PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO
PAULO PUC-SP
UM ESTUDO COMPARATIVO ENTRE BRASIL E CHILE
SOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E SUA INFLUÊNCIA
NOS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA DESSES PAÍSES
DERMEVAL SANTOS CERQUEIRA
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2012
DERMEVAL SANTOS CERQUEIRA
UM ESTUDO COMPARATIVO ENTRE BRASIL E CHILE
SOBRE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E SUA INFLUÊNCIA
NOS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA DESSES PAÍSES
Tese
apresentada
Examinadora
da
à
Banca
Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção
do título de Doutor em Educação
Matemática,
sob
Professora
Doutora
Carolino Pires.
São Paulo
2012
a
orientação
Célia
da
Maria
BANCA EXAMINADORA
Profª Drª Célia Maria Carolino Pires (orientadora)
Profª Drª Norma Suely Gomes Allevato
Profº DRº Armando Traldi Junior
Profº Drº Elenilton Vieira Godoy
Profª Drª Vera Lúcia Vieira
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _________________________________ Local e Data: _________
DEDICATÓRIA
Aos meus pais Gilberto e Apparecida e
meus filhos Taís Helena e Tales André, que de
forma única sempre estiveram presentes em
minhas realizações.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por me sustentar até o final
desta importante etapa da minha vida.
À Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires pelas
orientações precisas, paciência e pelo exemplo de pessoa e profissional.
A meus pais, exemplos de vida e de dedicação, que me
deram a base para eu tornar-me a pessoa que sou e permitir mais uma
conquista na vida.
Á meus filhos, que são minhas fontes de inspiração, por
cuidarem de mim e por terem me dado todo suporte necessário para a conclusão
desse trabalho.
A Capes por me conceder a bolsa, essencial para a
permanência e a conclusão do Doutorado na PUC-SP.
Agradeço à minha singular turma de Doutorado,
espalhada por várias partes do nosso Brasil.
Ao grupo de pesquisa “Desenvolvimento Curricular em
Matemática e Formação de Professores do Programa de Estudos Pósgraduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo, em especial os participantes do Projeto “Pesquisas comparativas sobre
organização e desenvolvimento curricular na área de Educação Matemática, em
países da América Latina: currículos prescritos e currículos praticados” pelo
apoio e troca de informações durante o desenvolvimento da pesquisa.
Aos
professores
da
PUC-SP
pelos
preciosos
ensinamentos durante as disciplinas e à minha banca de qualificação de tese,
pelas orientações e dicas precisas para a conclusão da mesma.
Aos pesquisadores chilenos pela atenção e contribuições
para essa pesquisa.
Aos
amigos
e familiares
ausências e tornaram esse trabalho realizável.
que
entenderam
minhas
EPÍGRAFE
“Por isso é importante, como eu disse,
compreender o processo, os caminhos de nosso
próprio pensar. O autoconhecimento não pode
ser conseguido através de ninguém, de nenhum
livro, nenhuma confissão, psicologia, ou
psicanalista. Ele tem que ser descoberto por você
mesmo porque é sua vida; e sem a ampliação e o
aprofundamento desse conhecimento do ego,
faça o que fizer, altere quaisquer circunstâncias,
influências externas ou internas – ele será
sempre um solo gerador de desespero, dor,
sofrimento. Para ir além das atividades fechadas
da mente, você tem que entendê-las; e entendêlas é estar cônscio da ação na relação, relação
com coisas, com pessoas, e com ideias. Nessa
relação, que é o espelho, começamos a ver a nós
mesmos,
sem
qualquer
justificativa
ou
condenação; e desse mais amplo e mais
profundo conhecimento dos caminhos de nossa
própria mente, é possível prosseguir adiante;
então é possível para a mente estar quieta para
receber aquilo que é real”..
J. Krishnamurt
RESUMO
Esta pesquisa qualitativa, em nível de doutorado, insere-se no contexto
dos estudos comparativos sobre organização e desenvolvimento
curricular, na área de Educação Matemática, no Brasil e no Chile. A
finalidade desse estudo é levantar indícios sobre os impactos dos
resultados de pesquisa em Educação Matemática nos documentos oficiais
desses países, elaborados a partir dos anos 90 do século XX. A análise
documental mostra, que Brasil e Chile sofreram influências dos resultados
de pesquisas da área de Educação Matemática, inserindo nos
documentos oficiais orientações, privilegiando a resolução de problemas,
a contextualização, o valor didático da história da matemática, conceitos
da didática da matemática, concepção construtivista e o uso de
tecnologias, em especial o emprego da calculadora. A pesquisa de campo
nos permite perceber os pontos de vistas dos diferentes profissionais de
Educação sobre a concepção e elaboração dos currículos prescritos,
apontando as dificuldades na consecução dos currículos praticados nos
sistemas educativos públicos, que por sua vez tecem recomendações que
devem ser inseridas no trabalho do professor, ressaltando desafios para
implementação dos currículos prescritos.
Palavras-chave: Educação Matemática; Currículos de Matemática;
Organização Curricular; Comparação de Currículo.
ABSTRACT
This qualitative research at the doctoral level, is within the context of comparative
studies on organization and curriculum development in the field of mathematics
education, in Brazil and Chile. The purpose of this study is to investigate
evidence on the impact of the results of research in mathematics education in the
official documents of these countries, drawn from 90s of XX century. The
documentary analysis shows that these countries have suffered influences of
research findings in the area of mathematics education, including in official
documents orientations favoring problem solving, contextualization, the didactic
value of history of mathematics, concepts of teaching mathematics,
constructivism, the use of technology, especially the use of calculator. Field
research allows us to understand the views of different education professionals
on the design and development of curricula prescribed, points to the difficulties in
achieving the curriculum practiced in public education systems, weave
recommendations that must be included in the teacher's work and highlights
challenges to implementing the prescribed curriculum.
Keywords: Mathematics Education,
Organization; comparison Curriculum.
Mathematics
Curriculum,
Curriculum
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA .... ................................................................ 15
CAPÍTULO 1
1.1 Introdução ................................................................................................... 31
1.2 Concepção de Currículo e níveis de concretização ..................................... 31
1.3 Currículos de Matemática: concepções e proposições ............................... 36
1.3.1 Antecedentes importantes.................................................................... 36
1.3.2 As contribuições da comunidade de Educação Matemática
para a reflexão sobre currículos.......................................................... 38
1.3.2.1 O papel da matemática na formação dos alunos........................... 38
1.3.2.2 O papel da matemática no currículo .............................................. 40
1.3.2.3 As aplicações práticas e as especulações teóricas: que
ênfases são conferidas................................................................. 49
1.3.2.4 O que da grande teia de conhecimentos matemáticos
devemos selecionar para ensinar ................................................ 53
1.4 Como ensinar conhecimentos matemáticos ............................................... 58
1.4.1 O foco na resolução de problemas....................................................... 60
1.4.2 Outras contribuições ............................................................................ 62
1.5 Sobre o processo de avaliação da aprendizagem ........................................ 67
1.5.1 Síntese do capítulo .............................................................................. 68
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS
2.1 Introdução .................................................................................................. 70
2.2 O campo da Educação Comparativa .......................................................... 70
2.3 Nossas escolhas e percurso ........................................................................ 77
2.4 Algumas informações sobre o processo de realização de entrevistas ....... 79
CAPÍTULO 3
SISTEMAS EDUCACIONAIS DE BRASIL E CHILE
3.1 Introdução ................................................................................................... . 85
3.2 Contexto social, político e econômico (IDH, PIB, taxa de
escolarização, contexto político, pós-ditadura, etc.) ................................. . 85
3.3 Participação de Pais ou responsáveis no sistema educativo ...................... . 89
3.4 Algumas comparações entre os sistemas educativos de Brasil e Chile ....... . 90
3.5 Sistema de avaliação em ambos os países................................................... . 92
3.6 Contexto educacional e políticas públicas ................................................... . 97
3.7 Configuração da educação básica em ambos os países............................... . 99
3.8 O processo de organização curricular nos dois países................................. .103
3.9 Síntese do capítulo....................................................................................... 108
CAPÍTULO 4
ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS DE MATEMÁTICA DO
ENSINO FUNDAMENTAL
4.1 Introdução ................................................................................................. 110
4.2 Comparando a estruturação dos currículos prescritos .............................. 110
4.3 O papel da matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos..... 112
4.4 Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas ................... 125
4.5 Com relação à seleção de conteúdos ......................................................... 132
4.6 Com relação a orientações metodológicas e didática ................................ 136
4.6.1 Resolução de problemas ........................................................................ 136
4.6.2 Conceitos da Didática da Matemática................................................... 138
4.6.2.1 Perspectiva de Matemática ............................................................. 139
4.7 Com relação a indagações sobre o processo de avaliação da aprendizagem 145
CAPÍTULO 5
ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO
5.1 Introdução ................................................................................................... 148
5.2 Comparando a estruturação dos currículos prescritos ............................... 149
5.3 O papel da matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos ..... 152
5.4 Ênfases nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas ................... 159
5.5 Com relação à seleção de conteúdos .......................................................... 162
5.6 Com relação a orientações metodológicas e didáticas ............................... 165
5.6.1 Resolução de Problemas ........................................................................ 166
5.6.2 Conceitos da Didática da Matemática ................................................... 168
5.6.2.1 Perspectivas de Matemática ........................................................... 168
5.7 Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da aprendizagem .. 174
CAPÍTULO 6
IMPRESSÕES SOBRE OS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA – DEPOIMENTO DE
ALGUNS AUTORES
6.1 Introdução ................................................................................................... 179
6.2 Perfil dos elaboradores de currículos .......................................................... 179
6.3 Com relação ao processo de construção dos currículos e sua
obrigatoriedade ou não ............................................................................. 180
6.3.1 Na voz dos elaboradores dos currículos ................................................. 180
6.3.2 Na voz dos diretores de escola ............................................................... 186
6.3.3 Na voz dos professores que atuam em sala de aula............................... 190
6.4 Com relação à participação dos professores e/ou suas representações .... 191
6.5 Com relação a currículos apresentados e a perspectiva de serem moldados ...... 192
6.6 Com relação a currículos praticados ............................................................ 195
6.7 A voz dos professores que atuam na formação e pesquisas relacionadas
ao ensino da Matemática ........................................................................... 199
CONCLUSÕES
6.8 Considerações finais..................................................................................... 202
6.9 Explicitando semelhanças e/ou diferenças na etapa educacional .............. 204
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 213
APÊNDICE A – ANEXO 1 ............................................................................................ 223
APÊNDICE B – ANEXO 2 ............................................................................................ 227
APÊNDICE C – ANEXO 3 ............................................................................................ 233
APÊNDICE D – ANEXO 4 ........................................................................................... 238
APÊNDICE E – ANEXO 5 ............................................................................................ 242
APÊNDICE F – ANEXO 6 ............................................................................................ 248
APÊNDICE G – ANEXO 7 ........................................................................................... 253
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Lista de documentos oficiais para pesquisa........................................... . 28
Quadro 2 – Número de entrevistados ...................................................................... . 82
Quadro 3 – Perfil dos entrevistados brasileiros ........................................................ . 83
Quadro 4 – Perfil dos entrevistados chilenos ........................................................... . 84
Quadro 5 – Análise de conteúdo – Orientações Curriculares do Brasil (1º e 2º ciclos) .. 128
Quadro 6 – Análise de conteúdo – Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile............. 129
Quadro 7 – Análise de conteúdo – Orientações curriculares do Brasil ......................... 130
Quadro 8 – Análise de conteúdo/Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile 5º ao 8º anos básicos 131
Quadro 9 – Análise de conteúdo/Orientações Curriculares do Brasil – Ensino Médio ... 160
Quadro 10 – Análise de conteúdo/Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile 5º
ao 8º anos básicos..................................................................................................... 161
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Objetivação do currículo no processo de seu desenvolvimento ............. . 33
Figura 2 – Objetivos Gerais do Ensino Fundamental ................................................ 122
Figura 3 – Caráter de transversalidade ..................................................................... 123
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Categorias para análise dos documentos................................................ . 52
Tabela 2 – Indicadores econômicos, sociais e demográficos.................................... . 86
Tabela 3 – Configuração educacional dos países...................................................... . 90
Tabela 4 – Período letivo, horário escolar e carga mínima de horas de trabalhos
escolares.................................................................................................................... . 91
Tabela 5 – Número de matrículas na Educação Básica por dependência
administrativa ........................................................................................................... . 97
15
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
Introdução
Professor da Rede de Educação Estadual de São Paulo, por quinze
anos, adquiri experiências diversas. Era 1997, um ano conturbado e cheio de
incertezas. No Brasil, o Senado aprova em segundo turno a emenda que
possibilita reeleição de prefeitos, governadores e presidente, o mundo via de
perto uma eminente crise financeira com a Bolsa de valores de Hong Kong, uma
das maiores do mundo, cair 10,4%. Logo a crise se espalharia pelo resto do
mundo.
Agora com 35 anos, via a necessidade de expansão de meus
conhecimentos, assim, com ímpeto dediquei-me a um programa do Governo
Estadual, que oferecia formação continuada para professores de Matemática. Até
então, possuía apenas formação em Ciências, onde outrora foi denominada
“Licenciatura Curta de dois anos”, que habilitava lecionar Ciência e Matemática
para o Ensino Fundamental II.
Assim, a Secretaria de Educação do Estado em parceria com a
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, PUC/SP, oportunizou, aos
professores detentores da Licenciatura Curta em Ciências, que por sua vez
lecionavam Matemática para o Ensino Fundamental II na rede, concluir sua
formação em Licenciatura em Matemática.
Concluir essa licenciatura aguçou o interesse em prosseguir em novos
estudos e pesquisas. Nesse sentido, ao participar de formações continuadas
proporcionadas pela Rede Estadual de São Paulo, optei pelo ingresso no
Mestrado em Educação Matemática, também pela PUC/SP.
Em 2001 estava matriculado regularmente no Programa de Estudos
Pós-Graduados em Educação Matemática - PUC/SP. Em 2002 fui convidado para
a participação do Projeto “Construindo Sempre Matemática PUC-SP/SEEESP”,
na cidade de Serra Negra, interior do estado, dessa vez como formador de 100
professores do primeiro ano do Ensino Médio, que atuavam na rede.
15
16
Participar desse projeto abriu caminhos, que consecutivamente
possibilitaram a construção da minha Dissertação de Mestrado, pois, cabia no
momento, a excelente oportunidade de análise e avaliação do projeto. Nesse
sentido, abriu-se um campo que proporcionou tecer e projetar minhas
considerações, onde apresentei uma nova proposta de discussão, sobre quais
conteúdos matemáticos ensinar no Ensino Médio, que ainda configurassem uma
Matemática voltada para a formação cidadã dos alunos.
Na
dissertação,
foram
expostos
meus
anseios
e
temores,
principalmente pelo fato, de que era inédita minha atuação como formador de
professores.
No ensejo, também aproveitei para expressar as contribuições,
fossem elas criticas ou sugestivas, partindo sempre dos professores acerca dos
materiais didáticos, que foram produzidos e entregues para esses profissionais
utilizarem com seus alunos.
Passadas muitas leituras e reflexões discorri sobre projetos de
formação continuada e de como deve ser concebido e revisto durante o período
da formação, priorizando sempre a busca no atendimento das necessidades dos
professores.
Após a conclusão do Mestrado, fui contratado para lecionar em uma
instituição de ensino superior para o curso de Licenciatura em Matemática,
momento em que ainda atuava na rede estadual lecionando para o Ensino
Fundamental II, somado a uma escola particular. Nesta última ministrava aulas
para o Ensino Médio.
Investi em formação de professores polivalentes e especialistas em
Matemática, que lecionam para o Ensino Fundamental II e Médio, dado a essa
premissa, assessorei diversas secretarias municipais de Educação tais como: Rio
Branco – AC, São Caetano do Sul – SP , São José dos Campos – SP e São
Paulo – Capital, entre outras.
Tornei-me confeccionador de materiais de Orientações Didáticas para
professores do 4º e 5º anos da Secretaria de Educação do Município de São
Paulo. Elaborei um Livro Didático para 9º ano, denominado “Asas da Florestania”.
16
17
Também fui co-autor do livro didático para o Ensino Médio “O Universo da
Matemática” (2005).
Hoje tenho participado de diversas formações de professores,
oferecidas nas modalidades: presencial e a distância, também há cinco anos sou
professor orientador do Programa de Iniciação Científica dos alunos talentos das
Olimpíadas de Matemática das escolas públicas – OBMEP.
Assim, vejo que ao ser um formador de professores tenho muitas
responsabilidades, por isso, considero que uma destas é a de atualizar-me quanto
aos resultados de pesquisas que remetem ao processo de ensino e
aprendizagem em Matemática. Minha meta sempre será de enriquecimento de
meu repertório de experiências que deram certo, assim como, apresentar aos
professores em formação a idéia de busca pelo aprimoramento contínuo.
Não obstante, realizar leituras sobre as tendências em Educação
Matemática sem debatê-las causava-me alguns desconfortos, pois nem sempre
sabia se o meu entendimento de fato era o que eu poderia considerar como
verdadeiro. Dialogar sobre as leituras e nossas reflexões com pares, possibilitaria
“enxergar” outras possibilidades, rever posicionamentos e, por conseguinte
ampliar o campo de visão e de entendimento, proporcionando-me condições de
argumentar com os professores que realizavam formações, na qual atuava como
formador.
No Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da
PUC-SP, as segundas feiras, ocorrem reuniões de grupos de discussão em
Educação Matemática, assim, desde o término do mestrado, procurei não
distanciar-me desses encontros, uma vez que era possível estar constantemente
estudando e refletindo sobre os rumos do ensino e aprendizagem da Matemática.
O grupo de estudos ao qual tenho imenso orgulho em fazer parte,
refere-se
à
“Organização,
Desenvolvimento
Curricular
e
Formação
de
Professores”, devidamente coordenado pela Profª Drª Célia Maria Carolino Pires.
Em uma dessas reuniões com o grupo, foi proposto a iniciativa de
caracterizarmos comparativamente, os currículos de Matemática prescritos entre
Brasil e países da América Latina, onde a posteriori tornou-se mote dessa tese.
17
18
A tese de doutorado em questão insere-se no Projeto “Pesquisas
comparativas sobre organização e desenvolvimento curricular, na área de
Educação Matemática em países da América Latina”. Para tanto, reúne
doutorandos desenvolvedores de análises comparativas sobre Currículos de
Matemática para a Educação Básica.
Seu propósito é estabelecer e manter um espaço de crítica, debate e
comunicação sobre o estado atual e o desenvolvimento recente da investigação
na
área
de
Educação
Matemática
em
termos
da
organização
e
do
desenvolvimento curricular, pressupondo que tenha grande contribuição para a
formação de professores. Não obstante, analisa seus avanços teóricos e
metodológicos
em
países
latino-americanos,
tendo
em
vista
possíveis
similaridades, além de considerar a importância na busca de soluções para
problemas desafiadores enfrentados.
A intenção parte da constituição de grupos investigatórios, que
trabalhem de forma sistemática e continuada nessa linha de pesquisa, com
intenção de servirem de referência para os especialistas que estejam conectados
com a comunidade investigadora internacional. Assim, os integrantes do projeto
pretendem produzir uma investigação qualificada, que por sua vez traga
contribuições específicas e originais às questões prioritárias na área de Educação
Matemática, onde também apresentem regularmente os resultados obtidos em
fóruns e meios de comunicações da comunidade de investigadores dessa área.
São objetivos dos proponentes do Projeto de Pesquisa:
1. Identificar aspectos comuns e especificidades dos currículos
prescritos de Matemática implementados em cada um desses
países, assim como as formas de organização;
2. Identificar semelhanças e diferenças entre materiais didáticos
utilizados nesses países, pensados como currículos apresentados;
3. Buscar dados referentes aos currículos moldados pelos professores,
que se aproximam do que é realizado nas salas de aula;
4. Identificar fontes, que evidenciem a adesão ou a rejeição dos
professores de Matemática às orientações curriculares prescritas nos
documentos oficiais.
A escolha do tema de pesquisa do grupo surgiu especialmente da
identificação da falta de estudos, que investiguem o processo de organização e
18
19
desenvolvimento curricular em diferentes países, notadamente os países latinoamericanos, conforme detalharemos adiante.
Foi constatado, que o intercâmbio entre pesquisadores em Educação
Matemática de países ibero-americanos existe, onde possui uma de suas marcas
na criação da Federação Iberoamericana de Sociedades de Educação
Matemática - FISEM, criada em 2003, e que congrega as seguintes sociedades:
Sociedad Argentina de Educación Matemática (SOAREM), Sociedade Brasileira
de Educação Matemática (SBEM), Sociedad Chilena de Educación Matemática
(SOCHIEM), Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas
(FESPM), Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas (ANPM, do
México), Asociación Mexicana de Investigadores del Uso de Tecnología en
Educación Matemática (AMIUTEM), Sociedad Peruana de Educación Matemática
(SOPEMAT), Associação de Professores de Matemática (APM/Portugal),
Sociedad de Educación Matemática de Uruguay (SEMUR), Sociedad Boliviana de
Educación Matemática (SOBEDM), Asociación Venezolana de Educación
Matemática (ASOVEMAT) , Comité de Educación Matemática de Paraguay
(CEMPA), Sociedad Ecuatoriana de Matemáticas (SEDEM) e a Asociación
Colombiana de Educación Matemática. A FISEM mantém uma revista de
divulgação científica, a Unión, que responsável pela organização do Congresso
Iberoamericano de Educação Matemática (CIBEM).
Outros eventos também
mobilizam a comunidade, assim como a Conferência Interamericana de Educação
Matemática (CIAEM), da Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul e
Reunião
Latino
Americana
de
Matemática
Educativa
(RELME).
