Ondas Eletromagnéticas
http://www.fisica.ufmg.br/fopdist/oem/oem_guia_impressao.htm
Guia de Estudo
Demonstrações
Exercícios Extras
Vídeos
Referências
Glossário
GE Completo em PDF
para Download ou
Impressão
Ondas Eletromagnéticas
Guia de Estudo
Após o estudo deste tópico você deve:
- Entender os aspectos qualitativos e quantitativos das Ondas Eletromagnéticas (OEM) Progressivas;
- Resolver a Equação de Onda para o caso das OEMs;
- Conceituar Transporte de Energia, Vetor de Poynting e Pressão de Radiação.
* Utilize o fórum para tirar suas dúvidas. Existe um monitor responsável pelo gerenciamento diário das respostas.
GE2.1) Leia a seção sobre Ondas Eletromagnéticas nas referências de sua escolha.
GE2.2) Dedução das relações entre os vetores E e B. Observe as figuras 2.2a, 2.2b e 2.2c e responda às questões
abaixo.
Fig. 2.2a
Fig. 2.2b
GE2.2.1) Expresse a
Fig. 2.2c
em função de (E y(x2), Ey(x1) e ∆y) para a área retangular cujos lados ∆y e ∆x estão no
.
plano xy e mostre que para Dx muito pequeno podemos escrever
GE2.2.2) Calcule o fluxo magnético
GE2.2.3) Use a Lei de Faraday
GE2.2.4) Expresse a
através da área retangular mencionada acima, em função de B z, ∆y e ∆x.
para mostrar que
(em função de Bz(x2), Bz(x1) e ∆z) para a área retangular cujos lados ∆z e ∆x estão no
plano xz e mostre que para ∆x muito pequeno podemos escrever
GE2.2.5) Calcule o fluxo elétrico
1 de 6
.
.
através da área retangular mencionada acima, em função de Ey, ∆z e ∆x.
Ondas Eletromagnéticas
http://www.fisica.ufmg.br/fopdist/oem/oem_guia_impressao.htm
GE2.2.6) Utilizando a Lei de Ampère-Maxwell,
GE2.3) Sabendo que
e
mostre que
.
, mostre que:
GE2.3.1) Os vetores E e B satisfazem as equações de onda
e
, respectivamente.
GE2.3.2) Use os valores tabulados de µ0 e ε0 para calcular a velocidade desta onda. Como este valor se compara com a
velocidade da luz no vácuo?
GE2.3.3) Mostre que E = c.B para uma onda plana do tipo Ey(x,t) = E0y sen (kx - ωt + φ) , Bz (x,t) = B0z sen (kx - ωt + φ).
GE2.4) Se uma onda esférica pode ser representada por
mostre que E e B também obedecem a equação de onda
e
.
GE2.5) A figura ao lado mostra uma ondaeletromagnética
plana que passa através de um pequeno volume no ponto
P. Os campos elétrico e magnético e o vetor de Poynting
em um determinado instante são mostrados. Calcule o
fluxo de energia por unidade de tempo e de área que passa
através desse volume hipotético com espessura dx e altura
h no intervalo de tempo dt. Mostre que esse fluxo é igual
ao vetor de Poynting S = 1/µ0 ExB.
GE2.6) Um campo elétrico de uma onda eletromagnética oscila na direção y e o vetor de Poynting é dado por
S (x,t) = (100 W/m2)cos2 [10x - (3 x 109)t ]i, onde x está em metros e t em segundos.
GE2.6.1) Qual a direção de propagação da onda?
GE2.6.2) Qual é o comprimento da onda e a freqüência desta onda.
GE2.6.3) Escreva a expressão para os campos elétrico e magnético.
GE2.7) Pressão de Radiação
GE2.7.1) Quando você dispara um flash de uma máquina fotográfica, você experimenta alguma força associada à emisão de
luz? Justifique!
