algarismo tem o seu valor de acordo com a posição que ele ocupa no número (Vp - valor posicional ou valor relativo - é dado pelo número de unidades que ele representa e valor
absoluto - é dado pelo valor do algarismo, independente da posição que ele ocupa). A esta posição chamamos de ordem e contamos da esquerda para direita. Veja como é:
53328
1ª ordem: 8 unidades. Vp = 8
2ª ordem: 2 dezenas ou 20 unidades. Vp = 20
3ª ordem: 3 centenas ou 30 dezenas ou 300 unidades. Vp = 300
4ª ordem: 3 unidades de milhar ou 30 centenas ou 300 dezenas ou 3000 unidades. Vp = 3000
5ª ordem: 5 dezenas de milhar ou 50 unidades de milhar ou 500 centenas ou
5000 dezenas ou 50000 unidades Vp = 50000
Cada grupo de três ordens, da direita para a esquerda, forma uma classe. As classes são:
3ª classe
classe dos milhões
9ª ordem
centenas
de milhão
8ª ordem
dezenas
de milhão
7ª ordem
unidades
de milhão
2ª classe
classe dos milhares
6ª ordem
centenas
de milhar
1ª classe
classe das unidades simples
5ª ordem
dezenas
de milhar
4ª ordem
unidades
de milhar
3ª ordem
2ª ordem 1ª ordem
centenas
dezenas
unidades
5
3
3
2
8
As outras classes são: bilhão, trilhão, quatrilhão e assim sucessivamente.
Observe como decompomos esse número:
- 5 dezenas de milhar, 3 unidades de milhar, 3 centenas, 2 dezenas e 8 unidades.
- Com algarismos: 53328 = 50000 + 3000 + 300 + 20 + 8
- Escrevemos por extenso: cinqüenta e três mil trezentos e vinte e oito.
Comparando números:
Comparamos os algarismos de mesma ordem, da maior para a menor. O que tiver o maior
algarismo na ordem será o maior.
Ex: 123456 é maior que 123278 porque o algarismo da 3ª ordem do primeiro é maior que o
do segundo. Note que os três primeiro algarismos são iguais.
É evidente que os números que tiverem maior número de ordens que outro serão maiores.
Exercícios:
1. Responda:
a) 3276 é formado por quatro números ou quatro algarismos?
b) O telefone do Curso bcon é 41010991. Os símbolos que se repetem são números ou algarismos?
c) Quantas ordens têm o número 1234578960?
d) Quantas classes têm o número 2346520234?
e) Qual a menor e a maior ordem do número do item d?
2. A distância entre a Terra e a Lua é de 382166 quilômetros.
a) Quantas e quais são as ordens desse número?
b) Quantas e quais são as classes desse número?
c) Qual algarismo ocupa a ordem das dezenas de milhar?
d) Faça a decomposição desse número com algarismos.
e) Escreva-o por extenso.
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9
3. Faça o quadro de ordens do número formado por 5 dezenas de milhão, 4 unidades de milhão, 6 centenas de milhar, 5 dezenas de milhar, 5 centenas, 8 dezenas e 3 unidades.
a) Quantas classes ele tem?
b) Quantas ordens ele tem?
c) Trocando de posição o algarismo das unidades com o algarismo das unidades de milhão,
que número será formado?
d) Como escrevemos por extenso o número encontrado no item c?
4. Faça a decomposição com algarismos e escreva por extenso os números dizendo quantas
ordens e quantas classes eles têm.
a) 123854
b) 30245
c) 810051
d) 351009
e) 401030
5. Complete com = (igual a), > (maior que) ou < (menor que):
a) 1245 ____ 1254
c) 99999 ____ 100000
b) 13808 ____ 13495
d) 730100 ____ 729345
e) 676999 ____ 677000
f) 54786 ____ 54786
6. Qual o menor e o maior número ímpar de sete ordens.
7. Qual o menor e o maior número formado por seis algarismos diferentes.
8. Usando somente os algarismos 1, 3, 4, 7 e 0, sem repeti-los, qual é o menor e o maior número par que podemos escrever?
9. Em cada caso, qual o menor dos números:
a) 3 dezenas de milhar ou 1 centena de milhar.
b) 1 unidade de milhar ou 5 centenas ou 90 dezenas.
