FACULDADE DE PARÁ DE MINAS
Curso de Matemática
Juliana Aparecida Gonçalves
DIFICULDADE DOS ALUNOS QUE INICIAM NO ESTUDO DA ÁLGEBRA
Pará de Minas
2013
Juliana Aparecida Gonçalves
DIFICULDADE DOS ALUNOS QUE INICIAM NO ESTUDO DA ÁLGEBRA
Monografia apresentada à coordenação de
Matemática da Faculdade de Pará de Minas
como requisito parcial para a conclusão do
curso de Matemática.
Orientador: Prof. Mestre Tânia A. F. Hanke
Pará de Minas
2013
Juliana Aparecida Gonçalves
DIFICULDADE DOS ALUNOS QUE INICIAM NO ESTUDO DA ÁLGEBRA
Monografia apresentada à coordenação de
Matemática da Faculdade de Pará de Minas
como requisito parcial para a conclusão do
curso de Matemática.
Aprovada em ____ / ____ / ____
BANCA EXAMINADORA
___________________________________________________
Prof. Mestre Tânia Aparecida Ferreira Hanke
Orientadora
___________________________________________________
Prof. Esp. Daniela Alves da Silveira Moura
Examinadora
Dedico este trabalho com muito amor, à minha
mãe Eva e ao meu namorado Rafael pela ajuda e
incentivo.
AGRADECIMENTOS
A Deus, meu eterno protetor, por me iluminar e abençoar minha trajetória.
A minha mãe Eva, pelo apoio, pelas orações e por tudo que sempre fez por mim, pela
simplicidade, exemplo, amizade, e carinho, fundamentais na construção do meu
caráter.
A meu pai, que mesmo não estando entre nós, sei que está com muito orgulho me
guiando sempre nesta longa caminhada.
Aos meus irmãos, especialmente ao Célio, por sempre estar à disposição para me levar
ou buscar na faculdade quando era necessário.
A toda a minha família por me ajudar em dificuldades que surgiram no caminho em que
sozinha não seria possível vencê-las.
Ao meu amado Rafael, pela paciência, ajuda e incentivo que sempre me impulsionou a
seguir em frente.
A professora e orientadora, Tânia Hanke, por toda a ajuda na construção deste
trabalho, estando sempre a disposição para aconselhar no que fosse preciso.
Aos professores, em especial ao Anderson, a Andréia e a Dani, por nos passar toda a
dedicação e o saber que um professor precisa, acompanhando desde o início até a
conclusão deste sonho!
Aos colegas de sala, em especial a Aninha, pelo companheirismo e amizade,
proporcionando momentos inesquecíveis.
A todos que de alguma forma ajudaram, e que não foram citados aqui, agradeço por
acreditarem em mim e me apoiarem nesta caminhada.
A todos, MUITO OBRIGADA!
“Os números dominam o mundo.”
(Platão)
RESUMO
O objetivo dessa pesquisa foi verificar quais as maiores dificuldades apresentadas por
alunos do 8º ano na aplicação do conhecimento algébrico. Para isso, foi utilizada uma
metodologia qualitativa, onde para a construção do referencial teórico foram utilizados
os estudos de Booth (1995), Guelli (2000), Fiorentini (1992 e 1993) e Usiskin (1995)
com o propósito de entender um pouco mais sobre: o ensino da álgebra, o
desenvolvimento do pensamento algébrico e as dificuldades na compreensão da
álgebra. Além disso, foram pesquisados os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998)
com o intuito de viabilizar uma discussão sobre o processo ensino-aprendizagem da
álgebra no ensino fundamental. Para finalizar esta pesquisa uma atividade algébrica foi
aplicada em uma turma de 8º ano de uma escola pública de Pará de Minas e as
respostas apresentadas pelos alunos são analisadas ao final dessa pesquisa.
Palavras-chave: Ensino, erros, pensamento algébrico, atividades.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Atividade de iniciação algébrica ...................................................................... 11
Figura 2- Cálculo de área ............................................................................................... 27
Figura 3- Alunos desenvolvendo as atividades .............................................................. 28
Figura 4- Resolução atividade 1 ..................................................................................... 29
Figura 5- Resolução atividade 2 ..................................................................................... 30
Figura 6- Outra resolução atividade 2 ............................................................................ 30
Figura 7- Resolução atividade 3 ..................................................................................... 31
Figura 8- Outra resolução atividade 3 ............................................................................ 31
Figura 9- Resolução atividade 4 ..................................................................................... 32
Figura 10- Outra resolução atividade 4 .......................................................................... 33
Figura 11- Resolução atividade 5 ................................................................................... 33
Figura 12- Resolução atividade 6 ................................................................................... 34
Figura 13- Resolução parcial atividade 6 ....................................................................... 36
Figura 14- Outra resolução parcial atividade 6 ............................................................... 36
Figura 15- Gráfico de erros cometidos nas atividades ................................................... 38
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Exemplo de cálculo na linguagem retórica ..................................................... 16
Tabela 2- Exemplo de cálculo na linguagem retórica usando o “montão” ...................... 17
Tabela 3- Exemplo de cálculo na linguagem sincopada ................................................ 18
Tabela 4- Exemplo de cálculo na linguagem simbólica .................................................. 18
Tabela 5- Concepções e a relação com o uso das variáveis ......................................... 24
Tabela 6- Erros e acertos cometidos nas atividades ...................................................... 38
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 10
2 TRAJETÓRIA DA PESQUISA .................................................................................... 13
3 ÁLGEBRA E SEU ENSINO NO BRASIL.................................................................... 15
3.1 História da álgebra ................................................................................................. 15
3.1.1 Álgebra retórica ..................................................................................................... 15
3.1.2 Álgebra sincopada ................................................................................................. 17
3.1.3 Álgebra simbólica .................................................................................................. 18
3.2 O ensino da álgebra no Brasil ............................................................................... 19
3.3 A construção do pensamento algébrico .............................................................. 21
3.3.1 O desenvolvimento do pensamento algébrico ....................................................... 21
3.3.2 Concepções para o ensino da álgebra .................................................................. 22
3.4 Dificuldades na compreensão da álgebra ............................................................ 25
3.4.1 Erros mais frequentes cometidos em álgebra no ensino fundamental .................. 26
4 COLETA E ANÁLISE DE DADOS ............................................................................ 27
4.1 Organização dos alunos........................................................................................ 28
4.2 Análise das atividades ........................................................................................... 29
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 40
REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 41
ANEXO A – ATIVIDADE DE PESQUISA ...................................................................... 43
10
1 INTRODUÇÃO
Quando iniciei meu curso superior, tive bastante dificuldade em entender o
pensamento algébrico, em particular, a resolução de problemas que envolvem uma
tradução da linguagem escrita para a linguagem algébrica. Quando fui para a sala de
aula realizar meu estágio supervisionado na rede pública, pude observar que a
dificuldade que tive nesse conteúdo não podia ser considerada irrelevante, visto que os
alunos apresentavam grande insucesso com os procedimentos que fazem parte do
contexto algébrico devido sua introdução ser a partir do conhecimento aritmético formal,
com foco na adição, subtração, multiplicação e divisão, utilizando muitas vezes os
números para cálculos mecanizados sem relação nenhuma com o cotidiano. De
maneira geral os alunos são induzidos a desenvolverem habilidades numéricas,
iniciando-se o estudo da álgebra apenas no 7º ano, havendo uma mudança brusca nas
operações matemáticas com a introdução dos cálculos algébricos, causando um
momento de grande ansiedade para muitos alunos, pois eles são desafiados a
abandonar o raciocínio puramente aritmético e começar a pensar algebricamente.
Lins e Gimenez (2005), afirmam que na educação matemática há uma prática
preocupante e prejudicial, ou seja, é necessário aprender antes a aritmética para depois
