Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Física
Trabalho de Conclusão de Curso
Interação de Fótons com a Matéria: Proposta de um Modelo
Computacional para Simulação do Efeito Fotoelétrico
Autor: Anderson Basilio Beserra
Orientador: Msc. Thiago Borduqui Ferrari
Brasília - DF
2011
0
Interação de Fótons com a Matéria: Proposta de um Modelo
Computacional para Simulação do Efeito Fotoelétrico
(Interaction of Photons with Matter: Proposal for a Computational Model for Simulation of
Photoelectric Effect)
Anderson Basilio Beserra ¹
Thiago Borduqui Ferrari ¹
1
Curso de Física - Universidade Católica de Brasília
Resumo: A interação dos fótons com a matéria é um assunto importante na física
quântica, sendo relevante para a medicina atual, principalmente, nas áreas de
Radioterapia, Medicina Nuclear e de Radiodiagnósticos (PIANOSCHI, 2008). Desta
forma, propomos neste trabalho um modelo computacional, baseada em um algoritmo
simplificado, que permita o estudo da interação de fótons com a matéria por meio do
efeito fotoelétrico e também a determinação do coeficiente de atenuação de
determinados materiais. Acreditamos que o modelo tem boas finalidades didáticas,
mas deve sempre ser tratado com suas limitações.
Palavras chave: Efeito fotoelétrico, Simulação computacional.
Abstract: The interaction of photons with matter is an important issue in quantum
physics, being relevant to modern medicine, especially in the areas of Radiotherapy,
Nuclear Medicine and Radiology (PIANOSCHI, 2008). Thus, we propose in this paper
a computational model based on a simplified algorithm, which allows the study of the
interaction of photons with matter through the photoelectric effect and also the
determination of the attenuation coefficient of certain materials. We believe that the
model has good teaching purposes, but should always be treated with its limitations.
Keywords: Photoelectric effect, computer simulation.
1.
INTRODUÇÃO
Desde a descoberta dos Raios-X, por Wilhelm Conrad Roentgen, e do
primeiro radionuclídeo, em 1896, por Maire Curie, as radiações ionizantes têm,
cada vez mais, contribuído com a melhoria da qualidade de vida do homem
(PIANOSCHI, 2008, p. 1).
Dentro desta área de pesquisa, as simulações computacionais podem
representar, em alguns casos, uma alternativa conveniente se comparado aos
métodos experimentais, já que apresentam a vantagem de propiciar estudos
detalhados, em diferentes condições, de diversos processos que envolveriam
procedimentos experimentais demorados, complexos e de alto custo (SEMPAU
et al, apud PIANOSCHI, 2008, p.1-2). Ou seja, muitas vezes ela pode ser mais
1
viável, economicamente, se comparada com a realização de alguns
experimentos, sendo, em alguns casos, mais segura e com condições mais
controladas.
Em nosso trabalho, com o uso de simulação computacional das
interações dos fótons com a matéria pelo efeito fotoelétrico, usando o software
Dev-C++, foi possível analisar as interações ocorridas e determinar o
coeficiente de atenuação do Alumínio e do chumbo, provando assim, que estas
interações dependem do tipo de material utilizado como absorvedor e da
energia de incidência dos fótons.
Nas seções seguintes serão abordados: o referencial teórico utilizado
em nosso modelo; a metodologia, onde será explicado o algoritmo, além de
descrever as etapas experimentais (o código em linguagem C está mostrado
no anexo 1-I); os resultados são apresentados em seção própria (os resultados
brutos para o Alumínio e fótons com energia de 70eV podem ser encontrados
no anexo1-II, a fim de ilustrar a maneira como os resultados são gerados). Na
seção de discussão tratamos das principais limitações do modelo e das
vantagens.
É importante destacar a escolha, de trabalharmos com fótons ao invés
de partículas carregadas, pois ao contrário das radiações eletromagnéticas
(fótons), as partículas carregadas têm 100% de probabilidade de interagir no
meio material, pois há cargas distribuídas no meio e a força coulombiana é de
longo alcance (YOSHIMURA, 2009, pág. 60). Sendo assim, pensando na
interação ou não das radiações com a matéria, optamos por trabalhar com o
efeito fotoelétrico.
2.
REFERENCIAL TEÓRICO
2.1
Interações entre os fótons e a matéria
Segundo Yoshimura (2009) na faixa de energia dos raios-X e gama,
podem existir diversas interações possíveis com o núcleo ou com elétrons das
camadas de um átomo, mas há também uma grande possibilidade de não
ocorre nenhuma interação, ou seja, radiações eletromagnéticas podem
2
percorrer uma distância considerável sem modificar-se e sem modificar o
material utilizado.
Yoshimura (2009) considera que as principais interações das radiações
com a matéria e seus efeitos se dividem em (ver Tabela 1): (i) Espalhamento
coerente – corresponde a absorção e re-emissão da radiação pelo átomo em
uma direção que pode não coincidir com a da radiação incidente; (ii) Efeito
fotoelétrico – o fóton é absorvido pelo átomo e um elétron é liberado para se
mover no material; (iii) Efeito Compton ou espalhamento inelástico –
Espalhamento de um fóton por um elétron livre do material, nesta interação
existe a transferência de parte de energia e do momento do fóton incidente
para o elétron e a energia restante é emitida em forma de outro fóton com
direção diferente do fóton inicial; (iv) Produção de pares – fóton absorvido e
toda sua energia é convertida em massa de repouso e energia cinética de um
par de partícula-antipartícula (elétron e pósitron).
Tabela 1: Interações possíveis de ocorrer para radiação eletromagnética ionizante – Raios-X, raios gama
e fótons de aniquilação – e conseqüências das interações (YOSHIMURA, 2009).
