1
MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ABORDAGEM SOBRE
ESTRATÉGIAS DE APRENDIZAGEM DE ADIÇÕES
ALGÉBRICAS DE NÚMEROS RACIONAIS
Marcelo Santos Chaves
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará (IFPA)
[email protected]
Resumen
Este artículo tiene como objetivo discutir, criticar y proponer alternativas
pedagógicas reevaluar relativa a la educación matemática para la educación
básica brasileña, capaz de tomar un objetivo de enseñanza práctica, clara y
coherente con los conocimientos y habilidades ya adquiridas por El
estudiante con respecto a anteriores la solución de adiciones algebraicas de
números racionales. Al principio evaluar praxeología chancelados libros de
texto adoptados por el sistema educativo oficial, a fin de identificar SUS
limitaciones pedagógicas relativas a la resolución de problemas que
involucran suma algebraica de los números racionales. En segundo lugar,
se presenta una alternativa pedagógica para la resolución de estos
problemas con números racionales, que nos permiten facilitar La
construcción del conocimiento matemático en la escuela. En un tercer paso,
desde un ámbito teórico, vamos a hacer un paralelo en el modelo
convencional adoptada por los libros de texto de Brasil para resolver
problemas matemáticos mencionados en este documento, la cara
praxeología Alternativa Modelo aprobado por el presente artículo se
propone presentar. Por último vamos a constituir un tutorial (manual) con El
propósito de instruir didácticamente en la solución de adiciones algebraicas
de números racionales.
Palabras clave: Educación Matemática - Modelamiento Matemático - Adición
algebraica.
2
Resumo
O presente artigo se propõe a debater, criticar, reavaliar e propor alternativas
pedagógicas atinentes a Educação Matemática para o ensino básico brasileiro,
capazes de levar a uma pratica de ensino objetiva, clara e coerente com os
conhecimentos prévios e habilidades já adquiridos pelo educando no tocante a
resolução de adições algébricas de números racionais. Em um primeiro
momento avaliaremos a praxeologia adotada pelos livros didáticos chancelados
pelo sistema oficial de ensino, objetivando identificar suas limitações
pedagógicas no tocante a resolução de problemas envolvendo adição algébrica
de números racionais. No segundo momento, apresentaremos uma alternativa
pedagógica para resolução desses problemas envolvendo números racionais,
que nos permita facilitar a construção do conhecimento matemático no âmbito
escolar. Em um terceiro momento, a partir de um escopo teórico, traçaremos
um paralelo sobre o Modelo Convencional adotado pelos livros didáticos
brasileiros para resolução dos problemas matemáticos ora mencionados, face
a praxeologia adotada pelo Modelo Alternativo que este artigo se propõe a
apresentar. Por fim, constituiremos um tutorial (manual) com a finalidade de
instruir didaticamente na resolução de adições algébricas de números
racionais.
Palavras-chave: Educação Matemática - Modelagem Matemática – Adição
Algébrica.
3
Abstract
This article aims to discuss, criticize, and propose alternative pedagogical
reevaluate pertaining to mathematics education for the Brazilian basic
education, able to take a practical teaching objective, clear and consistent with
the prior knowledge and skills already acquired by the student regarding solving
algebraic additions of rational numbers. At first evaluate praxeology okay
textbooks adopted by the official educational system in order to identify their
pedagogical limitations regarding the resolution of problems involving algebraic
sum of rational numbers. Secondly, we present a pedagogical alternative for
solving these problems involving rational numbers, which allow us to facilitate