pensar algebricamente. Estes autores apresentam como tendência para o século XXI,
que o ensino da aritmética e álgebra ocorra junto de forma integrada e com isso, a
produção de significados. “[...] é preciso começar mais cedo o trabalho com álgebra, e
de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no
desenvolvimento da outra”. (p.10).
Quando se propõe o início do ensino de álgebra concomitantemente ao ensino
de aritmética e de forma natural, este ensino não terá uma abordagem simbólica de
difícil compreensão, mas sim a exploração de situações que propiciem ao aluno a
observação de regularidades em diversas situações dentro da aritmética para que ao
chegar no 7º ano, a álgebra seja mais facilmente entendida. Como podemos observar a
seguir na figura 1.1.
11
Figura 1- Atividade de iniciação algébrica
D
B
C
-
A
Fonte: Arquivo do autor
Quando o aluno resolve esse tipo de atividade dentro do contexto aritmético ele
também está iniciando seu pensamento algébrico, onde ele terá que montar estratégias
para encontrar os resultados de cada letra, desenvolvendo assim seu raciocínio lógico.
Na aritmética existe uma propriedade denominada fechamento, ou seja, a
resposta é sempre numérica, o mesmo não ocorre com a álgebra. A álgebra estabelece
procedimentos numa forma simplificada geral. Essa diferença apresentada por esses
conteúdos causa muita confusão para os alunos, visto que estão acostumados com
respostas fechadas, como cita BOOTH (1995):
“Em aritmética, o foco da atividade é encontrar determinadas respostas
numéricas particulares. Na álgebra, porém, é diferente. Na álgebra o foco é
estabelecer procedimentos e relações e expressá-los numa forma simplificada
geral. [...] Muitos alunos não percebem isso e continuam achando que devem
dar uma resposta numérica”.( BOOTH 1995, p.24)
Tendo a matemática uma linguagem própria, com uma variedade de símbolos,
pode usar uma codificação e a partir daí uma tradução de um problema na linguagem
escrita para a linguagem matemática. Portanto, pude observar durante meu estágio
supervisionado que uma das grandes barreiras enfrentadas pelos alunos no estudo da
álgebra está no processo de passagem de uma situação-problema na linguagem escrita
para a linguagem algébrica.
No estudo da álgebra o aluno utiliza muito esta codificação, pois ela exige uma
interpretação e em seguida uma tradução da linguagem escrita para a linguagem
12
matemática, e muitas das vezes a dificuldade do aluno está na interpretação levando-o
ao erro e causando um desgosto pela matemática.
Pensando nessas ideias, buscando entender um pouco mais destas dificuldades
apresentadas pelos alunos do 8º ano quando trabalham com situações que envolvem o
pensamento algébrico, incluindo os erros na simplificação de expressões algébricas e
na resolução de problemas e equações, resolvi desenvolver meu tema de pesquisa.
Diante desse quadro, fazem-se necessárias algumas reflexões: Quais as
maiores dificuldades demonstradas pelos alunos na aprendizagem da álgebra? De que
forma podemos trabalhar a álgebra de modo a captar a atenção dos alunos e a
promover a aprendizagem?
O objetivo desta pesquisa é verificar quais são as dificuldades que os alunos do
8º ano possuem em relação à aplicação do conhecimento algébrico. Para isso será
analisada a ligação que existe entre a aritmética e a álgebra, o conhecimento do aluno
em operações algébricas, se os alunos conseguem interpretar e simbolizar
matematicamente os conteúdos algébricos através da resolução de problemas e
identificar os erros dos alunos perante a não aceitação das respostas sem fechamento.
O trabalho foi organizado em capítulos, iniciando-se pela introdução. No segundo
capítulo, é possível ver o método utilizado para o desenvolvimento da pesquisa,
incluindo as atividades utilizadas para este fim.
O capítulo três contempla o referencial teórico, onde foram demonstradas as
ideias de diversos autores sobre o conteúdo, destacando toda a evolução da álgebra e
problemas enfrentados para compreendê-la.
No capítulo quatro, iniciou-se o desenvolvimento, onde são demonstradas as
etapas para organização da pesquisa e as atividades já resolvidas pelos alunos, com os
erros cometidos pelos mesmos e a análise deles. Finalizando a pesquisa,
apresentamos as considerações finais com as ideias de como pode ser possível
reverter os constantes erros dos alunos em desenvolver o pensamento algébrico.
13
2 TRAJETÓRIA DA PESQUISA
O trabalho foi realizado com o intuito de verificar e analisar os erros frequentes
dos alunos ao desenvolver o pensamento algébrico e tentar contribuir para a resolução
de tal problema. Neste trabalho foi utilizada uma abordagem qualitativa que julguei
como sendo o melhor método a ser usado, pois ele busca compreender a problemática
através de investigação, examinando o próprio contexto em que ocorre.
“[...] um fenômeno pode ser melhor compreendido no contexto em
que ocorre e do qual é parte, devendo ser analisado numa
perspectiva integrada. Para tanto, o pesquisador vai a campo
buscando “captar” o fenômeno em estudo a partir da perspectiva
das pessoas nele envolvidas, considerando todos os pontos de
vista relevantes.” (GODOY, 1995 p. 21)
Com o intuito de responder à problemática: Quais as maiores dificuldades
demonstradas pelos alunos na aprendizagem da álgebra? Que mecanismos poderá, o
professor, utilizar para melhorar o desenvolvimento do pensamento algébrico? Foi feito
primeiramente uma revisão bibliográfica para fundamentação do mesmo. A revisão
“trata-se de levantamento de toda a bibliografia já publicada, em forma de livros,
revistas, publicações avulsas e imprensa escrita”. (MARCONI E LAKATOS 2011, p.43).
Além disso, foi utilizado o método de observação, que permite um contato direto
com o sujeito da pesquisa, nesse caso, os alunos. Segundo Marconi e Lakatos (2011,
p.111), a observação é um método que “consiste somente em ver e ouvir, mas também
em examinar fatos e fenômenos que se deseja estudar”. Dessa forma, é possível
verificar na sala de aula os erros e dificuldades apresentados pelos alunos, como
também o interesse durante a realização da atividade.
Como forma de obter dados para a observação, foram aplicadas atividades para
uma turma do 8º ano da Escola Estadual Professor Wilson de Melo Guimarães, em
Pará de Minas – MG, onde foi possível observar o grau de dificuldade e erros cometidos
durante a realização da atividade. Após isso, foi feito um relatório onde foram
detalhadas as formas de pensamento dos alunos sobre o conhecimento algébrico.
Segundo Marconi e Lakatos (2002), o relatório “tem a finalidade de dar informações
sobre os resultados da pesquisa, se possível com detalhes, para que eles possam
alcançar a sua relevância”.
14
A atividade foi aplicada no dia 03 de outubro de 2013 às 07 horas e 50 minutos e
contamos com a participação de 20 alunos e da professora substituta, pois a professora
regente havia faltado. A turma foi dividida em grupos de 04 alunos e em seguida os
orientei sobre os procedimentos para realização da mesma. Enquanto os alunos
resolviam as questões, eu e a professora fomos observando e anotando as poucas
indagações que surgiam, pois os alunos não demonstravam dúvidas possivelmente por
timidez. Após o término da atividade que durou aproximadamente 01 hora e 20 minutos
recolhi e analisei o resultado, apresentando-os ao final dessa pesquisa.
15
3 ÁLGEBRA E SEU ENSINO NO BRASIL
3.1 História da álgebra
Segundo Baumgart (1992), o matemático árabe al-Khowarizmi escreveu o livro
Hisab al-jabr w’al-muqabalah cujo título deu o nome de álgebra. Ela surgiu para atender
a necessidade do homem de calcular quando apenas o cálculo aritmético não era mais
suficiente. Porém a humanidade levou séculos para criar uma linguagem simbólica. O
desenvolvimento da álgebra evoluiu em três estágios: retórico ou verbal, sincopada
onde utilizava palavras abreviadas e o simbolismo.
No decorrer da história da matemática, surgiram importantes obras que fazem
parte dos aspectos históricos da álgebra.
Serão demonstrados para um melhor entendimento alguns exemplos sobre cada
etapa da história da álgebra, onde nota-se claramente o estilo que as antigas
civilizações usavam para fazer os cálculos no dia a dia.
3.1.1 Álgebra retórica
Com evidências de que a álgebra se originou na Babilônia, o exemplo do estilo
retórico a ser utilizado será daquela região. Com ele podemos notar o evidente grau de
sofisticação da álgebra babilônica. Este exemplo é apenas um dos que foram
encontrados em escrita cuneiforme, em tábulas de argila que sugerem o tempo do rei
Hammurabi (c. 1700 a.C.). A explicação é feita em português e é usada a notação
decimal indo-arábica no lugar da notação sexagesimal cuneiforme. Na coluna a direita
podemos notar as passagens correspondentes na maneira como utilizamos hoje
(BAUMGART; 1992).
16
Tabela 1- Exemplo de cálculo na linguagem retórica
Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área:
252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.
Dado: 32 soma; 252 área.
x+y=k
xy = P
Resposta: 18 comprimento, 14 largura.
Segue-se este método: Tome metade de
32 (que é 16).
k
2
16 x 16 = 256
k
 
