Grupo de discussão 1
Actas do XIXEIEM — Vila Real 2009
AS REPRESENTAÇÕES DOS NÚMEROS RACIONAIS NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM RECURSO À BARRA COMO
MODELO
Hélia Ventura
Escola EB 2,3 D. Domingos Jardo - Mira Sintra
[email protected]
Hélia Oliveira
Universidade de Lisboa e Centro de Investigação em Educação da FCUL
[email protected]
Resumo
Esta comunicação pretende dar a conhecer parte de um trabalho de investigação
realizado com uma turma do 5.º ano de escolaridade, que visou o aprofundamento da
problemática do ensino aprendizagem dos números racionais no ensino básico,
particularmente no que diz respeito ao estabelecimento de conexões entre as diversas
representações destes números. Neste contexto, foi realizada uma experiência de ensino no
tema Números Racionais, delineada colaborativamente com a professora de uma turma de
alunos com reduzida experiência escolar neste tópico. Tentou-se criar um contexto favorável
ao estabelecimento de conexões entre as várias representações dos racionais, através de
problemas e tarefas de natureza exploratória e investigativa e do uso de modelos,
principalmente a barra numérica.
O objectivo da presente comunicação é evidenciar como os alunos, partindo dos
conhecimentos informais que possuem sobre fracções e percentagens, se começam a
apropriar da barra numérica, articulando as várias representações dos números racionais, à
medida que vão resolvendo problemas que suscitam o uso deste modelo.
Os resultados aqui apresentados dizem respeito à exploração dos alunos de uma tarefa
contextualizada na realidade, envolvendo números racionais, nos significados de medida e
parte-todo, em que a barra numérica surge como modelo. Os dados foram recolhidos a partir
do registo vídeo da aula de discussão da tarefa com toda a turma e dos registos escritos dos
alunos que trabalharam em pequenos grupos.
Os resultados deste estudo permitem compreender como os alunos começam a usar a
barra numérica associada aos contextos propostos como um modelo de uma situação, para
se transformar num modelo para pensar e resolver um problema (Van den Heuvel-Panhuizen,
2003), fazendo apelos a várias representações dos números racionais, e através de
estratégias variadas e flexíveis.
1. Introdução
O conceito de número racional é fundamental no desenvolvimento matemático dos
alunos no ensino básico, no entanto, este reveste-se habitualmente de enorme dificuldade. As
orientações curriculares mais recentes, assim como a investigação realizada
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internacionalmente (Lamon, 2007), sugerem, na aprendizagem inicial dos racionais, o
estabelecimento de conexões entre as suas representações (ME, 2007).
O conceito de número racional é tão importante quanto complexo, existindo inúmera
investigação que procura problematizar a situação e encontrar soluções para esta
complexidade. Apesar das várias direcções tomadas pela investigação, parece ser claro que há
muitos factores a ter em conta no ensino aprendizagem deste conceito, como por exemplo, os
seus vários significados, o conhecimento informal dos alunos e o uso de contextos e modelos
apropriados. Deste modo, é objectivo deste estudo compreender como alunos do 5.º ano de
escolaridade, partindo dos conhecimentos informais que possuem sobre fracções e
percentagens, se começam a apropriar da barra numérica, articulando as várias representações
dos números racionais, à medida que vão resolvendo problemas que suscitam o uso deste
modelo.
Números racionais: significados e representações
A investigação na área dos números racionais tem seguido direcções diversas, com
incidência nas operações, erros, dificuldades, várias representações e significados. Os
números racionais podem ser interpretados de várias formas, constituindo-se em diferentes
sub-conceitos. Kieren (1980) foi o primeiro a defender que o conceito de número racional
envolve vários significados, os quais designou por sub-constructos. Segundo este autor, uma
compreensão completa dos números racionais requer não só uma compreensão de cada um
dos sub-constructos separados, mas também da forma como eles se relacionam. O projecto
Rational Number Project (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992) baseou grande parte do seu
trabalho nos sub-constructos de Kieren: medida, quociente, razão e operador, adicionando
ainda um outro, a relação parte-todo (Olive, 1999).