the construction of mathematical knowledge in the school. In a third step, from a
theoretical scope, we will draw a parallel on the Conventional Model adopted by
Brazilian textbooks for solving mathematical problems mentioned herein, face
praxeology Alternative Model adopted by this article proposes to present.
Finally we shall constitute a tutorial (manual) with the purpose of instructing
didactically in solving algebraic additions of rational numbers.
Key Words: Mathematics Education - Mathematical Modeling - Adding
Algebraic.
4
1. INTRODUÇÃO
A Educação Matemática ora definida como Didática Matemática é o
estudo das relações de ensino e aprendizagem no ramo da Matemática.
Corresponde
a
uma
correia
de
transmissão
entre
Matemática,
Pedagogia e Psicologia. Desde os primórdios do século XX professores de
matemática congregam-se objetivando pensar, discutir e rediscutir o ensino
matemático nos sistemas de ensino. É nesta toada que a Didática da
Matemática surge na França na década de 70, na condição de área para fins
de sistematização dos estudos e pesquisas a cerca do ensino da matemática.
Daí por diante, a matemática encontrou novas formas de se resignificar
enquanto ciência e pratica de ensino. Estratégias de transposições do saber
cientifico para o saber escolar passaram a ser amplamente discutidos e
reavaliados, com vistas a apropriação de técnicas e conteúdos capazes de
facilitar a construção do conhecimento matemático.
É sob estes pressupostos que o presente artigo se propõe a debater,
criticar, reavaliar e propor alternativas pedagógicas atinentes a Educação
Matemática, capazes de levar a uma pratica de ensino objetiva, clara e
coerente com os conhecimentos prévios e habilidades já adquiridos pelo
educando.
Em um primeiro momento avaliaremos a praxeologia adotada pelos
livros didáticos chancelados pelo sistema oficial de ensino, objetivando
identificar suas limitações pedagógicas sobre a resolução de problemas
envolvendo adição algébrica de números racionais. No segundo momento,
apresentaremos uma alternativa pedagógica para resolução de problemas
envolvendo adição algébrica de números racionais, que nos permita facilitar a
construção do conhecimento matemático no âmbito escolar. Em um terceiro
momento, a partir de um escopo teórico, traçaremos um paralelo sobre o
Modelo Convencional adotado pelos livros didáticos para resolução dos
problemas matemáticos ora mencionados, face a praxeologia adotada pelo
Modelo Alternativo que este artigo se propõe a apresentar. Por fim,
constituiremos um tutorial (manual) com a finalidade de instruir didaticamente
na resolução de adições algébricas de números racionais.
5
2. A PRAXEOLOGIA CONVENCIONAL DOS LIVROS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA.
É bastante comum notarmos, nos mais variados livros didáticos de
ensino fundamental da rede publica de ensino, transposições didáticas eivadas
de rigores metodológicos que, ao nosso ver, pouco contribuem para uma
saudável construção do saber matemático, face a desnecessária exigência de
excessivas divisões.
A titulo de ilustração apresentaremos a seguir três bibliografias,
chanceladas pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD), publicadas em
períodos distintos da década passada, e que estiveram incumbidas de levar a
cabo a construção do conhecimento matemático para alunos do 7º ano (antiga
6º série) do ensino fundamental da rede publica de ensino, da forma mais
pratica, didática e objetiva possível.
Na bibliografia A Conquista da Matemática: a + nova – 6ª série/
Giovanni, J. R.; Castrucci, B.; Giovanni Jr, J. R. – São Paulo: FDT, 2002. pág.
83, temos o seguinte tratamento dado à resolução de expressões envolvendo a
adição algébrica de números racionais, a saber:
−
7
1
+2−
9
6
Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) de 6 e 9:
6 9 2
3 9 3
1 3 3
⇒ 2 × 3 × 3 = 18
1 1
Agora proceda:
−
7
1 − [7 × (18 ÷ 9 )] + [2 × (18 ÷ 1)] − [1 × (18 ÷ 6 )]
+2 − =
9
6
18
− [7 × 2 ] + [2 × 18 ] − [1 × 3 ] − 14 + 36 − 3
19
=
=+
18
18
18
6
Como observa-se na expressão epigrafe, não é possível proceder a
soma das frações que a compõe, uma vez que seus denominadores são
diferentes. Logo, á a necessidade de se igualar os denominadores das
mesmas. O procedimento então adotado pela referência didática em questão
fora o calculo do M.M.C dos denominadores. Em seguida esculpiu-se uma
estrutura numérica poluída de somas, subtrações, multiplicações divisões, que
tornam mais complexo à resolução do problema proposto, aumentando dessa
forma ainda mais a probabilidade de ocorrência de erros entre jogos de sinais e
erros nas operações propriamente ditas.
Nesta mesma esteira praxeológica de resolução, apresentamos outra
referência
ora
denominada
Matemática:
Fazendo
a
Diferença
–
6ª
série/Bonjorno& Ayrton – 1º edição – São Paulo: FDT, 2006. pág. 88,
ratificando o mesmo modelo de transposição didática para fins de adição
algébrica de números racionais. Após efetuar sucessivas multiplicações de
números racionais em uma dada expressão, Bonjorno& Ayrton chegaram a
seguinte expressão:
−
3 1 14
− +
8 2 6
Para resolvê-la os autores procedem da seguinte maneira:
Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) de 2, 6 e 8:
2 6 8 2
1 3 4 2
1 3 2 2
⇒ 2 × 2 × 2 × 3 = 24
1 3 1 3
1 1 1
Agora faça:
−
3 1 14 − [3 × (24 ÷ 8 )] − [1 × (24 ÷ 2 )] + [14 × (24 ÷ 6 )]
− +
=
8 2 6
24
− [3 × 3 ] − [1 × 12 ] + [14 × 4 ] − 9 − 12 + 56 35
=
=
24
24
24
7
E para finalizar expomos o arcabouço didático denominado A Conquista
da Matemática – 7º ano/ Giovanni Jr, J. R.; Castrucci, B. – Ed. Renovada - São
Paulo: FDT, 2009. pág. 93, que vem a ratificar este procedimento praxeológico
envolvendo a adição algébrica de números racionais, a saber:
1 1 3
5
+ − −1 +
3 2 4
6
Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) de 2, 3, 4 e 6:
2 3 4 6 2
1 3 2 3 2
1 3 1 3 3
⇒ 2 × 2 × 3 = 12
1 1 1 1
Assim:
1 1 3
5
+ − −1 +
3 2 4
6
=
[1 × (12 ÷ 3 )] + [1 × (12 ÷ 2 )] − [3 × (12 ÷ 4 )] − [1 × (12 ÷ 1)] + [5 × (12 ÷ 6 )]
12
=
[1 × 4 ] + [1 × 6 ] − [3 × 3 ] − [1 ×12 ] + [5 × 2 ]
12
=
4 + 6 − 9 − 12 + 10
1
=−
12
12
Os três livros didáticos epigrafados em tela, como se nota, traduziram,
sem qualquer tipo de conflitos ou divergências, o mesmo modelo praxeológico
adotado para rede publica de ensino. E como se infere, este fora o modelo
padrão, adotado na década passada, para resolução de adição algébrica de
números racionais. Logo, podemos concluir que, nos últimos dez anos a
construção do conhecimento matemático, em termos de adição algébrica de
números racionais, possuiu um Modelo Convencional de calculo.
Ante a tamanhos rigores aritméticos adotados ao se proceder diversas
divisões neste Modelo Convencional (seja no calculo do M.M.C ou na
expressão propriamente dita), o questionamento que se faz é: haveria outro
Modelo Alternativo, diríamos, mais prático e didaticamente aceitável para se
8
alcançar os mesmos resultados, valendo dos conhecimentos já adquiridos no
6º ano do ensino fundamental, que não demandasse o uso da divisão?
3. UM MODELO ALTERNATIVO PARA ADIÇÃO ALGÉBRICA DE NÚMEROS
RACIONAIS.
Vejamos. A partir do estudo de multiplicação entre números inteiros e
fracionários, podemos inferir algumas conclusões. Tomemos a expressão
proposta por Giovanni et al.(2002, p.83), e vejamos como os conhecimentos
prévios adquiridos no 6º ano do ensino fundamental podem nos auxiliar:
7
1
+2−
9
6
 7 ⋅1   2 ⋅ 9  1
 −
 + 
 −
 9 ⋅1   1 ⋅ 9  6
−
7 18 1
+
−
9 9 6
11 1
−
9 6
 11 ⋅ 6   1 ⋅ 9 