Tais intercâmbios permitem formularmos conceitos e teorizações de estudos
sobre Educação Matemática, fazendo com que produzam impactos nas políticas
públicas, especialmente nas políticas curriculares desses países, contudo, esse
objeto de investigação, não coube a essa pesquisa.
Nesse contexto, em uma primeira etapa, cabe ao projeto organizar-se,
baseado referencialmente na comparação entre Brasil, Argentina, Chile, Paraguai,
Peru e Uruguai, abrindo espaço ainda, para que, à posteriori, outros países
possam ser incluídos. Especificamente nesse projeto de pesquisa, a contribuição
se resume em realizar um estudo comparativo sobre currículos de Matemática
entre Brasil e Chile.
19
20
Para
realizar
um
estudo
comparado,
o
projeto
de
pesquisa
fundamentou-se em Ferrer (2002), citando sua afirmação de que a Educação
Comparada permite destacar quatro finalidades:
1. Ilustrar as diferenças ou semelhanças entre os sistemas dos vários
países de educação;
2. Mostrar a importância que têm os fatores contextuais dos sistemas
educativos como elementos explicativos de si mesmo;
3. Estabelecer as possiveis influências que tem os sistemas educativos
sobre determinados fatores contextuais;
4. Contribuir para compreender melhor o nosso sistema educativo
mediante o conhecimento do sistema educativos de outros países
(FERRER, 2002, p.23).
O autor defende ainda, que a Educação Comparada tem uma ampla
tradição desde o inicio do século XIX, e que para abordar esse tema é necessário
estruturar a pesquisa em seis fases básicas, tais como descritas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A fase pré – descritiva
A fase descritiva
A fase interpretativa
A fase de justaposição
A fase comparativa
A fase prospectiva
Assim, Ferrer (2002), considera que essas fases são características
dos estudos de Educação Comparada, realizada ao longo da História e que se
desenvolvem com exatidão. Também afirma ser uma classificação rigorosa do
ponto de vista cientifico e metodologicamente esclarecedora.
No capítulo referente aos fundamentos metodológicos, são escritos
cada uma das seis fases da proposta de Ferrer.
Dado a essas premissas, ao iniciar a pesquisa, de início foi efetuado
um levantamento sobre o tema em um Banco de Teses da Coordenação de
Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)1, contudo, não foram
encontradas em dissertações de Mestrado, ou em teses de Doutorados,
quaisquer assuntos pertinentes ou relacionados a estudos comparativos de
currículos de Matemática entre o Brasil e outro países da América Latina.
1
Disponível em<http://servicos.capes.gov.br/capesdw>.
20
21
Já na consulta ao banco de teses da CAPES, fora identificada uma
tese2, referente a um estudo comparativo entre Brasil e Portugal, outras duas3
relacionadas à organização de currículos e desigualdades, longe de tecer
relações com currículos de Matemática.
Foram também, realizadas buscas no Ministério de Educacion de Chile
e Biblioteca Nacional de Chile, mas não foi encontrada nenhuma tese sobre o
tema referido.
Para além da falta de investigações sobre o tema, a escolha tem como
justificativa, a importância de retomar e analisar movimentos de reestruturação
curricular, que por sua vez, vêm ocorrendo desde os anos 80 do século passado
em muitos países como França, Estados Unidos, Itália, Inglaterra, Japão,
Portugal, Espanha e Holanda, entre outros.
Pires (2000), afirma que muitos países têm se dedicado a rever seus
currículos
educacionais,
em
especial
o
de
Matemática,
principalmente
impulsionados pelo fracasso reconhecido mundialmente do Movimento da
Matemática Moderna (MMM)4. No período que sucedeu a Matemática Moderna,
em vários países novas propostas começaram a ser elaboradas.
A autora destaca ainda, pontos comuns nos currículos de vários
países, ora especialmente elaborados na década de 80, logo após o refluxo do
Movimento Matemática Moderna:
A importância dada à presença do “mundo real”, a articulação
vida/escola é uma constante nesses movimentos.
A construção da Matemática a partir dos problemas encontrados em
outras disciplinas e a utilização dos conhecimentos matemáticos em
2
AGUIAR, G. S. Estudo comparativo entre Brasil e Portugal sobre diferenças nas ênfases
curriculares de Matemática a partir da análise do Funcionamento Diferencial do Item (DIF) do PISA
2003. 2008. 246f. Tese (Doutorado em Educação). Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro. Rio de Janeiro.
3
ORTIGÃO, M. I. R. Currículo de Matemática e Desigualdades Educacionais. 2005, 298f. Tese
(Doutorado em Educação). Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro.
PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear a idéia de rede. 1995. 267f.
Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação. Universidade de São Paulo. São
Paulo.
4
O Movimento da Matemática Moderna (MMM) foi uma tendência pedagógica implementada nas
décadas de 60 e 70 do século XX e foi marcado por uma nova abordagem que tinha como foco as
estruturas algébricas e a teoria dos números. O ensino da Geometria praticamente foi relegado a
um segundo plano. Esse movimento foi severamente criticado em vários países e no Brasil e, com
a divulgação do livro de Morris Kline, “O fracasso da Matemática Moderna” as criticas ganharam
força levando ao fim esse movimento.
21
22
especialidades diversas é outra indicação que a “rainha das ciências”
parece ter descido do trono para ocupar um lugar mais comum no
currículo, ao lado das outras disciplinas, com o objetivo comum de
construir uma escola comprometida com a formação democrática do
futuro cidadão.
A ênfase conferida à atividade do aluno, consubstanciada na
metodologia cada vez mais difundida da “resolução de problemas”, é
outro aspecto comum; a estimulação das capacidades intuitivas do aluno
também é resgatada fortemente.
A importância da estimativa, dos cálculos combinatórios e
probabilísticos, do tratamento estatístico de dados, são os pontos que
começam a emergir nos currículos mais recentes, dando conta da
preocupação em tratar, já no 1º grau, temas que fazem parte, cada vez
mais significativa, do cotidiano da sociedade contemporânea.
O papel da avaliação também é outro ponto frequente, destacando sua
função diagnóstica e o papel construtivo do erro etc. (PIRES, 2000, p.
16).
Ao longo dos anos 90, já adentrando à primeira década do século XXI,
a discussão curricular teve prosseguimento tornando-se não só as características,
como também alguns impactos desse debate. Assim, cabe ser colocado como
meta investigatória para cumprimento desse trabalho.
Nesse cenário, entende-se como relevante, a discussão sobre
currículos de Matemática oficiais prescritos no Brasil e Chile, dado pelos motivos
que se passam na sequência.
Ao conceber um plano para a Educação, para alunos que tem idade
compreendida entre seis e dezessete anos, é necessário que os elaboradores
que estão à frente dessa iniciativa, explicitem quais são as finalidades da
Educação, suas concepções e os princípios que nortearão toda a trajetória para a
concretização dos objetivos traçados.
Outro aspecto que deve ser considerado é a pluralidade cultural
existente em diferentes regiões de um mesmo país. Essas diferentes culturas
devem ser valorizadas e privilegiadas, tampouco deve ser proposto um núcleo
comum de conhecimentos das diferentes disciplinas para serem ensinadas no
âmbito nacional, permitindo a inserção dos conhecimentos que cada secretaria
das diversas regiões entenda como importante para suas comunidades.
A esse conjunto de concepções, objetivos e finalidades do ensino
proposto, orientações didático-metodológicas, princípios, lista de conteúdos a
22
23
serem
trabalhados em
sala
de
aula e
exemplos
de
atividades
com
encaminhamentos, entre outros, são entendidos como parte de um currículo.
Assim, mais adiante será observado que o currículo não se resume apenas nas
intenções dos elaboradores, das secretarias de Educação, ou da escola, dado ao
pressuposto que existem níveis, aos quais Sacristán (2000) propõe que seja
considerado na construção curricular. Tal afirmação deve considerar desde os
documentos prescritos até sua consecução em sala de aula.
Uma vez que o foco é o currículo de Matemática, deve-se considerar
que ao elaborar um currículo de Matemática, é necessário que se reflita sobre
quais orientações deverão ser oferecidas para se colocá-lo em prática, assim
como cabe questionar que modelo deve-se apresentar às escolas e aos
professores.
A fim de elucidar essas questões, foram buscadas respostas e
contribuições na Educação Matemática, que é um campo de conhecimento, e
vem se constituindo por diversas contribuições de pesquisas relacionadas ao
processo de ensino e aprendizagem.
Vimos que o problema central da Educação Matemática consiste em
promover condições, para que os estudantes construam os conhecimentos,
conceitual e processual, de tal forma que, permita o desenvolvimento de suas
competências e habilidades, a fim de analisar e tomar decisões sempre que se
depare com situações e problemas em diferentes contextos, mesmo que, nesse
momento, esteja sendo apresentado um novo conhecimento, que vai além de
suas capacidades cognitivas.
Paes (1999) discorre, que tanto no Brasil como em outros países, houve
um grande impulso nas reflexões relativas à área da Educação Matemática
abrangendo uma diversidade de temas, aspectos e questões inerentes ao
processo de ensino e aprendizagem do conhecimento matemático.
Assim, o autor expressa, que essas tendências revelam ainda variadas
concepções da própria Educação, passando pelo enfoque tradicional até uma
forma mais libertadora de idealizar a prática escolar.
É a partir da diversidade de pesquisas que é caracterizada a Educação
Matemática no Brasil, assim podemos destacar uma determinada forma particular
23
24
de descrever e compreender os fenômenos que chamamos de Didática da
Matemática.
Paes (1999) entende a Didática da Matemática não como um conjunto
de recomendações de modelos ou receitas de soluções a determinados
problemas de aprendizagem, destacando ainda que é somente a partir de seus
resultados de pesquisas, sobretudo em sala de aula, que se podem indicar
propostas pedagógicas com a finalidade de contribuir para uma melhor
compreensão do fenômeno da aprendizagem dessa disciplina. Dessa forma
contribui para uma consequente melhoria do seu ensino.
Outra justificativa plausível para a nossa pesquisa é identificar se, nos
currículos de matemática oficiais e prescritos para o ensino de Matemática do
Brasil e Chile, há um enfoque nas orientações veiculadas pela Educação
Matemática.
Uns dos fatores que chamou a atenção foram os dados divulgados em
2009 pelo Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA5), momento em
que colocaram o Brasil em 53º lugar em Matemática. De acordo com esse órgão,
dentre os países da América Latina avaliados, o Brasil ficou ranqueado abaixo do
Uruguai (43º), Chile (45º) e México (50º). Apenas posicionou-se acima da
Colômbia (54º) e do Peru (59º).
O PISA busca medir o conhecimento e a habilidade em Leitura,
Matemática e Ciências de estudantes com 15 anos de idade, tanto de países
membros da Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico
(OCDE), quanto de países parceiros. O exame feito pela OCDE avaliou em 2009,
o conhecimento de cerca de 470 mil estudantes em Leitura, Ciências e
Matemática de 65 países.
Embora
as
avaliações
institucionais
comparativas
devam
ser
analisadas com cautela, o fato é que o desempenho em Matemática dos
5
O Programa Internacional de Avaliação de Alunos (em inglês: Programme for International
Student Assessment - PISA) é uma rede mundial de avaliação de desempenho escolar, realizado
pela primeira vez em 2000 e repetido a cada três anos. É coordenado pela Organização para a
Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), com vista a melhorar as políticas e
resultados educacionais.
24
25
estudantes da Educação Básica nos países latino-americanos parece ainda
enfrentar grandes desafios uma vez que ocupam posições muito distantes dos
primeiros colocados.
Em meio a avanços e desafios dos sistemas educativos na América
Latina, temos interesse em saber que contribuições à área de Educação
Matemática vêm dando e ainda tem para oferecer a esses países, pressupondo
que a produção na área vem crescendo significativamente, tanto nacional, como
internacionalmente.
Uma hipótese de nossa investigação consiste em reconhecer que nos
últimos 20 anos as mudanças curriculares, influenciadas pelas pesquisas na área
da Educação e da Educação específica de Matemática, tornaram-se relevantes
em diversos países, particularmente no Brasil e Chile.
No âmbito dessas discussões, essa pesquisa comparativa, sobre
organização e desenvolvimento curricular na área de Educação Matemática, entre
Brasil e Chile, considera de fundamental importância analisar:
a) A estrutura da Educação Básica formal nesses países observando
tempo de escolaridade, abrangência do ensino obrigatório, os
movimentos de reorganização curricular no que se refere ao ensino
da Matemática etc.;
b) A Matemática proposta a ser ensinada a crianças e jovens desses
países neste início de milênio.
c) Os pressupostos que norteiam os documentos curriculares nesses
países e as influências da Educação Matemática presentes nos
documentos curriculares e nos materiais didáticos.
d) A existência de experiências nesses dois países que podem ser
compartilhadas no que se refere à busca de alternativas para
melhorar o ensino de Matemática.
As análises propostas à realização por meio de leituras, observações,
entrevistas e reflexões devem, conduzir à meta, que se restringe à busca e
revelação de informações que permitam responder “quais são as influências da
Educação Matemática nos currículos de Matemática do Brasil e Chile?”.
Com o intuito de responder a essa questão, foram realizadas diversas
leituras de artigos científicos, que discorressem sobre currículos de Matemática
no Brasil e Chile, e que ainda pudessem caracterizar o sistema educacional dos
25
26
dois países pesquisados. Como fonte, também foram consultados documentos
oficiais de ambos os países.
A pesquisa documental, tem como objetivo identificar nas redes de
ensino público, as ações empreendidas pelos respectivos Ministérios de
Educação, no sentido de organizar currículos prescritos.
Para compreender o funcionamento dos sistemas educacionais nos
países pesquisados houve recorrência às pesquisas pela internet, ao acessar os
sites oficiais dos Ministérios de Educação do Brasil (MEC)6 e Ministerio de
Educación del Chile (MINEDUC)7.
O Brasil oferece um ambiente vasto para pesquisas relacionadas à
Educação. Ao navegar pelo site oficial do MEC foram encontrados links que
direcionam para uma busca mais refinada, tal como, a exemplo, o Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais – Inep8. Por meio do Inep foram
obtidas as informações necessárias para que compreendêssemos o sistema
educacional do Brasil. Como país de origem da pesquisa, o Brasil tornou
obviamente possível, apresentar-se com mais familiaridade no que concernem
certos aspectos da Educação, permitindo-nos ainda, um aprofundamento nas
observações e análises.
Outros sites oficiais do governo brasileiro, também serviram de consulta
para nossa pesquisa, tal como o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística)9, assim, por meio desse, foi acessado o site da Pesquisa Nacional por
Amostra de Domicílios, o IBGE Instituto10. De igual forma, o Sistema de Medición
de la Calidad de la Educación del Chile (SIMCE)11, também foi cientificamente
vasculhado, dado a característica, que apresenta resultados de avaliações sobre
conhecimentos e habilidades dos alunos da Educação Básica. Sua finalidade é de
buscar elementos para nortear as ações, visando à melhoria do desempenho
daquelas escolas que não tiveram um bom aproveitamento.
6
www.mec.gov.br/
Disponível> http://www.mineduc.cl
8
www.inep.gov.br/
9
www.ibge.gov.br/
10
www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/.../pnad2009/2010/
11
Disponível: www.simce.cl
7
26
27
Foi Constatado, que o Chile também mantém um acervo rico de
pesquisas na área de Educação, Centro de Aperfeiçoamento, Experimentação e
Investigações Pedagógicas (CEPEIP12), cujos arquivos são documentos sobre as
reformas curriculares, resultados de avaliações e desempenho de alunos e das
escolas por região e formação de professores. Visitamos o site e estivemos
pessoalmente nessa biblioteca colhendo informações que aclaravam as dúvidas
sobre os encaminhamentos propostos nos currículos e sobre as práticas dos
professores frente aos documentos oficiais.
O PNUD13 (Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento),
também foi consultado. Ainda foram buscadas informações no site do Mercosul14
e da OECD15 – Econômico, assim como na Sociedade Brasileira de Educação
Matemática – SBEM16 e na Sociedad Chilena de Educación Matemática o
SOCHIEM17. Não se pode esquecer dos artigos publicados na Revista Chilena de
Educación Matemática – RECHIEM.
Navegou-se também no site do Fisem (Federación Iberoamericana de
Sociedades de Educación)18, que apresenta diversos artigos na revista Union
(Revista Iberoamericana de Educación Matemática).
As informações coletadas nos sites possibilitaram não só conhecer os
sistemas educacionais dos dois países, mas também caracterizar o Brasil e Chile
frente aos indicadores nacionais e internacionais relacionados ao crescimento
populacional, taxas de alfabetização, crescimento econômico e social, a
diversidade cultural dos dois países, etc.
Na tabela a seguir são indicados os documentos oficiais analisados, a
fim de compreensão dos sistemas educacionais de Brasil e Chile:
12
http://www.cpeip.cl/index2.php?id_portal=41&id_seccion=3116&id_contenido=12364
13
www.pnud.org.br/
www.mercosul.gov.br/
15
www.oecd.org
16
www.sbem.com.br/
17
www.sochiem.cl/
18
www.fisem.org/
14
27
28
Quadro 1 – Lista de documentos oficiais para pesquisa
Documentos oficiais – Chile
Documentos oficiais – Brasil
Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional –
Ley 20 370 de 12/09/2009 – Establece la Ley
LDB 9394/96
General de Educación.
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática de
Ley 19532 de 17/11/1997 Crea el regimen de jornada
primeira a quarta série do Ensino Fundamental,
escolar completa diurna y dicta normas para su
1997.
aplicación.
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
Ley 19979 de 03/11/2004 Modifica el régimen de
terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental,
jornada escolar completa diurna y otros cuerpos
1998.
legales.
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
Guia Ayuda Mineduc/Educación Básica – 2010 –
Ensino Médio, 1999.
MINEDUC
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos
Ensino Médio – PCN+
Obligatorios de La Educación Media – MINEDUC
Orientações Educacionais Complementares aos
Parâmetros Curriculares Nacionais, 2002
Conocimiento Pedagógico del Contenido y su
Relatório de análise de propostas curriculares de
incidencia en la Enseñanza de la Matemática Nivel
ensino fundamental e ensino médio / Maria das
de Educación Básica Fondo de Investigación y
Mercês
Desarrollo en Educación – FONIDE, Departamento
Ferreira Sampaio (organizadora). – Brasília:
de Estudios y Desarrollo. División de Planificación y
Ministério da Educação / Secretaria de Educação
Presupuesto.
Básica, 2010.
Bases Curriculares Consulta Pública Educación
Básica - Abril (2011)
Resultados para Docentes y Directivos SIMCE, 2007
a 2009
Programa de Estudio del primer a cuarto año Básico.
Programa de Estudio del quinto a octavo año Básico
Programa de Estudio del Educación Media primero a
cuarto año.
28
29
Além de documentos oficiais pesquisados por meio de pesquisas online, foram encontrados diversos artigos publicados em congressos na área de
Educação Matemática, ora realizados nesses países e/ou lançados em revistas
especializadas na área de objeto de estudo, que por sua vez foram de grande
valia para a realização das investigações.
A Estruturação do trabalho foi organizada em seis capítulos, nesse
sentido, no primeiro capítulo, são apresentados os fundamentos teóricos que
permitiram as análises documentais realizadas em ambos países. Ao final desse
capítulo, será mostrada uma síntese, que descreve a intencionalidade quanto às
escolhas das categorias de análises comparativas de currículos de Matemática
prescritos e vigentes no Brasil e Chile.
No
segundo
capítulo,
são
destacados
os
procedimentos
metodológicos, que dão ênfase aos estudos comparados e à trajetória adotada
para a realização da pesquisa.
O terceiro capítulo expressou a devida configuração dos sistemas
educativos de Brasil e Chile, que descrevem o contexto social, político e
econômico (IDH, PIB, taxa de escolarização, contexto político pós-ditadura etc.),
além do contexto educacional e políticas públicas (o atendimento, a demanda, a
escolarização obrigatória, entre outros). Assim, o capítulo é finalizado com uma
síntese preliminar, que destaca as similaridades e diferenças presentes entre os
sistemas educacionais de Brasil e Chile.
No quarto capítulo, foi efetuada uma análise comparativa dos
currículos de Matemática prescritos e vigentes para alunos, cuja faixa etária está
compreendida entre 6 aos 14 anos, que no Brasil equivale ao Ensino
Fundamental e no Chile à Educação Primária. Assim, com base nas categorias
explicitadas e abarcadas pelos fundamentos teóricos apresentados no primeiro
capítulo, são evidenciados os processos de construção e elaboração. Tampouco
serão explicitadas as semelhanças e diferenças em termos de objetivos,
conteúdos, orientações didáticas e orientações para avaliação. Também, será
Indicada a existência dos pressupostos teóricos da Educação Matemática
presentes nas propostas curriculares.
29
30
O capítulo quinto foi marcado pela efetuação da análise comparativa
dos currículos de Matemática prescritos e vigentes para os alunos com idades
compreendidas dos 15 aos 17 anos, que no Brasil é conhecido por Ensino Médio
e no Chile Educação Secundária. Nesse sentido, buscou-se evidenciar possíveis
diferenças e semelhanças respaldadas nas categorias de análise de nossa
pesquisa.
No sexto e último capitulo, predominou as análises das entrevistas
concedidas por profissionais que atuam na Educação e que lidam de forma direta
e ou indireta com currículos prescritos vigentes, ou seja, concordâncias e
discordâncias (autoridades educativas nacionais e regionais, da época da
implementação e atualmente), por meio de entrevistas, observações e
documentos que revelam suas participações nas reformas curriculares em cada
país.
Por fim, foram analisadas as entrevistas concedidas, baseando-se na
expectativa de, ou se possível, identificar, se os currículos oficiais prescritos e
vigentes se revelam na práxis do dia-a-dia.
Finalizarei minha pesquisa apresentando minhas conclusões e
considerações finais.