O conceito de número racional é reconhecidamente complexo devido: a) aos diferentes
significados e representações que estes números podem assumir; b) aos desafios quando se
comparam quantidades através das diferentes representações; e c) ao facto de amiúde este
tema não ser desenvolvido com os alunos seguindo um modelo adequado (Moss, 2005). A
introdução deste conceito está longe de ser trivial (Merlini, 2005), tanto do ponto de vista do
ensino, como da aprendizagem, sendo particularmente difícil aos alunos relacionarem as
várias representações: fracção, decimal e percentagem (Sweeney & Quinn, 2000). No entanto,
tanto as orientações curriculares, como a vasta investigação empírica sobre os racionais
(Lamon, 2007), tem mostrado que é importante que os alunos trabalhem as várias
representações destes números. Assim, o documento Principles and standards for school
mathematics (NCTM, 2000) refere que devem ser dadas oportunidades aos alunos para
estabelecerem conexões entre as várias representações matemáticas.
Existem propostas diversas relativamente ao modo como se pode ajudar os alunos a
estabelecer essas relações. Segundo Moss (2005), as percentagens podem ser introduzidas
antes do estudo das fracções e da representação decimal, porque neste caso os alunos estão
sempre a trabalhar com fracções cujo denominador é 100, o que aparentemente se torna mais
fácil. Estas podem ser abordadas evidenciando-se a equivalência entre racionais cuja
representação decimal ou sob a forma de fracção sejam mais simples. Desta forma, os alunos
podem fazer conversões (preliminares) entre as diferentes representações de um número
racional de uma forma directa e intuitiva, enquanto desenvolvem uma compreensão geral de
como as três representações se relacionam (Moss, 2005).
Um argumento adicional, quanto ao reforço do ensino precoce das percentagens, é o
facto destas constituírem uma forma natural de pensar acerca das proporções (Moss & Case,
1999), uma vez que são uma espécie de razão em que a segunda quantidade é sempre 100
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(Lamon, 2006). No entanto, uma abordagem destes conteúdos de forma isolada é uma das
fontes de dificuldades por parte dos alunos (Sweeney & Quinn, 2000).
Conhecimento informal
O conhecimento informal sobre os números racionais é, em grande parte, alheio ao
conhecimento dos símbolos e procedimentos matemáticos (Mack, 1990). Embora possa
existir um desfasamento entre estes tipos de conhecimento, Hiebert (1988) propõe que na
escola os conhecimentos informais dos alunos sirvam de base para o desenvolvimento dos
símbolos e procedimentos matemáticos, independentemente do conteúdo abordado. Estudos
revelam que quando os alunos chegam à escola possuem conhecimento informal sobre vários
conceitos associados aos números racionais, nomeadamente, o de partilha equitativa e de
equivalência (Pothier & Sawada, 1983) e também sobre “juntar” e “separar” conjuntos bem
como estimar quantidades que envolvam fracções (Behr, Wachsmuth & Post 1985). Ainda
assim, Mack (1990) refere que o conhecimento informal que os alunos têm sobre fracções é
desligado dos conhecimentos simbólicos e procedimentais destas, não sendo claro como eles
usam este conhecimento na compreensão dos símbolos e procedimentos das fracções durante
o ensino.
O conhecimento informal dos alunos, analisado em diversos estudos (Mack, 1990,
2001), pode ser caracterizado como o conhecimento aplicado e circunstancial construído
pelos indivíduos como resposta às suas experiências da vida real, ou seja, o conhecimento
informal (prático) que os alunos possuem dos números racionais, podem ajudá-los a resolver
problemas reais com sucesso (Kieren, 1988; Mack, 1990).
O modelo da barra numérica
Entre os modelos que têm sido descritos como potenciadores do desenvolvimento do
conceito de número racional, encontra-se a barra numérica, presente em diversos estudos no
âmbito da Educação Matemática Realista (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Esta permite
que os alunos explorem relações entre números e contribui para a compreensão das relações
entre as várias representações dos números racionais (Van Galen et al., 2008). São,
adicionalmente, reconhecidas razões de ordem didáctica e psicológica para a utilização da
linha numérica dupla como um modelo central para as operações de adição e subtracção com
os racionais: 1) articula-se com soluções de procedimentos informais devido ao seu carácter
linear (Klein, Beishuizen & Treffers, 1998) e é um modelo natural para as estratégias de
contagem informais; 2) tem o potencial de aumentar o nível de actividade dos alunos
(Gravemeijer, 1994); 3) tem um carácter natural e transparente (Klein et al. 1998), uma vez
que o seu formato vazio estimula a representação mental dos números e das operações de
adição e subtracção; 4) os alunos que a utilizam estão cognitivamente envolvidos nas suas
acções, e não se tornam dependentes, numa fase primária, da visualização (Beishuizen, 1993).