2
2
2
k
 
2
256 – 252 = 4
A raiz quadrada de 4 é 2.
P t
2
2
k
 
2
16 + 2 = 18 comprimento.
P t
k
 t  x.
2
16 – 2 = 14 largura.
k
 t  y.
2
Prova: Multipliquei 18 comprimento por
14 largura.
k
 k

 t  t =
2  2 
2
k t
4
2
 P  xy.
18 x 14 = 252 área
Fonte: BAUMGART (1992), p. 04 e 05.
Outra maneira utilizada no período da álgebra retórica é conhecida como a “regra
do falso”, onde utilizavam um termo diferente para denominar o número a ser
encontrado, chamando-o de “montão”.
Por volta de 3600 anos atrás, um escriba que vivia no Egito chamado Aahmesu,
era conhecido no meio científico como Ahmes, e é o autor do Papiro de Ahmes, uma
das obras de matemática mais antigas que se tem notícia (GUELLI, 2000).
17
Ainda segundo Guelli (2000), os problemas do Papiro de Ahmes referiam-se em sua
maior parte a assuntos cotidianos dos antigos egípcios como, por exemplo, o preço do
pão e da cerveja. Porém alguns eram do tipo “Determinar um número tal que...”, os
quais não faziam referência a coisas concretas, mas sim aos próprios números, como
podemos ver no exemplo abaixo.

Problema: Um montão, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26.
Digam-me: Qual é a quantidade?

Para um melhor entendimento, podemos traduzir para a álgebra atual, que ficaria
x 2x

 26 .
2 3
assim: x 

Resolvendo o problema no modo dos egípcios, usaremos a “regra do falso”, um
modo muito engenhoso de se resolver sem o uso da álgebra.
 Primeiro, atribui-se um valor falso ao “montão”, por exemplo, 18.
18 
1
2
 18   18  18  9  12  39
2
3
 Os valores falsos são 18 e 39 e serão usados em uma regra de três
simples junto aos elementos do problema.
Tabela 2- Exemplo de cálculo na linguagem retórica usando o “montão”
Valor falso
Valor verdadeiro
18
Montão
39
26
Fonte: GUELLI (2000), p. 09.
18 montão
468

