Mário Henrique Gomes Pacheco
Propriedades termodinâmicas do oscilador
de Dirac e algumas contribuições da função
theta de Jacobi
Fortaleza
12 de julho de 2007
Mário Henrique Gomes Pacheco
Propriedades termodinâmicas do oscilador
de Dirac e algumas contribuições da função
theta de Jacobi
Tese submetida à Coordenação do Curso de
Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade
Federal do Ceará, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Doutor em Fı́sica
Orientador:
Ricardo Renan Landim de Carvalho
universidade federal do ceara - Departamento de Fı́sica
Fortaleza
12 de julho de 2007
Mário Henrique Gomes Pacheco
Propriedades termodinâmicas do oscilador
de Dirac e algumas contribuições da função
theta de Jacobi
Tese submetida à Coordenação do Curso de
Pós-Graduação em Fı́sica, da Universidade
Federal do Ceará, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Doutor em Fı́sica
Aprovada em 12 de julho de 2007
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho
(Orientador)
Universidade Federal do Ceará - UFC
Prof. Dr. Antonio Soares de Castro
Universidade Estadual Paulista - UNESPGuaratinguetá
Prof. Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida
Universidade Federal do Ceará - UFC
Prof. Dr. Kleiton do Carmo Mendes
Universidade Estadual do Ceará - UECE
Prof. Dr. Márcio André de Melo Gomes
Centro Federal de Educação Tecnológica do Ceará CEFET-CE
À minha Ênia e ao
meu Ênio.
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço a minha esposa, Maria Eniana A. Gomes Pacheco e
ao meu filho Ênio Henrique Gomes Pacheco, cujas presenças neste trabalho são tão
sublimes e imprescindı́veis que somente eu posso compreender. Não existe manifestação
lingüı́stica capaz de se quer representar esta influência, contida em cada idéia deste trabalho, redigida ou não.
Iguais sentimentos valem para os meus pais, Maria de Lourdes Gomes Pacheco
e Francisco João Pacheco, aos quais serei eternamente grato, sobretudo pela oportunidade de viver e por todo o sacrifı́cio a que se dispuseram para que eu chegasse até
aqui.
Agradeço à minha querida irmã, Mara Renata Gomes Pacheco, e aos meus irmãos
João Alfredo Gomes Pacheco e Luis Gustavo Gomes Pacheco.
Ao professor Ricardo Renan Landim de Carvalho, pela paciência, dedicação e
amizade dispensadas ao longo deste trabalho.
Ao professor José Soares de Andrade Júnior, coordenador do curso de pósgraduação em Fı́sica e ao professor Josué Mendes Filho, vice-coordenador do curso
de pós-graduação em Fı́sica.
Agradeço a todos os professores do departamento de Fı́sica-UFC, em especial ao José
de Arimatéia, ao José Ramos, ao Cleuton Freire, ao Murilo Pereira e José Evangelista.
Ao Abraão Cefas, pela amizade e pelas inumeráveis situações em que se prontificou
a me ajudar.
Aos amigos do GTQC-UFC-Lassco: Francisco Wagner, Wilami Cruz, Carlos
Alex, Roberto Maluf, Ivan Jardim, Geová Maciel, Hiroshi, Hudson, Victor
Hugo e Aristeu Rosendo.
Agradeço aos amigos(as) professores(as) da UECE: Luciana Angélica S. Nunes,
Makarius O. Tahim, Kleiton do Carmo, Luis Gonzaga R. Filho e àquele que
sempre vestirá a camisa ueceana, professor Célio Rodrigues Muniz.
Aos amigos professores da UFBA: Paulo Baqueiro, Luis Gustavo, Ronaldo Pesente, Evanildo Cardoso e Ângelo Maniero
Ao amigo João Cosme Reinaldo in memoriam .
Ao CNPq, pelo suporte financeiro.
E por último, mas não de menor importância, ao professor Carlos Alberto Santos
de Almeida, o meu respeito.
Resumo
Nesta tese analisamos o oscilador de Dirac tridimensional em um banho térmico.
Encontramos que o calor especı́fico do oscilador de Dirac tridimensional é duas vezes
maior que o calor especı́fico do oscilador de Dirac unidimensional quando estamos em um
regime de altas temperaturas. Inicialmente utilizamos o espectro de energia do oscilador
de Dirac tridimensional para encontramos a função de partição e as demais propriedades.
Assim procedendo, fizemos uma comparação com oscilador de Dirac unidimensional e
com oscilador harmônico não-relativı́stico. Em seguida, fizemos um estudo numérico das
propriedades termodinâmicas de um poço quadrado de potencial infinito. Para este estudo
nós utilizamos a função theta de Jacobi.
Abstract
In this work we analyze the three-dimensional Dirac oscillator in a thermal bath.
We found that the heat capacity is two times greather than the heat capacity of the
one-dimensional Dirac oscillator in the higher temperatures. We begin with the energy
spectrum of the three-dimensional Dirac oscillator, then we find the partition functions
and others thermodynamics properties; thus we make one comparasion with the onedimensional Dirac oscillator and non-relativistic harmonic oscillator. We are interested
in study numerically the properties thermodynamics of the square well with infinity potencial. In the latter case we have used a Jacobi theta function.
Sumário
INTRODUÇÃO
p. 10
1 ALGUMAS DEFINIÇÕES DO OSCILADOR DE DIRAC
p. 13
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 13
1.2
Auto-soluções do oscilador de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 14
1.3
O termo de interação do oscilador de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 17
2 PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO OSCILADOR DE DIRAC
UNIDIMENSIONAL
p. 19
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 19
2.2
A função de partição do oscilador de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 19
2.3
Estudo da função de partição do oscilador de Dirac para altas temperaturas p. 20
2.4
Obtendo da função de partição pelo uso da fórmula de integração de
Euler-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Análise númerica das quantidades termodinâmicas do oscilador hamônico
e do oscilador de Dirac unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
p. 24
p. 25
Oscilador de Dirac unidimensional na presença do termo de comprimento
mı́nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 29
3 PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO OSCILADOR DE DIRAC
TRIDIMENSIONAL
p. 31
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 31
3.2
A função de partição e o calor especı́fico do oscilador de Dirac 3D . . .
p. 31
3.3
Resultados númericos do oscilador de Dirac 3D para o caso de degenerescência
finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 35
4 PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DO POÇO INFINITO E
A RELAÇÃO COM A FUNÇÃO THETA DE JACOBI
p. 42
4.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 42
4.2
Propriedades termodinâmicas do poço infinito . . . . . . . . . . . . . .
p. 44
4.3
Propriedades termodinâmicas de um poço de potencial infinito usando a
4.4
função theta de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 46
4.3.1
A função theta de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 46
Função theta de Jacobi e o poço de potencial . . . . . . . . . . . . . . .
p. 47
CONCLUSÃO
p. 50
Apêndice
p. 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apêndice A -- A equação de Dirac
p. 51
A.1 A equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 51
A.2 Solução da equação de Dirac para partı́cula livre . . . . . . . . . . . . .
p. 53
Apêndice B -- Teste de convergência de séries infinitas
p. 58
B.1 O teste da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 58
B.2 O teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 58
B.3 O teste da comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
P
− an+bβ
B.4 A série ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=0 e
p. 59
Apêndice C -- Relações e constantes fı́sicas úteis
p. 59
p. 61
C.1 Quantidades termodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 61
C.2 Constantes fı́sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 61
C.3 Relações da métrica e derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 61
C.4 Matrizes de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 62
C.5 Matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 62
C.6 Relação útil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 62
Referências
p. 63
10
INTRODUÇÃO
O nome oscilador de Dirac foi primeiramente introduzido por M. Moshinsky and A.
Szczepaniak em (1), onde eles simplesmente trocaram na equação de Dirac o momento
p → p−imωβr, onde r é o vetor posição, m a massa da partı́cula e ω a freqüência do