 − 

 9 ⋅6  6 ⋅9
−
66 9
57
−
=
54 54 54
Como
57
19
é equivalente a
, podemos concluir que, apenas com o
54
18
uso de multiplicações, e sem precisar de nenhuma divisão, conseguimos
satisfazer a questão dada, obtendo o valor numérico da expressão proposta.
Nesta mesma linha de experimentações, tomemos a expressão proposta
por Bonjorno e Ayrton (2006, p.88), e vejamos como proceder:
9
3 1 14
− +
8 2 6
 3 ⋅ 2   1 8  14
 −
 −  ⋅  +
 8 ⋅2  2 8 6
−
6
8 14
−
+
16 16 6
14 14
−
+
16 6
 14 ⋅ 6   14 ⋅16 
 −
 + 

 16 ⋅ 6   6 ⋅16 
−
−
Como
84 224 140
+
=
96 96
96
140
35
é equivalente a
, podemos concluir que, fazendo uso
96
24
apenas de multiplicações, e sem precisar de nenhuma divisão, conseguimos
satisfazer a questão dada, obtendo o valor numérico da expressão proposta.
Agora finalmente, tomemos a expressão proposta por Giovanni Jr. e
Castrucci (2009, p.93), e vejamos como proceder:
5
1 1 3
+ − −1 +
6
3 2 4
 1 ⋅ 2   1 ⋅ 3   3 ⋅1   1 ⋅ 4  5

 + 
 − 
 − 
 +
⋅
2
⋅
3
⋅
1
4
⋅
3
2
4
1

 
 
 
 6
2 3 3 4 5
+ − − +
6 6 4 4 6
5 7 5
− +
6 4 6
 5 ⋅ 4  7 ⋅6  5
 +

 − 
 6 ⋅ 4   4 ⋅6  6
20 42 5
−
+
24 24 6
22 5
−
+
24 6
 22 ⋅ 6   5 ⋅ 24 
 + 

− 
⋅
6
⋅
24
24
6

 

