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1
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matemática
Apostila baseada na referência [1]
Teoria dos Números:
• Funções e Teoria de Conjuntos
• Relações de Equivalência
• Princı́pio de Indução Matemática
• Algoritmo da Divisão de Euclides
• Divisibilidade
• Sistema de Numeração
• Teorema Fundamental da Aritmética
• Equações Diofantinas
• Congruências
Prof: Dr. Felipe Rogério Pimentel
Data: Abril/2005
SUMÁRIO
1 Funções
1.1 Introdução histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemplos da Fı́sica e Quı́mica. Fórmulas matemáticas. Definição formal de Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mais exemplos de Funções . Comentários sobre a definição . Igualdade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Gráfico de uma função - Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora. Composição de Funções e
Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Função Sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Função Injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Função Bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.8 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.9 Imagem Direta e União de Conjuntos . . . . . . . . . . . . .
1.5.10 Imagem inversa e Interseção de conjuntos . . . . . . . . . . .
1.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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1
1
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2
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4
5
9
10
11
17
18
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19
21
21
22
24
25
26
29
32
33
42
50
ii
SUM
2 Relações de Equivalência
59
2.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Princı́pio da Indução
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 1a Forma do Princı́pio de Indução Matemática
3.2.1 Exemplo 5 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Exemplo 6 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Exemplo 7 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 2a Forma do Princı́pio de Indução . . . . . .
3.3.1 Demonstração do teorema 3 . . . . . .
3.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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67
67
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69
69
69
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73
74
75
76
77
78
4 Números Inteiros
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Operações em Z . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .
4.3 Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Exercı́cio . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .
4.4 Sistemas de Numeração . . . . . . . .
4.4.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .
4.5 Máximo Divisor Comum - MDC . . . .
4.5.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .
4.6 Teorema Fundamental da Aritmética .
4.7 O Crivo de Eratóstenes (276-194 a.C.)
4.8 Mı́nimo Múltiplo Comum - MMC . . .
4.9 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Equações Diofantinas . . . . . . . . . .
4.11 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Exercı́cios Complementares . . . . . .
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85
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92
94
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103
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5 Congruência
108
5.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
CAPÍTULO 1
Funções
1.1
Introdução histórica
O termo função é devido ao matemático alemão G. W. Leibniz (1646-1716), um
dos inventores do cálculo diferencial, que no entanto o usava num sentido muito
diferente do que usamos hoje para distinguir elementos geométricos de uma curva,
nos seus estudos sobre diferenciais.
A evolução do conceito até o que hoje entendemos como sendo uma função foi
penosa e durou mais de dois séculos. Hoje, este conceito é, sem dúvida, um dos mais
importantes da matemática, pela sua capacidade de unificar assuntos tão distantes
quanto, por exemplo a álgebra e o cálculo. O termo função está presente desde o
inı́cio da formação matemática dos nossos dias, bem como em todos os cursos de
cálculo, necessários à formação de um grande número de profissionais. No que se
segue vamos abordar o estudo das funções em seus múltiplos aspectos: histórico,
didático (como ensinar funções ?), formal (ou seja, a formalização moderna do conceito) e aplicado (as aplicações do conceito às ciências).
Como já dissemos, Leibniz, apesar de ter criado a palavra função , não a usou no
sentido que a conhecemos hoje. Foi talvez o inventor dos logaritmos, John Napier
(1550-1630), o primeiro a ter uma idéia mais ou menos clara do que hoje conhecemos
como função , contudo ele nunca usou esse termo.
Euler (1707-1783), foi quem primeiro definiu o termo função da seguinte maneira:
Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analı́tica composta
desta quantidade variável e de númerros ou quantidades constantes de uma maneira
arbritária.1
1
L. Euler, Introduction in Analysin Infinitorum, Vol. I, Opera Omnia, Leipzig, 1913, pag. 185).
1
2
1 FUNÇ
Por expressão analı́tica Euler entendia as operações algébricas como as entendemos hoje: exponenciação , multiplicação , soma, etc.
Mais tarde, em outra obra, Euler dá uma outra definição do termo que corresponde mais à noção intuitiva do que é uma função :
Se algumas quantidades dependem de outras quantidades de tal maneira que
quando as últimas sofrem mudanças as primeiras também sofrem, então as primeiras são chamadas funções das últimas.2
Somente no fim do século XIX é que o conceito de função aparece nos livros
textos como:
Uma função é uma lei que associa um número para cada número de um certo
domı́nio.3
A seguir vamos discutir alguns fenômenos fı́sicos para em seguida vermos como
o conceito de função pode ser utilizado para descrever tais fenômenos.
1.2
Exemplos da Fı́sica e Quı́mica. Fórmulas
matemáticas. Definição formal de Função .
Começaremos o estudo de funções com um exemplo da mecânica, a lei da queda
dos corpos, descoberta por Galileu (1564-1642) que afirma o seguinte: os espaços
percorridos por um corpo que cai são proporcionais aos quadrados dos tempos gastos
em percorrê-los. Isto significa que se um corpo cai, abandonado de uma posição de
repouso 0, percorrendo os espaços s1 , s2 , s3 , etc., nos tempos t1 , t2 , t3 , etc, respectivamente, então temos:
s1
s2
s3
= 2 = 2 = ···
2
t1
t2
t3
Quando o espaço s é medido em metros e o tempo t em segundos, o valor comum
destas razões é a metade da aceleração da gravidade g (g ' 9, 8m/s 2 ). Logo, é mais
fácil exprimir a lei de Galileu do seguinte modo:
1
s = gt2 ,
2
onde s representa, em metros, o espaço percorrido pelo corpo desde o instante t = 0
em que é abandonado na posição de repouso 0 até o instante genérico t em que se
observa o fenômeno. Dizemos então que s é função de t. É comum também dizer
que t é uma variável independente e s uma variável dependente.
2
3
L. Euler, Institutiones Calculi Differentialis, Op. Cit., Vol. 10, pag. 4.
H. Freudenthal, Mathematics as an educational task, Dosdrecht, 1973, pag. 388.
3
1 FUNÇ
Figura 1.1: Trajetória de um corpo que cai abandonado de um repouso
Outro exemplo de função é sugerido pela lei de Boyle e mariotte, que diz que, se
um gás é encerrado num recipiente e mantido a temperatura fixa, então o produto
do volume pela pressão é constante, i.e.,
pv = c = constante.
Trata-se de uma lei apenas aproximada, por isso mesmo chamada lei dos gases
perfeitos. Imaginando o gás encerrado num cilindro com um pistão , o volume
diminuirá e a pressão aumentará de modo a manter constante o produto pv. Podemos
exprimir a lei dos gases perfeitos escrevendo
p=
c
v
c
ou v = .
p
No primeiro caso estamos expressando a pressão como função do volume, e no segundo o volume como função da pressão .
Podemos também dar exemplos de várias fórmulas matemáticas já conhecidas
do ensino médio como: a área A de um cı́rculo de raio r, dada por A = πr 2 , é um
número que depende do valor de r, portanto função de r, e o comprimento C de um
cı́rculo de raio r dado por C = 2πr. a fórmula acima exprimi C como função de r.
Os exemplos dados acima são exemplos de funções numéricas, i.e., funções onde
as duas variáveis dependente e independente só assumem valores numéricos reais.
Depois daremos exemplos de outros tipos de funções como as funções complexas,
funções definidas no plano com valores no plano, etc.
Na lei de Galileu, s = gt2 /2, a variável independente t que representa o tempo
é sempre um número real positivo ou zero. Se um corpo em queda livre está a
4
1 FUNÇ
umap
altura h do solo, temos que o valor máximo da variável dependente s é h, logo
então que o fenômeno tem inı́cio no instante t = 0 e termina no
t ≤ 2h/g. Temos
p
instante t = 2h/g, quando s atinge o valor s = h. Logo para cada t no intervalo
n
o
p
p
[0, 2h/g] = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2h/g ,
onde R designa o conjunto dos números reais, temos um único valor para s no
intervalo
[0, h]. Dizemos então que a lei de Galileu determina uma função do intervalo
p
[0, 2h/g] no intervalo [0, h]. O primeiro intervalo é chamado domı́nio da função e
o segundo o contradomı́nio da função .
Passemos então à definição formal de Função :
Definição 1 Uma função f de A em B, que será denotada por f : A −→ B, consta
de três partes:
(I) Um conjunto A, chamado domı́nio da função , conjunto onde a função é
definida.
(II) Um conjunto B, chamado contradomı́nio da função , conjunto onde a função toma
valores.
(III) Uma regra que permite associar a cada elemento x do domı́nio A um único
elemento y, do contradomı́nio B, chamado imagem do elemento x pela função f, ou
o valor que a função f assume em x.
É costume escrever y = f (x) para indicar que y é o valor da função f em x e se
A e B são respectivamente o domı́nio e o contradomı́nio da função f, escreve-se
f : A −→ B.
x 7→ f (x) = y
A notação x 7→ f (x) é usada para indicar que f faz corresponder a x o valor f (x).
Muitas vezes diremos ”a função f ”ou ”a função y = f (x)”em vez de ”a função f :
A −→ B que associa a cada x ∈ A o valor y = f (x) ∈ B.”Neste caso ficam
subentendidos o conjunto A, domı́nio de f, e o conjunto B, contradomı́nio de f.
1.3
Mais exemplos de Funções . Comentários sobre
a definição . Igualdade de Funções .
Seja f : A −→ B uma função . A natureza da regra que nos ensina como obter
o valor f (x) ∈ B para um dado x ∈ A é inteiramente arbitrária a não ser pelas duas
condições abaixo:
5
1 FUNÇ
(1a ) Não pode haver exceções : afim de que f tenha o conjunto A como
domı́nio, a regra deve fornecer f (x) para todo x ∈ A.
(2a ) Não pode haver ambiguidades: a cada x ∈ A a regra deve fazer
corresponder um único f (x) ∈ B.
Abaixo usamos os chamados diagramas de Venn para dar uma visualização do
que dissemos acima.
Figura 1.2: Somente o diagrama do meio representa uma função de A em B. O
primeiro não representa uma função de A em B pois a (1a ) condição não é satisfeita
e o terceiro diagrama porque a (2a ) não é satisfeita.
1.3.1
Exemplos:
1. Sejam A = {0, 3, −3} e B = {0, 27, −27, 9} e f : A −→ B tal que f (0) =
0, f (3) = 27, f (−3) = −27. Temos uma função de A em B já que todas as condições da
definição de função estão satisfeitas. Aqui, o diagrama de Venn é uma boa maneira
de visualizar a função (veja Fig. 1.3).
2. Considere a função f : R −→ R dada por f (x) = 2x. Aqui o diagrama de
Venn não se mostra útil; uma boa maneira de se visualizar f é considerar o diagrama
da Fig. 1.4. Ele nos dá uma idéia da ação de f, que é uma dilatação .
3. Sejam A = [0, ∞) = {x ∈ R : x ≥ 0} e B = R. Nós já sabemos que dado
qualquer número real a ≥ 0, existe um número real b tal que b 2 = a. Tentemos
definir uma função f de A em B pela regra: dado x ∈ A, seja f (x) o número real
y tal que y 2 = x. Então terı́amos f (0) = 0 já que 02 = 0. Para x = 4 terı́amos
que f (x) seria o número real y tal que y 2 = 4. Mas aqui temos um problema pois
22 = (−2)2 = 4. Que valor escolhermos para f (4)? 2 ou -2? Vemos portanto que
6
1 FUNÇ
Figura 1.3:
a regra dada não determina uma função de A em B pois a (2a ) condição não é
satisfeita.
Figura 1.4:
4. Podemos resolver o problema surgido no exemplo anterior restringindo o
contradomı́nio da função . Considere então agora A = [0, ∞) e B = [0, ∞) e seja
f : A −→ B tal que b2 = a. Como dado qualquer número real a ≥ 0, existe um
número real b tal que b2 = a, temos que a (1a ) condição está satisfeita. Além disso,
dado um número real a > 0, existem exatamente dois números reais cujos quadrados
são iguais a a. Mas somente um deles é positivo, i.e., somente um deles está em B.
7
1 FUNÇ
Elimina-se assim a ambiguidade que tı́nhamos no exemplo anterior. Temos então por
exemplo4 , f (4) = 2.
Observação : Se a é um número
√ real maior do que ou igual a zero, define-se a
raiz quadrada de a, denotada por a, como o único número real√não negativo b tal
2
que b2 = a. Assim, apesar de termos 22 = (−2)√
= 4, temos que 4 = 2. A função f
do exemplo 4 pode ser expressa como f (x) = x.
5. Seja Q o conjunto dos números racionais. Tentemos definir uma função g :
Q −→ Q considerando a seguinte regra: a cada x ∈ Q faremos corresponder o
número g(x) ∈ Q tal que x g(x) = 1. esta regra não defini uma função de Q em Q
pois a (1a ) condição não é satisfeita já que dado 0 ∈ Q, não existe nenhum racional
y ∈ Q tal que 0y = 1 pois 0y = 0 qualquer que seja y. Entretanto se escolhermos
o conjunto A = {x ∈ Q : x 6= 0} , a regra acima define uma função de A em Q que
pode ser expressa por
f : A −→ Q.
x 7→ 1/x
5. Considere um quadrado A no plano com centro O. Se girarmos este quadrado
·O
de um ângulo de 90o no sentido antihorário, em torno do seu centro, o quadrado
mantém-se invariante, ou seja, todo ponto do quadrado é levado num ponto dele
f : A −→ A,
mesmo. Obtém-se assim uma função
onde f (x) é o ponto de A
x 7→ f (x)
obtido de x por uma rotação de 90o no sentido antihorário, em torno de O. Observe
que f é realmente uma função de A em A pois todo ponto de A é levado num ponto
de A por esta rotação e num único. Numerando os vértices de A podemos representar
a ação de f do modo como indicado na Fig. 1.5. De modo análogo podemos definir
as funções g : A −→ A e h : A −→ A correspondentes às rotações de 180o e 270o em
torno de O, no sentido antihorário (veja Fig. 1.6).
6. Em alguns livros de Cálculo você pode encontrar exercı́cios do tipo encontre
o domı́nio das funções :
y=
4
1
x−1
e y=
x2
1
.
+ 5x + 6
Note que alternativamente poderı́amos ter escolhido B = (−∞, 0], e, nesse caso, f (4) seria
igual a -2.
8
1 FUNÇ
Figura 1.5:
Como vimos, para caracterizar uma função não basta dar lei que a cada x faz corresponder um y. É preciso deixar claro o domı́nio e o contradomı́nio da função . Mas
muitas vezes está claro em qual contexto estamos trabalhando, em qual conjunto.
Assim, em Cálculo Diferencial, trabalhamos com o conjunto dos números reais.
Então quando se escreve: seja a função y = 1/(x−1) ou a função y = 1/(x 2 +5x+6)
Figura 1.6:
subentende-se que está-se falando de funções cujo contradomı́nio é R e cujo domı́nio
é o maior subconjunto de R no qual a expressão que define a função faz sentido.
9
1 FUNÇ
Então acima terı́amos as funções
f : {x ∈ R : x 6= 1} −→ R,
1
x 7→
x−1
g : {x ∈ R : x 6= −2, −3} −→ R.
x
7→
x2
1
+ 5x + 6
Num curso de variáveis complexas, onde o conjunto com o qual trabalhamos
é o conjunto dos números complexos, C, se escrevemos: ”considere a função w =
1/(z 2 + 1)”, estamos na verdade considerando a função
f : {z ∈ C : z 6= ±i} −→ C.
z
7→
z2
1
+1
7. Voltemos à função determinada pela lei da queda dos corpos. Temos
p
s : [0, 2h/g] −→ [0, h].
t 7→ 12 gt2
Em vez de termos considerado s com contradomı́nio [0, h] poderı́amos ter considerado s com contradomı́nio R ou [0, ∞). O que aconteceria é que estarı́amos tomando
um contradomı́nio maior do que o necessário, o que a definição de função não proı́be.
Mas a rigor terı́amos uma função diferente já que uma função é determinada pelo
seu domı́nio, contradomı́nio e pela regra que associa a cada elemento do domı́nio
um elemento do contradomı́nio. Vimos também que foi o problema fı́sico que determinou o domı́nio de s. Entretanto para qualquer número real t, a expressão 21 gt2 faz
sentido e determina um único número real. Poderı́amos então considerar a função :
S : R −→ [0, ∞).
t 7→ 21 gt2
Falamos acima de funções diferentes; gostarı́amos agora de precisar quando duas
funções são iguais ou equivalentemente quando são diferentes.
Definição 2 Dizemos que duas funções f : A −→ B e g : A0 −→ B 0 são iguais se
A = A0 , B = B 0 e f (x) = g(x) ∀x ∈ A = A0 .
1.3.2
Exemplos:
1. Como já tinhamos falado informalmente, as funções ,
p
p
s1 : [0, 2h/g] −→ R,
s : [0, 2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 12 gt2
t 7→ 12 gt2
são todas distintas.
S1 : R −→ R.
t 7→ 21 gt2
10
1 FUNÇ
Observação : Diz-se que S1 é uma extensão de s1 ou que s1 é uma restrição de
S1 . Isto porque o domı́nio de s1 é um subconjunto do domı́nio de S1 e para todo t
no domı́nio de s1 se tem s1 (t) = S1 (t).
2. Sejam A = [0, ∞);
f : A −→ R,
√
a
a 7→
g : A −→ R.
a 7→ 13 a +
2
3
Então f e g são funções distintas já que f (0) = 0 e g(0) = 2/3. Entretanto se
restringirmos f e g ao conjunto C = {1, 4}, obteremos duas funções iguais
f1 : C −→ R,
√
a 7→
a
g1 : C −→ R.
a 7→ 31 a +
2
3
pois f1 (1) = 1 = g1 (1) e f1 (4) = 2 = g1 (4), ou seja, f1 (x) = g1 (x), ∀x ∈ C.
3. Sejam
f : R −→ R,
x 7→ x − 3
g : R −→ R.
x2 − 5x + 6
x 7→
, se x 6= 2
x−2
2 7→ −1
x2 − 5x + 6
(x − 2)(x − 3)
=
= x − 3 = f (x)
x−2
x−2
e g(−2) = −1 = f (2), o que significa portanto que f (x) = g(x) ∀x ∈ R.
Então f e g são iguais pois se x 6= 2, g(x) =
1.4
Gráfico de uma função - Exemplos
Você já deve estar familiarizado com as coordenadas cartesianas no plano. Elas
fazem corresponder a cada ponto do plano um par ordenado de números reais.
Assim, na figura 1.7, ao ponto A corresponde o par ordenado (1/2, 1) e ao ponto B
o par ordenado (−3, 2). Observe que um ponto A do plano correspondente ao par
(x, y) é igual a um ponto A0 , correspondente ao par (x0 , y 0 ) ⇐⇒ x = x0 e y = y 0 .
Observe também que em geral o ponto A correspondente a (x, y) é diferente do
ponto A0 correspondente a (y, x). Na verdade eles são iguais se e somente se x = y.
Com a introdução das coordenadas cartesianas no plano, este poderá ser identificado com o conjunto dos pares ordenados de números reais, denotado por R 2 .
Dada uma função real de variável real (i.e., uma função cujo domı́nio é um
subconjunto de R e cujo contradomı́nio é R), você já sabe o que é o gráfico de f.
Vejamos alguns exemplos.
11
1 FUNÇ
Figura 1.7:
1.4.1
Exemplos:
1. seja f : R −→ R, f (x) = 2x. Você já sabe que o gráfico de f é uma reta
Figura 1.8:
passando pela origem (Fig. 1.8). Consideremos agora g : R −→ R, g(x) = x/2
e h : R −→ R, h(x) = 3x. temos que os gráficos de g e h são também retas pela
origem. façamos numa mesma figura (Fig. 1.9) os gráficos de f, g e h : Temos que
se k ≥ 0 é um número real qualquer e F : R −→ R, F (x) = kx, então o gráfico de
F é uma reta passando pela origem e sua inclinação é tanto maior quanto maior for
k. Se k < 0, temos retas do tipo dado na figura 1.10.
f : R −→ R.
Voltemos à função
Como podemos descrever o gráfico de f em
x 7→ 2x
termos de coordenadas cartesianas? Isto é, a que suconjunto de R 2 corresponde o
12
1 FUNÇ
Figura 1.9:
Figura 1.10:
13
1 FUNÇ
subconjunto do plano que é o gráfico de f ? O gráfico de f corresponde ao seguinte
subconjunto de R2 : {(x, y) ∈ R2 : y = 2x} que também pode ser escrito como
{(x, 2x) : x ∈ R}.
2. Sejam
s : [0,
p
2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 21 gt2
S1 : R −→ R.
t 7→ 12 gt2
Você já sabe que o gráfico de S1 é a parábola dada na figura
a seguir. O gráfico de
p
s é a parte da parábola correspondente ao intervalo [0, 2h/g].
Figura 1.11:
Os gráficos de S1 e s podem ser descritos em termos de corrdenadas cartesianas
p
1
1
como: {(x, y) ∈ R2 : y = gx2 } e {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 2h/g] e y = gx2 }, ou
2
2
p
1 2
1 2
alternativamente {(x, gx ) : x ∈ R} e {(x, gx ) : x ∈ [0, 2h/g]}.
2
2
O gráfico de uma função real de variável real é uma maneira de visualizar esta
função que em geral é muito útil. Olhando por exemplo o gráfico de s (Fig. 1.12)
vemos imediatamente que um corpo em queda livre cai muito mais vagarosamente
no princı́pio da queda do que no final:
3. A regra de sinais memorizada para se resolver uma inequação de segundo
grau fica clara se lembrarmos que o gráfico de uma função
f : R −→ R,
x 7→ ax2 + bx + c
onde a, b, c são números reais, é o do tipo exibido na Fig. 1.13
14
1 FUNÇ
Figura 1.12:
Figura 1.13: Em (a) temos a > 0 e em (b), a < 0.
15
1 FUNÇ
4. Seja v : (0, ∞) −→ R, p 7→ c/p, a função dada pela lei de Boyle Mariotte.
Você viu no curso de geometria analı́tica que o gráfico de v é uma hipérbole do
tipo da figura 1.14. Vemos no gráfico que se a pressão é baixa, pequenas variações de
pressão causam grandes variações de volume enquanto para pressões altas, grandes
variações de pressão causam pequenas variações de volume; ou seja, fica mais difı́cil
de diminuir o volume quando cresce a pressão .
Figura 1.14:
5. Sejam A = {0, 3, −3} e B = {0, −27, 27, 9} e f : A −→ B tal que f (0) =
0, f (3) = f (−3) = 27. O gráfico de f é: Mas neste caso o gráfico de f não é
Figura 1.15:
importante, não acrescenta nada.
16
1 FUNÇ
6. Seja f : [0, ∞) −→ R, x 7→
de f é
√
x. Você viu no seu curso de cálculo que o gráfico
Figura 1.16:
Vimos então que se A e B são subconjuntos de R, o gráfico de uma função f :
A −→ B pode ser visto como o subconjunto de R2 dado por
G(f ) := {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} = {(x, f (x) ∈ R2 : x ∈ A}.
Agora, dado um subconjunto G do plano, como podemos decidir se ele é o gráfico
de uma função real de variável real? Consideremos primeiro o seguinte exemplo:
vimos que a regra que associa a cada número real a ≥ 0 um número real b tal
que b2 = a não define uma função de [0, ∞) em R. Isto porque dado um número
real a > 0, existem dois números reais cujo quadrado é a. Tentemos entretanto, de
modo análogo ao que fazemos para traçar o gráfico de uma função , considerar o
subconjunto do plano constituı́do dos pares (x, y) com x ∈ [0, ∞) e y 2 = x. Teremos
como gráfico o da figura 1.17. O fato de que dado x > 0, existem dois números reais
y1 e y2 tais que y12 = y22 = x se traduz, no ”gráfico”, no fato de que a reta vertical
passando por (x, 0) encontra o ”gráfico”em dois pontos: (x, y 1 ) e (x, y2 ). Resolvemos
este problema restringindo o contradomı́nioa [0, ∞). Isto corresponde a eliminar a
parte de baixo do desenho acima acabando com o problema de a reta vertical por
(x, 0) encontrar o ”gráfico”em dois pontos. Por outro √
lado, considere o gráfico (veja
Fig. 1.16) da função f : [0, ∞) −→ R tal que f (x) = x
Fica claro, vendo-se o desenho, que se este for o gráfico de uma função f real
de variável real, o domı́nio desta função não contém nenhum número real negativo,
pois a nenhum número negativo corresponde uma imagem f (x). Este fato pode ser
visto no gráfico através do fato de que uma reta vertical passando por (x, 0), onde
x < 0, não corta o gráfico.
Esperamos que através destes dois exemplos fique claro que a resposta à pergunta
formulada é a seguinte
17
1 FUNÇ
Figura 1.17:
Definição 3 Um subconjunto G do plano é o gráfico de uma função f : A −→ B
real de variável real se, e somente se, as duas seguintes condições , correspondentes
às condições dadas no inı́cio da seção 1.3, estão satisfeitas:
(1a ) Se x ∈ A, a reta vertical por (x, 0) deve interceptar G,
(2a ) Se x ∈ A, a reta vertical por (x, 0) não pode interceptar G em mais
de um ponto.
1.4.2
Exemplos
Figura 1.18:
18
1 FUNÇ
Considere os seguintes subconjuntos do plano (Fig. 1.18). Em (a) e (d) não temos
o gráfico de uma função pois a (2a ) condição não está satisfeita. Em (c) temos o
gráfico de uma função de R em R. Em (b) temos o gráfico de uma função de A em
R, desde que A = {x ∈ R : −5 ≤ x ≤ 0 ou x = 3}.
Vamos agora generalizar a noção de gráfico de uma função qualquer. O produto
cartesiano dos conjuntos U e V, denotado por U ×V, é o conjunto dos pares ordenados
(u, v) com u ∈ U e v ∈ V. Assim
U × V := {(u, v) : u ∈ U e v ∈ V }.
Se U = V denotaremos U × U por U 2 .
Definição 4 Sejam A e B subconjuntos de U e V respectivamente e f : A −→ B
uma função dada. O gráfico de f é o subconjunto de U × V constituı́do dos pares
ordenados (a, b) tais que b = f (a) para todo a ∈ A. Então denotando o gráfico de f
por G(f ) temos:
G(f ) = {(a, b) ∈ U × V : a ∈ A e b = f (a)} = {(a, f (a)) ∈ U × V : a ∈ A}.
1.4.3
Exemplos:
1. Considere a função
f : R2 −→ R.