Deste modo, pode afirmar-se que a utilização da barra numérica favorece a criação de uma
imagem mental das estratégias de contagem e das operações, estimulando o cálculo mental e,
mais globalmente, o sentido de número.
No que diz respeito, estritamente, à barra numérica, Bright, Behr, Post e Wachsmuth
(1988) enumeram algumas vantagens deste modelo: 1) o comprimento representa uma
extensão da unidade e, simultaneamente, de todas as subdivisões da unidade; 2) é um modelo
contínuo; e 3) requer o uso de símbolos para transmitir o significado pretendido. Deste modo,
este modelo é apontado como sendo particularmente útil numa fase inicial de exploração das
várias representações dos números racionais, em contextos que envolvam medida e divisão.
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2. Metodologia
A metodologia adoptada neste estudo é de natureza interpretativa, recorrendo à
observação de aulas (com gravação vídeo) e análise dos registos escritos dos alunos, como
principais estratégias de recolha de dados. Os participantes deste estudo são os alunos da
turma de 5.º ano que trabalharam colaborativamente em pequenos grupos de quatro elementos
(Grupos 1, 2, 3 e 4) na realização das tarefas propostas planeadas pelas autoras deste estudo,
em colaboração com a professora da turma. A constituição dos grupos foi efectuada a partir
da aplicação de um teste escrito, antes da realização da experiência, incidindo sobre a
representação de racionais nas várias formas e a resolução de problemas simples, envolvendo
racionais. Procurou-se criar grupos com alunos que tivessem tido um desempenho variado
nesse pré-teste e, adicionalmente, diversificar a representação de género e dos níveis obtidos
no final do 1º período, na disciplina de Matemática.
Para a avaliação dos alunos no pré-teste foram criadas categorias de análise, a partir das
quais se estabeleceram três níveis de desempenho (bom - A, médio - B e reduzido - C). No
entanto, o desempenho dos alunos no pré-teste ficou-se apenas pelos níveis B e C, o que nos
levanta a forte conjectura de que os alunos não tiveram um contacto significativo com as
fracções e os racionais no seu percurso escolar. A generalidade dos alunos revelou escassos
conhecimentos, ficando-se pela identificação da metade, ½ ou 50% de uma área, pelo
reconhecimento de 20%, como sendo a quinta parte de uma figura e pela aplicação do
significado de operador (quarta parte) numa situação simples, que os mesmos transformam
numa divisão por quatro.
A partir destes resultados foi delineada uma experiência de ensino, alicerçada num
conjunto de tarefas que promovem as conexões entre as várias representações dos racionais,
que tem em conta as novas orientações curriculares para o ensino da Matemática (ME, 2007),
no que se refere ao tema dos números racionais. As tarefas são preparadas para se realizarem
em dois momentos: depois da professora dar alguma informação sobre as tarefas, sempre que
isso se justifique, os alunos trabalham de forma autónoma em pequenos grupos (quatro
elementos), e no final procede-se à discussão oral em grande grupo (turma). As tarefas
propostas visam desenvolver diversas capacidades como observação, confronto de resultados,
discussão de estratégias e formalização de conceitos e representações matemáticas.
Com o intuito de proporcionar aos alunos modelos que os auxiliassem a representar
situações concretas, dando-lhes apoio visual ao raciocínio sobre as relações que se podem
estabelecer com os números racionais, a barra numérica foi um dos principais modelos
estimulados pelas tarefas.