−
132 120
12
+
=−
144 144
144
10
Como −
12
1
é equivalente a −
, podemos concluir que, fazendo uso
144
12
apenas de multiplicações, e sem precisar de nenhuma divisão, conseguimos
satisfazer a questão dada, obtendo o valor numérico da expressão proposta.
Portanto, note que em todas as experimentações (modelagens)
efetuadas através do Modelo Alternativo, apenas com o auxilio de
multiplicações, alcançamos o resultado pretendido.
4. CONSIDERAÇÕES DIDÁTICAS SOBRE O MODELO ALTERNATIVO
Como bem se pode inferir, o Modelo Alternativo, enquanto instrumento
didático, fora capaz de dar conta da resolução das expressões envolvendo
adição algébrica de números racionais. Um questionamento que poderia então
ser desferido contra este método é: “Por que o mesmo apresentou um
resultado menos simplificado do que o Modelo Convencional?” Por que, por
exemplo, na derradeira demonstração obtivemos −
12
1
é não −
?
144
12
Bom, a resposta a estas indagações reside na praticidade do modelo
proposto. Veja, quantas divisões deveríamos efetuar, através do Modelo
Convencional, para se alcançar o valor de −
1
, na forma como ilustram os
12
livros didáticos aqui citados? Uma breve contagem do numero de divisões
efetuadas na demonstração proposta por Giovanni Jr. e Castrucci (2009, p.93)
mostra que precisaríamos efetuar nada menos que 10 (dez) divisões (incluindo
neste, o calculo do M.M.C), para chegar a tal resultado. Através do Método
Alternativo, este excesso seria categoricamente desprezado.
Outro comentário pertinente a ser superado é: “Tudo bem, o Método
Alternativo despreza o uso de divisões em sua modelagem, porém o mesmo
amplia o numero de multiplicações e adições a serem efetuadas”.
Bom, não é duvida para ninguém que o maior percentual de erros dos
estudantes do sistema publico de ensino é verificado na prática da divisão.
Para corroborar com tal premissa, evocamos as conclusões de Zattiet al. onde
em uma pesquisa qualitativa, que pretendeu investigar aspectos da
11
aprendizagem do cálculo matemático das quatro operações fundamentais
(adição, subtração, multiplicação e divisão) em 34 alunos da 6º ano do Ensino
Fundamental de 17 escolas públicas da cidade de Erechim-RS, chegou aos
seguintes números sobre erros verificados nas quatro operações, in verbs:
A maior parte dos erros ocorreu nas operações de divisão (59,4%) e
subtração (37,5%), seguidas pela multiplicação (27,9%) e pela
adição (15,7%).(ZATTI et al, 2010. p. 118).
Como se nota, no experimento efetuado fora constatado que
aproximadamente
60%
do
grupo
amostral
das
17
escolas
publicas
apresentaram erros na operação divisão. Algo bastante contrastante em
relação aos 28% aproximados da multiplicação, e dos aproximados 16% da
adição obtidos.
Ainda no campo das observações empíricas, vejamos quais foram os
resultados obtidos por Batista (1995), em seu estudo com 185 alunos da 2ª a 4ª
série do ensino fundamental em uma escola publica de Campinas-SP, sobre os
erros e acertos na manipulação das quatro operações básica.
Tabela 1 – Porcentagem de acertos e erros dos alunos de 2º, 3º e 4º
séries em operações de aritméticas.
2º série
Operações
Aritméticas
AC
ER
86,40%
40,70%
3º série
AC
ER
4º série
NF
TOT
NF
TOT
9,1%
52,2%
4,5%
7,1%
22
113
64,10%
21,70%
28,1%
65,2%
7,8%
13,1%
53,60%
*
36,4%
*
10,0%
*
*
*
*
48%
42%
10%
*
*
*
-
-
-
AC
ER
NF
TOT
*
*
62,90% 29,50%
*
7,60%
105
86,70% 13,30%
0%
90
64
46
*
*
37,90% 57,90%
*
2,20%
45
72,20%
25%
2,80%
36
110
70,80% 26,80% 2,40%
9,20% 55,30% 35,50%
41
76
68,40% 31,60%
44,90% 49,40%
0%
5,70%
19
87
SOMA
s/"vai um"
c/"vai um"
SUBTRAÇÃO
s/"emprestar"
c/"empréstimo"
MULTIPLICAÇÃO
p/unidade
p/dezena
DIVISÃO
p/unidade
p/dezena
Legendas:
(*) Totais muito baixos para cálculo de porcentagem