(x, y) 7→ x2 + y 2
O gráfico de f é um subconjunto de
Figura 1.19:
R2 × R = {((x, y), z) : (x, y) ∈ R2 e z ∈ R},
19
1 FUNÇ
o que pode ser identificado com R3 , o conjunto das triplas ordenadas de números
reais. Com a introdução das coordenadas cartesianas no espaço, podemos identificar
este com R3 . Assim, podemos considerar o gráfico de f como um subconjunto do
espaço. Você viu no seu curso de cálculo que o gráfico de f é o parabolóide da figura
1.19.
2. Seja
f : R2 −→ R2 .
(x, y) 7→ (x + y, x − y)
Aqui, o gráfico de f é um subconjunto de R2 × R2 , que pode ser identificado com
R4 . Neste caso, o gráfico de f não pode ser desenhado e não nos ajuda muito na
visualização da função . Veremos mais na frente uma maneira melhor de visualizar
f. De qualquer jeito, o gráfico de f é o conjunto {((x, y), (z, w)) ∈ R 2 × R2 : z =
x + y e w = x − y}.
Observações :
(1) Quando um subconjunto de R3 é o gráfico de uma função f : A ⊂
R2 −→ R?
(2) Duas funções f, g : A −→ B são iguais se, e somente se, seus gráficos
são iguais.
1.5
Função Sobrejetora, Injetora e Bijetora.
Composição de Funções e Função Inversa
Consideremos novamente a função dada pela lei da queda dos corpos
p
s : [0, 2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 12 gt2
onde s(t) é a distância percorrida pelo corpo desde o instante t = 0 em que é
abandonado na posição de repouso 0, até o instante genérico t. A pergunta: qual
a distância percorrida pelo corpo transcorridos t0 segundos após a sua queda? é
facilmente respondida, bastando substituir t por t0 na expressão de s(t), que nos dá
1 2
gt . Mas consideremoos a seguinte pergunta: se o corpo percorreu uma distância s 0
2 0
desde a posição de repouso 0, quanto tempo se passou do momento de sua queda?.
Pararrespondê-la é preciso achar t em função de s. r
Neste caso é fácil ver que
2s
2s0
t=
e a resposta à 2a pergunta é então dada por
. Obtemos assim uma
g
g
função
p
t : [0, h] −→ [0,
p 2h/g],
s 7→
2s/g
20
1 FUNÇ
que nos permite responder a 2a pergunta tão facilmente quanto a 1a .
Qual a caracterı́stica desta função ? Ela ”desfaz”o que a função s ”faz”. Uma
”aplicada”depois da outra ”anula o efeito da primeira”. Ou seja, se dado um tempo
t0 , calcula-se a distância s0 que o corpo está (da posição de repouso 0) neste instante
(i.e., s0 = s(t0 )) e então t(s0 ) = t0 , que é o tempo que o corpo gasta para percorrer a
distância s0 . Reciprocamente, se dada uma distância s0 calcula-se o tempo t0 gasto
pelo corpo para percorrer esta distância (i.e., t(s0 ) = t0 ) então s(t0 ) = s0 , que é a
distância percorrida pelo corpo até o instante t0 .
Não fomos muito cuidadosos ao dizer que tinhamos uma função t : [0, h] −→
p
[0, 2h/g]. Deverı́amos ter verificado que t é realmente uma função . Mas este é
realmente o caso pois a cadapvalor s do intervalo [0, h] corresponde pela t, exatamente
um valor t do intervalo [0, 2h/g].
Suponha que em vez da função s tivéssemos considerado a função
p
s1 : [0, 2h/g] −→ R.
t 7→ 21 gt2
p
Aqui terı́amos dificuldades para determinar uma função t 1 : R −→ [0, 2h/g] com
as caracterı́sticas da função t acima. p
O problema provem do fato que nem todo valor
de R é p
imagem de um número em [0, 2h/g]. Como o valor máximo dep
s1 (t) quando
t ∈ [0, 2h/g] é h, não é possı́vel encontrar o tempo gasto, t0 , em [0, 2h/g], para
percorrer, por exemplo, a distância s0 = 2h.
Se tivéssemos considerado a função
S : R −→ [0, ∞)
t 7→ 21 gt2
terı́amos um outro tipo de problema para determinar uma função T : [0, ∞) −→ R
com as caracterı́sticas desejadas. Este segundo problema provém do fato de que
certos valores do intervalo [0, ∞) são imagens de dois valores de R. Por exemplo,
como definir T (2g)? Como S(2) = 2g deverı́amos ter T (2g) = 2. Por outro lado
S(−2) = 2g e deverı́amos ter portanto T (2g) = −2. Mas então T não seria uma
função .
Gostarı́amos agora de precisar o que foi dito anteriormente: dada uma função f :
A −→ B, vamos então definir a inversa de f, que será a função que ”desfaz”o que
a função ”faz”. Vimos que ao tentar achar uma tal função poderı́amos encontrar
dificuldades tais como as apresentadas pelas funções s1 e S. Então nos restringiremos
às funções que não apresentem tais dificuldades e que vão ser chamadas, respectivamente, de funções sobrejetoras e injetoras. Para se definir a função inversa vamos
também ter de dar um sentido preciso à frase: ”aplicar uma função após a outra”.
21
1 FUNÇ
1.5.1
Função Sobrejetora
A dificuldade apresentada pela função s1 é que ela não ”preenche”todo o contradomı́nio R e assim quando tentamos achar uma inversa t1 para s1 vimos que a regra
que define t1 teria que ter excessões , o que a definição de função não permite. Assim, para se definir a inversa, é desejável que a função considerada ”preencha”todo o
seu contradomı́nio. Uma função que possui esta propriedade é chamada sobrejetora
ou sobrejetiva ou simplesmente sobre. Formalmente temos a seguinte
Definição 5 Dada uma função f : A −→ B dizemos que f é sobrejetora se para
todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y.
1.5.2
Exemplos:
1. A função f : R −→ R definida por f (x) = 2x + 3 é sobrejetora, pois dado
y−3
y−3
) + 3, isto é y = f (x) para x =
∈ R.
y ∈ R podemos escrever y = 2(
2
2
2
2. A função f : R −→ R definida por f (x) = x não é sobrejetora pois, por
exemplo, -2 não é imagem de nehum x ∈ R já que x2 é não negativo para todo
x ∈ R.
Assim, uma função f : A −→ B deixa de ser sobrejetora quando ela não ”preenche”todo B, i.e., quando o conjunto dos pontos de B que são imagens de algum
elemento de A, não é o conjunto B todo mas um subconjunto próprio de B.
O conjunto dos pontos de B que são imagem de algum elemento de A tem um
nome especial, é chamado a imagem de f e é denotado por f (A) ou Im(f ). Assim
f (A) := {f (a) : a ∈ A} = {b ∈ B : b = f (a) para algum a ∈ A}.
Então a função f : A −→ B é sobrejetora se, e somente, f (A) = B. Para mostrar que
f é sobrejetora devemos então mostrar que os dois conjuntos f (A) e B são iguais.
E quando dois conjuntos X e Y são iguais? Eles são iguais se possuem os mesmos
elementos, i.e., se todo elemento de X é elemento de Y e vice versa, ou seja X ⊂ Y e
Y ⊂ X. Como no caso de uma função f : A −→ B qualquer temos sempre f (A) ⊂ B
(veja a definição do conjunto f (A) para se convencer disso), então
para que f seja sobrejetora basta verificar que B ⊂ f (A).
A função f deixará de ser sobrejetora se B 6⊂ f (A). Dados dois conjuntos X e
Y como fazemos para mostrar que X 6⊂ Y ? Basta mostrar que nem todo elemento
de X é elemento de Y, i.e., basta exibir um elemento x de X tal que x 6∈ Y. Assim,
B 6⊂ f (A) se existir b ∈ A tal que b 6= f (a) para todo a ∈ A.
O diagrama abaixo representa uma função f : A −→ B que não é sobrejetora.
22
1 FUNÇ
Figura 1.20:
1.5.3
Exemplos:
1. Como já foi visto a função f : R −→ R definida por f (x) = 2x + 3 é
sobrejetora. Para provar que f (R) = R temos que mostrar que todo elemnto y de
R está em f (R), ou seja, é imagem de algum elemento x de R. Já vimos que basta
y−3
y−3
tomar x como sendo x =
pois f (
) = y.
2
2
2. Já vimos também que a função f : R −→ R definida por f (x) = x 2 não é
sobrejetora, pois −2 ∈ R mas −2 6∈ f (R). Na verdade temos que f (R) = [0, ∞) ( R.
Para tornar f sobrejetora, bastaria restringirmos o contradomı́nio de f , i.e.,
considerarmos a função f1 : R −→ [0, ∞) dada por f1 (x) = x2 . A função f1 é
Figura 1.21:
sobrejetora pois f1 (R) = [0, ∞) já que qualquer elemento y de [0, ∞) é imagem,
23
1 FUNÇ
√
√
por f1 , de dois elementos x1 , x2 de R a saber x1 = y ou x2 = − y. Ou seja, a
sobrejetividade de f1 é garantida pelo fato de todo número real não negativo ter
uma raiz quadrada.
Observações :
(1) Sejam A e B subconjuntos de R e f : A −→ B uma função . A
função f : A −→ B é sobrejetora ⇐⇒ qualquer reta horizontal Y = b,
onde b ∈ B, intercepta o seu gráfico. (Observe os gráficos acima).
(2) Se f : A −→ B é uma função qualquer então a restrição f1 : A −→
f (A) é sempre sobrejetora.
Figura 1.22:
(3) Observe que para mostrarmos que uma função f não é sobrejetora
basta exibirmos um elemento do contradomı́nio que não seja imagem de
nenhum elemento do domı́nio. No entanto para mostrarmos que uma
função é sobre, devemos mostrar que todos elementos do contradomı́nio
são imagem de algum elemento do domı́nio. A verificação de que uma
função é sobre implica em demonstrar a existência de objetos satisfazendo certas condições . Assim o fato de a função f1 : R −→ [0, ∞) dada
por f1 (x) = x2 ser sobrejetora se traduz no fato de todo número real
não negativo possuir uma raiz quadrada.
Exemplo: Seja p um polinômio não constante de coeficientes complexos. A cada
número complexo z associaremos o valor p(z) do polinômio p em z. Isto define uma
função p : C −→ C onde C é o conjunto dos números complexos. A afirmação de
que f é sobrejetora é equivalente ao chamado
Teorema Fundamental da Álgebra, segundo o qual todo poliômio
comlexo não constante possui pelo menos uma raiz complexa
24
1 FUNÇ
Para demonstrarmos esta afirmação , suponhamos primeiro que p : C −→ C é
sobrejetora. Assim, dado 0 ∈ C deve existir algum z0 ∈ C tal que p(z0 ) = 0. O
número z0 é portanto uma raiz de p.
Reciprocamente, admitindo que todo polinômio não constante possui uma raiz
complexa, podemos provar que p : C −→ C é sobrejetora. De fato, dado c ∈ C a
função z 7→ p(z) − c define um polinômio não constante, a saber q(z) = p(z) − c.
Logo, existe z0 ∈ C tal que q(z0 ) = p(z0 ) − c = 0, ou seja p(z0 ) = c e portanto p é
sobrejetora.
1.5.4
Função Injetora
1 2
gt
2
é que existem valores no intervalo [0, ∞) que são imagem de mais de um elemento
de R e assim, quando tentamos definir uma inversa T para S a regra que define T
apresentaria ambiguidades (já que S(2) = S(−2) = 2g, então T (2g) = 2 ou − 2?)
o que a definição de função não permite.
Assim, para definir a inversa de uma função f, é necessário que as imagens,
pela função f, de elementos distintos do domı́nio sejam distintas. Uma função que
possui esta propriedade é chamada uma função injetora ou injetiva. Temos então a
seguinte:
A dificuldade apresentada pela função S : R −→ [0, ∞), definida por S(t) =
Definição 6 Dada uma função f : A −→ B, dizemos que f é injetora se x 6= y
em A implicar f (x) 6= f (y) em B. Em outras palavras, f é injetora se dados x e y
em A então f (x) = f (y) implicar x = y.
Uma função f : A −→ B deixa de ser injetiva quando elementos distintos de A
tem imagens iguais em B.
O diagrama de venn abaixo representa uma função f : A −→ B que não é
injetora.
25
1.5.5
1 FUNÇ
Exemplos:
1. A função ”soma de dois números inteiros”g : Z × Z −→ Z, g(m + n) = m + n,
não é injetora pois (2, 3) 6= (3, 2) e g(2, 3) = g(3, 2) = 5. Na verdade, como u + v =
v + u quaisquer que sejam os números inteiros u e v temos que g(u, v) = g(v, u) para
quaisquer u e v em Z e no entanto (u, v) 6= (v, u) sempre que u 6= v. Além disso,
sabemos também que 2+3 = (2−1)+(3+1) = (2−2)+(3+2) = (2−3)+(3+3) = . . .
o que implica g(2, 3) = g(1, 4) = g(0, 5) = g(−1, 6) = . . . .
Note que g é sobrejetora pois dado m ∈ Z temos, p.ex., que g(0, m) = g(m, 0) =
m. O fato de g ser sobrejetora se traduz na afirmativa de que todo número inteiro
pode ser expresso como a soma de dois outros números inteiros (em uma infinidade
de maneiras distintas).
2. A função f : R −→ R definida por f (x) = 2x+3 é injetiva pois se f (x) = f (y)
então 2x + 3 = 2y + 3, o que implica 2x = 2y e, então , x = y.
3. A função f : R −→ R definida por f (x) = x2 não é injetora pois 4 6= −4
e f (4) = f (−4) = 16. Na verdade, se a é um número real qualquer, não nulo,
então a 6= −a e f (a) = f (−a) (i.e., a2 = (−a)2 ). Para tornar f injetora, bastaria
restringirmos o domı́nio de f, i.e., considerarmos , p.ex., a função F : [0, ∞) −→ R
dada por F (x) = x2 . Para mostrarmos que F é injetora precisamos provar que se
F (a) = F (b), onde a, b ∈ [0, ∞), então a = b. Com efeito, sejam a, b ∈ [0, ∞) tais
que F (a) = F (b), i.e., a2 = b2 . Mas, a2 = b2 =⇒ a2 − b2 = 0 =⇒ (a − b)(a + b) =
0 =⇒ a − b = 0 ou a + b = 0 =⇒ (i)a = b, ou (ii)a = −b. Como a, b ≥ 0 temos
a = −b ⇐⇒ a = 0 e b = 0 então (ii) é a única possibilidade que pode ocorrer, i.e.,
a = b. Alternativamente poderı́amos tornar f injetora restringido o domı́nio de f ao
conjunto (−∞, 0], e a função assim obtida,
Figura 1.23:
26
1 FUNÇ
F̃ : (−∞, 0] −→ R
x 7→ x2
é injetora. Os gráficos destas funções estão dados na figura 1.23.
Observação : Sejam A, B ⊂ R e f : A −→ B. A função f é injetora se, e somente se, qualquer reta horizontal interceptar seu gráfico em no máximo um ponto.
Figura 1.24: Em (a) f é injetora e em (b) g não é injetora.
4. A função h : R2 −→ R2 definida por h(x, y) = (x + 3, y + 4) é injetiva. Com
efeito, se h(x, y) = h(x0 , y 0 ) então (x + 3, y + 4) = (x0 + 3, y 0 + 4) =⇒ x + 3 =
x0 + 3 e y + 4 = y 0 + 4 =⇒ x = x0 e y = y 0 =⇒ (x, y) = (x0 , y 0 ) como querı́amos
mostrar.
1.5.6
Função Bijetora
Para encontrarmos uma inversa para a função f é necessário que esta seja injetora
e sobrejetora simultaneamente. Daremos um nome especial para este tipo de função .
Definição 7 Dada uma uma função f : A −→ B, dizemos que f é bijetora se f é
injetora e sobrejetora.
Exemplos:
1. A função f : R −→ R, f (x) = 2x+3, é bijetora como já vimos anteriormente.
2. A função f : R −→ R, f (x) = x2 , não é bijetora (pois não é injetora e nem
sobre). Entretanto se restringirmos convenientemente o domı́nio e o contradomı́nio
de f é possı́vel obter uma função bijetora, dada por
f˜ : [0, ∞) −→ [0, ∞).
x 7→ x2
27
1 FUNÇ
Verifique isso.
Observação 1. Toda função injetiva é bijetiva sobre o seu conjunto imagem.
Em outras palavras, se f : A −→ B é injetiva então f˜ : A −→ f (A), tal que
f˜(x) = f (x) ∀x ∈ A, é bijetiva.
Observação 2. Combinando as observações feitas anteriormente para funções injetoras e sobrejetoras obtemos o seguinte resultado: Sejam A, B ⊂ R e f : A −→ B.
A função f é bijetora se, e somente se, qualquer reta horizontal Y = b, onde b ∈ B,
interceptar seu gráfico em exatamente um ponto.
3. O gráfico da função g : R −→ R, g(t) = t3 é dado a seguir. Pela ob-
Figura 1.25:
servação anterior, temos que g é bijetora.
∗∗∗
Consideremos novamente a função
p
s : [0, 2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 12 gt2
dada pela lei da queda dos corpos e tentemos responder à seguinte pergunta:
Se o corpo percorrer uma distância s0 , desde a posição de repouso 0,
quanto tempo terá se passado desde o momento de sua queda?
28
1 FUNÇ
Vimos que podı́amos obter uma função
p
t : [0, h] −→ [0,
p 2h/g],
2s/g
s 7→
que nos permitia responder facilmente a esta pergunta, e que t era a ”inversa”da
função s. Dissemos informalmente que ”t aplicada após s desfazia o que a função s
fazia”. Vimos também que funções não injetivas como S e não sobrejetivas como
s1 , apresentavam problemas ao se tentar achar suas inversas.
Antes de precisar o sentido da frase aplicar uma função após a outra e de dar a
definição de função inversa, vejamos outro exemplo. Seja
f : [0, ∞) −→ [0, ∞).
x 7→ x2
Temos que f é uma função bijetiva. Assim, a cada y ∈ [0, ∞) existe um (pois
f é sobre) e somente um (pois f é injetiva) x ∈ [0, ∞), tal que f (x) = y. Podemos
então definir uma função g : [0, ∞) −→ [0, ∞) que associa a cada y ∈ [0, ∞) o único
x ∈ [0, ∞) tal que f (x) = y. Sabemos que dado y ∈ [0, ∞) o único x de [0, ∞) tal
√
que x2 = y é denominado raiz quadrada de y e denotado por y. Temos então que
a função g é dada por
g : [0, ∞) −→ [0, ∞).
√
y
y 7→
Tomando x0 ∈ [0, ∞) e calculando f (x0 ), obtemos x20 ∈ [0, ∞). Logo podemos
calcular g(x20 ) e temos
q
g(x20 ) = x20 = |x0 | = x0
já que x0 ∈ [0, ∞). Em outros termos, g(f (x0 )) = x0 .
Figura 1.26:
29
1 FUNÇ
Analogamente, tomando y0 ∈ [0, ∞) e calculando g(y0 ) temos g(y0 ) =
[0, ∞). Podemos então calcular f (g(y0 )) e obtemos
√
f (g(y0 )) = f (y0 ) = ( y0 )2 = y0 .
√
y0 ∈
Veremos que esta propriedade de g a caracteriza como inversa de f.
1.5.7
Composição de Funções
Definição 8 Sejam f : A −→ B e g : B −→ C funções . Define-se a função composta
h = g ◦ f : A −→ C por
h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Em outros termos aplica-se primeiro f e depois g.
Figura 1.27:
Exemplos:
1. Sejam
p
s : [0, 2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 21 gt2
Então s ◦ t : [0, h] −→ [0, h] é tal que
(s ◦ t)(s0 ) = s
p
t : [0, h] −→ [0,
r 2h/g].
2s
s 7→
g
r
2s0
g
= s0
30
1 FUNÇ
e t ◦ s : [0,
p
2h/g] −→ [0,
p
2h/g] é tal que
1 2
gt = t0 .
(t ◦ s)(t0 ) = t
2 0
Observação : Dado um conjunto A qualquer podemos definir uma função f :
A −→ A por f (x) = x. A função f é chamada a função identidade no conjunto A e
denotada por idA , ou simplesmente id se estiver claro qual é o domı́nio da função .
Note que a função idA é uma bijeção para qualquer conjunto A. No exemplo acima
temos s ◦ t = id[0,h] e t ◦ s = id[0,√2h/g] .
2. Sejam
f : [0, ∞) −→ [0, ∞),
x 7→ x2
g : [0, ∞) −→ [0, ∞).
√
y 7→
y
Então
f ◦ g : [0, ∞) −→ [0, ∞),
y 7→ y
g ◦ f : [0, ∞) −→ [0, ∞),
x 7→ x
ou seja,
f ◦ g = id[0,∞)
e g ◦ f = id[0,∞) .
3. Sejam f, g : R −→ R dadas por f (x) = 2x + 3 e g(x) = x2 . Podemos definir
as compostas f ◦ g, g ◦ f : R −→ R e teremos:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 ) = 2x2 + 3
e
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9.
Vemos assim que mesmo quando ambas as compostas f ◦ g e g ◦ f estão definidas,
se tem em geral f ◦ g 6= g ◦ f.
OBSERVAÇÃO
Na verdade para que se possa definir a composta de duas funções f : A −→ B e
g : C −→ D não é necessário que tenhamos B = C; basta que se tenha f (A) ⊆ C
pois neste caso f (x) ∈ C, ∀ x ∈ A e podemos então calcular g(f (x)) ∀ x ∈ A.
2
√4. Sejam f : R2 −→ R e g : [2, ∞) −→ R 2dadas por f (x) = x + 2 e g(x) =
x − 2. Como x ≥ 0, ∀ x ∈ R, temos que x + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R. Portanto f (x) ∈
31
1 FUNÇ
Figura 1.28: Diagrama representando a composição de duas funções
[2, ∞) ∀ x ∈ R e então f (R) ⊂ [2, ∞). Logo podemos considerar a composta g ◦ f :
R −→ R e ela é dada por
√
p
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = (x2 + 2) − 2 = x2
Exercı́cios:
I. É verdade que no exemplo 4 acima (g ◦ f )(x) = x ∀ x ∈ R?
II. Verifique que no exemplo 4 acima, f (R) = [2, ∞).
5. Sejam
f : R −→ R,
x 7→ 2x + 3
g : [0, ∞) −→ R.
√
x
x 7→
Neste caso não podemos definir a composta g◦f pois como vimos f (R) = R 6⊂ [0, ∞).
Entretanto podemos restringir o domı́nio da função f de modo a ser possı́vel definir
a função composta g ◦ f. Para isto devemos encontrar A ⊆ R tal que para todo
x ∈ A tenhamos f (x) ∈ [0, ∞). Como f (x) = 2x + 3 e 2x + 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −3/2,
se considerarmos a restrição de f,
f1 = f |[−3/2,∞) : [−3/2, ∞) −→ R,
x 7→ 2x + 3
podemos fazer a composição
g ◦ f1 : [−3/2, ∞) −→ R,
√
x 7→
2x + 3
32
1 FUNÇ
Figura 1.29:
1.5.8
Função Inversa
Agora estamos em condições de definir formalmente a função inversa.
Definição 9 Dada uma função f : A −→ B, dizemos que f é inversı́vel se existe
uma função g : B −→ A, tal que
g ◦ f = idA
e f ◦ g = idB .
A função g é chamada inversa de f e é denotada por f −1 .
Exemplos:
1. Dadas
p
s : [0, 2h/g] −→ [0, h],
t 7→ 21 gt2
p
t : [0, h] −→ [0,
r 2h/g],
2s
s 7→
g
vimos que s ◦ t = id[0,h] e t ◦ s = id[0,√2h/g] , logo s e t são inversı́veis e uma é a
inversa da outra.
2. Se
f : [0, ∞) −→ [0, ∞),
x 7→ x2
g : [0, ∞) −→ [0, ∞),
√
y
y 7→
então f ◦ g = id[0,∞) e g ◦ f = id[0,∞) e portanto f e g são inversı́veis e uma é
inversa da outra.
Vimos nos casos dos exemplos particulares estudados que uma função não bijetiva
apresentava problemas ao se tentar achar a sua inversa. O teoreema abaixo nos
mostra que realmente só as funções bijetivas são inversı́veis.
33
1 FUNÇ
Teorema 1 Seja f : A −→ B uma função . Então f é inversı́vel se, e somente se,
f é bijetiva.
Demonstração : 1a parte.
Hipótese: f : A −→ B é inversı́vel; Tese: f é bijetora.
Por Hipótese temos que f é inversı́vel e portanto existe g : B −→ A tal que
g ◦ f : A −→ A,
x 7→ x
f ◦ g : B −→ B.
y 7→ y
Mostremos primeiro que f é injetiva. Sejam então x1 , x2 ∈ A e suponhamos f (x1 ) =
f (x2 ). Queremos mostrar que se tem necessariamente x1 = x2 . Mas
x1 = (g ◦ f )(x1 ) = g(f (x1 )) = g(f (x2 )) = (g ◦ f )(x2 ) = x2 .
Assim obtemos x1 = x2 e concluı́mos que f é injetiva. Agora mostremos que f
é sobrejetiva. Queremos mostrar então que dado y ∈ B, existe x ∈ A tal que
f (x) = y. Mas y = (f ◦ g)(y) = f (g(y)) e assim, basta tomarmos x = g(y).
2a parte.
Hipótese: f : A −→ B é bijetora; Tese: f é inversı́vel.
Mostremos que existe g : B −→ A tal que f ◦ g = idB e g ◦ f = idA . Dado
y ∈ B, existe (porque f é sobrejetora) um único (porque f é injetora) x ∈ A tal
que f (x) = y. Assim, a regra que associa a cada y ∈ B o único x ∈ A tal que
f (x) = y, define realmente uma função g : B −→ A dada por
g(x) = y
⇐⇒
f (x) = y.
Temos então
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x
e
(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y.
Portanto f é inversı́vel e g = f −1 .
1.5.9
Imagem Direta e União de Conjuntos
Em geral, como já vimos, muitas informações a respeito de uma função podem
ser obtidas analisando-se o seu gráfico. No caso de uma função f : R −→ R já vimos
34
1 FUNÇ
que podemos saber se ela é injetiva ou sobrejetiva (e portanto se ela possui inversa)
através do exame de seu gráfico.
Para uma função g : R2 −→ R2 não podemos assim proceder, simplesmente
porque não é possı́vel esboçar o gráfico de tal função . Ainda assim, contudo,
informações importantes a respeito da função podem ser obtidas ao se estudar como
ela atua sobre subconjuntos particulares do seu domı́nio. Para isto damos a seguinte
Definição 10 Dados uma função f : A −→ B e um subconjunto Ω de A, a
imagem de Ω pela função f é o conjunto f (Ω) formado pelos valores f (x) que f
assume nos pontos x de Ω. Isto é
f (Ω) := {f (x) : x ∈ Ω} = {y ∈ B : y = f (x) para algum x ∈ Ω}
Evidentemente, f (Ω) é um subconjunto de f (A) e, consequentemente, também um
subconjunto de B. Quando Ω = A, f (Ω) é o conjunto imagem de f definido anteriormente.
