Disciplina
Lista nº
Matemática
3
Professor
Victor Eduardo
Assuntos
Função do 2° Grau
1. (Uerj 2014) O gráfico abaixo mostra o segmento
de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se
desloca de A até B (3, 0).
b) x = 0 ou x = 2
1
c) x = 1 ou x =
2
d) x = 2 ou x = 1
1
e) x = 0 ou x =
2
4. (Enem 2013) A temperatura T de um forno (em
graus centígrados) é reduzida por um sistema a
partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia
t2
 400, com t
4
em minutos. Por motivos de segurança, a trava do
forno só é liberada para abertura quando o forno
atinge a temperatura de 39°.
de acordo com a expressão T(t)  
O produto das distâncias do ponto C aos eixos
coordenados é variável e tem valor máximo igual a
4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:
a) 5
b) 6
c) 3 5
d) 6 2
2. (Enem 2014) Um professor, depois de corrigir as
provas de sua turma, percebeu que várias questões
estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu
utilizar uma função polinomial f, de grau menor que
3, para alterar as notas x da prova para notas
y  f(x), da seguinte maneira:
-
A
A
A
nota
nota
nota
zero
10
5
permanece
zero.
permanece
10.
passa
a
ser
6.
A expressão da função y  f(x) a ser utilizada pelo
professor é
1 2 7
a) y  
x  x.
25
5
1 2
b) y   x  2x.
10
1 2 7
x 
x.
c) y 
24
12
4
d) y  x  2.
5
e) y  x.
3. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por
2
f(x) = x + 1 e g(x) = 1 + 2x .
Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:
a) x = 0 ou x = 1
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após
se desligar o forno, para que a porta possa ser
aberta?
a) 19,0
b) 19,8
c) 20,0
d) 38,0
e) 39,0
5. (Enem PPL 2013) O proprietário de uma casa de
espetáculos observou que, colocando o valor da
entrada a R$10,00, sempre contava com 1.000
pessoas
a
cada
apresentação,
faturando
R$10.000,00 com a venda dos ingressos. Entretanto,
percebeu também que, a partir de R$10,00, a cada
R$2,00 que ele aumentava no valor da entrada,
recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos.
Nessas condições, considerando P o número de
pessoas presentes em um determinado dia e F o
faturamento com a venda dos ingressos, a
expressão que relaciona o faturamento em função do
número de pessoas é dada por:
a) F 
P2
 60P
20
b) F 
P2
 60P
20
c) F  P2  1200P
d) F 
P2
 60
20
e) F  P2  1220P
6. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por
2
f(x) = 2 + x e g(x) = 2 + x.
Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:
a) x = 0 ou x = –1
b) x = 0 ou x = 2
c) x = 0 ou x = 1
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d) x = 2 ou x = –1
e) x = 0 ou x = 1/2
7. (Enem 2013) A parte interior de uma taça foi
gerada pela rotação de uma parábola em torno de
um eixo z, conforme mostra a figura.
distância r do ponto P ao eixo do tubo. O médico
francês Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869)
propôs a seguinte lei que descreve a velocidade
função
de
v em
r:
v  v(r)  k(R2  r 2 ),
Onde R é o raio do tubo cilíndrico e k é um
parâmetro que depende da diferença de pressão nos
extremos do tubo, do comprimento do tubo e da
viscosidade
do
sangue.
Considerando que k é constante e positivo, assinale
a alternativa que contém uma representação
possível para o gráfico da função v  v(r).
a)
A função real que expressa a parábola, no plano
cartesiano
da
figura,
é
dada
pela
lei
3 2
f(x)  x  6x  C, onde C é a medida da altura do
2
líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que
o ponto V, na figura, representa o vértice da
parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na
taça, em centímetros, é
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
8. (Enem PPL 2013) Uma pequena fábrica vende
seus bonés em pacotes com quantidades de
unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela
2
expressão L(x) = −x + 12x − 20, onde x representa a
quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa
pretende fazer um único tipo de empacotamento,
obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro
máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma
quantidade de bonés igual a
a) 4.
b) 6.
c) 9.
d) 10.
e) 14.
9. (Uff 2012) Um modelo matemático simplificado
para o formato de um vaso sanguíneo é o de um
tubo cilíndrico circular reto. Nesse modelo, devido ao
atrito com as paredes do vaso, a velocidade v do
sangue em um ponto P no tubo depende da
b)
c)
d)
e)
10. (Enem 2012) Existem no mercado chuveiros
elétricos de diferentes potências, que representam
consumos e custos diversos. A potência (P) de um
chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua
resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente
elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia
elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional
à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual
dos gráficos a seguir representa a relação entre a
energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a
corrente elétrica (i) que circula por ele?
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de valor igual ao número de moedas coletadas.
Dessa forma, um participante que coletasse 60
moedas teria sua pontuação calculada da seguinte
forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O
vencedor da prova seria o participante que
alcançasse
a
maior
pontuação.
Qual será o limite máximo de pontos que um
competidor pode alcançar nessa prova?
a) 0
b) 25
c) 50
d) 75
e) 100
a)
13. (Pucrj 2010) Sabendo que a curva a seguir é a
2
parábola de equação y = x triângulo ABC é:
b)
c)
d)
a) 4
b) 6
c) 9
d) 10
e) 12
e)
11. (Pucrj 2012) A reta x  y  0 corta a parábola
y  x2  8 em dois pontos (x0 ,y0 ) e (x1,y1). Quanto
vale y0  y1 ?
a) −8
b) −1
c) 0
d) 1
e) 8
12. (Enem PPL 2012) O apresentador de um
programa de auditório propôs aos participantes de
uma competição a seguinte tarefa: cada participante
teria 10 minutos para recolher moedas douradas
colocadas aleatoriamente em um terreno destinado à
realização da competição. A pontuação dos
competidores seria calculada ao final do tempo
destinado a cada um dos participantes, no qual as
moedas coletadas por eles seriam contadas e a
pontuação de cada um seria calculada, subtraindo
do número de moedas coletadas uma porcentagem
14. (Uerj 2010) Uma bola de beisebol é lançada de
um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A
e B, conforme representado no sistema de eixos
ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas
parábolas com vértices C e D.
A equação de uma dessas parábolas é
 x 2 2x
y