A tarefa analisada nesta comunicação, é a quarta numa sequência em que figuram
contextos, com personagens e acontecimentos onde é natural surgirem números racionais. A
primeira tarefa parte de uma situação de partilha equitativa, permitindo que os alunos
desenvolvam o sentido de quociente (dividir os chocolates em dois, quatro e oito pedaços
iguais, que pode ser realizado por esquemas), servindo de “trampolim” para a exploração da
relação parte-todo. Para a realização desta tarefa os alunos têm à sua disposição tiras de papel
geometricamente iguais (simbolizando os chocolates), que servem de modelo da situação. A
segunda tarefa apela à utilização de um número racional como quociente e na relação parte-todo, envolvendo quantidades discretas. Nesta tarefa os alunos devem utilizar numerais
mistos para representar uma determinada quantidade maior que a unidade, assim como
reconstruir a unidade a partir das suas partes, usando representações pictóricas e símbolos. Na
terceira tarefa pretendia-se que os alunos além de utilizarem os racionais, como medida e
operador, os representassem, escritos de diferentes formas, numa barra.
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A quarta tarefa (que iremos analisar nesta comunicação) é apresentada num contexto de
um problema, em que os números racionais aparecem com o significado de medida e de parte-todo e, na qual, existia a expectativa de que os alunos pudessem vir a usar a barra numérica.
Figura 1- Tarefa 4
3. O uso da barra numérica pelos alunos
Resolução da tarefa
A tarefa analisada questionava os alunos sobre a quantidade de espelhos necessária para
preencher o fundo do palco. As estratégias usadas inicialmente pelos grupos foram
essencialmente de dois tipos. Uma das estratégias foi a realização de adições sucessivas do
comprimento de cada espelho (fig. 1), até perfazer um total superior ao valor pretendido. A
outra estratégia que os alunos seguiram (fig. 2) baseou-se inicialmente na estimação de uma
resposta (5 espelhos), mas que ao verificarem pela multiplicação que obtinham um valor
inferior ao pretendido, adicionaram o comprimento de mais um espelho, chegando então a
7,2m (6 espelhos).
Figura 2- Estratégia 1
Figura 3 - Estratégia 2
Os alunos consideraram o número inteiro de espelhos efectivamente utilizados para
realizar o trabalho referido, no entanto, aquilo que se pretendia era que eles determinassem
com exactidão que quantidade de espelhos estava aqui em jogo. Assim sendo, a professora
resolveu fazer um ponto da situação na exploração da tarefa e questionou-os sobre o número
de espelhos inteiros presente na sua resposta (5 espelhos) e sobre a representação possível
para a parte utilizada no sexto espelho.
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Professora: Uma parte da resposta nós já sabemos! Quantos espelhos inteiros vamos usar?
Grupo 3: Cinco!
Professora: É?! Então agora do outro, quanto é que vão utilizar?!
Grupo 2: Do outro vamos usar só um metro!
Professora: E como é que podem representar isso?
Dado que numa tarefa anterior, os alunos já tinham trabalhado com a representação de
um número racional sob a forma de numeral misto, a professora tinha a forte expectativa de
que essa forma de representação iria surgir nos grupos.
Após os alunos terem trabalhado em pequeno grupo, durante aproximadamente 30
minutos, a professora inteirou-se das respostas dos vários grupos e passou à fase de discussão
com o grupo-turma. Começou por registar no quadro a resposta dada por cada um dos quatro
grupos:
De seguida, a professora suscita a discussão com a turma questionando os alunos sobre
a correcção das duas respostas, aparentemente diferentes, que surgiram nos grupos:
Professora: Como eu penso que só há uma hipótese de resposta certa, quer dizer que há dois
grupos errados! É verdade o que eu estou a dizer?
Grupo 1: Não!
Professora: Vocês? O que acham? (dirigindo-se ao grupo 2)
Grupo 2: A professora não tem razão!
Professora: Que maçada! E vocês?
Grupo 3: Não!
Professora: Também não?! E aqui? (dirigindo-se ao grupo 4)
Grupo 4: Estão as duas bem!
Professora: Pronto! A professora não tem razão! (rindo) Agora podem explicar porque é
que a professora não tem razão.
Grupo 2: Porque dez doze avos é a mesma coisa que cinco sextos!
Professora: E como é que se podia provar isso?
Grupo 1: Dois vezes cinco dez e dois vezes seis são doze!
Professora: São fracções quê?
Grupo 2: Equivalentes!