Figura 1.30: f (Ω) ⊂ f (A) ⊂ B
Exemplos:
1. Sejam f : R −→ R e g : N −→ N funções dadas por f (x) = 2x + 3 e
g(n) = n2 . Então
f ([−2, 2]) = {2x + 3 : x ∈ [−2, 2]} = [−1, 7]
pois: −2 ≤ x ≤ 2 ⇐⇒ −4 ≤ 2x ≤ 4 ⇐⇒ −4 + 3 ≤ 2x + 3 ≤ 4 + 3 ⇐⇒ −1 ≤
2x + 3 ≤ 7. Para a função g nós temos g({1, 2, 3}) = {1, 4, 9}.
35
1 FUNÇ
Figura 1.31:
2. Seja π : R2 −→ R2 a projeção sobre o eixo dos x0 s, i.e., π(x, y) = (x, 0).
(2.a) Se Ω é a reta vertical dada pela equação x = a então π(Ω) =
{(a, 0)}. (Prove isso!)
(2.b) Se Ω é a reta horizontal dada pela equação y = b então π(Ω) =
eixo dos x’s.
(2.c) Se Ω = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + b}, mostre que π(Ω) também é o
eixo dos x’s.
(2.d) Seja Ω a hipérbole dada por Ω = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}. Claramente π(Ω) está contido no eixo dos x’s. Entretanto estes dois conjuntos
não são iguais pois a origem O = (0, 0) não é imagem de nenhum elemento de Ω (Todos os pontos de Ω têm a 1a coordenada diferente de
zero). Na verdade temos π(Ω) = eixo dos x’s menos a origem. Mostremos primeiro que π(Ω) está contido no eixo dos x’s menos a origem: com
efeito, se Q ∈ π(Ω) então existe P = (x, y) ∈ Ω tal que Q = π(P ).
Como P = (x, y) ∈ Ω então xy = 1 =⇒ x 6= 0. Logo Q = π(P ) = (x, 0)
com x 6= 0, donde se conclui que Q 6= O. Com isto mostramos que
π(Ω) ⊂ eixo dos x’s menos a origem.
Reciprocamente, se Q = (x, y) é um ponto do eixo dos x’s, diferente da
origem, então y = 0 e x 6= 0, i.e., Q = (x, 0), x 6= 0. Logo Q = (x, 0) =
π(x, 1/x). Com isto mostramos que eixo dos x’s menos a origem ⊂ π(Ω).
36
1 FUNÇ
Figura 1.32:
3. Consideremos
f : R2 −→ R2 .
(x, y) 7→ (2x, 2y)
Se P = (x0 , y0 ) então f (P ) = (2x0 , 2y0 ); ou usando a notação vetorial temos que se
v = (x0 , y0 ) então f (v) = 2v5 .
Figura 1.33:
5
aqui identificamos cada ponto X = (x, y) do plano xOy com o vetor v cuja origem coincida
com a origem do sistema cartesiano O = (0, 0) e cuja extremidade coincida com o próprio ponto
~ = (x, y).
X = (x, y) de modo que v = OX
37
1 FUNÇ
Colocando o domı́nio e o contradomı́nio sobre o mesmo sistema de coordenadas
cartesianas, obtemos
Figura 1.34:
Vamos estudar como a função f atua sobre alguns subconjuntos particulares de
R.
2
(3.a) Consideremos a reta vertical x = 3, i.e., o conjunto Ω = {(x, y) ∈ R 2 : x =
3}. Tentemos primeiro ver no desenho qual será a imagem da reta Ω. Lembremos
que f leva qualquer vetor v do R2 no vetor 2v.
Figura 1.35:
Assim o desenho nos leva a crer que a imagem de Ω é reta vertical x = 6, i.e.,
f (Ω) = {(x, y) ∈ R2 : x = 6}. Analogamente podemos considerar a reta vertical
38
1 FUNÇ
x = x0 onde x0 é um número real qualquer. Como acima o desenho nos levará a
concluir que a imagem desta reta será a reta vertical x = 2x0 . Vamos mostrar isto.
Sejam
Ω = {(x, y) ∈ R2 : x = x0 } e Λ = {(x, y) ∈ R2 : x = 2x0 }
Queremos mostrar que f (Ω) = Λ. Para isto mostremos que f (Ω) ⊂ Λ e Λ ⊂ f (Ω).
Consideremos P ∈ Ω. Então P = (x0 , y) e (x0 , y 0 ) = f (P ) = f (x0 , y) = (2x0 , 2y),
i.e., as coordenadas de f (P ), x0 e y 0 são dadas por
x0 = 2x0
e y 0 = 2y.
Como x0 = 2x0 , temos que f (P ) ∈ Λ, donde f (Ω) ⊂ Λ. Considereemos agora Q ∈ Λ;
então Q = (2x0 , y). Queremos encontrar um ponto R ∈ Ω tal que f (R) = Q. Ora, se
R ∈ Ω então R = (x0 , y 0 ) donde f (R) = f (x0 , y 0 ) = (2x0 , 2y 0 ). Para que f (R) = Q
devemos ter (2x0 , 2y 0 ) = (2x0 , y) e portanto y 0 = y/2. Logo o ponto R = (x0 , y/2) é
tal que f (R) = Q o que mostra que Λ ⊂ f (Ω).
(3.b) Consideremos agora uma reta genérica não vertical dada por y = ax + b,
i.e., o conjunto Ω = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + b, a 6= 0 ou b 6= 0}. Como antes vejamos
se o desenho nos sugere o que será f (Ω). Vemos que Ω deverá ser um a reta paralela
Figura 1.36:
a Ω pasando pelo ponto (0, 2b). Realmente vamos mostrar que f (Ω) = Ω 0 , onde
Ω0 = {(x, y) ∈ R2 : y = ax + 2b}. Se P = (x0 , ax0 + b) é um ponto qualquer de Ω
então f (P ) = (2x0 , 2(ax0 +b)), i.e., f (P ) = (x00 , y00 ) onde x00 = 2x0 , y00 = 2ax0 +2b =
a(2x0 ) + 2b = ax00 + 2b. Já que a 2a coordenada de f (P ), y00 pode ser escrita como
y00 = ax00 +2b temos que f (P ) pertence à reta Ω0 . Assim, f (Ω) ⊂ Ω0 . Mostremos agora
que Ω0 ⊂ f (Ω). Vamos então tomar um ponto qualquer Q de Ω0 e tentar encontrar
um ponto R de Ω tal que Q = f (R). Se Q ∈ Ω0 então Q = (x00 , ax00 + 2b) e como R
39
1 FUNÇ
deve pertencer a Ω então R = (x, ax+b) e gostarı́amos de encontrar x tal que f (R) =
(2x, 2(ax + b)) = (x00 , ax00 + 2b) = Q. Mas isto nos leva ao sistema formado pelas
equações 2x = x00 e 2ax + 2b = ax00 + 2b as quais são equivalentes à solução x = x00 /2,
desde que a 6= 0. Note que se a = 0 então teremos as equações 2x = x00 e 2b = 2b
as quais são novamente equivalentes a x = x00 /2. Portanto, em qualquer caso, se
tomarmos R = (x00 /2, a(x00 /2) + b) então R ∈ Ω e f (R) = Q, donde Ω0 ⊂ f (Ω).
(3.c) Seja Ω o cı́rculo de centro na origem e raio 1, i.e.,
Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.
Considerando como f atua, vemos que f (Ω) deve ser o cı́rculo de centro na origem
e raio 2:
Figura 1.37:
Mostremos que f (Ω) = Ω0 , onde Ω0 é o cı́rculo de centro na origem e raio 2, i.e.,
Ω0 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 4}.
Para mostrar que f (Ω) ⊂ Ω0 , tomemos um ponto qualquer P ∈ Ω, então P = (x0 , y0 )
onde x20 + y02 = 1. Logo f (P ) = (2x0 , 2y0 ) = (x00 , y00 ) onde x00 = 2x0 , y00 = 2y0 . Como
x20 + y02 = 1, e
x00 = 2x0 =⇒ x0 = x00 /2
y00 = 2y0 =⇒ y0 = y00 /2,
então
x00 2
y0
02
) + ( 0 )2 = 1 =⇒ x02
0 + y0 = 4,
2
2
i.e., f (P ) = (x00 , y00 ) ∈ Ω0 . Mostraremos agora que Ω0 ⊂ f (Ω). Seja Q ∈ Ω0 , i.e.,
02
Q = (x00 , y00 ) onde x02
0 + y0 = 4. Para mostrarmos que Q ∈ f (Ω), temos que exibir
(
40
1 FUNÇ
um ponto R = (a, b) de Ω tal que f (R) = Q, i.e., temos que encontrar a e b tais que
2
a + b2 = 1
(condição para que R = (a, b) pertença a Ω),
0
0
(2a, 2b) = (x0 , y0 ) (condição para que f (R) = Q),
02
sabendo-se que x02
0 + y0 = 4. A segunda igualdade é equivalente a
a=
Assim,
f(
x00
2
e b=
y00
.
2
x00 y00
, ) = (x00 , y00 ),
2 2
e, desde que
x00 2
y0
) + ( 0 )2 = 1,
2
2
0
0
segue então que o ponto R = (x0 /2, y0 /2) pertence a Ω e satisfaz f (R) = Q, donde
Ω0 ⊂ f (Ω). Esta função é chamada uma dilatação pois se imaginamos o cı́rculo Ω
de borracha o que ela faz é dilatá-lo mantendo-o circular.
02
x02
0 + y0 = 4 =⇒ (
Exercı́cio Considere a função
f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (ax, ay)
para algum número real positivo a. Faça um estudo completo, como no Exemplo 3.
acima, para cada um dos casos: (i) 0 < a < 1, (ii) a = 1 e (iii) a > 1. Dê nome para
f em cada um destes três casos.
4. Consideremos o triângulo de vértices A = (1, 0), B = (−1, 0) e C = (0, 1). De
Figura 1.38:
acordo com o que já vimos, parece natural supor que sua imagem, pela função f do
41
1 FUNÇ
Exemplo 3, será o triângulo de vértices D = (2, 0), E = (−2, 0) e F = (0, 2). De fato,
a imagem das retas que unem os pontos A e B, C e D, C e A serão respectivamente
as retas que unem D e E, E e F, F e D. Vamos tentar justificar este procedimento
intuitivo.
Definição 11 A união de dois conjuntos X e Y, denotada por X ∪Y, é o conjunto
X ∪ Y = {a : a ∈ X ou a ∈ Y }.
Figura 1.39: X ∪ Y = área hachurada no diagrama de Venn
Convém observar que a palavra ou empregada na propriedade que define X ∪ Y
não tem o sentido de exclusão usado na linguagem comum pois pode acontecer que
um elemento z de X ∪ Y pertença simultaneamente a X e a Y.
É imediatamente verificável que quaisquer que sejam os conjuntos X e Y, sempre
se tem X ⊂ X ∪ Y e Y ⊂ X ∪ Y. Note também que se X ⊂ Y então X ∪ Y = Y.
Temos a seguinte propriedade: se f : A −→ B é uma função e se X e Y
são subconjuntos de A, com X ⊂ Y, então f (X) ⊂ f (Y ) (Prove isso! É imediato!).
Figura 1.40: X ⊂ Y =⇒ f (X) ⊂ f (Y )
42
1 FUNÇ
Proposição 1 Se f : A −→ B é uma função e se X e Y são subconjuntos de A,
então
f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
Demonstração : Devemos mostrar que f (X ∪ Y ) ⊂ f (X) ∪ f (Y ) e que f (X) ∪
f (Y ) ⊂ f (X ∪ Y ). Seja b ∈ f (X ∪ Y ). Então b = f (a) onde a ∈ X ∪ Y. Se a ∈ X,
então b ∈ f (X) ⊂ f (X) ∪ f (Y ). Se a ∈ U, então b ∈ f (Y ) ⊂ f (X) ∪ f (Y ).
Logo, em qualquer dos dois casos temos que b ∈ f (X) ∪ f (Y ), o que mostra que
f (X ∪ Y ) ⊂ f (X) ∪ f (Y ).
Seja agora, b ∈ f (X) ∪ f (Y ). Então temos duas possibilidades: b ∈ f (X) ou
b ∈ f (Y ). Mas
b ∈ f (X) =⇒ b = f (a1 ), para algum a1 ∈ X ⊂ X∪Y =⇒ b = f (a1 ) ∈ f (X∪Y ).
Também
b ∈ f (Y ) =⇒ b = f (a2 ), para algum a2 ∈ Y ⊂ X∪Y =⇒ b = f (a2 ) ∈ f (X∪Y ).
Então em qualquer dos dois casos, mostramos que b ∈ f (X ∪ Y ), donde se conclui
que f (X) ∪ f (Y ) ⊂ f (X ∪ Y ). Agora fica claro para o leitor que a proposição acima
justifica nosso procedimento no Exemplo 4.
1.5.10
Imagem inversa e Interseção de conjuntos
Para introduzir o conceito de imagem inversa de um conjunto por uma função
vamos começar com alguns subconjuntos do plano vistos na Geometria Analı́tica.
Considere a reta ax + by = c , a e b não nulos simultaneamente. Esta reta é
dada pelo conjunto:
X = {(x, y) ∈ R2 : ax + by = c}.
Podemos ver o conjunto X da seguinte maneira: considere a função f : R 2 −→ R
dada por f (x, y) = ax + by. A reta dada pelo conjunto X é exatamente o conjunto
dos pontos do R2 cuja imagem por f é o número c ∈ R, ou seja
X = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = c}.
De maneira analoga a circunferencia C : x2 + y 2 = 9 pode ser vista como o
conjunto dos pontos do R2 cuja imagem pela função:
é o número 9 ∈ R.
g : R2 −→ R
(x, y) 7→ x2 + y 2
43
1 FUNÇ
O disco D de circunferência C é o conjunto dos pontos do plano que satisfazem
a desigualdade x2 + y 2 ≤ 9. Assim D é o conjunto dos pontos de R2 cuja imagem
por g está em [0, 9] ⊂ R, D = {(x, y) ∈ R2 : g(x, y) ∈ [0, 9]}.
Os subconjuntos do plano considerados acima são exemplos de imagem inversa
de um conjunto por uma função. no primeiro caso temos a imagem inversa de
{c} pela função f e no segundo e terceiro casos as imagens inversas de {9} e [0, 9]
respectivamente pela função g.
Formalizamos esta idéia na seguinte definição:
Definição 12 Dada uma função f : A −→ B, definimos a imagem inversa de um
conjunto Y ⊂ B, denotada por f −1 (Y ), por
f −1 (Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }.
Observe que f −1 (Y ) é um subconjunto de A.
Exemplos:
1. Nos três exemplos dados anteriormente temos:
X = f −1 ({c});
C = g −1 ({9}) e D = g −1 ([0, 9]).
2. O domı́nio da função é muito importante para determinarmos a imagem inversa
de um conjunto por uma função. Vimos que dada
f : R2 −→ R,
(x, y) 7→ ax + by
f −1 ({c}) é uma reta.
Considere agora a função dada pela mesma lei mas definida em R 3 :
F : R3 −→ R,
(x, y, z) 7→ ax + by
X = f −1 ({c}) = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by = c}.
Aqui a imagem inversa de c por F será portanto o plano ax + by = c (ou
ax + by + 0z = c). Na figura 1.41 exibimos f −1 ({c}) para os casos em que f é
definida em R2 e R3 .
3. Seja f : R → R dada por f (x) = x2 (veja fig. 1.42). Então f −1 ([0, 9]) = {x ∈
R : 0 ≤ f (x) ≤ 9} = {x ∈ R : 0 ≤ x2 ≤ 9} = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 3} = [3, 3].
Encontre f −1 ((−∞, 9]) e f −1 ([−5, −1])
44
1 FUNÇ
Figura 1.41:
Figura 1.42:
45
1 FUNÇ
4. Seja f : R → R tal que f (x) = 2x + 3. Então
f −1 ([−2, 2]) = {x ∈ R : f (x) ∈ [−2, 2]} = {x ∈ R : −2 ≤ f (x) ≤ 2} = {x ∈ R :
≤ x ≤ − 12 } = [− 25 , − 12 ]
−2 ≤ 2x+3 ≤ 2} = {x ∈ R : −5 ≤ 2x ≤ −1} = {x ∈ R : −5
2
Figura 1.43:
5. Consideremos h : R2 → R2 dada por h(x, y) = (2x, 2y) e sejam os seguintes
subconjuntos do plano: Y1 = {(x, y) ∈ R2 : x > y}, Y2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 <
1} e Y3 = {(x, y) ∈ R2 : x > y e x2 + y 2 < 1}. Procuremos h−1 (Y1 ), h−1 (Y2 ) e
h−1 (Y3 ).
Temos que
h−1 (Y1 ) = {(x, y) ∈ R2 : h(x, y) ∈ Y1 } = {(x, y) ∈ R2 : (2x, 2y) ∈ Y1 } =
{(x, y) ∈ R2 : 2x > 2y} = {(x, y) ∈ R2 : x > y} = Y1 .
A imagem inversa de Y2 por h é o conjunto h−1 (Y2 ) = {(x, y) ∈ R2 : h(x, y) ∈
Y2 } = {(x, y) ∈ R2 : (2x, 2y) ∈ Y2 } = {(x, y) ∈ R2 : (2x)2 + (2y)2 < 1} = {(x, y) ∈
R2 : 4x2 + 4y 2 < 1} = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 14 }.
Temos que Y3 é constituı́do dos pontos de R2 que estão ao mesmo tempo em Y1
e Y2 : Assim, espera-se que h−1 (Y3 ) seja constituı́do dos pontos de R2 que estejam
ao mesmo tempo em h−1 (Y1 ) e h−1 (y2 ), ou seja, que se tenha:
1
h−1 (Y3 ) = {(x, y) ∈ R2 : x > y e x2 + y 2 < }.
4
46
Figura 1.44: Imagem inversa do semi-plano Y1 = {(x, y) ∈ R2 : x > y} pela
função h(x, y) = (2x, 2y).
Figura 1.45: Imagem inversa do disco aberto Y2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} pela
função h(x, y) = (2x, 2y).
1 FUNÇ
47
1 FUNÇ
Figura 1.46: Y3 = Y1 ∩ Y2
Vamos agora justificar este procedimento.
Definição 13 A interseção de dois conjuntos X e Y , denotada por X ∩ Y , é o
conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y , isto é:
X ∩ Y = {a : a ∈ X; a ∈ Y }.
Leremos X ∩ Y como ”X interseção Y”ou simplesmente ”X inter Y”.
A parte hachurada no diagrama abaixo representa X ∩ Y :
Figura 1.47:
48
1 FUNÇ
Note que para quaisquer conjuntos X e Y tem-se:
X ∩Y ⊂X
e X ∩ Y ⊂ Y.
Note também que se X ⊂ Y então X ∩ Y = X :
Figura 1.48:
No diagrama: temos X ∩ Y = ∅, isto é, X e Y não tem elementos comuns. Neste
Figura 1.49:
caso diremos que X e Y são disjuntos.
Exemplo:
No exemplo anterior temos Y3 = Y1 ∩ Y2 . concluı́mos daı́ que deverı́amos ter
h (Y3 ) = h−1 (Y1 ) ∩ h−1 (Y2 ). Mostraremos, abaixo que esta conclusão é válida.
−1
Proposição 2 (Propriedades da imagem inversa:) Sejam f : A → B uma
função e Z e W subconjuntos de B. Então:
49
1 FUNÇ
(a) f −1 (Z ∩ W ) = f −1 (Z) ∩ f −1 (W ),
(b) f −1 (Z ∪ W ) = f −1 (Z) ∪ f −1 (W ),
(c) Z ⊂ W ⇒ f −1 (Z) ⊂ f −1 (W ),
(d) f −1 (B) = A e f −1 (∅) = ∅.
Vamos demonstrar (a), que foi a propriedade que usamos, e deixaremos as restantes
como exercı́cio.
Demonstração de (a)
1a parte: Vamos mostrar que f −1 (Z ∩ W ) ⊂ f −1 (Z) ∩ f −1 (W ).
Seja x ∈ f −1 (Z ∩ W ). Então f (x) ∈ Z ∩ W , o que implica f (x) ∈ Z
e
−1
f (x) ∈ W . Mas se f (x) ∈ Z, temos que x ∈ f (Z) e se f (x) ∈ W , temos que
x ∈ f −1 (W ). Mas se x ∈ f −1 (Z) e x ∈ f −1 (W ), então x ∈ f −1 (Z) ∩ f −1 (W ).
2a parte Mostremos agora que f −1 (Z) ∩ f −1 (W ) ⊂ f −1 (Z ∩ W ).
Seja x ∈ f −1 (Z) ∩ f −1 (W ). Então x ∈ f −1 (Z) e x ∈ f −1 (W ), o que significa
que f (x) ∈ Z e f (x) ∈ W. Mas então f (x) ∈ Z ∩ W e portanto x ∈ f −1 (Z ∩ W ).
A proposição abaixo caracteriza as funções injetoras e sobrejetoras através das
imagens inversa e direta.
Proposição 3 Seja f : A → B uma função. Então:
(a) f −1 (f (X)) ⊃ X
∀ X⊂A
(b) f (f −1 (Y )) ⊂ Y
∀Y
(c) f −1 (f (X)) = X
∀ X ⊂ A ⇔ f é injetora.
(d) f (f −1 (Y )) = Y
∀ Y ⊂ B ⇔ f é sobrejetora.
⊂B
Demonstração : Demonstraremos somente (a) e (c). (b) e (d) serão deixadas
como exercı́cio.
(a) Seja x ∈ X. Devemos mostrar que x ∈ f −1 (f (X)). Mas x ∈ f −1 (f (X)) ⇔
f (x) ∈ f (X). Como x ∈ X, por definição de f (X), temos que f (x) ∈ f (X), donde
x ∈ f −1 (f (X)).
50
1 FUNÇ
(c) 1a Parte:
Hipótese: f −1 (f (X)) = X
∀ X ⊂ A.
Tese: f é injetora.
Dem: Suponha, por absurdo, que f (x) = f (y) com x 6= y. Considere o seguinte
subconjunto X de A : X = {x}. Seja z = f (x) = f (y). Então f (X) = {z}
e f −1 (f (X)) = f −1 ({z}) contém pelo menos dois pontos, a saber, x e y. Assim
f −1 (f (X)) 6= X, o que contraria a hipótese.
2a Parte:
Hipótese: f é injetora.
Tese: f −1 (f (X)) = X,
∀ X ⊂ A.
Dem: Já demonstramos em (a), que independente de ser f injetora, tem-se
X ⊂ f −1 (f (X)), ∀ X ⊂ A. Portanto, resta mostrar que f −1 (f (X)) ⊂ X. Seja
então x ∈ f −1 (f (X)). Temos portanto que f (x) ∈ f (X). Isto implica que existe
y ∈ X tal que f (x) = f (y). Como f é injetora devemos ter x = y e portanto
x = y ∈ X.
1.6
Exercı́cios
1. Considere as relações abaixo e diga se elas definem ou não uma função . Caso
não definam, diga se é possı́vel modificar o conjunto de partida e/ou o de chegada
de tal maneira a que tenhamos uma função :
(a) Seja A o conjunto de todas as retas do plano. Definimos f : A −→ R
de tal modo que se r é uma reta de A então f (r) é o coeficiente angular
da reta r.
(b) Seja T o conjunto dos triângulos do plano e R+ o conjunto dos
números reais positivos. Definimos F : R+ −→ T pela seguinte regra: a
cada x > 0, F (x) é o triângulo cuja área é x.
(c) Seja f : [−5, 5] −→ R dada por: a cada x ∈ [−5, 5], f (x) é o número
y ∈ R tal que x2 + y 2 = 5.
(d) f : R −→ R, x 7→ x1/3 .
(e) f : R −→ R é tal que f (x) = y satisfaz y 2 = x2 (x + 1).
51
1 FUNÇ
2. Descreva os seguintes subconjuntos do produto cartesiano R × R e diga se
eles definem uma função f : R −→ R :
y2
= 1}
4
(b) B = {(x, y) ∈ R2 : y = x3 }
(a) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 +
(c) C = {(x, y) ∈ R2 : y 2 = x}
(d) D = {(y, x) ∈ R2 : y 2 = x}
3. Diga se as seguintes funções são iguais e caso não sejam se é possı́vel restringir
seus domı́nios para que elas se tornem iguais:
(a) f, g : R −→ R definidas por

x2 − 5x + 6



se x 6= 2,
x
−
2
f (x) =


 f (2) = −1
e
g(x) = x − 3.
(b) f, g : R −→ R tal que f (x) = 3, ∀ x ∈ R, e g(x) = x2 , ∀ x ∈ R.
4. Determine todas as funções de E = {0, 1} em F = {a, b} onde a 6= b.
5. Dê uma regra que permita decidir quando um subconjunto do R 3 é o gráfico
de uma função f : A ⊂ R2 −→ R.
6. Demonstre que duas funções f, g : A −→ B são iguais se, e somente se, seus
gráficos são iguais.
7. Seja fθ : R2 −→ R2 a função rotação definida do seguinte modo: fθ (x, y) é o
ponto do R2 obtido de (x, y) por uma rotação de um ângulo θ, no sentido antihorário.
Obtenha uma expressão analı́tica para fθ (x, y) em termos de x, y e θ. Obtenha as
expressões para f90o (x, y), f180o (x, y), f270o (x, y) e f360o (x, y). Seja A o quadrado de
lado 2 e vértice na origem (0, 0). Obtenha fθ (a, b) quando (a, b) forem os vértices do
quadrado A, para θ = 90o , 180o , 270o e 360o .
8. Considere a função do item (1)(a) obtida após as modificações , se necessárias,
dos conjuntos de partida e/ou chegada. Tal função é sobrejetiva? É injetiva? Justifique.
52
1 FUNÇ
9. Suponha que o conjunto A do item (1)(a) seja o conjunto de todas as retas do
plano, paralelas a uma dada reta não vertical, r0 . O que se pode dizer da função f ?
Ela é sobrejetiva? É injetiva? Determine uma fórmula para f. Que tipo de função é
a f?