GE2.7.2) Um feixe de luz com intensidade I = 12 W/cm 2 incide perpendicularmente sobre um espelho plano perfeitamente
refletor de 1,5 cm 2 de área. Qual a força sobre o espelho?
GE2.7.3) Qual seria a massa de um objeto cujo peso fosse igual à força de radiação calculada no item anterior?
GE2.7.4) Explique, em termos de variação do momento, o fator 2 no valor da pressão de radiação em superfícies totalmente
refletoras.
GE2.7.5) Se a superfície não for totalmente refletora nem totalmente absorvedora, qual seria este fator?
GE2.8) Geração da Radiação Eletromagnética. Leia este Texto sobre Radiação (anexo ao final do GE).
GE2.8.1) Por que acontecem as quebras nas linhas de força quando uma carga é acelerada?
GE2.8.2) Compare a dependência radial do campo elétrico coulombiano com o campo elétrico da radiação.
GE2.9) Resolva estes Exercícios de Fixação.
2 de 6
,
Ondas Eletromagnéticas
http://www.fisica.ufmg.br/fopdist/oem/oem_guia_impressao.htm
GE 2.9.1 Um satélite em órbita em torno da Terra possui um coletor de energia solar com área de 5,0 m2. A intensidade da
radiação solar antes de atravessar a atmosfera é de 1,4 K W / m2. Calcule a potência solar absorvida pelo coletor e a força
média exercida pela pressão de radiação.
GE 2.9.2 Um astronauta está a 20 m de sua nave e para voltar dispõe apenas de um laser de 1 KW. Sua massa incluindo a
roupa e o laser é de 90 Kg.
(a) Como seria possível o astronauta retornar a sua nave?
(b) Quanto tempo levaria para o seu retorno?
(c) Com que velocidade ele chegaria a nave?
GE 2.9.3 Um laser de dióxido de carbono emite
ondas eletromagnéticas que se propagam no sentido
negativo do eixo Ox como indicado pela figura ao
lado. Sabendo seu comprimento de onda é 11mm e
que seu campo elétrico, de módulo 2,0MV/m, é
paralelo ao eixo Oz, escreva as equações que
descrevem as funções de onda E(x,t) e B(x,t).
Figura 2.9.1
GE 2.9.4 Considere uma onda eletromagnética que se propaga no sentido positivo do eixo Ox e seja E = 100V/m o módulo do
seu vetor campo elétrico.
(a) Determine o valor do módulo do campo magnético B.
(b) Calcule a densidade de energia associada a essa onda eletromagnética.
(c) Determine a taxa do fluxo de energia por unidade de área.
GE 2.9.5 Uma lâmpada de 100 W emite ondas eletromagnéticas esféricas uniformemente em todas as direções. Um anteparo
é colocado é colocado a 5m da lâmpada.
(a) Determine a intensidade das ondas eletromagnéticas no anteparo.
(b) Calcule a pressão de radiação.
(c) Quais são os valores máximos dos campos elétrico e magnético no anteparo?
GE2.10) Faça os Problemas.
GE 2.10.1 Certa estação de rádio emite ondas com freqüência de 800 KHz. Para uma dada distância do transmissor, a
amplitude do campo magnético da onda eletromagnética é igual a 4,82 x 10-11T.
(a) Calcule o comprimento de onda.
(b) Determine a freqüência angular.
(c) Calcule a amplitude do campo elétrico.
GE 2.10.2 Uma onda eletromagnética tem uma freqüência de 100MHz e viaja no vácuo. O campo magnético é dado por
3 de 6
Ondas Eletromagnéticas
http://www.fisica.ufmg.br/fopdist/oem/oem_guia_impressao.htm
B(z,t) = Bo .cos(k.z – w.t)i ,onde Bo = 10-8T.
(a) Qual é o sentido de propagação da onda?
(b) Determine seu comprimento de onda.