Interação – símbolo
O que muda no meio
O que muda na radiação
Radiação
da seção de choque
incidente
ionizante
produzida
i - Espalhamento
Coerente (espalhamento da
radiação pelo átomo)
Direção de propagação,
(mantém energia)
REM espalhada
de mesma energia
Ionização e excitação do
átomo, recuo do núcleo
Fóton é absorvido
Elétron rápido,
Raios-X
característicos,
elétrons Auger
iii - Compton (espalhamento do fóton
por um elétron)
Ionização do átomo
Fóton perde energia e
muda de direção
Elétron rápido,
fóton com menor
energia,
espalhado
iv - Produção de Par (energia do fóton é
consumida na criação
do par (e- e+)
Recuo do núcleo;
aniquilação do pósitron
Fóton é absorvido
Elétron e pósitron
rápidos, Raios-X
de aniquilação
ii - Fotoelétrico (ejeção de elétron
ligado)
Se imaginarmos que esta interação esta sendo feita em um corpo
humano, devemos saber quais as conseqüências que estes elétrons podem
causar para o paciente, ou seja, qual a conseqüência imediata. Na viajem
através do tecido, os elétrons de alta velocidade são responsáveis por
ionizações, excitação do átomo e quebra de ligações moleculares, resultando
3
em danos biológicos (JOHNS, 1983, pág. 133). Desta forma, da mesma
maneira que as radiações são responsáveis por diversos tipos de exames
médicos, que hoje, acabam facilitando a comunidade médica a diagnosticar e
tratar inúmeras doenças, elas também são capazes de danificar de forma
permanente qualquer estrutura atômica, seja do corpo humano ou de qualquer
outro tipo de material.
Em nosso estudo consideraremos apenas o efeito fotoelétrico partindo
do princípio que o coeficiente de atenuação faz parte das características do
material escolhido.
2.2
Efeito fotoelétrico
O efeito fotoelétrico foi descoberto acidentalmente em 1887 por Hertz,
através de um experimento que buscava detectar ondas eletromagnéticas
(TIPLER, 2004, pág. 87) e sendo analisado, conforme a natureza quântica, em
1905 por Albert Einstein (TIPLER, 2006)
Eisberg (1979) nos diz que o efeito fotoelétrico consiste na emissão de
elétrons de uma superfície a partir da incidência de um fóton, sendo que a
energia de cada fóton é dada por.
E = hf
(1)
Onde E é a energia, h é a constante de Planck e f é a freqüência do
fóton (TIPLER, 2006, pág. 4).
A equação 1 nos mostra que a energia de cada fóton é concentrada em
pacotes, tendo em vista que a constante de Planck trás esta característica.
Desta forma, ao se aumentar a intensidade de uma luz incidente em um
material ocorre o aumento da quantidade de elétrons que são ejetados, isto se
deve ao fato de que tal aumento de intensidade só faz com que mais fótons
sejam incididos no material, ou seja, a energia dos fótons não é alterada.
Assim, a idéia clássica de que: se deixassem uma fonte luminosa de qualquer
freqüência incidindo luz sobre um material o efeito fotoelétrico aconteceria foi
sucumbida.
4
Tipler (2006) considera que se φ é a energia mínima para remover um
elétron de um material, então a energia cinética máxima dos elétrons emitidos
pode ser determinada por:
k max = hf − φ
(2)
Onde k max é a energia cinética do fotoelétron (elétron ejetado do átomo)
e φ é a função trabalho do material.
Pelas leis de conservação de momento e energia pode-se deduzir que o efeito
fotoelétrico só pode ocorrer com elétrons fortemente ligados ao átomo, e nunca com o
fóton interagindo com um elétron livre. Neste caso, o átomo como um todo retém a
diferença entre o momento do fóton incidente (pv = hf/c) e o do fotoelétron
[pv = (Ε 2 - Ε02 )1/2 /c] , onde E e E0 são, respectivamente, as energias total e de repouso
do fotoelétron. Como a massa nuclear é grande, a energia de recuo do átomo é
desprezível (COSTA, 2010)
Segundo Costa (2010) 80% de toda absorção fotoelétrica ocorre com
elétrons da camada K do material absorvedor. Com este efeito, o átomo é
deixado em um estado excitado emitindo uma radiação característica quando
retorna ao seu estado fundamental (JOHNS, 1983). Segue abaixo uma
representação deste do efeito fotoelétrico.
Fóton
incidente
Elétron
ejetado
Figura 1 – Representação do efeito Fotoelétrico (BARBOZA, 2006)
Na medicina atual, podemos dizer que o efeito fotoelétrico faz parte da
ciência utilizada nos exames mais comuns, tais como, radiografias de alguma
parte do corpo humano e em exames diagnósticos de câncer. Mais da metade
de pacientes com câncer são submetidos à radiação em algum ponto durante o
curso de tratamento da enfermidade (BARBOZA, 2006, pág. 2).
5
2.3
Seção de choque ou probabilidade de interação
Os fótons podem interagir com os átomos por meio de quatro processos
diferentes: espalhamento coerente, efeito fotoelétrico, espalhamento Compton
e produção de pares. Os dois primeiros absorvem completamente os fótons,
enquanto os dois últimos apenas espalham, mas todos eles removem fótons do
feixe inicial (EISBERG, 1979, pág. 75). Em qualquer um dos casos, quando
tratamos de interações entre fótons e matéria, é necessário que saibamos
quais as probabilidades de acontecimento de cada efeito. Eisberg (1979) diz
que essa probabilidade é muito importante na blindagem de aparelhos de
Raios-X ou de um reator nuclear.
A esta probabilidade de interação entre os fótons e o átomo é dado o
nome de seção de choque. Pensando no efeito fotoelétrico podemos dizer que:
a seção de choque para este efeito é definida pela probabilidade de um fóton,
com uma dada energia, ser ou não totalmente absorvido pelo material. Para
Baptista (2010) a seção de choque é a probabilidade de ocorrer ou não uma
interação com a matéria.
