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Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Licenciatura em Matemática
Trabalho de Conclusão de Curso
PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS
REGULARES
Autor: Gleiciane Costa Lima
Orientador: Sinval Braga de Freitas
Brasília - DF
2011
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GLEICIANE COSTA LIMA
PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Sinval Braga de Freitas
Brasília
2011
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Artigo de autoria de Gleiciane Costa Lima intitulado “PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM
POLÍGONOS REGULARES”, apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciado em Matemática da Universidade Católica de Brasília, em 18 de novembro de
2011, defendido e aprovado pela banca examinadora abaixo assinada:
_____________________________________________________
Prof. MSc. Sinval Braga de Freitas
Orientador
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Prof. MSc. Marcos Antônio Pereira
Matemática - UCB
_____________________________________________________
Prof. MSc. Thiago Borduqui Ferrari
Física – UCB
Brasília
2011
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PAVIMENTAÇÃO DO PLANO COM POLÍGONOS REGULARES
GLEICIANE COSTA LIMA
Resumo:
O presente trabalho foi realizado por meio de uma pesquisa bibliográfica e constitui-se em um
estudo da pavimentação do plano com polígonos regulares na área de Geometria, cuja
aplicação se dá não só na área de Matemática, mas também nas áreas de Física, Engenharia,
Arquitetura e Artes, devido aos diversos padrões geométricos existentes. Será feito um breve
histórico sobre mosaicos, estendendo-se as suas aplicações à Geometria e relacionando o seu
uso nas pavimentações do plano. Serão apresentadas construções de polígonos regulares que
pavimentam o plano e a demonstração da não existência de polígonos regulares com mais de
seis lados que pavimentem o plano. Além disso, serão mostradas algumas construções de
Escher.
Palavras-chave: Geometria. Mosaicos. Polígonos. Pavimentação. Escher.
1. INTRODUÇÃO
Pavimentar significa cobrir uma superfície de modo que não haja falhas nem
sobreposições entre as figuras. O estudo das propriedades de uma pavimentação envolve a
análise de vários conceitos geométricos.
Os mosaicos, resultado das pavimentações, estão entre as primeiras manifestações
culturais da humanidade sendo reproduzidos pelo homem há muito tempo. A técnica de
pavimentar foi muito utilizada na fabricação de tecidos e tapetes onde aparecem
pavimentações com formas geométricas. Além disso, uma variedade de padrões geométricos
obtidos pela pavimentação é “encontrada” na natureza, como é o caso do casco da tartaruga,
das escamas dos peixes e das colmeias de abelhas.
Devido à enorme quantidade de pavimentações existentes esse estudo limita-se às
pavimentações do plano com polígonos regulares de um só tipo a fim de se determinar quais
polígonos regulares servem como ladrilhos de uma pavimentação regular.
2. BREVE HISTÓRICO SOBRE GEOMETRIA E MOSAICOS
A Matemática surgiu para suprir as necessidades práticas do homem relacionadas à
agricultura e construção. Provavelmente, assim também se deu o aparecimento da Geometria.
A palavra Geometria é originária do grego e quer dizer “medir terras”. E foi a
necessidade de medir terras que determinou as primeiras aparições da geometria.
Segundo Carvalho (2008), a geometria foi usada pelos povos considerados primitivos
na construção de objetos de decoração, utensílios em geral e na criação de desenhos para a
pintura corporal nos quais era possível observar formas geométricas similares a triângulos,
quadrados, círculos, entre outros. Tais atividades incluíam observações, comparações e
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relações entre formas e tamanhos. Entre essas primeiras manifestações culturais da
humanidade, encontram-se os mosaicos.
A palavra mosaico vem do grego mousein e quer dizer “próprio das musas” ou “digna
das musas” por se tratar de um trabalho de extrema beleza. De acordo com Aurélio (1999),
mosaico é um “embutido de pequenas pedras, ou de outras pedras de cores, que pela sua
disposição aparentam desenho e cujo objetivo é o recobrimento do plano.”