oscilador. Eles propuseram um modelo para o oscilador relativı́stico que resulta no oscilador harmônico no limite de baixas energias. Dessa forma o oscilador de Dirac é dito ser
o oscilador harmônico acrescentado do termo de acoplamento spin-órbita. É importante
lembrar que o conceito de oscilador relativı́stico já havia sido usado por (2), (3) e (4).
No dias atuais, temos um extenso número de trabalhos sobre o problema do oscilador
harmônico na Mecânica Quântica Relativı́stica (5–16). A matemática do oscilador de
Dirac envolve muita atenção por suas várias aplicações em Fı́sica. No livro do Moshinsky
(17) o oscilador de Dirac está bem detalhado, onde ele mostra interações relativı́sticas em
sistemas de uma, duas e três partı́culas. Moreno e Zentella em (18) analisaram as propriedades da transformação de Foldy-Wouthuysen e mostraram que a forma fechada da
transformação pode ser encontrada usando o oscilador de Dirac. Benı́tez e outros em (19)
obtiveram os espectros de energia do oscilador de Dirac. Nesse trabalho eles mostraram
que o oscilador de Dirac corresponde à interação do momento magnético anômalo; isso
se deve ao fato de que o momento de uma partı́cula quando acoplado ao campo eletromagnético de uma esfera, resulta no hamiltoniano do oscilador de Dirac. Eles também
destacaram aplicações em supersimetria e a estabilidade do mar de Dirac. Rozmej e
Arvieu em (20) fizeram uma interessante analogia entre o oscilador de Dirac e o modelo
de Jaymes-Cummings. Eles mostraram que o acoplamento forte spin-órbita do oscilador
de Dirac produz o acoplamento do spin com o momento orbital, semelhante ao que é
observado nos modelos de Ótica Quântica. Nogami e Toyama em (21), Toyama e outros
em (22), estudaram o comportamento de pacotes de ondas do oscilador de Dirac em 1+1
dimensões. O. Lange em (23) fez um estudo das propriedades algébricas do oscilador de
Dirac. Shi-Hai e Zang-Qi em (24) encontraram soluções exatas com o potencial coulombiano em 2+1 dimensões. Ferkous em (25) e Alhaidari em (26) determinaram o espectro
de energia e as autofunções correspondentes do oscilador de Dirac 2D com a presença
do efeito Aharonov-Bohm. Alhaidari em (27) mostrou a função de Green de dois pontos
11
para o caso do oscilador de Dirac. Quesne em (28) analisaram o oscilador de Dirac com
a relação de incerteza na posição. B. Mirza em (29) estudou o oscilador de Dirac e a
equação de Klein-Gordon no espaço não-comutativo. M. Moshinsky e outros em (30)
apresentaram a supersimetria e a superálgebra para um sistema de dois corpos com a
interação do oscilador de Dirac.
Além dos trabalhos citados acima, ainda temos na literatura vários artigos que analisam as soluções e as propriedades do oscilador de Dirac, mas até o ano de 2003, ainda não
se falava do oscilador de Dirac relacionado com temperatura. Foi então que começamos
a estudar o oscilador de Dirac em uma dimensão no banho térmico (31). Neste trabalho,
utilizando a função de partição calculada somente para os valores de energia positiva do oscilador de Dirac, encontramos as propriedades termodinâmicas; todas estas propriedades
serão mostradas nesta tese. No ano de 2006 (32) analisou o oscilador de Dirac unidimensional na presença do comprimento mı́nimo. No cálculo das propriedades estatı́sticas do
oscilador de Dirac, ele chegou ao resultado que obtivemos em (31) com o acréscimo de
mais um termo na expressão da função de partição e do calor especı́fico. Assim percebemos que ainda poderı́amos tratar de modelos relativı́sticos com temperatura. Resolvemos
então dar continuidade ao trabalho fazendo uma estudo das propriedades termodinâmicas
do oscilador de Dirac, mas agora estudando o caso tridimensional. No caso tridimensional,
os estados fisicamente aceitáveis são os de energias positivas e com degenerescência finita.
Resultados analı́ticos e numéricos interessantes foram obtidos com este estudo e serão
mostrados no capı́tulo 3.
Depois surgiu a idéia de estudar alguns sistemas quânticos simples relacionados com
temperatura. No primeiro sistema utilizamos uma heteroestrutura simples, tipo poço
quântico para estudarmos suas propriedades termodinâmicas. De inı́cio, para estudarmos
quantidades termodinâmicas temos que estabelecer a função de partição para encontrar
as outras quantidades. Quando encontramos a função de partição de um poço infinito,
observamos que esta possuı́a a mesma forma da função theta de Jacobi. Isso nos deixou
particularmente interessados pelo fato de podermos usar as propriedades da função theta
de Jacobi para o nosso problema da heteroestrutura tipo poço e assim estudarmos com
mais detalhes as quantidades termodinâmicas.
No primeiro e segundo capı́tulo desta tese, mostrarei algumas definições do oscilador de
Dirac e suas propriedades termodinâmicas em altas temperaturas em uma dimensão. No
terceiro capı́tulo farei o estudo do caso tridimensional do oscilador de Dirac. No quarto
capı́tulo farei um estudo das propriedades termodinâmicas do poço quântico infinito e
12
relacionarei com a função theta de Jacobi.
13
1
ALGUMAS DEFINIÇÕES DO
OSCILADOR DE DIRAC
1.1
Introdução
O oscilador harmônico possui várias aplicações na mecânica quântica não-relativı́stica
cujas equações podem ser resolvidas exatamente. Isso deve-se ao fato de que a hamiltoniana é quadrática no momento e na coordenada espacial.
Como a equação de Dirac é linear no momento, procurou-se obter um modelo análogo
ao oscilador harmônico na mecânica quântica relativı́stica. Com isso surgiu o oscilador
de Dirac analizado em (1). A equação do movimento desse oscilador é obtida fazendo
uma substituição na hamiltoniana da equação (A.2), que é dita ser uma substituição
não-mı́nima e definida como:
p → p − ımωβr,
(1.1)
onde m é a massa da partı́cula e ω é a freqüência do oscilador, assim (A.2) fica1 :
ı
∂ψ
= Hψ = [α · (p − ımωβr) + mβ]ψ.
∂t
(1.2)
Como podemos observar na equação (1.2) apesar de (1.1) não ser hermitiana, a matriz α
permite que o hamiltoniano seja. A matriz β faz com que a equação (1.1) seja covariante
de Lorentz como analisada em (33).
Para fazer uma comparação entre o oscilador harmônico não-relativı́stico e oscilador
de Dirac, inicialmente tomemos o quadrado do hamiltoniano de (A.2), ou seja:
H 2 = [α · (p − ımωβr) + mβ]2 .
(1.3)
Fazendo algumas manipulações chegaremos na equação abaixo:
H 2 = p2 + m2 ω 2 r2 + (4S · L − 3)mωβ,
1
Neste capı́tulo usaremos as unidades naturais ~ = c = 1
(1.4)
14
onde
L=r×p
~
S = ( )σ,
2
(1.5)
são o momento angular orbital e o spin, respectivamente.
De (1.4) podemos observar que o quadrado do hamiltoniano fica sendo a interação do
oscilador harmônico somado com um termo de spin-órbita acoplado, ou seja, o oscilador
de Dirac pode ser visto como sendo uma raiz quadrada do oscilador harmônico linear
não-relativı́stico. O hamiltoniano ao quadrado possui somente termos comutantes com a
matriz β. Esses operadores são chamados de operadores pares.
Para mostrarmos que o momento angular total é conservado no caso do oscilador
de Dirac, basta definir o momento angular total como sendo J = L + σ2 . Inicialmente
notamos que o hamiltoniano não comuta separadamente com L e σ respectivamente, ou
seja:
[L, H] = ı(α × p) − mω(r × α)β
(1.6)
σ
[ , H] = −ı(α × p) + mω(r × α)β,
(1.7)
2
onde [A, B] = AB − BA. Mas se tomarmos a expressão completa de J, temos que o
momento angular total é conservado, ou seja:
[J, H] = 0.
1.2
(1.8)
Auto-soluções do oscilador de Dirac
Nesta seção calcularemos o espectro de energia do oscilador de Dirac. Como vimos
na primeira seção, o momento angular é conservado em nosso sistema, pois o momento
angular total J comuta com H. A regra de soma do momento angular é definida como
 = ` ± 12 , onde  é o número quântico de momento angular total e ` é o número quântico
orbital. A paridade é utilizada em nosso sistema para classificar as autofunções da energia.
Como a paridade das autofunções de energia é definida como sendo (−1)` , temos, portanto:
(
²=
1
+1 se a paridade (−1)+ 2
1
−1 se a paridade (−1)− 2
,
(1.9)
onde, nos dois casos, temos ` =  + 2² .
Como o oscilador de Dirac conserva o momento angular, podemos dividir as auto-
15
funções da energia em duas partes, ou seja, na parte radial e na parte angular, de acordo
com o valor de ² (34). Assim a solução da equação (1.2) será:
1
Ψ(~r, t) =
r
Ã
±
F (r)ym`
(θ, φ)
∓
ıG(r)ym`
0 (θ, φ)
!
exp(−ıEt),
(1.10)
∓
±
e ym`
onde ym`
0 são os harmônicos esféricos espinoriais. Eles são definidos como:
q