10. Verifique se as funções abaixo são sobrejetivas ou injetivas, ou ambas as
coisas, justificando sua resposta em cada caso:
(a)
J : Z −→ Z
x 7→ 3x + 1
(b)
h : N −→ N
x 7→ número de fatores primos distintos de x
(c)
f : Q −→ Q
x 7→ 3x + 1
(d)
f : R −→ R
x 7→ senx
(e)
h : [0, π/2] −→ R
x 7→ senx
(f)
g : [0, π/2] −→ [0, 1]
x 7→ cosx
(g)
k : R −→ R
x 7→ 5x2 + 6x + 2
(h) g : N −→ N tal que g(n) =
 n


 2
se n é par


 n + 1 se n é ı́mpar
2
11. Se A é um conjunto finito, toda injeção de A em A e toda sobrejeção de A
em A são bijeções . Mostre através de exemplos que este fato não é verdadeiro se A
é infinito.
12. Mostre que se g◦f é injetiva, então f é injetiva. Dê um exemplo mostrando
que se pode ter g ◦ f injetiva sem ter g injetiva.
53
1 FUNÇ
13. Uma função g : B −→ A chama-se inversa à direita de uma função f :
A −→ B quando f ◦ g = idB , ou seja, quando f (g(y)) = y, ∀ y ∈ B. Mostre que
a função f : A −→ B possui inversa à direita se, e somente se, f é sobrejetiva.
14. Defina inversa à esquerda de uma função e dê uma condição necessária e
suficiente para que uma função possua inversa à esquerda. Demonstre.
15. Determine as funções compostas f ◦g e g ◦f sabendo-se que f, g : R −→ R
são tais que
2
1 − x se x < 1
x se x < 0
,
g(x) =
(a) f (x) =
1 + x se x ≥ 1
2x se x ≥ 0

2
se x < 1
 3x
x + 1 se x < 0
,
g(x) = 7x + 1 se 1 ≤ x ≤ 5
(b) f (x) =
2x + 1 se x ≥ 0

2+x
se x > 5
x + 1 se x ≤ 0
,
g(x) = f (x)
(c) f (x) =
1 − 2x se x > 0
16. Sejam f, g : R −→ R tais que f (x) = 2x + 7 e (f ◦ g)(x) = 4x2 − 2x + 3.
Determinar a lei da função g.
17. Sejam f : A −→ B e f : B −→ C funções invertı́veis. Demonstre que
neste caso g ◦ f é invertı́vel e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Faça um diagrama ilustrativo
da situação .
18. Seja f : A −→ B invertı́vel. Então f −1 : B −→ A é invertı́vel e
(f −1 )−1 = f.
19. Considere a função f : R2 −→ R2 dada por
f (x, y) = (ex cosy, ex seny).
(a) Encontre a imagem da reta x = 1 por f . Faça um esboço.
(b) Encontre a imagem da reta y = 0 por f . Faça um esboço.
π
por f . Faça um esboço.
(c) Encontre a imagem da reta y =
2
(d) Encontre a imagem da reta x = x0 , x0 ∈ R, por f . Faça um
esboço.
54
1 FUNÇ
(e) Encontre a imagem da reta y = y0 , y0 ∈ R, por f . Faça um esboço.
(f) Encontre a imagem por f do retângulo R do plano de vértices
A = (0, y0 ), B = (5, y0 ), C = (5, y1 ) e D = (0, y1 ); com 0 < y0 < y1 .
Faça um esboço.
20. Considere a função f : R2 −→ R2 dada por
f (x, y) = (coshy senx, senhy cosx),
onde
ey − e−y
ey + e−y
, e senhy =
2
2
são respectivamente o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico de y.
coshy =
(a) Mostre que a imagem da reta y = c por f é uma elipse. Faça um
esboço da situação .
(b) Mostre que a imagem da reta x = c por f é uma hipérbole. Faça
um esboço da situação (OBS: lembre-se que cosh2 c − senh2 c = 1).
21. Considere a função
f : R −→ [−1, 1]
x 7→ senx
(a) f é inversı́vel? Por que?
(b) Sugira um meio de definir a inversa de f restringindo o domı́nio. De
quantas maneiras isto pode ser feito?
(c) Sugira um meio de definir a inversa de f ampliando o conceito de
função . Faça um esboço da situação . Este procedimento é muitas vezes
utilizado nos livros textos do ensino médio, de maneira pouco precisa.
Observe que aqui f −1 não é função .
22. Esboce o conjuntos f −1 (Y ), onde
(a)
f : R −→ R
x 7→ 5x2 + 6x + 2
(b)
f : R2 −→ R
(x, y) 7→ x2 + y 2
(c)
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ x2 + y 2
Y = [−4, 2].
Y = [1, 4].
Y = {1} e Y = [1, 4].
55
1 FUNÇ
(d)
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ y − x2
(e)
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ x2 + y 2 + z 2
(f)
f : R2 −→ R2
(x, y) 7→ (ex cosy, ex seny)
(g)
f : R −→ R
x 7→ cosx
Y = {0}.
Y = {1} e Y = [1, 4].
Y = {(u, v) ∈ R2 : u = v}.
Y = {0} e Y = {2}.
23. Seja f : A −→ B uma função .
(a) Pode-se ter f −1 (X) = ∅ para algum X ⊂ B não vazio? Se isto
acontece, o que se pode dizer de f ?
(b) Pode-se ter f −1 ({y}) com mais de um elemento, para algum y ∈ B?
Se isto acontece, o que se pode dizer de f ?
(c) Pode-se ter f −1 (X) = f −1 (Y ) para dois subconjuntos distintos,
X e Y , de B?
(d) Pode-se ter f (X) = f (Y ) para dois subconjuntos distintos, X e Y ,
de A?
24. Se f : A −→ B é uma função , X, Y ⊂ A e Z, W ⊂ B, mostre que:
(a) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
(b) f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ). Mostre com um exemplo que em geral
não vale a igualdade.
(c) f −1 (Z ∩ W ) = f −1 (Z) ∩ f −1 (W ).
(d) f −1 (Z ∪ W ) = f −1 (Z) ∪ f −1 (W ).
(e) Z ⊂ W =⇒ f −1 (Z) ⊂ f −1 (W ).
(f) f −1 (B) = A.
25. Se f : A −→ B e g : C −→ D, dê uma condição necessária e suficiente
para se definir a composta g ◦ f.
26. Diga se afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras justificando sua resposta
(i.e., prove ou dê um contra exemplo).
56
1 FUNÇ
(a) Se f : A −→ B é uma função , então f (f −1 (Y )) ⊂ Y, para todo
Y ⊂ B.
(b) Se f : A −→ B é uma função , então f (f −1 (Y )) ⊃ Y, para todo
Y ⊂ B.
(c) Se f : A −→ B é uma função , temos que f (f −1 (Y )) = Y, para todo
Y ⊂ B ⇐⇒ f é sobrejetora.
(d) Se f : A −→ B é uma função e f −1 (Y ) = X, então f (X) = Y.
(e) Se f : A −→ B é uma função e f (X) = Y, então f −1 (Y ) = X.
(f) Se f : A −→ B é uma função qualquer, então f −1 (f (X)) ⊂ X, para
todo X ⊂ A.
27. Se f : A −→ B é uma função inversı́vel encontre
(a) f −1 ({y}) para qualquer y ∈ B.
(b) f −1 (B).
Qual a relação entre a imagem inversa de Y ⊂ B por f e a imagem direta de Y
por f −1 (função inversa de f )?
Definição 14 A diferença entre os conjuntos A e B, é o conjunto A − B formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Isto é,
A − B = {x : x ∈ A e
x 6∈ B}
Figura 1.50: Representação de A − B.
57
1 FUNÇ
28. Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras justificando sua
resposta (i.e., prove ou dê um contra exemplo).
(a) A − B = B − A, (b) A ∩ B = ∅ =⇒ A − B = A,
(c) A − B = A − (A ∩ B).
29. Mostre que para quuaisquer conjuntos A, B e C, valem:
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
(b) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C),
(c) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C),
(d) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C),
(e) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C).
30. Dada uma função f : A −→ B, mostre que
(a) f (X − Y ) ⊃ f (X) − f (Y ), para quaisquer subconjuntos X e Y de
A.
(b) Se f é injetiva, então f (X − Y ) = f (X) − f (Y ), para quaisquer
subconjuntos X e Y de A.
(c) f −1 (Z − W ) = f −1 (Z) − f −1 (W ), para quaisquer subconjuntos Z e
W de B.
Definição 15 Quando B ⊂ A, a diferença A − B chama-se complementar de B
em relação a A e escreve-se A − B = CA B.
Figura 1.51: Representação de A − B = CA B.
Frequentemente, tem-se um conjunto U (conjunto universo) que contém todos
os conjuntos que ocorrem num certo contexto. Neste caso, a diferença U −X = CU X
é denotada simplesmente por CX e é chamada de complementar de X.
58
1 FUNÇ
Figura 1.52: Representação de U − X = CU X = CX.
Assim, se nos restringirmos a considerar elementos pertencentes a um conjunto
básico U, então
x ∈ CX ⇐⇒ x 6∈ X.
31. Verifique as propriedades abaixo:
(a) C(CA)) = A,
(b) A ⊂ B ⇐⇒ CB ⊂ CA,
(c) A = ∅ ⇐⇒ CA = U,
(d) C(A ∪ B) = CA ∩ CB,
(e) C(A ∩ B) = CA ∪ CB,
(f) Se f : A −→ B, e Y ⊂ B então f −1 (CY ) = C(f −1 (Y )).
CAPÍTULO 2
Relações de Equivalência
Considere a fração 1/2, que é conhecida do aluno, desde o estudo fundamental.
Naquela época, certamente ocorreu a você ou a algum colega seu a pergunta:
2
1
- A fração é igual à fração ?
4
2
A resposta a esta pergunta é sim e não , pois do ponto de vista do aluno que esta
tomando conhecimento com as frações não pode haver diferença entre a metade de
uma barra de chocolate e duas quartas partes da mesma barra.
No entanto, mesmo no inı́cio de nossa formação matemática, percebemos que
2
1
existe uma dificuldade aı́, pois e parecem ser ”números”diferentes. A este nı́vel
4
2
a questão é resolvida dizendo que se dividirmos ou multiplicarmos o numerador e o
denominador de uma fração pelo mesmo inteiro obteremos uma fração equivalente
1 2 3
à primeira. Assim, , , , etc, seriam todas frações equivalentes.
2 4 6
Mais tarde, expressamos o fato acima dizendo que duas frações são equivalentes
c
a
e
se o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Ou seja, dadas
b
d
diremos que
c
a
=
se, e somente se, ad = cb.
b
d
Sejamos mais precisos. Dado o conjunto Z dos números inteiros podemos construir o conjunto Q dos numeres racionais da seguinte maneira: consideramos o
produto cartesiano Z x (Z - {0}) isto é, o conjunto dos pares ordenados de números
inteiros, onde a 2a coordenada é sempre diferente de zero. Assim estamos olhando
2
para a fração 1/2 como o par (1,2), o inteiro 2 = como o par (2,1), etc.
1
Nós identificaremos dois pares (a,b) e (c,d) do produto cartesiano acima se e
somente se ad = bc (observe que a multiplicação executada na igualdade acima está
59
60
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
sendo feita em Z).
O resultado lı́quido do que fizemos é que frações equivalentes ficam por meio
desta construção identificados a um subconjunto de produto cartesiano
Z × (Z − {0}).
Podemos, por exemplo, pensar no conjunto de frações equivalentes
{. . . ,
−3 −2 −1 1 2 3 4
,
,
, , , , , . . .}.
−6 −4 −2 2 4 6 8
A estas frações correspondem respectivamente os pares ordenados
{. . . , (−3, −6), (−2, −4), (−1, −2), (1, 2), (2, 4), (3, 6), ...}.
Na construção que acabamos de fazer, estes pares estão todos identificados, como
uma coisa só, chamada Classe de Equivalência. Assim, podemos dizer que o conjunto
Z x (Z - {0}), onde dois pares (a,b) e (c,d) estão identificados (isto é, são considerados
o mesmo elemento) sempre que ad = bc, é o conjunto Q dos números racionais.
Observe que o que fizemos foi dividir Z x (Z - {0}) em partes disjuntas onde
cada uma destas partes é o conjunto de todas as frações equivalentes a uma certa
fração . Representando o conjunto Z x (Z - {0}) como pontos do plano cartesiano,
podemos ilustrar este fato da seguinte maneira: as classes de equivalência de Z x
(Z - {0}) (e, portanto, as do conjunto Q.) são formadas por ”retas”que passam pela
origem, neste plano. Se considerarmos a reta y = x, por exemplo, observe que ela
passa por todos os pontos da forma (m, m), com m ∈ Z e m 6= 0, representando
1
portanto a fração = 1. Na verdade não são todos os pontos da reta y = x que
1
constituem a classe de (1,1), mas apenas os de coordenadas inteiras (m, m). Esse,
aliás, é o motivo pelo qual escrevemos, acima, a palavra retas entre aspas.
2
Da mesma forma, a reta y = x vai hospedar os pares correspondentes às
1
2
frações equivalentes a 1/2, a y = x vai hospedar os equivalentes a 3/2, etc.
3
b
Em geral as retas y = x, com a e b inteiros, a 6= 0, vão hospedar os pares
a
a
correspondentes às frações equivalentes à fração . Assim as classes de equivalência
b
são as ”retas” passando pela origem com inclinação racional. Como tomamos o
cuidado de considerar apenas os pontos do conjunto Z x (Z - {0}), o ponto (0,0)
não lhe pertence, ou seja, a interseção das ”retas” que estamos considerando é vazia.
Em outras palavras, isto quer dizer que as classes de equivalência são disjuntas.
Tampouco a reta y = 0 pertence ao conjunto de retas, expressando o fato de que
a
frações do tipo
não estão sendo admitidas. Já a reta x = 0 pertence ao nosso
0
61
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
0
conjunto, representado as frações da forma , a 6= 0, cuja classe de equivalência é
a
a fração zero de Q.
A propriedade mais importante da construção que acabamos de ver é que ela
estabelece uma relação no conjunto Z x (Z - {0}) que o subdivide em partes disjuntas
(as ”retas”) chamadas classes de equivalência de tal maneira que cada elemento de
Z x (Z - {0}) pertence a uma destas partes e a uma única. Também observa-se que
a união destas classes é o próprio conjunto Z x (Z - {0}).
Esta propriedade é de extrema importância em matemática e por isso fazemos
as seguintes definições :
Definição 16 Uma partição de um conjunto A é uma coleção de subconjuntos
não vazios de A (chamadas partes) de tal maneira que a interseção de duas partes
quaisquer é vazia e a união de todas as partes é o próprio A.
Definição 17 Uma relação em um conjunto A é chamada uma Relação de Equivalência se ela determina uma partição de A. Neste caso as partes são chamadas
Classes de Equivalência.
O sentido dado à palavra relação aqui é o da linguagem comum: uma relação em
A é qualquer lei ou associação entre os elementos de A.
2.1
Exemplos:
1. Na Fı́sica e na matemática tomamos conhecimento de vetores. Nem sempre
fica clara a relação existente entre os vetores como geralmente compreendidos em
Fı́sica e os vetores como geralmente compreendidos em matemática.
Usualmente na matemática um vetor no espaço R3 é um terno de números reais
(a, b, c). Aqui se pensa no vetor como o segmento orientado cuja origem é (0, 0, 0) e
cuja extremidade é (a, b, c).
Na maior parte das aplicações do conceito de vetor à Fı́sica o vetor é pensado
como uma grandeza que possui módulo, direção e sentido e dois vetores são iguais se
possuem mesmo módulo, mesma direção , e mesmo sentido. Tais vetores são também
conhecidos como segmentos orientados.
A relação entre os dois conceitos é a seguinte: considere o espaço R 3 e seja V o
conjunto de todos os segmentos orientados 1 neste espaço. Considere a partição de
V em classes de equivalência onde cada parte é o conjunto de todos os elementos
de V que possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido (e, portanto,
não necessariamente mesma origem e mesma extremidade).
1
veja BOULOS, P.; CAMARGOS, I. - Geometria Analı́tica - um tratamento vetorial
62
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
Cada uma destas classes de equivalência será chamada de vetor. Assim, um
vetor (a, b, c) poderá
p ser representado por qualquer segmento orientado do espaço
cujo modulo é (a2 + b2 + c2 ) e cuja direção e sentido são os do vetor (a, b, c).
Usualmente escolhemos para representante o segmento cuja origem é (0, 0, 0) e cuja
extremidade é o ponto (a, b, c), obtendo assim a matematização do conceito.
2. Seja Z o conjunto dos inteiros. Dado n ∈ Z dizemos que n é par se n
é divisı́vel por 2 e ı́mpar se n não é divisı́vel por 2. A relação segundo a qual
dois inteiros estão relacionados se ambos são pares ou se ambos são ı́mpares é uma
partição de Z em duas classes de equivalência: A classe dos números pares e a classe
dos números ı́mpares. Costumamos denotar o conjunto Z munido dessa relação de
equivalência por Z2 e as duas classes por 0 (a dos números pares) e 1 (a dos números
ı́mpares). Assim Z2 = {0, 1}.
De maneira semelhante, podemos considerar o conjunto Z3 . Para isto tomamos
Z e consideramos um número n ∈ Z. Quando dividido por 3, n pode deixar resto
0, 1, ou 2. Assim podemos estabelecer em Z uma relação de equivalência em que
dois inteiros estão relacionados se ambos deixam mesmo resto quando divididos por
3. Esta relação é de equivalência e determina uma partição de Z em três classes de
equivalência: a dos inteiros divisı́veis por três, a dos inteiros cuja divisão por três
deixa resto 1 e a dos inteiros cuja divisão por três deixa resto 2. Escrevemos:
Z3 = {0, 1, 2}.
Aqui, o leitor observará que
0 = {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . .}
1 = {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, . . .}
2 = {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . .}
Como já esperávamos, as classes acima são duas a duas disjuntas e a união de todas
elas é o póprio Z.
De uma maneira geral dado um inteiro positivo m ∈ Z obtemos o conjunto Z m
dos inteiros módulo m da seguinte maneira: Dado n ∈ Z qualquer, dividimos n por
m e obtemos:
n = mp + r, onde 0 ≤ r ≤ m − 1.
Assim podemos imaginar que a divisão por m determina uma partição de Z
em m classes de equivalência, cada classe sendo caracterizada pelo resto que seus
elementos deixam ao serem divididos por m. Uma classe de equivalência será o
conjunto dos múltiplos de m, que são todos os inteiros que deixam resto zero ao
serem divididos por m. Uma outra classe de equivalência será constituı́da pelos
inteiros que deixam resto 1 na divisão por m, i.e., por inteiros da forma s = m.q + 1,
onde q ∈ Z é qualquer; e assim por adiante. Podemos representar cada classe pelo
63
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
resto que a caracteriza: 0 é a classe dos múltiplos de m, 1 é a classe dos sucessores
dos múltiplos de m, etc. Usamos a barra para distinguir a classe de equivalência
r do número inteiro r. Podemos então escrever:
Zm = {0, 1, 2, ..., m − 1}.
Note que as classes são disjuntas duas a duas e que
Z = 0 ∪ 1 ∪ ... ∪ m − 1.
Voltaremos a este exemplo outras vezes devido à sua grande importância.
Uma relação de equivalência em um conjunto A possui três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Isto significa o seguinte:
1. Propriedade Reflexiva:
Todo elemento x ∈ A está relacionado com ele mesmo
2. Propriedade Simétrica:
Se dado x ∈ A, x está relacionado com y ∈ A, então y está relacionado
com x.
3. Propriedade Transitiva:
Dados x, y, z ∈ A, se x está relacionado com y, e y está relacionado
com z, então x esta relacionado com z.
3. Podemos dar uma relação em um conjunto A dando um subconjunto X do
produto cartesiano A × A. Se o par (x, y) ∈ X diremos que x esta relacionado com
y, caso contrário, x não esta relacionado com y.
Considere as seguintes relações no conjunto {1, 2, 3} :
A1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)},
A2 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}.
A relação A1 é reflexiva e transitiva mas não é simétrica, pois, 1 está relacionado
com 2, mas 2 não esta relacionado com 1. Já a relação A2 é simétrica, mas não é
reflexiva (pois (3, 3) 6∈ A2 ) nem transitiva (Porque?).
Exercı́cio Construa uma relação no conjunto {1, 2, 3} que não seja reflexiva,
nem simétrica, nem transitiva.
Estas três propriedades são importantes pois elas caracterizam uma relação de
equivalência. É o que afirma a seguinte proposição :
64
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
Proposição 4 Seja dada uma relação em um conjunto A que o divide em um certo
número de componentes (mas que não constituem necessariamente uma partição ).
Esta relação é de equivalência se e somente se ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
Demonstração : Temos duas implicações a demonstrar. Em primeiro lugar vamos provar o seguinte:
Hipótese: É dada uma relação em um conjunto A e ela é reflexiva, simétrica e
transitiva.
Tese: A relação dada é de equivalência.
Para provarmos que a relação é de equivalência vamos mostrar que ela determina
uma partição de A. Para isto é preciso ver que as componentes determinadas pela
relação são não vazias e disjuntas e tais que a união delas é o próprio A.
Considere as componentes de A determinadas pela relação dada. Nenhuma delas
é vazia por construção . Além disto, como para todo x ∈ A, x ∼ x (lê-se x está
relacionado com x) pela propriedade reflexiva, resulta que todo x está em alguma
componente. Isto mostra que a união dos componentes é o próprio A.
Resta mostrar que se A1 e A2 são duas componentes distintas então A1 ∩ A2 = ∅.
Suponha então que ∃ z ∈ A1 ∩ A2 . Vamos mostrar que neste caso A1 ⊂ A2 , em
contradição com a suposição de que A1 e A2 são distintas. Seja w ∈ A1 . Como
z ∈ A1 temos que w ∼ z. Seja w 0 ∈ A2 . Como z ∈ A2 , temos que w 0 ∼ z. Pela
propriedade simétrica temos que z ∼ w 0 e, portanto, pela propriedade transitiva
resulta que w ∼ w 0 e portanto w ∈ A2 , ou seja, A1 ⊂ A2 . Analogamente temos que
A2 ⊂ A1 , terminando a 1a parte.
A 2a implicação é a seguinte:
Hipótese: A relação dada é de equivalência.
Tese: A relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
Se a relação é de equivalência ela determina uma partição ou seja, o conjunto
A possui uma coleção de subconjuntos tais que a interseção de dois deles é sempre
vazia e a união dos subconjuntos é igual a A.
Como dado x ∈ A, x esta em alguma componente, temos x ∼ x e portanto a
relação e reflexiva.
Alem disto se dados x, y ∈ A temos x ∼ y, eles estão na mesma classe de
equivalência e portanto y ∼ x e vale a propriedade simétrica.
Finalmente, suponhamos x ∼ y e y ∼ z. Então x e y pertencem a uma mesma
componente A1 , e y e z pertencem a uma mesma componente A2 . Mas y ∈ A1 ∩ A2 ,
e portanto A1 = A2 , donde x ∼ z, terminando a demonstração da proposição .
65
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
2.2
Exercı́cios
1. Duas retas distintas L1 e L2 no plano são paralelas se L1 ∩ L2 = ∅.
Convenciona-se que toda reta é paralela à ela. Mostre que ”ser paralela” define
uma relação de equivalência no conjunto das retas do plano.
2. Defina soma e multiplicação em Z6 . Mostre que estas operações estão bem
definidas, isto é: se
m = m1 e n = n1
então
m + n = m 1 + n1
e m.n = m1 .n1 .
3. Seja E o Conjunto das retas de um plano α, seja P um ponto dado
de α e seja x0 uma reta dada contida em α. Se x, y ∈ E, leia xRy, como x
está relacionado com y. Verificar se as relações abaixo definidas sobre E são : (i)
reflexivas; (ii) simétricas; (iii) transitivas.
(a) xRy ⇐⇒ x não é paralela a y.
(b) xRy ⇐⇒ x e y passam por P .
(c) xRy ⇐⇒ x é perpendicular ou paralela a y.
(d) xRy ⇐⇒ x e y se cortam num ponto de x0 .
4. Se x e y são dois números reais quaisquer, dizemos que
xRy se e somente se x − y ∈ Q.
(a) Mostre que R é uma relação de equivalência .
1
(b) Descreva a classe de equivalência de x = .
2
5. Sejam E = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} e R a seguinte relação em E:
xRy ⇐⇒ x + |x| = y + |y|
(a) Mostre que R é uma relação de equivalência.
(b) Ache −3 e 0.
(c) Verifique que −3 = −2.
(d) Quantas classes de equivalência distintas exitem? (Dê explicitamente
estas classes).
66
2 RELAÇÕES DE EQUIVALÊ
6. Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto E 6= ∅. Sejam a, b
dois elementos de E. Notação : Se aRb diremos que a é equivalente a b módulo
R, ou que a é equivalente a b segundo R e usaremos a notação a ≡ b(modR).
Considere as seguintes afirmativas:
(i) a ≡ b(modR);
(ii) a ∈ b;
(iii) b ∈ a;
(iv) a = b;
Mostre que:
(i) =⇒ (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (i)
Lembre-se que:
a = {x ∈ E : xRa} = {x ∈ E : x ≡ a(modR)}
7. Neste Exerı́cio daremos a ideia da construção do conjunto Z dos números inteiros a partir do conjunto N dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, . . .}). Considere
o produto cartesiano A = N × N. Defina em A a seguinte relação :
(n1 , n2 ) ∼ (m1 , m2 ) ⇐⇒ n1 + m2 = m1 + n2 .
(secretamente estamos dizendo que que (n1 , n2 ) ∼ (m1 , m2 ) ⇐⇒ n1 − m2 =
m1 − n2 , mas não podemos dizer isto em N).
(a) Porque não podemos escrever n1 − n2 em N?
(b) Mostre que a relação definida acima é de equivalência.
(c) Convença-se de que o que você construiu é realmente Z respondendo:
Seja Z igual ao conjunto das classes de equivalência.
(i) Quem é o ”0” ∈ Z?
(ii) Quem é o −1 ∈ Z?
(iii) Quem é 5 ∈ Z?
(d) Defina uma adição e uma subtração no conjunto das classes de equivalência de A que correspondam ao que se espera da adição e da subtração em Z.
(e) Mostre que as definições acima não dependem das representantes das
classes de equivalência escolhidos.
CAPÍTULO 3
Princı́pio da Indução
3.1
Introdução
Comecemos por uma série de exemplos de afirmações:
1. Todo brasileiro alfabetizado fala português;
2. As diagonais de todo paralelogramo são bissectadas por seu ponto de interseção;
3. Todo número terminado em zero é divisı́vel por 5;
4. Paulo fala português;
5. As diagonais do paralelogramo ABCD são bissectadas por seu ponto de interseção;
6. 140 é divisı́vel por 5.