A seção de choque e dado em cm² por átomo e para o efeito fotoelétrico,
considerando-se todos os ângulos de emissão do fotoelétron, é representada
pela equação (PIANOSCHI, 2008, pág. 7):
µ∝
Z4
E3
(3)
onde Z equivale ao número atômico do material e E é a energia contida em
cada fóton, o coeficiente assim podemos mostrar que a seção de choque esta
diretamente ligada com o número atômico e é inversamente proporcional a
quantidade de energia de cada fóton, ou seja, quanto maior for a energia
menor será a probabilidade de acontecer o efeito fotoelétrico. Para Yoshimura
(2009) quanto maior o número atômico do elemento utilizado maior a
probabilidade de acontecer o efeito fotoelétrico (figura 2).
6
Figura 2 – Gráfico que representa a probabilidade de acontecer o efeito fotoelétrico
para elementos de número atômico grande (YOSHIMURA, 2009).
Podemos perceber, segundo a figura 3, que para o efeito fotoelétrico
quanto maior a energia de incidência do fóton menor a probabilidade de
acontecer alguma interação com a matéria. Como a probabilidade desses
processos depende de formas diferentes de número atômico, os intervalos de
energia nos quais eles dominam são bastante diferentes (EISBERG, 1979, pag.
77). Segundo Eisberg (1979) para o alumínio estes intervalos são: efeito
Fotoelétrico ( 4,8eV < E < 5 × 10 4 eV ); Espalhamento Compton ( 5 ×10 4 < E <
1 ×107 eV ); Produção de Pares (1 ×107 eV < E ), já para o chumbo: efeito
fotoelétrico ( 4,14eV < E < 5 × 10 5 eV ); espalhamento ( 5 × 10 5 < E <
1 ×10 6 eV ); produção de pares (1 × 10 6 eV < E );
Para o efeito fotoelétrico a equação 3 pode ser perfeitamente descrita
através do gráfico abaixo:
Figura 3 - Seção de choque Atômica para o efeito fotoelétrico em função da energia
do fóton (KEMP, 2007)
7
2.4
Coeficientes de atenuação linear
Costa (2010) diz que o coeficiente de atenuação linear é o parâmetro
que permite mensurar a quantidade de fótons que interagiram em um dado
material por unidade de comprimento e este coeficiente pode ser descrito como
a probabilidade que o fóton sofra uma interação no material absorvedor.
Quando um meio é homogêneo, sua espessura pode levar à estimativa do
coeficiente
de
atenuação
linear
do
material
(EVANS
et
al,
apud
VASCONCELOS, 2003, pág. 85). Este coeficiente está diretamente ligado a
espessura do material escolhido e a quantidade de fótons incidentes. Johns
(1983) afirma que se N fótons incide sobre uma placa de espessura x, um
número n interagirá com o material e será removido, portanto, n dependerá
diretamente de N, então, se N for duplicado as chances de interação também
serão duplicadas, da mesma forma, que se a espessura x for duplicada as
interações também serão dobradas.
Assim, n varia com o produto de N e x, como mostra a equação abaixo:
n = µ × N × ∆x
(4)
Onde µ é o coeficiente de atenuação - constante de proporcionalidade.
Se imaginarmos que ∆N = −n é o número de fótons que restou no feixe
incidente, a equação 4 pode ser reescrita da seguinte forma:
∆N = −(µ × N × ∆x)
(5)
Onde N e ∆N são puramente números, µ∆x deve ser adimensional e µ
tem dimensões de "um" dividido pelo comprimento, ou seja, se x for expresso
em centímetro µ deve ser medido em cm −1 (JOHNS, 1983, pág. 136). Ainda
para Johns (1983) para se obter um resultado correto devemos considerar que
o material é formado por camadas de espessuras muito fina, ou seja, deve-se
aplicar a equação 5 para cada espessura ∆x do material, tornando assim um
processo extremamente demorado.
Como forma de resolver tal situação usa-se a equação (JOHNS, 1983,
pág. 137):
N = N 0 × e − µx
(6)
8
onde N representa o número de fótons que ultrapassaram o material, N0 o
número de fótons inicial e x a espessura do material absorvedor.
Esta equação é usada para calcular a atenuação de qualquer espessura
de material e mostra como N muda a medida que passa através do material.
Yoshimura (2009), afirma que a equação 6 é conhecida como a lei de
atenuação de um feixe de fótons, onde relaciona o número de fótons incidentes
( N0 ) perpendicularmente em um material homogêneo e o número de fótons
que emergiu (N) desse meio sem interagir com ele.
Simplificando a equação temos para o coeficiente de atenuação.
N
= e −µx
N0
N
ln  = −µx × lne
 N0 
N
ln 
N
µ=−  0
x
(7)
Essa equação nos mostra que µ é inversamente proporcional a
espessura do material absorvedor.
3.
METODOLOGIA
Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo para simular a interação de
fótons com a matéria e permitir o cálculo teórico do coeficiente de atenuação
do material absorvedor. Para este trabalho utilizamos os dados do alumínio (Al)
e do chumbo (Pb).
O primeiro passo, a ser dado é atribuir as condições iniciais da
simulação: número atômico do elemento utilizado (Z), energia do fóton
incidente (E), a energia da função trabalho referente ao átomo (T),
comprimento de um átomo do material (L), espessura limite na qual nos dará o
9
tamanho do objeto e a equação que descreve a probabilidade de
acontecimento do efeito fotoelétrico (p) – equação 3.
O passo seguinte consiste em: para cada fóton, baseado na
probabilidade de interação (variável p), sortear se o fóton vai interagir ou não
na primeira fatia de átomos. Se a interação acontecer passa-se para o fóton
seguinte. Se a interação não acontecer é verificado se ele chegou ao limite do
obstáculo. Se alcançar o limite, o algoritmo escolhe outro fóton, se não, o fóton
avança para a fatia seguinte e o processo se repete até que aconteça a
interação ou o limite do obstáculo seja alcançado.
O próximo passo é a contagem de quantos fótons conseguiram
ultrapassar cada fileira (divisão do obstáculo). O último passo, consiste no
cálculo do coeficiente de atenuação, a partir da equação 7.