(-) Não foi aplicada nessa turma
AC – Acertos; ER – Erros; NF – Não fez; TOT - Total
50
37,50%
-
-
50% 12,50%
16
12
Fonte: tabela extraída de BATISTA, Cecilia. G. “Fracasso Escolar: Análise de Erros em
Operações Matemáticas”. Zetetiké, v. 3, n. 4, p. 63, nov. 1995.
Note que os percentuais de dificuldade com a divisão voltam a se repetir
nos dados acima apresentados. Na 3º série o percentual daqueles que erraram
ou não fizeram as divisões propostas corresponde a 52%. Esse percentual se
amplia mais ainda na 4º série passando para 62,50%. Ou seja, para este
estudo de caso em Campinas-SP, não encontramos nenhuma situação em que
a divisão, seja por unidade ou por dezena, tenha tido resultados favoráveis.
Ante ao exposto, estamos convencidos de que os excessos de divisões
verificados no Modelo Convencional tende a inclinar o aluno a não se
interessar pela pratica de adição algébrica dos números racionais. E isso, sem
sombra de duvidas corroborará para seu fracasso escolar. Neste particular,
cabe demarcar os exatos dizeres de Zattiet al.face as suas observações
empíricas, in verbs:
Quando a operação é muito difícil, ou a possibilidade de fracasso é
muito grande, ocorre a desistência, fato que é comumente observado
nas escolas, reforçando a possibilidade de existência de um
sentimento de incapacidade para a Matemática, nutrido por muitos
alunos.”(ZATTI et al, 2010. p. 127).
É exatamente este sentimento de incapacidade que nos impõe,
enquanto educadores, a necessidade de buscar alternativas praxeológicas
capazes de contribuir para construção do saber matemático, desprovido de
rigores que só favoreçam o desinteresse pela aprendizagem da matemática.
No entendimento de Parolin e Salvador (2002, apud ZATTI et al., 2010,
p. 127), ao discutirem aspectos relacionados a dificuldades em Matemática
discorrem que:
(...) muitas pessoas nem chegam a tentar aprender ou resolver uma
situação matemática, visto que se encontram em um estado
emocional de negação. Dessa forma, percebe-se que é criada uma
ideia de incapacidade para a aprendizagem, rotulando a Matemática
13
como algo muito difícil ou até mesmo impossível de ser
aprendido.PAROLIN& SALVADOR (2002, apud ZATTI et al., 2010, p.
127).
Não é duvida para ninguém que o aluno estudante de matemática do 7º
ano do ensino fundamental apresenta atualmente uma grande dificuldade em
proceder à divisão de valores, sejam eles inteiros ou decimais. Realidade bem
diferente em se tratando de multiplicações. Ante ao exposto, notou-se,
claramente, que o Modelo Alternativo de resolução de adições algébricas de
números racionais dispensa o uso da operação divisão, uma vez que o referido
Modelo dispensa também a necessidade de calculo do Mínimo Múltiplo Comum
(M.M.C), tornando desta forma a resolução do problema bem mais prática e
elementar, e configurando-se um atalho para construção do conhecimento
matemático.
5. MODELO ALTERNATIVO: O RECURSO DIDÁTICO
Para fins tutoriais, vamos aqui elencar os seguintes passos a serem
utilizados na resolução de adições algébricas de números racionais através do
Método Alternativo, tomando, a titulo de exemplo, a seguinte expressão:
4 3 1
+ +
7 5 3
Note que a mesma é constituída de três frações, todas com
denominadores diferentes.
1º passo: proceder à equivalência de denominadores somente das duas
primeiras frações com denominadores diferentes. Para se fazer isso, basta
escolher a primeira fração e multiplicar tanto o seu numerador quanto seu
denominador pelo denominador da segunda fração (veja a indicação das setas
azuis na diagramação abaixo). Uma vez feito isso, basta repetir o mesmo
procedimento na segunda fração, multiplicando-a pelo denominado da primeira
fração. Veja como se faz:
14
4 3
+
7 5
 4 ⋅ 5  7 ⋅ 3 