Analisando estas afirmações podemos dividı́-las em dois grupos: gerais (isto é,
valem para todos os elementos de um determinado conjunto) e particulares. As três
primeiras são gerais e as três últimas particulares. A passagem de uma afirmação
geral para uma particular é chamada dedução. Consideremos um exemplo:
Todo brasileiro alfabetizado fala português. (I)
Paulo é um brasileiro alfabetizado. (II)
Paulo fala português. (III)
67
68
3 PRINCÍPIO DA INDU
A afirmação particular (III) é obtida da afirmação geral (I) com o auxı́lio da
afirmação (II.
A tentativa de generalização de uma afirmação particular, isto é, a passagem de
uma afirmação particular para uma afirmação geral é chamada indução . Ilustraremos com o seguinte exemplo: Seja a afirmação particular:
140 é divisı́vel por 5
(1)
Podemos fazer, com base nesta afirmação particular, uma série de afirmações gerais.
Por exemplo:
Todo número com 3 dı́gitos é divisı́vel por 5
Todo número terminado em zero é divisı́vel por 5
Todo número terminado em 40 é divisı́vel por 5
Todo número cuja soma de seus dı́gitos é 5 é divisı́vel por 5
(2)
(3)
(4)
(5)
As afirmações (2), (3), (4) e (5) são tentativas de generalização do caso particular
(1). As afirmações (3) e (4) são verdadeiras. As afirmações (2) e (5) são falsas.
Temos então a seguinte pergunta: Como poderı́amos usar indução em matemática de forma a obter somente conclusões verdadeiras? Pretendemos, neste
texto, responder à esta questão.
Consideremos inicialmente dois exemplos de indução inadmissı́veis em matemática.
3.1.1
Exemplo 1
Seja
Sn =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n.(n + 1)
É fácil verificar que
S1 =
S2 =
S3 =
S4 =
1
1
=
1.2
2
1
1
2
+
=
1.2 2.3
3
1
1
1
3
+
+
=
1.2 2.3 3.4
4
1
1
1
1
4
+
+
+
=
1.2 2.3 3.4 4.5
5
69
3 PRINCÍPIO DA INDU
Com base nestes resultados obtidos, afirmamos que para todo número natural n,
n
.
Sn =
(n + 1)
3.1.2
Exemplo 2
Considere o trinômio x2 + x + 41 que foi estudado por Euler. Fazendo x = 0
neste trinômio, obtemos o número primo 41. Se fizermos x = 1, obtemos 43, outro
primo. Continuando este processo, substituindo x por 2, 3, . . . , 10, obteremos respectivamente, os primos 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Com base nestes resultados,
afirmamos que a substituição de x por todo inteiro não negativo no trinômio, dará
sempre um número primo.
Por que este tipo de raciocı́nio é inadimissı́vel em matemática? A falha esta no
fato de termos expressado uma afirmação geral com respeito a n (no 2 o exemplo,
com respeito a x) somente com base no fato de que a afirmação era verdadeira para
certos valores de n (ou x). O processo de indução é muito usado em matemática, mas
devemos saber usá-lo adequadamente. Assim, enquanto a afirmação geral do exemplo
1 é verdadeira, a afirmação geral do exemplo 2 é falsa. De fato, se estudarmos o
trinômio x2 + x + 41 mais cuidadosamente, veremos que sua soma é igual a um
primo quando substituı́mos x = 0, 1, 2, . . . , 39, mas para x = 40 obtemos o número
composto 412 . De fato
x2 + x + 41 = 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40.41 + 41 = 41(40 + 1) = 412 .
Apresentamos agora alguns exemplos de afirmações as quais são verdadeiras em
certos casos especiais, mas que são falsas em geral.
3.1.3
Exemplo 3
n
0
Considere os números da forma 22 +1. Para n = 0, 1, 2, 3, 4 os números 22 +1 =
2
3
4
21
3, 2 + 1 = 5, 22 + 1 = 17, 22 + 1 = 257, 22 + 1 = 65537 são primos. Fermat,
matemático francês, conjeturou que todos os números desta forma eram primos.
Entretanto, Euler descobriu que
5
22 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417,
um número composto.
3.1.4
Exemplo 4
Considere n planos passando por um mesmo ponto, tais que, quaisquer 3 deles
não contenham uma reta em comum. Em quantas regiões eles dividem o espaço?
Consideremos casos particulares deste exemplo.
70
3 PRINCÍPIO DA INDU
• Um plano divide o espaço em duas partes;
• Dois planos passando por um ponto dividem o espaço em 4 partes;
• Três palnos passando por um ponto , mas não contendo uma reta em comum,
dividem o espaço em 8 partes.
À primeira vista, acreditamos que quando o número de planos aumenta de uma
unidade, o número de partes nas quais o espaço é dividido é dobrado, e assim 4
planos dividirão o espaço em 16 partes, 5 planos em 32 partes, e em geral n planos
dividirão o espaço em 2n partes. Mas na verdade isso não é assim: a saber, 4 planos
dividem o espaço em 14 partes (veja figura abaixo), 5 planos em 22 partes. Pode-se
provar que n planos dividem o espaço em n(n − 1) + 2 partes.
Figura 3.1:
Os exemplos considerados nos permitem chegar a uma simples e importante
conclusão:
Uma afirmação pode ser válida em uma série de casos particulares e falsa
em geral.
Surge então a seguinte questão:
71
3 PRINCÍPIO DA INDU
Suponhamos uma afirmação a qual é válida em muitos casos particulares
e para a qual seja impossı́vel considerar todos os casos particulares, como
por exemplo, uma afirmativa a respeito de todos os inteiros. Como se
pode determinar se esta afirmativa é válida em geral?
3.2
1a Forma do Princı́pio de Indução Matemática
Algumas vezes, podemos responder à questão levantada na seção anterior aplicando um método particular de raciocı́nio, chamado método de indução matemática
(indução completa).
A base deste método é o princı́pio da indução matemática, que consiste do seguinte:
Seja P (n) uma afirmativa que faz sentido para todo natural n ≥ 1. Suponha que:
(1) ela é válida para n = 1, ou seja, P (1) é verdadeira;
(2) Sempre que a afirmação for válida para um número natural arbitrário n = k ela também seja válida para o seu sucessor n = k + 1
(ou seja P (k) verdadeira implica P (k + 1) verdadeira).
Então P (n) é verdadeira para todo natural n ≥ 1.
O princı́pio da indução matemática, pode também ser entendido através do seguinte modelo:
Figura 3.2:
72
3 PRINCÍPIO DA INDU
Suponhamos que temos uma fila infinita de cartas de baralho em pé (matematicamente isto é possı́vel!), distribuı́das da maneira como mostra a figura 3.2.
Como teremos certeza que golpeando a primeira carta, todas cairão? A resposta
é clara:
(1o ) se a 1a carta cai ao ser golpeada, e
(2o ) se as cartas do baralho estão espaçadas de tal modo que se uma delas cai, ela
atinge e faz cair a seguinte,
podemos afirmar, então , que todas as cartas cairão . É isto o que o princı́pio da
indução afirma.
Figura 3.3:
Uma prova baseada no princı́pio da indução matemática é chamada uma prova
pelo método da indução matemática. Tal prova deve necessariamente consistir de
duas partes, ou seja, da prova de dois fatos independentes:
Fato 1: a afirmação é válida para n = 1;
Fato 2: a afirmação é válida para n = k + 1 se ela é válida para n = k, onde k
é um número natural arbitrário.
Se ambos estes fatos são provados, então com base no princı́pio da indução
matemática, a afirmação é válida para todo número natural n.
73
3 PRINCÍPIO DA INDU
Observações:
1 A hipótese do fato 2, ou seja, ”a afirmação é válida para n = k”, é o que se
chama hipótese de indução;
2 Note que o fato de começar de n = 1 não é importante. No exemplo das
cartas se tivéssemos escolhido a 4a carta para ser golpeada inicialmente, então
poderı́amos afirmar que todas as cartas seguintes cairiam. Assim, podemos
reescrever o princı́pio da indução matemática da seguinte forma:
1a Forma do Princı́pio da Indução Matemática:
Seja P (n) uma afirmativa que faz sentido para todo natural n ≥ n0 .
Suponhamos que:
(1’) a afirmativa é válida para n = n0 , ou seja, P (n0 ) é verdadeira;
(2’) sempre que a afirmativa for válida para um número natural arbitrário n = k ≥ n0 ela também seja válida para o seu sucessor
n = k + 1 (ou seja P (k) verdadeira implica P (k + 1) verdadeira).
Então P (n) é verdadeira para todo natural n ≥ n0 .
3.2.1
Exemplo 5
Calcular a soma
Sn =
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
Sabemos que
1
2
3
4
S1 = , S 2 = , S 3 = , S 4 = .
2
3
4
5
Agora não repetiremos o engano cometido no exemplo 1. Seremos cuidadosos e diremos que examinando as somas S1 , S2 , S3 , S4 admitimos propor a hipótese (conjetura)
n
∀ natural n. Contudo Sabemos que esta hipótese é verdadeira
de que Sn =
n+1
para n = 1, 2, 3, 4. Podemos usar o método de indução matemática para verificar
nossa hipótese.
1
Fato 1: Para n = 1 a hipótese é verdadeira pois S1 = .
2
Fato 2: Supomos que a hipótese seja verdadeira para n = k, isto é, que
Sk =
1
1
1
k
+
+ ... +
=
.
1.2 2.3
k(k + 1)
k+1
74
3 PRINCÍPIO DA INDU
Provaremos que a hipótese é verdadeira para n = k + 1, isto é,
Sk+1 =
k+1
.
k+2
De fato,
Sk+1 =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2 2.3
k(k + 1) (k + 1)(k + 2)
{z
}
|
= Sk (Hipótese de Indução)
1
k 2 + 2k + 1
k+1
k
+
=
=
=
k + 1 (k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)
k+2
Ambos os fatos estão provados. Podemos então , agora, com base no princı́pio
n
da indução matemática, afirmar que Sn =
∀ natural n.
n+1
Observação 3:
É necessário enfatizar que a prova pelo método da indução matemática requer
provas de ambos os fatos 1 e 2.
Já vimos, pelo exemplo 2, como uma atitude negligente para com o fato 2 pode
nos levar a resultados falsos.
Mostraremos agora que não podemos omitir o Fato 1 também.
3.2.2
Exemplo 6
Teorema 2 Todo número natural é igual ao próximo número natural.
Demonstração : Faremos a prova pelo método de indução matemática. Suponhamos que
k = k + 1.
(3.1)
Provaremos que
k + 1 = k + 2.
(3.2)
De fato, somando 1 de cada lado da equação (3.1), obtemos a equação (3.2).
Então se nossa afirmação é verdadeira para n = k, então ela é válida para
n = k + 1. O teorema está provado e temos o
Corolário 1 Todos os números naturais são iguais.
Mas, onde está o nosso erro? O erro consiste em que o Fato 1, necessário para a
aplicação do princı́pio da indução matemática, não tinha sido provado. E ele não é
verdadeiro! Pois certamente 1 6= 2.
Os fatos 1 e 2 têm eles próprios significados especı́ficos. O fato 1 cria, assim
digamos, a base para levar à indução . O fato 2 nos dá o direito de passagem de
75
3 PRINCÍPIO DA INDU
um dado caso especial para o próximo (de n para n + 1), ou seja, o direito de uma
extensão ilimitada desta base. (Veja o exemplo das cartas de baralho).
Se o fato 1 não foi provado mas o fato 2 sim, (exemplo 6) então a base para
continuar a indução não foi portanto criada, e assim, não faz sentido aplicar o fato
2, já que não existe nada realmente para extender.
Se o fato 2 não foi provado, mas o fato 1 sim (exemplos 1 e 2) então teremos
a base para comea̧r a indução mas não teremos argumentos que nos possibilitem
extendê-la.
3.2.3
Exemplo 7
Retornemos ao exemplo 1 para clarear um aspecto significativo do método da
indução matemática.
Examinando a soma
Sn =
1
1
1
+
+ ... +
1.2 2.3
n(n + 1)
para alguns valores de n, obtivemos
2
3
1
S1 = , S 2 = , S 3 = , . . . ,
2
3
4
e estes resultados paticulares sugeriram a hipótese de que para todo n, S n =
Entretanto, poderı́amos ter proposto a hipótese
Sn =
n+1
.
3n + 1
n
.
n+1
(3.3)
A fórmula (3.3) é verdadeira para n = 1, já que S1 = 1/2. Suponhamos que (3.3) é
verdadeira para n = k, isto é,
k+1
.
3k + 1
Tentaremos provar que a fórmula (3.3) também é verdadeira para n = k + 1, isto
é, que
Sk =
Sk+1 =
k+2
.
3k + 4
(3.4)
76
3 PRINCÍPIO DA INDU
Temos
Sk+1
=
=
|{z}
Hipótese de Indução
=
1
(k + 1)(k + 2)
k+1
1
+
3k + 1 (k + 1)(k + 2)
Sk +
k 3 + 4k 2 + 8k + 2
,
(k + 1)(k + 2)(3k + 1)
isto é, o resultado obtido é diferente de (3.4).
Isto sugere que a validade da fórmula (3.3) para n = k + 1 não segue de sua
validade para n = k. Então não podemos afirmar que a fórmula (3.3) é verdadeira
(e realmente não é).
Em outras palavras, se fizermos uma afirmativa incorreta não conseguiremos
demonstrá-la pelo método da indução .
3.3
2a Forma do Princı́pio de Indução
Daremos, a seguir, um exemplo onde não é possı́vel usar a forma de indução dada
na seção anterior.
Para tal, daremos a seguinte
Definição 18 Um Inteiro não nulo p é um número primo se p ≤ ±1 e os únicos
divisores de p são ±1 e ±p.
Teorema 3 Um número natural n ≥ 2 ou é primo ou pode ser escrito como um
produto de números primos.
Tentativa de Demonstração : Seja P (n) a afirmativa:
n é um número primo ou um produto de números primos.
Fato 1: P (2) é verdadeira pois 2 é um número primo.
Fato 2: Suponhamos que a afirmativa é verdadeira para n = k e tentaremos mostrar
que P (k + 1) é verdadeira.
Se k + 1 é um número primo então P (k + 1) é verdadeira.
Se k + 1 não é um número primo então k + 1 pode ser escrito como
k+1=a×b
onde a 6= ±1 e b 6= ±1.
77
3 PRINCÍPIO DA INDU
Além disso como k + 1 > 0, podemos tomar a > 0 e
b 6= 1, e então
2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k.
b > 0. Logo a 6= 1
e
Mas não podemos garantir que a = k e b = k. Por exemplo; se k = 8 então
k + 1 = 9 não é primo
e a única maneira de escrever o número 9 como produto de dois inteiros positivos
diferentes de 1 é
9=3×3
Mas k = 8, logo não podemos usar a hipótese de indução (P (8) é verdadeira) para
concluir que P (9) é verdadeira.
Entretanto, se soubéssemos que P (8) é verdadeira assim como P (n) para todo
n ≤ 8, então como 3 < 8 terı́amos, pela hipótese de indução , que P (3) seria
verdadeira.
Para resolver casos como este precisamos da ”Segunda Forma do Princı́pio da
Indução ”.
2a Forma do Princı́pio da Indução Matemática:
Seja P (n) uma afirmativa que faz sentido para todo inteiro n ≥ n0 .
Suponhamos que:
(1) P (n0 ) é verdadeira;
(2) se P (m) é verdadeira ∀ m com n0 ≤ m ≤ k, então P (k + 1) é
verdadeira.
Então P (n) é verdadeira para todo natural n ≥ n0 .
Note a diferença entre a condição (2) da primeira Forma do Princı́pio da Indução e
a condição (2) da segunda forma.
3.3.1
Demonstração do teorema 3
Agora já temos a ferramenta certa para demonstrarmos o teorema 3: consideremos novamente a afirmativa
P (n) :
n é um número primo ou um produto de números primos.
Fato 1: P (2) é verdadeira pois 2 é um número primo.
Fato 2: Suponhamos a afirmativa verdadeira para todo número m com 2 ≤
m ≤ k e provemos que P (k + 1) é verdadeira.
78
3 PRINCÍPIO DA INDU
Caso 1: Se k + 1 é um número primo então P (k + 1) é verdadeira.
Caso 2: Se k + 1 não é um número primo, então k + 1 pode ser escrito como
k+1=a×b
onde a 6= ±1 e b 6= ±1. Além disso como k + 1 > 0 podemos tomar a > 0 e b > 0,
donde a 6= 1 e b 6= 1 =⇒ a ≥ 2 e b ≥ 2. Então temos que
2≤a≤k
e 2 ≤ b ≤ k.
Portanto, pela hipótese de indução a e b podem ser escritos como produtos de primos
ou são primos. Logo
k+1=a×b
é também um produto de números primos, a saber, o produto dos números primos
de a multiplicado pelos números primos de b.
Observações :
4 O teorema acima é parte do ”Teroema Fundamental da Aritimética”que será
demonstrado posteriormente.
5 As duas formas do princı́pio da indução são equivalentes.
Afim de aprendermos como aplicar o método da indução matemática devemos
analizar um número sufuciente de problemas.
3.4
Exercı́cios
1. Mostre por indução que a soma dos n primeiros números naturais é dada por
Sn =
n(n + 1)
.
2
2. Mostre que se x é um número real diferente de 1, então
n−1
X
xj = 1 + x + x2 + . . . + xn−1 =
j=0
xn − 1
.
x−1
3. Prove por indução que
12 + 22 + . . . + n 2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
79
3 PRINCÍPIO DA INDU
4. Prove que
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2
(Sugestão : Use exercı́cio 1).
5. Prove que
n(n + 1)(n + 2)
.
3
n
6. Sejam n, k inteiros não negativos com k ≤ n. O sı́mbolo
é definido por
k
n!
n
=
.
k
k!(n − k)!
1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) =
(a) Mostre usando a definição que
n
n
n+1
+
=
,
k−1
k
k
para k ≥ 1.
(b) Mostre usando indução que
n n−1
n n−i i
n
n
(a + b) = a +
a
b + ... +
a b + . . . + bn .
1
i
7. Prove por indução a fórmula da soma de uma P.A.:
a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + (n − 1)d) =
n(2a + (n − 1)d)
.
2
8. Mostrar por indução que
(a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 .
(b) n! > 2n ,
para todo n ≥ 4.
(c) n2 > 2n + 1, ∀ n ≥ 3.
1
1
1
1
n
(d)
+
+
+ ... +
=
.
1·2 2·3 3·4
n(n + 1)
n+1
9. Resolva o Paradoxo de Tarski:
Teorema 4 Todos os números naturais são iguais.
Demonstração : Por indução sobre o número de elementos de um
subconjunto qualquer de N.
80
3 PRINCÍPIO DA INDU
Dado um subconjunto qualquer de N com um único elemento, evidentemente todos os elementos deste subconjunto são iguais. Com isto
demonstramos o Fato 1.
Para demonstrar o Fato 2, supomos que dado um subconjunto de N
com k elementos todos eles são iguais e vamos tentar provar que o mesmo
é verdade para um subconjunto de N com k + 1 elementos.
Seja A um subconjunto com k + 1 elementos. Retirando de A o
último elemento sobram k elementos e, por hipótese de indução , temos
que os k elementos restantes são iguais. Por outro lado, retirando do
conjunto A o primeiro elemento, também sobram k elementos e todos
eles são iguais, também pela hipótese de indução . Mas então , o primeiro
e o último são iguais entre si e todos os k + 1 elementos são iguais,
concluindo a demonstração .
Corolário 2 Todos os bebês possuem olhos verdes.
CAPÍTULO 4
Números Inteiros
4.1
Introdução
Os sitemas de números com os quais ficamos familiarizados no nosso curso secundário, desenvolveram-se muito lentamente, começando nos tempos pré-históricos
e atingindo seu estado atual só recentemente.
Os números naturais
1, 2, 3, 4, . . .
são certamente pré-históricos na sua origem e são certamente os únicos números que
os homens conheceram por um longo perı́odo de tempo.
As frações como 3/5, 7/2, 1012/357, foram provavelmente inventadas para se
lidar com problemas de medida referentes à dividão de terras, por exemplo, em
partes iguais.
No seu estudo de grandezas geométricas, os gregos descobriram que alguns comprimentos não podiam ser representados por frações . Considerações√desta natureza
conduziram à invenção dos números irracionais, como por exemplo 2.
Quando tornou-se conveniente, para vários fins, ser capaz de subtrair um número
grande de um menor, os números negativos foram inventados.
Neste capı́tulo estudaremos os números inteiros. Eles são o objeto de estudo da
chamada Teoria dos Números.
Números, assunto que fascinou a maioria dos grandes matemáticos e que tem
até hoje problemas não resolvidos, problemas estes que têm em geral um enunciado
muito simples.
Foi notı́cia de jornal a descoberta por um matemático alemão , Faltings, descoberta esta que teve consequências sobre a famosa Conjetura de Fermat (1601-1665).
A conjetura, formulada em 1630, afirmava que para o natural n > 2 não existem
81
82
4 NÚMEROS INTE
inteiros positivos x, y, z, tais que xn + y n = z n . Fermat escreveu essa afirmação na
margem de um livro, dizendo que a solução que ele encontrara era longa e não cabia
no papel que ele dispunha. O matemático alemão citado acima, Faltings, provou
que para cada n existe no máximo um número finito de naturais x, y, z satisfazendo
a igualdade acima.
Agora finalmente Fermat descansa em paz [2]. Somente após 345 anos, a conjetura de Fermat foi finalmente demonstrada. Em 1995, a comunidade matemática
aceitou a prova dada por Andrew Wiles. Wiles apresentou o seu trabalho pela primeira vez em 1993, mas havia um problema numa das etapas da demonstração que
ele finalmente conseguiu resolver em colaboração com Richard Taylor.
Resolvido o problema e frustrados assim os sonhos dos milhares de amadores e
profissionais que sonhavam com a glória de resolvê-lo, restam duas indagações que
são no mı́nimo curiosas.
A primeira é como uma conjetura, cujo enunciado é simples e acessı́vel até para
estudantes do ensino médio, levou tanto tempo e exigiu teorias tão sofisticadas para
ser finalmente decidida. Como não sabemos a resposta, resta-nos o consolo de que
talvez em fatos como esse é que residam a beleza e o encanto da Matemática.
A outra dúvida é saber se Fermat tinha realmente uma demonstração . Com
altı́ssima probabilidade a resposta é não . Afinal a demonstração de Wiles utiliza
teorias que Fermat certamente não conhecia e ocupou mais de 200 páginas que nenhuma margem de livro, por maior que fosse, seria capaz de conter. O mais provável
é que Fermat tenha cometido um erro semelhante aos que cometeram milhares de
pessoas que tentaram depois dele. Mas, ainda que apenas por curiosidade histórica
(para saber no que foi que ele errou), não podemos deixar de concordar com Fernando
Quadros [3] que foi realmente uma pena que Fermat não dispusesse de uma margem
mais larga.
4.2
Operações em Z
Começaremos recordando rapidamente as propriedades das operações da adição e
multiplicação em Z.
1. Adição
Para cada par de inteiros a e b, a soma de a e b é bem definida e é também um
número inteiro, denotado por a + b. A operação de adição em Z satisfaz as seguintes
leis:
• Comutatividade da adição : a + b = b + a,
∀ a, b ∈ Z,
• Associatividade da adição : (a + b) + c = a + (b + c),
• Elemento neutro: existe 0 ∈ Z : a + 0 = 0 + a = a,
∀ a, b, c ∈ Z,
∀a ∈ Z,
83
4 NÚMEROS INTE
• Elemento inverso: para todo inteiro a, existe um inteiro que denotaremos por (−a) tal que a + (−a) = (−a) + a = 0.
2. Multiplicação
Para cada par de inteiros a e b, o produto de a e b é bem definido e é também
um número inteiro, indicado por ab ou a × b. A operação de multiplicação em Z
satisfaz as seguintes leis:
• Comutatividade da multiplicação : ab = ba,
∀ a, b ∈ Z,
• Associatividade da multiplicação : (ab)c = a(bc),
• Elemento neutro: existe 1 ∈ Z : a1 = 1a = a,
∀ a, b, c ∈ Z,
∀a ∈ Z.
Relacionando a adição e a multiplicação em Z temos a Distributividade da multiplicação em relação à adição
a(b + c) = ab + ac,
para quaisquer a, b, c ∈ Z.
As operações de adição e multiplicação em Z obedecem às Leis do cancelamento:
se a + x = a + y, então x = y ∀a, x, y ∈ Z,
se ax = ay e a 6= 0, então x = y ∀x, y ∈ Z.
(4.1)
Podemos definir a subtração em Z a partir da adição em Z.
3. Subtração
Dados dois inteiros a e b existe um único inteiro x tal que a + x = b. Diz-se que
x é o resultado de subtrair a de b. temos que x = b + (−a) que é denotado por b − a.
A Divisão não está definida em todo Z pois podemos dividir um inteiro por
outro e obter um número não inteiro (p.ex., 2, 4 ∈ Z mas 2/4 = 1/2 6= Z). Dizemos
então que a divisão não é uma operação sobre Z. Em geral temos a seguinte
Definição 19 Chama-se operação sobre um conjunto E a toda função de
E × E −→ E.
Exemplo 1.: Temos que a adição , a multiplicação e a subtração são operações sobre Z. Entretanto a divisão não é uma operação sobre Z.
Sejam
◦ : E × E −→ E, ? : E × E −→ E
(a, b) 7→ a ◦ b
(a, b) 7→ a ? b
operações sobre E.
84
4 NÚMEROS INTE
(a) ” ◦ ” é Comutativa se a ◦ b = b ◦ a,
∀ a, b ∈ E.
(b) ” ◦ ” é Associativa se a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c,
∀ a, b, c ∈ E.
(c) ”◦” possui Elemento Neutro (ou Elemento Identidade), denotado por
e ∈ E, se a ◦ e = e ◦ a = a, ∀ a ∈ E.
(d) Se ” ◦ ” tem elemento neutro e, dizemos que os elementos de E
são simetrizáveis em relação a ” ◦ ” se para todo a ∈ E existe a0 ∈ E tal
que
a ◦ a0 = a0 ◦ a = e.
O elemento a0 é chamado o simétrico (ou o inverso) de a.
(e) A operação ” ? ” é dita Distributiva em relação à ” ◦ ” pela direita se
(a ◦ b) ? c = (a ? c) ◦ (b ? c) ∀ a, b, c ∈ E,
e pela esquerda, se
c ? (a ◦ b) = (c ? a) ◦ (c ? b) ∀ a, b, c ∈ E.
Exemplo 2. Assim a adição sobre Z é uma operação que satisfaz (a), (b), (c) e
(d). Já a multiplicação sobre Z não possui a propriedade (d), mas satisfaz (a), (b),
(c) e é distributiva à direita e à esquerda em relação à adição .