Segue o fluxograma descrevendo os passos da simulação.
10
Figura 4 - Fluxograma que descreve a simulação
11
Na simulação, foram utilizados dois diferentes materiais absorvedores: o
Alumínio (Al) e o Chumbo (Pb) (ver na tabela 2 as características de cada
elemento utilizadas na simulação). A simulação foi feita no software Dev–C++
versão 4.9.9.2, utilizando um computador particular que tem a seguinte
configuração: processador Pentium Intel Quad Core 9300, com 4Gb de
memória RAM, sistema operacional Windows 7 X64 bits, versão ULTIMATE e
placa de vídeo com 512 mb.
Tabela 2: Características do alumínio e do chumbo utilizadas na simulação.
Características
Alumínio (Al)
Chumbo (Pb)
Número atômico
13
82
Função trabalho
4,8
4,14
Tamanho do átomo (L) *
Faixa de energia para o
efeito fotoelétrico
2,55 × 10
−8
cm
4,8eV < E < 5 × 10 4 eV
3,11 × 10 −8 cm
4,14eV < E < 5 × 105 eV
*Considerando o átomo com uma forma cúbica.
É importante salientar que estes dados são de fundamental importância,
posto que, são eles que direcionaram a simulação. Sendo assim, para calcular
o coeficiente de atenuação de outros materiais estes valores devem ser
alterados no algoritmo.
4.
RESULTADOS
Foram feitas duas simulações com energias e espessuras da primeira
fileira diferente para cada material. Para o Alumínio, consideramos as energias
de 70eV e 500eV, ambos com espessura das fileiras equivalente a 10 −5 . No
caso do chumbo, consideramos uma energia de 100eV, com espessura da
fileira equivalente a 10 −4 cm , e 100keV, com espessuras das fileiras
equivalentes a 10 −3 cm .
Por ser uma seqüência dependente de números aleatórios os resultados
obtidos para as interações variavam para cada inicialização da simulação, o
que pode ficar evidenciado através destes resultados foi o comportamento
exponencial que estas interações, tanto no Alumínio quanto no Chumbo,
sempre seguiam. Para o cálculo do coeficiente de atenuação foi utilizado
12
apenas uma fração do material objeto (tabela 3), pois na simulação nenhum
fóton foi capaz de ultrapassar a espessura do objeto escolhida (0,1cm). Como
conseqüência, podemos perceber que o resultado do coeficiente de
atenuação, dos dois materiais, é muito alto estando de acordo com a equação
7, pois o coeficiente de atenuação e inversamente proporcional a espessura.
Tabela 3: Valores para o calculo do Coeficiente de Atenuação e resultados obtidos pela simulação.
Coeficiente de
Espessura da Fileira (cm)
Energia do Feixe (eV)
Material
-1
Atenuação (cm )
Alumínio
70
1 × 10
100
1 × 10
100
1 × 10
100k
1 × 10
Chumbo
5.
−5
13,47 × 10
4
−5
12,03 × 10
4
−4
3
77,65 × 10
2
9,16 × 10
−3
DISCUSSÃO
Esta seção é dividida em duas partes, na primeira é dada uma
explicação dos resultados obtidos e na segunda, se comentamos sobre às
limitações que devem ser levadas em consideração para esta simulação.
5.1
Análises dos Resultados obtidos
De acordo com a figura 5 podemos perceber o resultado obtido em
nossa simulação, onde, as curvas exponenciais obtidas nas interações do feixe
de fótons, comprovam que as interações realmente obedecem a um
decaimento exponencial durante seu percurso pelo material absorvedor, nos
mostrando que a simulação esta de acordo com a teoria e conforme
representado na equação 6.
13
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 05 - Representa o decaimento exponencial do feixe incidente sobre o material absorvedor. (a) e
(b) para o Alumínio com energia de 70eV e 100eV, respectivamente e espessuras da 1º
fileira equivalente a 10−5; (c) e (d) para o Chumbo com energias de 100eV e 100KeV
espessura da 1º fileira equivalente a
10−4 e 10
−3
, respectivamente.
Outro ponto importante observado na simulação foi a capacidade do
fóton poder penetrar um meio material sem sofrer nenhuma interação (O anexo
1-II é mostrado quantas fatias o fóton ultrapassou antes de interagir, cada fatia
tem o comprimento de um átomo). Podemos perceber que alguns fótons são
capazes de ultrapassar centenas de átomos sem sofrer nenhuma interação
fotoelétrica.
Quanto
aos
valores
obtidos
para
o
coeficiente
de
atenuação
evidenciamos uma divergência com os valores encontrados na maioria das
14
bibliografias, o que pode ser facilmente explicado, pois em nossa simulação
consideramos a probabilidade de interação apenas pelo efeito fotoelétrico,
limitando assim, a margem de obtenção de resultados. Já o que é encontrado
nas bibliografias os valores são determinados considerando todas as
probabilidades de acontecimento de interação (Espalhamento Coerente, Efeito
Fotoelétrico, Espalhamento Compton e Produção de Pares). Portanto, os
resultados obtidos por esta simulação servem apenas de parâmetro do que se
encontraria se considerássemos que apenas um efeito fosse realizado durante
uma interação fóton-matéria.
5.2
Análises das limitações
5.2.1 Simulação apenas do efeito fotoelétrico
Nosso modelo leva em conta apenas o efeito fotoelétrico, por se tratar
de uma simulação mais simples. Podemos justificar esta opção a partir
observação da figura 2 podemos perceber, que para algumas faixas de energia
e dependendo do número atômico do elemento, o efeito fotoelétrico se torna
totalmente preponderante sobre qualquer outro tipo de interação. Ainda
baseado na figura 2 e de acordo com Yoshimura (2009) elementos com
número atômico muito baixo tem maior probabilidade de realizar o efeito
Compton, independente da energia do fóton incidido, desta forma limitamos
também a simulação para elementos que não sejam de número atômicos muito
pequenos (menor que 13). Outro ponto importante, que deve ser levado em
conta, é a probabilidade de 80% dos fótons interagirem com a camada K,
conforme afirma Costa (2007), ou seja, não desconsideramos as outras
camadas do átomo, até porque, isto estaria indo contra a descrição quântica,
onde a função de onda que descreve a posição dos elétrons tem relação direta
com as camadas atômicas (níveis de energia).