.
75
5
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao
ponto B, em metros, é igual a:
a) 38
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b) 40
c) 45
d) 50
15. (Uerj 2009) Os gráficos I e II representam as
posições S de dois corpos em função do tempo t.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto
dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$,
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a
expressão que relaciona V e x é
2
a) V = 10.000 + 50x – x .
2
b) V = 10.000 + 50x + x .
2
c) V = 15.000 – 50x – x .
2
d) V = 15.000 + 50x – x .
2
e) V = 15.000 – 50x + x .
18. (Uff 2007)
A tabela a seguir mostra as
estatísticas de três times num torneio de futebol.
No gráfico I, a função horária é definida pela
equação
S  a1t 2  b1t
e,
no
gráfico
II,
por
S  a2t 2  b2t.
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os
vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão
a1
é igual a:
a2
Não satisfeito com o resultado do torneio, João criou,
para cada time, a função quadrática:
2
2
P(x) = (1/2) [(x - GS) + 2FG + (x + GF) ], x ∈ IR
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
16. (Enem cancelado 2009) A empresa WQTU
Cosmético vende um determinado produto x, cujo
2
custo de fabricação de cada unidade é dado por 3x
+ 232, e o seu valor de venda é expresso pela
função 180x − 116. A empresa vendeu 10 unidades
do produto x, contudo a mesma deseja saber
quantas unidades precisa vender para obter um lucro
máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas
pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro
é
a) 10
b) 30
c) 58
d) 116
e) 232
substituindo GS, FG e GF pelos valores
correspondentes na tabela.
Segundo o critério de João, o desempenho de cada
time é representado pelo valor mínimo de P(x), de
modo que, quanto maior o valor mínimo de P(x),
melhor será o desempenho do time correspondente.
Considerando a função quadrática correspondente a
cada time da tabela e o critério de João, pode-se
afirmar que:
a) PRAIANO obteve o melhor desempenho;
b) SERRANO obteve o melhor desempenho;
c) CAMPRESTE obteve o melhor desempenho;
d) SERRANO e PRAIANO ficam com o segundo e
terceiro lugares, respectivamente, em termos de
seus desempenhos;
e) PRAIANO e CAMPESTRE ficam com o segundo e
terceiro lugares, respectivamente, em termos de
seus desempenhos.
19. (Ufmg 2005) Observe esta figura:
17. (Enem 2009) Um posto de combustível vende
10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro.
Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de
desconto que concedia por litro, eram vendidos 100
litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o
preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200
litros.
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Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico
2
da função de segundo grau y = ax + bx + c. O ponto
A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é
paralelo ao eixo das abscissas.
Assim sendo, é CORRETO afirmar que o
comprimento do segmento AB é
a) c.
c
.
a
b
c) .
a
b
d) - .
a
b) -
20. (Uerj 2004) Três corredores - A, B e C - treinam
sobre uma pista retilínea. As posições ocupadas por
eles, medidas a partir de um mesmo referencial fixo,
são descritas pelas funções SA = 5t + 3, SB = 2t + 9 e
2
SC = t - 2t + 9.
Nestas funções, a posição S é medida em metros e
o tempo t é medido em segundos.
Durante a corrida, o número de vezes em que a
distância entre os corredores A e B é igual à
distância entre os corredores B e C corresponde a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com
determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é
diretamente proporcional ao número de pessoas
desse público que conhecem o boato e diretamente
proporcional também ao número de pessoas que
não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a
rapidez de propagação, P o público-alvo e x o
número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma constante positiva
característica do boato.
22. (Enem 2000) Considerando o modelo acima
descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas,
então a máxima rapidez de propagação ocorrerá
quando o boato for conhecido por um número de
pessoas igual a:
a) 11.000.
b) 22.000.
c) 33.000.
d) 38.000.
e) 44.000.
23. (Ufmg 1999) Considere a região delimitada pela
2
parábola da equação y = -x + 5x - 4 e pela reta de
equação x + 4y - 4 = 0.
Assinale a alternativa cujo gráfico representa
corretamente essa região.
21. (Uff 2001) Considere a função f: IR+  IR
definida por f(x)=(3-x).(x-1).
Identifique a melhor representação do gráfico de f.
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 x2 
+c
 36 
 