Segundo Dacól (2008), a origem dos mosaicos ainda é muito discutida. O lugar e a
época de seu aparecimento são controversos nas opiniões de diversos estudiosos, o porquê e
como nasceu permanecem no campo das hipóteses. Dacól cita que durante as escavações de
1927 e 1928 na antiga cidade de Ur, atual Iraque, foram encontrados mosaicos sumerianos
que pertencem a um período de aproximadamente 3600 a.C. Esses mosaicos representavam
cenas da vida sumeriana, e foram encontrados em um túmulo.
Ainda de acordo com Dacól (2008), Pompéia foi um viveiro de mosaicistas, pois nesta
cidade podia-se notar a importância dos mosaicos no mundo romano. A arte musiva era muito
comum nas residências da cidade, tanto nas mais simples como nas mais luxuosas,
demonstrando a acessibilidade dessa arte a todas as classes.
As pavimentações têm sido utilizadas há muito tempo e nos mais diversos lugares.
Barbosa (1993), afirma que:
Os mosaicos, resultados das pavimentações, são conhecidos desde os tempos
antigos. Estiveram presentes nas civilizações assíria, babilônica, persa, egípcia,
grega, chinesa e outras, empregados em padrões que não raro permaneceram até os
dias atuais. O objetivo do artífice era e é encontrar um certo tipo de simetria
ornamental com o emprego de figuras relativamente simples, cuja repetição e
interação formem um todo harmonioso e estético.
À época, dava-se mais importância à estética dos padrões adotados enquanto as
questões matemáticas passaram a ser estudadas mais recentemente.
Atualmente, os mosaicos podem ser notados em paredes, pisos, tapeçarias, obras de
arte e na própria natureza. Dacól (2008) defende que o método da construção dos mosaicos
não sofreu grandes alterações ao longo dos séculos desde os tempos romanos. A grande
mudança se deu com os materiais. Hoje é possível fazer mosaicos em qualquer base: madeira,
cimento, ferro, vidro.
No Brasil, a arte mosaica teve início com a Imperatriz Tereza Cristina, esposa de Dom
Pedro II.
Segundo Dacól (2008),
Com conchas recolhidas nas praias do Rio de Janeiro e com cacos de peças de
serviço de chá da Casa Imperial, ela recobriu os bancos, tronos, fontes e paredes do
Jardim das Princesas, sendo assim a precursora da arte musiva no Brasil.(...) Na
atualidade, grandes nomes estão surgindo e a arte musiva recupera aos poucos o
espaço que perdeu na história.
Os primeiros registros com tratamento matemático sobre as pavimentações do plano
foram realizadas em 1600 por Johannes Kepler (1571-1630), matemático e físico alemão. Em
seu livro Harmonia do Mundo, lançado em 1619, Kepler apresenta algumas características de
pavimentação com polígonos regulares obtidas a partir dos trabalhos de Platão e Arquimedes
sobre poliedros. Kepler provou a existência de exatamente onze pavimentações constituídas
por polígonos regulares.
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3. PAVIMENTAÇÃO DO PLANO
Antes de dar início à ideia de pavimentação propriamente dita, é necessário definir os
elementos de uma pavimentação.
Definição 1. Linha poligonal é a união de um número finito de segmentos P1 P2 , P2 P3 ,
P3 P 4 ,..., Pn Pn+1 tais que três pontos consecutivos Pi −1 , Pi , Pi +1 não sejam colineares. Uma linha
poligonal será fechada simples se Pn +1 = P1 . Caso contrário, diz-se que ela é aberta (ver figura
1(a)).
Definição 2. Uma linha poligonal será dita polígono se:
i ) Pn +1 = P1 , isto é, é uma linha poligonal fechada simples;
ii ) Os lados da linha poligonal interceptam-se apenas em suas extremidades;
iii ) Dois lados com a mesma extremidade não pertencem a uma mesma reta.