 montão  39  18  26  montão 
 montão  12
39
26
39
3.1.2 Álgebra sincopada
Segundo Baumgart (1992), não se sabe ao certo quando começaram a surgir os
trabalhos de Diofanto, alguns especialistas falam em III d.C., outros em I d.C. O que se
sabe é que ele foi um matemático grego que trabalhou como residente na Universidade
18
de Alexandria, no Egito, e que iniciou o uso do simbolismo algébrico que iria substituir a
álgebra verbal ou retórica.
De acordo com Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), essa forma de expressar o
pensamento teria surgido com Diofanto de Alexandria, pois ele foi o primeiro a utilizar
um símbolo como incógnita (o sigma, do alfabeto grego). Organizou também de
maneira mais abreviada e concisa, para facilitar o modo de expressar suas equações.
Tabela 3- Exemplo de cálculo na linguagem sincopada
Símbolos atuais
Símbolos de Diofante
x + 3 = 18
x1 u3 é igual a u18
x – 2 = 12
x1 M u2 é igual a u12
x + 3 = 12 – x
x1 u3 é igual a u12 M x1
x–9=7–x
x1 M u9 é igual a u7 M x1
Fonte: GUELLI (2000), p. 24
.
3.1.3 Álgebra simbólica
François Viète era apaixonado por álgebra e teve participação fundamental na
introdução dos símbolos no mundo da matemática. Com isso passou a ser conhecido
como o Pai da Álgebra. Simplificando a escrita, Viète foi substituindo as palavras por
vogais, passando a representar a incógnita com uma vogal e as palavras menos e mais
por p e m (GUELLI, 2000).
Tabela 4- Exemplo de cálculo na linguagem simbólica
Símbolos atuais
Símbolos de Viète
x + 4 = 10
A p 4 é igual a 10
3x – 6 = x
A3 m 6 é igual a A
Fonte: GUELLI (2000), p. 29
De acordo com Guelli (2000), foi através de François Viète que a matemática
passou a ter como objeto de estudo as próprias expressões algébricas, no lugar de ser
19
usada apenas para problemas numéricos. Essa simbologia é utilizada até hoje no
ensino da álgebra.
3.2 O ensino da álgebra no Brasil
Os problemas enfrentados nos dias atuais no ensino da álgebra no Brasil podem
ser um reflexo da evolução da álgebra desde a sua introdução no currículo escolar até
nos dias atuais. Devido a esse fato, faz-se necessário uma breve retrospectiva para se
entender o que acontece hoje com o seu ensino.
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a preocupação legal de
introduzir a álgebra no ensino brasileiro, ocorre com a Carta Régia de 19 de agosto de
1799. A álgebra seria introduzida na forma de aulas avulsas, ao lado de outras
disciplinas já existentes como a aritmética, a geometria e a trigonometria.
E foi no início do século XIX, que pela primeira vez o estudo da álgebra é
inserido no ensino secundário brasileiro. Contudo, a união das quatro disciplinas
receberia a denominação comum “Matemática”, através da Reforma Francisco
Campos1.
Apesar dos avanços da álgebra, desde o início do seu estudo até o início da
década de 60, quando se inicia o Movimento da Matemática Moderna 2, o seu ensino
era de caráter mecânico e reprodutivo, sem nenhuma clareza, o que mostra que era um
conteúdo considerado irrelevante. Como afirmam Miguel, Fiorentini e Miorim (1992,
p.40):
“A maioria dos professores ainda trabalha a álgebra de forma mecânica e
automatizada, dissociada de qualquer significação social e lógica, enfatizando
simplesmente a memorização e a manipulação de regras, macetes, símbolos e
expressões – tal como ocorria a várias décadas, mostra que seu ensino não
tem recebido a devida atenção”.
1
Reforma Francisco Campos: Em 1931, estabeleceu definitivamente o currículo seriado, a frequência
obrigatória, o ensino em dois ciclos: um fundamental, com duração de cinco anos, e outro complementar,
com dois anos, e ainda a exigência de habilitação neles para o ingresso no ensino superior (UnB, 2010).
2
Movimento da Matemática Moderna: Professores de Matemática que defendiam as ideias de
modernização dessa disciplina escolar e tinha como tarefa principal estruturar as ideias discutidas pelos
seus membros durante os eventos organizados pelo grupo (PUC-PR).
20
O Movimento da matemática moderna, ocorrido na década de 60, tinha como um
dos seus objetivos a unificação dos três ramos da matemática: álgebra, geometria e
aritmética, através da introdução de elementos unificadores, como a teoria dos
conjuntos, estruturas algébricas e funções, ela passou a ter um lugar de destaque no
currículo escolar. O seu ensino recebeu um maior rigor e assumiu uma grande
preocupação com os aspectos lógico-estruturais dos conteúdos e a precisão da
linguagem. Perante essa mudança, a álgebra perdeu seu estilo pragmático, relevante
para a resolução de problemas. Contudo, o ensino da álgebra iniciava então pelo
estudo da teoria dos conjuntos e o foco era nas operações e nas suas propriedades.
Segundo Araújo (2008 apud PIRES, 1995, p. 44-45), alguns fatores
caracterizavam a matemática moderna ensinada nas escolas:

Atividades práticas que envolvem aspectos do cotidiano das pessoas
perderam-se de vista;

Aspectos característicos das diferentes culturas, como procedimentos de
cálculos e medidas que as crianças aprendem fora da escola, também
não pareciam merecer qualquer consideração;

Um grande destaque foi conferido à matemática no currículo, ela era
colocada numa posição tal que sua articulação com as demais disciplinas
era mais um problema destas e não dela própria;

Os conteúdos matemáticos eram tratados desvinculados de quaisquer
posturas pedagógicas centradas na socialização dando-lhes uma
abordagem “escolar”.
O processo de algebrização da Matemática Clássica dizia que esse campo da
matemática era preciso, abstrato e mais aplicável. Com isso, a geometria foi deixada de
lado levando quase o seu abandono.
Após a implantação da Matemática Moderna e seu declínio, os educadores
buscaram recuperar o ensino da geometria, esquecendo a importância do ensino da
álgebra. Portanto devido a essa preocupação com a geometria, a álgebra parece
retornar ao papel exercido por ela anteriormente, conforme o citado abaixo:
21
“Mas se, por um lado, na proposta da CENP (Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas) a Geometria passa a dar sustentação à metodologia do
ensino da Aritmética e da Álgebra, por outro lado, o próprio ensino da Álgebra
não apenas perde aquelas características que a Matemática moderna lhe havia
atribuído como também parece retomar - sem, é claro, aquelas regras e aqueles
excessos injustificáveis do algebrismo – o papel que ele desempenhava no
currículo tradicional, qual seja o de um estudo introdutório – descontextualizado
e estático – necessário à resolução de problemas e equações” (MIGUEL,
FIORENTINI E MIORIM, 1992, p.51).
A álgebra nos dias atuais ocupa um lugar satisfatório nos livros didáticos, mas
acredito que as reflexões sobre o seu ensino não conseguiram minimizar a dificuldade
que os alunos apresentam em compreender seus conceitos e procedimentos.
3.3 A construção do pensamento algébrico
Há controvérsias no que pode ser considerado como parte da álgebra ou não.
Para chegar a uma conclusão sobre o assunto, depende do que é considerado como
realmente importante na álgebra e como é encarado o processo de ensino e
aprendizagem.
3.3.1 O desenvolvimento do pensamento algébrico
Podemos notar nos Parâmetros Curriculares Nacionais [PCN] (1998) a
importância que a matemática exerce no contexto histórico-social:
A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no
mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da
construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e
cultural. Esta visão opõe-se àquela presente na maioria da sociedade e na
escola que considera a Matemática como um corpo de conhecimento imutável e
verdadeiro, que deve ser assimilado pelo aluno. A Matemática é uma ciência
viva, não apenas no cotidiano dos cidadãos, mas também nas universidades e
centros de pesquisas, onde se verifica, hoje, uma impressionante produção de
novos conhecimentos que, a par de seu valor intrínseco, de natureza lógica,
têm sido instrumentos úteis na solução de problemas científicos e tecnológicos
da maior importância (PCN, 1998, p. 24).
Sabendo então dessa importância, devemos partir para um entendimento de
problemas que ocorrem no ensino da matemática, em especial nas questões
relacionadas à aritmética e a álgebra.
22
Segundo Barbosa (apud MIORIM, 1998), podemos dizer que o ensino e a
aprendizagem da álgebra encontram dificuldades quando o aluno não é instruído a
entender a importância da álgebra, o que ocorre pelo fato de o professor não incentiválo, dando mais atenção para o mecanismo de desenvolvimento de expressões e
equações algébricas. Desta forma, o aluno estará aprendendo apenas a fazer cálculos,
enquanto na verdade poderia estar criando uma habilidade de resolver situações
cotidianas.
Conforme Lins e Gimenez (1997) existe uma prática não recomendada no ensino
da Matemática de que a aritmética deve ser ensinada antes da álgebra. Os autores
defendem que a álgebra e a aritmética devem estar ligadas entre si e ao mesmo tempo
com o mundo ao redor do aluno, para que ele tenha condição de aplicá-la fora da sala
de aula.
Esta ligação a qual o autor defende está relacionada também ao entendimento
do aluno quando tem pela frente a interpretação das letras, entendimento esse que só a
álgebra pode proporcionar.
As atividades algébricas propostas no ensino fundamental devem possibilitar
que os alunos construam seu conhecimento a partir de situações-problema que
confiram significados à linguagem, aos conceitos e procedimentos referentes a
esse tema, favorecendo o avanço do aluno quanto a diferentes interpretações
das letras. (BRASIL, 1998, p. 121-122)
Dessa forma, os PCN do 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental sugerem que
nessa fase, a álgebra deve dar condições para que o aluno aprenda o simbolismo
algébrico, para tanto a álgebra deve ser trabalhada em todas as suas dimensões.
3.3.2 Concepções para o ensino da álgebra
Os alunos demonstram certa dificuldade em entender a concepção exata da
álgebra, pensando que uma letra sempre representa um número, ou que todas as
variáveis são letras, o que não é verdade como podemos ver na citação abaixo:
23
“Muitos alunos acham que todas as variáveis são letras que representam
números. Contudo, os valores assumidos por uma variável nem sempre são
números, mesmo na matemática do 2º grau. Na geometria, as variáveis muitas
vezes representam pontos, como se vê no uso de A, B e C, quando
escrevemos “Se AB = BC, então o  ABC é isósceles”. Na lógica, as variáveis
p e q muitas vezes representam proposições; na análise, a variável f muitas
vezes representa uma função; na álgebra linear, a variável A pode representar
uma matriz, ou a variável v, um vetor; e em álgebra superior a variável  pode
representar uma operação. O último exemplo mostra que não há necessidade
de representar as variáveis por letras.” (USISKIN, 1995, p.11)
Segundo Usiskin (1995), a álgebra possui diferentes concepções que
determinam a importância dos diversos usos das variáveis, sendo quatro concepções
ao todo:

Álgebra como aritmética generalizada: Nada mais é do que uma ampliação das
ideias aritméticas, a maneira como são compreendidos os objetos algébricos.
Por exemplo, o aluno generaliza que a + b = b + a ou 1  2 + 3 = 3 + 2  1.

Álgebra como estudo de métodos para resolver certos tipos de problemas: Esta
é a manifestação mais comum da álgebra em aulas de matemática, onde o
aluno deve entender qual o modo ele deve usar para solucionar problemas
ligados a álgebra, sendo contextualizados ou não. Por exemplo: Adicionando 10
ao dobro de um número, encontramos 40. Qual é este número?

A álgebra como estudo de relações entre grandezas: Esta concepção trata mais
dos assuntos ligados à função, verificando a relação entre grandezas. Exemplo:
Um caminhão deve levar uma carga de uma cidade à outra que ficam a 350 km
uma da outra.
Supondo que ele consiga manter-se sempre no limite de
velocidade que a pista oferece, ache a função que demonstra o tempo da
viagem em função da velocidade. Neste exemplo, possuímos como grandezas a
velocidade e o tempo e precisamos entender qual a relação que existe entre
elas, onde a velocidade nos fornece um dado, pois como é medida em km / h,
quer dizer que a cada hora o caminhão percorre certa distância (no nosso caso,
sempre será a mesma distância, pois o caminhão mantém a mesma
velocidade). Assim podemos definir que a função será t = 350 / v, onde t é o
tempo gasto na viagem e v é a velocidade do caminhão.
24