Assim como, Pianoschi (2008) também consideramos uma condição
ideal, em que cada fóton é completamente absorvido em uma simples
interação, não produzindo fótons espalhados e secundários e que o fotoelétron
não interage novamente com o obstáculo.
15
5.2.2
Estrutura cristalina do átomo com formato cúbico
Outro fator importante que devemos levar em consideração e a largura
"L" do material, pois para esta simulação consideraremos o átomo com um
formato cúbico e que a incidência de todos os fótons será perpendicular a uma
face de cubo, segue abaixo o método que foi utilizado para encontrar o
comprimento do átomo:
ρ=
m
m
⇒ V =
V
ρ
m = 4,4817 × 10 − 23 g
ρ = 2,697 g
cm 3
4,4817 × 10 − 23 g
V =
× cm 3
2,697g
V = 1,6617 × 10 − 23 cm 3
V = L3 ⇒
3
1,6617 × 10 − 23 cm 3
L = 2,5518 × 10 − 8 cm
Onde ρ representa a densidade do elemento, m a massa e V o volume do
átomo e L o comprimento da aresta do cubo. O calculo representado acima foi
feito para o Alumínio, mas pode ser feito para qualquer outro tipo de material.
−8
Nas bibliografias o raio atômico é aproximadamente 1,43 × 10 cm
e,
−8
conseqüentemente, seu diâmetro 2,86 × 10 cm , aproximadamente 10% a
mais do valor encontrado por nós acima.
5.2.3 Equação utilizada para descrever a seção de choque
Tal incerteza se dá pelo fato de a seção de choque, do efeito
fotoelétrico, ser encontrada nas bibliografias apenas como uma aproximação.
A seção de choque para a absorção fotoelétrica atômica pode equivaler
à aproximadamente a τ ≅ k
Zn
(cm2 /" atomo" ) , onde n e m são índices que
m
(hv)
sofrem alteração em função da energia do feixe e do material (...) o valor de m
tende a 4 e n tende a 3 (ATTIX, apud FIRMINO, 2010, pág. 42). Segundo
documento informativo da CNEN, o efeito fotoelétrico é predominante para
baixas energias (...) a probabilidade de ocorrência aumenta com Z 4 e decresce
16
rapidamente com o aumento da energia (CNEN/IRD, apud FIRMINO, 2010,
pág. 42). Frimaio (2006) nos diz que essa probabilidade cresce com Z 3 . Já
para Pianoschi (2008) a seção de choque por átomo, para o efeito fotoelétrico,
considerando todos os ângulos de incidência pode ser representada por
τ∝
Z4
. Desta forma, optamos por esta ultima equação para representar a
E3
seção de choque na simulação. Abaixo está a representação gráfica da
probabilidade de interação do Alumínio e do Chumbo.
(a)
(b)
Figura 06 - (a) Gráfico da probabilidade de interação para o alumínio - (b) Gráfico da probabilidade de
interação para o Chumbo.
5.2.4 Números pseudo-aleatórios
A limitação se encontra na não confiabilidade de ser realmente um
número aleatório, pois estas seqüências são completamente determinísticas.
Qualquer seqüência de número gerada por um algoritmo terá a propriedade de
uK +1 que pode ser determinado a partir do conhecimento de u1,u2 ,...uK , não
sendo assim aleatório no sentido pretendido.
As margens destes números foram definidas a partir da figura 6, onde
para cada material é definido um valor aproximado de probabilidade, limitada à
energia da função trabalho. Por exemplo, na Figura 6-(a) percebemos que a
probabilidade de acontecimento do efeito fotoelétrico, com fóton maior que a
função trabalho, deverá ser menor que 250.
17
5.2.5 Efeito fotoelétrico (clássico x quântico)
Eisnberg (1979) faz uma distinção bastante interessante sobre três
aspectos que não podem ser explicados pela teoria ondulatória clássica da luz,
mas que Einstein com a física quântica conseguiu resolver:
• O primeiro diz respeito a energia cinética dos elétrons ejetados, onde
para a teoria clássica quando se aumentasse a intensidade da luz
aumentaríamos também a energia cinética dos elétrons ejetados, mas a
física
quântica
mostra,
experimentalmente,
que
aumentando
a
intensidade da luz meramente estamos aumentando o número de fótons
e. Portanto aumentando a corrente fotoelétrica, ou seja, a energia do
fóton não aumenta;
• O segundo é sobre a ocorrência do efeito fotoelétrico, para a teoria
clássica este efeito deveria acontecer para qualquer freqüência de luz,
desde que essa luz fosse intensa o bastante para dar energia
necessária à ejeção dos elétrons, mas a teoria quântica consegue
remover esta idéia imediatamente, pois se considerarmos que na
equação 2 K max é igual a zero teremos:
hf 0 = φ
que significa que o fóton tem exatamente a energia necessária para
remover o elétron, assim se a freqüência for menor que f0 os fótons não
conseguiriam arrancar este elétron, ou seja, não se observa o efeito com
qualquer freqüência de luz;
• O terceiro é o retardamento da ejeção dos elétrons. Na teoria clássica, a
energia luminosa esta uniformemente distribuída sobre a frente de onda,
com isso deveria existir um intervalo entre a incidência da luz e a ejeção
do elétron. Mas a mecânica quântica rebate essa afirmação pela ideia
do fóton possuir energia sob pacotes concentrados, ou seja, o fóton
incidido será absorvido ou não pelo elétron, dependendo então, da
energia do fóton.