10. Dê o valor posicional e o valor absoluto dos algarismos destacados nos números abaixo:
a) 35 ___ ___
d) 2345 ___ ___
g) 17456 ___ ___
b) 450 ___ ___
e) 1004 ___ ___
h) 200045 ___ ___
c) 1287 ___ ___ f) 10327 ___ ___
i) 200035 ___ ___
11. Escreva o valor posicional e o valor absoluto de cada algarismo nos casos abaixo:
a) 846
b) 23483
12. Responda ao que se pede:
a) Qual o menor número de três algarismos? E o de três algarismos significativos?
b) Qual o menor número de três algarismos distintos? E o de três algarismos significativos e distintos?
c) Quanto vale a soma do menor número de 4 algarismos distintos com o maior número de
4 algarismos significativos?
d) Quantas ordens e classes tem o número 398526363?
e) Quantas dezenas tem o número 36473? E centenas?
13. Para escrever os 142 primeiros números naturais, quantos algarismos são utilizados?
14. Uma unidade de 8ª ordem equivale a:
a) 100 unidades de 5ª ordem
b) 10000 unidades de 4ª ordem
c) 8 unidades de 1ª ordem
d) 80000000
15. Qual a diferença entre o valor relativo do algarismo de 3ª ordem e o valor absoluto do
algarismo de 5ª ordem do número 36427?
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10
16. Um número do sistema decimal é formado por dois algarismos, sendo x o algarismo das
unidades e y o algarismo das dezenas. Se colocarmos o algarismo 2 à direita desse número, o novo número será:
a) yx + 2
b) x + y + 2
c) 200 + 10y + x
d) 100x + 10y + 2
e) 100y + 10x + 2
17. Ao escrever os números inteiros de 1 a 537, quantas vezes figurou o algarismo 8?
18. 50000 dezenas equivale a meia unidade de:
a) 4ª ordem b) 5ª ordem
c) 6ª ordem
d) 7ª ordem
19. No número 758014, quanto vale o produto entre o algarismo de maior valor absoluto e o
de maior valor relativo?
20. Para numerar as páginas de um livro foram usados 894 algarismos. Quantas páginas tem
esse livro?
Romano
Sistema desenvolvido pelo povo romano que tem como símbolos, em letra maiúscula, I, V,
X, L, C, D e M.
Nosso sistema
Romano
1
I
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
1000
M
Algumas regras do sistema romano:
1. Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos no máximo 3 vezes.
Exemplos: II = 1 + 1 = 2 XXX = 10 + 10 = 20 CCC = 100 + 100 + 100 = 300 MM = 2000
2. Os símbolos V, L, e D não podem ser repetidos.
3. Quando um símbolo é colocado à esquerda de outro de maior valor, seu valor deve ser
subtraído deste. O I só pode ser colocado antes do V e do X, o X só pode ser colocado antes
do L e do C, e o C só pode vir antes do D e do M.
Exemplos: IV = 5 - 1 = 4
XL = 50 - 10 = 40 CM = 1000 - 100 = 900
4. Quando um símbolo é colocado à direita de outro de valor igual ou maior, somamos os
valores desses símbolos.
Exemplos: XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13 CL = 100 + 50 = 150 DCC = 500 + 100 + 100 = 700
5. Cada traço horizontal sobre um símbolo indica que multiplicamos esse símbolo por 1000.
não se coloca traço pra que o resultado seja um número que podemos encontrar sem a utilização do traço ( I = 1000, I I = 2000).
Exemplos: I = 1000000 D = 500000 LXXXV = 50035
Exercícios:
1. Represente os números abaixo em romanos:
a) 19
b) 24
c) 346
d) 1189
2. Complete a tabela:
Nosso sistema
Romano
18
995
XXXIX
325
234567
5346
MDXCI
3. Represente os números abaixo, em romanos:
a) 159
c) 1900
e) 648
g) 1985
b) 26
d) 2264
f) 57
h) 3149
i) 925
j) 85
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l) 1554
m) 4520
11
4. Escreva com símbolos romanos o maior número indo-arábico que pode ser escrito com
três algarismos.