`±m+ 21
q 2`+1 1
`∓m+ 2
±
2`+1
±
ym`
(θ, φ) = 

Y`,m− 1 (θ, φ)
2
,
(1.11)
Y`,m+ 1 (θ, φ)
2
onde Y`,m− 1 e Y`,m+ 1 são os harmônicos esféricos. O operador paridade é definido em (34)
2
2
como:
P = eıϕ γ 0 ,
onde eıϕ é um fator de fase não observável, escolhido como sendo ±1 ou ±ı, assim P
é proporcional a β = γ 0 . As paridades dos harmônicos esféricos espinoriais devem ser
opostas, isto é, para ` =  +
²
2
0
temos ` =  − 2² . Desta maneira, ficamos com:
1
1
( + )( + + ²) = `(` + 1)
2
2
(1.12)
e
1
1
0
0
( + )( + − ²) = ` (` + 1),
2
2
assim temos que o quadrado do momento angular satisfaz:
1
1
L2 = ( + )( + + ²β).
2
2
(1.13)
(1.14)
Da equação (1.14) e usando as relações abaixo:
3
4
J 2 = ( + 1),
J 2 = L2 + 2S · L +
(1.15)
temos:
1
3
1
( + 1) = ( + )( + + ²β) + 2S · L +
2
2
4
²β
+1
−2S · L = ²β +
2
²β ²β 1
S·L=−
−
−
2
4
4
1
1
S · L = − ²(2 + 1)β − .
4
2
(1.16)
16
Observemos que a expressão (1.16) é independente de r, ou seja, no espectro de energia
o acoplamento é constante. Usando a relação entre o quadrado do momento linear e o
quadrado do momento angular (34) temos:
E 2 − m2 = −
( + 12 )( + 12 + ²β)
d2
+
+ m2 ω 2 r2 + mω[²(2 + 1) − β].
2
2
dr
r
(1.17)
Observemos que na equação (1.17) o termo E 2 − m2 é uma soma entre a parte radial
da equação de um oscilador não-relativı́stico e o termo abaixo:
mω[²(2 + 1) − β].
O espectro de energia do oscilador de Dirac é dado pela soma do espectro de energia
do oscilador harmônico não-relativı́stico e o termo constante acima, ou seja:
E 2 − m2 = 2mEn + mω[²(2 + 1) − β],
(1.18)
onde En = ~ω(N + 23 ) para N = 0, 1, 2, .... O número quântico principal é dado por
N = 2n + `. Assim o espectro de energia é dado, como em (19), por
E+ =
p
mω[2(N + 1) + ²(2 + 1)] + m2 ,
(1.19)
para os estados de energia positiva e
E− = −
p
mω[2(N + 2) + ²(2 + 1)] + m2 ,
para estados de energia negativa.
(1.20)
17
1.3
O termo de interação do oscilador de Dirac
Nesta seção, como já feito nas referências (2, 16), mostraremos que o hamiltoniano
do oscilador de Dirac é resultado da interação do momento magnético anômalo de uma
partı́cula acoplado ao campo elétrico produzido por uma esfera carregada. Inicialmente
consideremos uma esfera dielétrica de raio R uniformemente carregada. Dentro da esfera
o campo elétrico varia com o raio na forma E = −λr; já o campo magnético é nulo em
qualquer lugar, ou seja, B = 0.
Calculando o potencial eletromagnético Aµ associado ao campo magnético estático,
usando A0 = 0 e A = λtr, temos:
Aµ = λ(0, tr).
(1.21)
Para escrever a expressão acima na forma covariante de Lorentz, usamos o fato de o
campo eletromagnético ser invariante de gauge. Assim basta escolhermos a função de
gauge apropriada, ou seja:
µ
¶
t3
λ
2
tr +
.
Λ=−
4
3
(1.22)
0
Usando a relação A µ = Aµ − ∂ µ Λ e pela definição da derivada covariante como em (35)
temos que o novo potencial será dado por:
0
Aµ =
λ 2
(t + r2 , 2tr).
4
(1.23)
Usando agora o quadrivetor uµ = mω(1, 0) podemos ver que o termo de interação da
equação (1.2) pode ser dado na forma:
ımωα · r = σ µν xµ uν ,
(1.24)
assim, a equação (1.2) pode ser escrita na forma covariante:
¸
·
κe µν
µ
)σ Fµν = 0,
γ pµ − m + (
4m
onde κ =
2m
e
(1.25)
é o momento magnético anômalo do férmion para o oscilador de Dirac.
O potencial eletromagnético pode ser escrito como:
18
λ
[2(u.x)xµ − x2 uµ ],
4
onde o tensor eletromagnético pode ser dado como sendo:
Aµ =
Fµν = λ(uµ xν − uν xµ ).
(1.26)
(1.27)
Quando substituı́mos a equação (1.27) para o campo eletromagnético no termo de interação da expressão (1.25) temos:
κe
κe
σµν F µν =
λ(ıα · r).
(1.28)
4m
2m
Multiplicando (1.28) pela matriz β, nós encontraremos o termo de interação do oscilador
de Dirac. Então podemos ver que o hamiltoniano do oscilador de Dirac pode ser dado
pelo acoplamento não-mı́nimo:
p→p−
onde λ =
2m2 ω
eκ
ı
eκλrβ,
2m
(1.29)
, ou seja:
p → p − ımωrβ.
(1.30)
19
2
PROPRIEDADES
TERMODINÂMICAS DO
OSCILADOR DE DIRAC
UNIDIMENSIONAL
2.1
Introdução
Neste capı́tulo estudaremos o oscilador de Dirac unidimensional num banho térmico.
Consideraremos o oscilador em equilı́brio com um reservatório de calor a uma dada temperatura T . Com o espectro de energia positiva do oscilador, poderemos encontrar o fator
de Boltzmann dado por exp(−Eβ) onde E é a energia e β =
1
;
kT
assim procedendo, poder-
emos encontrar as quantidades termodinâmicas, a saber, a função de partição, a energia
média e o calor especı́fico. Em seguida, iremos comparar com os resultados obtidos com
o caso do oscilador harmônico não-relativı́stico.
2.2
A função de partição do oscilador de Dirac
Inicialmente para o oscilador harmônico não-relativı́stico em uma dimensão, de acordo
com a Mêcanica Quântica, os nı́veis de energia são não-degenerados e dados por:
1
En = (n + )~ω.
2
(2.1)
A função de partição (36) neste caso é dada por
Z=
X
exp(−En β),
(2.2)
estados
ou ainda,
∞
1
~ω X
Z=
exp[−β(n + )~ω] = exp(−β )
exp(−nβ~ω).
2
2
n=0
estados
X
(2.3)
20
A probabilidade do oscilador harmônico não-relativı́stico unidimensional ter autovalores de energia (n + 12 )~ω, no equilı́brio térmico, é dada por:
Pn =
exp[−β(n + 12 )~ω]
.
Z
(2.4)
Assim, a energia média do oscilador harmônico não-relativı́stico é:
P
X
(n + 12 )~ω exp[−β(n + 12 )~ω]
P
Pn En =
U=
.
1
exp[−β(n
+
)~ω]
2
n=0
(2.5)
Depois de algumas considerações podemos simplificar a equação acima tornando-se:
1
~ω
U = ~ω + β~ω
.
2
e
−1
(2.6)
Para o caso relativı́stico unidimensional é importante destacar que estamos considerando a troca de energia entre o banho térmico e um sistema de uma partı́cula.
Considerando também, que os estados de energias positivas e negativas não se misturam
devido a estabilidade do mar de Dirac (19), iremos considerar somente os estados de
energia positiva, ou seja:
E=
p
2mω~(n + 1) + m2 ,
(2.7)
onde o termo de spin órbita não está presente. Assim a função de partição do oscilador
de Dirac será dada por:
Z=
X
exp[−
p
(2(n + 1)m~ω + m2 )β],
(2.8)
estados
e a energia média será:
p
P∞ p
(2(n + 1)m~ω + m2 ) exp[− (2(n + 1)m~ω + m2 )β]
n=0
p
.
U=
P∞
2 )β]
exp[−
(2(n
+
1)m~ω
+
m
n=0
2.3
(2.9)
Estudo da função de partição do oscilador de
Dirac para altas temperaturas
Inicialmente iremos considerar a função de partição do oscilador harmônico nãorelativı́stico como definido em (2.3), ou seja :
Z=e
−β ~2 ω
∞
X
n=0
e−nβ~ω .
(2.10)
21
Usando unidades naturais, ~ = ω = 1 e considerando que β seja muito pequeno, o termo
β
e− 2 ' 1, assim a equação acima fica:
∞
X
Z=
e−nβ .
(2.11)
n=0
Para altas temperaturas, ou seja, para β ¿ 1, a função de partição do oscilador harmônico
não-relativı́stico pode ser escrita como:
Z=
1
1 1
' + .
−β
1−e
β 2
ou seja,
∞
X
1 1
+ .
β 2
(2.12)
∞
e−βx 
 = 1
dx = −
β 0
β
(2.13)
e−nβ '
n=0
Considere a seguinte integral
Z
∞
I=
e
−βx
0
Usando a regra dos trapézios, a integral acima pode ser aproximada por :
S=
(1 + e−β ) (e−β + e−2β )
+
+ ···
2
2
∞
1 X −nβ
S=− +
e .
2 n=0
(2.14)
Para o caso β ¿ 1, usando (2.12) temos:
1 1 1
1
S=− + + = .
2 2 β
β
(2.15)
Ou seja, para altas temperaturas, o valor da integral (2.13), é equivalente a soma dos
trapézios dada por (2.15).
Se agora considerarmos o caso relativı́stico, partindo da função de partição dada por
(2.8), temos:
Z=
∞
X
√
−
e
n=0
Podemos escrever a expressão acima como:
2(n+1)m~ω+m2 β
.
(2.16)
22
Z=
∞
X
√
e−
an+bβ
,
(2.17)
n=0
2
onde a = 2m~ω e b = m + 2m~ω. Agora considerando a integral,
Z
∞
I(β) =
e−
√
ax+bβ
dx,
(2.18)
e−yβ ydy.
(2.19)
0
e fazendo uma mudança de variáveis, temos:
2
I(β) =
a
Z
∞
√
b
A integral acima pode ser facilmente calculada
µ
¶
Z ∞
2
∂
−yβ
e dy ,
I(β) =
−
a
∂β √b
(2.20)
resultando então:
√
2 −√bβ
e
(1
+
β
b).
(2.21)
aβ 2
Considerando agora a regra dos trapézios, a integral dada por (2.18) pode ser aproximada
I(β) =
por:
√
S=
e−
bβ
√
+ e−
2
√
a+bβ
+
e−
a+bβ
+ e−
2
√
2a+bβ
+ ···
√
√
√
e− bβ
S=
+ e− a+bβ + e− 2a+bβ + · · ·
2
ainda podemos reescrever a relação acima como:
(2.22)
√
√
√
√
e− bβ
S=
− e− bβ + e− bβ + e− a+bβ + · · ·