30
31
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
1.1 Introdução
Como propósito, o capítulo a seguir expõe reflexões que permeiam o
campo da análise dos currículos oficiais, que por sua vez, foram prescritos do
Brasil e Chile à luz de estudos específicos de currículo, mais especificamente
correlacionado ao de Matemática. Em um primeiro momento, propõe-se a
apresentação de autores e estudiosos que discorrem sobre a temática. Assim,
valendo-se dessa premissa, usá-los-emos a fim de fundamentarmos as reflexões
em questão, e na ajuda no esclarecimento de alguns itens específicos de análise
de currículos de Matemática, tais como: o papel que atribuem à Matemática na
formação dos alunos; a ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações
teóricas, a forma de estruturar o currículo prescrito, os critérios de seleção e de
organização dos conteúdos, as referências implícitas ou explícitas que constituem
a Educação Matemática, as orientações metodológicas e didáticas explícitas ou
subjacentes e por fim, as indicações sobre o processo de avaliação da
aprendizagem.
1.2 Concepção de Currículo e níveis de concretização
Diversos autores como Sacristán, Bishop, Doll, Rico, Fey e Pires,
dedicam-se na reflexão e apresentação de uma definição para currículo. Dentre
as várias proposições, pode ser destacado a de Sacristán (2000), por considerá-la
uma reflexão contemporânea e bastante pertinente.
31
32
Quando definimos o currículo estamos descrevendo a concretização das
funções da própria escola e a forma particular de enfocá-la num
momento histórico e social determinado, para um nível ou modalidade de
educação, numa trama institucional, etc. O currículo do ensino
obrigatório não tem a mesma função que o de uma especialidade
universitária, ou o de uma modalidade de ensino profissional, e isso se
traduz em conteúdos, formas e esquemas de racionalização interna
diferentes, por que é diferente a função social de cada nível e peculiar a
realidade social e pedagógica que se criou historicamente em torno dos
mesmos. Como acertadamente assinala Heubner (citado por McNeil,
1983), o currículo é a forma de ter acesso ao conhecimento, não
podendo esgotar seu significado em algo estático, mas através das
condições em que se realiza e se converte numa forma particular de
entrar em contato com a cultura. O currículo é uma práxis antes que um
objeto estático emanado de um modelo coerente de pensar a educação
ou as aprendizagens necessárias das crianças e dos jovens, que
tampouco se esgota na parte explícita do projeto de socialização cultural
nas escolas. É uma prática, expressão da função socializadora e cultural
que determinada instituição tem, que reagrupa em torno dele uma série
de subsistemas ou práticas diversas, entre as quais se encontra a prática
pedagógica desenvolvida em instituições escolares que comumente
chamamos ensino (SACRISTÁN, 2000 p. 15-16).
É notória a necessidade de destaque de algumas das preocupações
que concernem a ideia de elaboração do currículo. Nesse caso, a definição de
Sacristán (2000), não só apresenta, como igualmente reforça o pensamento a
respeito da questão, uma vez que a intenção principal de um currículo é de
oportunizar aos estudantes acesso ao conhecimento, contudo é importante partir
da ideia sobre para quem está sendo proposto e o que se deseja alcançar.
Pires (2011) afirma que ao assumir a ideia apresentada por Sacristán,
marca-se a diferença entre essa concepção e aquela de que currículo é
simplesmente o processo centrado na definição de objetivos e conteúdos a serem
trabalhados em cada etapa da escolaridade, que ainda é muito presente na
tradição educacional.
Sacristán (2000) entende que o currículo para a Educação tem que ser
proposto ao ser considerando o processo de aprendizagem desde os primeiros
anos até o ultimo ano de escolaridade, ou seja, é um processo que leva anos:
(...) Desde um enfoque processual ou prático, o currículo é um objeto
que se constrói no processo de configuração, implantação, concretização
e expressão de determinadas práticas pedagógicas e em sua própria
avaliação, como resultado das diversas intervenções que nele se
operam. Seu valor real para os alunos, que aprendem seus conteúdos,
depende desses processos de transformação aos quais se vê submetido
(SACRISTÁN, 2000, p. 101).
32
33
Se o currículo é algo a ser construindo antes e durante o processo
escolar, temos que considerar que este sofrerá influência das pessoas que estão
à frente das tomadas de decisões referentes ao currículo, cada uma com uma
visão de ensino atrelada às suas experiências e crenças. Assim, Sacristán (2000)
propõe um modelo de interpretação do currículo como algo construído no
cruzamento de influências e campos de atividades diferenciados e interrelacionados.
Assim, o autor apresenta como mostra, o diagrama abaixo,
relacionando a estruturação em níveis ou fases. No entanto, ratifica que esses
níveis não são hierarquizados nem constituem – se de forma linear.
Sacristán (2000) busca caracterizar esses diferentes níveis, nesse
sentido, os currículos prescritos indicam a posição da instituição governamental
em termos de como ela vislumbra a educação, a escola, os processos de ensino
e de aprendizagem de uma dada área de conhecimento, em face de objetivos a
serem alcançados.
Configuram-se então, como um documento de referência para a
elaboração de currículos apresentados e para a elaboração dos currículos
33
34
moldados pelos professores no âmbito da escola. Além de fundamentos teóricos
os currículos prescritos indicam as expectativas de aprendizagem para cada ano
da escolaridade e que serão objeto do nível “currículo avaliado”.
Os currículos apresentados aos professores são em geral resultantes
da formulação de autores de livros didáticos e outros materiais, que objetivam
mostrar de forma traduzida as orientações curriculares expressas nos currículos
prescritos.
Os currículos moldados pelos professores, em seu planejamento no
início do ano letivo e no decorrer dele, são elaborados a partir dos currículos
prescritos e apresentados e levam em conta os diagnósticos preliminares que
cada professor faz sobre o que foi ensinado a esses alunos nos anos anteriores,
tanto quanto o que foi aprendido. Esse plano necessariamente se desdobra em
outros mais específicos, elaborados periodicamente e que inclui todas as
especificidades das atividades de aprendizagem que o professor pretende realizar
com seus alunos.
Os currículos em ação e os currículos efetivamente realizados, são
aqueles que se concretizam em sala de aula, em que as atividades vão sendo
ajustadas em função da interação entre professores, alunos e o conhecimento.
Muitas vezes o que foi planejado inicialmente precisa adequar-se melhor ao grupo
de alunos, seja porque são observadas dificuldades para a compreensão do que
está sendo trabalhado, seja porque se observa que os alunos são capazes de
realizarem atividades mais avançadas.
Para Sacristán (2000), os currículos realizados como consequência da
prática, produzem efeitos complexos dos mais diversos tipos: cognitivo, afetivo,
social, moral, entre outros. São efeitos aos quais, algumas vezes se presta
atenção porque são considerados “rendimentos” valiosos e proeminentes do
sistema ou dos métodos pedagógicos. Mas, a seu lado, se dão muitos outros
efeitos, que por falta de sensibilidade para com os mesmos e por dificuldade para
apreciá-los (pois muito deles, além de complexos e indefinidos, são efeitos a
médio e longo prazo), ficarão como efeitos ocultos do ensino. As consequências
do currículo não só se refletem em aprendizagens dos alunos, mas também
34
35
afetam os professores, seja na forma de socialização profissional, ou inclusive na
projeção no ambiente social, familiar, etc.
Nessa visão emerge o papel do professor reflexivo, que Alarção19
(1996) sugere na ideia de que é importante que o professor reflita sobre sua
prática, com olhar aos conteúdos, como as sequências de atividades e a forma
como elas se processam no contexto de ensino.
Os currículos avaliados caracterizam-se como o momento do confronto
entre as expectativas de aprendizagens que o professor se propõe a trabalhar e
os resultados de aprendizagem dos alunos. O professor procura captar os
avanços e dificuldades que vão se manifestando ao longo do processo,
informando o que está acontecendo. Para tanto, é fundamental que ele tenha
clareza quanto às expectativas de aprendizagem que devem ser buscadas,
fazendo por fim um bom levantamento de conhecimentos prévios dos alunos além
de realizar uma avaliação criteriosa das atividades de aprendizagem que outrora
planejou e também da sua realização em sala de aula.
O nível dos currículos avaliados também pode se beneficiar das
avaliações institucionais que visam a obter indicadores educacionais que possam
subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no
sistema de ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais
distorções detectadas.
Desse modo, ao longo de nosso trabalho, procuraremos apontar, nas
diversas análises, o nível ao qual estamos fazendo referência.
1.3 Currículos
proposições
de
Matemática:
concepções
e
19
Para Alarcão (1996), o professor reflexivo, quando reflete sobre a sua prática “dá o primeiro
passo para quebrar o ato de rotina, possibilitar a análise de opções múltiplas para cada situação e
reforçar a sua autonomia face ao pensamento dominante de uma dada realidade” (CARDOSO,
PEIXOTO, SERRANO E MOREIRA, 1996, p. 83). Na mesma linha de pensamento, BRUBACHER,
CASE E REAGAN (1994) argumentam que nos professores, a prática reflexiva:
Ajuda-os a libertarem-se dos comportamentos impulsivos e rotineiros;
Permite-lhes actuar duma maneira intencional e deliberada; e
Distingue-os como seres humanos informados visto ser uma das características da
acção inteligente.
Assim, uma prática reflexiva proporciona aos professores oportunidades para o seu
desenvolvimento, tornando-os profissionais mais responsáveis, melhores e mais conscientes.
35
36
O tópico almeja apresentar a motivação que levou muitos países a
repensarem o ensino da Matemática, para tanto, mais uma vez, recorreu-se aos
estudos e pensamentos de diversos autores sobre a temática em questão, ou
seja, como ensinar e qual a finalidade desse conhecimento para o aluno. Não
obstante, pretende-se realizar as escolhas dos conceitos matemáticos que devem
estar presentes nos currículos oficiais prescritos.
1.3.1 Antecedentes importantes
Para situar as discussões sobre currículos de Matemática no Brasil e
Chile, na década de 90, período em que as reformas educacionais foram
impulsionadas e que se mantém atualmente num movimento de reorientação
curricular para o ensino de Matemática nos dois países, consideramos importante
recuperar algumas informações sobre o Movimento da Matemática Moderna
(MMM), um movimento mundial que impulsionou diversos países a reverem e
reconstruir seus currículos de Matemática. Esse inovador movimento sofreu
muitas críticas, algumas das quais expressas na obra “O fracasso da Matemática
Moderna”, do americano Morris Kline, professor da Universidade de Nova York. A
obra foi considerada de grande repercussão no meio acadêmico brasileiro, no
final dos anos 70. Pinto (2005), em seus estudos sobre o tema, destaca que para
Kline, o exagero da forma dedutiva de abordar os conteúdos, aliado ao excessivo
formalismo e simbolismo da linguagem utilizada pela matemática moderna,
empobreciam a vida e o espírito da Matemática.
A dificuldade em lembrar os significados e a desagradabilidade das
expressões simbólicas afugentam e perturbam os estudantes; símbolos
são como estandartes hostis adejando sobre uma cidadela
aparentemente inexpugnável. O próprio fato de o simbolismo ter entrado
na matemática até certo ponto significativo por volta dos séculos
dezesseis e dezessete indica que não vem sem dificuldade para as
pessoas. O simbolismo pode servir a três propósitos. Pode comunicar
idéias eficazmente; pode ocultá-las e pode ocultar a ausência delas.
Quase sempre parece dar-se a impressão de que os textos de
matemática moderna empregam o simbolismo para ocultar a pobreza de
idéias. Alternativamente, o propósito de seu simbolismo parece ser o de
tornar inescrutável o que é óbvio e afugentar, portanto, a compreensão
(KLINE, 1976, p.94, apud PINTO, 2005).
As críticas de Kline eram para o ensino americano, no entanto, elas
também adquiriam sentido no contexto educacional brasileiro, no momento em
que a abordagem tecnicista dominava as práticas escolares. Outro aspecto
36
37
criticado por Kline foi a ênfase que o novo programa dava à Teoria dos Conjuntos,
especialmente na Matemática elementar. Para ele, conceitos abstratos não
deveriam ser explorados no nível elementar, pois além de confundir a cabeça dos
alunos, estimulavam sua aversão pela Matemática. Ao defender o princípio
pedagógico que toma como ponto de partida a experiência Matemática que o
aluno traz do cotidiano, sua concepção alinha-se com a teoria psicogenética
assumida por George Papy20.
Pinto (2005) afirma que as críticas de Kline parecem incidir muito mais
na abordagem metodológica utilizada para a renovação da matemática do que
propriamente na proposta dos conteúdos a serem trabalhados. Ao sugerir
estratégias para motivar o aluno a gostar da matemática, ressalta a importância
da seleção de problemas significativos para o estudante, de dar um sentido real
aos problemas matemáticos. Para ele, era preciso que os alunos soubessem que
as aplicações da matemática eram tanto partes do conhecimento dessa ciência,
quanto meios para que estes apreciassem seu valor instrumental.
Segundo Soares (2001), o livro de Kline, apesar de publicado no Brasil
três anos após sua divulgação nos Estados Unidos, foi um marco decisivo para o
esgotamento da Matemática Moderna em nosso país (SOARES, 2001 apud Pinto
2005).
Nesse contexto e partindo da premissa de que o ensino de Matemática
deverá levar o aluno a compreender os significados dos conceitos matemáticos e
de sua aplicabilidade a partir de situações do cotidiano, deve-se considerar ainda,
que as críticas contra o Movimento da Matemática Moderna eram necessárias
para mudanças nos rumos do ensino e aprendizagem do conhecimento
matemático. Nesse sentido, diversas pesquisas em Educação Matemática foram
produzidas e levaram diversos países a um movimento de reorganização
20
Georges Papy foi um matemático belga. Seus trabalhos incluem Introdução ao espaços
vetoriais e matemática moderna. Doutorado em Matemática na Universidade de Bruxelas onde
lecionou e passou por outras universidades no exterior. Dedicado à reforma do ensino de
matemática na escola, desde 1961 dirigiu o Centro Belga de Educação Matemática. Embora as
questões apresentadas neste trabalho são de grande importância na matemática moderna, o
mérito fundamental é a utilização de recursos didáticos inovadores que tornam o tema mais
acessível.
37
38
curricular mundial. Essa nossa afirmação é respaldada por Pires (2006), quando
afirma que:
O Movimento Matemática Moderna foi, sem dúvida, um dos principais
marcos de reformas, provocando alterações curriculares em países com
sistemas educativos e realidades diversas. A preocupação central dos
currículos formulados à luz do Movimento Matemática Moderna era a de
uma Matemática útil: útil para a técnica, útil para a ciência, útil para a
economia moderna (PIRES, 2008, p. 4).
1.3.2
As contribuições da comunidade de Educação
Matemática para a reflexão sobre seus currículos
O item a seguir intenciona expor diversos estudos, que delineiam sobre
quais reflexões são de fato importantes, bem como devem ser contempladas no
que diz respeito aos documentos curriculares para o ensino da Matemática,
quando destinado à Educação Básica.
1.3.2.1
O papel da Matemática na formação dos alunos
“Que papel a Matemática tem na formação de crianças e jovens de
países latino-americanos neste início de milênio?”
A questão acima tem seu surgimento no ambiente acadêmico do grupo
de pesquisa e discussões: Organização, Desenvolvimento Curricular e Formação
de Professores em Matemática, que está inserido na linha de pesquisa do
Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, que
por sua vez detém a denominação de: Matemática na estrutura curricular e
formação de professores.
A base e pertinência para os estudos em questão, se deu na prática da
análise dos índices oficiais, que demonstravam o desempenho de alunos no
mundo, em particular na América Latina. Tais fatores, foram demonstrados nas
discussões como de extrema importância, fato que remeteram-nos à reflexões
diversas sobre questões mais amplas, a exemplo, da finalidade da Educação na
escola, como é inserido o currículo nesse contexto e sua especificidade.
Nesse caso, cabe concordar com Sacristán (2000):
38
39
Quando se fala de currículo como seleção particular de cultura, vem em
seguida à mente a imagem de uma relação de conteúdos intelectuais a
serem aprendidos, pertencentes à diferentes âmbitos da ciência, das
humanidades, das ciências sociais, das artes, da tecnologia, etc. Esta é
a primeira acepção e a mais elementar. Mas, a função educadora e
socializadora da escola não se esgota aí, embora se faça através dela,
e, por isso mesmo, nos níveis do ensino obrigatório, também o currículo
estabelecido vai logicamente além das finalidades que se circunscrevem
a esses âmbitos culturais, introduzindo nas orientações, nos objetivos,
em seus conteúdos, nas atividades sugeridas, diretrizes e componentes
que colaborem para definir um plano educativo que ajude na consecução
de um projeto global de educação para os alunos (SACRISTÁN, 2000,
p.18).
Há um entendimento mútuo sobre a relevância da questão, quando o
conhecimento específico na escola é tratado essencialmente por meio da criação
de ações que busquem não só pensar em uma Educação de maneira mais ampla,
mas que também promovam para os alunos, um ensino que aflore atitudes, senso
crítico e ético, entre outros.
Nesse sentido, o conhecimento matemático aplicado nas escolas
deverá proporcionar aos alunos, possibilidades no desenvolvimento de suas
competências e habilidades para lidarem com diferentes situações, que, mais
tarde, como cidadãos, poderão vivenciar em uma sociedade produtiva.
Cabe, nesse caso, a defesa dos alunos que têm direito ao
conhecimento matemático, que por sua vez, deve ser proposto em sala de aula, a
partir de situações ligadas ao seu cotidiano. É importante que na abordagem dos
conhecimentos matemáticos, os alunos tenham a oportunidade de experimentar,
manipular objetos, conjecturar, validar e interagir com colegas, a fim de buscar
estratégias para a resolução do que se pede numa atividade. O professor deve
então,
conduzir
essa
atividade
fomentando
nos
alunos
a
curiosidade,
observações, análises e reflexões. Tampouco, somada a lista de obrigatoriedade
profissional, o mestre deve também fornecer adequadamente o suporte aos
alunos que apresentam dificuldades de compreensão do novo conceito, com isso,
cabe desenvolver ações didáticas e metodológicas, a fim de sanar as dificuldades
apresentadas.
39
40
Uma vez compreendido o conceito envolvido e os procedimentos
matemáticos para a resolução, o professor, deverá lançar outras situaçõesproblemas, que vão além das capacidades dos alunos naquele momento, com
isso, os levarão a percepção eminente da necessidade de se apropriarem de
outros conhecimentos matemáticos para a busca da solução, bem como o
entendimento de que a Matemática não se resume a problemas ligados ao dia-adia dos alunos.
Mas, qual Matemática ensinar no ambiente escolar?
Para responder a essa questão, no próximo item, recorremos à
Educação Matemática, para identificar argumentos de diferentes autores que
justifiquem o ensino da Matemática e suas finalidades para a formação do aluno.
1.3.2.2
O papel da Matemática no currículo
Na busca de respostas à pergunta “qual Matemática ensinar na
escola?”, encontramos Rico (1997), que em seu trabalho Reflexión sobre los fines
de la Educación Matemática, analisa as considerações sobre as diferentes razões
que levaram vários pesquisadores a justificarem os fins da Educação Matemática,
num período de três décadas anteriores à publicação de seu artigo.
Rico (1997) identificou autores que procuraram responder a questão:
“Por que ensinar matemática?”, e cita a resposta dada por D’Ambrosio (1979),
que disserta que é preciso situar a Matemática num contexto de marco educativo
variável que tem se modificado pela realização de ideal de uma educação de
massa. Os benefícios da Educação devem estender-se a todos os níveis da
sociedade, sem atender às diferenças econômicas e sociais. Todas as crianças e
jovens têm o direito de alcançar as possibilidades que lhes permitem suas
próprias capacidades individuais, assim, nesse sentido, a Educação Matemática
tem a obrigação social de reduzir a zero as diferenças vividas na Educação.
O pesquisador apresenta dois pontos de vistas para a Educação
Matemática proposta por D’Ambrosio, considerando que, quando se fala de
Educação Matemática e sobre as funções sociais que esta deve atender, é
preciso considerar, prioritariamente a que classe social referiu. Pensando numa
sociedade do futuro, com toda a carga utópica que incluem os ideais de justiça,
40
41
liberdade, dignidade de vida e igualdade de oportunidades, entre outros, então, é
possível discutir sobre como orientar a educação para alcançar esse futuro. São
eles:
I.
Ponto de vista utilitário cujas idéias principais são a necessidade de
preparar matemáticos em todos os níveis para a aplicação e para o
uso de tecnologias. Preocupação pelos matemáticos sobre o que se
ensina e o que se aplica. A expectativa da sociedade de que tal
conhecimento traga benefícios para ela.
II. Ponto de vista especulativo é o esforço por desenvolver a Educação
como livre e criadora, como aquisição da arte de usar o
conhecimento (D’Ambrosio, 1979, apud RICO 1997, p. 8).
Ao explicitar os pontos de vistas de D’Ambrósio, para a Educação
Matemática, Rico (1997), apresenta a finalidade para a Educação Matemática.
A principal tarefa da educação matemática é propor estratégias para o
desenvolvimento simultâneo destes dois objetivos, o primeiro baseado
no conceito matemático de utilidade como um conjunto de técnicas e
habilidades, pensado e projetado para atender as necessidades sociais,
e o segundo considera o matemática como componentes de um grande
corpo de modelos de pensamento e linguagem para simular fenômenos
acima (RICO, 1997, p. 8).
Outra questão é analisada por Rico (1997): Por que se deve ensinar
matemática? Em Romberg (1991), ele encontra duas categorias de respostas,
sendo uma delas a
justificativa funcional21
indicando que a formação
especializada da Matemática como requisito prévio e essencial para o estudo de
uma variedade de disciplinas, entendendo que o
papel da escola é preparar
cidadãos para vida produtiva.
