3-A parábola
Definição. Seja l uma reta do plano cartesiano e F um ponto do plano fora desta reta.
Chama-se parábola ao lugar geométrico dos pontos P do plano cuja distância a l é igual a
sua distância a F , ou seja,
d ( P, l )  d  P, F 
(13)
O ponto F e a reta l são chamados de foco e diretriz da parábola, respectivamente. A reta
que contém F e é perpendicular à reta l é chamado de eixo focal da parábola. A parábola
tem um ponto sobre o eixo focal chamado de vértice. Pela definição o vértice V é o ponto
médio entre l e F. A reta paralela à diretriz e normal ao eixo focal passando pelo vértice é
chamado de eixo normal da parábola.
Figura 4 (a)
Figura 4 (b)
As figuras mostram parábolas em que o eixo focal e normal coincide com os eixos OX e
OY , respectivamente. Na primeira, o foco está à direita da diretriz; na outra, à esquerda.
Equação canônica da parábola
Consideremos o caso em que o eixo focal da parábola coincide com o eixo OX e o vértice
está na origem do sistema cartesiano de coordenadas. Dado o número real p , seja F ( p, 0)
o seu foco e l   p sua diretriz. Seja P( x, y) ponto da parábola e Q( p, y) ponto na
interseção da reta l com a reta paralela ao eixo OX passando no ponto P . Como
d  P, F   d  P, l  , pela definição de parábola, segue a igualdade
( x  p) 2  y 2  x  p
Elevando ao quadrado a relação acima e desenvolvendo, obtém-se a equação
y 2  4 px
(14)
chamada de equação canônica da parábola.
Observações
1. O número p , chamado de distância focal, é a distância do foco à origem ou vértice e
metade da distância do foco à diretriz. A equação canônica representa, para cada
número real p  0 , uma parábola cujo eixo focal e vértice coincidem, respectivamente,
com o eixo OX e a origem do sistema de coordenadas. Tal como a elipse e a hipérbole,
a equação canônica da parábola é do segundo grau, porém numa das variáveis, apenas.
2. Observe que se p  0 então pela equação (14) todo ponto da parábola tem abcissa
x  0 já que na equação o lado esquerdo é sempre positivo. Isso significa que com
exceção do vértice todo ponto da parábola está inteiramente contido no primeiro e
quarto quadrantes do plano cartesiano (Figura 4(a)). Se p  0 , então x  0 e todo ponto
da parábola, com a exceção do vértice, está contido no segundo e terceiro quadrantes
(Figura ( 4(b)).
3. Outra importante propriedade da parábola é sua simetria. Se P( x, y) é ponto da
parábola, então segue da equação que o ponto Q( x,  y) , simétrico a P em relação ao
eixo OX , também é ponto da parábola. Isso significa que a parábola é uma curva
simétrica em relação ao eixo OX .
Exemplo. Determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola
.
Solução: Comparando com a equação da parábola obtemos p  16 . Portanto o foco tem
coordenadas F (16, 0) e a diretriz tem equação x  16 . Com a exceção do vértice, todos os
pontos da parábola estão à esquerda do eixo OY .
Exercícios
Prove que se P( x, y) é ponto da parábola, então o ponto Q( x,  y) , simétrico a P em
relação ao eixo OX , também é ponto da parábola. Portanto, a parábola é simétrica em
relação ao eixo focal.
2) Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta l : y   p , e tem foco no ponto
F  0, p  , nos casos a) p  0 e b) p  0 .
1)
3)
Determine a distância focal, o foco e a diretriz das seguintes parábolas
a) y 2  16 x
b) 9 y 2  36 x
c) 5 y 2  25x
d) 6 y 2  324 x
Uma parábola tem diretriz x  3 . Qual a distância focal, as coordenadas do foco e a
equação da parábola?
5) Uma parábola tem foco no ponto  5, 0  . Determine a equação da parábola e de sua
diretriz.
) pertence a uma parábola. Qual a distância focal, as coordenadas do foco
6) O ponto (
e as equações da parábola e de sua diretriz?
4)