Definição 3. Um polígono é dito regular se todos os seus ângulos internos possuem a mesma
medida e seus lados são congruentes.
Definição 4. Nós são os vértices dos polígonos da pavimentação.
Observe que um polígono pode ter mais nós que o seu número de vértices, como é o
caso da figura 1(c).
Definição 5. Arestas são segmentos de retas cujas extremidades são dois nós (vértices)
consecutivos de um mesmo lado do polígono.
(a) Linha poligonal aberta
(b) Linha poligonal fechada simples
(c) O polígono (1) possui 7 nós e 6
arestas
Figura 1
Mas afinal, o que é uma pavimentação do plano?
Definição 6. A expressão pavimentação do plano pode ser entendida como a cobertura do
plano de modo que não há sobreposições e nem espaços vazios.
Segundo Barbosa (1993), um conjunto de polígonos é uma pavimentação se, e
somente se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamento o plano, ou seja, se todo ponto do
plano pertence a pelo menos um polígono e que na intersecção de dois polígonos a área é
nula.
A expressão pavimentação possui como sinônimos aceitáveis tesselagem, no sentido
de um recobrimento qualquer, e mosaico, no sentido de resultado de uma pavimentação.
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Dessa forma, não são consideradas pavimentações para fins deste estudo os seguintes
exemplos:
(a)
(b)
Figura 2
A figura 2(a) falha na condição de sobreposição, pois os quadrados e triângulos estão
sobrepostos aos círculos, enquanto a figura 2(b) falha na condição de existência de área nula
entre os polígonos.
Barbosa (1993) afirma ainda que a pavimentação pode ser:
i ) Lado-lado: se, e somente se, toda aresta é lado comum a dois polígonos, ou seja, ao
se acrescentar outro polígono os lados em contato são respectivamente congruentes;
ii ) Arquimediana: se os nós apresentam-se com o mesmo número de arestas
concorrentes;
iii ) Uniforme: se os polígonos ao redor de um vértice são sempre os mesmos e na
mesma disposição;
iv) Platônica se os polígonos apresentam o mesmo número de lados e todos os nós
apresentam o mesmo número de arestas (portanto, a mesma definição de arquimediana para
polígonos regulares).
Para saber quais polígonos regulares pavimentam o plano é necessário determinar a
medida do ângulo interno, pois tal medida influencia diretamente a pavimentação.
Figura 3: Medida do ângulo interno do octógono regular
Proposição 1. A medida dos ângulos internos de polígonos regulares é dada pela fórmula
An =
(n − 2) × 180º
n
para um polígono de n lados.
Demonstração. A medida dos ângulos internos dos polígonos varia de acordo com o seu
número de lados. Assim, quanto maior o número de lados, maior será a medida do ângulo
interno.
Ao traçarmos todas as diagonais cujas extremidades estão num mesmo vértice de um
polígono, pode-se perceber que elas formam triângulos. A quantidade de triângulos será dada
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por (n − 2) , para um polígono de n lados. Quanto maior o número de lados maior o número
de triângulos formados. Observe:
(a) Pentágono regular
5 lados
3 triângulos
(b) Hexágono regular
6 lados
4 triângulos
(c) Octógono regular
8 lados
6 triângulos
Figura 4
Daí, sabendo que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, multiplica-se o
número de triângulos formados por 180º. Então, a soma dos ângulos internos, S n , de qualquer
polígono regular será dada por S n = (n − 2 ) × 180º . Mas, como se quer saber a medida de cada
ângulo interno, An , basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do
polígono, pois o polígono é regular. Portanto, os ângulos possuem a mesma medida. Assim,
An =
(n − 2) × 180°
n
para um polígono de n lados.
Exemplo 1. Tomando o pentágono acima tem-se que n = 5 . Então, substituindo nas fórmulas:
S 5 = (5 − 2 ) × 180° = 540°
A5 =
(5 − 2) × 180° = 108°
5
Portanto, a soma dos ângulos internos do pentágono regular é 540° e a medida de cada
ângulo interno é 108°.