A álgebra como estudo das estruturas: Neste caso, nada mais é do que
manipulação algébrica, onde o aluno deve ter conhecimento das propriedades
da matemática. Exemplo: Fatorar 6x² + 26ax + 24a², que ficaria (2x + 6a) (3x +
4a).
Veja abaixo na tabela 5 as concepções e a relação com os usos das varáveis:
Tabela 5- Concepções e a relação com o uso das variáveis
Concepções da álgebra
Aritmética generalizada
Meio de resolver certos problemas
Estudo de relações
Estrutura
Uso das variáveis
Generalizadoras de modelos
(traduzir, generalizar)
Incógnitas, constantes
(resolver, simplificar)
Argumentos, parâmetros
(relacionar, gráficos)
Sinais arbitrários no papel
(manipular, justificar)
Fonte: Usiskin (1995, p.20)
Isso tudo está em concordância com os PCN (1998), quando exaltam a
necessidade de trabalhar estes quesitos da álgebra, utilizando especialmente as
situações-problema, o que não ocorre nas salas de aula, onde a ênfase é maior em
cálculos algébricos e equações.
“Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos de
álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as
atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações-problema,
o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões
aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver
problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de
equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas,
tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para
resolução) de uma equação”. (BRASIL, 1998 p. 50 - 51)
Acreditamos que quando a álgebra não é trabalhada sobre todas essas
concepções, seu ensino fica falho e acarreta uma série de dificuldades para sua
compreensão.
25
3.4 Dificuldades na compreensão da álgebra
Conforme um estudo feito na Inglaterra, onde foram relatadas lembranças de
alguns adultos sobre a experiência em aprender matemática na escola, muitos deles
consideram a matemática como sendo uma das matérias mais difíceis, e uma das
razões para este pensamento pode ser porque acham a álgebra difícil. Podemos ver
isso lendo um comentário contido neste estudo, onde a álgebra “é uma fonte de
confusão e atitudes negativas consideráveis entre os alunos”. (BOOTH, 1995).
A forma mais fácil de descobrir quais os motivos dos alunos terem este
pensamento que a álgebra é difícil foi aplicando testes e verificando quais os erros mais
cometidos por eles e qual a razão destes erros, objetivo deste trabalho.
Segundo Booth (1995), os alunos confundem muito a aritmética e a álgebra, ao
pensarem que a resposta sempre será numérica. Enquanto na aritmética as atividades
visam encontrar as respostas numéricas, na álgebra nem sempre isso é possível. No
geral, ela tem como foco encontrar uma maneira para simplificar o que se pede.
Outros erros que ocorrem com frequência pelos alunos são as dificuldades com
os símbolos operatórios, conforme destaca PONTE (2005):
Outra dificuldade, ainda, é compreender as mudanças de significado, na
Aritmética e na Álgebra, dos símbolos + e =, bem como das convenções
adotadas; assim, em Aritmética, 23 tem um significado aditivo (20 + 3),
enquanto que em Álgebra 2x tem um significado multiplicativo (2 x x); em
Aritmética 3 + 5 significa uma “operação para fazer” (cujo resultado é 8), mas
em Álgebra x + 3 representa uma unidade irredutível (enquanto não se
concretizar a variável x) (PONTE, 2005, p. 39).
A aritmética leva a números e a álgebra a simplificações. Mas uma não está
desligada da outra, pois devemos encarar a álgebra como sendo a “aritmética
generalizada”, conforme destaca BOOTH (1995):
“Nisso está a fonte das dificuldades. Para compreender a generalização das
relações e procedimentos aritméticos é preciso primeiro que tais relações e
procedimentos sejam apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não forem
reconhecidos, ou se os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles,
seu desempenho em álgebra poderá ser afetado” (p. 33).
26
As dificuldades dos alunos não estão literalmente na álgebra, mas em confusões
causadas por problemas na compreensão da aritmética.
3.4.1 Erros mais frequentes cometidos em álgebra no ensino fundamental
Existem várias possibilidades que levam os alunos a cometer os erros no
raciocínio algébrico e é necessário investigar qual o motivo dele. Ele pode ser pela falta
de interesse em matemática, pela falta do conhecimento matemático, pela falta de
compreensão da linguagem ou pela falta do entendimento da simbologia matemática.
Para melhorar a aprendizagem da matemática, o professor deve utilizar recursos para
verificar qual dificuldade encontrada pelo aluno (BRUM, 2013).
Outro fato que ocorre é o uso de métodos informais pelos alunos na resolução de
problemas aritméticos, o que leva o aluno a ter implicações negativas na habilidade de
solucionar problemas algébricos, como relata Booth (1995):
“Se um aluno geralmente não determina o número total de elementos de dois
conjuntos de, digamos, 35 e 19 alunos utilizando a noção de adição, como 35 +
19, mas resolve o problema, utilizando o processo de contagem, então é pouco
provável que o número total de elementos de dois conjuntos de x e y elementos
seja prontamente representado por x + y.” (p. 35).
Para resolver este problema, deve ser mostrado ao aluno que este método
informal utilizado serve pra solucionar alguns cálculos, mas quando existem grandes
quantias para se calcular este método não irá funcionar, sendo necessário o
reconhecimento do aluno da necessidade de aprender a utilizar o método formal.
Existe também o pensamento errado de muitos alunos que a sequência como o
exercício está escrito, é o que determina a ordem em que os cálculos devem ser
efetuados. Booth (1995) utilizou como exemplo o cálculo das medidas de um retângulo
com os lados medindo a + m e p:
27
Figura 2- Cálculo de área
Fonte: Booth (1995)
Neste exemplo, os alunos muitas vezes esquecem a importância dos parênteses
e demonstram a área desse retângulo como sendo p x m + a.
“Consequentemente, escrevem-se incorretamente expressões algébricas que
necessitam de parênteses (por exemplo, p x a + m em vez de p x (a + m)), o
que pode acarretar outros erros quando a expressão é simplificada (por
exemplo, p x a + m poderá então ser reescrita, erradamente nesse contexto,
como pa + m). Nesse caso o erro é fruto menos de concepções algébricas
erradas do que de uma visão incorreta da representação aritmética” (BOOTH,
1995, p. 34).
Ainda segundo Booth (1995), os alunos possuem uma dificuldade em relação à
ausência de um fechamento, onde muitos tendem a simplificar a expressão 2a + 5b
para 7ab.
Com o intuito de aprofundarmos mais em nossas discussões sobre os principais
erros cometidos em álgebra e suas causas, realizamos uma pesquisa de campo e a
seguir apontamos alguns resultados pertinentes à nossa investigação.
4 COLETA E ANÁLISE DE DADOS
A pesquisa foi realizada com uma turma do 8º ano do ensino fundamental da
Escola Estadual Professor Wilson de Melo Guimarães, no dia 03 de outubro de 2013,
às 07 horas e 50 minutos. A professora responsável pela turma nos horários de
matemática não estava presente no dia, sendo substituída pela professora de educação
física do mesmo colégio. Estavam presentes e participaram da pesquisa apenas vinte
alunos, pois alguns haviam faltado. Os mesmo foram separados em cinco grupos com
quatro alunos cada. O intuito do trabalho foi a aplicação das atividades e observação
28
dos alunos para verificar os comentários de possíveis dificuldades de cada um, mas a
observação não foi possível, pois quando alguém chegava próximo a eles, os mesmos
paravam de falar com receio de que estavam sendo observados. Com isso, requisitouse que os alunos descrevessem em cada questão o método para resolução que haviam
utilizado.
Após realizar a pesquisa com os alunos, foi possível relatar aqui alguns dados
coletados. Foram utilizadas algumas atividades para verificar dificuldades existentes no
aprendizado da álgebra, envolvendo a utilização do simbolismo algébrico e as maneiras
que os alunos utilizam para transformar a linguagem corrente para a algébrica, assim
como entre a algébrica e a aritmética também. Foi feita uma análise qualitativa,
utilizando os dados obtidos no teste onde constam descrições dos alunos, mostrando
os métodos que utilizaram para resolver os problemas.
4.1 Organização dos alunos
