artigo
ENEM SEM EM
CLÁUDIO BUFFARA – RIO DE JANEIRO, RJ
INTRODUÇÃO
Há algumas semanas decidi, pela primeira vez na vida, examinar com cuidado
uma prova de Matemática do ENEM. Baixei então, do site do Inep, a prova aplicada
em 2013. Numa primeira leitura, constatei que o tema “proporcionalidade” foi o
que ocorreu com maior frequência, em 18 das 45 questões, tanto diretamente quanto sob a forma de frações ou porcentagens ou escalas de mapas ou semelhança de
figuras geométricas, e que 14 questões dependiam da interpretação de gráficos ou
tabelas. Observo que esses dois tópicos são amplamente abordados nos programas
de Matemática do ensino fundamental (1o ao 9o ano).
A HEGEMONIA DA CONTEXTUALIZAÇÃO
Essa primeira leitura, na diagonal, como se diz, confirmou o que eu já havia lido
e ouvido sobre o ENEM: todas as questões eram contextualizadas, ou seja, pretendiam apresentar aplicações da Matemática ao “mundo real”. De fato, questões de
cunho abstrato foram completamente banidas do exame.
Um artigo publicado nesta Revista, [1], já tratou da dificuldade de elaborar
6 | no. 85 | revista do professor de matemática
*AMAR25DOM20*
*AMAR25DOM20*
2013
QUESTÃO 139
A razão que represent
reservadas
do setor
3 em
A razão
que
desse mesmo
setor édo s
reservadas
QUESTÃO 139
EXCESSO DE QUESTÕES FÁCEIS
Lendo a prova, também fiquei com a impressão
de que quase todas as questões eram fáceis. Talvez
até demais. De fato, algumas podiam mesmo ser
resolvidas apenas com Matemática de “primário”,
ou seja, aquela que é aprendida até o 5o ou 6o ano
da escola, e com uma pequena dose de bom-senso.
Tomemos, por exemplo, a questão 139 da prova
amarela 3 (neste artigo, a numeração das questões
será sempre a da prova amarela do ENEM 2013):
ENEM sem EM
30,95%
14,76%
3,57%
Brasil
São 14,76%
Paulo
(Estado)
São Paulo
(Capital)
Uma loja acompanho
de doisQUESTÃO
produtos, A 141
e B,
fevereiro e março de 2012
90
Guarulhos
3,57%
Fonte: IBGE, 2002-2008 (adaptado).
80
Brasil
São percentuais
Paulo
São
Analisando
os dados
doPaulo
gráfico, qual a
Analisando os (Estado)
dados percentuais
gráfico,
(Capital) doGuarulhos
diferença entre o maior e o menor centro em crescimento
70
60
90
50
80
Fonte: IBGE,
2002-2008
qual a diferença entre o maior e o menor
centro
em(adaptado).40
no polo das indústrias?
30
crescimento no polo das indústrias?
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a20
A 75,28
a. 75,28 b.entre
64,09o maior
c. 56,95
45,76centro
e. 30,07
diferença
e od.
menor
em crescimento10
B 64,09
no polo das indústrias?
C Apesar
56,95 da redação sofrível da questão (que deveria
ser “qual a diferença entre o maior e o menor
A
75,28
D
45,76
percentual
de crescimento?”), não é difícil deduzir
B
64,09
E 30,07
que a resposta correta, 56,95 (alternativa C), é obtiC
56,95 140
QUESTÃO
da subtraindo-se
o menor percentual indicado no
D
45,76
gráfico
do maior.
Em um certo teatro, as poltronas são divididas em
E
30,07
setores.
A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro,
Ou então a questão a seguir.
no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras
QUESTÃO
140
não foram vendidas.
QUESTÃO 140
Uma loja ac
de dois produto
fevereiro e març
0
Número de compradores
40%
20%
35%
15%
30%
10%
5%
25%
0%
20%
15%
10%
5%
0%
Número de compradores
O problema é que, como mostram pesquisas
recentes [2], quem adquire uma dada habilidade
matemática de forma abstrata adquire também
maior facilidade para transferir essa habilidade,
aplicando-a em situações diversas, do que aqueles que adquirem a habilidade no contexto de um
problema específico. Naturalmente, o objetivo de
uma educação matemática é formar pessoas capazes de adaptar e aplicar seus conhecimentos matemáticos a todo e qualquer tipo de contexto, e não
apenas a umas poucas situações que tenham sido
vistas na escola.
17
cresce
em conforme
indústrias,
conforme
mostra
o gráfico.
A 70
indústrias,
mostra
o gráfico.
Em
proporção,
possui
a economia
que mais cresce B
em17
53
17
53
indústrias, conforme mostra o gráfico.