4.2.1
Exercı́cios
Verifique se as seguintes leis definem uma operação sobre o conjunto considerado
e em caso afirmativo quais das propriedades são válidas:
(1) Sejam A 6= Ø e E o conjunto de todas as funções de A em A. A
composição de funções define uma operação sobre E.
(2) Seja E o conjunto de todas as funções de R −→ R. A adição de
funções
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
define uma operação sobre E.
(3) A subtração em N.
(4) A subtração em Z.
(5) A divisão em Q.
(6) A divisão em Q∗ = Q − {0}.
(7) A interseção de conjuntos definida nas partes de um conjunto A.
85
4 NÚMEROS INTE
(8) A união de conjuntos definida nas partes de um conjunto A. Caso
você tenha afirmado que em (7) e (8) temos operações sobre o conjunto
considerado, verifique se a operação de (7) é distributiva à esquerda e/ou
à direita em relação à operação de (8).
(9) A multiplicação de funções definida no conjunto de todas as funções de
R em R.
(10) A multiplicação de matrizes reais quadradas.
(11) A soma de matrizes reais n × m.
4.3
Divisores
Já vimos que a divisão não é uma operação em Z já que podemos dividir um
inteiro por outro e obter um número não inteiro. Entretanto, existem números
inteiros a e b tais que b/a é um número inteiro. Isto significa que existe c ∈ Z tal
que b = c a. Temos então a seguinte
Definição 20 Dizemos que um inteiro a divide o inteiro b, e denotamos a|b, se
e somente se existe um inteiro c tal que b = c a. Se a|b dizemos também que b é
divisı́vel por a, que a é divisor ou fator de b, ou que b é múltiplo de a.
A notação a 6 | b significa que a não divide b.
4.3.1
Exercı́cio
Mostre que se a 6= 0 então o inteiro c acima é único.
Propriedades
Sejam a, b, c, α, β inteiros quaisquer. Então
(i) Se a|b e a|(b + c) então a|c.
(ii) Se a|b e a 6 | c então a 6 | (b + c).
(iii) Se c|a e c|b então c|(αa + βb).
Demonstração de (i): Por hipótese, existem inteiros x e y tais que
ax = b e ay = b + c.
Portanto
o que implica que a|c.
c = ay − b = ay − ax = a(y − x),
86
4 NÚMEROS INTE
4.3.2
Exercı́cios
(1) Demonstre as propriedades (ii) e (iii) acima.
(2) Prove, por indução , que 8 divide 32n − 1 para todo natural n ≥ 1.
(3) Prove, por indução , que para quaisquer inteiros x e y temos que x−y
divide xn − y n para todo natural n ≥ 1. (Sugestão : Prove que P (1) é
verdadeira e mostre que P (n) verdadeira =⇒ P (n+1) verdadeira. Para
mostrar que P (n + 1) é verdadeira escreva xn+1 − y n+1 = xn x − y n y e
use a hipótese de indução para o substituir o valor de xn em xn x − y n y
por uma expressão equivalente.)
(4) Mostre que para quaisquer inteiros a, b e c tem-se
(a) a|a.
(b) Se a|b e b|c então a|c.
(c) Se a|b e a|c então a|(b ± c).
(d) Se a|b então (ac)|(bc).
Note que (a) e (b) mostram que a relação de divisibilidade é
reflexiva e transitiva. Ela é simétrica?
(5) Mostre que as seguintes condições sobre os números inteiros a e b
são equivalentes
(i) a|b
(ii) (−a)|b
(iii) a|(−b)
(iv) (−a)|(−b).
(Sugestão : Basta mostrar que (i)=⇒ (ii) =⇒ (iii) =⇒ (iv) =⇒ (i).)
(6) Se ab|ac e a 6= 0 então b|c.
(7) 1|a.
(8) Se a 6= 0 então a|0.
(9) Se a|b e b 6= 0 então |a| ≤ |b|.
−−−?−−−
Ainda no ensino fundamental todos nós aprendemos a fazer a divisão de dois
números inteiros obtendo um quociente e um resto (já que nem sempre a divisão é
exata). Por exemplo, divindo 3857 por 285 obtemos quociente 13 e resto 152, ou
ainda, 3857 = 13×285 + 152.
Provavelmente nunca nos ocorreu a pergunta: sempre se consegue achar estes
números que chamamos de quociente e resto? A resposta é sim e é o que provaremos
a seguir.
87
4 NÚMEROS INTE
Teorema 5 [Teorema da Divisão de Euclides (± 300 a.C.)]
Dados os inteiros a > 0 e b ≥ 0, existe um único par de inteiros q ≥ 0 e
0 ≤ r < a tais que
b = qa + r.
Consequentemente r = 0 ⇐⇒ a|b.
Demonstração : Dividiremos a demonstração deste teorema em duas partes: a
existência, i.e., mostraremos que dados inteiros a > 0 e b ≥ 0 existem q e r tais
que q ≥ 0, 0 ≤ r < a, com b = qa + r, e a unicidade, i.e., mostraremos que q e r
são únicos, ou ainda, se b = aq + r e b = aq 0 + r0 , com q, q 0 ≥ 0 e 0 ≤ r, r0 < a
então q = q 0 e r = r0 .
Existência: Usaremos a 2a forma do princı́pio de indução em b. Se b = 0 então q =
0 e r = 0 são tais que b = 0a + 0. Seja b > 0 e suponhamos que para todo número
inteiro c com 0 ≤ c < b, se consiga encontrar números inteiros q0 ≥ 0 e 0 ≤ r0 < a
tais que c = q0 a + b. Nós queremos mostrar que podemos escrever b = qa + r com
q ≥ 0 e 0 ≤ r < a.
Se b < a então podemos tomar q = 0 e r = b :
b = 0a + b;
b < a.
Se b ≥ a então c = b − a ≥ 0; além disso como a > 0 então b − a < b, logo
0 ≤ c < b para c = b − a. Pela nossa hipótese de indução , existem q0 ≥ 0 e
0 ≤ r0 < a tais que
c = q 0 a + r0 .
Mas então
b = c + a = q0 a + r0 + a = (q0 + 1)a + r0
onde q0 + 1 ≥ 0 e 0 ≤ r0 < a. Podemos então tomar q = q0 + 1 e r = r0 .
Unicidade: Suponhamos que b = aq + r = aq 0 + r0 com q, q 0 ≥ 0 e 0 ≤ r, r0 < a.
Queremos mostrar que q = q 0 e r = r0 . Suponhamos r 0 ≥ r (poderı́amos também
ter escolhido r 0 ≤ r). Notemos que aq + r = aq 0 + r0 =⇒ a(q − q 0 ) = r0 − r. Como
r0 − r ≥ 0 e a > 0 então q − q 0 ≥ 0. Também r 0 − r ≤ r0 (já que r ≥ 0) e r 0 < a
(hipótese), logo r 0 − r < a e portanto a(q − q 0 ) = r0 − r < a donde q − q 0 < 1. De
q − q 0 ≥ 0 e q − q 0 < 1 obtemos q − q 0 = 0, i.e., q = q 0 . Como b = aq + r = aq 0 + r0 ,
segue r = r0 e a demonstração está completa.
Observação : Apesar de termos demonstrado o teorema da divisão de Euclides
somente para naturais a e b com a 6= 0, ele pode ser generalizado para inteiros da
seguinte maneira
88
4 NÚMEROS INTE
Dados os inteiros a e b com a 6= 0, existem e são únicos os inteiros q e
r com 0 < r < |a| tais que
b = aq + r.
Os números q e r são respectivamente denominados quociente e resto da
divisão euclidiana de b por a.
Este teorema nos permite estabelecer o processo de representação de um número
natural no sistema de base a ≥ 2, que daremos a seguir.
4.4
Sistemas de Numeração
Há muito tempo atrás o homem aprendeu que era fácil contar um número grande
de objetos agrupando-os. Ainda usamos esta idéia quando dizemos uma dúzia de
ovos para representar um grupo de 12 ovos e uma grosa para representar um grupo
de 12 dúzias. Como temos 10 dedos é natural contar usando grupos de 10.
Assim, o sistema numérico que nós usamos é decimal, logo tem 10 algarismos.
Além disso é posicional, no sentido de que um número se representa por uma
sequência ordenada e finita de algarismos; o valor de um algarismo depende de
sua posição . Assim 123 significa (1 × 100) + (2 × 10) + 3.
Uma vantagem do nosso sistema é que ele tem um sı́mbolo para o algarismo
zero. Usamos o zero para preencher lugares que deveriam estar vazios. A origem
do zero é incerta mas os hindus usaram um sı́mbolo para ele cerca de 600 d.C. ou
possivelmente antes.
Nosso sistema é conhecido como hindu-arábico e foi desenvolvido na sua forma
final cerca de 500 d.C. pelos astrônomos e calculistas hindus. A aritmética hindu
foi divulgada e adotada no mundo islâmico por volta de 825 d.C.
O sistema posicional mais antigo conhecido na história é o sistema sexagesimal
da Babilônia (cerca de 1800 a.C.). Vestı́gios da influência babilônica são aparentes
na divisão da hora em 60 minutos, do minuto em 60 segundos e na divisão da
circunferência em 360 graus.
Os mayas da América Central usavam (por volta de 300 a.C.) um sistema posicional vigesimal e eles tinham um sı́mbolo para o zero.
Além da convenção e da filosofia não existe nenhuma razão particular para se
usar base 10. Os computadores, por exemplo, adotam sistemas de base 2, 4 e 16.
Como escreverı́amos, p.ex., um número na base 7? Daremos a seguir alguns
exemplos.
89
4 NÚMEROS INTE
Base 10
Base 7
3
? ?
?
3
9
? ? ?
?
? ? ?
?
?
12
17
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
?
?
23
52
?
7 grupos de 7 ?
?
103
Assim, se estamos agrupando de 7 em 7, 103 quer dizer 1 × 72 + 0 × 7 + 3 e 23
quer dizer 2 × 7 + 3.
O resultado seguinte garante a possibilidade de representação de um número
natural em relação a qualquer base a ≥ 2, ou seja, garante que dado K ∈ N,
podemos escrever K de maneira única como
K = rn an + rn−1 an−1 + · · · + r1 a + r0 ,
com 0 ≤ ri < a.
Aqui a está cumprindo o papel de 7 nos exemplos acima ou de 10 no nosso sistema
decimal. Uma vez achados estes ri0 s escrevemos
K = (rn rn−1 . . . r1 r0 )a
e dizemos que K está representado na base a.
Teorema 6 Fixe um natural a ≥ 2. Podemos representar qualquer inteiro b ≥ 0 na
base a; i.e., b pode ser escrito de maneira única como
b = rn an + rn−1 an−1 + · · · + r1 a + r0
com 0 ≤ ri < a para todo 0 ≤ i ≤ n.
90
4 NÚMEROS INTE
Demonstração : Demonstraremos por indução (2a forma) em b.
O resultado é trivialmente verdadeiro para b = 0. Suponhamos que todo natural
c, tal que 0 < c < b, pode ser escrito de maneira única como acima.
Sabemos, pelo lema da divisão de Euclides, que existem q ≥ 0 e 0 ≤ r 0 < a tais
que b = aq + r0 e q e r0 são únicos. Então q < b. De fato como a ≥ 2 (logo a > 0) e
b > 0 então
q ≥ b =⇒ aq + r0 ≥ ab + r0 =⇒ b ≥ ab + r0 =⇒ r0 ≤ (1 − a)b ≤ −b < 0,
o que é absurdo. Assim, sendo q < b, segue da nossa hipótese de indução que
podemos escrever
q = rn an−1 + · · · + r2 a + r1
com 0 ≤ ri < a únicos. Então
b = a(rn an−1 + · · · + r2 a + r1 ) + r0 = rn an + · · · + r2 a2 + r1 a + r0
com 0 ≤ ri < a ∀i = 0, 1, . . . , n. A unicidade dos ri0 s segue da unicidade de r0 e q e
da unicidade dos ri0 s para i ≥ 1, C.Q.D.
Observação 1: Se b < 0, achamos a representação de −b > 0 na base a, (rn rn−1 . . . r0 )a ,
e escrevemos b = −(rn rn−1 . . . r0 )a .
Observação 2: Note que a prova do teorema mostra como obter a representação de
b na base a; primeiro dividimos b por a, e depois os quocientes sucessivos, por a :
b = aq0 + r0
q = aq1 + r1
q1 = aq2 + r2
..
.
até o último quociente ser zero. Os dı́gitos ri0 s são , então , os restos das divisões ,
logo b = (rn rn−1 . . . r0 )a .
Exemplo 3. Escrever 366 na base 2:
366 = 2 × 183 + 0
183 = 2 × 91 + 1
91 = 2 × 45 + 1
45 = 2 × 22 + 1
22 = 2 × 11 + 0
11 = 2 × 5 + 1
5=2×2+1
2=2×1+0
1 = 0 × 2 + 1,
366 = (101101110)2
91
4 NÚMEROS INTE
O teorema acima nos permite provar, de maneira fácil, alguns Critérios de Divisibilidade.
Há muito tempo sabemos quando um inteiro é divisı́vel por 2 ou por 5, por exemplo. Até mesmo o critério de divisibilidade por 3 é bastante conhecido, se bem que
muitos o vejam como algo mirabolante. Tentaremos agora justificar alguns desses
critérios.
Teorema 7 (Divisibilidade por 2) : Sejam rn rn−1 . . . r0 a expressão de um número
b na base 10. Então b é divisı́vel por 2 ⇐⇒ r0 é divisı́vel por 2. Em outras palavras um número escrito na base 10 é divisı́vel por 2 se, e somente se, seu último
algarismo (o das unidades) é divisı́vel por 2.
Demonstração : Temos que
b = rn rn−1 . . . r1 r0 = rn 10n + rn−1 10n−1 + · · · + r1 10 + r0
10(rn 10n−1 + rn−1 10n−2 + · · · + r1 ) + r0 = 10r + r0
onde r = rn 10n−1 + rn−1 10n−2 + · · · + r1 . Assim, se 2|b, como r0 = b − 10r temos que
2|r0 . Reciprocramente, se 2|r0 , como b = 10r + r0 temos que 2|b C.Q.D.
Teorema 8 (Divisibilidade por 3) : Sejam rn rn−1 . . . r0 a expressão de um decimal de um número b. Então 3|b ⇐⇒ 3|(rn + rn−1 + · · · + r1 + r0 ). Em outras
palavras um número escrito na base 10 é divisı́vel por 3 se, e somente se, a soma de
seus algarismos é divisı́vel por 3.
Demonstração : Temos que
Agora,
b = rn 10n + rn−1 10n−1 + · · · + r1 10 + r0
= rn (9 + 1)n + rn−1 (9 + 1)n−1 + · · · + r1 (9 + 1) + r0 .
k
(9 + 1) =
k X
k
j=0
e podemos escrever
k
j
(9 + 1) = 1 + 9ak ,
9
k−j
=1+9
k−1 X
k
9k−j−1
k−1 X
k
9k−j−1 .
j=0
onde ak =
j=0
j
j
Assim
b = rn (1 + 9an ) + rn−1 (1 + 9an−1 ) + · · · + r1 (1 + 9) + r0
= 9(an rn + an−1 rn−1 + · · · + a2 r2 + r1 ) + (rn + rn−1 + · · · + r2 + r1 + r0 ).
Temos então que
C.Q.D.
3|b ⇐⇒ 3|(rn + rn−1 + · · · + r2 + r1 + r0 )
92
4 NÚMEROS INTE
4.4.1
Exercı́cios
1. O teorema da divisão de Euclides foi demonstrado para números naturais a
e b com a 6= 0. Demonstre a seguinte generalização para inteiros:
Dados os inteiros a e b com a 6= 0, existem e são únicos os inteiros q e r,
com 0 ≤ r < |a|, tais que b = aq + r.
Sugestão :
(1a) Se a > 0 e b < 0 (logo −b > 0), então conclua que b = −qa − r =
−qa − a + a − r = a(−q − 1) + (a − r). Mostre que r 0 := a − r satisfaz
as condições . Preencha os detalhes acima;
(2a) depois considere a < 0 e b ≥ 0; e
(3a) considere a < 0 e b < 0. Conclua que b = qa − r, onde 0 ≤ r < −a,
implica que b = a(q + 1) + (−a − r) e mostre que r 0 := −a − r satisfaz
as condições .
2. Sejam a, b, m ∈ Z, com m 6= 0. Mostre que se m|(b − a) então a e b
têm o mesmo resto quando divididos por m. (Sugestão : Sejam r 1 e r2 os restos das
divisões de a por m e b por m respect. Prove que m|(|r2 −r1 |) e que |r2 −r1 | < |m|).
3. Seja a ∈ Z. Mostre que a2 tem resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. (Sugestão : a = 8q + r; 0 ≤ r < 8. Calcule a2 para todos os valores possı́veis de r e
mostre que, em cada caso, o resto da divisão de a2 por 8 só pode ser 0, 1 ou 4).
4. Sejam a, b números naturais com b ≥ 1 e a ≥ 2 e seja b = rk ak + rk−1 ak−1 +
· · ·+r1 a+r0 o desenvolvimento de b na base a, com rk 6= 0. Mostre que ak ≤ b < ak+1
(Sugestão : indução em k).
5. Como você escreve o número 983457832411 na base 1000? Como você converte o número (110011111001)2 para a base 8? Escreva o número (103 − 1)/3 na
base 1000. Qual é maior: (98 47 82)327 ou (98 478 2)511 ?
6. Expresse o número 274 nas bases 2, 5, 7 e 9.
7. Calcule (2351)7 + (1001110)2 − (7706)8 + (11122)4 .
8. Estude a adição , subtração , multiplicação e divisão numa base a. Note que
como não estudamos a taboada numa base a qualquer, temos que recorrer à taboada
93
4 NÚMEROS INTE
na base 10 para efetuar estas operações .
9. Mostre que todo número ı́mpar se escreve como a diferença de dois quadrados.
10. Prove que o cubo de qualquer inteiro é igual à diferença dos quadrados de
dois inteiros. (Sugestão : 13 = 12 − 02 , 23 = 32 − 12 , 33 = 62 − 32 , 43 = 102 − 62 , . . . .
Que sequência é esta?)
11∗ . Mostre que 24|(n(n2 − 1)(3n + 2)) ∀n ∈ N com n ≥ 1. (Sugestão : veja
exercı́cio 16(a) da seção 4.12).
12. Para cada par de inteiros a e b dado abaixo, encontrar o quociente e o resto
da divisão de Euclides de a por b.
(i) a = 59; b = 6
(ii) a = −71; b = 5
(iii) a = −48; b = −7
(iv) a = 67; b = −13
13. Dizer qual é o maior inteiro que pode ser somado ao dividendo sem alterar
o quociente quando se divide 431 por 37.
14. Mostre os critérios de divisibilidade por 4, 5, 6, 8, 9 e 10.
15∗ . Dado o número a, representado na base 10 por a = rk rk−1 · · · r1 r0 , mostre
que a é divisı́vel por 7, 11 ou 13 se, e somente se, r2 r1 r0 − r5 r4 r3 + r8 r7 r6 − · · · é
divisı́vel respectivamente por 7, 11 ou 13. Por exemplo, 891345783 não é divisı́vel
por nenhum dos 3 já que 783 - 345 + 891 = 1329 não é divisı́vel por nenhum dos 3.
(Sugestão : Usar a representação do número na base 1000.)
94
4.5
4 NÚMEROS INTE
Máximo Divisor Comum - MDC
Definição 21 Dados dois inteiros, não simultaneamente nulos, a e b, o inteiro c
é o máximo divisor comum de a e b, e escrevemos c = (a, b) ou c = mdc(a, b), se
(i) c > 0
(ii) c|a e c|b
(iii) todo divisor comum de a e b é também divisor de c, i.e., se d|a e
d|b então d|c.
Proposição 5 Dados dois inteiros, não simultaneamente nulos, a e b, existe e é
único o mdc(a, b). Além disso, existem inteiros x e y tais que mdc(a, b) = ax + by.
Demonstração : Suponhamos b 6= 0. Pelo Teorema da divisão de Euclides generalizado para os números inteiros, temos que
a = bq + r0 ,
com 0 ≤ r0 < |b|.
Se r0 = 0 então mdc(a, b) = |b| (Prove!).
Se r0 > 0 então b = q1 r0 + r1 , com 0 ≤ r1 < r0 .
Se r1 = 0 então mdc(a, b) = r0 (Prove!).
Se r1 > 0 então r0 = q2 r1 + r2 , com 0 ≤ r2 < r1 .
Continuando esse processo obtemos:
a
b
r0
r1
=
=
=
=
..
.
qb + r0 ,
q 1 r0 + r 1 ,
q 2 r1 + r 2 ,
q 3 r2 + r 3 ,
0 ≤ r0
0 ≤ r1
0 ≤ r2
0 ≤ r3
< |b|,
< r0 ,
< r1 ,
< r2 ,
rn−2 = qn rn−1 + rn , 0 ≤ rn < rn−1 ,
rn−1 = qn+1 rn .
Se rn é o último resto não nulo no algoritmo acima, o número de passos no algoritmo
é (n + 2). Note que necessariamente se chega a um resto nulo pois
|b| > r0 > r1 > r2 > · · · ≥ 0.
Para terminar a demonstração desta proposição basta provar o seguinte resultado
95
4 NÚMEROS INTE
Seja n ∈ N, n ≥ 2. Considere a seguinte afirmativa P (n) : Se a e b 6= 0
são dois inteiros tais que ao se aplicar o algoritmo acima a eles, obtémse resto zero depois de n passos então mdc(a, b) = r e r = ax + by para
certos inteiros x e y, onde r é o último resto não nulo.
Provaremos este resultado por indução em n. Como vimos acima P (2) é verdadeira:
Se a = qb + r0 com 0 ≤ r0 < |b| e b = q1 r0 então mdc(a, b) = r0 . Além disso
r0 = a − qb = 1.a − q.b.
Suponhamos agora que P (n) seja verdadeira e mostremos que P (n + 1) também
é verdadeira. Sejam então a, b 6= 0 dois inteiros tais que o algoritmo acima quando
aplicado a eles dá resto zero depois de n + 1 passos e seja r o último resto não nulo.
Temos que a = bq + r0 e b e r0 são tais que quando aplicamos o algoritmo acima
a eles, obtemos resto zero depois de n passos. Além disso, o último resto não nulo
é r. Como estamos supondo P (n) verdadeira temos que
r = mdc(b, r0 ) e r = xb + yr0 .
Mas mdc(b, r0 ) = mdc(a, b) (prove!) e portanto mdc(a, b) = r. Além disso,
r = xb + yr0 = xb + y(a − bq) = ya + (x − b)q,
o que mostra que P (n + 1) é verdadeira C.Q.D.
Observações :
(1) P (1) não tem sentido pois não terı́amos resto não nulo; terı́amos
a = qb. Mas neste caso mdc(a, b) = |b| e |b| = 0.a ± b.
(2) A demonstração acima é construtiva, i.e., ela nos dá uma maneira de
achar o mdc(a, b).
(3) Quando mdc(a, b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou
que eles são relativamente primos.
Exemplo 4. Calcule o mdc(37, 23) e ache inteiros x, y tais que
mdc(37, 23) = 37x + 23y.
Solução :
37
23
14
9
5
4
=
=
=
=
=
=
1.23 + 14
1.14 + 9
1.9 + 5
1.5 + 4
1.4 + 1
4.1 + 0
96
4 NÚMEROS INTE
logo mdc(37, 23) = 1. Além disso
1 =
=
=
=
=
=
=
=
=
5 − 1.4
5 − 1.(9 − 1.5)
2.5 − 1.9
2.(14 − 1.9) − 1.9
2.14 − 3.9
2.14 − 3.(23 − 1.14)
5.14 − 3.23
5.(37 − 23) − 3.23
5.37 − 8.23.
Teorema 9 Sejam a e b inteiros não nulos. Então
(i) c|ab e (c, b) = 1 =⇒ c|a,
(ii) (a, c) = (b, c) = 1 =⇒ (ab, c) = 1,
b
a
,
= 1,
(iii)
(a, b) (a, b)
ab
(iv) a|c e b|c =⇒
|c,
(a, b)
(v) a|c, b|c e (a, b) = 1 =⇒ ab|c,
Demonstração : Demonstraremos (i), (iii) e (iv). O resto deixaremos como
exercı́cio.
(i) Como (c, b) = 1, existem inteiros x e y tais que cx + by = 1. Então a =
acx + aby. Como, por hipótese, c|ab então c|aby. Ainda c|acx; logo c|a.
(iii) Seja d = (a, b). Então d|a e d|b, portanto existem inteiros a 1 e b1 tais que
a = da1
e b = db1 .
Também existem inteiros x e y tais que d = xa + yb, logo d = xda1 + ydb1 o que
implica 1 = xa1 + yb1 . Note que
a1 =
a
(a, b)
e b1 =
b
.
(a, b)
Seja c = (a1 , b1 ); queremos mostrar que c = 1. Como c = (a1 , b1 ) então c|xa1 e c|yb1
o que implica que c|(xa1 + yb1 ). Como xa1 + yb1 = 1 então c = 1.
(iv) Sejam (a, b) = d e a = a1 d e b = b1 d. Como a|c e b|c, existem inteiros x
e y tais que c = xa e c = yb; portanto xa = yb =⇒ xa1 d = yb1 d =⇒ a1 x = b1 y.
Portanto b1 |a1 x. Como por (iii), (a1 , b1 ) = 1, temos, por (i), que b1 |x. Então x = x1 b1
ab
.
e c = xa = x1 b1 a1 d =⇒ (b1 a1 d)|c. Mas b1 a1 d =
(a, b)
97
4 NÚMEROS INTE
4.5.1
Exercı́cios
1. Encontrar, usando o algoritmo de Euclides, o m.d.c. dos seguintes pares de
números a e b. Encontre inteiros x e y tais que ax + by = mdc(a, b).
(a) a = 542 e b = 234.
(b) a = 9652 e b = 252.
(c) a = 4276 e b = 1234.
2. Mostre que, dados os inteiros não nulos a e b, então os inteiros x e y tais que
xa + yb = mdc(a, b) não são únicos. Mostre que mdc(x, y) = 1. (Sugestão : Seja
d = (a, b) e suponha xa + yb = d = x1 a + y1 b. Da equação (x − x1 )a + (y − y1 )b = 0,
obtenha x1 e y1 satisfazendo x1 6= x e y1 6= y. Note por exemplo que se x − x1 = b
e y−y1 = −a então (x−x1 )a+(y−y1 )b = ab−ab = 0. Para mostrar que (x, y) = 1,
seja c = (x, y). Agora, como d|a e d|b, então a = a1 d e b = b1 d. Então xa+yb = d
implica xa1 + yb1 = 1 (porque?). Agora mostre que c|a1 x e c|b1 y e conclua o resultado.