5.2.6 Métodos mais Utilizados em Simulações com Radiações
Durante toda a pesquisa bibliográfica não foi encontrado nenhuma
simulação semelhante a este trabalho. O que pode ser verificado com certa
18
freqüência são simulações feitas em softwares que utilizam métodos mais
complexos e que geralmente utiliza o "Método Monte Carlo" para obtenção dos
números aleatórios. Este método é largamente utilizado na solução de
problemas envolvendo processos estatísticos da emissão da radiação (...) que
não podem ser modelados por código computacionais que utilizam métodos
determinísticos (ANTOLIN, 2007). Os códigos de simulação utilizam diferentes
algoritmos (...) em diferentes níveis de dificuldade de uso, acurácia nos
resultados e desempenho nas simulações, como exemplo de simulador,
podemos citar o Código de Simulação Monte Carlo PENELOPE (PENetration
and Energy LOss of Positron and Eletrons) que é normalmente utilizado para
aplicações com feixes de alta energia (PIANOSCHI, 2008).
6.
CONCLUSÃO
Neste trabalho avaliou-se a utilização de um algoritmo simplificado para
análise do efeito fotoelétrico e conseqüentemente a obtenção do coeficiente de
atenuação do Alumínio e do Chumbo. Apesar de existir alguns simuladores que
descrevem a interação das radiações com a matéria, nenhum utilizou um
método relativamente simples para esta análise. A metodologia permitiu
determinar o comportamento de um feixe de fótons com baixa e alta energia,
nos mostrando o comportamento de cada fóton dentro do material.
Mesmo demonstrando todas as limitações, o algoritmo se mostrou
totalmente condizente com a teoria apresentada na literatura, podemos
perceber e visualizar através dos dados obtidos na sessão resultados que esta
simulação pode ser apresentada como uma ferramenta de aprimoramento do
conhecimento sobre as interações dos fótons com a matéria. Portanto, este
trabalho além de ajudar na assimilação de conceitos da física moderna, ele dá
uma abertura para ser melhorado em outros trabalhos futuros, podendo ser
adicionado outros efeitos, tais como espalhamento Raylight e Compton.
19
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer:
Aos professores que tive durante esta minha dura caminhada, em especial ao
meu orientador Thiago Borduqui Ferrari que foi de fundamental importância
para a conclusão deste trabalho;
Aos meus amigos Humberto Zacarias, Ítalo Augusto Camargos, Thiago
Cardoso e Tiago Araújo, que sempre estiveram do meu lado;
Aos meus filhos, Guilherme e Breno, que são os verdadeiros motivos de tanto
esforço e dedicação;
A minha maior inspiração, razão pela qual me despertei para a vida acadêmica,
minha mulher (Te Amo Muito);
A minha mãe, que mesmo não estando mais presente, foi quem me ensinou a
ser quem eu sou hoje.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BAPTISTA, Patrícia Isabel; LIMEDE, Jorge de Medeiros. Caracterização das
Qualidades de Radiação X de Diagnóstico, segundo a Norma Internacional IEC
61267. Lisboa – POR, 2010. Dissertação (Mestre em Engenharia Biomédica),
Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade de Lisboa.
BARBOZA, Cecília Bollini; Planejamento do Tratamento por Radioterapia
Através de Métodos de Pontos Interiores. Pesquisa Operacional, v.26, n.1, p.124, janeiro a abril de 2006.
COSTA, Paulo R. Laboratório de Física Moderna (4300377) Interação da
Radiação γ com a Matéria. Disponível em:
<http://moodle.stoa.usp.br/file.php/1106/Informativos/Apostila_interacao_da_ra
diacao_com_a_materia_final3.pdf> acessado dia 11.05.2011.
EISBERG, Robert Martin; RESNICK, Robert. Física quântica: átomos,
moléculas, sólidos, núcleos e partículas. Rio de Janeiro: Campus, c1979. 928
p. ISBN 8570013094
FIRMINO, Sandro Fernandes. Transmissão e Fluência de Fótons na Área de
Radiodiagnóstico para Diferentes Configurações de Feixe de Blindagem. Porto
Alegre, 2010. Dissertação (Mestre em Engenharia), Escola de Engenharia da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
20
FRIMAIO, Audrew; Desenvolvimento de um Material Cerâmico para Utilização
em Proteção Radiológica Diagnóstica. São Paulo, 2006. Dissertação (Mestre
em Ciência na Área de Tecnologia Nuclear – Materiais. Instituto de Pesquisas
Energéticas e Nucleares, Universidade de São Paulo.
JOHNS, Harold Elford; CUNNINGHAM, John Robert. The Physics of Radiology.
Charles C. Thomas – Publisher. Fourth Edition, Springfield Illionois, 1983.
KEMP, Ernesto. F550 - Radiações: Interação e Detecção aula 20. Disponível
em:< http://webensino.unicamp.br/disciplinas/F_550-287159/apoio/29/F550aula20-2s.pdf> Acesso em 09.05.2011.
PIANOSCHI, Thatiane Alves. Avaliação do Código de Simulação Monte Carlo
PENELOPE para Aplicações em geometria Delgada e Feixes de
Radiodiagnósticos, Ribeirão Preto, 2008. Dissertação (Mestre em Ciências –
Física Aplicada à Medicina e Biologia), Faculdade de Filosofia, Ciências e
Letras de Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo.
TIPLER, Paul Allen; BIASI, Ronaldo Sérgio de (Trad.). Física moderna. 3. ed.
Rio de Janeiro: LTC, c2001. xiii, 515 p. ISBN 8521612745
TIPLER, Paul Allen. Física para cientistas e engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro,
RJ: LTC, 2006. 3 v. ISBN 8521614624(v.1)
VASCONCELOS, Wagner E. ; SANTOS, Valdemir A. ; DANTAS, Carlos C.
Determinação do Coeficiente de Atenuação-Gama de um Catalisador de
Craqueamento Catalítico Fluido; Revista Química & Tecnologia, ano 2; nº 01, p.