A segunda categoria é denominada como outras justificativas22, Assim
Rico (1997), afirma que uma justificativa comum é a de que deve – se ensinar
matemática por que supõem-se que ela promova o desenvolvimento das
destrezas de pensamento de alto nível. O esforço e a confiança para resolução de
exercícios é outra justificativa usual.
21
Grifo nosso.
22
Grifo nosso.
41
42
Ainda há o comentário de que a matemática tem uma beleza que traz
satisfação a quem a compreende, nesse sentido, finaliza com a justificativa de
ensinar matemática pela sua contribuição à nossa cultura ocidental.
Rico (1997), afirma que não está igualmente clara a correspondência
entre os fundamentos contemplados e as implicações curriculares que se
pretende derivar dos mesmos.
Rico (1997) encontrou em Niss (1995), o reconhecimento de dois tipos
de argumentos sobre os fins da Educação Matemática. O primeiro são os
utilitários
que
estão
focados
no
interesse central
da
escola, na
formação Matemática que proporciona o desenvolvimento para a vida daqueles
que
se interessam
pelas
necessidades profissionais e
consideram sua
função como requisito prévio para o estudo de outras ciências.
O segundo argumento é o de formação geral dos alunos, que abarcase no que se refere ao desenvolvimento das capacidades formativas e na
promoção da personalidade e das atitudes. E há ainda, aqueles que consideram o
valor estético e o caráter lúdico e recreativo da matemática.
Diante de tais argumentos de diferentes autores, Rico (1997) propõe
as finalidades da Educação Matemática, organizadas em quatro dimensões que
passaremos a sintetizar:
A dimensão cultural, onde o autor destaca a matemática como um
aparato tecnológico construído no interior da cultura, entendendo que se trata de
patrimônio cultural básico de cada sociedade e, cuja transmissão é dada por meio
do sistema educacional. Pondera que a forma axiomática de apresentar a
matemática é construto ocidental, sendo que outras formas de apresentar o
conhecimento matemático são igualmente legítimas. Portanto, a finalidade cultural
da Educação Matemática desempenha um papel essencial na organização e
elaboração curricular.
Na dimensão social, estão as finalidades de caráter utilitário, mas Rico
(1997), alerta que não podem se reduzir nem serem confundidas como valores
utilitaristas. De acordo com o autor, essas finalidades cobrem necessidades de
três âmbitos sociais, tais como: I) a prática do matemático profissional; o contexto
42
43
matemático, em que ferramentas matemáticas são empregadas em função da
prática laboral, os hábitos e práticas usuais no emprego da Matemática. Assim,
dizem
respeito
a
ferramentas
matemáticas
referentes
como
se
dá
o
desenvolvimento desse conhecimento na sociedade pelo trabalho especializado
do matemático; II) às ferramentas matemáticas presentes no mundo do trabalho,
ou seja, no domínio da prática profissional; III) e, por fim, as ferramentas que
incidem nas práticas sociais, como necessidades básicas dos cidadãos.
Na dimensão educativa, a matemática tem importância no currículo,
uma vez que detém uma natureza formativa no raciocínio, que por sua vez é
necessária em qualquer área do conhecimento, na ação simbólica, na
identificação padrões e regularidades e na satisfação de sua beleza, cooperação
e esforço.
Finalizando, a dimensão política refere-se ao papel que a matemática
pode desempenhar na vida do cidadão, onde há uma sociedade cada vez mais
dependente pela tecnologia. Assim, o conhecimento matemático pode contribuir
na formação de competências formais, na capacidade de empregar conceitos
matemáticos na compreensão de fenômenos naturais ou sociais e como
conhecimento reflexivo, conectado à vida social do cidadão.
Outro autor que trazemos para nossa discussão é Bishop (1991), que se
define no pensamento de contraposição à ideia de que as apresentações da
Matemática são unicamente de conhecimento formal. Nesse contexto, o autor
propõe que ela se articule em torno de três componentes: simbólico, social e
cultural.
A seguir sintetizamos cada um desses componentes:
O componente simbólico, que, segundo Bishop (1991), organiza-se
em torno das seis atividades “universais”, ou seja, configura-se com premissa
para a elaboração de um currículo de Matemática. São elas:
•
Contar: quantificar, valor posicional, números positivos e negativos,
infinitamente grandes ou pequenos, potencias, relações numéricas,
etc.
•
Localizar: localizar no entorno, orientações com bussolas, para
cima, para baixo, para direita e para esquerda, distância em linha
43
44
reta e linha curvilínea, coordenadas cartesianas em 2 e 3 dimensões,
longitude e latitude, lugar geométrico, circulo, elipse e vetores.
•
Medir: comparar medidas, mais pesada ou mais leve, mais rápida
ou mais lenta, etc. Precisão das medidas e estimativas com área,
volume, sistema monetário, etc.
•
Desenhar: desenhos abstratos e/ou estéticos, comparações de
desenhos como grande ou pequeno, semelhança e congruência de
figuras, propriedades das formas geométricas, razão e proporção,
simetria, escala, etc.
•
Jogos: diversão, modelagem da realidade, atividades regidas por
regras, procedimentos, planos e estratégias. Jogos de cooperação,
de competição e jogos de azar (probabilidade).
•
Explicar: classificações semelhantes e convenções, explicações
lingüísticas (argumentações lógicas e demonstrações). Explicações
simbólicas (equações, inequações, algoritmos, funções). Explicações
figurativas (gráficas, diagramas, tabelas e matrizes). Modelagem
Matemática. Critérios (validação interna, generalização externa).
Bishop (1991), entende que ao se estruturar esse componente,
privilegiando as seis atividades, possibilitará uma cobertura ampla e elementar
das ideias Matemáticas importantes.
Um enfoque, segundo Bishop (1991), baseado em atividades
conceituais e explicativas significativas na tecnologia simbólica da Matemática,
fomenta basicamente que se explorem de maneira explícita os valores do
racionalismo e objetivismo.
O segundo componente, denomina-se componente social, que
segundo o autor pode ser baseado em projetos educacionais. Nesse sentido,
destaca, que trabalhar com projetos escolares aventa muitas possibilidades que
favorecem o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, apresentando
três aspectos, para os quais têm uma relação com o componente social. São eles:
I. Os projetos permitem maior envolvimento pessoal, tal como almejado
para uma determinada situação. Assim, como consequência, faz com
que o ensino se torne mais individualizador e personalizador,
características estas, frequentemente ausentes dos currículos de
Matemática.
II. Os projetos fomentam o emprego de uma variedade de materiais que
estimulam o pensamento sobre a importância do enfoque matemático
e a interpretação e explicação da realidade. O simples fato de permitir
o contato com livros, fitas de vídeo pode fazer com que os valores e as
idéias matemáticas se conectem com outros aspectos do currículo
escolar.
III. Os projetos permitem mais reflexão do estudante. Por meio de
investigação e documentação de uma situação social e com apoio do
professor para analisar relações entre as idéias matemáticas e as
44
45
situações concretas, o aluno pode iniciar um processo de análise
crítica de valores e idéias.
Bishop (1991) propõe ainda, temas como a sociedade no passado, a
sociedade atual e a sociedade no futuro, além das possibilidades de trabalho com
esses temas.
Por fim, o componente cultural, propõe que sua constituição deva ser
baseada em investigações, e que esta tenha duas fases, sendo a primeira a da
experimentação e a segunda a da reflexão, além da comunicação escrita da
experiência.
Para caracterizar o enfoque denominado “cultural”, Bishop (1991),
apresenta cinco princípios básicos orientadores do currículo de Matemática,
apresentados a seguir.
Principio da Representatividade: para o autor, em primeiro lugar
deveria representar adequadamente a cultura matemática. Isto é, não só deve se
ocupar da tecnologia simbólica da matemática, mas também tem que lidar com
um modo explícito e formal de valores culturais da Matemática. Assim, teme que
as demonstrações possam desaparecer indicando a falta de atenção ao
“racionalismo23”.
Para o pensador, a escassez geral de possibilidades criativa,
inovadora e inventiva nos currículos de matemática indica que o progresso está
relativamente
desvalorizado
e
a
falta
de
significado
e
compreensão
experimentada por estudantes em todo o mundo demonstra que a “abertura” não
é um valor importante nos currículos de matemática.
Portanto,
é
necessário
introduzir
uma
estrutura
curricular
de
matemática, que permita destacar o racionalismo sobre o objetivismo, frisando
23
O racionalismo - Os racionalistas consideram que só é verdadeiro conhecimento aquele que
for logicamente necessário e universalmente válido, isto é, o conhecimento matemático é o próprio
modelo do conhecimento. Assim sendo, o racionalismo tem que admitir que há determinados tipos
de conhecimento, em especial as noções matemáticas, que têm origem na razão. Não quer isso
dizer que neguem a existência do conhecimento empírico. Admitem-no. Consideram-no, porém
como simples opinião, desprovido de qualquer valor científico. O conhecimento, assim entendido,
supõe a existência de ideias ou essências anteriores e independentes de toda a experiência.
Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/descartes/conhecimento.htm
45
46
mais o progresso do que o controle, onde a abertura é mais significativa do que
um mistério.
No Princípio do formalismo, Bishop (1991), ressalta a importância
de que o currículo deva objetivar o nível formal da cultura Matemática, mostrando
as conexões com o nível informal e oferecendo uma introdução ao nível técnico.
O autor entende que deva se privilegiar a Matemática como um fenômeno
cultural, ou seja, estabelecendo conexões entre a Matemática e a atual
sociedade. Afirma ainda, que o currículo de Matemática não deveria ser
concebido como uma simples preparação para o nível técnico.
No princípio da acessibilidade, o autor destaca que o currículo deve
ser acessível a todos os alunos, isto é, que os conteúdos curriculares têm que
atender a todos os alunos incluindo-se aqueles que apresentam dificuldades de
aprendizagem em Matemática. Em outras palavras os conteúdos propostos não
podem estar fora das capacidades intelectuais dos alunos. O autor ressalta que A
Educação Matemática deve ser para todos e alinhado com esse pensamento
propõe que será preciso criar oportunidades para que alguns alunos aprendam
observando-se seus interesses e antecedentes de aprendizagem.
O autor assegura que no princípio do poder explicativo, o currículo
Matemático deve basear-se no entorno do aluno e da sociedade. O currículo não
deve ser de aplicação universal e sim garantir o enfoque cultural de cada região.
A estrutura curricular deverá atender às individualidades dos alunos e, ao ser
concebido, deverá apresentar um equilíbrio entre o “fazer” e o “explicar”, pois a
Matemática como um fenômeno cultural pode ser uma rica fonte de explicações e
essa característica deve ser também incorporada nos currículos.
O principio da concepção ampla e elementar é uma extensão do
quarto. Em vez de ser relativamente limitado e tecnicamente exigente, o currículo
deveria ter uma concepção ampla e elementar ao mesmo tempo. Deveria oferecer
vários contextos, porque o poder de explicação que deriva da capacidade da
Matemática para conectar entre si grupos de fenômenos aparentemente díspares
deve manifestar-se por completo. Assim, o autor, acredita que os conteúdos
matemáticos deveriam ser elementares.
46
47
No entanto, Bishop (1991), afirma que não é a favor de uma
Matemática simplista, recreativa, com jogos infantis, etc., ele chama a atenção
para que a matemática preserve sua pureza e sua explicação. Ressalta ainda,
que o currículo não é constituído para formar futuros matemáticos e por isso não
é conveniente propor exercícios mentais complexos e difíceis, ou seja, é
importante que a Matemática seja proposta de forma ampla e elementar em vez
de limitada e exigente em sua concepção.
Outro autor que busca uma reflexão sobre o papel da Matemática no
Currículo é Fey (1994), apresentando reflexões sobre o ensino de Matemática na
escola com a finalidade de que os estudantes de fato, se apropriem dos
conhecimentos. Para ele, esse debate envolve duas questões fundamentais:
(a) escolher quais são as idéias matemáticas mais importantes para os
jovens aprenderem.
(b) encontrar maneiras de inserir, por meio de experiências, essas idéias
de forma atraente e eficaz.
À primeira vista, parece que, para uma disciplina altamente estruturada
como a matemática, a concepção de currículos e estratégias instrucionais seria
tarefa simples já que são tratadas rotineiramente por especialistas nas áreas da
matemática e seu ensino. Mas, entendemos que isso não é verdade.
Ao analisar as influências de diversos fatores, tais como social e
cultural, entre outros, Fey (1994) explana que na formação do currículo escolar há
um amplo leque de interesses e conhecimentos, que pode ser organizado para
realizar essa tarefa de forma eficaz. Nesse sentido, cabe então, a dúvida de quais
seriam as perspectivas para a tomada de uma elementarização, em uma
atividade racional na ciência da didática da matemática.
Nesse caso, o autor argumenta que o lugar mais óbvio para se procurar
orientação para a construção de um currículo de matemática é na própria
disciplina. Assim, os responsáveis por essa organização e estruturação do
currículo deverão ser o professor de matemática e os que lidam com ela.
Para Fey (1994), a preocupação com o conteúdo e a organização dos
currículos escolares de matemática foi especialmente aguda durante a reforma da
década de 1950 e 1960, período do Movimento da Matemática Moderna, quando
47
48
centenas de pesquisadores matemáticos envolviam-se no desenvolvimento
curricular e projetos concebidos para atualizar programas escolares. A influência
de muitos desses matemáticos levou à ênfase nos novos programas de estruturas
subjacentes no domínio da matemática, ao aumento na atenção na precisão da
linguagem para expressar idéias matemáticas e à introdução à Matemática
escolar de temas anteriormente vistos como parte do estudo.
A frase do psicólogo Jerome Bruner (1960) de que “qualquer disciplina
pode ser ensinada a qualquer pessoa de qualquer idade, desde que maneira
honesta” sugestionou que a matemática escolar deveria dar aos alunos uma
compreensão da disciplina e de métodos paralelos a matemáticos que se
encontram as fronteiras da pesquisa pura e aplicada.
As discussões acerca de qual matemática ensinar na escola
permearam debates nos quais, para Fey (1994), seria razoável perguntar se a
Matemática escolar deve ser concebida com um olho na formação acadêmica, ou
se nas considerações das diferentes formas que as pessoas usam matemática na
vida diária e no trabalho.
Fey
(1994)
argumenta
que
as
tarefas
de
seleção
são
do
estabelecimento de objetivos dos conteúdos para os currículos escolares, que
foram ainda mais complicadas por uma dramática revolução na estrutura e nos
métodos da matemática propriamente dita. O efeito destas mudanças no
ambiente tecnológico para a matemática foi a mudança em formas fundamentais,
na estrutura do tema e em seus métodos.
Caberia o questionamento de quais seriam as perspectivas de
matemática que desempenham um papel na tarefa de elementarização na
concepção curricular para a escola. A estrutura da matemática obviamente
fornece algumas orientações para seleção e organização dos temas nos
currículos escolares. Contudo, parece claro que ao fazer as escolhas dos
conteúdos, há de considerar uma complexa teia de idéias sobre as maneiras que
o assunto pode e deve ser utilizado pelos estudantes. Tais decisões, podem ser
fundamentadas em análises de alternativas para as abordagens conceptuais dos
conteúdos, por avaliações de como o assunto é usado e por implicações
decorrentes das novas tecnologias.
48
49
1.3.2.3 As aplicações práticas e as especulações teóricas: que
ênfases são conferidas
Em sua tese sobre o tema “Da polarização entre aplicações e
especulações teóricas nos currículos de Matemática do Ensino Médio”, Almeida
(2011) aborda uma questão importante na análise de currículos de matemática
contemporâneos.
Almeida analisa o texto “Matemática do século XX, como o século em
breve revista”, do autor Shirley (2000), que coloca ênfase no caráter utilitário da
Matemática contemporânea, contribuindo para se ter uma visão mais ampla de
suas aplicações. Shirley (2000), apresenta o caráter dinâmico da Matemática,
quando afirma que os historiadores descobriram que mais da metade da
Matemática que se conhece foi desenvolvida desde 1900, alguns afirmariam, que
seria desde 1950 (apud Almeida, 2011).
Nesse texto, o autor dá ênfase às aplicações da Matemática como
sendo um caminho prazeroso para o ensino, voltado ainda para os objetos
matemáticos que tenham maior significado para os alunos.
Um contraponto a essa idéia é apresentado por Almeida ao debater o
posicionamento de George Harold Hardy (1877-1947), conhecido principalmente
pela Teoria dos Números e Análise Matemática e que publicou o livro
autobiográfico “A Mathematician's apology” (Em defesa de um matemático),
defendendo o valor da matemática pura e sua dimensão estética.
Almeida (2011), destaca que na leitura desse livro encontra uma visão
diferenciada da de Shirley (2000), pois para Hardy a Matemática não precisa ter
necessariamente uma aplicação prática, menos ainda uma aplicação prática
imediata. Almeida (2011) afirma que Hardy considera a significação da idéias
matemáticas é relativamente grandiosa comparando-se com as consequências
práticas das aplicações, uma vez que, segundo ele, estas aplicações são ínfimas.
Ele ressalta ainda a natureza estética da Matemática, que envolve a seriedade e
a beleza, como por exemplo, a de um teorema.
Além desses dois autores, Almeida destaca a contribuição de
Skovsmose (2001) que considera a dimensão da matemática desenvolvida na
sala de aula e as possibilidades de ensino, desenvolvendo a Matemática nos dois
49
50
aspectos. Ele se posiciona no sentido de que é preciso desenvolver a Matemática
sob o ponto de vista da democracia, para que não se focalize o seu ensino sob as
características tradicionais (fazer exercícios e se apropriar das técnicas de
resolução).
O autor descreve cenários de investigação que podem contribuir para o
processo de aprendizagem de Matemática, privilegiando o aspecto crítico em
relação às atividades propostas em sala de aula; mais adiante veremos cada um
destes cenários. Estes cenários contemplam atividades e discussões que
favorecem a análise dos resultados matemáticos, sejam eles diretamente
aplicados ou de caráter especulativo.
Almeida (2011) em sua tese caracteriza dois pólos que se diferenciam,
no entanto, não se excluem, são eles: as aplicações práticas que nos remete a
idéia de aplicação imediata da Matemática na busca da solução de uma situaçãoproblema e as especulações teóricas com perfil diferente ao da prática.
Pertinente, vale citar:
A Matemática tem dois lados: o teórico e o prático. O que atrai a atenção
geral é o lado prático. O lado teórico costuma ser considerado
incompreensível a todos exceto aos especialistas. Esta dicotomia da
ciência é tão velha quanto a própria ciência. Foram as invenções
mecânicas de Arquimedes, o seu parafuso e o seu modelo (movido a
água) do sistema planetário, que o tornaram famoso, mas ele preferia a
teoria. O historiador Plutarco diz que, embora sua invenções lhe tenham
dado a fama de uma sabedoria sobre-humana, Arquimedes não quis
escrever sobre elas e manteve-se no mundo abstrato da matemática.
Gauss, que fez muita matemática aplicada, teve a mesma atitude. Mas se
pusermos de lado os grandes inovadores descobriremos que a
avassaladora maioria das pessoas que dedicaram algum do seu tempo e
energia a esta ciência a usaram como instrumento para conseguirem
resultados numéricos interessantes e para entenderem situações mais ou
menos complexas. A matemática é usada tanto para cálculo numérico
como para a construção de modelos (GARDING, 1997, p. 289, Apud
ALMEIDA, 2011, p. 34).
Para a autora, os currículos de Matemática trazem além dos conteúdos
orientações didáticas e metodológicas destacando as aplicações práticas a serem
desenvolvidas com vistas a garantir o aprendizado pelo aluno na dita disciplina.
Nesse contexto, a autora argumenta ainda, que um dos pólos permeia
a possibilidade de aplicações imediatas da Matemática enquanto a outra, a
50
51
teórica, não tem essa aplicação imediata visível aos alunos, mas que tem um
Categorias
Componentes
valor
intrín
seco para o desenvolvimento da própria Matemática e também do pensamento
matemático dos indivíduos.
Almeida (2011), ao fazer suas escolhas para a análise quanto as
especulações teóricas ou práticas conferidas nos documentos curriculares
oficiais, optou pelo uso da metodologia de análise documental, a qual
entendemos como imprescindível para nossas análises e reflexões. “A análise
documental busca identificar informações factuais nos documentos a partir de
questões ou hipóteses de interesse” (CALULLEY, 1981, apud LÜDKE e ANDRÉ,
1986, p. 38).
Para realizarmos a análise nos documentos curriculares nos dois
países e, alertado por Almeida (2011), que considera longos os textos
documentais, buscaremos identificar palavras chaves propostas nos textos que
revelam tais especulações. Nesse caso, sugere categorias baseadas em frases,
pois para a autora “[...] contida numa frase, a palavra será mais bem
compreendida do que estando isolada, para que seja compreendida no seu
verdadeiro sentido” (ALMEIDA, 2011, p. 73).
Com essa escolha a autora entende que essa é uma análise temática
a qual consiste [...] descobrir <<núcleos de sentido>> que compõem a
comunicação e cuja presença ou freqüência podem significar alguma coisa para o
objetivo analítico escolhido. (BARDIN, 2010, p. 131, apud ALMEIDA, 2011, p. 72).
Nesse sentido, para as análises sobre qual ênfase são dadas nesses
documentos às aplicações práticas, ou às especulações teóricas, adotaremos
algumas das categorias de análise apresentadas por Almeida (2011) para nossas
conclusões, são elas:
Vida real
Cotidiano
Especulações
práticas
Dia-a-dia
Fora da escola
51
52
Natureza da
Utilitária
Matemática
Ferramenta
Temas transversais
Meio ambiente
Saúde
Pensamento
Especulações matemático
teóricas Abstração
Própria Matemática
Estético
Tabela 1 – Categorias para análise dos documentos
Assim, a escolha e mote para a pesquisa em questão, foi motivada
pelo fato, de que, em todos os documentos acessados trouxeram no bojo das
argumentações, palavras como: valorizar o cotidiano do aluno, estabelecer
conexões com outras áreas de conhecimentos, a Matemática como ferramenta,
etc.