24. (Pucrj 1999) O número de pontos de intersecção
2
2
das duas parábolas y=x e y=2x -1 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
A equação da parábola era do tipo: y= 
25. (Ufmg 1999) Observe a figura, que representa o
2
gráfico de y = ax + bx + c.
27. (Ufmg 1997) O ponto de coordenadas (3,4)
2
pertence à parábola de equação y = ax + bx + 4. A
abscissa do vértice dessa parábola é:
a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 2
Assinale a única afirmativa FALSA em relação a
esse gráfico.
a) ac é negativo.
2
b) b - 4ac é positivo.
c) b é positivo.
d) c é negativo.
26. (Uerj 1997) Numa partida de futebol, no instante
em que os raios solares incidiam perpendicularmente
sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola
em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A
sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a
linha do gol. A bola descreveu uma parábola e
quando começou a cair da altura máxima de 9
metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da
linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum
jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano
cartesiano está sugerida na figura a seguir:
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
a) na baliza
b) atrás do gol
c) dentro do gol
d) antes da linha do gol
28. (Ufmg 1997) Um certo reservatório, contendo 72
3
m de água, deve ser drenado para limpeza.
Decorridas t horas após o início da drenagem, o
3
volume de água que saiu do reservatório, em m , é
2
dado por V(t) = 24t - 2t . Sabendo-se que a
drenagem teve início às 10 horas, o reservatório
estará completamente vazio às:
a) 14 horas.
b) 16 horas.
c) 19 horas.
d) 22 horas.
29. (Uff 1997) A equação da parábola que passa
pelo ponto (-2,0) e cujo vértice situa-se no ponto
(1,3) é:
2
a) y = - x + 2x + 8
2
b) y = - 3x + 6x + 24
2
c) y = - x / 3 + 2x / 3 + 8 / 3
2
d) y = x / 3 - 2x / 3 - 8 / 3
2
e) y = x + 2x + 8
30. (Ufmg 1997) Observe a figura.
Nela, estão representadas as retas de equações
y=ax + b e y=cx + d. A alternativa que melhor
representa o gráfico de y = (ax + b) (cx + d) é:
31. (Ufmg 1995) A função f(x) do segundo grau tem
raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola,
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gráfico de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é
a) f(x) = -2(x - 1)(x + 3)
b) f(x) = -(x - 1)(x + 3)
c) f(x) = -2(x + 1)(x - 3)
d) f(x) = (x - 1)(x + 3)
e) f(x) = 2(x + 1)(x - 3)
32. (Ufmg 1994) Observe a figura.
Nessa figura, está representada a parábola de
vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja
expressão é
 x2 
 - 2x
 5 
a) y = 