(c) Determine o vetor campo elétrico E(z,t) e o vetor de Poynting.
(d) Calcule o valor da intensidade da onda.
GE 2.10.3 Um pequeno laser de hélio-neônio emite luz vermelha com potência de 3,00 mW concentrado em um feixe com
diâmetro de 2,00 mm.
(a)Calcule as amplitudes do campo elétrico e do campo magnético da luz emitida.
(b)Determine as densidades de energias médias associadas com o campo elétrico e com o campo magnético.
(c) Qual é a energia contida em um comprimento de feixe igual a 1,00 m.
GE 2.10.4 Deseja-se construir um gerador de ondas eletromagnéticas que emita radiação na faixa do vermelho (650 nm). Que
indutância deve ser acoplada a um capacitor de 20 pF para se construir um oscilador que gere essas ondas?
GE 2.10.5 Nikola Tesla, um inventor do século XIX propôs a transmissão de potência elétrica através de ondas
eletromagnéticas senoidais. Considere a potência elétrica transmitida por um feixe com seção reta de área igual a 100 m2.
Qual deveria ser a amplitude do campo magnético e a amplitude do campo elétrico para que esse feixe pudesse transmitir
uma potência elétrica comparável com a potência elétrica transmitida por uma linha de transmissão moderna que operam com
tensões da ordem de 500 KV e correntes da ordem de 1000A?
GE 2.10.6 A Agência Espacial Brasileira (AEB) está considerando seriamente a possibilidade de utilizar velas solares para a
propulsão de naves espaciais. Uma nave espacial solar teria uma grande vela feita com material leve e usaria a propulsão
aproveitando a energia e o momento linear da radiação solar.
(a)A vela deve absorver ou refletir luz solar? Por quê?
(b)A potência total emitida pelo Sol é igual a 3,9 x 1026 W. Qual deve ser a área da vela para impulsionar uma nave
espacial de 10 toneladas no sentido contrário a atração gravitacional do Sol?
c)A resposta do item (b) depende da distância entre o Sol e a nave? Por quê?
Atividades Recomendadas
GE2.11) Tente, então, fazer os Exercícios Extras.
GE2.12) Existem alguns aplicativos que podem ajudá-lo na compreensão da matéria. Tente executá-los.
Radiação Eletromagnética
Carlos Heitor d’Ávila Fonseca - 2002
As equações de Maxwell mostram que uma carga elétrica irradia uma onda eletromagnética sempre que
4 de 6
Ondas Eletromagnéticas
http://www.fisica.ufmg.br/fopdist/oem/oem_guia_impressao.htm
sofre algum tipo de aceleração. Nesse texto vamos apresentar expressões que descrevem a radiação
emitida por uma carga acelerada por uma força impulsiva.
APLICATIVO (clique em Physlet Problems e mova o botão para acelerar a carga. Observe a "bolha" que se propaga.
Clicando no botao Stop você pode visualizar a quebra nas linhas de força.)
Levando em conta que o campo eletromagnético se propaga na velocidade da luz podemos concluir que
as linhas de força do campo elétrico de uma carga, que sofra uma aceleração brusca por um curto
intervalo de tempo, apresentam uma deformação em forma de bolha como na figura. Vamos supor que
a carga esteja inicialmente em repouso, sofre a aceleração e depois caminha com velocidade constante.