Palavras como aplicação, prática, cotidiano, utilitária, têm necessidade de
contexto para serem compreendidas no seu verdadeiro sentido. Assim,
escolhemos de cada componente pelo menos uma frase para ilustrar a
categoria. A frase é considerada de um ponto final ao outro, porém, em
muitos casos, as frases não serão completas, por se tratar de frases
longas, mas será suficiente para entendermos seu sentido” (ALMEIDA,
2011 p. 74).
52
53
1.3.2.4 O que da grande teia de conhecimentos matemáticos
devemos selecionar para ensinar
A tomada de decisão no sentido de escolhas dos conteúdos de
Matemática para a Educação Básica deve ser analisada com cautela. Necessitase ter clareza quanto à finalidade dessa etapa de escolaridade.
Nas primeiras leituras realizadas, foi encontrado em Skovsmose
(2001), alguns apontamentos que direcionam o ensino da matemática com vistas
à formação cidadã. Esses apontamentos fomentam a idéia de um currículo crítico
que Silva (2009), relaciona com a Educação Crítica nascida da inspiração de
ideais da sociedade marxista e revela-se na criação da Escola de Frankfurt na
década de 20, do século passado.
O primeiro apontamento, denominado de competência critica, refere-se
à valorização do diálogo na interação professor aluno.
O segundo, remete à definição do currículo que atenda aos princípios
democráticos. Para Skovsmose (2001), alunos e professores devem estabelecer
uma distância crítica dos conteúdos da educação, com isso propõe que para a
seleção dos conteúdos matemáticos, seria necessário algumas reflexões sobre as
seguintes questões:
1. A aplicabilidade do assunto: quem o usa? Onde é usado? Que
tipos de qualificação são desenvolvidos na Educação
Matemática?
2. Os interesses por detrás do assunto: que interesses formadores
de conhecimento estão conectados a esse assunto?
3. Os pressupostos por detrás do assunto: que questões e que
problemas geraram os conceitos e os resultados na matemática?
Que contextos têm promovido e controlado o desenvolvimento?
4. As funções do assunto: que possíveis funções sociais poderia ter
o assunto? Essa questão não se remete primariamente às
aplicações possíveis, mas à função implícita da EM nas atividades
relacionadas a questões tecnológicas, nas atitudes dos
estudantes em relação a suas próprias capacidades etc.
5. As limitações do assunto: em quais áreas e em relação a que
questões esse assunto não tem qualquer relevância? (p. 19).
Segundo Skovsmose (2001), para o sucesso na aprendizagem de
Matemática por parte do aluno, dois aspectos importantes devem ser
considerados. O primeiro, parte da ideia de que o problema a ser tratado seja
53
54
relevante para os alunos, o segundo é que o problema detém proximidade com
questões mais amplas, que por sua vez, extrapolam a necessidade de uso de
conceitos matemáticos para o seu entendimento.
Silva (2009) entende a necessidade da aplicabilidade do conteúdo, ou
seja, saber por “quem” ou “onde” um assunto é usado. O autor ressalta que a
questão chave seria “como ele é aplicado?”, não em termos de fins do assunto,
mas buscando compreender se esta aplicação justifica seu ensino. Não obstante,
considerando na medida em que, atualmente, os currículos de Matemática no
Ensino Médio brasileiro são praticamente os mesmos em todas as escolas,
decerto, há orientações governamentais centrais.
O terceiro é o engajamento crítico, que refere-se aos problemas que
emanam do contexto extra-escola, sendo necessárias precauções no processo de
ensino e aprendizagem: “O essencial é que o processo educacional está
relacionado a problemas existentes fora do universo educacional. (...) E o
objetivo: o problema deve ter relação próxima com problemas sociais
objetivamente existentes” (SKOVSMOSE, 2008, p. 19-20).
Para Skovsmose (2001), competência crítica, distância crítica e
engajamento críticos são elementos cruciais na organização e desenvolvimento
curricular na perspectiva de uma matemática cuja finalidade é a de formação do
homem contemporâneo critico, questionador, consciente, etc., que podemos
traduzir como a matemática formando o cidadão.
Quando refletimos sobre seleção dos conteúdos na organização
curricular, concordamos com Silva (2009), que alerta, que embora os aspectos
organizacionais do currículo estejam intimamente relacionados à escolha dos
temas a serem trabalhados em determinada etapa do ensino, é importante
algumas considerações sobre o que ele denomina de matéria-prima para a
organização curricular:
Primeiramente busca-se o que se entende por conhecimento, ação que
D’Ambrósio (1999) define como “um conjunto dinâmico de saberes e fazeres
acumulado ao longo da história de cada indivíduo e socializado no seu grupo”
(p.105). Ainda, sugere o ciclo do conhecimento e cita:
54
55
A realidade [entorno natural e cultural] informa [estimula, impressiona]
indivíduos e povos que em conseqüência geram conhecimento para
explicar, entender, conviver com a realidade, e que é organizado
intelectualmente, comunicado e socializado, compartilhado e organizado
socialmente, e que é então expropriado pela estrutura de poder
institucionalizado como sistemas [normas, códigos], e mediante
esquemas de transmissão e de difusão, é devolvido ao povo mediante
filtros [sistemas] para sua sobrevivência e servidão ao poder
(D’AMBRÓSIO, 1999, p. 106).
Pertinente, o autor caracteriza a escola e a academia como duas
organizações distintas, onde a primeira transmite e se cria conhecimentos mais
imediatos, já a segunda preocupa-se em “elevar” o homem. Destaca também
como se dá o retorno desse conhecimento para o povo pelas “estruturas do
poder”.
O conhecimento, uma vez expropriado pelas estruturas de poder vai
sendo convenientemente fragmentado em disciplinas e áreas de
competência para justificar ações setoriais no exercício do poder.
Naturalmente, essa fragmentação, como todo método, desencoraja
critica. Assim, o conhecimento, que foi gerado e organizado para
satisfazer os anseios de sobrevivência e de transcendência, e essa fase
inclui crítica, é devolvido, já elaborado e organizado aos seus geradores,
para que os mesmos sobrevivam e sirvam ao poder (Ibidem).
Apple, de acordo com Silva (2009), defende incisivamente seu parecer
a respeito da falta de neutralidade dos conhecimentos na elaboração de um
currículo, além da sua seleção decorrente de interesses dos diferentes setores de
uma sociedade decorrente.
Outro aspecto que Silva (2009) considera como matéria-prima, e não é
difícil concordar com ele, são as competências. Assim, recorremos a Perrenoud
(2000), que define competência como uma capacidade de mobilizar diversos
recursos cognitivos para enfrentar um tipo de situação e que apóiam-se em quatro
aspectos:
1. As competências não são elas mesmas saberes, savoir-faire ou
atitudes, mas mobilizam, integram e orquestram tais recursos.
2. Essa mobilização só é pertinente em situação, sendo cada situação
singular, mesmo que se possa tratá-la em analogia com outras, já
encontradas.
3. O exercício da competência passa por operações mentais
complexas subentendidas por esquemas de pensamento (Altet,
1996; Perrenoud, 1996, 1998g), que permitem determinar (mais ou
menos consciente e rapidamente) e realizar ( de modo mais ou
menos eficaz) uma ação relativamente adaptada à situação.
55
56
4. As competências profissionais constroem-se, em formação, mais
também ao sabor da navegação diária de um professor, de uma
situação de trabalho à outra (LE BOTERF, 1997, apud
PERRENOUD, 2000 p. 15).
Como mencionado anteriormente, sobre a estruturação organizacional
curricular e os elementos que se julgaram necessários para a seleção de
conteúdo, como a finalidade da matemática, para que ensinar, o que ensinar,
concepção de conhecimento e competências, há de se discutir a melhor forma de
organizar os conteúdos propostos.
Para Coll (1987, apud Pires, 2004), situando-nos em uma disciplina,
em uma área ou na opção de relacionar áreas e disciplinas diversas, a forma de
apresentar os conteúdos organizados e agrupados tem enorme importância,
porque a decisão que se toma, condiciona também as relações possíveis que o
aluno pode estabelecer em sua aprendizagem.
Pires (2004), salienta que Doll (1997), nos convida a pensar no
currículo, não em termos de conteúdo ou materiais (uma pista a ser corrida), mas
em termos de processo – um processo de desenvolvimento, diálogo, investigação
e transformação, por isso, ressalta que essa perspectiva é coerente com a de
muitos outros autores, fazendo referência a Pinar (1975), que propunha o uso da
forma infinitiva do currículo, currere, para enfatizar a pessoa e o processo de
“correr” pela pista, a experiência que o individuo vivencia ao aprender e ao
transformar e ao ser transformado.
Nesse caso, Doll (1997) volta a ponderar que o currículo deva ser um
processo, onde a aprendizagem e o entendimento ocorrem por meio do diálogo e
da reflexão. Esse autor ressalta que dessa forma a aprendizagem e o
entendimento são criados e não apenas transmitidos “conforme dialogamos com
outros, com isso refletimos sobre aquilo que nós e eles dissemos – conforme
“negociamos passagens” entre nós e os outros, entre nós e nossos textos”
(DOLL, p. 172).
Doll (1997) dita ainda, que o papel do currículo como processo é o de
ajuda na negociação dessas passagens, assim, acredita que para isso o currículo
deva ser rico, recursivo, relacional e rigoroso (Ibidem, p.173), entendendo que o
56
57
currículo deve ser tratado como “uma integração mista e multivariada de
experiências rica e de final aberto como um mosaico complexo que sempre muda
o seu centro de atração” (DOLL, Apud PIRES, 2004, p. 172,173).
Nessa visão Doll (1997), propõe que a seleção e organização do
currículo devam ser elaboradas considerando os 4 “Rs” que passamos a
descrevê-los:
A “riqueza” – esse termo refere-se à profundidade do currículo, as
suas camadas de significado, a suas múltiplas possibilidades ou
interpretações. Para que alunos e professores transformem e
sejam transformados um currículo precisa ser concebido pelas
escolhas de conteúdos que caracterize a própria Matemática como
rica possibilitando a teoria e prática dialogarem como única
relação da aprendizagem e que as escolhas dos conteúdos tenha
a “quantidade certa” para que seja provocativamente generativo
sem perder sua forma ou configuração.
A “recursão”, essencial na organização de um currículo
transformativo, fundamenta-se no modelo de currículo em espiral
de Bruner (1960) propondo que os conteúdos devem ser
elencados e dispostos de maneira que possam ser retomados à
medida com que os estudantes avancem os seus estudos,
permeando retomá-los em outros contextos matemáticos levandoos a aprofundarem seus conhecimentos e não caracterizando
como uma simples revisão.
As “relações” O conceito de relações é importante num currículo
pós-moderno, transformativo, de duas maneiras: uma maneira
pedagógica e de uma maneira cultural. A pedagógica foca as
conexões dentro de uma estrutura curricular que lhe dão
profundidade, a profundidade desenvolvida pela recursão. A
cultural origina-se de uma cosmologia hermenêutica – uma
cosmologia que enfatiza a narração e o dialogo como veículos
essenciais na interpretação. Essas relações determinam a
preocupação com a organização do currículo. Uma com a gestão
do tempo para se cumprir o planejamento sendo que para isso, o
professor deve conhecer seus alunos e tomar a decisão de qual
“quantidade certa” abordará os conteúdos propostos, e outra, a de
proporcionar o bem estar coletivo fomentando momentos para
refletir sobre problemáticas comuns a todos, através de projetos
que sejam constituídos em sentido duplo: dos problemas locais
para discussões globais e dos anseios universais para debates
locais;
O
“rigor” está ligado a procedimentos, avaliações e
principalmente, à interpretação de resultados inseridos em um
novo contexto que pode ser definido como uma mistura - da
indeterminância com interpretação. (...) os resultados deve ser
interpretados levando-se em conta um grande número de variáveis
envolvidas no processo de ensino e aprendizagem (DOLL, 1997,
p. 192 – 199).
57
58
Silva (2009), tanto quanto, também demonstra preocupações com a
seleção
e
organização
do
currículo
e
sugere
ampliar
esses
critérios
acrescentando mais quatro aos do Doll.
(1) a “reflexão” favorece a seleção de assuntos que sirvam ao
interesse de determinada comunidade e, sob este aspecto os
conteúdos seriam escolhidos apenas após a escolha ou eleição das
problemáticas locais e (...) significa que o processo de escolha deva
ser uma decisão fundamentada em pareceres de diversos
especialistas de vários campos científicos (...); (2) a ”realidade”,
intrinsecamente ligada ao critério anterior, beneficia a opção por
temas que possam ser modelados através de uma situação real. (...);
(3) a “responsabilidade” privilegia a prioridade de pontos de
conteúdo matemático que possam ser utilizados para analisar,
comparar, estimar e resolver problemas sociais (...);(4) a
“ressignificação” dá à História da Matemática sua devida importância
em uma proposta curricular que deve ser organizada levando-se em
conta a elaboração histórica da própria ciência, não como acessório
das aulas de Matemática, mas como articuladora e esclarecedora do
processo pelo qual o conhecimento foi construído. Além disso, esse
critério privilegia a organização de conteúdos que possam ser
abordados novamente em outros temas, destacando a variedade de
representações e contextualizações matemática dentro da própria
Matemática (SILVA, 2009, p. 223-225).
Nesse contexto, ao serem realizadas as análises comparativas, serão
verificados se os conteúdos estão organizados de acordo com esses critérios
sugeridos por Doll (1997) e Silva (2009).
1.4
Como ensinar conhecimentos matemáticos
As discussões sobre o processo de ensino e aprendizagem em
Matemática são antigas e vêm sendo realizadas em muitos lugares pelo fato de
se constatarem inúmeros problemas de ensino e de aprendizagem nessa
disciplina. As diversidades de problemas no processo de ensino e aprendizagem
fomentaram pesquisas e constituíram a Educação Matemática que tem sido
comumente chamada de “Didática da Matemática”. A “Educação Matemática” ou
“Didática da Matemática” tem como objetivo produzir conhecimentos que
potencializem o ensino e a aprendizagem do conhecimento matemático na
escola.
Então, não há porque não ter consciência de que as pesquisas na área
de Educação Matemática tiveram grande avanço ao longo das últimas décadas,
58
59
principalmente a partir de meados de 1960. Nos eventos na área e nas
publicações internacionais e nacionais, surgem a cada dia novos pesquisadores,
com isso, as linhas de pesquisa vão se multiplicando.
Das primeiras investigações sobre os processos de aprendizagem
matemática, ora centrada especialmente nas relações entre aluno, professor e
saber matemático, atualmente pesquisadores vêm tentando compreender
questões mais amplas, como as propostas na organização de grupos do 11º.
Congresso Internacional de Educação Matemática (ICME 11), que elegeu como
temas: Desafios da pesquisa em Educação Matemática em relação ao
desenvolvimento dos países; Desafios sociais para a Educação Matemática em
diferentes
países;
Educação
Matemática
em
contextos
multiculturais
e
multilinguísticos.
A preocupação com o ensinar e aprender matemática está presente em
diversos trabalhos de diversos congressos, com isso, ainda existe a preocupação
com a formação inicial e continuada dos professores da área. Nesse sentido, na
Educação Matemática há diversas produções sobre esse tema, as quais, aos
poucos vem ganhando notoriedade e espaço para debates e reflexões.
Muitos estudos que trazem contribuições para o ensino da Matemática
propõem o uso da Resolução de Problemas. Nesse sentido, ressaltam a
importância do uso de tecnologias para aprendizagem, o papel da Historia da
Matemática no planejamento escolar e da avaliação, esse último, considerado um
assunto sempre polêmico. Motes, que serão expostos nos próximos tópicos.
Contudo, torna-se reconhecível, que existam outras contribuições ao processo de
ensino e aprendizagem da Matemática, no entanto, a medida que as
identificarmos, na exposição de análises, nos currículos prescritos, serão tecidos
comentários a respeito, que por sua vez serão fundamentados com os devidos
aportes teóricos.
59
60
1.4.1
O foco na resolução de problemas
Os problemas ocuparam lugar central para a Matemática desde a
Antigüidade, visto que há registros de problemas na antiga história egípcia,
chinesa e grega, mas foi recentemente que esse tema tomou uma maior
importância no processo ensino-aprendizagem da matemática.
Onuchic (1999) descreve um cenário escolar para o ensino da
Matemática no início do século XX totalmente voltado para a repetição. A ênfase
estava na memorização. Para autora, o aluno recebia a informação, escrevia,
memorizava e repetia. Repetia e treinava em casa os exercícios realizados na
sala de aula. O conhecimento do aluno era mensurado por meio da aplicação de
testes em que ele deveria repetir, mesmo sem compreensão, por meio de tudo
que o professor havia feito nas aulas.
Era necessário que a aprendizagem do conhecimento matemático se
efetivasse de maneira significativa para os estudantes e não apenas como uma
técnica sem compreensão. Portanto, era preciso mudanças na forma de ensinar
Matemática.
Diversos
pesquisadores
nacional
e
internacionalmente
se
propuseram a refletir sobre essa mudança e trouxeram suas contribuições com
foco na resolução de problemas no ensino da Matemática.
Dessa forma, no fim da década de 70, a resolução de problemas
começou a se destacar no mundo inteiro com um movimento a seu favor. Em
1980, foi editada nos Estados Unidos “Uma Agenda para a Ação Recomendações
para a Matemática Escolar de 1980” (NCTM, 1980), apresentou opções didáticas
que passaram a ser incorporados pelos currículos em diversos países, uma delas
centrava na resolução de problemas.
Esse documento tem como objetivo propor melhorias no ensinoaprendizagem da matemática. A sua primeira recomendação é que a resolução
de problemas deve ser o foco principal da matemática escolar, sugerindo aos
educadores matemáticos dirigirem seus esforços para que seus alunos
desenvolvam a habilidade em resolvê-los, com isso destaca:
60
61
O desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas deve
orientar os esforços dos educadores matemáticos por meio da próxima
década. Desempenho na resolução de problemas vai medir a eficácia de
nossa posse pessoal e nacional de competência matemática (NCTM,
1980).
Esse documento orienta que os currículos devem ser concebidos com
essa
recomendação,
apresentando
algumas
competências
a
serem
desenvolvidas:
O currículo de matemática deve ser organizado em torno de resolução
de problemas. (...) Os programas de Matemática devem proporcionar
aos estudantes experiência na aplicação da matemática, na seleção e
combinar estratégias para a situação na mão. Os alunos devem
aprender a: formular perguntas-chave; analisar e conceituar problemas;
definir o problema e seu objetivo; descobrir padrões e semelhanças;
buscar dados adequados, experimentando-nos; transferir as habilidades
e estratégias a novas situações; basear-se no conhecimento para aplicar
a matemática (NCTM, 1980).
Onuchic e Allevato (2011), afirmam que a Resolução de Problemas,
como uma metodologia de ensino, se torna o lema das pesquisas e estudos em
Resolução de Problemas para os anos 1990. Essa nova visão de ensinoaprendizagem de Matemática se apóia especialmente nos estudos desenvolvidos
pelo NCTM, que culminaram com a publicação dos Standards 2000, oficialmente
chamados Principles and Standards in School Mathematics (NCTM, 2000).
As autoras assinalam que nesse documento são assumidos os
seguintes Princípios: Equidade, Currículo, Ensino, Aprendizagem, Avaliação e
Tecnologia. Como adrões de Conteúdo, que respondem à questão ”O quê
(ensinar)?”, apresentam Número e Operações, Álgebra, Geometria, Medida e
Análise de Dados e Probabilidade. Para os Padrões de Procedimento, que
respondem à questão “Como (ensinar)?”, são apontados Resolução de
Problemas, Raciocínio e Prova, Comunicação, Conexões e Representação.
Esse conjunto de orientações permeia a possibilidade de o aluno
aprender matemática de uma forma mais plausível, ou seja, ele tem a
possibilidade de compreender o conteúdo proposto de uma forma significativa,
entendendo onde esse conhecimento pode ou poderá ser utilizado na sociedade
61
62
contemporânea. O recurso da resolução de problemas é algo que deve estar
prioritariamente no discurso e na prática do professor de Matemática a cada
planejamento diário de aula.
Encontramos respaldo para o que afirmamos no parágrafo anterior em
Lopes e Mansuti (1994) quando declaram que:
[...] “o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como
aprende matemática para resolver problemas”. Além disso, a prática de
ensino nas escolas mostra que, embora existam algumas experiências
que dedicam atenção às estratégias utilizadas pelos alunos durante a
resolução de problemas, essas são utilizadas, em sua maioria, “[...] com a
finalidade de verificar a aprendizagem e a aplicação de conceitos,
algoritmos, propriedades e outros fatos da matemática” (p. 35).
Onuchic e Allevato (2011) entendem que esse movimento de reforma
na Educação Matemática, vigente até hoje, aponta para a Resolução de
Problemas como primeiro padrão de procedimento para o trabalho com os
padrões de conteúdo, sendo que o ensino de Matemática através da resolução de
problemas é nele fortemente recomendado.
1.4.2
Outras contribuições
Dentre as contribuições de grupos da educação matemática para a
reflexão
sobre
currículos
dessa
disciplina,
destacamos
dois
recursos
frequentemente citados em documentos curriculares. A história da matemática e o
uso de tecnologias.
A História da Matemática tem por finalidade levar os alunos a
compreenderem a origem das idéias que formaram a nossa cultura, assim
fomenta visualizar homens que criaram essas idéias estudando as condições e
meios em que elas se desenvolveram, tornando-se um precioso instrumento para
o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
O uso desse recurso pedagógico aflora o estabelecimento de conexões
com a filosofia, a história, a geografia e outras áreas de conhecimento, bem como
outras manifestações de cultura.