2
b) y = x - 10x
2
c) y = x + 10x
 x2 
 - 10x
 5 
 x2 
e) y = 
+ 10x
 5 
 
d) y = 

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Gabarito:
[D]
Resposta da questão 1:
Queremos calcular o valor de t para o qual se tem
T(t)  39. Desse modo,
[C]
t2
t2
 400 
 361
4
4
A reta que passa por A e por B(3,0) tem equação
y  ax  b, logo, 0  3a  b  b  3a.
Então, y  ax  3a, como a reta passa pelo ponto
(p,q) temos que :
39  
p  q  p  (ap  3a)
Resposta da questão 5:
 t  4  361
 t  38min.
2
p  q  ap  3ap

9a2
4,5  
 4,5  
 a  0 (não convém) ou a  2
4a
4.a
Portanto, y  2x  6 e A(0,6)
Portanto, AB  (3  0)2  (0  6)2  45  3 5.
[A]
Sejam v o valor da entrada e n o número de
aumentos de R$ 2,00. Logo,
v  10  2  n  n 
v  10
.
2
Assim, temos
Resposta da questão 2:
P  1000  40  n
[A]
v  10
2
 1200  20v.
 1000  40 
Seja f : [0, 10]  [0, 10],
Desse modo, temos
f(0)  0
f(5)  6
f(10)  10
com
f(x)  ax2  bx  c.
O que implica em v  60 
c0
 25a  5b  6
100a  10b  10
a
7
5
c0
 b
P 
P2

F   60 

P


 60P.
20 
20

1
25
Resposta da questão 6:
.
Portanto, segue que f(x)  
P
e, portanto,
20
[C]
1 2 7
x  x.
25
5
Os valores de x para os quais f(x)  g(x) são tais
que
2  x2  2  x  x2  x  0
Resposta da questão 3:
 x(x  1)  0
 x  0 ou x  1.
[E]
Os valores de x para os quais f(x)  g(x) são tais
que
Resposta da questão 7:
[E]
x  1  1  2x 2  2x 2  x  0