A partir daí, é possível elaborar a seguinte tabela:
Tabela 1: Medida dos ângulos internos de polígonos regulares
Polígono
Número de lados
(n)
Triângulo
Quadrado
Pentágono
Hexágono
Octógono
...
3
4
5
6
8
...
n -ágono
n
Medida de cada
ângulo interno
( An )
60 °
90°
108°
120°
135°
...
(n − 2).180°
An =
n
8
Mas será que todos os polígonos regulares pavimentam o plano?
O número de polígonos regulares que pavimentam o plano é limitado, uma vez que os
polígonos regulares quando colocados lado a lado não devem deixar espaços em branco nem
ficarem sobrepostos.
Sabe-se que a soma dos ângulos internos ao redor de um nó da pavimentação é 360º,
portanto, para que um polígono regular pavimente o plano é necessário que todos os ângulos
ao redor do nó onde os polígonos se encontram somem exatamente 360º.
Figura 5: Soma dos ângulos internos ao redor de um nó da pavimentação
Supondo que se deseje colocar k polígonos ao redor de um ponto qualquer do plano,
se o produto de k pelo seu ângulo interno for menor que 360º tem-se uma “folga” entre os
polígonos e se o produto der um resultado maior que 360º ter-se-á uma sobreposição. Isso
quer dizer que An deve ser um divisor de 360º.
Assim,
(n − 2) × 180 360º
=
,
n
k
onde k é a distribuição de polígonos ao redor de cada nó e k ≥ 3.
Simplificando a equação, obtém-se
k × (n − 2) × 180
= 360º
n
k × (n − 2) = 2n, ou
2n
k=
n−2
Sabe-se que k ≥ 3 , pois não faz sentido colocar ao redor de um ponto um único
polígono ou dois, uma vez que não existem polígonos regulares com ângulos iguais a 180º.
Também n ≥ 3 , pois não existem polígonos com dois lados.
Assim, chega-se à desigualdade
2n
≥ 3,
(n − 2)
o que equivale a n ≤ 6, fazendo as devidas substituições.
Portanto, as únicas possibilidades possíveis para n são:
a) n = 3 : triângulo equilátero;
b) n = 4 : quadrado;
c) n = 5 : pentágono regular;
d) n = 6 : hexágono regular.
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A partir de agora será visto se com todos esses polígonos obtém-se uma pavimentação
regular do plano.
a) Seja n = 3 : tem-se que
k=
2n
2×3
=
, ou k = 6 .
n−2 3−2
Isso quer dizer que ao redor de um nó da pavimentação pode-se justapor seis
triângulos equiláteros, como mostra a figura 6.
Essa relação também pode ser obtida, utilizando-se a medida dos ângulos internos do
polígono desejado.
Sabe-se que
An × k = 360º ,
Daí, se A3 = 60º (medida do ângulo interno do triângulo) tem-se
k × 60º = 360º , ou k = 6 .
Figura 6: Pavimentação do plano com Triângulos
Portanto, o triângulo equilátero serve como ladrilho de uma pavimentação.
b) Seja n = 4 : tem-se
k=
2× 4
, ou k = 4 .
4−2
Figura 7: Pavimentação com quadrados
Logo, verifica-se que é possível colocar quatro quadrados ao redor de cada nó da
pavimentação. E, portanto, o quadrado serve como ladrilho da pavimentação.
c) Seja n = 5 : tem-se
10
k. =
2×5
, ou k = 3,333K
5−2
Mas k deve ser um número inteiro.
Suponha que se coloquem três pentágonos regulares ao redor de um nó da
pavimentação, logo se obtém uma “folga” entre os polígonos e, ao se justapor outro
pentágono ao redor do nó, obter-se-á uma sobreposição.
(b)
(a)
Figura 8: Pavimentação com pentágonos
Conclui-se então que o pentágono regular não serve como ladrilho da pavimentação.
d) Seja n = 6 : tem-se
k. =
2×6
, ou k = 3 .