5. Represente com algarismos os seguintes números romanos:
a) MCMLXXXI
b) CXXVIII
c) XXIII
d)
e) DCC
f) XLVI
LXV
g) MMD
h) XLIX
6. Escreva com algarismos indo-arábicos:
a) XXVII
b) XCIV
c) CCCL
d) MDXXXIX
e) MMCDXC
7. Escreva usando numeração romana
a) João Paulo segundo
c) Henrique oitavo
b) D. Manuel terceiro
d) Capítulo vinte e um
i) V DCC
j) CCCXXIV
f) MMMCMXCIX
e) Paulo sexto
f) Século vinte
8. Escreva com algarismos indo-arábicos:
a) MCCXXXIV
b) MMDCIX
c) MMMCDXI
d) LICDIX
e) LIDCCXLII
f) VIICCXXXV
9. Complete a tabela: romano indo-arábicos
indo-arábicos
26
romano
indo-arábicos
81
romano
LXXIII
505
LVII
7200
DCCCII
1034
indo-arábicos
1000000
DCII
7014219
MMM
XC
30007
MCDIX
romano
3238
V
IV
Conjunto dos números naturais (N)
Trabalhamos com o sistema de numeração decimal, logo usaremos os algarismos 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 (dez algarismos) para formarmos todos os números deste sistema.
Algarismo - cada um dos sinais que, juntos ou não, representam um número. Cada sistema
de numeração terá os seus algarismos.
Sistema de base
2
3
4
...
Algarismos usados
0, 1
0, 1, 2
0, 1, 2, 3
Número - Ao juntarmos ou não algarismos, formamos números. O número representa
quantidade.
Numeral - que designa um número.
Os números naturais são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... Representamos por N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Operação com números naturais
Adição
Existem duas idéias ligadas à adição:
a) juntar quantidades
Em um galinheiro tem 5 galinhas e 3 galos. Quantas aves têm no galinheiro?
Juntamos tudo e temos 8 aves.
b) acrescentar uma quantidade a outra
Letícia tem 9 figurinhas e ganha 5 figurinhas. Com quantas figurinhas ela ficou?
Juntamos tudo e ela ficará com 14 figurinhas.
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12
Para resolver estes problemas estamos usando a adição ou soma. Esta operação será representada pelo símbolo +.
No galinheiro temos 5 + 3 = 8 aves e Letícia terá 9 + 5 = 14 figurinhas.
Vamos ver alguns exemplos de adição ou soma:
parcelas soma ou total
234 + 13 = 247
234 Colocamos as mesmas ordens uma embaixo da outra e adicionamos
+ 13
as ordens
247
1275 + 852 = 2127
11
1275
+ 852
2127
Note que ao somarmos os algarismos de 2ª ordem encontramos 12 que é
maior que 10 logo passamos 1 unidade para a ordem seguinte.
Passamos a ter 8 + 3 = 11. Passamos 1 unidade para a ordem seguinte.
Passamos a ter 1 + 1 = 2, logo o resultado é 2127.
32 + 189 + 437 = 658
11
32
189
+ 437
658
Faremos da mesma forma, independente da quantidade de números
Note que todos os termos antes da igualdade chamam-se parcelas e depois da igualdade
soma ou total.
Propriedades da adição:
a) Comutativa - a ordem das parcelas não altera a soma.
32 + 45 = 77 ou 45 + 32 = 47. A ordem das parcelas não alterou a soma.
b) Associativa - Se juntarmos (associarmos) duas ou mais parcelas de uma soma e somarmos as outras, encontramos a mesma soma.
32 + 43 + 25 = 100 ou (32 + 43) + 25 = 75 + 25 = 100
c) Elemento neutro - quando uma das parcelas é 0 (zero) a soma é igual a soma das outras
parcelas. Ao somarmos com 0 (zero), não alteramos a soma.
O 0 (zero) é o elemento neutro da adição.
Subtração
São três as situações que envolvem a subtração:
a) Tirar uma quantidade de outra.
Carlos tinha 5 figurinhas e deu 2 para seu irmão. Com quantas figurinhas ele ficou?
Subtraímos o menor do maior e encontramos 3 figurinhas.
b) Comparar duas quantidades para saber quanto uma tem a mais que a outra.
Num saco temos 9 bolas e em outro saco temos 4 bolas. Quantas bolas o primeiro saco
tem a mais do que o segundo?
Subtraímos o menor do maior e encontramos 5 bolas.
c) Comparar duas quantidades para saber quanto falta para uma se igualar a outra.
Numa vasilha cabem 13 bolas e está com 6 bolas. Quantas bolas faltam para completar a
vasilha?
Subtraímos o menor do maior e encontramos 7 bolas.
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13
Para resolver estes problemas estamos usando a subtração ou diferença. Esta operação
será representada pelo símbolo -.