O raio da bolha é a distância percorrida pela luz desde o instante de aplicação da aceleração. A
espessura da parede da bolha é a distância percorrida pela luz durante o curto tempo de aplicação da
aceleração. [nota 1]
É importante notar que durante todo o tempo em que está se movimentando a carga cria um campo magnético que se afasta na velocidade da
luz. Assim todo o volume da bolha (de sua parede e da parte interna esférica) está preenchido por esse campo magnético. Sabemos que a
energia eletromagnética só pode caminhar quando os dois campos, elétrico e magnético, possuem componentes ortogonais, isto é, seu vetor de
Poynting, S = (1/µ0) E × B , não é nulo. Verifique que dentro das paredes da bolha [nota 2] o vetor de Poynting aponta para fora, requisito
necessário para que a bolha esteja em expansão. No volume esférico interno da bolha o vetor de Poynting é responsável por transportar a
energia eletromagnética aí contida, com velocidade v, junto com a carga [nota 3]. Da mesma forma que a carga elétrica caminha com
velocidade constante, o campo com toda a energia nele armazenada deve também caminhar. Finalmente, na região externa à bolha, o campo
magnético ainda não existe e o vetor de Poynting é nulo. Assim as linhas de campo elétrico dessa região permanecem como estavam; ainda
continuam apontando para o lugar onde a carga estava inicialmente. Essa região ainda não sabe que a carga se movimentou.
Agora vamos deduzir as expressões para os campos de radiação da carga acelerada. Considere que a carga q, inicialmente em repouso, sofra
uma aceleração a, constante, por um intervalo de tempo curto ∆t1, percorrendo uma ∆x1. Em seguida, por um intervalo de tempo ∆t2, ela viaja
uma distância ∆x2 com velocidade constante v. Podemos então escrever:
Durante esse tempo uma dobra nas linhas de força do vetor campo elétrico, ocorrida quando a carga foi acelerada, afasta-se na velocidade da
luz. Essa deformação do campo elétrico adquire a forma de uma bolha esférica sendo inflada. A parede da bolha é a região de campo elétrico
deformado e o centro da esfera está na posição inicial da carga. A espessura da parede da bolha vale c∆t1 e o seu raio pode ser escrito como r =
c∆t, onde ∆t = (∆t1/2) + ∆t2. Nessas expressões consideramos como raio, a distância do centro até a metade da parede da bolha. De qualquer
forma, se ∆t1 << ∆t2, tal consideração é irrelevante. Assim podemos escrever para o raio da bolha a expressão
Combinando as equações obtidas podemos então escrever
O campo elétrico nas paredes da bolha é o resultado do campo coulombiano E||, superposto ao campo de radiação
E⊥. Na figura, o triângulo retângulo desenhado na região onde a linha de força está deformada tem um cateto[nota
4] de tamanho ∆xsenθ associado à componente E⊥ e o outro cateto, de tamanho c∆t1, está associado à componente
E||. Assim podemos escrever
Substituindo o campo elétrico coulombiano por seu valor q/4πε0r2, e sabendo que numa onda eletromagnética os
módulos dos campos estão relacionados pela expressão E⊥ = cB⊥, podemos finalmente escrever as expressões para
os campos de radiação numa região distante da carga, válidas se a velocidade atingida for baixa em comparação à
velocidade da luz:
O transporte da energia eletromagnética é dado pelo vetor de Poynting, S = (1/µ0) E⊥ × B⊥. No caso da radiação, o vetor de
Poynting é normal à superfície da bolha esférica e aponta para fora. Temos então que, a uma distância r e numa direção
formando um ângulo θ com a aceleração da carga, a energia irradiada por unidade de tempo e por unidade de área é dada
pela expressão
5 de 6
Ondas Eletromagnéticas
http://www.fisica.ufmg.br/fopdist/oem/oem_guia_impressao.htm
Notamos que essa energia não é irradiada de maneira isotrópica. A radiação se concentra nas direções perpendiculares ao vetor aceleração. A
potência total irradiada pode ser obtida integrando-se a expressão acima, na superfície da bolha esférica:
Como os resultados acima foram deduzidos para uma força impulsiva, atuando por um curto intervalo de tempo, eles ainda são válidos no caso
da carga sofrer uma aceleração centrípeta. No entanto, como foi comentado anteriormente, tal expressão deixa de valer para velocidades
relativísticas, quando a carga passa a irradiar energia numa taxa mais alta do que a prevista por essa equação.
© Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG
6 de 6