 + 

7
⋅
5
7
⋅
5

 

20 21 41
+
=
35 35 35
2º passo: proceder à equivalência de denominadores entre o resultado
obtido no 1º passo e a terceira fração da expressão dada, valendo-se da
mesma construção efetuada no passo anterior:
41 1
+
35 3
 41 ⋅ 3   35 ⋅ 1 


 + 
 35 ⋅ 3   35 ⋅ 3 
123 35 158
+
=
105 105 105
Logo:
4 3 1 158
+ + =
7 5 3 105
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente trabalho não tem por finalidade desprezar a pratica da
divisão, para fins de banimento do ensino da Educação Matemática. Não.
Apenas entendemos que certas estruturas operativas como ela, demandam
maiores experimentações no ramo da matemática, e por isso se faz necessário
dosar o grau de sua exigência em certas abordagens matemáticas
(principalmente as das series iniciais). Neste particular cabe evocar a
15
meditação de Batista (1995, p. 63), onde compreende que “os acertos em cada
tipo de operação aritmética tendem a aumentar à medida que o aluno avança
na escolaridade”.
É fato que, o que fora aqui apresentado, enquanto alternativa didática,
não é nenhuma novidade para aqueles que possuem certa afinidade com
operações algébricas. Porém não é o ineditismo o objeto da presente
abordagem, e sim a critica em favor da adoção de uma praxeologia matemática
capaz de tornar a construção do conhecimento matemático suficiente para
materializar-se, enquanto aprendizagem, para um aluno estudante de
matemática do 7º ano do ensino fundamental, que tem por desafio a resolução
de problemas que envolvam a adição algébrica de números racionais. Diante
disso, inferimos ter sido demais inadequado à abordagem feita pelas
referencias didáticas retromencionadas neste artigo, no tocante a adição
algébrica de números racionais, por não primar por uma pratica pedagógica
objetiva, simples e capaz de inspirar um prazer em estudar matemática. Muito
pelo contrário. Os livros didáticos aqui citados, ao longo da década passada, se
propuseram a insistir em um modelo de resolução incapaz de levar o aluno a
superar suas limitações no tocante à matemática. Ocasionando com isso um
fracasso escolar produzido por um rigor metodológico excessivo naquilo que
mais o alunado apresenta dificuldades, como bem ilustrou as pesquisas feitas
nas 17 escolas de Erechim –RS e nos 185 alunos da rede publica de
Campinas-SP.
Por outro lado, a utilização do Modelo Alternativo aqui esculpido na
forma de tutorial, ante a facilidade do alunado na pratica da multiplicação,
favorecerá e muito para resolução de problemas matemáticos que envolvam
adição algébrica de números racionais, de forma elementar, bem como
permitirá uma reflexão sobre as estratégias de resolução, proporcionando uma
nova forma de aprendizagem no ensino da matemática.
16
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BATISTA, Cecilia. G. “Fracasso Escolar: Análise de Erros em Operações
Matemáticas”. Zetetiké, v. 3, n. 4, p. 61-72, nov. 1995.
BONJORNO, José R.; OLIVARES, Ayrton. “Matemática: Fazendo a Diferença”
6ª série – 1º edição – São Paulo: FDT, 2006.
CURY,
Helena
N.
“Análise
de
Erros
em
Educação
Matemática”.
Veriati,Salvador, v.3 n.4, p.95-107, jun. 2004.
GIOVANNI JR, José R.; CASTRUCCI, Benedito.“A Conquista da Matemática” –
7º ano - Ed. Renovada - São Paulo: FDT, 2009.
GIOVANNI, José. R.; CASTRUCCI, Benedito.; GIOVANNI JR, José. R. “A
Conquista da Matemática: a + nova”– 6ª série - São Paulo: FDT, 2002.
STRASSACAPPA, Adriana. “A Resolução de Problemas no Ensino de
Frações”. Secretaria de Educação do Estado do Paraná.1998.
TEIXEIRA, Leny. R. M. “Dificuldades e erros na Aprendizagem da Matemática”.
In: VII EPEM - Encontro Paulista de Educação Matemática - São Paulo - 2004.
ZATTI, Fernanda; AGRANIONIH, Nélia T.; ENRICONE, Jaqueline R. B.
“Aprendizagem matemática: desvendando dificuldades de cálculo dos alunos”.
Revista Perspectiva v. 34, nº 128, p. 115-112 – UNICER - 2010.