234 - 13 = 221
234 minuendo
Colocamos as mesmas ordens uma embaixo da outra e
- 13 subtraendo
subtraímos as ordens
221 resto ou diferença
1284 - 896 = 388
1284 Notemos que não podemos subtrair 6 de 4. Pediremos 1 emprestado da ordem
- 896
anterior e assim sucessivamente.
388
14 - 6 = 8; 8 antes do 4 passa a ser 7. 7 - 9 não pode, então teremos 17 - 9 = 8.
Antes do 8 passa a ser 1. 1 - 8 não pode, então teremos 11 - 8 = 3.
Antes do 2 passa a ser 0. Resultado = 388.
Adição e subtração: 32 - 5 + 48 - 37 = 38
Primeiro operamos todos os sinais +. Quando não tiver sinal é +. Ex: 4 = +4
32 + 48 = 80
Depois adicionamos todos os sinais -. 5 + 37 = 42.
Depois subtraímos o + do -. 80 - 42 = 38.
Com a prática poderemos fazer direto: 32 - 5 = 27 + 48 = 75 - 37 = 38
Expressões numéricas:
Chamamos de expressões numéricas aquelas que são divididas por colchetes, chaves e parênteses.
Ex: Vamos resolver a expressão [23 - {4 + (3 + 5 - 2) + 3} - 2] = 8.
Começaremos sempre de dentro para fora e quando tiver o sinal - antes trocamos o sinal
do que encontramos. (3 + 5 - 2) = 6
Teremos: [23 - {4 + 6 + 3} - 2]. Antes dos parênteses o sinal é +, então conservamos o sinal. {4 + 6 + 3} = 13. Teremos: [23 - 13 - 2]. Antes dos colchetes o sinal é -, então trocaremos
o sinal. 23 - 13 - 2 = 8
Exercícios:
1. Efetue as operações pedidas:
a) 6755 + 4197
b) 117088 + 75649
c) 3277 + 4567 + 678
d) 437 + 5678 + 123478
e) 5438 + 45687 + 1345 + 567
f) 34567 - 987
g) 23478 - 3459
2. Efetue as operações pedidas:
a) 45-13+38-26 = b) 137-48-32+62 =
c) 34+22+34-41-30 =
h) 3486 - 1235
i) 2345678 - 34512
j) 9876 - 1234
d) 234-56+32-43-89 =
3. Resolva as expressões:
a) 35 + [20 + {2 + (2 + 7 - 2) + 3} - 2] =
b) 45 + (23 - {4 + [5 + 8 - 3] + 5} - 2) + 12 =
c) 35 + [20 + {2 + (2 + {31 - 22} + 7 - 2) + 3} - 2] - 2 =
Multiplicação
São três as situações de multiplicação:
a) somar várias vezes parcelas iguais. 23 + 23 + 23 = 69 = 3 vezes 23 = 3 x 23 = 69
b) organização retangular:
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Quantas bolas têm a figura?
São 2 linhas e 4 colunas.
Teremos 2 vezes 4 = 4 + 4 = 8
Ou 2 x 4 = 8
c) Combinar possibilidades.
Marcos tem 4 camisas e 5 calças. De quantas formas ele pode se vestir?
São 4 camisas. Para cada camisa que ele usar poderá usar 5 calças. Logo, teremos:
4 x 5 = 20 modos de se vestir.
Para resolver estes problemas estamos usando a multiplicação ou produto. Esta operação
será representada pelo símbolo x ou . (ponto).
234 x 2 = 468
234 fator
Colocamos o fator com menor número de ordens embaixo do outro
x 2 fator
Multiplicamos este fator por todos os elementos do outro fator.
468 produto
284 x 23 = 6532
284
Colocamos o fator com menor número de ordens embaixo do outro.
x 23
Multiplicamos cada ordem deste fator, começando pela primeira.
852
Este produto nos dará um numero que ocupará uma linha.
568
Quando multiplicarmos as outras ordens, ocuparemos linhas deixando
6532
vazio o espaço que ficaria embaixo da primeira ordem da linha anterior.
Note que 3 x 4 = 12 é maior que 10. Colocamos o 2 e somamos uma unidade ao 8, após fazermos o produto 3 x 8 = 24. Teremos 24 + 1 = 25. Colocamos o 5 e somamos ao 2, após o produto
3 x 2 = 6. Teremos 6 + 2 = 8. E assim sucessivamente.