2
(2.23)
Ou seja:
√
e− bβ
S=−
+ Z.
2
(2.24)
Podemos então dizer que, para altas temperaturas, o resultado da integral dada pela
equação (2.21) é equivalente à soma dos trapézios em (2.24), ou seja:
√
√
e− bβ
2 −√bβ
−
+Z '
e
(1
+
β
b)
2
aβ 2
(2.25)
23
Assim, a função de partição do oscilador de Dirac no limite de altas temperaturas é
dada pela expressão abaixo:
√
√
√
e− bβ
2
Z'
+ 2 e− bβ (1 + β b)
2
aβ
(2.26)
ou ainda:
Z'e
√
− bβ
µ
√
¶
2(1 + β b) 1
+
aβ 2
2
(2.27)
.
√
Para altas temperaturas o termo 12 e−
bβ
da equação acima pode ser desprezado, assim
nossa função de partição pode ser escrita simplesmente como:
√
2(1 + β b)
Z=
.
aβ 2
(2.28)
Agora calculando a energia média temos:
U =−
1 ∂Z
,
Z ∂β
(2.29)
onde Z é dado na equação (2.28).
Após alguns cálculos algébricos e fazendo β =
1
kT
onde T é a temperatura, temos que
a equação acima fica:
U=
2T +
1+
√
√
b
T
b
.
(2.30)
Para altos valores de T , a equação acima fica simplesmente como:
U ' 2kT.
(2.31)
Assim o calor especı́fico do oscilador de Dirac para altas temperaturas será dado por:
c'
∂ Ū
' 2k.
∂T
(2.32)
Como podemos observar o calor especı́fico do oscilador de Dirac é o dobro do valor
encontrado para o oscilador harmônico não-relativı́stico.
24
2.4
Obtendo da função de partição pelo uso da fórmula
de integração de Euler-Maclaurin
O resultado obtido na seção anterior pode ainda ser mostrado de uma forma ainda
mais elegante, usando a fórmula de integração de Euler-Maclaurin. Como sabemos a
√
função f (x) = exp(− ax + bβ) é uma função monotonicamente decrescente e temos que
a integral correspondente será
Z
I(β) =
∞
√
e−
ax+bβ
dx =
0
√
2 −√bβ
e
(1
+
β
b),
aβ 2
(2.33)
assim a função de partição será convergente. Usando a fórmula de Euler-Maclaurin
∞
X
1
f (n) = f (0) +
2
n=0
Z
∞
f (x)dx −
0
∞
X
p=1
1
B2p f (2p−1) (0) + ...
(2p)!
(2.34)
onde B2p são os números de Bernoulli, B2 = 1/6, B4 = −1/30, .... Eles são definidos pela
série
∞
X
t
tn
=
B
.
n
et − 1 n=0
n!
(2.35)
Então a função de partição pode ser escrita como:
∞
√ X B
√
1
2
2p (2p−1)
Z = + 2 (1 + β b) − e bβ
f
(0) + ...
2 aβ
(2p)!
p=1
(2.36)
Na equação acima considerando p variando até 2 somente , temos que
√
e
bβ
2
X
B2p (2p−1)
f
(0) =
(2p)!
p=1
1 β a3
1 β 2 a3
1 β 3 a3
1 βa
√ −
−
−
.
24 b
1920 b5/2
1920 b2
5760 b3/2
(2.37)
Mas, como estamos interessados em analisar a função de partição para altas tempera
turas; assim para β << 1 todos os termos da soma acima serão pequenos em comparação
√
com o termo 2(1 + β b)/aβ 2 . Portanto a função de partição será:
Z'
2
,
aβ 2
(2.38)
Assim conseguimos chegar às expressões da energia média e calor especı́fico, ou seja:
25
U =−
∂ ln Z
' 2kT,
∂β
C'
2.5
∂U
' 2k.
∂T
(2.39)
(2.40)
Análise númerica das quantidades termodinâmicas
do oscilador hamônico e do oscilador de Dirac
unidimensional
Como podemos observar, torna-se inviável calcularmos analı́ticamente a soma da
equação (2.9), e mais complicado ainda derivá-la para encontrar o calor especı́fico do oscilador de Dirac. Então iremos fazer uma análise númerica das quantidades termodinâmicas
para podermos comparar os dois osciladores.
Inicialmente usamos as energias do oscilador harmônico não-relativı́stico e do oscilador
de Dirac, obtivemos a energia média e calor especı́fico de ambos.
Como podemos observar nas figuras 1 e 2, as curvas para a energia livre de Helmholtz
e energia média possuem as mesmas caracterı́sticas, com os valores obtidos pelo oscilador
de Dirac maiores que os de Schrödinger, com uma pequena diferença da ordem de 1/2~ω.
Na figura 3 temos o gráfico do calor especı́fico para o oscilador harmônico nãorelativı́stico e oscilador de Dirac, e como podemos observar ele confirma o resultado da
equação 2.40 encontrado anteriormente.
26
5
4
ln(Z)
3
2
1
0
0
2
4
kT/mc
6
8
10
2
Figura 1: A energia livre de Helmholtz do oscilador harmônico não-relativı́stico e a do
oscilador de Dirac em função da temperatura, onde consideramos ~ω/mc2 = 1. A linha
pontilhada corresponde ao oscilador de Dirac e a outra é a do oscilador harmônico nãorelativı́stico.
27
20
U/mc
2
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
2
kT/mc
Figura 2: A energia média do oscilador harmônico não-relativı́stico e a do oscilador de
Dirac em função da temperatura, onde consideramos ~ω/mc2 = 1. A linha pontilhada
corresponde ao oscilador de Dirac e a outra é a do oscilador harmônico não-relativı́stico.
28
2
C/k
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
2
kT/mc
Figura 3: O calor especı́fico do oscilador harmônico não-relativı́stico e o do oscilador de
Dirac em função da temperatura, onde consideramos ~ω/mc2 = 1. A linha pontilhada
corresponde ao oscilador de Dirac e a outra é a do oscilador harmônico não-relativı́stico.
29
2.6
Oscilador de Dirac unidimensional na presença
do termo de comprimento mı́nimo
Depois que obtivemos os resultados do estudo das quantidades termodinâmicas do
oscilador de Dirac unidimensional, recentemente Nouicer (32), usando a representação
dos espaços-momento, obteve a energia e as propriedades termodinâmicas do oscilador de
Dirac unidimensional na presença do termo de comprimento mı́nimo dado por
(4x)min = ~
p
β,
(2.41)
onde β é um parâmetro de deformação da relação de comutação modificada
[x, p] = ı~(1 + βp2 )
(2.42)
O espectro de energia positiva do oscilador de Dirac unidimensional, para valores
pequenos de β, é dado por
"
#
β~2 ω 2
n2
2n~ω
1+
1+
mc2
2c2 1 + 2n~ω
mc2
r
En = mc2
(2.43)
Observemos que o segundo termo da expressão acima representa a correção adequada na
presença do termo de comprimento mı́nimo, onde n2 está relacionado ao confinamento.
A função de partição do oscilador de Dirac, para uma temperatura T , na presença do
comprimento mı́nimo é dada por:
Zβ 0 =
∞
X
r
0
exp(−β mc
0
0
onde β =
2
1+
βω 2 ~2 n2 2nω~
+
),
c2
mc2
(2.44)
1
.
kT
No regime de altas temperaturas a expressão acima fica:
Zβ 0 '
(kT )2
3β(kT )4
−
~ωmc2
~ωmc4
(2.45)
A energia média é dada por:
¶2 ¸
µ
4X)min
U ' 2kT 1 − 3
lth
·
(2.46)
30
e o calor especı́fico é dado por:
·
µ
¶2 ¸
4X)min
c ' 2k 1 − 9
.
lth
(2.47)
Observemos que nestes resultados acima, se tomarmos o limite quando β = 0 , isto é,
quando não temos o termo de comprimento mı́nimo, as expressões para a energia média e
para o calor especı́fico reduzem-se a expressões do oscilador de Dirac usual, que foi obtida
em (31), ou seja 2kT e 2k.
31
3
PROPRIEDADES
TERMODINÂMICAS DO
OSCILADOR DE DIRAC
TRIDIMENSIONAL
3.1
Introdução
Depois dos resultados obtidos em (31) para o caso unidimensional, ainda nos restava
explorar o caso tridimensional. De inı́cio achavamos que talvez esse caso fosse um pouco
complicado devido o problema da degenerescência dos estados, mas resolvemos encontrar
uma maneira que nos pudesse fornecer um resultado significativo. Então reescrevemos
o espectro de energia do oscilador de Dirac 3D, de forma que conseguinos tratar com o
problema da degenerescência para então começar calcular a função de partição. Então,
neste capı́tulo irei apresentar os resultados analı́ticos para as quantidades termodinâmicas
(função de partição, energia média e calor especı́fico) do oscilador de Dirac tridimensional e
mostraremos também uma análise númerica da função de partição do caso em 3 dimensões
1
.
3.2
A função de partição e o calor especı́fico do oscilador de Dirac 3D
Como vimos no primeiro capı́tulo, o espectro de energia positiva do oscilador de Dirac
é dado por:
E+ =
p
mω[2(N + 1) + ²(2 + 1)] + m2 .
(3.1)
Naquele momento não consideramos os termos de spin, uma vez que estavámos interessados apenas no caso unidimensional. Agora temos que levar em consideração o momento
1
Neste capı́tulo usaremos β = (kT )−1 , onde k é a constante de Boltzmann
32
angular total e o número quântico orbital. De acordo com (1) é observado a existência de
degenerescência quando tratamos do oscilador de Dirac em 3 dimensões. Dependendo da
paridade do sistema, temos duas possibilidades (1):
2
(mc2 )−1 (Enlj