C 70 B 53
Crescimento - Indústria
65%
53
53
D 17 C
60%
Crescimento - Indústria
70
55%
70
65%
50%
E 17 D 53
45%
60%
17
40%
55%
30,95%
35%
70
50%
QUESTÃO
141
30%
E 17
45%
25%
60,52%
Vejo, no entanto, um problema mais sério nessa hegemonia da contextualização. A ausência de
questões abstratas numa prova tão abrangente e
decisiva como o ENEM fatalmente impactará os
currículos de Matemática das escolas. É altamente provável que esses passem a enfatizar cada vez
mais as aplicações da Matemática em detrimento da apresentação de tópicos abstratos, que não
“caem” no ENEM.
A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º PIB municipal
A cidade
(SP) da
temAmérica
o 8º PIB
do Brasil,
alémde
doGuarulhos
maior aeroporto
do municipal
Sul.
17 desse mesmo se
do
Sul.
Em
proporção,
possui
a
economia
que
mais
A 70
EmBrasil,
proporção,
a economia
que mais
cresce em
do
alémpossui
do maior
aeroporto
da América
do Sul.
60,52%
boas questões contextualizadas, dificuldade essa
que tem produzido algumas falhas no exame. Isso
porque, a fim de contornar a complexidade dos
problemas reais, a banca do ENEM às vezes produz enunciados confusos, recorre a simplificações
excessivas e descreve situações irreais.
2013
70
60
3
20
50
10
40
Janeiro
30
20
10
A loja 10
sorteará um b
produto A e outro
brinde en
0
Janeiro
Qual a probabilidade
de
feito suas compras em fev
A loja sortea
1
A 20
produto A e outro
3 Qual a probabili
B 242
feito suas compr
Em um certo teatro, as poltronas são divididas em 5
1
Em um certo teatro, as poltronas são divididas C 22
setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, A 20
em setores. A figura apresenta a vista do setor 3
6
no qual
as cadeiras escuras estão reservadas e as claras
D 25
S
3
desse
teatro,
no
qual
as
cadeiras
escuras
estão
reB 242
nãoEforam vendidas.
servadas
e as claras não foram vendidas.
T
7
O
R
3
S
E
T
O
R
Fe
20
E 15
5
C 22
6
D 25
7
E 15
MT - 2º dia | Caderno 5 - AMARELO - Página 20
3
QUESTÃO 139
A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8o PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América
revista
do professor
de matemática | no. 85 | 7
MT - 2º dia | Caderno 5 - AMARELO
- Página
20
ENEM sem EM
A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é:
a. 17 b. 17 c. 53 d. 53 e. 70
70
53
70
17
17
Ocorre que a inclusão, no enunciado, do gráfico
no qual os três pontos estão assinalados, torna a
resposta visualmente evidente:
o ponto (50, 30) (alternativa E).
Enfim, após ter resolvido e analisado todas as
questões, concluí que seria perfeitamente possível
ir bem nessa prova sem ter cursado o ensino médio. Mais precisamente, fiquei convencido de que
Algumas questões eram do tipo “eu olho e vejo”.
um aluno que estivesse a ponto de concluir o 9o
Vejamos a de número 168.
ano do ensino fundamental (a prova do ENEM costuma ocorrer no fim de outubro / início de novemQUESTÃO 168
bro)2013
e que, além disso, tivesse estudado com algum
Nos últimos anos, a televisão tem passado por
cuidado as provas dos anos anteriores, a fim de se
uma verdadeira revolução, em termos de qualidaQUESTÃO
168
QUESTÃO
acostumar
com o169
formato das questões e de revisar
de de imagem, som e interatividade com o telesmais
frequentemente
cobrados,
to- bolos, utiliza
pectador.
Essaanos,
transformação
se deve
Nos
últimos
a televisão
temà conversão
passado poros tópicos
Uma
cozinheira,
especialista
emteria
fazer
uma do
verdadeira
revolução,
termos
deEntretanto,
qualidade detais uma
forma de
noacertar,
formatono
representado
figura:
sinal analógico
para oem
sinal
digital.
condições
mínimo, doisnaterços
imagem,
som
e
interatividade
com
o
telespectador.
Essa
muitas cidades ainda não contam com essa nova
das questões dessa prova.
transformação se deve à conversão do sinal analógico
tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três
para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não Para chegar a essa conclusão, procurei detercidades,
uma nova
emissora
de televisão
pretende
conscontam
com essa
tecnologia.