Propriedades da multiplicação:
a) Comutativa – a ordem dos fatores não altera o produto.
2x3=3x2=6
3 x 4 x 2 = 4 x 3 x 2 = 2 x 3 x 4 = 24
b) Elemento neutro – se multiplicarmos um número por (1) um, o resultado é ele mesmo.
3x1=3
3 x 4 x 1 = 12 x 1 = 12. O 1 (um) é o elemento neutro da multiplicação.
c) Associativa – ao agruparmos (associarmos) os fatores, de diferentes modos, o produto
não se altera. 2 x 3 x 5 = (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) = 30
d) Distributiva – ao multiplicarmos um número por uma soma ou diferença, multiplicamos
esse número por cada elemento da soma ou diferença.
2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16
3 x (5 – 2) = 3 x 5 – 3 x 2 = 15 – 6 = 9
Em qualquer expressão que aparece multiplicação, adição e diferença, faremos primeiro as
multiplicações, depois as somas e depois as diferenças.
Ex: 2 + 3 x 4 + 5 – 2 x 2 + 6 x 3 + 4 - 3 =
Iremos fazer primeiro 3x4, 2x2 e 6x3, ficando: 2 + 12 + 5 – 4 + 18 + 4 – 3 = 41 – 7 = 34
Exercícios:
1. Efetue as operações pedidas, usando multiplicação:
a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =
d) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 =
b) 3 x 3 x 3 x ... x 3 (12 fatores) =
e) 2 x 2 x 2 x ... x 2 (15 fatores)
c) 3 x 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2
f) 10 . 10 . 10 . ... . 10 (13 fatores)
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2. Efetue as operações pedidas:
a) 3 + 5 x 4 – 2 x 3 + 4 + 2 x 3 =
b) 6 x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 + 3 x 3 =
c) 2 . 3 + 4 – 3 + 4 . 5 – 3 . 4 + 57 - 32 =
d) 52 . 4 – 4 . 21 + 12 – 3 . 4 + 4 . 7 =
3. Resolva as expressões:
a) 4 + [3 . 2 + 3 . {12 – 3 . 2 + 3 . (2 + 4 . 5 – 2 . 3 + 1) – 3 x 2} + 4] – 1 =
b) 2 x [4 + 3 x 2 + {5 + 4 x (2 x 3 + 4 x 2 – 3 + 2 x 3) + 4} + 3 x 2] + 4 x 2 =
Divisão
São duas as idéias de divisão:
a) Verificar quantos grupos podem ser formados.
Com 42 laranjas, quantas caixas, com 6 laranjas cada, poderei formar?
Serão 7 caixas porque 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 6 x 7 = 42.
A operação a ser feita será a divisão: 42 : 6 = 7 ou 42 ÷ 6 = 7 . Note os símbolos usados
para a divisão.
b) Repartir ou distribuir em parte iguais.
Dividindo-se 184 em 8 partes iguais, quanto caberá a cada parte?
Em cada parte haverá 23 porque 23 x 8 = 184, ou seja, 184 : 8 = 23.
Vamos aprender a dividir:
184 8
-16
23
24
-24
0
Da esquerda para direita juntaremos os algarismos até encontrarmos
um número maior que 8. Será o 18.
O número mais próximo de 18 é 2 x 8 = 16.
Faremos 18 - 16 = 2 e abaixaremos o primeiro algarismo à direita.
Continuaremos a fazer a mesma coisa até a diferença ser menor que 8.
184 é o DIVIDENDO (D), 8 o DIVISOR (d), 23 o QUOCIENTE (q) e 0 o RESTO (r).
Note que 184 = 23 x 8 + 0, ou seja, D = d x q + r.
Dizemos que uma divisão é exata quando o resto é zero (0) e inexata (não exata) quando
o resto é diferente de zero.
Façamos mais algumas divisões como exemplo:
190 5
19: 5 = 3
-1 5
38
40
40 : 5 = 8
-40
0 → resto (divisão exata)
5 0 4 18
50 : 18 = 2
-3 6
28
144
144 : 18 = 8
-1 4 4
0 → resto (divisão exata)
2 4 1 4 23
-23
104 quociente
114
Notemos que 11 é menor que 23. Acrescentamo um 0 no quociente
-92
e abaixamos o algarismo seguinte.
22 resto Como restou 22 que é diferente de 0, a divisão não é exata.
Observação 1: se dividirmos um número por ele mesmo o quociente será 1 (um).