Os alunos evidenciam reconhecer a equivalência entre as fracções presentes nos dois
numerais mistos, o que os leva a afirmar com segurança que ambas as respostas estão
correctas. De seguida, a professora questiona os grupos sobre as estratégias que os
conduziram a esses resultados.
A barra numérica na resolução dos grupos 1 e 3
A professora começou por questionar o grupo 3 sobre o modo como obtiveram o valor
de 10/12.
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Professora: Quero que me expliquem porque é que foram aos dez doze avos!
Grupo 3: O espelho media um metro e dois! E como um metro valia 10 e com mais 2
décimas ficou doze!
Professora: Porque uma unidade são quantas décimas?
Grupo 3: Dez!
Professora: 1,2 não são 12 décimas?
Grupo 3: Sim!
Grupo 3: Depois dividimos o espelho em doze bocadinhos!
Professora: Porquê?
Grupo 3: Porque era 1,2! E cada bocadinho ia valer 1 décima!
Como se pode verificar pelo registo escrito dos alunos (fig. 4), estes usaram uma barra
dividida em 10 partes (“um metro valia 10 [décimas]”) a que acrescentam duas (“com mais
duas décimas ficou 12”) que assinalam com o círculo1. Note-se que embora não exista o
mesmo rigor no desenho das partes na barra, tal como é feito com a representação dos
espelhos, os alunos interpretam-nas como partes iguais. No diálogo com a professora
evidenciam claramente que reconhecem que o todo (a unidade-comprimento do espelho) foi
dividida em 12 partes (“doze bocadinhos”) em que cada uma corresponde a uma décima, ou
seja, que estas são iguais entre si.
Figura 4 - Resolução do grupo 3
O grupo 1 explicou oralmente que tinha raciocinado de forma semelhante, dividindo a
barra (“o espelho”) em doze partes, cada uma delas “valia” uma décima. No entanto, ao
atentarmos à sua resolução escrita verificamos que estes alunos incorporaram outras
representações dos números racionais (fig. 5). Assim, identificam a unidade (o comprimento
12
total do espelho) como fracção ( ) e como percentagem (100%) e cada parte desenhada na
12
barra como sendo um decímetro e também 1%. Adicionalmente, assinalam metade da barra
com “meio” e 60%. Questionados posteriormente sobre esta percentagem, os alunos
explicaram que se enganaram no símbolo utilizado, e que o que queriam escrever era 60 cm,
dado representar 50% do total (120 cm). No entanto, desconhecemos o significado que
atribuíram a 1%.
1
A parte sombreada foi acrescentada pelos alunos já no momento da discussão, procurando integrar a resposta dos outros
grupos na sua própria representação, embora sem sucesso.
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Figura 5 - Resolução do grupo 1
A barra numérica na resolução dos grupos 2 e 4
Após os grupos 1 e 3 terem explicado a sua solução, foi a vez dos grupos 2 e 4
explicarem como chegaram ao resultado, 5/6. O grupo 2 explicou o seguinte:
Professora: E vocês? Como fizeram?
Grupo 2: Nós tínhamos 1,2 e multiplicámos por 5 e chegámos à conclusão que ainda nos
faltava um metro para chegarmos aos sete.
Professora: Ok! E a fracção cinco sextos?
Grupo 2: Depois tirávamos cinco sextos do outro espelho!
Professora: Como é que chegaram aos cinco sextos?
Grupo 2: Tínhamos de dividir o espelho em seis partes e tirávamos cinco partes, que era o
bocadinho que faltava para chegar aos sete!
Professora: Dividiram em seis, mas eu não percebo bem porque é que dividiram em seis!
Quanto valia cada bocadinho?
Grupo 2: Porque cada bocadinho do nosso espelho valia 0,2, que era o que sobrava! Depois
fomos ver quantos 0,2 cabiam na nossa unidade!
Os alunos começaram por explicar como obtiveram a parte inteira no numeral misto.