Primeiramente, os alunos foram instruídos sobre a importância do teste e sobre a
responsabilidade em responder com seriedade as questões para não interferir nas
análises e resultados. Para realizar as atividades, os alunos foram separados em
grupos, onde os mesmos tiveram a liberdade de escolher em qual queria ficar. Logo
após iniciaram-se as atividades e os alunos tiveram tempo livre para resolvê-las,
gastando 1 hora e 20 minutos.
Figura 3- Alunos desenvolvendo as atividades
Fonte: Arquivo do autor
29
4.2 Análise das atividades
Os alunos apresentaram muitas dúvidas durante a realização das atividades,
mas foram orientados a tentar resolver sem nenhuma ajuda. Ocorreram diversos erros,
muitos deles bem próximos, mostrando uma homogeneidade no modo de pensar, mas
como dito, de modo errado.
Utilizando uma situação rotineira, a primeira atividade buscava verificar se o
aluno conseguia transformar a linguagem corrente para a linguagem simbólica,
formando assim uma expressão algébrica. Esperava-se que os alunos pensassem em
dinheiro inicial e gastos, para alcançar a resolução.
Figura 4- Resolução atividade 1
Resolução apresentada pelo grupo 2
O aluno do grupo dois, que resolveu o exercício mostrado na figura 4, não
conseguiu a transformação entre as linguagens corrente e algébrica, tendo um
raciocínio apenas entre o dinheiro inicial e o dinheiro gasto, colocando-os como sendo
uma igualdade, esquecendo que o objetivo da atividade era demonstrar a expressão
que representasse o dinheiro inicial menos os gastos. Além disso, vários alunos usaram
a potenciação no lugar da multiplicação para representar a quantidade de unidades
gasta. Há uma ideia nos alunos de que toda expressão deve chegar a uma igualdade e
isso coíbe os pensamentos deles de aceitar uma simples expressão como resposta.
Nessa atividade, nenhum dos alunos conseguiu resolver de forma correta,
apresentando muita dificuldade em compreendê-la.
Na segunda atividade, os alunos deveriam reduzir um polinômio, mostrando seus
conhecimentos em relação à simplificação de expressões. Isso ocorre na manipulação
30
algébrica, onde é necessária a observação dos coeficientes numéricos e as partes
literais.
Figura 5- Resolução atividade 2
Resolução apresentada pelo grupo 2
O aluno que resolveu esta atividade da figura 5, que também faz parte do grupo
dois, mostrou que sabe simplificar uma expressão sem maiores dificuldade, relatando o
perfeito entendimento de como deve ser feita a atividade. Os demais grupos
apresentaram dificuldade e não conseguiram solucionar a questão, como pode ser visto
como exemplo a figura 6 abaixo.
Figura 6- Outra resolução atividade 2
Resolução apresentada pelo grupo 4
Os alunos dos outros grupos mostraram novamente a dificuldade em aceitar uma
expressão como resposta, buscando chegar a uma igualdade. Quando precisou
diferenciar os termos em relação às letras que cada um possuía, este aluno do grupo 4
citado no exemplo acima começou de forma correta, cometendo apenas o erro de
inversão de sinais. Mas ao juntar tais termos, uniu diferentes partes literais e alterou o
andamento da resolução. Isso demonstra uma possibilidade futura de erros onde os
alunos terão que trabalhar com variáveis diferentes.
31
A terceira atividade utiliza novamente uma situação rotineira para auxiliar o aluno
no entendimento da situação-problema, onde deveria criar um polinômio para
demonstrar o que era solicitado.
Figura 7- Resolução atividade 3
Resolução apresentada pelo grupo 2
O aluno da figura 7, que fazia parte do grupo dois mostrou o correto
entendimento da atividade, dando “nome” a cada objeto conseguindo assim montar
seus polinômios. Demonstrou também atenção em relação à inversão na sequência dos
personagens, fato que normalmente gera erros nas atividades resolvidas pelos alunos.
Figura 8- Outra resolução atividade 3
Resolução apresentada pelo grupo 1
32
No caso do aluno do grupo um mostrado na figura 8 acima, pode-se notar o total
desentendimento da questão, levando a crer que a resposta dada serviu apenas para
não deixar a questão em branco. Isso pode ser notado inclusive pela falta de atenção
na sequência dos personagens. Os demais grupos também não chegaram a conclusão
nenhuma, onde alguns deixaram a questão em branco.
A quarta atividade desafiava o aluno a montar uma equação, pois desta vez,
havia uma igualdade. Ele deveria entender a necessidade da incógnita para descobrir o
número e organizar os dados com as operações corretas para depois desenvolver o
cálculo. Alguns acertaram, mas podemos ver abaixo na figura 9 um erro frequente ao
entender que o resultado expressado na atividade, seria o valor da incógnita. Ao todo,
dois grupos conseguiram resolver a atividade e o demais não resolveram a questão
corretamente.
Figura 9- Resolução atividade 4
Resolução apresentada pelo grupo 5
O aluno que fez parte do grupo cinco chegou a montar a equação corretamente,
mas ao pensar que a incógnita era igual à zero (confundindo com o valor descrito na
atividade onde a equação seria igual à zero), continuou a calcular com um valor
inexistente, levando-o ao erro. Podemos notar também um erro aritmético na questão,
onde o aluno somou os termos antes de resolver a multiplicação existente,
esquecendo-se da prioridade nas operações.
Ainda na atividade quatro, foi possível notar na figura 10, o raciocínio de um
aluno que propôs ao grupo solucionar o problema utilizando possibilidades, onde
seriam atribuídos valores para a incógnita até encontrar o valor correto, porém o grupo
optou por resolver utilizando-se do simbolismo algébrico.
33
Figura 10- Outra resolução atividade 4
Resolução apresentada pelo grupo 2
Na quinta atividade, os alunos novamente não aceitaram a resposta sem
fechamento, onde teriam apenas que somar os termos semelhantes das expressões
contidas na atividade, sendo assim nenhum grupo teve êxito na questão.
Figura 11- Resolução atividade 5
Resolução apresentada pelo grupo 2
O aluno do grupo dois que desenvolveu a atividade na figura 11, chegou a
encontrar a resposta correta, mas por não aceitar que a incógnita poderia ficar sem
valor definido, sendo a resposta final, continuou o cálculo de maneira errônea.
“[...] as expressões algébricas não fechadas não só são legítimas enquanto
“respostas”, como também podem representar o procedimento ou a relação
pela qual se obteve a resposta tanto quando a própria resposta.” (BOOTH,
1995, p. 27)
Na sexta atividade, que é uma atividade investigativa, utilizamos como modelo
uma resolução de um aluno do grupo dois, pois a maioria deixou várias questões em
branco.
34
Figura 12- Resolução atividade 6
35
Resolução apresentada pelo grupo 2
Na figura 12 acima podemos notar que este grupo entendeu corretamente toda a
atividade. Aqui, um fato que nos chamou bastante atenção. Esse mesmo grupo quando
questionado a responder a questão um que se tratava da construção de uma expressão
algébrica não teve êxito, mas aqui quando questionado por meio de uma atividade
exploratório investigativa conseguiu resolver perfeitamente todas as questões.
Aconteceram, porém, diversos erros nos outros grupos, como por exemplo, na questão
onde teriam que determinar a expressão que relacionasse o perímetro com o número
de palitos, onde a maioria da turma errou ou deixou em branco, demonstrando muitas
dúvidas na questão. No quadro a ser preenchido na letra g, aconteceram muitos erros
também, devido ao não entendimento da relação citada anteriormente e por não saber
calcular a área, como pode ser notado abaixo na figura 13.
36
Figura 13- Resolução parcial atividade 6
Resolução apresentada pelo grupo 5
Nesta atividade foi possível notar que é grande a dificuldade dos alunos em
trabalhar com questões abstratas, pois quando veem a figura ou a desenham para ter
algo concreto para raciocinar, conseguem resolvê-la, caso contrário, ficam perdidos
sem conseguir desenvolver a generalização da atividade, onde deveriam montar uma
fórmula pelo modo convencional para resolver o problema. Para isso, os alunos
precisam compreender o significado das letras que representam incógnitas e variáveis,
pois só assim conseguiriam entender totalmente toda a estrutura da álgebra e as várias
formas de utilizá-la. Isso pode ser notado na figura 14.
Figura 14- Outra resolução parcial atividade 6
37
Resolução apresentada pelo grupo 3