O aluno ao tomar contato com a História da Matemática poderá refletir
sobre as teorias que hoje estão disponíveis para seus acessos que estão postas
62
63
de forma organizada e elegante, mas que durante a trajetória humana necessitou
de muito esforço para a conclusão e aceitação.
As discussões sobre a inserção da História da Matemática como um
componente importante para o planejamento e a consecução do currículo de
Matemática, vem ocorrendo fortemente desde 1980. Autores tem apresentado
suas reflexões na tentativa de promover a aceitação desse recurso.
Brolezzi (1991) expõe assertivas a respeito do valor didático da História
da Matemática, defendendo que alguns componentes justificam sua inserção no
currículo de matemática:
Um componente importante do valor didático da História da Matemática
é que nela se podem apreender caminhos lógicos para a construção de
demonstrações pedagógicas em sala de aula. Os estudos históricos
deixam muito clara uma distinção entre a forma lógica inicial, presente
nas origens da Matemática, e sua posterior e paulatina sistematização.
(...)
Outro componente advém do estudo da questão do significado da
linguagem simbólica da Matemática. Sua aparência por vezes abstrusa é
causa freqüente de aversão pelo aprendizado da Matemática, chegando
inclusive a gerar uma espécie de analfabetismo matemático. (...) Mas
uma vez que a linguagem da matemática sistematizada apresenta
relações sintáticas distantes da semântica dos símbolos que emprega, é
preciso resgatar as relações semânticas presentes na construção
histórica da Matemática para que o aluno possa ter acesso ao significado
desses símbolos.
É fundamental ainda considerar o valor do conhecimento histórico para
proporcionar uma visão abrangente da Matemática elementar. Dentro do
currículo elementar, pode ocorrer um isolamento entre os diversos
assuntos, com a conseqüente perda da noção de conjunto do que é
estudado. É possível, no entanto, através do recurso à História,
distanciar-se do momento atual e evitar, com a perspectiva histórica, a
tendência generalizada de extrapolar - para o passado ou para o futuro o ponto de vista do presente, muitas vezes imbuído de uma idéia
invariável de rigor.
Por outro lado, a dificuldade de lidar com a questão das aplicações
práticas do conhecimento matemático também pode ser melhor
superada pelo recurso à História, que é fundamental para se
compreender que ter significado não é o mesmo que ter aplicações
práticas. Pela visão de totalidade que fornece a História se aprende a dar
valor também àqueles tópicos que não apresentam aplicações práticas
imediatas, pois a razão de ser da Matemática não se reduz em absoluto
a um pragmatismo direto. Os estudos históricos revelam que a
Matemática às vezes se encaminha para uma direção aparentemente
distante da prática, e mesmo lá encontra aplicações; outras vezes, um
estudo inicialmente com objetivos práticos acaba deixando de ser prático
com a passagem do tempo. Essa visão abrangente dificilmente pode ser
adquirida sem o recurso à História da Matemática (BROLEZZI, 1991, p.
62-63).
63
64
No entanto, Radford (1997) considera que seu uso educacional com
propósitos didáticos ficava em um nível superficial, limitando o trabalho do
professor, quando observou que a prática educativa em determinados momentos
resumia-se a relatos de anedotas históricas para os alunos, ou então a um rol de
problemas organizados cronologicamente a ser “importados” para sala de aula,
que os alunos têm que resolver.
Então,
o
autor sugere
a
exploração
do
desenvolvimento
do
conhecimento matemático, estabelecendo uma conexão entre o significado do
conceito do ponto de vista do matemático do passado e do presente. Para isso, é
importante que o pesquisador não incorra em um olhar enviesado culturalmente,
por dispor de outros recursos para compreensão dos conceitos matemáticos
(RADFORD, 1997, p. 26). Porém, alerta que há necessidade de discutir a relação
entre o desenvolvimento psicológico e histórico na aprendizagem.
Oliveira (2012, apud Radford, 1997), afirma que nesse debate, entende
como necessário a superação da crença - comum na transposição da história da
matemática para sala de aula – conhecida como lei do recapitulacionismo de
Haeckel, ou seja, que a ontogênese (o desenvolvimento do conceito pelo sujeito)
recapitula a filogênese (o desenvolvimento histórico do conceito), que significa
compreender que o conhecimento é necessariamente conhecimento social, não
havendo, portanto, um quadro de evolução natural dos conceitos na história da
matemática (OTTE, apud RADFORD, 1997, p. 28). O que significa dizer que o
desenvolvimento cognitivo do aluno não concomitante ao que é desenvolvimento
histórico do conceito, quando o professor leva para sala de aula conteúdos
vinculados à história da matemática. Oliveira (2012) indica como sugerido por
Radford, que a abordagem histórica está intimamente ligada à cultura:
“conhecimento matemático é mais do que meramente concomitante com o seu
ambiente cultural e que a configuração e o conteúdo do conhecimento
matemático é adequada e intimamente definido pelo cultura em que se
desenvolve e em que está inserido” (1997, p. 32).
É nesse cenário que a História da Matemática revela-se com seu valor
didático na orientação da compreensão do processo de ensino e aprendizagem
da Matemática em determinados contextos culturais.
64
65
Com relação ao uso de tecnologias, na Agenda para Ação de 1980, o
documento denominado “computer literacy”, cuja tradução é “letramento
computacional” já apresentava a discussão sobre o uso de tecnologias no
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, porém, o conhecimento
computacional faz parte de um espectro maior de habilidades a ser desenvolvido
na escola:
Deve haver uma aceitação de todo espectro de habilidades básicas e o
reconhecimento de que existe uma grande variedade de tais habilidades,
para além das mera computacional, se quisermos projetar um
componente de competências básicas do currículo que aumenta ao
invés de minar a educação.
Reconhecemos como válida e verdadeira a preocupação expressa por
muitos segmentos da sociedade de que as habilidades básicas são parte
da educação de cada criança. No entanto, o escopo completo do que é
básico deve incluir aquilo que é essencial para a cidadania significativa e
produtiva, tanto imediatas e futuras (NCTM, 1989).
Uma maneira para constituir o conhecimento computacional seria
incentivando o uso de calculadoras e posteriormente o computador:
Além de uma familiaridade com o papel dos computadores e
calculadoras na sociedade, a maioria dos alunos deve obter um
conhecimento prático de como usá-los, incluindo as maneiras pelas
quais a pessoas comunicam-se por meio de cada um e fazem seu uso
deles na resolução de problemas (NCTM,1989).
Além do uso de tecnologias como papel, lápis, caneta e calculadoras o
uso do computador ocupa um espaço dentro do processo de ensino e
aprendizagem da matemática. No entanto, existem algumas controversas à
respeito do uso dessa ferramenta na sala de aula.
Borba (2010), aponta que Informática e Educação têm sido um tema de
debate recorrente nas últimas duas décadas no Brasil, e, há um pouco mais de
tempo, em outros lugares do mundo. O autor relembra os discursos sobre o
perigo que a utilização da informática poderia trazer para a aprendizagem dos
alunos. Um deles era o de que o aluno iria só apertar teclas e obedecer à
orientação dada pela máquina. Isso contribuiria ainda mais para torná-lo um mero
repetidor de tarefas.
Borba (2010) garante que ainda hoje essa preocupação está presente
nos diversos cursos, palestras e aulas que ele tem ministrado. Ele afirma que
65
66
esse argumento é mais comum dentro de parte da comunidade de educação
matemática. Em especial para aqueles que concebem a matemática como a
matriz do pensamento lógico. Nesse sentido, se o raciocínio matemático passa a
ser realizado pelo computador, o aluno não precisará raciocinar mais e deixará de
desenvolver sua inteligência.
Por outro lado, para esse autor, tem havido, mais recentemente,
argumentos que apontam “o computador” como a solução para os problemas
educacionais. Entretanto, diferentemente do que acontece quando se trata de
apontar os perigos, nem sempre aparece de forma explícita para qual problema o
computador é a solução. Nem sempre é feita a pergunta: “qual é o problema?” ou
“qual é o problema para o qual o computador é a resposta?” Em particular, essa
pergunta também faz sentido na Educação Matemática.
Encontramos em Almeida (2001), argumentos que possibilitam reflexões
e aceitação do uso do computador em ambientes propícios a aprendizagem por
meio deles quando ela afirma que:
Os ambientes virtuais de colaboração e aprendizagem se
constituem a partir de um grupo de pessoas que aprendem em
colaboração por meio de uso de softwares específicos para
comunicação à distancia mediada pelas tecnologias da informação
e comunicação (ALMEIDA, 2001, p. 35).
Esse ambiente propicia trocas individuais e a constituição de grupos que
interagem, pesquisam, criam produtos e ao mesmo tempo se desenvolvem. Para
Almeida (2001, p.35), devemos considerar que o foco não é a tecnologia, mas a
atividade realizada por meio da tecnologia, caracterizada pela diversidade
contínua, evolução e sentido de localidade, em certo contexto em que aspectos
sócio-culturais, afetivos, cognitivos e técnicos co-evoluem.
Almeida (2008) acentua que para além de considerar as tecnologias
como ferramentas, a organização dos seres humanos em redes, por meio das
tecnologias permitem articular conhecimento, criatividade, crenças e valores em
processos nos quais as competências, habilidades e experiências dos
participantes - em territórios sem fronteiras - entre o real e o virtual, se encontram
imbricadas em um processo simbiótico que propicia a multiplicidade de
66
67
representações e significados, que envolvem a sensibilidade corporal, física e
mental (SANTAELLA, 2004, apud ALMEIDA, 2008).
1.5 Sobre o processo de avaliação da aprendizagem
Em nossas leituras sobre avaliação da aprendizagem deparamo-nos
com o seguinte questionamento: No espaço escolar, não deveria a atividade de
avaliação ser construída, antes de tudo, como uma prática pedagógica a serviço
das aprendizagens?”(HADJI, 2001, p. 9).
Esse questionamento fomenta reflexões sobre uma prática verificada
no sistema escolar onde por um lado temos as avaliações externas de
aprendizagens e por outro, professores e alunos envolvidos num processo que
possivelmente favorece um distanciamento do verdadeiro significado da
aprendizagem em matemática em detrimento de melhores resultados nessas
avaliações externas oficiais.
Lopes e Mondoni (2009) delineiam que esta reflexão proposta pelo
Hadji faz considerar a importância de buscar novas formas de avaliar. Na
verdade, os professores têm estado, há muito tempo, presos a um modelo único
de avaliação — a prova —, que apenas evidência o que os alunos não sabem ou,
muitas vezes, o que simplesmente memorizaram.
Doll (1997) faz uma crítica à avaliação escolar com base em duas
suposições. A primeira dessas suposições sustenta que o propósito dos
professores é fazer com que os alunos adquiram um conjunto específico de
conhecimento de uma forma “aceitável” (DOLL 1997, p. 188).
Já a segunda suposição é de que a avaliação é a avaliação de quanto
deste cânone e seu método o estudante adquiriu.
O autor, com uma visão pós-moderna de currículo, considera que a
avaliação passaria a ser um processo recursivo, com um caráter que levasse à
transformação dos envolvidos e permeasse a crítica pública:
67
68
a avaliação seria essencialmente um processo de negociação com um
ambiente comunal para o propósito de transformação. Obviamente, o
professor desempenharia um papel central no processo, mas não seria o
avaliador exclusivo; a avaliação seria comunal e interativa. Ela seria
usada como um feedback, parte do processo interativo de fazer-criticar
(Ibidem, p. 190).
1.5.1
Síntese do capítulo
O capítulo a seguir preconiza e dá ênfase à preocupação na exposição
de aportes teóricos sobre estudos comparativos, que por sua vez, tornam-se
fundamentais para as análises documentais, e principalmente no que concerne às
entrevistas concedidas pelos diferentes profissionais, que atuam de forma direta
ou indireta no processo de ensino e aprendizagem do conhecimento matemático
nos dois países pesquisados
Nesse sentido, o trabalho, nesse primeiro capítulo, busca explicitar o
que se entende de fato como currículo de Matemática, para tanto, como
fundamentação é apresentado o ponto de vista de Sacristán (2000) que explicita
os níveis na objetivação do significado do currículo.
Tampouco, são apresentadas as motivações que levaram diversos
países a refletirem e reorientarem as reformas curriculares para o ensino de
Matemática. Outra relevância é a de chamar a atenção às preocupações de
diversos autores sobre “quais seriam as finalidades do ensino da Matemática no
ambiente escolar?”, “O que ensinar aos alunos?” e “Para que ensinar
Matemática”, etc.
Busca-se então, trazer indicações sobre o que se deve considerar ao
conceber o currículo de matemática para a Educação Básica, como as quatro
dimensões da educação matemática de Rico (1997) , os componentes simbólicos
de Bishop (1991) e os apontamentos de Skovsmose (2001), que possibilita um
ensino aprendizagem com o foco na formação cidadã dos alunos.
Pertinente, são citadas as preocupações de Doll (1997) quanto à
escolha
dos
conteúdos
matemáticos,
nesse
contexto,
sugerindo
que
consideremos os critérios: riqueza, recursão, relações e rigor ao conceber o
68
69
currículo de Matemática e Silva (2009) apresenta outros quatro critérios: reflexão,
realidade, responsabilidade e ressignificação complementando os de Doll.
A forma como se ensina matemática, também é contemplada no
primeiro capítulo, onde há a resolução de problemas no processo de ensino e
aprendizagem de matemática, qual ênfase está presente nos documentos
curriculares de Brasil e Chile, quanto às especulações teóricas e ou práticas, o
recurso da História da Matemática como elemento que desperta interesses no
aluno na compreensão como ol fato ocorre e como as pessoas lidaram com isso
na época em questão, e por fim, o uso de tecnologias no ensino e aprendizagem
escolar.
As reflexões promovidas por Fey (1994) quanto a elementarização
da Matemática no ambiente escolar ganham destaque nesse trabalho.
Finalizando, discorre-se a respeito do processo de avaliação no ensino
e na aprendizagem da disciplina em questão.
69
70
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS
2.1 Introdução
Neste capítulo não só é apresentada uma síntese de leituras realizadas
sobre questões de natureza metodológica, como também são expressos
procedimentos de pesquisa. Nesse sentido, cabem reflexões sobre a metodologia
comparada, por meio da contribuição de alguns autores.
2.2 O campo da Educação Comparativa
Carvalho24 (2008), pesquisadora na área Educação Comparativa,
afirma a importância dessa metodologia como instrumento analítico dos sistemas
educativos. Assim, permite explicitar diferenças e semelhanças, amplia o campo
de análise e de compreensão da realidade nacional em face de outros países,
que por sua vez, fornecem aos governos informações que orientam a tomada de
decisões políticas educacionais nacionais.
A autora afirma, que essa metodologia era muito utilizada em diversos
países da Europa, nos Estados Unidos e também no Brasil no século XIX. No
decorrer do século XX, essa mesma metodologia ganhou o status de ciência, uma
vez que eram claros os objetivos, campos de ação, procedimentos e métodos de
investigações mais seguros.
Carvalho (2008) relata que embora a Educação Comparada tenha
assumido perspectivas teórico-metodológicas distintas, em diferentes momentos,
alguns componentes comuns podem ser identificados como:
24
Disponível em: http://www.sbec.org.br/evt_2008.php
70
71
1) os Estado-nação como referência para a análise dos sistemas
25
educativos ;
2) a ideologia do progresso;
3) a crença na ciência e no conhecimento objetivo para a
compreensão dos fenômenos;
4) os princípios comuns e universais sobre o funcionamento dos
sistemas educativos.
Essa autora destaca que, nas décadas de 80 e 90, essa metodologia
perdeu prestigio no Brasil, esse declínio foi acompanhado pela escassez da
produção científica e pela exclusão progressiva da disciplina Educação
Comparada dos cursos de graduação e pós-graduação em Educação26. Na
América Latina, ocorreu o mesmo processo, conforme nos expõem Lamarra;
Mollis e Rubio (2005):
[...] la Educación Comparada tiene un limitado desarrollo académico en
América Latina. El escaso desarrollo de esta disciplina es directamente
proporcional con el escaso fundamento académico-racional o de
investigación comparada, aplicado a la toma de decisiones políticoeducativas. La ausencia de pensamiento sistemático, reflexivo,
comparado, ha caracterizado la implementación de numerosos
dispositivos de políticas educativas que han dado como resultado
fracasos sin precedentes en la historia de los sistemas públicos de
educación latinoamericana. La adopción de «prescripciones educativas
internacionales» que sustentaron las reformas de la región y la de los
países pos-socialistas, se realizó al margen de la contribución de la
investigación comparada regional (LAMARRA; MOLLIS E RUBIO, 2005,
p. 180, apud CARVALHO, 2008 p. 4).
Hoje, apesar dos movimentos de retomada desse recurso, ele ainda é
pouco explorado no campo das políticas públicas para a gestão da educação
brasileira, assim apresenta alegações pelas quais, os estudos comparados se
25
Wallerstein et al. (1996, p. 118) sublinham: “[...] os Estados eram a unidade de comparação, ora
de estudos de ‘política externa’, cujo objeto consistia no estudo das políticas dos estados uns para
com os outros, e não no estudo das características emergentes das estruturas transestatais”.
26
Em estudo recente sobre a educação comparada na América Latina, Lamarra; Mollis e Rubio
(2005, p. 166) informam: “Con excepción de la Universidad Federal de Paraná, ninguna otra
universidad federal en el Estado de Paraná incluye la materia Educación Comparada en los planes
de estudio de las carreras de grado. Tampoco lo hace una de las universidades privadas más
antiguas y prestigiosas del estado como es la Universidad Católica. A su vez, la reconocida
Universidad de Campinas que funciona en el estado de San Pablo (UNICAMP) tampoco dicta
Educación Comparada en ninguna de las carreras de grado del área de Pedagogía”.
71
72
configuram como uma área de estudos de progressiva importância no contexto da
globalização.
A autora entende a Educação Comparada como área do conhecimento,
além de que é de suma importância para o entendimento e reflexões do que
ocorre na Educação atualmente.
Carvalho (2008), dita que nos últimos anos, no entanto, especialmente
no meio acadêmico27, ocorreu no Brasil um movimento de resgate desse campo
de estudos. Observa-se o aumento progressivo das publicações científicas
nacionais (WERLE e CASTRO, 2000), particularmente no que se refere às
políticas e gestão da educação. A realização de encontros e congressos também
favoreceu o intercâmbio entre pesquisadores, por isso ampliou as possibilidades
de desenvolvimento de projetos comuns de investigação (SAVIANI, 2001, apud
CARVALHO, 2008, p. 4).
A autora destaca ainda, que de acordo com Malet (2004, p.1301), na
atualidade, a Educação Comparada enfrenta novos desafios: “o crescimento de
problemáticas educativas transculturais, o enfraquecimento dos Estados-nação
que acompanhou o crescimento dos territórios identitários supranacionais (como a
Europa) ou infranacionais, como as regras, e fenômenos de expansão e
interdependência cultural (globalização)”. A renovação da área e a adoção de
novas perspectivas devem-se, em grande parte, a esses desafios.
Pertinente, Carvalho (2008) explicita que os estudiosos comparatistas
preocupam-se em revelar os processos de apropriação dos fenômenos
educativos pelos próprios atores.
Quando falamos de Estudos Comparados Franco (1992) defende:
O princípio da comparação é a questão do outro, o reconhecimento do
outro e de si mesmo pelo outro. A comparação é um processo de perceber
as diferenças e semelhanças e de assumir valores nessa relação de
mútuo conhecimento. Trata-se de entender o outro a partir dele mesmo e,
por exclusão, se perceber na diferença ( FRANCO, 1992, p.2, apud
TROJAN 2009, p.2).
27
Conforme Nogueira (1994, p. 35), “a Sociedade Brasileira de Educação Comparada, fundada em
1983, o Grupo de Estudos e Pesquisas sobre Educação na América Latina e Caribe, da Faculdade
de Educação da UNICAMP e FLACSO caracterizam ações nesse sentido”.
72
73
A esse propósito Nóvoa (2004), sinaliza como resultado de um
movimento duplo. De um lado, é marcada “por uma presença crescente das
questões educativas na criação de identidades escolares definidas, não tanto
numa perspectiva geográfica, mas no sentido de uma pertença a certas
comunidades discursivas”. De outro, caracteriza-se por “uma reorganização dos
espaços educativos, por meio das regulações econômicas e políticas que
atravessam as fronteiras dos diferentes países”. (NÓVOA, 1994, p. 105, apud
CARVALHO, 2008).
Carvalho (2008) relata ao citar Nóvoa (1994), que em tal situação, o
conceito de comparação adquire novas conotações, “deslocando-se da referência
tradicional inter-países para dimensões simultaneamente intra e extra nacionais,
isto é, centradas nas comunidades de referência dos atores locais e nos
processos de regulação ao nível internacional” (Ibid, p. 105).
Já Cristofoli (2009), afirma que a Educação comparada não é uma
disciplina e sim uma área interdisciplinar (Bonitatibus, 1989, Lourenço Filho,
2004), e, por isso, dialoga com outras áreas como a História a Sociologia, a
Antropologia e a Ciência Política.
Um estudo comparativo, segundo a autora, busca examinar dois ou
mais elementos ao mesmo tempo, a fim de buscar semelhanças e diferenças,
mas sem que isto gere uma categorização ou classificação.
Para Trojan (2009), a comparação deve apoiar-se no respeito mútuo e
na igualdade de direitos, pois:
A inclusão da percepção do outro, da diferença, pode não apenas ter o
efeito das determinações espaço-temporais dos processos geradores do
que somos. A percepção da diferença sob o postulado da igualdade de
direitos à sobrevivência, à política, à cultura, desfaz homogeneidade
pastosa da igualdade abstrata. Da relativização das posições
colonizador/colonizado emerge a possibilidade de uma nova identidade na
diferença (FRANCO, 1992, p. 33, apud TROJAN, 2009, p.3 ).