Depois através das questões da professora, a sua explicação evidencia que os 5/6 foram
obtidos a partir de uma representação da barra, enquanto modelo do espelho, que surge no
final seccionada em seis partes iguais representando 0,2 cada uma delas. Como é que os
alunos chegaram a estas secções da barra? Segundo eles, “0,2 era o que sobrava [para além da
unidade-um metro]”, ou seja, tomaram inicialmente como unidade o valor do comprimento
que queriam relacionar com o todo (comprimento total do espelho) e foram determinar o
número de partes na unidade (1 metro): “fomos ver quantos 0,2 cabiam na nossa unidade”. A
partir daí completaram a unidade para chegar ao comprimento total do espelho (1,2m) e
verificaram que a parte pretendida era cinco de um total de seis partes de 0,2. A professora
representou no quadro (fig.6) o esquema dos alunos:
Figura 6 - Esquema da resolução do grupo 2
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No grupo 4 embora os alunos também tenham recorrido à divisão da barra em seis
partes iguais, os seus raciocínios divergiram, relativamente ao grupo anterior:
Professora: Porque é que dividiram em seis partes?
Grupo 4: Primeiro dividimos a barra ao meio, que era 50% e 60cm!
Professora: Ok! No fim então era …
Grupo 4: 100% e 120cm!
Professora: E depois?
Grupo 4: Nós precisávamos de um metro do sexto espelho! Depois de sabermos quanto era
metade do espelho, fomos ver quanto é que lhe faltava para chegar aos 100!
Professora: E como é que raciocinaram para dividir cada metade em três?
Grupo 4: Vimos que do 60 para chegar a 100 faltava 40! E do 100 para chegar ao 120
faltava 20! Como só queríamos 40cm, dava-nos jeito que cada bocadinho valesse 20cm!
Como é ilustrado pelo desenho dos alunos (fig. 7), tomaram o espelho como unidade
(120cm) e foram usar uma fracção ou percentagem de referência (um meio ou 50%,
respectivamente) para tentar estabelecer uma relação da parte (100cm) que queriam relacionar
com o todo. De seguida, ao fazerem a diferença entre 100 e 60cm e entre 120 e 100 cm,
verificam que a primeira é metade da segunda e apercebem-se que a metade da barra, entre os
60 e os 120 cm, pode ser dividida em três secções iguais, portanto, na sua totalidade pode ser
dividida em seis partes iguais, correspondendo cada uma a 20cm. Estas medidas são
assinaladas na parte superior da barra, às quais fazem corresponder as respectivas fracções
(significado parte-todo) na parte inferior da barra.
Figura 7 - Resolução do grupo 4
É interessante verificar como os alunos utilizaram as várias representações
(percentagem, número decimal e fracção) para representarem a mesma porção de uma
unidade, na mesma barra. Ou seja, tomaram a barra como uma ferramenta chave na resolução
do problema, utilizando a mesma graduação (número de divisões), mas com diferentes
“escalas” (número decimal, percentagem e fracção), verificando assim as respectivas
correspondências. É de salientar, tal como sucedeu noutros grupos, a coexistência de várias
unidades no modelo, sem que isso os confunda.
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4. Conclusões
Pelos resultados obtidos no pré-teste verifica-se que estes alunos possuíam
conhecimentos muito limitados no campo das fracções e das percentagens. Destacam-se, entre
estes a noção de metade, associada a uma partilha equitativa (Pothier & Sawada, 1983), que
os alunos identificam facilmente como sendo 50% e alguma noção de fracção como operador
para fracções de referência, como um meio ou um quarto (com o sentido de “quarta parte
de”). Estes são conhecimentos de origem escolar e outros do quotidiano dos alunos, mas que
não estão consolidados e que se restringem ao reconhecimento de alguns números e conceitos
dispersos. No entanto, é a partir destes que os alunos vão explorando as sucessivas tarefas que
lhes foram propostas.
A análise do modo como a barra numérica foi utilizada por estes alunos, permite
perceber que esta se revelou uma ferramenta útil para resolverem um problema com números
racionais, envolvendo o significado de medida e de parte-todo. Os alunos conseguem resolver
com sucesso o problema e explicar as estratégias seguidas, com base no modelo que
escolheram. Embora o seu uso revele graus de sofisticação e de apropriação diferentes entre
os vários grupos, verifica-se que todos conseguem reconhecer uma unidade de referência,
desenvolver estratégias para definir a subunidade e identificar uma relação entre a parte e o
todo. Para além disso, os grupos conseguem estabelecer e explicitar relações entre
representações dos racionais e, para a maioria, a barra é usada como suporte na explicitação
dessas relações. Estes resultados apontam no sentido das vantagens referidas por Bright et al.
