Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Cronograma
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Prof. Dr. Ivan Bezerra Allaman
Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Cronograma
1
Variável aleatória
2
Variável aleatória discreta e contı́nua
3
Função de probabilidade
4
Função de distribuição ou distribuição acumulada
5
Esperança matemática
6
Variância
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Variável aleatória
Definição:
É uma função que associa cada envento do espaço amostral em
um número real.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Variável aleatória
Exemplo 1:
 Seja E o experimento que consiste em lançar duas moedas.
Seja A o seguinte evento de interesse:número de caras obtidas
nas duas moedas. Teremos então a seguinte configuração:
A
(coroa,coroa)
(coroa,cara),(cara,coroa)
(cara,cara)
Y(A)
0
1
2
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
VAD e VAC
Variável aleatória discreta (VAD):
Uma variável aleatória Y será discreta se o número de valores de Y
(seu contradomı́nio), finito ou infinito, for numerável. Ou seja,
entre quaisquer de dois elementos vizinhos não há quantidades
intermediárias.
Variável aleatória contı́nua (VAC):
Uma variável aleatória Y será contı́nua se o seu contradomı́nio for
um intervalo ou uma coleção de intervalos. Ou seja, entre
quaisquer de dois elementos vizinhos há quantidades intermediárias
infinitas, dependentes da sensibilidade do instrumento de medida.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
VAD e VAC
Variável aleatória discreta (VAD):
Uma variável aleatória Y será discreta se o número de valores de Y
(seu contradomı́nio), finito ou infinito, for numerável. Ou seja,
entre quaisquer de dois elementos vizinhos não há quantidades
intermediárias.
Variável aleatória contı́nua (VAC):
Uma variável aleatória Y será contı́nua se o seu contradomı́nio for
um intervalo ou uma coleção de intervalos. Ou seja, entre
quaisquer de dois elementos vizinhos há quantidades intermediárias
infinitas, dependentes da sensibilidade do instrumento de medida.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
Chama-se função de probabilidade da VAD Y, a função:
p(Y = yi ) = p(yi ) = pi
que a cada valor yi associa sua probabilidade de ocorrência.
A função p(yi ) será uma função de probabilidade se satisfizer às
seguintes condições:
a) p(yi ) ≥ 0, para todo yi .
Pn
b)
i=1 p(yi ) = 1
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
À coleção de pares [yi , p(yi )] é denominada distribuição de
probabilidade da VAD Y, que pode ser representada por meio de
tabela, gráfico ou fórmula. Considerando o exemplo 1 tem-se a
seguinte tabela e gráfico.
y
0
1
2
p(y)
1/4
2/4
1/4
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
Exemplo 2:Um fabricante de unidade de disco estima que em cinco
anos um dispositivo com 1 terabyte de capacidade será vendido
com probabilidade 0,5; um dispositivo com 500 gigabytes de
capacidade será vendido com probabilidade de 0,3 e um dispositivo
com 100 gigabytes será vendido com probabilidade de 0,2. A
receita associada com as vendas naquela ano estão estimadas em
$50 milhões, $25 milhões e $10 milhões respectivamente. Se X
representa a receita dos dispositivos de armazenamentos naquele
ano, pergunta-se: Qual a distribuição de probabilidade da variável
X? Qual o gráfico da distribuição? Essa distribuição é válida?
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
A função densidade de probabilidade ou simplesmente fdp é uma
denominação utilizada apenas para VAC. Seja Y uma VAC, a
função densidade de probabilidade f(y) é uma função que satisfaz
as seguintes condições:
fR (y) ≥ 0 para todo y ∈ [a,b] com a < b
+∞
−∞ f (y)dy = 1
Uma vez que uma VAC pode assumir infinitos valores entre
quaisquer de dois elementos vizinhos, a probabilidade de uma VAC
é dada por:
Rb
P (a < Y < b) = a f (y)dy
Allaman, I.B.
Distribuições
uesclogo
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
Exemplo 3: Seja Y uma VAC que representa a duração em anos de
uma certa lâmpada especial cuja a densidade de probabilidade é
dada por:
(
2e−2y , y ≥ 0;
f (y) =
0,
caso contrário
 Para y varindo de 0 a 10 anos tem-se o seguinte
comportamento da variável Y.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de probabilidade de uma VAD
Função densidade de probabilidade de uma VAC
Pergunta-se: Qual a probabilidade de uma lâmpada durar entre 1 a
2 anos?