Na tabela 6 e no gráfico da figura 15 abaixo podemos notar qual foi o rendimento
dos alunos em todas as questões e concluir quais são as maiores dificuldades
apresentadas por eles na aprendizagem da álgebra. Faz-se a observação sobre a
38
questão 06, onde foi considerado acerto apenas o aluno que conseguiu resolvê-la por
completo.
Tabela 6- Erros e acertos cometidos nas atividades
Atividades
Número de erros
Número de acertos
Questão 1
5
0
Questão 2
4
1
Questão 3
4
1
Questão 4
3
2
Questão 5
5
0
Questão 6
4
1
Fonte: Tabela elaborada pelo autor
Figura 15- Gráfico de erros cometidos nas atividades
25
20
15
Erros
Acertos
10
5
0
Questão 01
Questão 02
Questão 03
Questão 04
Questão 05
Questão 06
Fonte: Arquivo do autor
Foi possível visualizar claramente no gráfico da figura 15, que existe um grande
problema neste quesito, onde foram poucos os acertos.
39
Os alunos apresentaram grande dificuldade em transformar a linguagem corrente
em algébrica, até mesmo em fatos cotidianos, onde deveriam ter maior facilidade para
imaginar a situação e entender a questão 01, onde demonstraram entendimento da
situação, mas por enfrentar a dificuldade citada acima, não conseguiram expressar na
forma matemática. A questão 03 trabalha com a mesma abordagem, mas de forma
menos abstrata, mesmo assim, apenas 1 grupo conseguiu chegar à resposta correta.
Verificando a capacidade de manipulação algébrica, a questão 02 nos demonstra
mais uma vez que apenas 1 grupo conseguiu concluí-la, enquanto os outros
confundiam a necessidade de distinguir o coeficiente e a parte literal. Aliado a isso,
possuíam a ideia fixa de que toda questão deve ter um fechamento. Na questão 05, não
houveram problemas ligados à geometria, onde deveriam saber calcular o perímetro,
mas novamente não conseguiram manipular os termos corretamente e insistiam em
buscar o fechamento. Nesta questão não houve nenhum acerto.
Mesmo tendo o maior número de acertos na questão 04, o desenvolvimento de
equações utilizando o simbolismo para representar um número desconhecido, gera
muitas dúvidas. Apenas um aluno do grupo 02 demonstrou a habilidade em resolver
este tipo de questão utilizando a dedução, mas seu grupo o levou a pensar no modo
algébrico e ele o resolveu assim.
A questão 06 apresentou perfeitamente que os alunos conseguem facilmente
trabalhar com situações concretas, mas quando passa para o abstrato, a maioria não
consegue nem começar a desenvolver o raciocínio. A forma com a qual eles deveriam
raciocinar que seria uma generalização, não ocorre provavelmente por ligarem a
questão apenas à aritmética pensando em quantidade, deixando de lado a elaboração
de uma equação que auxiliasse no desenvolvimento de possíveis variações. Outro fato
demonstrado na questão é a automatização dos alunos, que cometem erros por falta de
atenção.
40
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através das referências dos diversos autores citados, foi possível chegar ao
objetivo da pesquisa, notando os diversos erros que ocorrem com os alunos e que são
desencadeados pela dificuldade no aprendizado da álgebra. Entre os principais estão a
não aceitação das questões sem fechamento, dificuldade em interpretar e simbolizar
matematicamente os conteúdos algébricos através da resolução de problemas e
manipulação algébrica.
Utilizando esta atividade, foi possível também verificar que os alunos ainda
possuem dificuldades no desenvolvimento do pensamento algébrico, pois não
conseguem trabalhar com o abstrato e com generalizações.
Para reduzir estes erros, acredito que o exposto por Lins e Gimenez (2005),
onde ressaltam que a aritmética e a álgebra devem ocorrer de forma integrada, é a
melhor maneira para os alunos desenvolverem o pensamento algébrico, pois como
citado no início da pesquisa, quando se propõe o início do ensino de álgebra
concomitantemente ao ensino de aritmética e de forma natural, este ensino não terá
uma abordagem simbólica de difícil compreensão, mas sim a exploração de situações
que propiciem ao aluno a observação de regularidades em diversas situações dentro da
aritmética para que ao chegar no 7º ano, a álgebra seja mais facilmente entendida e os
símbolos algébricos tenham algum significado para o aluno.
41
REFERÊNCIAS
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Mat. Pesqui, São Paulo, v. 10, n. 2, p. 331-346, 2008.
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Conferência Interamericana de Educação Matemática. Recife, 2011.
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aula; v. 4. São Paulo: Atual, 1992.
BOOTH, Leslly R. Dificuldades das crianças que se iniciam em Álgebra. In:
COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P. As ideias da álgebra. São Paulo: Atual,
1995.
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Fundamental/Ministério de Educação. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BRUM, Lauren Darold. Análise de erros cometidos por alunos de 8º ano do ensino
fundamental em conteúdos de álgebra. Curso de Mestrado Profissionalizante em
Ensino de Física e Matemática. Centro Universitário Franciscano de Santa Maria. Rio
Grande do Sul, 2013. Disponível no site: http://sites.unifra.br/Portals/13/Disserta
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GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A
conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GODOY, Arilda Schmidt. Pesquisa qualitativa – Tipos fundamentais. Revista de
Administração de Empresas. São Paulo, v.35, n. 3, p. 20-29, 1995.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. 11ª ed. São Paulo: Ática, 2000.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. Editora SCIPIONE. São Paulo,
1997.
LINS, Rômulo C. e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas e Álgebra e Aritmética para o
Século XXI. Campinas-SP: Papirus, 1997.
LINS, Rômulo C. e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas e Álgebra e Aritmética para o
Século XXI. Campinas-SP: Papirus, 5ª edição, 2005.
MARCONI, M. A.; LAKATOS, E. M. Metodologia do trabalho científico. 7ª ed. São
Paulo: Atlas, 2011.
MARCONI, M. A.; LAKATOS, E. M. Técnicas de Pesquisa. 5ª ed. São Paulo: Atlas,
2002.
42
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Para onde Pende o Pêndulo? Pró-Posições, v. 3, n. 1(7), p. 39 – 54, mar. 1992.
MIGUEL, Antônio; FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Ângela. Contribuição para um
Repensar... a educação algébrica elementar. Pró-Posições, v. 4, n. 1(10), p. 78 – 91,
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PONTE, J. P. Álgebra no currículo escolar. Educação e Matemática, n. 85, 2005.
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a Álgebra da Escola Média e utilização de
variáveis. As Idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, p. 9-22, 1995.
43
ANEXO A – ATIVIDADE DE PESQUISA
Jurema tinha X reais. Foi a uma lanchonete e tomou 2 sorvetes. Cada sorvete custou y reais. Qual a expressão que
representa a quantia que restou para Jurema depois de pagar os sorvetes?
1)
Escreva na forma reduzida o polinômio 3a – 5ab + 8b – 2a + 3ab + b.
2)
Valdir comprou 2 lapiseiras e 5 canetas, enquanto Roberto comprou 3 lapiseiras e 2 canetas. Nessas condições,
responda:
a)
Qual o polinômio que representa a quantia que Roberto gastou?
b)
Qual o polinômio que representa a quantia que Valdir gastou?
3)
Pensei em um número. Multipliquei o número por 8 e, depois, somei 32. Deu zero! Em que número pensei?
4)
Expresse o perímetro do retângulo da forma mais simples possível:
2x + 1
X+3
x+3
2x + 1
5)
Observe a sequencia de quadrados construídos a partir de palitos.
a)
Considerando cada palito como uma unidade, determine o perímetro da figura 1. Da figura 2. E da figura 3.
b)
Quantos palitos terá cada lado da figura 6? Qual será seu perímetro?
c)
Quantos palitos terá cada lado da figura 10? Qual será seu perímetro?
d)
Continuando essa sequencia e obedecendo a mesma regularidade, haverá alguma figura cujo perímetro seja 112?
Que posição ela ocupará?
Você consegue escrever uma expressão que relacione o perímetro ao número de palitos de cada lado da figura? Verifique
sua veracidade.
e)
Utilizando-se da mesma sequência, determine a área da figura 1. E da figura 2.
f)
Quantos palitos terá cada lado da figura 5? Qual será sua área?
g)
Complete a tabela abaixo:
Número de palitos de
cada lado
Perímetro
Área
1
2
3
4
5
6
10
20
p