3. Encontrar inteiros x e y tais que
(a) 93x + 81y = 3.
(b) 43x + 128y = 1.
4. Divida 100 em duas parcelas tais que a primeira seja divisı́vel por 7 e a segunda por 11.
Definição 22 Um número inteiro positivo p > 1 é chamado primo se ele possui
somente dois divisores positivos: p e 1. Se p > 1 não é primo, dizemos que p é
composto. Dizemos que um inteiro negativo p < −1 é primo se −p o for.
5. Mostre que se p é primo e p|ab então p|a ou p|b.
6. Mostre que se a = pα1 1 pα2 2 · · · pαnn e b = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβnn com os p0i s primos
distintos e αi0 s ≥ 0, βi0 s ≥ 0, então
mdc(a, b) = pγ11 pγ22 · · · pγnn
onde γi = min{αi , βi }.
98
4 NÚMEROS INTE
7. Sejam a e b inteiros não nulos e m > 0 um natural. Mostre que
(ma, mb) = m(a, b).
˜
˜ Para
(Sugestão : Sejam d = (a, b) e d˜ = (ma, mb). Mostre que d|md
e md|d.
˜
mostrar que md|d, mostre que md|ma e md|mb e conclua. Para mostrar que
˜
˜
d|md,
multiplique a equação ax + by = d por m e mostre que d|(max
+ mby).
Conclua).
8. Sejam a e b inteiros não nulos tais que (a, b) = 1. Então para todo inteiro
m > 0, (am , bm ) = 1. (Sugestão : use a e b na forma decomposta em fatores de
números primos)
9. Verifique se a operação
N × N −→ N,
(a, b) 7→ mdc(a, b)
é associativa, comutativa e se tem elemento neutro.
10. Sejam a e b inteiros não nulos. Mostre que (a+b, a−b) ≥ (a, b). (Sugestão :
Sejam d = (a + b, a − b) e d˜ = (a, b). Prove que d˜ divide a + b e a − b, portanto
˜ Conclua que d ≥ d.
˜
d|d.
11. Mostrar que se a e b são inteiros com (a, b) = 1, então (a + b, a − b) = 1 ou 2.
(Sugestão : Seja d = (a + b, a − b). Logo a + b = k1 d e a − b = k2 d. Use exercı́cio
(7) para concluir que d(k1 + k2 , k1 − k2 ) = 2. Conclua que d = 1 ou d = 2.)
12. Mostrar que se b|c então (a + c, b) = (a, b). (Sugestão : Sejam d = (a + c, b)
e d 0 = (a, b). Mostre que d|a e d|b, portanto, d|d 0 (Porquê?). Para mostrar que
d 0 |d, mostre que d 0 |c e conclua.)
13. Mostrar que (a, bc) = 1 se, e somente se, (a, b) = (a, c) = 1. (Sugestão :
Note que a volta já foi demonstrada no Teorema 9 (ii). Para provar a ida, sejam
d1 = (a, b) e d2 = (a, c). Note que (a, bc) = 1 =⇒ ax + bcy = 1. Mostre que
ambos, d1 e d2 , dividem ax + bcy).
14. Mostrar que se (a, c) = 1 então (a, bc) = (a, b). (Sugestão : Sejam d = (a, bc)
e d 0 = (a, b). Mostre que d 0 |a e d 0 |bc; logo d 0 |d. Depois mostre que d|a e d|b;
logo d|d 0 ).
99
4 NÚMEROS INTE
4.6
Teorema Fundamental da Aritmética
Começamos esta seção redefinindo número primo.
Definição 23 Um número inteiro p > 1 é chamado primo se ele possui somente
dois divisores positivos: p e 1. Se p > 1 não é primo, dizemos que p é composto
Dizemos que um inteiro negativo p < −1 é primo se −p é primo de acordo com
a definição acima.
Proposição 6 Se p é primo e p|ab então p|a ou p|b.
Demonstração : Se p 6 | a, então (a, p) = 1 o que implica, pelo Teorema 9, parte
(i), p|b C.Q.D.
Já demonstramos que todo natural n ≥ 2 se escreve como um produto de primos
usando a 2a forma do princı́pio de indução . A seguir daremos uma prova alternativa
para este fato e também mostraremos a unicidade.
Teorema 10 (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo inteiro n ≥ 2 pode
ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores
primos.
Demonstração : Se n é primo não há nada a ser demonstrado. Suponhamos,
pois, n composto. Seja p1 (p1 > 1) o menor dos divisores positivos de n. Afirmamos
que p1 é primo. Isto é verdade, pois, caso contrário existiria p, 1 < p < p 1 com p|n,
contradizendo a escolha de p1 . Logo, n = p1 n1 .
Se n1 for primo, a prova está completa. Caso contrário, tomamos p 2 como o
menor fator de n1 . Pelo argumento anterior, p2 é primo e temos que n = p1 p2 n2 .
Repetindo esse procedimento, obtemos uma sequência decrescente de inteiros
positivos n1 , n2 , · · · , nr . Como todos eles são inteiros maiores do que 1, este processo
deve terminar. Como os primos na sequência p1 , p2 , · · · , pr não são , necessariamente,
distintos, n terá, em geral, a forma:
n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k .
Para mostrarmos a unicidade usamos a 2a forma de indução em n. Para n = 2 a
afirmação é verdadeira. Assumimos, então , que ela se verifica para todos os inteiros
maiores do que 1 e menores do que n. Vamos provar que ela também é verdadeira
para n. Se n é primo, não há nada a provar. Vamos supor, então , que n seja
composto e que tenha duas fatorações , i.e.,
n = p 1 p2 · · · p s = q1 q2 · · · q r .
100
4 NÚMEROS INTE
Vamos provar que s = r e que cada pi é igual a algum qj . Como p1 divide o produto q1 q2 · · · qr ele divide pelo menos um dos fatores qj . Sem perda de generalidades
podemos supor que p1 |q1 . Como são ambos primos, isto implica p1 = q1 . Logo
n
= p2 · · · p s = q2 · · · q r .
p1
Como 1 < n/p1 < n, a hipótese de indução nos diz que as duas fatorações são idênticas,
i.e., s = r e, a menos da ordem, as fatorações p1 p2 · · · ps e q1 q2 · · · qs são iguais
C.Q.D.
Vemos que os números primos são aqueles a partir dos quais os outros números
naturais são construı́dos. Por esta razão , os matemáticos são fascinados por eles.
O resultado mais antigo sobre os números primos foi demonstrado por Euclides.
Teorema 11 Existem infinitos números primos.
Demonstração : Suponhamos, por absurdo, que exista somente um número
finito de números primos e sejam eles p1 , p2 , · · · , pN . Considere o número
m = p1 p2 · · · pN + 1.
Como m é maior que qualquer um dos p0i s, m não pode ser primo já que todos os
primos são p1 , p2 , · · · , pN .
Se m não é primo, ele admite um divisor primo que teria de ser um dos p 0i s. Mas
nenhum pi pode dividir m pois então pi teria de dividir 1 também, já que
1 = m − p 1 p2 · · · p N
C.Q.D.
Um exemplo de um problema sobre primos ainda não resolvido é a seguinte
conjetura
Existe um número infinito de primos gêmeos (i.e., primos que ocorrem
aos pares tais como 3 e 5, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, etc.)
4.7
O Crivo de Eratóstenes (276-194 a.C.)
O Teorema Fundamental da Aritmética nos garante a existência de uma fatorização para qualquer n > 1, porém o problema concreto de achá-la pode ser bastante
trabalhoso. A maneira direta de proceder é de verificar braçalmente ou pelo uso de
um computador, a divisibilidade de n por inteiros m menores do que n. Realmente,
√
é suficiente verificar a divisibilidade de n pelos primos menores ou iguais a n.
101
4 NÚMEROS INTE
Teorema 12 Se n não é√primo, então n possui, necessariamente, um fator primo
menor do que ou igual a n.
Demonstração : Sendo n composto então n = n1 .n2 onde 1 < n1 < n, 1 <
n2 < n. Sem perda
1 tem que ser
√ n√
√ de generalidades vamos supor n1 ≤ n2 . Logo
menor ou igual a n pois do contrário, terı́amos n = n1 · n2 > n · n = n o que
é absurdo. Logo, como
√ pelo Teorema 10, n1 possui algum fator primo p, este desve
ser menor ou igual a n. Como p, sendo um fator primo de n1 é também um fator
de n, a demonstração está completa.
Assim, se desejarmos obter a lista de todos os primos menores que 60 devemos
excluir dentre os números 2 e 60 aqueles
√ que são múltiplos de 2, 3, 5 e 7 pois
estes são os primos menores ou iguais a 60. Este processo é chamado de crivo de
Eratóstenes.
11
6 21
31
41
6 51
2
6 12
6 22
6 32
6 42
6 52
3
13
23
6 33
43
53
64
6 14
6 24
6 34
6 44
6 54
5
6 15
6 25
6 35
6 45
6 55
66
6 16
6 26
6 36
6 46
6 56
7
17
6 27
37
47
6 57
68
6 18
6 28
6 38
6 48
6 58
69
19
29
6 39
6 49
59
6 10
6 20
6 30
6 40
6 50
6 60
Logo, os primos entre 2 e 60 são todos aqueles que não foram eliminados pelo
processo descrito, isto é,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
4.8
Mı́nimo Múltiplo Comum - MMC
Definição 24 Dados dois inteiros, não nulos, a e b, o inteiro c é o mı́nimo múltiplo
comum de a e b, e escrevemos c = [a, b] ou c = mmc(a, b), se
(i) c > 0,
(ii) a|c e b|c,
(iii) se d ∈ Z é tal que a|d e b|d então c|d.
Observação : Se c = mmc(a, b) então c é único. Isto porque se c1 = [a, b]
e c2 = [a, b], pela condição (iii) c1 |c2 e c2 |c1 . Mas como c1 > 0 e c2 > 0,
então c1 = c2 .
Na proposição seguinte mostraremos que o mmc(a, b) existe sempre.
Proposição 7 mmc(a, b) =
|ab|
mdc(a, b)
102
4 NÚMEROS INTE
Demonstração : Seja d = (a, b). Então existem inteiros a1 e b1 tais que a =
a1 d, b = b1 d e então
|ab|
= |a1 ||b1 |d = ±a|b1 | = ±|a1 |b
d
e temos que
|ab|
|ab|
a|
e b|
.
d
d
e b| |ab|
, então pela parte (iii)
Seja c = [a, b]. Então a|c e b|c. Como também a| |ab|
d
d
|ab|
da definição de mmc, c| d . Por outro lado, como a|c e b|c, então pelo Teorema 9
(iv), ab
|c e então |ab|
|c. Como |ab|
> 0 temos que |ab|
= c C.Q.D.
d
d
d
d
4.9
Exercı́cios
1. Defina o m.d.c. e o m.m.c. de n inteiros não nulos. Mostre que
(i) (a1 , a2 , . . . , an−1 , an ) = ((a1 , a2 , . . . , an−1 ), an )
(ii) [a1 , a2 , . . . , an−1 , an ] = [[a1 , a2 , . . . , an−1 ], an ]
(iii) Existem inteiros x1 , x2 , . . . , xn tais que
(a1 , a2 , . . . , an−1 , an ) = x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an .
2. Mostre que se a = pα1 1 pα2 2 · · · pαnn e b = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβnn com os p0i s primos
distintos e αi0 s ≥ 0, βi0 s ≥ 0, então
mmc(a, b) = pγ11 pγ22 · · · pγnn
onde γi = max{αi , βi }.
3. Sejam a e b inteiros não nulos e m > 0 um natural. Mostre que
[ma, mb] = m[a, b].
4. Verifique se a operação
N × N −→ N,
(a, b) 7→ mmc(a, b)
é associativa, comutativa e se tem elemento neutro.
103
4 NÚMEROS INTE
4.10
Equações Diofantinas
Comprei laranjas e maçãs gastando R$10,00. Sabendo que 1 kg de maçã custa
R$3,00 e 1 Kg de laranja, R$2,00, quantos quilos de maçãs e laranjas eu comprei?
Para responder esta pergunta temos que achar as soluções inteiras positivas da
equação
x · 3 + y · 2 = 10.
Será que esta equação tem soluções inteiras?
Definição 25 Uma equação diofantina linear (em duas variáveis) é uma expressão da
forma
ax + by = n
na qual a, b e n são inteiros, a e b não simultaneamente nulos. Uma solução desta
equação é um par de inteiros x0 , y0 que a satisfaz.
OBS: O nome diofantina foi dado em homenagem ao matemático grego Diofanto
Abaixo damos um critério que nos permite decidir quando uma equação diofantina tem solução .
Proposição 8 Uma equação diofantina ax + by = n possui solução se, e somente
se, mdc(a, b) | n.
Demonstração : (=⇒) Seja (x0 , y0 ) uma solução de ax + by = n e seja d =
mdc(a, b). Então d|a e d|b e portanto d|(ax0 + bx0 ), ou seja, d|n.
(⇐=) Seja d = mdc(a, b) e suponha que d|n, i.e., existe inteiro k tal que
n = kd. Mas sabemos que existem inteiros x0 , y0 tais que ax0 + bx0 = d e portanto
akx0 + bky0 = kd = n e então (kx0 , ky0 ) é solução de ax + by = n, C.Q.D.
Proposição 9 Considere a equação ax + by = n onde d = mdc(a, b) divide n.
Seja (x0 , y0 ) uma solução desta equação . Então a solução geral desta equação é
dada por
x = x0 + kb1
(4.2)
y = y0 − ka1
onde k ∈ Z, a1 = a/d e b1 = b/d.
Demonstração : Mostraremos que
(i) ∀ k ∈ Z, (x0 + kb, y0 − ka) é também solução da equação , e
(ii) Se (x0 , y 0 ) é solução da equação então existe k ∈ Z tal que
x0 = x0 + kb1 , y 0 = y0 − ka1 ,
ou seja, qualquer solução da equação é da forma (4.2).
104
4 NÚMEROS INTE
A demonstração de (i) é mais fácil:
ax0 + by 0 =
=
=
=
a(x0 + kb1 ) + b(y0 − ka1 )
ax0 + by0 + akb1 − bka1
n + a1 dkb1 − b1 dka1
n.
Vejamos agora a demonstração de (ii): temos que
ax0 + by0 = n = ax0 + by 0
e portanto
a(x0 − x0 ) = b(y 0 − y0 )
ou
a1 d(x0 − x0 ) = b1 d(y 0 − y0 )
ou ainda
a1 (x0 − x0 ) = b1 (y 0 − y0 ).
(4.3)
Como b1 | b1 (y 0 − y0 ), temos que b1 | a1 (x0 − x0 ). Como (a1 , b1 ) = 1 (ver item (iii)
do teorema (9)), temos que b1 | (x0 − x0 ) (ver item (i) do teorema (9)). Assim,
x0 − x 0 = k 0 b 1
para algum k0 ∈ Z, ou seja,
Fazendo k = −k0 resulta
x0 = x 0 − k 0 b 1 .
x0 = x0 + kb1 .
Mas então , substituindo x0 − x0 por −kb1 na igualdade (4.3) obtemos −a1 kb1 =
b1 (y 0 − y0 ), ou −a1 k = y 0 − y0 , ou ainda
y 0 = y0 − ka1
C.Q.D.
Exemplo 5. Ache a solução geral de 69x + 111y = 9000. Ache também inteiros
x > 0 e y > 0 satisfazendo esta equação .
Solução : Dividindo a equação por 3 obtemos a equação equivalente
23x + 37y = 3000.
Como mdc(23, 37) = 1, existem inteiros x e y tais que 23x + 37y = 1. Vimos
no exemplo 4 que tais inteiros são -8 e 5. Assim, x1 = −8 e y1 = 5 é solução de
105
4 NÚMEROS INTE
23x+37y = 1. Como 3000(23x1 +37y1 ) = 3000, portanto x0 = 3000·x1 = −24000 e
y0 = 3000·y1 = 15000 é uma solução particular de 23x+37y = 3000. A solução geral
é dada por
x = −24000 + 37k
k ∈ Z.
y = 15000 − 23k
Uma solução x0 , y 0 com x0 > 0 e y 0 > 0 é tal que
−24000 + 37k > 0 e 15000 − 23k > 0,
ou seja,
k > 648 e k ≤ 651.
Então fazendo k = 649, obtemos
x0 = −24000 + 37 · 649 = 13 e y 0 = 15000 − 23 · 649 = 73.
4.11
Exercı́cios
1. Determinar o menor inteiro positivo que tem para restos 16 e 27 quando
dividido respectivamente por 39 e 56.
2. Determinar duas frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e
cuja soma seja igual a 305/221.
3. Achar a solução geral e uma solução x0 > 0 e y0 > 0 da equação
12740x + 7260y = 60.
4.12
Exercı́cios Complementares
1. Se m e n são dois inteiros ı́mpares então m2 − n2 é divisı́vel por 8. (Sugestão : Substitua m = 2a + 1 e n = 2b + 1 em m2 − n2 e estude todos as 4
combinações possı́veis de a e b serem par ou ı́mpar.)
2. Para todo inteiro k, 4k + 3 e 5k + 4 são primos entre si.
3. Sejam a e b inteiros tais que o produto deles é o quadrado de um inteiro.
Mostre que se a e b são primos entre si, então a e b são também quadrados de
inteiros.
106
4 NÚMEROS INTE
4. Mostre que 3 inteiros consecutivos não podem ser todos primos com exceção de
3, 5 e 7.
5. Sejam a e b dois inteiros com b > 0. Mostre que entre os números
a, a + 1, a + 2, . . . , a + b − 1
um e apenas um é divisı́vel por b. (Em outras palavras, um conjunto de b inteiros
consecutivos contém exatamente um múltiplo de b ).
6. Sejam a e n números naturais com n > 1 e a > 1. Mostre que se an − 1
é primo, então a = 2 e n é primo. (Sugestão : Decomponha an − 1 = (a −
1)(an−1 + an−2 + . . . + a + 1). Para mostrar que a = 2, use o fato de an − 1 ser
primo, logo um de seus fatores na decomposição acima é igual a 1. Agora suponha
que n não é primo, i.e., n = rs, com r, s > 1. Conclua o resultado a partir da
decomposição 2rs − 1 = (2r − 1)(2r(s−1) + 2r(s−2) + . . . + 2r + 1)).
Observação : Os números Mp = 2p − 1, onde p é primo, são conhecidos por Números de Mersenne (1588-1648). Na sequência dos Mp0 s, o
primeiro número composto tem ı́ndice p = 11 e o maior número primo
conhecido tem ı́ndice p = 19937.
7. Sejam a > 1 e n números naturais. Se an + 1 é primo então a é par e n é
uma potência de 2, i.e., n = 2m para algum inteiro positivo m.
k
Observação : Os números Fk = 22 −1 são conhecidos por Números de Fermat
(1601-1665). Fermat conjeturou que Fk é sempre primo. Sabe-se hoje
que Fk é primo para 1 ≤ k ≤ 4 e compostos para 5 ≤ k ≤ 16 e para
vários outros k 0 s maiores do que 16.
8. Mostre que quaisquer dois números de Fermat distintos F n e Fm são relativamente primos. (Sugestão : Teorema 1.18 de [5])
9. Existem infinitos números primos da forma 4n − 1. (Sugestão : Teorema 1.19
de [5])
10. Se a e b são ı́mpares, então a2 + b2 não pode ser um quadrado perfeito.
(Sugestão : substitua a = 2t + 1 e b = 2s + 1 em a2 + b2 e mostre que a2 + b2 é
da forma 4k + 2 = 2(2k + 1). Conclua que a2 + b2 é par, não divisı́vel por 4, logo
não pode ser um quadrado perfeito, pois se 2|c2 , então 2|c, o que implica que 4|c2 .)
107
4 NÚMEROS INTE
11. Todo primo que deixa resto 1 quando dividido por 3 deixa resto 1 quando
dividido por 6. (Sugestão : Use o algoritmo de Euclides nas divisões de p por 3
e por 6. Compare as duas expressões resultantes e examine cada caso obtido pelos
possı́veis restos da divisão de p por 6)
12. Se p > 1 divide (p − 1)! + 1 então p é primo.
13. Se mdc(n, 6) = 1 então 12|(n2 − 1).
14. Sabendo que o resto da divisão de um inteiro b por 7 é 5, calcular o resto
da divisão por 7 dos seguintes números:
(a) −b, (b) 2b, (c) 3b + 7, (d) 10b + 1, (e) b2 + b + 1.
15. Mostre que n3 + n e 3n(n + 1) são pares, qualquer que seja o inteiro n.
16. Mostre por indução que:
(a) 24|n(n2 − 1)(3n + 2). (Sugestão : Use o exercı́cio 15.)
(b) 9|(10n+1 − 9n − 10),
∀ n ≥ 1.
(c) para todo n ∈ N, 32n+1 + 2n+2 é múltiplo de 7 e que 32n+2 + 26n+1
é múltiplo de 11.
(d) n5 − n é divisı́vel por 30 para todo inteiro n.
(e) o produto de 3 inteiros consecutivos é divisı́vel por 6.
17. Mostrar que se n e m são inteiros ı́mpares, então 8|(n4 + m4 − 2).
CAPÍTULO 5
Congruência
Em várias situações os números inteiros nos interessam somente em relação ao
resto que eles deixam ao serem divididos por um determinado inteiro m. Isto ocorre
quando consideramos coisas que são periódicas, que se repetem regularmente, como
nos exemplos abaixo.
Exemplo 1. Sao 17 horas. Se vou fazer uma viagem, que dura com paradas e
pernoites, 73 horas, a que horas chegarei a meu destino?
Aqui temos uma situação em que há uma repetição de 24 em 24. Assim para resolvermos o problema somamos 17 a 73, obtendo 90 e verificamos que 90 = 24·3+18.
Temos então que a resposta é 18 horas. Vamos fazer tal identificação definindo uma
relação de equivalência sobre Z, relação esta que colocando numa mesma classe
os inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por um inteiro fixado m
(m = 24 no 1o exemplo, m = 12 no 2o e m = 4 no 3o ).
Exemplo 2. Comprei um carro e vou pagá-lo em 107 prestações mensais. Se
estamos em março, em qual mês terminarei de pagar o carro?
Aqui a repetição se dá de 12 em 12. Considerando a numeração usual dos meses,
temos que março corresponde a 3. Somando 3 a 107, obtemos 110. A que mês
corresponde 110? 110 corresponde a fevereiro ja que 110 = 9.12 + 2.
√
Exemplo 3. Seja i = −1. O que é i1023 ?
Aqui temos uma repetição de 4 em 4. Para calcularmos i1023 , basta dividir 1023
por 4. Fazendo isto, obtemos resto 3. Portanto
i1023 = i255·4+3 = (i4 )255 · i3 = i3 = −i.
108
109
5 CONGRUÊ
Então, quando lidamos com problemas como estes, gostarı́amos de não distinguir
entre números inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos pelo inteiro
considerado. Assim, no exemplo 1, gostarı́amos de identificar os inteiros que deixam
o mesmo resto quando divididos por 24, ou, o que é a mesma coisa, inteiros cuja
diferença é divisivel por 24. Assim, se agora são 5 horas, daqui a 24 horas serão
novamente 5 horas. Gostarı́amos então de identificar 5 e 29. Note que 5 e 29 deixam
resto 5 quando divididos por 24 e que sua diferença, 29 − 5, é um multiplo de 24.
Terı́amos neste caso 24 tipos de inteiros: os que deixam resto 0, 1, 2, 3, ..., 22, 23
quando divididos por 24.
No exemplo 2 gostarı́amos de identificar dois inteiros cuja diferença é divisı́vel
por 12, ou, o que é a mesma coisa, dois inteiros que deixam o mesmo resto quando
divididos por 12. Isto porque, se estamos em margo, mês 3 , daqui a 12 meses,
estaremos novamente em março. Gostarı́amos de identificar 3 com 3+12=15. Note
que 15 e 3 deixam resto 3 quando divididos por 12 e que sua diferença, 15 − 3, é
divisı́vel por 12. Assim, neste caso, temos 12 tipos de inteiros: os que deixam resto
0, 1, 2, ...., 11 quando divididos por 12.
No exemplo 3 gostarı́amos de identificar dois imteiros que deixam o mesmo resto
quando divididos por 4. Isto porque i3 = i7 = i11 = . . . . Aqui temos 4 tipos de
inteiros: os que deixam resto 0,1,2 e 3 quando divididos por 4.
Definição 26 Seja m =
6 0 um inteiro fixo. Dizemos que dois inteiros a e b são
congruentes modulo m, e escrevemos a ≡ b (mod m), se m | (b − a).
Exemplo 1. Seja m = 24. Temos então 73 ≡ 1 (mod 24) pois 24 | (73 − 1).
Também 90 ≡ 18 (mod 24) pois 24 | (90 − 18).
Exemplo 2. Seja m = 12. Então 107 ≡ 11 (mod 12) pois 12 | (107 − 11).
Também 110 ≡ 2 (mod 12) pois 12 | (110 − 2).
Exemplo 3. Seja m = 4. Então 1023 ≡ 3 (mod 4) pois 4 | (1023 − 3).
Proposição 10 A congruência modulo m é uma relação de equivalência.
Demonstração : devemos mostrar que a relação congruência modulo
reflexiva e transitiva:
(i) Ela é reflexiva: a ≡ a (mod m) pois a − a = 0 e m | 0.
(ii) Ela é simétrica: Se a ≡ b (mod m) então m | (b − a). Mas se
temos que m | (a − b) também e portanto b ≡ a (mod m).
(iii) Ela é transitiva: Se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m) então
e m | (c − b). Portanto m | [(c − b) + (b − a)], ou seja, m | (c − a)
a ≡ c (mod m), e a demonstração está completa.
m é simétrica,
m | (b − a),
m | (b − a)
e portanto
110
5 CONGRUÊ
Observação: Note que podemos considerar sempre m > 0 e é o que faremos
daqui para frente. Isto porque
a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a ≡ b (mod (−m)).
Proposição 11 a ≡ b (mod m) ⇐⇒ a e b deixam o mesmo resto quando divididos
por m.
Demonstração : Exercı́cio.
Temos então que a congruência modulo m é uma relação de equivalência sobre Z,
e portanto divide Z em classes de equivalência. Pela última proposição, dois inteiros
estão na mesma classe se, e somente se, deixam o mesmo resto quando divididos por
m. Assim, esta é a relação de equivalência que querı́amos, e que identifica os inteiros
que deixam o mesmo resto quando divididos por um certo inteiro m.