A autora insiste que se deve, portanto, superar a análise classificatória
como resultado da comparação. O reconhecimento dos avanços e dos limites que
se apresentam deve constituir um ponto de partida para a identificação dos
elementos que determinam processos desiguais de desenvolvimento que
73
74
decorrem das estratégias de expansão do capitalismo global. No que se refere ao
campo educacional:
A América Latina constitui um novo capítulo da história da educação
ocidental: e não se trata de que por fim a América seja o diálogo ou o
espelho da Europa ou dos EE. UU. Não se trata de introduzir o atraso ou a
desarticulação do Estado como categoria historiográfica da diferença
centro e sul-americana, nem de incluir o realismo mágico-pedagógico
como nosso grande aporte, nem de reivindicar ‘a vitória dos vencidos’
(PUIGGRÓS; LOZANO, 1993, p. 19, apud TROJAN, 2009, p. 3.).
Assim, Trojan (2009), insiste que se faz necessária uma reflexão crítica
sobre o presente e o passado, que superem os estudos comparativos baseados
nos modelos europeus e norte-americanos, que tendem a impor sua cultura e
realizar análises assimétricas, mantendo a relação estabelecida entre colonizador
e colonizado.
Após anos de tecnocratismo em nossos sistemas educacionais e nos
planos de formação de docentes e pesquisadores, se faz necessária a
reflexão crítica sobre o presente e a história, não só a mais recente. A
pobreza, o atraso, a dívida, Cuba, América Central, Peru, Haiti... são
casos extremos que a América, os jovens americanos – os jovens do
mundo – necessitam explicar e conhecer para mudar (PUIGGRÓS ;
LOZANO, 1993, p. 25, apud TROJAN, 2009, p.3).
Uma vez que esteja clara a finalidade da Estudos Comparados e que
esta não tenha caráter classificatória, Carvalho (2008) discorre:
28
No que diz respeito às políticas públicas da gestão em educação , não se
pode desprezar a validade metodológica e instrumental dos estudos
comparativos, especialmente quando se considera que existe um
processo econômico-financeiro de “globalização”, com desdobramentos
políticos, culturais e educacionais. São indicativas desse processo a
internacionalização de fóruns de consulta e de decisões políticas e a
influência crescente das agências internacionais (OCDE, UNESCO, FMI,
Banco Mundial e etc.) na elaboração das políticas internas dos “países de
periferia”. Lideradas pelos “países centrais”, por meio de programas de
cooperação, essas agências prescrevem o modo como os países devem
29
operar as reformas (BARROSO 2003, BARROSO e VISEU, 2003),
28
Velloso e Pedró (1993, p. 371) apontam para a falta de interesse, tanto por parte dos
pesquisadores como dos programas de formação docente, por estudos comparativos no campo da
Administração da Educação nos últimos cinquenta anos, de forma que este vem sendo
contemplado como um campo emergente de investigação.
29
No campo educacional, a agenda geralmente privilegia certas políticas de avaliação,
financiamento, padrões de formação de professor, currículo e procedimentos de avaliação de
desempenhos e prestação de contas que aproximam as organizações escolares da lógica do
mercado. Ou seja, sugerem medidas que enfatizam a redução do patrocínio e financiamento
estatal, passando a conceder subsídios e a estabelecer parcerias; a introdução de mecanismos de
mercado para regular as trocas educativas, e impõem modelos de eficiência e eficácia
emprestados do setor empresarial (BURBULES e TORRES, 2004).
74
75
desempenhando, assim, um papel decisivo na normatização e
padronização das estruturas organizacionais e das políticas educativas”
(CARVALHO, 2008, p.10).
Para o autor, alguns estudos de caráter comparativo têm demonstrado
que países diferentes, ocupando lugares distintos no sistema mundial, estão
percorrendo caminhos bastante semelhantes no desenvolvimento das políticas
públicas em educação. Nesse contexto, considera que “os sistemas educativos
modernos são no essencial, muito mais similares do que distintos, qualquer que
sejam as diferenças e práticas políticas que separam as sociedades modernas”
(BERNESTEIN, 1990, p. 139).
Em relação à América Latina, Carvalho (2008), aponta-nos os estudos
de Rosar e Krawczyk (2001), que demonstram que as circunstâncias não são
distintas:
Nos últimos 10 anos, quase todos os países da América Latina iniciaram
reformas educacionais, resultantes, em grande medida, de um processo
de indução externa articulado com as políticas dos organismos
internacionais de empréstimos para os países da região. A necessidade
dessas reformas foi justificada mediante a publicação de pesquisas, que
evidenciaram os logros e deficiências do sistema educativo à luz dos
condicionantes da reestruturação do setor produtivo e das mudanças
institucionais, que alteram a estrutura do Estado e das relações sociais
no âmbito de uma nova ordem mundial. De fato, esses estudos vieram a
ilustrar pontos de vista já assumidos pelos organismos internacionais e
justificar um modelo pré-estabelecido de reforma educacional (ROSAR e
KRAWCZYK, 2001, p. 33-34, apud CARVALHO, 2008, p. 12-13).
Carvalho (2008) enfatiza ainda, que para Rosar e Krawczyk (2001), “as
reformas educativas em curso têm um caráter homogeneizador, tanto na leitura
das realidades nacionais quanto nas suas propostas, impondo uma padronização
de política educacional para a região” (Ibid., p. 40).
Nesse sentido, pelo exposto, entendemos que os estudos comparados
são fundamentais e corroboram no que destaca Almerindo Afonso (2000, p. 63,
apud Carvalho, 2008, p.13), sobre as políticas educativas: “só podem ser
adequadamente compreendidas se forem referenciadas ao contexto mundial,
ultrapassando assim algumas limitações inerentes às perspectivas tradicionais
que circunscrevem a análise das reformas às fronteiras do Estado-nação”,
destacamos a relevância atual do estudo comparado.
75
76
O autor considera então, que a comparação não é uma operação
simples e implica o recurso a uma teoria da comparação, conforme defende
Nóvoa (1998) quando defende a importância de uma estreita ligação entre as
questões metodológicas e as discussões teóricas, bem como da identificação das
bases ideológicas que subjazem às diferentes comunidades discursivas da
educação comparada.
Na apresentação desse trabalho fora citado Ferrer (2002), outro
estudioso sobre Estudos Comparados, que sugere fases para estruturarmos uma
pesquisa comparativa. Assim, torna conveniente retomá-las e destacá-las nos
principais pontos, de cada uma delas.
Fase Pré- Descritiva: a fim de realizar um estudo comparativo, Ferrer
(2002), destaca três passos imprescindíveis para sua realização corretamente:
1)Seleção, Identificação e Justificativa do problema: como em qualquer
método cientifico o primeiro passo do investigador é determinar a
problemática e justificar a pesquisa do tema escolhido.
2)Formulação das hipóteses: acredita-se que nessa fase estabelecer
possíveis hipóteses para a pesquisa.
3)Delimitação da Investigação: Ferrer (2002) entende que essa etapa é
primordial para o estudo comparativo e destaca alguns itens que
nortearão os trabalhos de pesquisa:
3.a. Delimitação dos conceitos empregados: aqui o alerta é para os
termos que são utilizados e não criar confusão quanto a tradução para
fins de comparação.
3.b. Delimitação do objeto de estudo: identificar o que se pretende
investigar.
3.c. Delimitação da área de estudo: aqui entendemos que é necessário
estabelecer os critérios da pesquisa, ou seja, as categorias de análises.
3.d. Delimitação do processo de investigação: estabelecer quais serão
as diferentes etapas da pesquisa.
3.e. Delimitação dos instrumentos de medida: Aqui temos que ter o
cuidado ao valorizar os prós e os contras ao obtermos e analisarmos os
dados da coleta.
3.f. Delimitação das técnicas de análise: Refletir sobre as escolhas para
a consecução da pesquisa.(p.97-98
Fase descritiva: é a fase onde se apresentam os dados re-copilados e
onde se descreve os dados contextuais, caracterizando corretamente o sistema
educacional.
Fase interpretativa: O objetivo dessa fase é o de interpretar os dados
descritos na fase anterior. Ferrer (2002), relata que o professor J. L. Carcia
76
77
Garrido sugere que esta fase seja finalizada com uma síntese analítica tecendo
conclusões.
Fase da Justaposição: Esta fase pode ser considerada como uma
confrontação dos dados que temos presentes na descrição e que depois foram
interpretados.
Fase comparativa: O objetivo primordial dessa fase é demonstrar a
aceitação ou rejeição das nossas hipóteses, em especial, aos apresentados na
etapa anterior.
Fase prospectiva (Optativa): essa fase tem como premissa
apresentar as tendências em Educação nos países estudados.
Assim, a pesquisa, por meio da comparação entre Brasil e Chile,
pretende apreender o objeto de estudo, qual seja, o currículo de Matemática, em
seu contexto, com base no que lhe é específico, mas sem tratá-lo como objeto
isolado, separado daquilo que lhe dá significado, ou da totalidade social da qual é
parte, ou seja, abordá-lo como uma particularidade histórica. Nessa perspectiva,
vale apoiar em Franco (2000), que índica a necessidade de:
[...] não perder a especificidade local do fenômeno e tratá-lo dentro das
complexas relações sociais que o constituem enquanto preparação para
o trabalho, em um mundo cultural e economicamente globalizado. O que
significa compreendê-lo enquanto resposta estratégica aos problemas
postos pela globalização econômica, pela reestruturação produtiva, pelos
objetivos de qualidade e de competitividade, pelas transformações do
mundo do trabalho e pelo desemprego estrutural (FRANCO, 2000, p.
222).
2.3 Nossas escolhas e percursos
Para o desenvolvimento da pesquisa, houve a necessidade de
organização em momentos específicos, devidamente caracterizados como:
Aproximações com a temática, onde nessa etapa o trabalho concentrou-se na
busca de aportes teóricos, para que fossem realizados levantamentos de teses no
portal da Capes, assim foi efetuada uma imersão, por meio de pesquisa
77
78
bibliográfica nos trabalhos que pudessem trazer contribuições ao problema de
pesquisa que foi efetivamente proposto a investigar.
Pesquisa de documentos oficiais. Uma etapa, onde foi procurado
localizar documentos legais que possibilitassem a análise de currículos prescritos
nos dois países pesquisados para o nível de Educação Básica, conforme ditam
Ludke e André (1986):
Embora pouco explorada não só na área de educação como em outras
áreas de ação social, a análise documental pode se constituir numa
técnica valiosa de abordagem de dados qualitativos, seja
complementando as informações obtidas por outras técnicas, seja
desvelando aspectos novos de um tema ou problema. São considerados
documentos “quaisquer materiais escritos que possam ser usados como
fonte de informação sobre o comportamento humano” (Phillips, 1974,
p.187). Estes incluem desde leis e regulamentos, normas, pareceres,
cartas memorandos, diários pessoais, autobiografias, jornais, revistas,
discursos, roteiros de programas de rádio e televisão até livros,
estatísticas e arquivos escolares (LUDKE e ANDRÉ 1986, p.38).
Levantamento de informações sobre dados de ambos os países:
nessa etapa buscou-se levantar e organizar, informações sobre dados
socioeconômicos dos dois países, mas principalmente as que se referem aos
sistemas educativos de cada um. Dado a essas premissas foram analisadas leis
magnas e principais diretrizes para a educação.
Preparação para a pesquisa de campo: nessa etapa a dedicação foi
voltada para entrar em contato com pessoas que pudessem contribuir para o
trabalho, por meio de entrevistas, tanto no Brasil como no Chile. A meta foi de
entrevista com igual número de pessoas em ambos os países, desde que
houvesse experiências similares nas suas relações com os currículos de
Matemática, ou seja, elaboradores, gestores e professores.
Além dos contatos,
da etapa organizaram-se instrumentos de coleta de dados, onde foi devidamente
elaborado roteiros de entrevistas semi-estruturados, com a providência
de
documentos como termos de consentimento para divulgação do conteúdo das
referidas entrevistas.
Realização da pesquisa de campo: no período de 25 a 29 de julho de
2011 foram visitadas no Chile, as cidades de Santiago, Val Paraíso e Viña Del
Mar, onde foram realizadas as entrevistas com profissionais chilenos. No decorrer
78
79
de 2011 e inicio de 2012, o mesmo trabalho fora feito com profissionais
brasileiros. As entrevistas foram gravadas em áudio e posteriormente transcritas.
Desenvolvimento da análise comparativa entre os documentos e
entre as entrevistas: nessa etapa, as informações foram organizadas e
coletadas. Também fora efetuado o texto a ser apresentado no exame de
qualificação.
2.4 Algumas informações sobre o processo de
realização de entrevistas
A pesquisa de campo com profissionais que atuam em diferentes postos
nas redes de ensino públicos dos países pesquisados não só pretendeu desvelar,
como vem sendo a implementação dos currículos de Matemática, mas também
explicitar as recomendações metodológicas apontadas nos documentos oficiais
do Brasil e Chile. A pesquisa de campo foi realizada por meio de entrevistas e
observações.
Usada como principal método de investigação ou associada a outras
técnicas de coleta, a observação possibilita um contrato pessoal e
estreito do pesquisador como fenômeno pesquisado, o que apresenta
uma série de vantagens. Em primeiro lugar, a experiência direta é sem
dúvida o melhor teste de verificação da ocorrência de um determinado
fenômeno. “Ver para crer” diz o ditado popular.
Sendo o principal instrumento da investigação, o observador pode
recorrer aos conhecimentos e experiências pessoais como auxiliares no
processo de compreensão e interpretação do fenômeno estudado. A
instrospecção e a reflexão pessoal têm papel importante na pesquisa
naturalística (LUDKE e ANDRÉ, 1986, p.26).
As entrevistas realizadas com os profissionais que atuam nos sistemas
educativos dos países pesquisados, configuraram-se como um tipo de
investigação em educação que se insere no contexto das denominadas pesquisas
qualitativas, dado ao fato de apresentarem em sua metodologia, algumas
características singulares.
Segundo a visão teórica de Bogdan e Biklen (1994), essas pesquisas
apresentam como características:
79
80
1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente
natural constituindo-se o investigador o instrumento principal.
2. A investigação qualitativa é descritiva. Os dados recolhidos são em
forma de palavras ou imagens e não em números. Os resultados
escritos da investigação contêm citações feitas com base nos dados
para ilustrar e substanciar a apresentação.
3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo
do que simplesmente pelos resultados ou produtos.
4. Os investigadores qualitativos tendem a investigar os seus
dados de forma indutiva. Não recolhem dados ou provas com o
objetivo de confirmar ou informar hipóteses construídas previamente;
ao invés disso, as abstrações são construídas à medida que os dados
particulares que foram recolhidos se vão agrupando.
5. O significado é vital na investigação qualitativa. Os investigadores
que fazem uso deste tipo de abordagem estão interessados no modo
como diferentes pessoas dão sentido às suas vidas. (p. 47-50)
Em visita a Santiago e Valparaiso no Chile, em julho de 2011, houve o
privilégio contato pessoal e de entrevista com o Professor Doutor Fidel Oteiza,
com a Professora Doutora Ismenia Guzmán Retamal e também com o Professor
Doutor Raimundo Olfos, acadêmicos que possuem ligação com a elaboração dos
currículos de Matemática, de maneira direta e/ou indireta.
São pesquisadores em Educação Matemática, que publicaram diversos
artigos sobre o ensino e aprendizagem de Matemática na Educação Básica e que
aceitaram receber e conceder entrevista, contribuindo assim com a pesquisa de
doutorado.
Dr. Oteiza, que tem atuado como coordenador das últimas reformas
curriculares no Chile, concedeu uma entrevista em Santiago, que pode ser
gravada, se propondo a fornecer documentos que pudessem elucidar possíveis
dúvidas.
80
81
Em Valparaíso, Dra. Ismênia conversou informalmente, na sede do
Instituto de Matemática, contudo, não foi possível gravar ou filmar, pois havia para
ela, compromissos agendados. No entanto, estava combinado que apresentasse
Raimundo Olfos, que poderia dar atenção às dúvidas, além de apresentar
escolas e professores para observações e entrevistas.
Dr. Olfos, caracterizou o cenário de implementações de currículos em
seu país, desde Frei Montalva, no ano de 1966. A conversa foi muito
esclarecedora para algumas dúvidas sobre aspectos, os quais nos documentos
oficiais não estavam claros.
Mais tarde, Dr Olfos encaminhou algumas escolas subvencionadas30,
contudo a intenção fosse a de conhecer escolas públicas. Por seu intermédio
conhecemos um professor que atua na rede pública e na rede particular, assim foi
aberto caminho para a entrevista nas dependências da biblioteca da Universidade
Católica de Valparaiso em Vina Del Mar.
Uma professora e um diretor de escola subvencionada, que alegaram
ter experiência na rede pública ficaram de enviar por e-mail, respostas para os
questionamentos, pois alegaram não haver tempo no período destinado a esse
trabalho no Chile, contudo não enviaram.
Dr. Olfos entregou vários documentos para trazer ao Brasil e analisar
com tranquilidade. Alguns documentos considerados por ele como “únicos”, assim
foram fotografados ou xerografados para posterior análise.
Dra Ismênia tem contribuído muito com o trabalho por e-mail, além de
indicações de endereços eletrônicos para coleta de informações e pessoas que
podem contribuir com a investigação.
No período de visita ao Chile, muitas escolas públicas estavam em
greve (Santiago e Valparaiso), por esse motivo algumas observações foram
comprometidas. Não houve oportunidade de ver os cadernos de alunos e de
conversar com mais professores e gestores atuantes nessa rede.
30
Escolas subvencionadas são escolas particulares que recebem subsídio do governo federal
(50% das matrículas) e ainda podem cobrar mensalidades
81
82
No Brasil participou da entrevista, o Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo,
que de maneira ativa contribuiu na elaboração dos Parâmetros Curriculares
Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental
Contatado também, um professor da rede municipal de São Caetano do
Sul, que aceitou e concedeu entrevista.
Foi solicitada ajuda para um diretor da escola estadual paulista situada
em Guarulhos.
Foram igualmente entrevistados, mais seis professores que trabalham
na rede estadual de São Paulo, onde lecionavam para o Ensino Fundamental II e
Ensino Médio. Dois deles atuam como formadores de professores do Ensino
Fundamental Ciclo I e II.
Outras duas profissionais da Educação, sendo uma diretora e uma
professora do Ensino Fundamental Ciclo I, foram convidadas, e que, também,
atuam em São Caetano do Sul como formadoras de professores polivalentes31.
A seguir apresentamos um quadro com o total de entrevistados nos
dois países:
Quadro 2: Número de entrevistados
Entrevistado
IDENTIFICAÇÃO
Brasil
Chile
EBR
01
ECH
01
Diretor(a) de Escola
DIRBR
02
DIRCH
-
Formador(a)
FPBR
03
FPCH
02
PBR
05
PCH
01
Elaboradores
do
currículo
prescrito e vigente
Pedagógico(a)/pesquisador (a)
Professores da escola pública
do Ciclo I e II
Número de entrevistados
31
11
04
Professores polivalente são aqueles que lecionam para o Ensino Fundamental Ciclo I.
82
83
A seguir, é apresentado o perfil dos entrevistados brasileiros, onde
identificamos a idade, o sexo, o tempo de experiência no magistério e o local que
trabalham atualmente.
Quadro 3: Perfil dos entrevistados brasileiros
PESQUISADO
SEXO
TEMPO NO
M AGISTÉRIO
EBR1 – Doutor em
Educação
Pesquisa, Formação de Professores e
Masculino
30 anos
Feminino
30 anos
Masculino
30 anos
Masculino
10 anos
Matemática
DIRBR1 – Pedagoga
com Pós em
CAMPO DE ATUAÇÃO
Ensino Superior
Formação de Professores
Psicopedagogia
DIRBR2 – Mestre em
Educação
Diretor, Professor da Educação Básica e
Matemática
FPBR1 – Mestre em
Educação
Professor da Educação Básica e do Ensino
Matemática
FPBR2 – Mestre em
Educação
Superior
Pesquisa, Formação de Professores
Masculino
15 anos
Matemática
Professor da Educação Básica e do Ensino
Superior
Professor da Educação Básica
PBR1 – Graduado
Masculino
5 anos
PBR2 – Graduada
Feminino
10 anos
PBR3 – Graduado
Masculino
15 anos
Professor da Educação Básica
Professor da Educação Básica
PBR4 – Mestre em
Educação
do Ensino Superior
Professor da Educação Básica e de Ensino
Masculino
12 anos
Superior
Matemática
PBR5 – Mestre em
Educação
Professor da Educação Básica e de Ensino
Masculino
20 anos
Superior
Matemática
Na sequência apresentamos o perfil dos entrevistados chilenos.
83
84
Quadro 4: Perfil dos entrevistados chilenos
PESQUISADO
SEXO
TEMPO NO
M AGISTÉRIO
ECH – Doutor em
Currículo e Instrução
Pesquisa, Consultor e Professo de Ensino
Masculino
30 anos
Feminino
20 anos
Masculino
31 anos
Masculino
10 anos
FPCH1 – Doutora em
Educação Matemática
PCH1 – Graduado
Superior
Pesquisa, Formação de Professores e
FPCH2 – Doutor em
Educação Matemática
CAMPO DE ATUAÇÃO
Ensino Superior
Pesquisa, Formação de Professores e
Ensino Superior
Professor
84
85
CAPÍTULO 3
SISTEMAS EDUCACIONAIS
DE BRASIL E CHILE
3.1 Introdução
Para as análises e reflexões sobre os sistemas educacionais de Brasil
e
Chile,
entendeu-se
como
necessidade
a
caracterização
dos
países
pesquisados, evidenciando seus principais indicadores econômicos, sociais e
culturais. Possivelmente, a partir dos dados levantados possa delinear com mais
clareza, algumas questões futuras no desenrolar da nossa investigação.