Buscando
levar
essesminar quais questões necessitavam, para sua rebenefícios
a três
uma emissora
televisão
truir uma
novacidades,
torre de transmissão,
que de
envie
sisolução, apenas de conhecimentos matemáticos
pretende
nova
torrejá de
transmissão,
nal àsconstruir
antenas uma
A, B
e C,
existentes
nessas que
envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessasadquiridos no ensino fundamental. Baseei minha
cidades. As localizações das antenas estão reprecidades. As localizações das antenas estão representadasanálise nos parâmetros curriculares nacionais de
sentadas
no plano cartesiano:
no plano
cartesiano:
Matemática
e também
no conteúdo
de uma coleNela
identifica-se
a representação
de duas figuras
geométricas
tridimensionais.
ção de livros didáticos destinados a alunos do 6o
y (km)
o
são que 34 das 45 questões se
ao 9Essas
ano figuras
[3]. Concluí
70
enquadravam
nessade
categoria.
A um tronco
cone e um cilindro.
Acho que um aluno de 6o ano chegaria sem
grandes problemas à resposta correta: 17/70 (alternativa A). Bastaria que soubesse contar.
*AMAR25DOM28*
60
B outras
um cone
cilindro.
As
onzee um
questões
realmente envolviam
C um
de são
pirâmide
e um
cilindro.
tópicos
quetronco
somente
tratados
detalhadamenD ensino
dois troncos
cone.
te no
médio: de
combinatória
e probabilidaE
dois
cilindros.
de, funções quadrática, exponencial e logarítmica,
C
50
40
30
geometria
analítica,
QUESTÃO
170 geometria espacial, trigonometria e progressões.
10
Uma falsa relação
x (km)
Considero que cinco dessas onze questões seO cruzamento da quantidade de horas estudadas com
10 20 30 40 50 60 70 80 90
riam de fato inacessíveis a um aluno normal do 9o
o desempenho no Programa Internacional de Avaliação
ano,de
uma
vez que envolviam
a função
Estudantes
(Pisa) mostra
queexponencial
mais tempo na escola
A torre
deve
estar
situada
em
um
local
equidistante
não é garantia
de nota acima162),
da média.
(decaimento
radioativo)(Questão
a fórmula
A torre deve estar situada em um local equidisdas três antenas.
NOTASdo
NO
PISA E CARGA
HORÁRIA
(PAÍSES SELECIONADOS)*
do volume
cilindro
(Questão
145), combinações
tante das três antenas.
O localO adequado
para
a
construção
dessa
torre
NOTAS
local adequado para a construção dessa torre
(probabilidade de se ganhar
na megassena)(QuesNO PISA
corresponde ao ponto de coordenadas
corresponde ao ponto de coordenadas
tão 176), raciocínios combinatórios mais sofisticaA (65 ; 35).
600
a. (65 ; 35) b. (53 ; 30) c. (45 ; 35)
dos (número de maneiras distintas
de se montar
B (53 ; 30).
Média
d. (50 ; 20) e. (50 ; 30).
um colar com quatro
pedras de três cores distintas)
Finlândia
C (45 ; 35).
550
Coreia do Sul
Holanda
D (50 ; 20).
HORAS DE ESTUDO
Austrália
(dos 7 aos 14 anos)
8 | no. 85 | revista do professor de matemática
Japão
E (50 ; 30).
4.500
5.000
5.500
6.000
6.500
7.000
7.500
8.000
8.500
9.000
20
A
B
Rússia
Portugal
450
Itália
Israel
x = 1 → f(x) = – 9/2 + C
Por outro lado, as seis questões restantes poderiam, a meu ver, ser resolvidas por um aluno em
vias de concluir o ensino fundamental. Vejamos
duas delas (as outras quatro são as de números 138,
142, 156 e 175) juntamente com as respectivas soluções que poderiam ser encontradas por um tal
aluno: as questões 136 e 166.
x = 3 → f(x) = – 9/2 + C
QUESTÃO 136
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
x = 2 → f(x) = – 6 + C
x = 4 → f(x) = C
ENEM sem EM
(Questão 161), e o conceito de independência em
probabilidade (Questão 141).
Nesse ponto, o aluno poderia observar que a figura é simétrica em relação ao eixo z (de rotação),
que os valores da função são simétricos em relação a
x = 2, e que f(2) parece ser o valor mínimo de f(x).
A partir dessas observações, ele poderia inferir
que o ponto V tem abscissa x = 2 (é claro que esse
argumento não é rigoroso, mas o objetivo, aqui, é
resolver a questão e não dar uma demonstração
formal de uma propriedade da função quadrática).
Finalmente, como a ordenada de V é y = 0 ( já que
V está sobre o eixo x), deve ser – 6 + C = 0 ou
C = 6. A alternativa correta é a E.
QUESTÃO 166
O ciclo de atividade magnética do Sol tem um
período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu
até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de
atividade magnética do Sol têm sido registrados.
Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.