3 : 3 = 1; 567 : 567 = 1; a : a = 1; bc : bc = 1
Observação 2: se, em uma expressão, aparece multiplicação e divisão, faremos a operação na ordem em que ela aparece. Ex: 2 x 3 + 4 : 2 + 3 x 8 : 6 = 6 + 2 + 24 : 6 = 6 + 2 + 4 = 12
Exercícios:
1. Efetue as operações pedidas:
a) 1684 : 2 =
b) 12402 : 3
e) 768 : 24 =
f) 770 : 24 =
c) 432 : 12 =
g) 45321 : 12 =
d) 3216 : 35 =
h) 13144 : 12 =
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2. Efetue as operações pedidas:
a) 4 + 2 x 3 – 2 + 4 : 2 + 3 x 2 x 6 : 4 – 5 =
b) 12 : 3 x 2 + 24 : 4 x 3 – 22 : 11 =
c) 2 x 3 : 2 x 4 : 4 + 5 x 8 : 5 =
d) 4 x 3 + 18 : 2 x 5 + 64 : 8 : 2 x 3 =
3. Resolva as expressões:
a) [4 : 2 x {5 x 8 : 4 + 2 x (4 + 5 x 3 - 8 : 2 x 3) + 24 – 8 : 2} + 4 : 2 x 4] =
b) 12 : 3 x 2 + 2 x [8 – 4 x 2 : 8 + 3 x {4 + 12 : 3 + (36 : 6 x 2 – 4 x 3 : 4) + 2} – 21 : 3] + 4 =
Potenciação
É a forma abreviada de representarmos um produto de vários fatores iguais.
Ex: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26. São 6 fatores iguais (2). Lemos 2 elevado a 6 ou 2 a sexta.
3.3.3.3.3.3.3.3 = 38. Lemos 3 elevado a 8 ou 3 a oitava.
2.2.2.2.2.3.3.3.3.4.4.4 = 25.34.43. Só podemos representar em forma de potência fatores
iguais.
Propriedades da potenciação:
- Multiplicação de potências de mesma base - conservamos a base e somamos os expoentes. am x an = am + n
28 x 25 = 28 + 5 = 213
32 x 34 x 38 = 32 + 4 + 8 = 314
- Divisão de potências de mesma base - conservamos a base e subtraímos os expoentes.
m
a : an = am - n
28 : 25 = 28 - 5 = 23
325 : 312 = 325 - 12 = 313
- Potência de potência - conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
(28)4 = 28 x 4 = 232
((35)2)3 = 35 . 2 . 3 = 330
Cuidado: (28)4. O número que está elevado a 4 é 28. Multiplicamos os expoentes.
4
2 8 . O número que está elevado a 4 é o 8. Elevamos 8 a potência 4.
4
Conclusão: (28)4 ≠ 2 8
- Potência de produto - elevamos cada fator ao expoente. (a x b)m = am x bm
(2 x 5)3 = 23 x 53
(3 x 4 x 6 x 7)2 = 32 x 42 x 62 x 72
- Potência de um quociente (divisão) - elevamos cada elemento da divisão ao expoente.
(7 : 5)3 = 73 : 53
(a : b)m = am : bm
- Observação 1: Todo número elevado a 0 (zero) é igual a 1. a0 = 1.
Vamos entender porque;
Se dividirmos um número por ele mesmo o resultado é 1. am : am = 1.
Vamos pegar a mesma divisão e aplicar a propriedade das potências: am : am = am - m = a0.
Comparando temos: a0 = 1
Observação 2: em uma expressão a potência será a primeira operação a ser efetuada.
Ex: 3 x 22 + 3 = 3 x 4 + 3 = 12 + 3 = 15
Exercícios:
1. Efetue as operações pedidas, dando o resultado em forma de potência:
b) 32 . 35 . 36 . 34 =
c) 53 . 54 . 52 : 53 . 54 : 5 =
a) 25 + 25 + 25 + 25 =
2. Efetue as operações pedidas:
a) 4 + 22 x 3 – 23 + 4 : 2 + 34 x 2 x 6 : 4 – 50 =
b) 12 : 3 x 23 + 24 : 4 x 32 – 22 : 11 =
c) 2 x 32 : 2 x 42 : 4 + 52 x 8 : 5 =
d) 4 x 32 + 18 : 2 x 50 + 64 : 8 : 2 x 30 =
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