6−2
Figura 9: Pavimentação com Hexágonos
Portanto, é possível justapor três hexágonos regulares ao redor de um nó da
pavimentação. Consequentemente, o hexágono regular serve como ladrilho da pavimentação.
Para saber se o heptágono regular também pavimenta o plano, procede-se da mesma
forma. Então, seja n = 7. Daí,
2×7
k=
, ou k = 2,8
7−2
ou ainda, utilizando-se a medida do ângulo interno com A7 ≅ 129°
2 × 129 º = 258 < 360º
3 × 129 º = 387 º > 360º
,
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Figura 10: Pavimentação com heptágonos
Isso implica que o heptágono regular não pavimenta o plano.
Com isso, chega-se à conclusão que polígonos regulares com sete lados ou mais não
pavimentam o plano. Portanto, os únicos polígonos regulares que servem como ladrilhos de
uma pavimentação são: triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.
As pavimentações construídas com apenas um tipo de polígono regular são chamadas
pavimentações do plano com polígonos regulares de um só tipo. Entretanto, existem
pavimentações construídas com a união de polígonos regulares diferentes e são chamadas
pavimentações do plano com polígonos regulares de mais de um tipo.
Segundo Carvalho (2008), o conjunto de polígonos regulares de vários tipos que se
ajustam ao redor de um nó chama-se configuração, que recebe uma notação que designa quais
polígonos a formam. Portanto, pela configuração (3,4,6,4) deve-se compreender que tomados
um triângulo, um quadrado, um hexágono e um outro quadrado dispostos rigorosamente nessa
ordem, obtém-se uma pavimentação do plano. Essa configuração pavimenta o plano,
conforme padrão da figura 11, onde se observa que todos os nós (vértices) têm essa mesma
configuração (uniforme).
Figura 11: Padrão da configuração (3,4,6,4)
Outro exemplo, é a configuração (3,6,3,6) que mostra o mesmo padrão em todos os
seus nós, e portanto, pavimenta o plano.
Figura 12: Padrão da configuração (3,6,3,6)
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Entretanto, observe que utilizando os mesmos polígonos da configuração (3,6,3,6) e
mudando-se a sua disposição, ter-se-ia, por exemplo, a configuração (3,3,6,6) que, por sua
vez, não pavimenta o plano.
Figura 13: Configuração (3,3,6,6)
Seja a configuração (3,3,6,6) ao redor do ponto D e ABCDEF um dos hexágonos
regulares, com CD comum aos dois hexágonos. Para que a configuração se repita em
F, teremos 3 triângulos equiláteros com um vértice comum P, o que nos indica que a
configuração (3,3,6,6) não pavimenta o plano sozinha. (BARBOSA, 1993, p. 33)
Sendo assim, o estudo dessas configurações gera dentro da geometria um amplo e
dinâmico conteúdo que pode ser interpretado de diversas formas (ou métodos) em estudos
geométricos e como material para o ensino de geometria.
4. ESCHER: VIDA E OBRA
Um dos admiradores mais conhecidos da arte musiva foi Mauritus Cornelis Escher
cujas obras consistem no preenchimento regular do plano.
Escher nasceu em Leeuwarden, atual Holanda, em 17 de junho de 1898. Em 1903, ele
e sua família se mudaram para Arnhem, onde frequentou a escola primária e secundária até
1918.
Em 1919, Escher frequentou a Faculdade de Arquitetura e Artes Decorativas, onde
conheceu Samuel Jessurun de Mesquita (judeu de origem portuguesa), com quem estudou e
trabalhou até 1922. Nesse mesmo ano, Escher deixou a faculdade já com experiência na
elaboração de xilogravuras1. Em sua vida, Escher viajou muito pela Itália e Espanha, locais
que marcaram suas obras. Na Itália conheceu Jetta Uniker com quem se casou em 1924 e
teve um filho, Georgio Arnaldo Escher. Numa dessas suas viagens à Espanha, Escher visitou
o Palácio de Alhambra, edifício que teve grande influência em sua vida.