~ω[2(N − j) + 1]
− m2 c4 ) =
~ω[2(N + j) + 3]
se l = j − 1/2,
(3.2)
se l = j + 1/2.
Na equação acima, temos casos de degenerescência infinita e finita respectivamente. Considerando somente o caso de degenerescência finita, uma vez que não podemos construir
representações do grupo de Lorentz com estados de degenerescência infinita, a equação
acima pode ainda ser escrita como em (20), assim
Enlj = mc2
onde A = 2(N +j)+3 e ξ =
~
.
mc2
p
ξA + 1,
(3.3)
Agora para o estudo das quantidades termodinâmicas
do oscilador de Dirac tridimensional, vamos inicialmente redefinir a expressão de A, em
função de uma nova constante que chamaremos de ς, e definida como ς = N + l, onde
N, l ∈ N. Dessa forma temos que A = 2(ς + 1).
Então agora podemos escrever a função de partição do oscilador de Dirac tridimensional, para uma temperatura T :
√
Z=e
bβ
∞
X
√
(ς + 1)e− aς+bβ
(3.4)
ς=0
onde a = 2~mωc2 e b = m2 c4 + 2~ωmc2
Analisando a convergência da função de partição, observamos que a função f (x) =
√
(x + 1)e−
ax+bβ
monotonicamente convergente e corresponde a integral
Z ∞
√
I(β) =
(x + 1)e− ax+bβ dx
(3.5)
0
que é convergente.
Para calcular o somatório da equação (3.4), podemos utilizar a fórmula de EulerMacLaurin
∞
X
1
f (n) = f (0) +
2
n=0
Z
∞
f (x)dx −
0
∞
X
p=1
1
B2p f (2p−1) (0) + ...,
(2p)!
(3.6)
onde B2p são os números de Bernoulli, B2 = 1/6, B4 = −1/30, .... Eles são definidos pela
33
série
∞
X
t
tn
=
.
B
n
et − 1 n=0
n!
(3.7)
√
O primeiro termo da expansão acima tomado em n = 0 é dado por 21 e−
bβ
. Para
encontrarmos o segundo termo, temos que calcular a integral dada por (3.5), ou seja:
Z ∞
√
I(β) =
(x + 1)e− ax+bβ dx.
(3.8)
0
Fazendo u2 = ax + b, a integral acima resulta em:
2
I= 2
a
·Z
Z
∞
√
3 −uβ
ue
du + (a − b)
b
observemos que, a primeira integral
solução é dada por:
2
¸
∞
√
b
e
−uβ
udu ,
(3.9)
acima não é trivial quanto a segunda integral, cuja
√
e− bβ
(1 + β)
β2
Notemos que a solução da primeira integral é encontrada quando derivamos parcialmente
a razão
ou seja
√
∂ 3 e− bβ
,
− 3
∂β
β
√
√ ·
√
¸
√
∂ 3 e− bβ
e− bβ 6
6 b
− 3
=
+
+ 3b + βb b .
∂β
β
β2 β2
β
Assim a solução da integral dada pela equação (3.9) é dada por:
√
√
·
¸
√
6
2e− bβ
6 b
I= 2 2 =
+
+ 3b + βb b + a + βa − b − βb .
aβ
β2
β
(3.10)
Então agora resta somente calcular o terceiro termo da expansão dada em (3.6).
Considerando apenas p variando de 1 a 2, temos que calcular a derivada de terceira
ordem da função f (x) = (x + 1)e−
√
ax+bβ
.
Agora que já conhecemos os três termos da expansão de Euler-MacLaurin, podemos
substituı́-los na função de partição (3.4). Uma vez realizado esse procedimento, chegamos
então finalmente a expressão da função de partição do oscilador de Dirac tridimensional,
ou seja:
2
apêndice c
34
√
√ ¸
·
2 6
6 b a−b a−b 3+b b
1
Z= + 2 4+ 3 +
+
+
+
2 a β
β
β2
β
β
1
a3 β 3
a2 β 2
a3 β 2
a3 β 2
√ +
− −
−
+
+
12 5760 b3 1440b 2880b2 5760b
a3 β
a2 β
a2 β 2
a2 β
aβ
√ +
√ −
√ + √ .
+
+
2880 2880 b3 5760 b3 1440 b 24 b
(3.11)
Como no caso unidimensional, agora vamos fazer um estudo para altas temperaturas,
ou seja para T → ∞. Dessa forma, podemos observar que no regime de altas temperaturas, os termos que resultaram do terceiro termo da expansão de Euler-MacLaurin serão
todos desconsiderados, uma vez que β → 0. Então da função de partição acima restará
apenas os termos resultantes da integral dada em (3.9), ou seja:
√
√ ¸
·
2 6
6 b a−b a−b 3+b b
1
1
+
+
− .
Z= + 2 4+ 3 +
2
2 a β
β
β
β
β
12
(3.12)
Podemos assim considerar que na expressão acima o termo da ordem de β 4 é muito
maior em comparação com os demais. Logo a função de partição pode ser finalmente
escrita como:
Z'
12
.
a2 β 4
(3.13)
A equação acima pode ser encontrada, de uma forma mais simples, basta considerar
o somatório da função f (n) = (n + 1)e−
∞
X
√
an+bβ
, ou seja
√
= (n + 1)e−
an+bβ
(3.14)
n=0
O somatório acima pode ser aproximado por trapézios
S=
e−
√
bβ
+ 2e−
2
√
a+bβ
+
2e−
√
a+bβ
+ 3e−
2
√
2a+bβ
+ ···
ainda podemos reescrever a equação acima como:
√
√
√
√
e− bβ
+ e− bβ + 2e− bβ + 3e− 2a+bβ + · · ·
S=−
2
Ou seja:
(3.15)
√
e− bβ
+ Z.
S=−
2
(3.16)
35
A equação acima será igual ao resultado da integral (3.8), logo:
√
√ ·
√
e− bβ
2e− bβ 6
6 b
−
+Z ' 2 2
+
+ ··· ,
2
aβ
β2
β
considerando valores pequenos de β, ou seja altas temperaturas, temos:
Z'
12
a2 β 4
(3.17)
o que mais uma vez comprova a exatidão do nosso resultado.
Continuando a obtenção das quantidades termodinâmicas, a energia média é obtida
através da expressão:
U =−
∂
lnZ.
∂β
(3.18)
Tomando
lnZ = ln12 − ln(a2 β 4 )
então a energia média pode ser escrita como:
U =−
∂
lnZ ' 4kT.
∂β
(3.19)
E por último podemos encontrar o calor especı́fico, que pode ser escrito como:
c'
∂U
' 4k.
∂T
(3.20)
Esse resultado mostra que para altas temperaturas, a energia média e o calor especı́fico
do oscilador de Dirac tridimensional é o dobro do obtido para o caso unidimensional.
3.3
Resultados númericos do oscilador de Dirac 3D
para o caso de degenerescência finita
Depois dos resultados analı́ticos obtidos na seção anterior, resolvemos fazer uma
análise númerica das quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac tridimensional.
Para obtermos a energia média e o calor especı́fico do oscilador de Dirac tridimensional, inicialmente utilizamos a energia positiva do oscilador de Dirac 3D, dada pela
equação (3.3) e a função de partição dada por (3.4). Com isso obtivemos os resultados
para energia média e para o calor especı́fico, como mostram as figuras 4, 5, 6 e 7. Na
figura 4, temos a energia média em função da temperatura, podemos observar que o valor
da energia média é 4 vezes o valor da temperatura. Na figura 5, temos o gráfico do calor
36
40
U/mc²
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
kT/mc²
Figura 4: A energia média do oscilador de Dirac tridimensional em função da temperatura,
onde consideramos ~ω/mc2 = 1.
especı́fico em função da temperatura. Na figura 6 e 7, temos uma comparação entre os
gráficos de energia média e calor especı́fico do oscilador harmônico não-relativistico, oscilador de Dirac unidimensional e do oscilador de Dirac tridimensional. Observemos um
fato importante de que os resultados obtidos para o caso do oscilador de Dirac tridimensional é duas vezes maior do que o caso oscilador de Dirac unidimensional. Na figura 8,
temos a energia livre do oscilador de Dirac tridimensional e na figura 9, temos novamente
uma comparação entre a energia livre do oscilador de Dirac e do oscilador harmônico nãorelativistico. Com isso comprovamos os resultados analı́ticos obtidos na seção anterior.
37
4
C/k
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
kT/mc²
Figura 5: calor especı́fico do oscilador de Dirac tridimensional em função da temperatura,
onde consideramos ~ω/mc2 = 1.
38
40
U/mc²
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
kT/mc²
Figura 6: A energia média do oscilador harmônico não-relativı́stico e a do oscilador de
Dirac unidimensional e tridimensional em função da temperatura, onde consideramos
~ω/mc2 = 1. As linhas sólida e tracejada correspondem ao oscilador de Dirac 3D e 1D
respectivamente, e a outra linha é a do oscilador harmônico não-relativı́stico.
39
4
C/k
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
kT/mc²
Figura 7: O Calor especı́fico do oscilador harmônico não-relativı́stico e a do oscilador de
Dirac em função da temperatura, onde consideramos ~ω/mc2 = 1. As linhas sólida e
tracejada correspondem ao oscilador de Dirac 3D e 1D respectivamente, e a outra é a do
oscilador harmônico não-relativı́stico.
40
15
ln(Z)
10
5
0
0
2
4
6
8
10
kT/mc²
Figura 8: A energia livre de Helmholtz do oscilador de Dirac tridimensional em função
da temperatura, onde consideramos ~ω/mc2 = 1.
41
15
ln(Z)
10
5
0
0
2
4
6
8
10
KT/mc²
Figura 9: A Energia livre de Helmholtz do oscilador harmônico não-relativı́stico e a
do oscilador de Dirac tridimensional e unidimensional em função da temperatura, onde
consideramos ~ω/mc2 = 1. As linhas tracejada e puntilhada correspondem ao oscilador
de Dirac 3D e 1D respectivamente, e a outra é a do oscilador harmônico não-relativı́stico.
42
4
PROPRIEDADES
TERMODINÂMICAS DO
POÇO INFINITO E A
RELAÇÃO COM A FUNÇÃO
THETA DE JACOBI
4.1
Introdução
Neste capı́tulo iremos analisar as propriedades termodinâmicas de heteroestrutura
simples, tipo o poço de potencial quadrado. Inicialmente gostaria de esclarecer um pouco
mais sobre as heteroestruturas.
Em 1950 a idéia de se utilizar filmes finos para estudar os efeitos de confinamento
era bastante difundido, e a principal estrutura estudada eram os filmes de semi-metais
depositados a vácuo sobre substratos de mica.
Nesta época muitas previsões existiam, como o tunelamento ressonante, mas as técnicas
experimentais do momento não favoreciam aos pesquisadores para que pudessem desenvolver filmes de qualidade para poder esclarecer tais efeitos.
Com o surgimento das técnicas de crescimento epitaxial, também conhecida como
Molecular Beam Epitaxi, começaram inserir camadas de alguns angströns de espessura
de semicondutores de gap menor sobre substratos de gap maior, restrigindo o movimento
dos elétrons a apenas duas direções, garantindo assim uma interface perfeita. Com isso
os fenômenos de confinamento previstos puderam ser verificados e muitas outras idéias
foram experimentados.
Esses tipos de estruturas, construı́das artificialmente através da superposição de filmes
ultrafinos de materiais distintos, ficou conhecido como heteroestruturas (37). Dois tipos
particularmente interessante de heteroestrutura são os poços-quânticos e as super-redes.
43
O primeiro deles é composto por duas camadas de um semicondutor qualquer separadas
por uma terceira camada de um semicondutor distinto, de gap menor, cuja função é prover
aos elétrons uma região na qual a energia potencial do gás bidimensional de elétrons seja
menor que em qualquer outra região do material e, portanto, mantê-los ali confinados.
Antes do advento das heteroestruturas, os poços-quânticos não passavam de estruturas
téoricas cuja única função era ilustrar as equações da Mecânica Quântica. Hoje eles são
utilizados na confecção de vários dispositivos optoeletrônico de alta performance como os
lasers e fotodetectores.
No caso das super-redes, essas são nada mais que uma sucessão de poços-quânticos
e são utilizadas para melhorar a performance de heteroestruturas baseadas em poços
quânticos. Além disso, elas isolam as impurezas do substrato (que geralmente possui qualidade muito inferior àquela exigida na fabricação de heteroestruturas) da heteroestrutura
de interesse, construı́da sobre ele. Na próxima seção trataremos o tipo mais simples de
heteroestrutura, que é o poço de potencial. Faremos uma abordagem das propriedades
termodinâmicas do poço infinito, onde calculamos a função de partição e em seguida
relacionaremos a função de partição com a função theta de Jacobi.
44
4.2
Propriedades termodinâmicas do poço infinito
Vamos considerar inicialmente uma partı́cula de massa m confinada em poço infinito
com o potencial dado por
V =