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YOSHIMURA, E.M. Física das Radiações: interação da radiação com a
matéria. Revista Brasileira de Física Médica. 2009; 3(1):57-67. Disponível em:
http://www.abfm.org.br/rbfm/publicado/RBFM_v3n1_57-67.pdf.
Simulação: geração de números pseudo-aleatórios. Disponível em:
<http://web.ist.utl.pt/ist11038/acad/or/simul/GerNumAleat.pdf> Acesso em
09.05.2011
21
ANEXO 1
I. Algoritmo da Simulação (Dev-C++ versão 4.9.9.2)
//programa escrito por Thiago Borduqui em 07/05/2011 para o Trabalho de conclusão de curso do
Anderson Basilio Beserra
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<ctime>
#include<fstream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main(void)
system("TITLE Efeito Fotoeletrico para o Aluminio(Al)");
ofstream arq;
arq.open("Dados.txt");
int Z = 13; // n atômico
int E = 100; // energia do fóton
double T = 4.8; // função trabalho do material
double L = 2.55*pow(10, -8); // tamanho de um átomo cúbico
double lim = 1.0*pow(10, -1); // espessurado do material absorvedor
double p = pow(Z, 4)/pow(E, 3); // probabilidade de interação para um dado material
double dist = 0.0; // armazena valor atual da distância percorrida por cada foton
double mat1[50]; // armazena distancia percorrida por cada foton
double Rand = 0.0; // guarda o n randomico
double Aten = 0.0; // coeficiente de atenuação
int k = 0; // controle do while que avança o fóton
int cont = 0; // conta a quantidade de fótons que atravessaram o obstáculo
int fatia = 0; // conta quantas fatias o foton andou antes de interagir
int hist[10]; // monta histograma de distâncias
double N = 0.0; // conta quantos fótons interagiram
double esp = pow(10,-5); // ordem de grandeza de cada espessura
arq << " A energia do foton e de " << E << " eV" << endl << endl;
arq << " O numero atomico do material e " << Z << " u.a." << endl << endl;
arq << " O diametro do atomo e de " << L << " cm" << endl << endl;
arq << " Secao de choque e de " << p << " cm2/atomo" << endl << endl;
arq << " Espessura da Primeira Fileira " << esp << " cm" << endl << endl << endl;
arq << "----------- Inicio da Simulcao --------------" << endl << endl << endl;
srand(static_cast<unsigned int>(time(0))); // permite a geração de numeros aleatorios
if( E > T )
{
for( int i=0; i<50; i++ ) // laço para varrer Fótons
{
arq << "*** Foton " << (i+1) << " *** " << endl;
cout << "*** Foton " << (i+1) << endl;
dist = 0.0;
k = 0;
fatia = 0;
Rand = 0.0;
do
{
Rand = (rand()%250+0); // gera o aleatorio
if( Rand <= p )
{
mat1[i] = dist;
k = 1;
arq << "Interagiu" << endl;
cout << "Interagiu" << endl << endl;
cout << "O foton avancou " << fatia << " fatia(s) antes de interagir" << endl;
arq << "O foton avancou " << fatia << " fatia(s) antes de interagir" << endl;
arq << "percorreu " << dist << " cm dentro do obstaculo" << endl << endl;
cout << "percorreu " << dist << " cm dentro do obstaculo" << endl << endl;
}
else
{
dist = dist + L;
fatia = fatia + 1;
if( dist >= lim )
22
{
k = 1;
cont = cont + 1; // incrementa os que passaram sem interagir
mat1[i] = 0.0;
arq << "Nao interagiu" << endl << endl;
cout << "Nao interagiu" << endl << endl;
}
}
} while( k < 1 );// fim do while
} // fim do for
}
else
{
arq << "Nao acontece o efeito fotoeletrico" << endl << endl;
cout << "Nao acontece o efeito fotoeletrico" << endl << endl;
arq.close();
system("PAUSE");
return 0;
}
//preenche a matriz do histograma
for( int n=0; n<10; n++ )
{
hist[n] = 0;
}
for( int j=0; j<50; j++ )
{
if( mat1[j] < 1 * esp )
{
hist[0] = hist[0] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 2 * esp )
{
hist[1] = hist[1] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 3 * esp )
{
hist[2] = hist[2] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 4 * esp )
{
hist[3] = hist[3] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 5 * esp )
{
hist[4] = hist[4] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 6 * esp )
{
hist[5] = hist[5] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 7 * esp )
{
hist[6] = hist[6] + 1;
}
23
else
{
if( mat1[j] < 8 * esp )
{
hist[7] = hist[7] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 9 * esp )
{
hist[8] = hist[8] + 1;
}
else
{
if( mat1[j] < 10 * esp )
{
hist[9] = hist[9] + 1;
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}// fim da matriz histograma
}
//imprime a matriz hist
for( int m=0; m<10 ; m++ )
{
cout << endl << "Interagiram na fileira " << (m+1) << " : " << hist[m] << endl;
arq << endl << "Interagiram na fileira " << (m+1) << " : " << hist[m] << endl;
}
double media = 0.0;
// calcula a penetração média
for( int s=0; s<50; s++ )
{
media = media + mat1[s];
media = media/50;
}
arq << endl << " " << cont << " fotons nao interagiram" << endl << endl;
cout << endl << " " << cont << " fotons nao interagiram" << endl << endl;
arq << " O espaco medio percorrido foi de " << media << " cm" << endl << endl;
cout << " O espaco medio percorrido foi de " << media << " cm" << endl << endl;
// calculo do nº de fotons que atravessaram o material
N = 50 - hist[0];
arq << endl << " " << N << " fotons atravessaram a primeira fileira" << endl << endl;
cout << endl << " " << N << " fotons atravessaram a primeira fileira " << endl << endl;
// calculo do coeficiente de atenuação
Aten = -( log (N/50))/( esp );
arq << endl << " O coeficiente de atenuacao para a primeira fileira e " << Aten << " cm^(-1) " << endl
<< endl;
cout << endl << " O coeficiente de atenuacao para a primeira fileira e " << Aten << " cm^(-1) " <<
endl << endl;
arq.close();
system("PAUSE");
return 0;
24
II. Resultado para Alumínio com energia de 70eV.
A energia do foton e de 70 eV
O numero atomico do material e 13 u.a.