(1988). Há, ainda, a realçar que alguns grupos utilizam várias representações e unidades de
medida, sem que isso os confunda. O modo flexível como utilizam a barra, não lhes cria o
constrangimento, por exemplo, de desenharem de modo exacto as suas partes, evidenciando
que mais do que uma representação de determinada quantidade, esta é um instrumento para
pensar.
Deste estudo, destaca-se também como aspecto significativo a variedade de estratégias
que os alunos empregaram, associadas a diferentes formas de olhar para a unidade, embora
socorrendo-se do mesmo modelo. Esta diversidade decorrerá, por um lado, das características
de flexibilidade do modelo, mas também da forma como a professora conduz os momentos de
discussão com toda a turma, nos quais, como ilustrámos, incentiva a partilha de estratégias,
questionando os alunos sobre as opções tomadas.
Alguns destes alunos começam já a usar a barra numérica com grande rigor de
representação, uma vez que fazem claramente a separação entre a representação das medidas
na parte superior da barra e das fracções e percentagens correspondentes em baixo. Esta
utilização da barra poderá indiciar relativa facilidade na transição para o trabalho com a linha
numérica dupla. Em alguns casos, os alunos usam simultaneamente fracções e percentagens
na parte inferior da barra, transmitindo deste modo uma imagem muito clara de utilização dos
números de forma flexível e do reconhecimento da relação entre as respectivas unidades.
Globalmente, os resultados apontam no sentido do que Van Galen et al. (2008), advogam
como sendo o papel do raciocínio numérico a partir da barra, ou seja, o reforço da
compreensão das relações entre as várias representações dos números racionais.
A abordagem das várias representações dos números racionais não foi efectuada de uma
forma isolada, na sequência de tarefas propostas. Tal como sugere o documento Principles
and standards for school mathematics (NCTM, 2000), foram dadas oportunidades aos alunos
para estabelecerem ligações entre as várias representações matemáticas. O conjunto das
quatro tarefas que os alunos realizaram, tendo a última sido o ponto central deste artigo,
foram fundamentais para uma melhor compreensão das várias representações dos números
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racionais e das suas relações. De facto, quando as tarefas encorajam os alunos, a utilizarem as
várias representações de um número racional de acordo com a parte da unidade pretendida,
estes passam a utilizar flexivelmente as fracções, percentagens e a representação decimal para
representar a mesma quantidade (Sweeney & Quinn, 2000).
No conjunto das tarefas propostas foi visível uma evolução na apropriação, por parte
dos alunos, da barra numérica, uma vez que nas três primeiras tarefas, a barra foi uma
ferramenta facultada directamente aos alunos como auxílio para concretizarem as situações
expressas nos problemas. Contudo, na tarefa analisada nesta comunicação verifica-se que a
maioria dos alunos recorre espontaneamente a este modelo para resolver o problema com que
se confrontam no decurso da aula. Embora, tratando-se de uma situação de medida e em que a
forma geométrica do espelho facilmente remete para a forma da barra, o uso eficiente da
mesma, permite-nos afirmar que aquela que começou como modelo de uma situação na
primeira tarefa proposta (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) foi apropriada como uma
ferramenta útil para os alunos, potencialmente evoluindo para um modelo para pensar, em que
fazem uso das várias representações dos números racionais.
Notas
1. Este estudo foi realizado no âmbito do Projecto Improving Mathematics
Learning in Numbers And Algebra, apoiado pela Fundação para a Ciência e a
Tecnologia - MCTES (PTDC/CED/65448/2006).
2. Agradecemos, com profundo reconhecimento, a colaboração da colega Irene
Segurado, enquanto professora da turma, nas várias etapas da realização deste
trabalho com os alunos.
5. Referências
Behr, M., Wachsmuth, I., & Post, T. (1985). Construct a Sum: A Measure of Children's Understanding
of Fraction Size. Journal for Research in Mathematics Education, 16(2), 120-131.
Behr, M. J., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational number, ratio, and proportion. In D. A.
Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, 296-333. New
York: Macmillan.
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