O edifício de Alhambra foi construído pelos árabes a partir das antigas ruínas de um
forte que se encontrava na colina. A ideia inicial dos árabes era construir um castelo que
servisse de defesa e domínio de Granada, sendo modificado por todos que ali passaram e
tornando-se, portanto difícil determinar a data de início de sua construção. A palavra
Alhambra significa vermelho, e se deve à cor dos seus tijolos que foram feitos com a terra que
1
Xilogravura é uma técnica de gravura em madeira. A palavra aplica-se também às pranchas de madeira e às
reproduções.
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cerca a colina sob o qual está o edifício. Alhambra está dividida em várias regiões, e nas
decorações de seus vários ambientes é possível encontrar milhares de padrões geométricos.
Nesta viagem a Alhambra, Escher ao admirar os mosaicos envolvidos em tal edifício,
passou a estudá-los mais detalhadamente e declarou que os árabes eram mestres na arte de
preencher superfícies, sem lacuna e sempre com a mesma figura e tal limitação seria para ele
tanto mais incompreensível quanto o reconhecimento das componentes dos seus padrões,
razão pelo qual o mantinha vivo neste campo.
A partir de então, as obras de Escher enriqueceram-se de elementos geométricos.
Uma boa parte da obra de Escher é dedicada ao estudo das pavimentações do plano.
Em 1958, Escher já era bem conhecido, e nesse mesmo ano lançou Regular Division of the
Plane (Divisão Regular do Plano), onde diz “Os matemáticos abriram o portão principal para
um domínio amplo, mas eles mesmos não entraram nesse domínio. Pela sua própria natureza,
estão mais interessados na maneira em que o portão é aberto do que no jardim por trás dele”.
Escher faleceu em 1972, quando suas obras já tinham sido expostas nos principais
museus da Europa, sendo reconhecidas e admiradas pela notável combinação de sensibilidade,
precisão técnica e conhecimento matemático que expressavam (IMENES, 1994).
4.1. OS MOSAICOS DE ESCHER
Existe uma infinidade de tipos de malhas: triângulos, quadrados, losangos, hexágonos.
Cada “pedaço” de uma malha chama-se módulo.
Em seu livro Geometria dos Mosaicos (1994), Imenes apresenta uma série de
transformações do plano e defende que a partir de uma estrutura simples é possível se chegar
a um mosaico aparentemente complicado. Tomando-se como exemplo a malha retangular, é
possível torná-la complexa apenas removendo um pedaço do módulo e colocando-o no seu
lado oposto.
Observe:
a)xMódulo
b) Malha de retângulos
c) Módulo alterado
Figura 14
Observe pela figura 14 que o formato do módulo se altera, mas a área permanece a
mesma. Ao se repetir a operação e acrescentar alguns detalhes, é possível obter uma série de
formatos diferentes, até alcançarem formas conhecidas.
Foi dessa mesma forma que Escher desenvolveu suas obras. A partir de malhas
simples criou um universo de imagens que parecem impossíveis. Em sua obra Reptiles (1939),
pode-se observar o uso da pavimentação hexagonal regular com répteis.
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Figura 15: Alterações sucessivas de um único módulo da malha hexagonal
A partir do módulo alterado da figura 15, Escher acrescentou alguns detalhes e chegou
ao seu padrão desejado.
Figura 16: Padrão de réptil obtido em malha hexagonal e respectiva pavimentação
Fonte: http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=T6L6bE_bTMo&NR=1.
Figura 17: Reptiles (1943), litografia2.
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/repteis.htm.
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Litografia é a arte de reproduzir desenhos feitos com um corpo gorduroso em pedra calcária.