O diametro do atomo e de 2.55e-008 cm
Secao de choque e de 0.0832682 cm2/atomo
Espessura da Primeira Fileira 1e-005 cm
----------- Inicio da Simulcao -------------*** Foton 1 ***
Interagiu
O foton avancou 3 fatia(s) antes de interagir
percorreu 7.65e-008 cm dentro do obstaculo
*** Foton 2 ***
Interagiu
O foton avancou 118 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.009e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 3 ***
Interagiu
O foton avancou 161 fatia(s) antes de interagir
percorreu 4.1055e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 4 ***
Interagiu
O foton avancou 695 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.77225e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 5 ***
Interagiu
O foton avancou 10 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.55e-007 cm dentro do obstaculo
*** Foton 6 ***
Interagiu
O foton avancou 288 fatia(s) antes de interagir
percorreu 7.344e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 7 ***
Interagiu
O foton avancou 490 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.2495e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 8 ***
Interagiu
O foton avancou 76 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.938e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 9 ***
Interagiu
O foton avancou 47 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.1985e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 10 ***
Interagiu
O foton avancou 57 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.4535e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 11 ***
Interagiu
O foton avancou 86 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.193e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 12 ***
Interagiu
O foton avancou 62 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.581e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 13 ***
Interagiu
O foton avancou 143 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.6465e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 14 ***
Interagiu
O foton avancou 420 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.071e-005 cm dentro do obstaculo
25
*** Foton 15 ***
Interagiu
O foton avancou 486 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.2393e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 16 ***
Interagiu
O foton avancou 285 fatia(s) antes de interagir
percorreu 7.2675e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 17 ***
Interagiu
O foton avancou 333 fatia(s) antes de interagir
percorreu 8.4915e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 18 ***
Interagiu
O foton avancou 97 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.4735e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 19 ***
Interagiu
O foton avancou 231 fatia(s) antes de interagir
percorreu 5.8905e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 20 ***
Interagiu
O foton avancou 344 fatia(s) antes de interagir
percorreu 8.772e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 21 ***
Interagiu
O foton avancou 286 fatia(s) antes de interagir
percorreu 7.293e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 22 ***
Interagiu
O foton avancou 25 fatia(s) antes de interagir
percorreu 6.375e-007 cm dentro do obstaculo
*** Foton 23 ***
Interagiu
O foton avancou 237 fatia(s) antes de interagir
percorreu 6.0435e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 24 ***
Interagiu
O foton avancou 135 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.4425e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 25 ***
Interagiu
O foton avancou 130 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.315e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 26 ***
Interagiu
O foton avancou 22 fatia(s) antes de interagir
percorreu 5.61e-007 cm dentro do obstaculo
*** Foton 27 ***
Interagiu
O foton avancou 116 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.958e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 28 ***
Interagiu
O foton avancou 737 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.87935e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 29 ***
Interagiu
O foton avancou 994 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.5347e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 30 ***
Interagiu
O foton avancou 15 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.825e-007 cm dentro do obstaculo
*** Foton 31 ***
Interagiu
26
O foton avancou 1013 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.58315e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 32 ***
Interagiu
O foton avancou 245 fatia(s) antes de interagir
percorreu 6.2475e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 33 ***
Interagiu
O foton avancou 467 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.19085e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 34 ***
Interagiu
O foton avancou 211 fatia(s) antes de interagir
percorreu 5.3805e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 35 ***
Interagiu
O foton avancou 116 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.958e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 36 ***
Interagiu
O foton avancou 382 fatia(s) antes de interagir
percorreu 9.741e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 37 ***
Interagiu
O foton avancou 156 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.978e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 38 ***
Interagiu
O foton avancou 66 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.683e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 39 ***
Interagiu
O foton avancou 167 fatia(s) antes de interagir
percorreu 4.2585e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 40 ***
Interagiu
O foton avancou 794 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.0247e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 41 ***
Interagiu
O foton avancou 423 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.07865e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 42 ***
Interagiu
O foton avancou 512 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.3056e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 43 ***
Interagiu
O foton avancou 462 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.1781e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 44 ***
Interagiu
O foton avancou 147 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.7485e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 45 ***
Interagiu
O foton avancou 117 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.9835e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 46 ***
Interagiu
O foton avancou 94 fatia(s) antes de interagir
percorreu 2.397e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 47 ***
Interagiu
O foton avancou 419 fatia(s) antes de interagir
percorreu 1.06845e-005 cm dentro do obstaculo
*** Foton 48 ***
27
Interagiu
O foton avancou 129 fatia(s) antes de interagir
percorreu 3.2895e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 49 ***
Interagiu
O foton avancou 300 fatia(s) antes de interagir
percorreu 7.65e-006 cm dentro do obstaculo
*** Foton 50 ***
Interagiu
O foton avancou 208 fatia(s) antes de interagir
percorreu 5.304e-006 cm dentro do obstaculo
Interagiram na fileira 1 : 37
Interagiram na fileira 2 : 10
Interagiram na fileira 3 : 3
Interagiram na fileira 4 : 0
Interagiram na fileira 5 : 0
Interagiram na fileira 6 : 0
Interagiram na fileira 7 : 0
Interagiram na fileira 8 : 0
Interagiram na fileira 9 : 0
Interagiram na fileira 10 : 0
0 fotons nao interagiram
O espaco medio percorrido foi de 1.09168e-007 cm
13 fotons atravessaram a primeira fileira
O coeficiente de atenuacao para a primeira fileira e 134707 cm^(-1)
28