1
 2x   x    0
2

1
 x  0 ou x  .
2
A abscissa do vértice da parábola y 
é igual a 
( 6)
 2.
3
2
2
Resposta da questão 4:
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3 2
x  6x  C
2
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Por outro lado, sabendo que o vértice da parábola
pertence ao eixo das ordenadas, temos:
Δ
yv  
0
4a
( 6)2  4 
4
3
C
2
3
2
Resolvendo um sistema com as equações da reta e
da parábola temos os pontos de intersecção:
 y  x 2  8

 x  y  0
Temos os seguintes valores para y.
 6C  36  0
y
 C  6.
Portanto, segue-se que o resultado pedido é
f(0)  C  6cm.
1  33
, ou seja valores cuja soma vale 1.
2
Resposta da questão 12:
[B]
Resposta da questão 8:
[B]
Considerando x o numero de moedas douradas
coletadas, a pontuação seria dada por:
Determinando o valor do x do vértice, temos:
P(x)  x 
xV 
12
6
2  ( 1)
x
x2
 x  P(x)  
x
100
100
Logo, o valor máximo de P(x) será dado por:
Δ
1
Pmáximo  

 25.
4a
 1 
4

 100 
Resposta da questão 9:
[A]
Considerando K e R como constantes, concluí-se
que v  v(r)  k(R2  r 2 ), é uma função do segundo
grau na incógnita r ( 0  r  R ) e que seu gráfico é
uma parábola de concavidade para baixo.
Portanto, o limite de pontos que um competidor
poderá alcançar nesta prova é 25.
Resposta da questão 13:
[C]
Esta função pode ser representada pelo gráfico:
y
B
C(3,0)
x
Resposta da questão 10:
A(0,-6)
[D]
P  r  i2
P  k E
k  E  r  i2  E 
2
r.i
k
(como r e kA são constantes
reais, temos uma função do segundo grau na
variável i).
Determinando as raízes da função ( y = 0)
2
x – x – 6= 0  x = - 2 ou x = 3 logo C (3 ,0 )
E o ponto A da intersecção com o eixo y (x = 0)
A(0, - 6)
Logo a área do Triângulo é S =
Portanto, o melhor gráfico para que representa a
relação pedida é o da alternativa [D].
Resposta da questão 14:
Resposta da questão 11:
[B]
[D]
Queremos calcular OB  xB .
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3.6
9
2
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Como a parábola de vértice C intersecta o eixo das
ordenadas na origem, segue que a sua equação é
x 2 2x
y

. Logo,
75
5
x2 2x
1
1
y

  (x 2  30x)  
x  (x  30)  x A  30.
75
5
75
75
Por outro lado, se xD  35 é a abscissa do vértice
D, então:
x  xB
30  xB
xD  A
 35 
 xB  40.
2
2
Por conseguinte, OB  40 m.
[B]
Determinando o x do vértice temos:
xV  
b
44000k

 22000
2a
2.( k)
Resposta da questão 23:
[A]
Resposta da questão 24:
[C]
Resposta da questão 15:
Resposta da questão 25:
[C]
[C]
Resposta da questão 16:
Resposta da questão 26:
[B]
[C]
2
Vamos admitir que 3x + 232 seja o custo de
produção de x unidades e que 180x – 116 seja o
valor de venda destas x unidades. Considerando que
L(x) seja a função do lucro, temos:
2
L(X) = 180x – 116 – (3x + 232)
2
L(x) = -3x + 180x - 348
Resposta da questão 27:
[C]
Resposta da questão 28:
[B]
Determinando o x vértice, temos o valor de x para o
qual o lucro é máximo:
b 180

 30
XV =
2a 2.(3)
Obs: O enunciado está confuso.
Resposta da questão 17:
[D]
V= (1,5 –x/10). (1000 + 100x)
2
V = 15000 + 50x – x
Resposta da questão 18:
[A]
Resposta da questão 29:
[C]
Resposta da questão 30:
[A]
Resposta da questão 31:
[A]
Resposta da questão 32:
[A]
Resposta da questão 19:
[D]
Resposta da questão 20:
[C]
Resposta da questão 21:
[E]
Resposta da questão 22:
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