0
se 0 < x < a,
∞
x > a e x < 0.
(4.1)
Escrevendo o hamiltoniano como sendo
H = T + V = p2 (2m)−1 + V (x),
(4.2)
a equação de Schrödinger será dada por:
−~2 ∂ 2
(
+ V )ψ(x) = Eψ(x).
2m ∂x2
A equação acima pode ainda ser escrita como
(4.3)
∂2
2mE
ψ(x) + 2 ψ(x) = 0.
(4.4)
2
∂x
~
que é uma equação diferencial linear de 2a ordem com coeficientes constantes, cuja solução
geral é:
q
onde k =
ψ(x) = c1 eıkx + c2 e−ıkx ,
2mE
.
~2
(4.5)
Aplicando agora as condições de contorno ψ(x) = 0 para x = 0 ou
x = a, pois a função de onda ψ(x) deve desaparecer fora da caixa, temos:
ψ(0) = c1 + c2 ,
ψ(a) = c1 eıka + c2 e−ıka ;
ψ(0) = 0 =⇒ c1 = −c2 ,
então:
ψ(a) = 0 =⇒ c1 eıka − c1 eıka = 0 =⇒ c1 (eıka − e−ıka ) = 0,
ou ainda
cos(ka) + ısen(ka) − cos(ka) + ısen(ka) = 0 =⇒ sen(ka) = 0 =⇒ ka = nπ.
45
Assim podemos escrever:
ψ(x) = c1 (eıkx − e−ıkx ).
Calculando a derivada primeira e segunda da expressão acima e substituindo na equação
4.4, encontraremos:
c1 k 2 (eıkx + e−ıkx ) + 2mE~−2 c1 (eıkx − e−ıkx ) = 0.
Agora explicitando o valor de E, temos que as energias dos estados quânticos são dadas
por:
n2 π 2 ~2
En =
, n = 1, 2, ...
2ma2
(4.6)
Como estamos interessados em estudar as quantidades termodinâmicas do poço de
potencial quadrado, temos que encontrar inicialmente a função de partição do sistema.
A função de partição de um sistema no banho térmico é obtida pela expressão,
Z=
∞
X
e−En β ,
(4.7)
n=0
onde β = 1/kT , e k é a constante de Boltzmann. Usando (4.6) e desconsiderando o
valor n = 0, correspondente ao estado de energia igual a zero na equação (4.7), podemos
escrever a função de partição como:
Z=
∞
X
n=1
e
−En β
=
∞
X
en
2 π 2 ~2 /2ma2
.
(4.8)
1
Agora temos um fato curioso. A função de partição acima, possui uma semelhança
com a função theta de Jacobi, que é muito estudada em teoria dos números. Dessa
forma resolvemos fazer um estudo mais detalhado desta função. Assim na próxima seção
trataremos das propriedades termodinâmicas de um poço de potencial infinito utilizando
a funçao theta de Jacobi
46
4.3
4.3.1
Propriedades termodinâmicas de um poço de potencial infinito usando a função theta de Jacobi
A função theta de Jacobi
Nos últimos anos vários artigos foram publicados usando a função theta de Jacobi
tanto na área de Matemática como em Fı́sica. Alguns deles destacam-se por suas formas
de apresentarem as propriedades e as aplicações da função theta de Jacobi. Em particular, (38) estudou as propriedades elı́pticas da função de Jacobi envolvendo expansões
trigonométricas da função theta. Alguns sistemas quânticos simples são analisados numericamente por (39) e (40), onde utilizam uma propriedade da função theta de Jacobi
para tratar condensação de Bose-Einstein com vórtices.
A função theta Clássica está historicamente ligada à teoria dos números, e definida
como (41)
v(z) =
∞
X
2
eiπn z , Im(z) > 0,
(4.9)
n=−∞
que é convergente para Im(z) > 0 e satisfaz a relação
v(z + 2) = v(z)
e
µ
1
v −
z
¶
=
√
−izv(z).
Agora tomando z = it em (4.9) temos que
θ(t) =
X
2
e−πn t , t > 0,
(4.10)
n∈Z
que é a função theta de Jacobi, onde θ(t) satisfaz a chamada fórmula de inversão de Jacobi
µ ¶
√
1
1
θ(t) = √ θ
, t > 0, t > 0.
t t
A equação acima é também chamada de equação funcional da função theta.
(4.11)
Em Fı́sica, quando estudamos os problemas de condução do calor em barras, caı́mos
nos problemas que são chamados de problemas de valores de contorno(fronteira) que
permitem analisar o fluxo de calor de acordo com as condições de contorno estabelecidas.
A relação entre esses problemas e a equação funcional (4.11) é destacada em um exemplo
citado por (42), onde ele mostra que a solução do fluxo de calor em uma barra isolada
47
termicamente nas extremidades, resulta na equação funcional da função theta.
Na próxima seção iremos aplicar a função theta de Jacobi para analisar as quantidades
termodinâmicas de um poço de potencial.
4.4
Função theta de Jacobi e o poço de potencial
Quando estudamos a função theta de Jacobi percebemos que ela possui a mesma
forma da função de partição (4.8) da seção anterior. Ou seja, da função Theta de Jacobi:
θ(x) =
∞
X
−n2 πx
e
n=−∞
=2
∞
X
e−n
2 πx
+ 1,
(4.12)
n=1
temos que o segundo membro é a função de partição (4.8), a menos de uma constante.
Observemos que a função de partição pode ainda ser escrita como:
θ( TT0 ) − 1
Z(T ) =
,
2
onde T0 =
π~2
2ma2 k
(4.13)
é uma temperatura caracterı́stica que depende da largura do poço.
Usando a propriedade (4.11) e a relação (4.13) podemos escrever:
µ ¶
√
T0
Z(αT0 ) 1 − α
Z
= √
+ √ ,
α
α
2 α
(4.14)
onde α é um fator de escala. Observemos na expressão acima que se conhecermos a função
de partição para uma temperatura
T0
,
α
então poderemos encontrar a função de partição
para uma temperatura αT0 . Este é um resultado interessante pelo fato de podermos
encontrar todas as propriedades termodinâmicas do sistema usando somente a função
de partição. Então, num procedimento experimental, quando precisamos medir o calor
especı́fico para uma temperatura T1 , nós não precisaremos medir o calor especı́fico para
uma temperatura T =
T02
,
T1
uma vez conhecendo a temperatura T0 . Esta propriedade da
função theta de Jacobi, nos permite ainda relacionar a energia média com a função de
partição. Derivando a expressão anterior (4.14), em relação a α, temos:
µ ¶
µ
¶ µ
¶
0
T0 T0
Z (αT0 )
1 −3/2
1 −3/2
0
−Z
= √
.T0 + Z(αT0 ). − α
+ − α
.
α α2
2
4
α
(4.15)
Fazendo α = 1, chegamos na relação
0
Z (T0 )T0 =
1 Z(T0 )
+
.
8
4
(4.16)
48
A expressão acima ainda pode ser escrita em função da energia média, ou seja, usando a
definição da energia média, temos:
P
U=
n
En e−En β
,
Z
(4.17)
podemos ainda escrever
0
Z (T )T =
então:
X
1 X
En e−En β ,
En e−En β = β
kT n
n
(4.18)
0
Z (T )T
= βU.
Z
Usando a relação (4.16) , chegamos na equação:
1
U (T0 )
1
+ =
8Z(T0 ) 4
kT0
(4.19)
(4.20)
Fazendo um estudo numérico da função de partição de um poço infinito usando a expressão
dado por (4.13) e adotando os valores de ~, k, da massa do elétron m dados no apêndice,
a temperatura caracterı́stica será dada por T0 = 5.49x10−14 /a2 , assim:
a(Å) T0 (K)
100
549
200
137
300
61
O gráfico da figura 8 nos mostra a função de partição de um poço infinito de 183Å de
largura em função da temperatura. Neste gráfico a temperatura varia de 0 a 100K.