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de distribuição para uma VAD
Função de distribuição para uma VAC
Seja Y uma VAD, define-se função de distribuição ou função de
distribuição acumulada da VAD Y, no ponto y, como sendo a
probabilidade de que Y assuma um valor menor ou igual a y, isto é:
F (y) = P (Y ≤ y)
Exemplo 4. Vamos considerar o exemplo 2 para encontrarmos a
função de distribuição.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Função de distribuição para uma VAD
Função de distribuição para uma VAC
Seja Y uma VAC, define-se função de distribuição de acordo com a
seguinte expressão:
Ry
F (y) = −∞ f (y)dy
Exemplo 5. Vamos considerar o exemplo 3 para encontrarmos a
função de distribuição.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Esperança matemática de uma VAD
Esperança matemática de uma VAC
Conceito: É o valor mais provável que se espera acontecer, ou seja,
em média, é o que se espera que ocorra.
Considerem um experimento que consiste no lançamento de um
dado. Seja Y a variável aleatória que consiste no ponto obtido, ou
seja, 1,2,3,4,5,6. Em média, esperarı́amos qual valor?
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Esperança matemática de uma VAD
Esperança matemática de uma VAC
Ou seja,
E(Y ) = µ =
ou
E(Y ) = µ =
1+2+3+4+5+6
6
1
6
∗1+
1
6
∗2+
1
6
∗3+
1
6
∗4+
1
6
∗5+
1
6
∗6
Logo, podemos definir a esperança de uma VAD como:
P
E(Y ) = µ = ni=1 yi p(yi )
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Esperança matemática de uma VAD
Esperança matemática de uma VAC
Ou seja,
E(Y ) = µ =
ou
E(Y ) = µ =
1+2+3+4+5+6
6
1
6
∗1+
1
6
∗2+
1
6
∗3+
1
6
∗4+
1
6
∗5+
1
6
∗6
Logo, podemos definir a esperança de uma VAD como:
P
E(Y ) = µ = ni=1 yi p(yi )
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Esperança matemática de uma VAD
Esperança matemática de uma VAC
As propriedades da esperança são:
Seja k uma constante qualquer e Y e Z duas variáveis aleatórias
quaisquer, então:
 E(k) = k
 E(Y ± k) = E(Y ) ± k
 E(Y k) = k · E(Y )
 E(Y ± Z) = E(Y ) ± E(Z)
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Esperança matemática de uma VAD
Esperança matemática de uma VAC
Exemplo 6: As probabilidades de que haja 1,2,3,4 ou 5 pessoas em
cada carro que vá ao litoral num sábado são, respectivamente:0,05;
0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por
carro? Se chegam no litoral 4000 carros por hora, qual o número
esperado de pessoas, em 10 horas de contagem?
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Esperança matemática de uma VAD
Esperança matemática de uma VAC
Podemos definir a esperança de uma VAC como:
R +∞
E(Y ) = µ = −∞ yf (y)dy
Exemplo 7: Aproveitando o exemplo 3, em média, qual a vida útil
de uma lâmpada?
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Variância
Por definição, a variância de uma variável aleatória Y, de
população infinita, é
σ 2 = V AR(Y ) = E[Y − E(Y )]2 = E(Y − µ)2
ou
V AR(Y ) = E(Y 2 ) − E(Y )2
Exemplo 8: Vamos considerar o exemplo 6 acima.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Variância
Desvio padrão: É a raiz quadrada da variância da variável
aleatória Y, isto é:
p
σY = V AR(Y )
No caso do exemplo 8, tem-se que o desvio padrão é igual a →
Observação:
Como já comentado no inı́cio do curso, a vantagem do desvio
padrão é que a unidade de medida está na mesma escala da
variável.
Allaman, I.B.
Distribuições
uesclogo
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Variância
Desvio padrão: É a raiz quadrada da variância da variável
aleatória Y, isto é:
p
σY = V AR(Y )
No caso do exemplo 8, tem-se que o desvio padrão é igual a →
Observação:
Como já comentado no inı́cio do curso, a vantagem do desvio
padrão é que a unidade de medida está na mesma escala da
variável.
Allaman, I.B.
Distribuições
uesclogo
Variável aleatória
Variável aleatória discreta e contı́nua
Função de probabilidade
Função de distribuição ou distribuição acumulada
Esperança matemática
Variância
Variância
As propriedades da variância são:
Seja k uma constante qualquer e Y e Z duas variáveis aleatórias
quaisquer, então:
 V AR(k) = 0
 V AR(Y ± k) = V AR(Y )
 V AR(Y k) = k 2 · V AR(Y )
 V AR(Y ± Z) = V AR(Y ) ± V AR(Z)Se Y e Z forem
independentes.
uesclogo
Allaman, I.B.
Distribuições