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Com o estudo de 1939 da figura 20, Escher fez a litografia Reptiles (1943) em que
aparece um caderno de notas em perspectiva sobre uma mesa com vários objetos e
répteis criam vida; então, em detalhes perfeitos, saem do desenho, sobem por um
livro, um esquadro, um dodecaedro, passam ao redor das anotações, descem do
outro lado e voltam para o padrão hexagonal, perdendo os detalhes, e quedam-se
estáticos e ajustados. (BARBOSA, 1993, p.112)
Já na obra Day and Night (1938), observa-se o emprego de uma pavimentação com
paralelogramos com inclinação diagonal.
Figura 18: Malha de paralelogramos e respectiva pavimentação de Day and Night (1938)
Figura 19: Day and Night (1938).
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm
Com o estudo sobre pássaros [...], Escher realizou a obra Day and Night (1938), na
qual pássaros em preto e branco se separam gradativamente, uns “indo” para a
esquerda, para o “dia”, e os em branco “indo” para a direita, para a “noite”, que
surgem dos correspondentes espaços abertos. (BARBOSA, 1993, p. 111)
Outro exemplo das obras de Escher pode ser observado na criação de Circle Limit III
(1959), onde Escher utilizou uma malha simples e criou uma obra que pode representar e
possibilitar aproximações ao infinito.
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Figura 20: Circle Limit III (1959)
Fontes: portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23463 e
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/circular3.html.
(...) na xilografia a cores Circle Limit III, foram necessárias quatro cores, para que
cada fileira se distinga claramente das outras. Como todas essas fileiras de peixes,
vindas duma distância infinita, sobem verticalmente como foguetes, da periferia, e
de novo para lá se dirigem, nem uma componente alcançará alguma vez o limite.
Pois para além é o <nada absoluto>. E, no entanto neste mundo redondo não pode
existir sem vácuo à sua volta (...) (cit. in Ernest, 1978, p 109)
5. RESULTADOS E CONCLUSÕES
Conforme Santos (2006), a arte de desenhar padrões e pavimentações é muito antiga.
Contudo, o estudo das propriedades matemáticas das pavimentações dos polígonos é recente.
As pavimentações mais observáveis são as que usam quadrados e retângulos que se
observam no chão e nas paredes, entretanto o estudo das pavimentações pode levar a lugares
inimagináveis à primeira vista.
A exploração geométrica das pavimentações pode ir muito além, incluindo as
pavimentações regulares de diferentes tipos de polígonos ou com polígonos irregulares, e
podem servir futuros trabalhos de conclusão de curso.
O estudo das pavimentações pode ser abordado com crianças de nível elementar e
intermediário, assim como utilizados para estudos de iniciação científica a fim de tornar o
estudo da Geometria mais contextualizado, atrativo e interessante. Além disso, permite que
vários conceitos geométricos sejam abordados, como por exemplo: simetria, ângulos,
polígonos, entre outros. O uso da história dos mosaicos também funciona como um
importante recurso didático.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.
CARVALHO, Maria Julia de. A utilização do laboratório de informática para o ensino de
Geometria no Ensino Fundamental. Cascavel (PR), 2008.
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Aurélio Século XXI: o dicionário da língua
portuguesa. 3. ed. Totalmente revista e ampliada. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1999.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade 8ª série.
2.ed. São Paulo: Atual, 1991.
IMENES, Luis Márcio. Coleção vivendo a matemática: geometria dos mosaicos. São Paulo:
Scipione, 1994.
A ALHAMBRA. Disponível em:
<http://ocw.unicamp.br/fileadmin/user_upload/cursos/au909/CDgeoHM/novaversao/criacao9.
htm> Acesso em: 29 out 2011.
BRANCO, Eguimara Selma. Escher e a matemática. Portal do Professor. Disponível em:
<portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23463>. Acesso em: 25 out
2011.
CASTRO, Rosiene de Fátima Corrêa Ruiz. Pavimentações no plano euclidiano. Belo
Horizonte (MG), 2008. Disponível em:
<http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/monografia_Rosiene.pdf>. Acesso em: 01
jun. 2011.
CIRCLE LIMIT III. Altura: 906 pixels. Largura: 906 pixels. 96dpi 190 KB. Formato JPEG.
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