Este resultado nos mostra que poderemos futuramente tratar com mais detalhes uma
heteroestrutura semicondutora, fazendo um estudo das quantidades termodinâmicas de
um poco finito, onde poderemos comparar os resultados futuramente obtidos com os já
existentes na literatura.
49
0.5
0.4
Z
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
Temperatura (K)
80
100
Figura 10: Função de partição de um poço quadrado infinito usando a função theta de
Jacobi.
50
CONCLUSÃO
Acreditamos ter estabelecido nesta tese um estudo analı́tico e numérico das quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac. No primeiro momento fizemos um tratamento analı́tico do caso unidimensional que nos confirmou os resultados numéricos já
obtidos no ano de 2001. As quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac em uma
dimensão é o dobro do obtido no caso do oscilador harmônico quântico não-relativı́stico.
Uma vez esclarecido o caso unidimensional, partimos para o caso tridimensional, agora
com uma complexidade maior, pois tratamos de considerar o espectro de energia com
o termo de spin-órbita que resulta nos casos de degenerescência finita e infinita. Os
resultados analı́ticos e numéricos mostraram que para o caso tridimensional com degenerescência finita, os valores das quantidades termodinâmicas do oscilador de Dirac
são exatamente o dobro do caso unidimensional, considerando altas temperaturas. Neste
trabalho também estabelecemos uma relação entre a função theta de Jacobi e as quantidades termodinâmicas de um poço de potencial infinito, mostrando que poderemos ainda
futuramente, calcular as quantidades termodinâmicas de um poço de potencial finito que
são bastante utilizados na simulação das heteroestruturas semicondutoras.
Em sı́ntese:
• Nosso principal resultado foi mostrar que o calor especı́fico de um oscilador de
Dirac tridimensional com degenerescência finita é o dobro do calor especı́fico do
oscilador de Dirac unidimensional e quatro vezes maior que o calor especı́fico do
oscilador harmônico quântico não-relativı́stico quando estamos num sistema de altas
temperaturas.
• Os resultados encontrados nos deixam uma perspectiva de poder construir uma
rede de osciladores de Dirac em um banho térmico e também também estabelecer
as quantidades termodinâmicas em altas dimensões.
• Encontramos uma relação entre a função Theta de Jacobi e a função de partição de
uma heterostrutura simples do tipo poço de potencial quadrado infinito.
51
APÊNDICE A -- A equação de Dirac
A equação de Dirac é uma equação relativı́stica que descreve partı́culas de spin 1/2,
como elétrons e quarks; uma caracterı́stica dessas partı́culas é que elas possuem dois graus
de liberdade. Partı́culas de spin 0 são descritas pela equação relativı́stica de Klein-Gordon.
A.1
A equação
A equação de Klein-Gordon na forma de duas componentes é escrita como
ı~
∂
ψ = Hψ.
∂t
(A.1)
Enquanto esta equação é de primeira ordem na derivada temporal, o hamiltoniano de
Klein-Gordon é de segunda ordem na derivada espacial e portanto não temos equivalência
nas coordenadas espacial e temporal. Além disso, como na teoria de Klein-Gordon a
densidade de probabilidade não é positiva definida, logo o hamiltoniano da equação de
Klein-Gordon de duas componentes não é hermitiano. Finalmente a covariância dessa
equação somente se manifesta na forma da equação de uma componente. Sendo assim,
surgem as seguintes perguntas: existe uma equação relativı́stica que seja de primeira
ordem na derivada temporal e que as coordenadas espaciais e temporais manifestem-se
simetricamente? E que a densidade de probabilidade seja positiva definida (implicando
que o hamiltoniano seja hermitiano)? E que manifeste covariância de Lorentz? Estas
perguntas nos levam diretamente à equação de Dirac.
Esta equação deve ter a seguinte forma:
ı~
∂
Ψ = HΨ = (cα · p + βmc2 )Ψ,
∂t
(A.2)
onde α e β são matrizes hermitianas e p = −ı~∇. A relação energia-momento surge
∂
e aplicando em ambos os membros da
naturalmente, usando a energia como E→ı~ ∂t
52
equação (A.2), ou seja,
∂2
∂
−~ 2 Ψ = ı~ (cα · p + βmc2 )Ψ,
∂t
∂t
2
(A.3)
ou ainda
∂2
Ψ = (cα · p + βmc2 )2 Ψ = (p2 c2 + m2 c4 )Ψ.
∂t2
Podemos ainda escrever:
−~2
(A.4)
X
1
(αi pi +βm)2 = β 2 m2 +(αi )2 (pi )2 +{β, αi } mpi + {αi , αj }i6=j pi pj =
(pı )2 +m2 , (A.5)
2
ı
onde {A, B} = AB + BA é o anticomutador dos operadores A e B. A equação acima é
válida se, e somente se,
{αi , β} = {αi , αj } = 0
β 2 = αi2 = 1.
Uma representação destas matrizes é dada por
"
#
"
#
0 σi
1
0
αi =
, β=
,
σi 0
0 −1
(A.6)
onde σi são as matrizes de Pauli
"
σ1 =
0 1
1 0
#
"
,
σ2 =
0 −ı
ı
0
#
"
,
σ3 =
1
0
0 −1
#
.
A equação de Dirac ainda pode ser escrita na forma covariante. Usando as matrizes
γ µ , onde γ µ = (β, βαi ), encontraremos a forma covariante da equação de Dirac, que será
dada por:
(ı~γ µ
∂
− mc)Ψ = 0.
∂xµ
(A.7)
Para construirmos a lei diferencial de conservação da corrente, inicialmente escrevendo
(A.1) na seguinte forma
· µ
¶
¸
∂Ψ
~c
∂
∂
∂
2
ı~
=
α̂1 1 + α̂2 2 + α̂3 3 + βmc Ψ = HΨ,
∂t
ı
∂x
∂x
∂x
(A.8)
e definindo a função de onda conjugada hermitiana Ψ† = (Ψ∗1 , Ψ∗2 , Ψ∗3 , Ψ∗4 ), basta multi-
53
plicar a equação (A.8) por Ψ† pelo lado esquerdo, ou seja,
ı~Ψ†
∂
∂Ψ
~c
= Σ3k=1 Ψ† αk k Ψ + mc2 Ψ† βΨ.
∂t
ı
∂x
(A.9)
Além disso, com a forma hermitiana conjugada das matrizes αı e β
−ı~
∂Ψ†
~c
∂Ψ†
= − Σ3k=1 k αk† + mc2 Ψ† β † ,
∂t
ı
∂x
(A.10)
multiplicando (A.10) pela direita por Ψ e considerando a hermiticidade das matrizes de
Dirac, ou seja (αi† = αi , β † = β), temos:
−ı~
∂Ψ†
~c
∂Ψ†
Ψ = − Σ3k=1 k αk Ψ + mc2 Ψ† βΨ.
∂t
ı
∂x
(A.11)
Agora subtraindo (A.11) de (A.9) temos:
ı~
∂(Ψ† αk Ψ)
~c
∂(Ψ† Ψ)
= Σ3k=1
,
∂t
ı
∂xk
(A.12)
ou ainda
∂ρ
+ ∇ · j = 0,
∂t
P
onde ρ = Ψ† Ψ = 4µ=1 Ψ∗µ Ψµ é a densidade de probabilidade positiva definida e k =
cΨ† αk Ψ ou j = cΨ† αΨ é a densidade de corrente.
A.2
Solução da equação de Dirac para partı́cula livre
A equação de Dirac pode ser escrita como:
ı~
∂Ψ
= ĤΨ = (cα · p + mc2 β̂)Ψ.
∂t
(A.13)
Para os estados estacionários, se utilizarmos o Ansatz
ı
Ψ(x, t) = ψ(x)e− ~ εt ,
(A.14)
εψ((x)) = Hψ(x).
(A.15)
assim,
Escrevendo o espinor de quatro componentes em termos de dois espinores de dois
54
componentes ϕ e χ temos:
Ã
onde χ =
escrever:
ψ3
!
ε
Ã
eϕ=
ψ4
Ã