A função real que expressa a parábola,
no plano cartesiano da figura, é dada pela lei
3
f ( x ) = x 2 − 6 x + C , onde C é a medida da altura
2
do líquido contido na taça, em centímetros. Sabese que o ponto V, na figura, representa o vértice da
parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido
na taça, em centímetros, é
a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 6
A única coisa que um aluno que nunca viu função quadrática poderia fazer é ir testando valores
de x:
x = 0 → f(x) = C
No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade
magnética de número
a. 32 b. 34 c. 33 d. 35 e. 31
Não é necessário que o aluno conheça a teoria
formal das progressões aritméticas para resolver
esta questão. Basta que ele extrapole o padrão de
regularidade explicitado no enunciado.
O 1o ciclo começou no início de 1755 e durou 11 anos. Ou seja, terminou no final de
1765.
O 2o ciclo começou no início de
1755 + 11 = 1766.
O 3o ciclo começou no início de
1766 + 11 = 1777 = 1755 + 2 × 11.
revista do professor de matemática | no. 85 | 9
ENEM sem EM
O 4o ciclo começou no início de
1777 + 11 = 1788 = 1755 + 3 × 11.
E assim por diante...
Seguindo esse padrão, segundo o qual o n-ésimo ciclo começa no início do ano
1755 + (n –1) × 11, e com base nas alternativas fornecidas, o aluno poderia concluir que:
o 31o ciclo começará no início de
1755 + 30 × 11 = 1755 + 330 = 2085;
o 32o ciclo começará no início de 2085 + 11 = 2096;
o 33o ciclo começará no início de 2096 + 11 = 2107.
Como 2096 < 2101 < 2107, a conclusão é que,
em 2101, o Sol estará no 32o ciclo. Alternativa A.
Em suma, além das 34 questões cujas soluções
poderiam ser obtidas exclusivamente através do
uso de conceitos e técnicas aprendidos no ensino
fundamental, não me parece irreal supor que um
aluno do 9o ano, adequadamente preparado (mediante o estudo das provas aplicadas em edições
anteriores do ENEM), tivesse plenas condições de
resolver seis das onze questões restantes, as quais
envolviam tópicos abordados apenas no ensino
médio. Ou seja, 40 das 45 questões da prova de
Matemática do Exame Nacional do Ensino Médio
de 2013 eram resolvíveis por um aluno em vias de
concluir o ensino fundamental!
Ocorre que o ENEM é usado por um número
crescente de universidades, em particular as federais, como exame de seleção de candidatos. Isso
significa que diversas universidades importantes
usam, como critério de seleção, uma prova excessivamente fraca, a qual permite o ingresso, nessas
universidades, de alunos insuficientemente preparados. Pois é evidente que um aluno do 9o ano
(salvo raríssimas exceções) não tem condições de
frequentar, por exemplo, um curso de engenharia,
em que Matemática é crucial. Mas esse aluno, se
preparado da forma óbvia (tendo estudado provas
de anos anteriores), tem condições de obter, pelo
10 | no. 85 | revista do professor de matemática
menos na prova de Matemática do ENEM, pontuação suficiente para ingressar numa universidade
federal de primeira linha.
COMENTÁRIOS FINAIS
A se prosseguir a insistência, por parte da banca do ENEM, em questões contextualizadas e de
baixo nível de dificuldade, e dada a importância
cada vez maior desse exame, não será surpresa
encontrar, num futuro não muito distante, cursos
de Matemática nas escolas de ensino médio reduzidos a cursinhos preparatórios para o ENEM.
Durante três anos, esses cursinhos treinarão seus
alunos na resolução de questões contextualizadas
de Matemática, a maioria das quais no nível do
ensino fundamental.
O problema é que, ao adaptarem seus currículos de Matemática às exigências do ENEM, nossas
escolas correm o risco de passar a formar alunos
que não só estarão habituados a resolver apenas
problemas fáceis, em nível de ensino fundamental, como também terão maior dificuldade para
aplicar seus conhecimentos matemáticos em contextos inéditos, um requisito básico de vários cursos universitários (e não só na área de exatas) e de
quase todos os empregos de alto nível. Esse seria,
certamente, um desastroso retrocesso do já combalido ensino de Matemática no Brasil.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Antonio Luiz Pereira, Severino Toscano
Melo. ENEM 2009: vazamentos, erros e
contextualização. RPM 71
[2] Jennifer A. Kaminski, Vladimir M. Sloutsky,
Andrew F. Hecler. Do Children Need Concrete
Instantiations to Learn an Abstract Concept?
Proceedings of The 28th Annual Conference of
the Cognitive Science Society (2006)
http://csjarchive.cogsci.rpi.edu/proceedings/2006/
docs/p411.pdf
[3] Ênio Silveira, Claudio Marques. Matemática:
compreensão e prática. 1a edição. São Paulo:
Moderna, 2008. 4 volumes (6o ao 9o ano).