Assim temos a classe dos inteiros que deixam resto 0, dos que deixam resto 1,
dos que deixam resto 2, . . . , dos que deixam resto m − 1. O conjunto de todas as
classes de equivalência modulo m será denotada por Zm .
Exemplo 1. m = 24;
Z24 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}.
Note que 0 tem outro 00 nome00 . Podemos escolher qualquer elemento de 0 para
representar a classe 0. Assim 0 = 24 = 48; do mesmo modo 1 = 49 = 25.
Poderı́amos ter escrito também
Z24 = {24, 49, 26, 3, 26, 5, 6, 7, . . .}.
Observe que se estamos considerando horas do dia, os melhores nomes para os elementos de Z24 são 0, 1, 2, . . . , 23, pois são os números de 0 a 23 que designam as
horas do dia.
Exemplo 2. m = 12;
Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Note que;
0 = 12 = 24, 3 = 15, etc.
Poderı́amos ter escrito também
Z12 = {12, 13, 14, 3, 4, 17, 18, 7, 8, 9, 10, 11}.
111
5 CONGRUÊ
Se estamos considerando meses do ano, os meIhores 00 nomes00 para os elementos
de Z12 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, pois estes são os números que designam os
meses.
Exemplo 3. m = 4;
Z12 = {0, 1, 2, 3} = {4, 9, 26, 3}.
Se estamos interessados em potências de i, os melhores ”nomes” para os elementos de Z4 são 0, 1, 2 e 3, pois sabemos o que é i0 , i1 , i2 , e i3 .
Definição 27 Um sistema completo de residuos módulo m, abreviadamente SCRm ,
e um conjunto de m inteiros, cada um deles representando cada classe de equivalência modulo m.
Exemplo 1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
é um SCR24 , assim como
{24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47}.
Exemplo 2. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} é um SCR12 assim como
{0, 13, 2, 15, 4, 17, 6, 19, 8, 21, 10, 23}.
Exemplo 3. {0, 1, 2, 3} e {4, 9, 14, 7} são exemplos de SCR4 .
Voltemos agora aos nossos dois exemplos iniciais.
No 1o exemplo estávamos interessados nos inteiros somente no que se refere
ao resto que eles deixam quando divididos por 24. Seria interessante então que
pudéssemos trabalhar com os inteiros, neste caso, esquecendo deles como inteiros e
vendo-os somente como a classe de equivalência modulo 24 a que pertencem pois a
classe de equivalência já nos dá toda a informação que precisamos, a saber, o resto
da divisão por 24 do inteiro considerado. Neste exemplo calculamos a seguinte soma:
17+73=90. Estávamos interessados em saber a que classe (mod 24) 90 pertencia.
Como 90 = 18, chegamos, pois, à resposta 18 horas. Agora temos que 73 = 1
e 17 + 1 = 18. Então neste caso chegarı́amos à mesma resposta se em vez de 73
considerássemos 1, outro representante da classe de 73 modulo 24. Note que isto e
razoável já que um dia inteiro de viagem não influi nada na hora que você chega,
isto é, a hora em que você chega é a mesma se você viaja 1 hora, ou 25 horas (isto
é 1 dia e 1 hora), ou 73 horas (isto é, 3 dias e 1 hora). Este exemplo nos leva a
112
perguntar se, pelo menos no que se refere à adição, estamos interessados somente
nas classes a que os inteiros pertencem, não podemos trabalhar diretamente com
elas.
Façamos mais um teste, considerando o 2o exemplo. Aqui consideramos o congruência modulo 12. Tı́nhamos somado 3 a 105 obtendo 108. Estávamos interessados
na classe de 108 modulo 12. Mas 108 = 12 e a resposta foi dezembro. Mas terı́amos
obtido a mesma resposta se a 3 somássemos 9, outro representante da classe do 105
módulo 12.
Os exemplos acima nos levam a crer que podemos introduzir uma operação de
adicão em Zm . A adição que gostarı́amos de introduzir, baseados nos exemplos
acima, seria:
a + b = a + b,
mas aqui surge o seguinte problema. Definir uma operação em Z m é definir uma
função de Zm × Zm −→ Zm . Esta função deve levar um par de elementos de Zm
num único e bem definido elemento de Zm ; não pode haver nehuma ambigüidade.
Mas pela regra acima parece haver certa ambiguidade. Isto porque um elemento
de Zm tem vários nomes. Assim, em Z24 , como vimos acima, 73 = 1 e portanto
17 + 73 e 17 + 1 devem ser o mesmo elemento de Zm . Mas aplicando a regra acima
para somar 17 + 73 obterı́amos 90, e aplicando a regra acima para somar 17 + 1
obtemos 18. Mas como vimos 90 = 18 e aqui não surge problema nenhum.
Vejamos mais um exemplo: no 2o exemplo tı́nhamos visto que em Z12 , 105 =
9. Portanto aplicando a regra acima para somar 3 a 9 devemos obter o mesmo
resultado que obtemos para somar estes mesmos dois elementos de Z 12 , com nomes
diferentes, a saber 3 e 105. E como vimos, realmente obtemos o mesmo resultado:
3 + 9 = 12 e 3 + 105 = 108 = 12.
Para podermos definir a adição em Zm segundo a regra acima, devemos mostrar
que o que acontece nos exemplos acima acontece em geral, isto é, que ao somarmos
duas classes aplicando a regra acima, o resultado não depende do nome que damos
às classes, isto é, devemos mostrar o:
Teorema 13 Sejam a, a0 , b e b0 elementos de Zm . Então se a = a0 , isto é, se
a ≡ a0 (mod m) e b = b0 , isto é, b ≡ b0 (mod m), temos que a + b = a0 + b0 , ou
seja, a + b ≡ a0 + b0 (mod m).
Demonstração : Como a ≡ a0 (mod m) e b ≡ b0 (mod m), temos que m | (a0 −a)
e m | (b0 −b). Portanto m | [(a0 −a)+(b0 −b)]. Mas (a−a0 )+(b−b0 ) = (a0 +b0 )−(a+b);
logo a0 + b0 = a + b (mod m) C.Q.D.
Podemos agora definir a operação de edição em Zm .
Definição 28 Definimos a operação de adição em Zm por a + b = a + b.
5 CONGRUÊ
113
5 CONGRUÊ
Observação: O sı́mbolo + que aparece no 1o membro da igualdade a + b =
a + b tem significado diferente do sı́mbolo + que aparece no 2o .
Abaixo construı́mos as tabelas da adição para Z2 , Z3 , Z4 , Z5 .
Z2 :
+
0
1
0
0
1
1
1
0
Observe que os elementos de 0 são os números pares e os de 1 são os Ímpares.
O fato de 0 + 0 = 0 corresponde a par + par = par, 0 + 1 = 1 corresponde a par
+ impar = impar e 1 + 1 = 0 corresponde a impar + impar = par. Também, pela
nossa regra, 1 + 1 = 2, mas 2 = 0.
Z3 :
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
, Z4 :
0
1
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0 , Z5 :
1
2
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Quais as propriedades que a adição em Zm tem? Pelas tabelas acima, parece que
a adição é comutativa pois as tabelas são simétricas em relação à diagonal principal.
Na verdade a adição em Zm é comutativa e isto é conseqüência imediata do fato da
adição em Z o ser:
a + b = a + b = b + a = b + a.
Note que a primeira igualdade se justifica pela definição da adição em Z m , a segunda
se justifica pela comutatividade da adição em Z e a terceira pelo mesmo motivo da
primeira.
Analogamente a adição em Zm é associativa:
a + (b + c) = a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + b) + c.
Vemos tambem que em Z2 , Z3 , Z4 e em Z5 a classe 0 é o elemento neutro da
adição. Mas isto é mais geral, isto é, a adição em Zm tem elemento neutro, que é
0, e o fato de 0 ser neutro é consequência imediata de 0 ser o neutro da adição em
Z : a + 0 = a + 0 = a = 0 + a = 0 + a.
Antes de prosseguirmos vamos fazer uma mudança de notação que já devı́amos
ter feito há mais tempo. No caso de a relação de equivalência ser a congruência
modulo m, a classe de equivalência do inteiro a será denotada por [a] m e não por
114
5 CONGRUÊ
a. No caso de não se ter duvida à respeito do inteiro m ao qual estamos nos
referindo usamos somente [a].
Os elementos de Zm têm simétrico em relação à adião? Vemos nas tabelas acima
que a resposta é sim para m = 2, 3, 4 ou 5. Mas isto é verdade em geral? Em Z 5 ,
vemos que o simetrico de [3] é [2], e [2] = [−3]. Ainda em Z5 , o simetrico de [1]
é [4], e [4] = [−1].
Em geral temos: os elementos de Zm têm simétrico em relação à adição. O
simétrico do elemento [a] de Zm será denotado por −[a] e temos que
−[a] = [−a] pois [a] + [−a] = [a + (−a)] = [0]
Queremos agora definir a multiplicação em Zm de maneira analoga à adição,
isto é, queremos ter [a].[b] = [ab]. Para isto devemos demonstrar o
Teorema 14 Sejam [a], [a0 ], [b], [b0 ] elementos de Zm . Se [a] = [a0 ] e [b] = [b0 ],
então [ab] = [a0 b0 ].
Demonstração :
[a] = [a0 ] ⇒ m | (a − a0 )
[b] = [b0 ] ⇒ m | (b − b0 )
⇒ m | (a0 − a)b e m|(b0 − b)a0
⇒ m | [(a0 − a)b + (b0 − b)a0 ] ⇒ m | (a0 b − ab + b0 a0 − ba0 ) ⇒ m | (a0 b0 − ab) ⇒ [a0 b0 ] =
[ab] C.Q.D.
Façamos as tabelas da multiplicação em Z2 , Z3 , Z4 e Z5 .
x
[0]
[1]
Z2 :
Z5 :
x
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
x
[0]
[1]
[2]
[0] [1]
[0] [0] , Z3 :
[0] [1]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[2]
[0]
[2]
[4]
[1]
[3]
[3]
[0]
[3]
[1]
[4]
[2]
[0] [1] [2]
[0] [0] [0]
, Z4 :
[0] [1] [2]
[0] [2] [1]
x
[0]
[1]
[2]
[3]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[2]
[0]
[2]
[0]
[2]
[3]
[0]
[3]
[2]
[1]
[4]
[0]
[4]
[3]
[2]
[1]
A multiplicação em Zm é comutativa, associativa e tem elemento neutro que é
o [1]. E inverso? Os elementos de Zm têm inverso em relação à multiplicção? Em
115
Z2 , [1] tem inverso. Em Z3 , [1] e [2] têm inverso. Em Z4 , [1] e [3] têm inverso.
Em Z5 só o [0] não tem.
Suponhamos que [a] ∈ Zm tenha inverso. Então existe [x] ∈ Zm tal que
[a][x] = [1] ⇒ [ax] = [1] ⇒ m | (ax − 1) ⇒ ax − 1 = km ⇒ ax − km = 1 ⇒
(a, m) = 1 (porque?)
Portanto para que um elemento [a] de Zm tenha inverso em relação à multiplicação é necessário que (a, m) = 1. Mas aqui surge um problema. Suponha que
[a] = [a0 ]. Será que se pode ter (a, m) = 1 e (a0 , m) 6= 1? Vamos mostrar que não.
Suponha (a, m) = 1 e seja d = (a0 , m). Queremos mostrar que d = 1. Como
[a] = [a0 ] temos que a0 − a = km, ou seja, a = a0 − km. Mas d | a0 e d | m ⇒ d | a.
Mas então d | a e d | m e como (a, m) = 1 temos d = 1.
Agora podemos enunciar o seguinte
Teorema 15 Seja [a] ∈ Zm . Entao [a] tem inverso em relação à multiplição
⇔ (a, m) = 1.
Demonstração : Uma parte (⇒) do teorema já foi mostrado acima. Falta mostrar a volta (⇐). Como hipótese temos (a, m) = 1. Devemos mostrar que [a] tem
inverso em relação à multiplicação. Com efeito, (a, m) = 1 ⇒ existem inteiros x
e y tais que xa + ym = 1. Portanto [xa + ym] = [1] ou [xa] + [ym] = [1]. Mas
[ym] = [0] e portanto [xa] + [0] = [1], ou seja, [x][a] = 1 e [a] tem inverso C.Q.D.
Observação : Denotaremos o inverso de [a] em relação à multitilicação por [a] −1 .
Observamos que o teorema acima nos dá um algorı́tmo para se achar [a] −1 .
Introduzimos então uma adição e multiplicação em Zm que nos permite trabalhar com as classes de equivalência como a gente trabalha com números. Mas
cuidado! Nem todas as regras que são válidas para os números são válidas em Z m .
Vejamos a lei do cancelamento. Sabemos que se a, b e x são números inteiros,
racionais, reais ou complexos e x 6= 0 então ax = bx implica a = b.
Sejam [a], [b] e [x] 6= [0] elementos de Zm . Será que [a][x] = [b][x] implica
[a] = [b]? Vejamos: [a][x] = [b][x], significa que m | (ax − bx), ou seja, m | (a − b)x.
Mas isto não implica que m | (a − b). Portanto não temos necessariamente [a] = [b].
Mas se (x, m) = 1 então de m | (a − b)x podemos concluir que m | (a − b), ou seja,
que [a] = [b]. Note que se (x, m) = 1, [x] é inversı́vel em Zm e poderı́amos obter
[a] = [b] da igualdade [a][x] = [b][x] multiplicando ambos os membros desta última
por [x]−1 .
Vejamos agora algumas outras propriedades das congruências modulo m.
5 CONGRUÊ
116
Teorema 16
5 CONGRUÊ
(i) a ≡ b (mod m) e d | m =⇒ a ≡ b (mod d)
(ii) a ≡ b (mod r) e a ≡ b (mod s) =⇒ a ≡ b (mod mmc(r, s)).
(iii) ra ≡ rb (mod m) =⇒ a ≡ b mod (
m
).
mdc(r, m)
(iv) ra ≡ rb (mod rm) =⇒ a ≡ b (mod m).
Demonstração : Exercı́cio.
Definição 29 Chamamos Sistema Reduzido de Resı́duos modulo m, (SRR)m , a
um conjunto formado de todos os elementos de um (SCR)m gue são primos com
m. Isto é, um (SRR)m é um conjunto formado com um representante de cada
classe de Zm que é inversı́vel.
Exemplos. {1, 2, 3, 4} é um (SRR)5 assim como {6, 7, 8, 9}. {1, 3, 7, 9} é um
(SRR)10 assim como {1, 13, 27, 39}.
Definição 30 A função φ de Euler de um inteiro m é o número de inteiros
positivos menores do que m que são primos com m.
Exemplos. φ(6) = 2, pois apenas 1 e 5 são primos com 6 e menores do que 6.
Também φ(10) = 4, φ(5) = 4 e φ(8) = 4.
Observação: o número de elementos de um (SRR)m é φ(m).
Um teorema importante e famoso em teoria dos números é devido a Fermat
(1640). Entre outras aplicações, ele nos dá uma maneira diferente de achar o inverso
multiplicativo de um elemento não nulo de Zp , onde p é primo. Nós já tı́nhamos
visto como achar o inverso de [a]p resolvendo-se a equação ax + py = 1 usando o
algorı́tmo de Euclides.
Teorema 17 (Teorema de Fermat) Se p é primo e a é um inteiro não divisı́vel
por p, então ap−1 ≡ 1 (mod p).
Corolário 3 Em Zp , [a]−1 = [ap−2 ].
Demonstração : De fato, [a] [ap−2 ] = [a · pp−2 ] = [ap−1 ] = [1].
Exemplo. O inverso de [2]11 é [29 ] = [512] = [6].
Uma generalização do teorema de Fermat foi publicada por Leonard Euler em
1747. Apresentaremos esta versão da qual o teorema de Fermat poderá ser concluı́do
facilmente.
117
5 CONGRUÊ
Teorema 18 (Teorema de Euler) Se (a, m) = 1 então aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Exercı́cio Porque o teorema de Fermat é consequência do teorema de Euler?
Antes de demonstrarmos o teorema de Euler daremos uma aplicação dele.
Exemplo. Ache o resto da divisão de 1159 por 20.
Como mdc(11, 20) = 1 e φ(20) = 8, pelo teorema de Euler 118 ≡ 1 (mod 20).
Entao [118 ] = [1] ⇒ [118 ]7 = [1] ⇒ [1156 ] = [1] ⇒ [1156 ] [113 ] = [113 ] ⇒ [1159 ] =
[113 ]. Mas 112 = 121 e 121 ≡ 1 (mod 20). Então [112 ] = [1] ⇒ [113 ] = [11].
Portanto [1159 ] = [11] ⇒ 1159 deixa resto 11 quando dividido por 20.
Demonstração do Teorema de Euler: Seja φ(m) = N e {M1 , M2 , · · · , MN } um
(SRR)m com {M1 , M2 , · · · , MN } ⊂ {0, 1, 2, · · · , m − 1}. Então
{aM1 , aM2 , · · · , , aMN } é um outro (SRR)m .
Para justificar esta afirmativa temos que mostrar que
(aMi , m) = 1 ∀ i = 1, · · · , N, e que (aMi , aMj ) = 1, se i 6= j.
Como {M1 , M2 , · · · , MN } é um (SRR)m , temos que (Mi , m) = 1. Como por
hipotese (a, m) = l, temos também (aMi , m) = 1 (porque?). Suponhamos que
aMi ≡ aMj (mod m); logo m | a(Mi − Mj ). Como (a, m) = 1, então m | (Mi −
Mj ). Mas 0 < |Mi − Mj | < m. Obtemos assim uma contradição, o que implica
aMi 6≡ aMj (mod m). Mas se {aM1 , aM2 , · · · , aMN } é um (SRR)m temos que
{[M1 ], [M2 ], . . . , [MN ]} = {[aM1 ], [aM2 ], . . . [aMN ]} pois ambos são o conjunto das
classes inversı́veis de Zm . Portanto
[aM1 ] [aM2 ] . . . [aMN ] = [M1 ] [M2 ] . . . [MN ],
ou seja,
[aN ] [M1 · . . . · MN ] = [M1 · . . . · MN ] [1].
Como (Mi , m) = 1 ∀ i, temos também que (M1 · M2 · . . . · MN , m) = 1. Portanto
[M1 ·M2 ·. . .·MN ] é inversı́vel e, aplicando a lei do cancelamento, obtemos [a N ] = [1]
ou aN ≡ 1 (mod m) C.Q.D.
Teorema 19 (Teorema de Wilson) p é primo ⇔ (p − 1)! ≡ (−1) (mod p).
Demonstração : Suponhamos que p é primo e vamos mostrar que (p − 1)! ≡
(−1) (mod p). Seja R = {1, 2, ..., p − 1}. Como p é primo, R é um (SRR).
Portanto todos os elementos de {[1], [2], · · · , [p − 1]} são inversı́veis. Mas quais
118
5 CONGRUÊ
destes elementos são seu próprio inverso? Isto é, para quais a 0 s temos [a] [a] = [1]?
Se [a][a] = [1], temos que p | (a2 − 1), ou seja, p | (a − 1)(a + 1) o que implica
p |(a − 1) ou p |(a + 1). Mas como 1 ≤ a ≤ p − 1, temos que a = 1 ou a = p − 1.
Assim, os únicos elementos de {[1], [2], · · · , [p − 1]} que são seu próprio inverso são
[1] e [p − 1]. Assim [2] [3] . . . [p − 2] = [1] (pois [2] multiplicado por seu inverso
que está em {[3] . . . [p − 2]} dá [1], etc). Multiplicahdo os dois lados por p − 1
obtemos
[2] [3] . . . [p − 2] [p − 1] = [p − 1] ou [(p − 1)!] = [p − 1].
Mas [p − 1] = [−1] e portanto obtemos (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
Vamos agora supor que (p − 1)! ≡ (−1) (mod p) e provar que p é primo. Com
efeito, temos então que p | [(p − 1)! + 1]. Suponhamos que p não seja primo, i.e., que
p = rs, 1 < r, s < p. Nestas condições r | (p − 1)! (pois r < p =⇒ r = p − j para
algum 1 ≤ j ≤ p−2) e r | (p−1)!+1 (pois r é um divisor de p, e p é um divisor de
(p − 1)! + 1 por hipótese). Logo r deve dividir a diferença (p − 1)! + 1 − (p − 1)! = 1,
o que é absurdo, já que r > 1. Logo p deve ser primo C.Q.D.
5.1
Exercı́cios
1. Considere Zm com as operações
[a] + [b] = [a + b] ,
[a] · [b] = [a · b]
Mostre que
(a) a operação de multiplicação em Zm é comutativa, associativa e possui
elemento neutro;
(b) a multiplicação é distributiva em relação à adição ;
(c) os elementos abaixo são únicos:
(c.1) o elemento neutro da adição , [0],
(c.2) o elemento neutro da multiplicação , [1],
(c.3) o simétrico aditivo de [a] ∈ Zm .
Definição 31 Um anel é um conjunto R com duas operações ” + ” e ” · ” denominadas ”adição ”e ”multiplicação ”, respectivamente, tais que:
(i) + é comutativa, i.e., a + b = b + a ∀ a, b ∈ R,
(ii) + é associativa, i.e., (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R,
119
5 CONGRUÊ
(iii) + possui elemento neutro, que é ususalmente denotado por 0, i.e.,
a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R,
(iv) todo elemento de R possui um simétrico aditivo, i.e., dado a ∈ R,
existe um elemento em R, que é denotado por −a, tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0,
(v) · é associativa, i.e., (a.b).c = a.(b.c) ∀ a, b, c ∈ R,
(vi) · é distributiva em relação à adição , i.e.,
a.(b + c) = a.b + a.c e (b + c).a = b.a + c.a,
para todos a, b, c ∈ R.
Dizemos que (R, +, ·) é um anel comutativo se além das propriedades (i) a (vi)
acima, temos que · é comutativa, i.e.,
a · b = b · a ∀ a, b ∈ R.
Dizemos que (R, +, ·) é um anel com uniddade se além das propriedades (i) a
(vi) acima, temos que · posui elemento neutro, que é usualmente denotado por 1,
i.e., existe 1 ∈ R tal que
a · 1 = 1 · a = a ∀ a ∈ R.
2. Verifique se os conjuntos abaixo com as operações usuais de soma e multiplicação são anéis comutativos com unidade:
(a) N,
(b) Z,
(c) Q,
(d) R,
(e) Zm ,
(f) A = {funções de R em R},
(g) Mn×n = {matrizes reais n × n}.
3. Seja (R, +, ·) um anel. Mostre que
(a) o elemento neutro da adição e o simétrico aditivo de um elemento
a ∈ R são únicos;
(b) se R é um anel com unidade 1, então 1 é único;
(c) −(−a) = a;
(d) a + x = a + y =⇒ x = y;
(e) a.0 = 0.a = a.
120
5 CONGRUÊ
Definição 32 Dizemos que um elemento a 6= 0 de um anel R é um divisor de
zero, se existe b ∈ R, com b 6= 0, tal que a b = 0.
4. Considere o conjunto Zm .
(a) Encontre um valor de m e elementos [a], [b] ∈ Zm com [a] 6= [0], [b] 6=
[0], tais que [a] [b] = [0].
(b) Mostre que se [a] ∈ Zm tem inverso multiplicativo então [a] não é
um divisor de zero.
(c) Mostre que
Zm não possui divisores de zero ⇐⇒ m é primo.
(d) Quais dos anéis do exercı́cio 2 possuem divisores de zero?
Definição 33 Um anel (K, +, ·) é dito um corpo se além das propriedades de (i)
a (vi) da definição 31 também são satisfeitas
(vii) · é comutativa,
(viii) · posui elemento neutro, que denotaremos usualmente por 1;
(ix) todo elemento não nulo de K possui inverso multiplicativo, i.e., se
a ∈ K, a 6= 0, então ∃ b ∈ K tal que
ab = ba = 1.
b é denotado por a−1 .
Observação : Temos então que K é um corpo se, e somente se, K é um anel
comutativo com unidade e tal que todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo.
5. Verifique quais dos conjuntos do exercı́cio 2 são corpos. Dê um exemplo de
um anel comutativo com unidade que não é um corpo.
6. Mostre que
Zm é um corpo ⇐⇒ m é primo.
7. Mostre que se K é um corpo então
(a) K não possui divisores de zero,
(b) vale a lei do cancelamento em K, i.e.,
ax = bx e x 6= 0 =⇒ a = b.
121
5 CONGRUÊ
8. Se p é primo e α ∈ Zp é tal que α2 = α então α = [0] ou α = [1]. Ache
todos os α0 s tais que α2 = α em Z34 .
9. Seja R um anel com unidade e sem divisores de zero. Mostre que se x ∈ R
é tal que x2 = x então x = 0 ou x = 1.
10. Se a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m) então [ax + cy]m = [bx + dy]m para
quaisquer inteiros x e y.
11. a ≡ b (mod m) =⇒ an ≡ bn (mod m) para todo inteiro positivo n.
12. Seja f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 um polinômio com coeficientes
inteiros. Mostre que se a ≡ b (mod m), então f (a) ≡ f (b) (mod m).
13. Use o exercı́cio 12 para mostrar que 7 divide 726 + 725 + 2.
14. Mostre que se n é um inteiro então {n, n + 1, n + 2, . . . , n + m − 1} é um
(SCR)m .
15. Sejam [a], [b] ∈ Zm inversı́veis. Mostre que
(a) [a]−1 = [b]−1 ⇐⇒ [a] = [b],
(b) ([a] [b])−1 = [a]−1 [b]−1 .
16. Verifique se poderı́amos definir uma operação ∗ em Zm por:
[a] ∗ [b] = [ab(b + 1)].
17. Demonstre os critérios de divisibilidade por 11 e 9 usando a notação de
congruências.
18. Ache o menor representante positivo para as seguintes classes:
[317 ]7 , [81119 ]13 , [13216 ]9 , [31071 ]12 .
19. Ache [3]−1
25 .
20. Dê o algarismo da unidade de 319 .
21. Determine o resto da divisão de 2150 por 7.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] DAN ARVRITZER., CRISTINA FERREIRA.- Apostila do curso de álgebra
para o curso de licenciatura em matemática da UFMG, (2o. sem. de 1984) ¿
[2] Revista do Professor de Matemática, 29, Publ. SBM, (30. quad. 1995), pp. 27.
[3] Revista do Professor de Matemática, 15, Publ. SBM, (1989), pp. 14.
[4] BOULOS, P.; CAMARGOS, I. - Geometria Analı́tica - um tratamento vetorial,
2a ed., McGraw Hill, (1986).
[5] SANTOS, J.P.L. - Introdução à Teoria dos Números, Coleção Matemática Universitária - Publ. IMPA, Rio de Janeiro, (2003).
122