ϕ
χ
!
ψ
 1  Ã !
 ψ 
ϕ
 2 
ψ=
,
=
 ψ3 
χ


ψ4
!
(A.16)
. Usando as matrizes de Dirac (A.6) e (A.15), podemos
ψ2
Ã
=c
ψ1

0 σ
σ 0
!
Ã
·p
ϕ
χ
!
Ã
+ m2 c2
1
0
0 −1
!Ã
ϕ
χ
!
,
ou
εϕ = cσ · pχ + mc2 ϕ
εχ = cσ · pϕ − mc2 χ.
(A.17)
Organizando as equações acima e considerando o operador p sendo o autovalor p e que
Ã ! Ã
!
ϕ
ϕ0
ı
(A.18)
=
exp[( )p · x],
~
χ
χ0
temos:
(ε − m0 c2 )1ϕ0 − cσ · pχ0 = 0
−cσ · pϕ0 + (ε + m0 c2 )1χ0 = 0.
(A.19)
Considerando que o determinante da matriz dos coeficientes de (A.19) seja zero, ou
seja, a equação (A.17) possui solução não-nula, temos:
¯
¯ (ε − m c2 )1
−cσ · p
0
¯
¯
¯
−cσ · p (ε + m0 c2 )1
¯
¯
¯
¯ = 0,
¯
(A.20)
assim
(ε2 − m20 c4 )1 − c2 (σ · p)(σ · p) = 0.
(A.21)
Usando o fato que (σ · p)2 = p2 , temos que a relação energia-momento (A.21) fornece:
ε2 = m20 c4 + c2 p2 .
55
Considerando ε = ±Ep temos:
q
Ep = c
p2 + m20 c2 ,
(A.22)
onde os sinais + ou − de ε descrevem as duas soluções da equação de Dirac. Da equação
(A.19) podemos encontrar o valor de χ0 , assim:
χ0 =
c(σ · p)
ϕ0 .
m0 c2 + ε
(A.23)
Se considerarmos ϕ0 na forma
"
ϕ0 = U =
U1
U2
#
,
(A.24)
e a normalização
U † U = U1∗ U1 + U2∗ U2 = 1
onde U1 e U2 são números complexos, e usando (A.14) e (A.18) teremos o conjunto
completo de soluções livres positivas e negativas da equação de Dirac como sendo:
"
#
U
N
exp[ı(p · x − λEp t)/~],
(A.25)
Ψ(x, t) = √
( 2π~)3 m0c(σ·p)
U
2
c +λEp
onde λ = ±1 e ε = λEp .
A constante N pode ser determinada pela condição de ortonormalização
Z
0
Ψ†pλ (x, t)Ψp0 λ0 (x, t)d3 x = δλλ0 δ(p − p )
(A.26)
56
portanto,
c2 (σ · p)(σ · p)
U) = 1
(mc2 + λEp )2
c 2 p2
N 2 (1 +
)=1
(mc2 + λEp )2
s
(mc2 + λEp )2
N=
(mc2 + λEp )2 + c2 p2
N 2 (U † U + U †
s
N=
(mc2 + λEp )2
(m2 c4 + c2 p2 ) + 2mc2 λEp + Ep2
s
(mc2 + λEp )2
N=
2(mc2 + λEp )λEp
s
mc2 + λEp
N=
.
2λEp
(A.27)
O espectro de εpλ = λEp , correspondendo aos autovalores da função Ψpλ (x, t). Do
mesmo modo que na equação de Klein-Gordon, temos autovalores de energia positiva e
negativa. Considerando que todos os estados de (A.25) são autofunções do momento, ou
seja:
p̂Ψpλ = pΨpλ (x, t),
(A.28)
para todo p temos duas diferentes soluções, uma dada por λ = 1(ε = Ep ) e outra λ =
−1(ε = −Ep ).
De acordo com (43), o operador helicidade Λ̂s é definido como:


1
0 0
0



0
−1
0
0
~


Λ̂s = 
 = Sˆz ,

2 0
0
1
0


0
0 0 −1
(A.29)
e pode ser usado para classificar os estados de uma partı́cula livre. Os autovalores são
± ~2 e os autovetores de Λ̂s são:
"
u1
0
# "
,
u−1
# "
,
0
0
u1
# "
,
0
u−1
com
"
u1 =
1
0
#
"
, u−1 =
0
1
#
.
#
,
(A.30)
57
Assim a propagação de onda livre de Dirac na direção z é denotada por Ψpz,λ,sz e escrita
como:

s
Ψp,λ,+1/2
1
=√
2π~

mc2 + λEp 



2λEp

Ã
1
0
cσz p
mc2 +λEp
!



Ã ! 
 exp[ı(pz − λEp t)/~].

1

0
(A.31)
e

s
Ψp,λ,−1/2
1
=√
2π~
mc2 + λEp
2λEp






Ã
0
1
cσz p
mc2 +λEp
!



Ã ! 
 exp[ı(pz − λEp t)/~].

0

1
(A.32)
58
APÊNDICE B -- Teste de convergência de
séries infinitas
Existem vários testes para estudar a convergência ou divergência de uma série. Algumas vezes ao se aplicar um teste para uma determinada série, este não é adequado, ou
não nos leva à conclusão alguma e assim sendo teremos que utilizar um outro teste. Aqui
vamos resumir os principais testes de convergência para séries infinitas.
B.1
Seja
O teste da razão
P+∞
n=1
un uma série infinita dada para todo un não-nulo. Então:
i) se limn→∞ |un+1 | / |un | = L < 1, a série é absolutamente convergente;
ii) se limn→∞ |un+1 | / |un | = L > 1, ou se limn→∞ |un+1 | / |un | = +∞, a série dada é
divergente.
iii) se limn→∞ |un+1 | / |un | = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser
tirada do teste, devendo assim utilizar-se outro teste.
B.2
O teste da integral
Seja f uma função contı́nua, decrescente e com valores positivos para todo x ≥ 1.
Então, a série infinita:
∞
X
f (n) = f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) + · · ·
n=1
será convergente se a integral imprópria
Z +∞
f (x)dx
1
59
existir, e será divergente se
Z
b
lim
b→∞
B.3
Seja
i) se
f (x)dx = +∞
1
O teste da comparação
P+∞
n=1
un uma série de termos positivos.
P+∞
vn for uma série convergente de termos positivos já conhecida e un ≤ vn
P
para todo n inteiro positivo, então +∞
n=1 un será convergente.
P
ii) se +∞
n=1 wn for uma série divergente de termos positivos já conhecida e un ≥ vn
P
para todo n inteiro positivo, então +∞
n=1 un será divergente.
n=1
Existem outros testes que podem ser utilizados como citados em (44).
B.4
A série
P∞
n=0
e
√
− an+bβ
A série função de partição do oscilador de Dirac unidimensional é do tipo:
∞
X
√
e−
an+bβ
(B.1)
n=0
Iremos agora estudar a convergência da série acima. Iniciemos nosso estudo pela série
P∞ −√nβ
. Aplicando o teste da razão temos:
n=0 e
√
an+1 = e−
n+1β
√
an = e−
nβ
(B.2)
assim calculando:
√
e− n+1β
− √ √1
lim |an+1 | / |an | = lim −√nβ = lim e n+ n+1β = e0 = 1
n→∞
n→∞
n→∞ e
(B.3)
logo não podemos afirmar nada sobre a convergência da série. Então aplicaremos o teste
da integral. Basta verificar a existência da integral imprópria:
Z ∞ √
e− x dx
0
Fazendo uma mudança de variável
x = y 2 , dx = 2ydy
(B.4)
60
a equação acima fica:
Z
∞
I=2
e−y ydy
(B.5)
0
Agora integrando por partes temos:
∞ Z
µ

I = 2 e−y y 
 −
0
∞
¶
−y
e dy
=2
(B.6)
0
Logo a integral existe e a série é convergente. Agora usando o método da integral para a
√
P
− an+bβ
série ∞
e
, verificamos que a integral resulta em:
n=0
Z ∞ √
I=
e− an+bβ dn
(B.7)
0
Fazendo uma mudança de variável temos:
an + b = y 2 , adn = 2ydy
logo (B.7) fica:
2
I=
a
Z
∞
e−y ydy
0
I=
2
aeβ
Dessa forma podemos concluir que a série acima é convergente.
(B.8)
61
APÊNDICE C -- Relações e constantes
fı́sicas úteis
C.1
Quantidades termodinâmicas
Função de partição:
Z=
X
En
e− kT
(C.1)
n
onde En é a energia do sistema.
Energia média:
U=
En
1X
1 ∂Z
∂lnZ
En e− kT = −
=−
,
Z n
Z ∂β
∂β
onde Z é dado por (C.1) e β =
1
.
kT
Calor especı́fico:
c=
C.2
∂U
∂T
Constantes fı́sicas
Constante de Plank:
~ = 1, 054573.10−34 J.s = 6, 582122.10−16 eV.s
Constante de Boltzmann:
k = 8, 617385.10−5 eV /K = 1, 3181.10−23 J/K
C.3
Relações da métrica e derivadas
Derivada covariante:
(C.2)
(C.3)
62
¶
µ
µ
∂ ≡
∂
∂xµ
=
∂
, −∇
∂t
Derivada contravariante:
µ
¶
∂
∂
∂µ ≡ ∂xµ = ∂t , ∇
C.4
Matrizes de Dirac
"
γ0 =
1
0
#
"
0 σi
e γi =
0 −1
−σi
#
,
0
As matrizes de Dirac satisfazem a relação:
{γ µ , γ ν } = γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν
C.5
Matrizes de Pauli
"
σ1 =
C.6
(C.4)
0 1
#
1 0
"
,
σ2 =
0 −ı
ı
0
#
"
,
σ3 =
Relação útil
Z
∞
√
n −uβ
u e
b
√
−β b
du = e
√
3
X
3! ( b)k
k! β 3−k+1
k=0
1
0
0 −1
#
.
63
Referências
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A., v. 51, n. 4, p. 1119, 1967.
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Nuovo. Cim., v. 1, n. 10, p. 419, 1971.
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Theor. Phys., v. 72, n. 2, p. 266–284, 1984.
5 TOYAMA, F. M.; NOGAMI, Y. Harmonic oscillators in relativistic quantum
mechanics. Phys. Rev. A, v. 59, n. 2, p. 1056–1062, 1999.
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conjugation and chiral transformations: The case of the relativistic harmonic oscillator.
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massless bosons bound by oscillator pair potentials. Phys. Lett. A, v. 320, n. 2-3, p.
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oscillator. J. Phys. A-Math. Gen., v. 36, n. 28, p. 7813–7824, 2003.
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functions for a relativistic linear oscillator. Theor. Math. Phys., v. 114, n. 3, p. 322–334,
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10 NAGIYEV, S. M. On a hidden symmetry of a relativistic Coulomb problem in the
quasipotential approach. J. Phys. A-Math. Gen., v. 21, n. 11, p. 2559–2564, 1988.
11 NAGIYEV, S. M. et al. A relativistic model of the isotropic three-dimensional
singular oscillator. Phys. Lett. A, v. 334, n. 4, p. 260–266, 2005.
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potential. Ann. Phys., v. 320, n. 1, p. 56–70, 2005.
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spinless particles. Int. J. Mod. Phys. A, v. 21, n. 25, p. 5141–5149, 2006.
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quadratic plus inversely quadratic potentials. Ann. Phys., v. 311, n. 1, p. 170–181, 2004.
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