3.2 Contexto social, político e econômico (IDH, PIB,
taxa de escolarização, contexto político pós-ditadura
etc.)
A seção seguinte pretende apresentar um panorama geral sobre os
países pesquisados. Nesse sentido, foi explorado por meio de um levante,
diversos institutos fidedignos, que trabalham com índices estatísticos, e por sua
vez monitoram em diversos países da América Latina, índices de crescimento
populacionais, de crescimento econômico com suas principais atividades (entre
países), índices relacionados com a Educação e índices relacionados à Saúde,
entre outros.
Os indicadores sociais, políticos e econômicos do Brasil e Chile,
devidamente organizados na tabela 2, foram extraídos do Portal Brasil32, do
32
Disponível em: http://www.portalbrasil.net/americas_chile.htm
85
86
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE33 e dos relatórios do
Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento – PNUD34 2010.
Tabela 2 – Indicadores econômicos, sociais e demográficos
CHILE
BRASIL
Renda Per
Capita
US$ 11 147,00
US$ 15 235,00
IDH
0,699
0,783
PIB
US$ 2,1 trilhões
US$ 256,8 bilhões
191 milhões de
17,09 milhões de
habitantes.
habitantes.
9,7 %
3,5 %
8.514.876 km²
756.945 km²
190,76 milhões de
17,09 milhões de
habitantes
habitantes
22,4 hab./km²
22,58 hab./km²
1,17% ao ano (2000 a
1,4% ao ano (1995 a
2010).
2000)
73 anos
79 anos
População
Taxa de
analfabetismo
Área territorial
População
Densidade
demográfica
Taxa de
crescimento
demográfico
Expectativa de
vida
Agrícolas: algodão,
Agrícolas: trigo, aveia,
Principais
arroz, café, cana-de-
cevada, milho, frutas,
produtos da
açúcar, laranja, soja.
hortaliças, feijão,
economia
beterraba, alho, uva,
semente de girassol.
33
34
Pecuária: Bovinos,
Pecuária: bovinos,
Aves, Equinos,
suínos, ovinos, aves;
Disponível em: www.ibge.org.br
Disponível em http://www.pnud.org.br/cidadania/reportagens/index.php?id01=3598&lay=cid
86
87
Muares, Caprinos,
Asinino, Suínos,
Ovinos, Coelhos.
Mineração: bauxita,
Mineração: produtos
ferro, manganês, ouro
minerais (35% do cobre
e petróleo.
utilizado no mundo,
molibdênio, prata e
ouro), manganês,
chumbo, e carvão.
Indústria: produtos
Indústria: de
industriais e
transformação, de
agroindustriais (metanol,
bens de consumo e
bens duráveis.
celulose, madeira,
salmão e vinho de
qualidade
internacionalmente
reconhecida).
O Brasil, cuja denominação oficial se designa como República
Federativa do Brasil, tem um regime presidencialista. Sua última constituição
vigora desde 1988.
O Chile35, oficialmente
República do Chile é igualmente uma
República Presidencialista. Apresenta divisão administrativa separada em 12
regiões, que por sua vez são subdivididas em províncias de área metropolitana.
Sua constituição atual vigora desde 1981.
A população brasileira, de acordo com Censo IBGE 2010, é formada
por Pardos, 43,2%, Brancos, 47,7%, Negros, 7,6%, Indígenas, 0,4% e Amarelos
1,1%.
A
população chilena36 é
formada
em
sua
maioria
por
brancos, de origem europeia (europeus ibéricos), mesclados com indígenas
35
36
Disponível em: http://www.consulados.com.br/chile/#informacoes
Disponível em: http://www.suapesquisa.com/paises/chile/
87
88
(eurameríndios), equivalentes a 95% da população, ameríndios37, 3% (índios
arauncãs e aimarás) e outros 2%.
O idioma oficial brasileiro é a Língua Portuguesa, sua religião oficial é o
catolicismo com 73,8% da população, Evangélicos 15,4%, sem religião 7,4 % e
outras 3,4%.
O idioma chileno é o espanhol e a religião predominante é o
cristianismo 89,9% (católicos 76,7%, protestantes 13,2%), sem filiação e ateísmo
5,8%, outras 4,3%.
A economia brasileira é voltada para importação e exportação. Tal
como o Chile, o Brasil mantém estreitas relações com diversas instituições
mundiais ligadas a problemas sociais, políticos e econômicos, tais como:
Cooperação Econômica da Ásia (APEC) , Banco Mundial, Fundo Monetário
Internacional (FMI), Mercosul (membro associado), Organização dos Estados
Americanos (OEA), Organização Mundial do Comércio (OMC) e Organização das
Nações Únicas (ONU).
A economia chilena é voltada para a exportação, sendo conhecida
como economia aberta. Mantém relações exteriores com agencias internacionais
tais como: Cooperação Econômica da Ásia (APEC) , Banco Mundial, Fundo
Monetário Internacional (FMI), Mercosul (membro associado), Organização dos
Estados Americanos (OEA), Organização Mundial do Comércio (OMC) e
Organização das Nações Únicas (ONU).
Atualmente, de acordo com o IBGE 2010, o Brasil é dividido política e
administrativamente em 27 unidades federativas, sendo 26 estados e um distrito
federal.
O Chile está dividido política e administrativamente em 13 regioes38,
sendo suas principais cidades: Santiago do Chile, Concepción, Puente Alto, Viña
del Mar, Valparaíso, Talcahuano e Antofagasta.
37
Povos Ameríndios. Denominação genérica dos diferentes povos que viviam na América antes
da chegada dos europeus no século XVI.
38
Disponível em: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/chile/chile-4.php e
http://pt.wikipedia.org/wiki/Regi%C3%A3o_Metropolitana_de_Santiago
88
89
3.3 Participação de Pais ou responsáveis no sistema
educativo
Em alguns estados do Brasil, existe a Associação de Pais e Mestres
(APM), que tem a responsabilidade de gerir verbas públicas para que a escola
tenha condições de atender os alunos. A verba é destinada para compra de
materiais didáticos (papel sulfite, lápis, caderno, folhas de seda, etc...) também
matériais de limpeza e ainda, para pequenas reformas.
No Chile existe o Centro de Pais e Apoderados39 (CPA), que
acompanha o desenvolvimento curricular nas escolas e auxilia alunos que
apresentam dificuldades de aprendizagem
Rodriguez (2004), afirma que este nível de participação do CPA junto
ao controle de Eficácia, são aqueles considerados mais efetivo no contexto da
participação dos cidadãos. Pais e Apoderados aparecem como os níveis mais
elevados de participação com um maior impacto na qualidade e a equidade do
sistema de educação.
Há
dois
sub-níveis,
considerando
o
tipo
de
influência
e
responsabilidades adotado pelas partes. No primeiro, um ou mais representantes
do CPA participam com direito a voz e voto nas instâncias máximas de tomada de
decisão na escola. Espera-se que os pais, mães e responsáveis participem de
forma propositiva devidamente informados e capacitados.
O segundo, permite que os agentes e os signatários autorizados
assumam a responsabilidade ou encargos em nível de escola administrativa ou
de ensino. Em geral, esta tomada de decisão é geralmente limitada a uma área
muito restrita atividades das escolas.
39
Segundo Rodríguez (2004), Os apoderados são pessoas voluntárias, autorizadas pelo
MINEDUC, que devem fornecer mais informações para os professores, especialmente em termos
de características e aspectos seus filhos, para que possam ter maior conhecimento e potencializar
seu desenvolvimento, incentivando assim os aspectos acadêmicos que estão trabalhando. Os
professores precisam repassar aos apoderados as atividades que estão desenvolvendo para que
eles tenham condições de ajudar os alunos na sua aprendizagem.
89
90
O CPA recebe verba governamental para produção de materiais
didáticos que auxiliem os alunos e também de materiais para limpeza,
manutenção, etc.
3.4 Algumas comparações
educativos de Brasil e Chile
entre
os
sistemas
Na busca de informações sobre os sistemas educacionais nos dois
países para a pesquisa, viu-se a necessidade da busca de documentos oficiais
que caracterizam os sistemas de Educação Básica.
Os dados apresentados na tabela 03 foram extraídos de documentos
oficiais do Ministério de Educación Del Chile (MINEDUC) e do Instituto Nacional
de Estatística e Pesquisa (INEP), órgão pertencente ao Ministério de Educação e
Cultura (MEC), do Brasil.
Tabela 3 – Configuração educacional dos países
BRASIL
Educação Infantil, não obrigatório, dividida em:
Creche (idades de 0 a 3 anos);
Pré-escola (idades de 4 a 6 anos)
CHILE
Educação parvulária, não obrigatória atende
crianças entre 84 dias e 06 anos sendo:
I) Sala cuna: (84 dias a 2 anos); II) Medio: (de 2 a
4 anos) e III) Transición: (de 4 a 6 anos). Se
diferencia neste nível o Primer nivel (prekinder, 4 a
5 anos) e Segundo Nivel (kinder, 5 a 6 anos).
40
Ensino fundamental obrigatório de nove anos
Educação básica, obrigatória, de seis anos .
(ciclos I e II) para crianças com idades de 6 a 14
Artículo 25.- El nivel de educación básica regular
tendrá una duración de seis años y el nivel de
educación media regular tendrá una duración de
seis años, cuatro de los cuales, en el segundo
caso, serán de formación general y los dos finales
de formación diferenciada. La educación parvularia
no tendrá una duración obligatoria (Ley 20370,
2009).
anos. Lei Nº 11 274 de 06/02/2006.
Ensino Médio, não obrigatório, de três anos,
regular ou profissionalizante, para adolescentes
com idade de 15 a 17 anos.
Educação Média, obrigatória, de seis anos.
40
No Chile a educação básica era de 8 anos e a educação média de 4 anos. Atualmente está num
momento de transição de acordo com a Ley 20.370 de 09/2009 em que a Educação Básica e
Média serão denominadas, primária e secundária, respectivamente com seis anos cada.
90
91
No Brasil o Ensino Fundamental é de nove anos de escolaridade, que
por sua vez é obrigatório e atende a uma grande demanda41.
No Chile o equivalente ao Ensino Fundamental no Brasil é de seis anos
e é obrigatório.
Ensino Médio brasileiro corresponde a três anos de estudos, contudo
não é obrigatório, enquanto no Chile é obrigatório (quatro anos), onde está sendo
reestruturado de tal forma, que os 7º e 8º anos de Educação Primária passarão a
fazer parte da Educação Secundária.
Embora o Ensino Médio no Brasil não seja obrigatório, tem atendido um
número muito grande de alunos, como demonstrado um pouco mais adiante. É
importante ressaltar, que nos últimos anos essa demanda tem aumentado frente
às necessidades de inserção no mercado de trabalho.
A seguir serão descritos qual o tempo e carga horária escolar, que os
alunos cumprem anualmente nas escolas, além de qual a lei magna que rege a
Educação no Brasil e Chile.
Tabela 4 – Período letivo, horário escolar e carga mínima de horas de trabalhos escolares anuais
CHILE
BRASIL
A educação brasileira é oferecida em até
A educação chilena é oferecida em
três turnos: matutino, das 7h às 12h; período integral (Lei 19532 de 06/11/2004).
vespertino, das 13h às 18h e noturno, das Tem escolas que iniciam as 08h00 e
19h às 23h.
terminam as 13h00 outras encerram as
16h00, mas ainda não é uma unanimidade
no país.
O ano letivo inicia-se em fevereiro e
O ano letivo inicia-se em março e
termina em dezembro, com interrupção de termina no final de novembro ou inicio de
uma ou duas semanas nos meses de julho dezembro. Em Julho tem-se duas semanas
e dezembro, para o recesso escolar, e em de descanso
janeiro, para as férias escolares.
41
Essas
Mais a frente serão apresentados os números dessa demanda.
91
92
definições são seguidas em todo o país,
com algumas modificações condicionadas
às normas de cada rede e/ou instituição
escolar.
A
Lei
de
da
A Ley 20.370/2009 definiu como
Educação Nacional Nº 9394/96 defini para
obrigatória e subdivide a educação
a educação básica, nos níveis fundamental
básica em seis anos e média em seis
e médio a carga horária mínima de 800
anos denominando-as de primária e
horas distribuídas no mínimo em 200 dias
secundária, respectivamente. A carga
letivos
horária42 chilena para 2012 é de 1680
de
Diretrizes
efetivo
e
Bases
trabalho
escolar,
excluindo o tempo para os exames finais.
horas distribuídas do inicio de março
ao fim de novembro.
Pode-se observar, que a carga horária escolar do Chile para 2012 é
muito superior à do Brasil, que no período diurno, pode chegar a até 1000 horas
aulas. No Chile a carga horária era de 1200 horas aula, sendo que para 2012 teve
um aumento de 40%.
3.5 Sistemas de avaliação nos dois países
No Brasil, diversos instrumentos avaliativos oficiais externos criados,
afim de acompanhar os avanços na aprendizagem dos alunos, e identificar
problemas de aprendizagem e reorientar os caminhos, buscando a melhoria da
aprendizagem.
Um desses instrumentos é o Índice de Desenvolvimento da Educação
Básica43 (Ideb) que foi criado em 2007 para medir a qualidade de cada escola e
de cada rede de ensino. O indicador é calculado com base no desempenho do
estudante em avaliações do Inep e em taxas de aprovação e evasão escolar.
42
Disponível em: http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=206262
Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=336&id=180&option=com_content&view=article
43
92
93
Assim, para que o Ideb de uma escola ou rede cresça é preciso que o aluno
aprenda, não repita o ano e frequente a sala de aula.
Como parte do Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE), ele é
calculado com base na taxa de rendimento escolar (aprovação e evasão) e no
desempenho dos alunos no Saeb (Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica) e na Prova Brasil. Ou seja, quanto maior for a nota da instituição no teste
e quanto menos repetências e desistências ela registrar, melhor será a sua
classificação, numa escala de zero a dez. O mecanismo foi muito bem avaliado
por especialistas justamente por unir esses fatores. Sendo assim, se uma escola
passar seus alunos de ano sem que eles tenham realmente aprendido, por
exemplo, isso ficará claro a partir da análise do desempenho dela no Ideb.
O índice é medido a cada dois anos e o objetivo é que o país, a partir
do alcance das metas municipais e estaduais, tenha nota 6 em 2022 –
correspondente à qualidade do ensino em países desenvolvidos.
Para que pais e responsáveis acompanhem o desempenho da escola
de seus filhos, basta verificar o Ideb da instituição, que é apresentado nessa
escala de zero a dez. Da mesma forma, gestores acompanham o trabalho das
secretarias municipais e estaduais pela melhoria da Educação:
44
•
Provinha Brasil : de acordo com o Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – Inep a Provinha Brasil é
uma avaliação diagnóstica do nível de alfabetização das crianças
matriculadas no segundo ano de escolarização das escolas públicas
brasileiras. Essa avaliação acontece em duas etapas, uma no início
e a outra ao término do ano letivo. A aplicação em períodos distintos
possibilita aos professores e gestores educacionais a realização de
um diagnóstico mais preciso que permite conhecer o que foi
agregado na aprendizagem das crianças, em termos de habilidades
de leitura dentro do período avaliado.
•
Prova Brasil e Saeb: o Inep explicita que o Sistema de Avaliação da
Educação Básica é composto por duas avaliações complementares.
A primeira, denominada Aneb – Avaliação Nacional da Educação
Básica, abrange de maneira amostral os estudantes das redes
públicas e privadas do país, localizados na área rural e urbana e
matriculados no 5º e 9º anos do ensino fundamental e também no 3º
ano do ensino médio. Nesses estratos, os resultados são
apresentados para cada Unidade da Federação, Região e para o
Brasil como um todo.
•
A segunda, denominada Anresc - Avaliação Nacional do
Rendimento Escolar é aplicada censitariamente alunos de 5º e 9º
44
Disponível em: http://provinhabrasil.inep.gov.br/
93
94
anos do ensino fundamental público, nas redes estaduais, municipais
e federais, de área rural e urbana, em escolas que tenham no
mínimo 20 alunos matriculados na série avaliada. Nesse estrato, a
prova recebe o nome de Prova Brasil e oferece resultados por
escola, município, Unidade da Federação e país que também são
45
utilizados no cálculo do Ideb .
•
As avaliações que compõem o Saeb são realizadas a cada dois
anos, quando são aplicadas provas de Língua Portuguesa e
Matemática, além de questionários socioeconômicos aos alunos
participantes e à comunidade escolar.
•
O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) é uma prova criada
em 1998 pelo Ministério da Educação do Brasil (MEC), quando tinha
como única finalidade avaliar a qualidade geral do Ensino Médio no
país.
O MEC em 2009 apresentou uma proposta de reformulação do Exame
Nacional do Ensino Médio (Enem) e sua utilização como forma de seleção
unificada nos processos seletivos das universidades públicas federais. A proposta
tem como principais objetivos democratizar as oportunidades de acesso às vagas
federais de ensino superior, possibilitar a mobilidade acadêmica e induzir a
reestruturação dos currículos do ensino médio.
As universidades possuem autonomia e poderão optar entre quatro
possibilidades de utilização do novo exame como processo seletivo:
•
Como fase única, com o sistema de seleção unificada, informatizado e
on-line;
•
Como primeira fase;
•
Combinado com o vestibular da instituição;
•
Como fase única para as vagas remanescentes do vestibular.
Entendemos que a nova identidade que é conferida ao Enem, permeia
oportunidades para todos os alunos, quaisquer que sejam suas classes sociais,
inserirem-se no ensino propedêutico, principalmente, as instituições públicas que
são concorridas.
Além das avaliações da esfera federal temos também avaliações que
são propostas por secretarias municipais de Educação. É o caso do Sistema de
Avaliação de Rendimento Escolar Municipal – Sarem, e de avaliações estaduais,
45
Disponível em: http://educarparacrescer.abril.com.br/indicadores/ideb-299357.shtml
94
95
como no caso de São Paulo, que adotou o Sistema de Avaliação de Rendimento
Escolar de São Paulo – Saresp.
Parece-nos que a ampliação de oportunidades educacionais é uma
preocupação forte também no Chile. Nossa impressão é pautada também nas
leituras realizadas nos documentos oficiais chilenos, que demonstram que desde
a década de 60, acentuando-se na década de 90, várias reformas e iniciativas
como aumento da jornada escolar e ampliação da escolaridade na Educação
Média vêm ocorrendo no Chile.
Além da ampliação de oportunidades é conveniente destacar que foi
criado um órgão, Sistema de Medición de la Calidad de la Educación del Chile
(SIMCE)46,
que monitora, por meio de avaliações, as escolas e propõe-nas
sugestões
e
encaminhamentos
para
superar
algumas
as
dificuldades
identificadas.
As provas avaliam a realização e o alcance dos objetivos fundamentais
e conteúdos mínimos obrigatórios do Marco Curricular nacional.
As provas do SIMCE avaliam a realização dos Objetivos Fundamentais
– (OF) e Conteúdos Mínimos Obrigatórios (CMO) do quadro curricular atual de
aprendizagem em diferentes setores, por meio de uma medida que se aplica a
nível nacional, uma vez por ano, para os alunos matriculados em um determinado
nível de ensino.
Até 2005, a aplicação de testes alternaram-se entre 4º básico, 8º
básico e 2º Médio. Desde 2006, isso mudou, sendo que a avaliação é proposta
anualmente para todos os alunos que estão cursando o 4º Básico e alterna-se
para os alunos do 8º Básico e 2º Médio. Desde 2010, a cada dois anos, aplica-se
a avaliação de Inglês para alunos do 3º Médio, e a cada ano uma avaliação, por
amostragem, em Educação Física para o 8º ano, a fim de diagnosticar a condição
física dos alunos.
O SIMCE também coleta informações sobre os professores, pais,
alunos e encarregados de educação por meio de questionários de contextos. Tais
46
Disponível: http://www.simce.cl/
95
96
informações são usadas para contextualizar e analisar os resultados do teste de
SIMCE estudante.
A seguir são apresentadas as provas que são instrumentos de análise
do SIMCE, são elas:
•
Pruebas nacionales SIMCE Evalúa Lenguaje, Matemática y Ciencias
(Naturales y Sociales) en alumnos y alumnas de 4° B ásico y 8°
Básico
•
CÍVICA Civic Education Study. Evalúa educación cívica en alumnos
y alumnas de 8° Básico y 4° Medio.
•
TIMSS Trends in International Mathematics and Science Study.
Evalúa Matemática y Ciencias en alumnos y alumnas de 8° Básico y
4° Básico (Chile solo ha participado en 8° Básico).
•
LLECE Laboratorio Latinoamericano de la Calidad de la Educación.
Estudio Internacional Comparativo sobre Lenguaje, Matemática y
Factores Asociados. Evalúa Lenguaje y Matemática en alumnos y
alumnas de 3° Básico, 4° Básico y 6° Básico de país es
latinoamericanos.
No Chile existe uma disputa acirrada entre as escolas para um melhor
desempenho nas avaliações do SIMCE, pois, o Sistema Nacional de Avaliação do
Desempenho dos Estabelecimentos
Educacionais Subvencionados (SNDE),
criado em 1996, identifica as escolas que recebem subvenção estatal (tanto
particulares subvencionados como as municipais) que apresentam melhor
desempenho em cada região. O SNDE utiliza os resultados das avaliações do
SIMCE que são realizadas pelos alunos para pagamento de um premio a fim de
motivar os professores.
As escolas que forem classificadas como excelente recebem essa
subvenção (valor em pesos) por desempenho de excelência durante dois anos.
96
97
3.6 Contexto educacional e políticas públicas
A seguir são apresentados dados, que revelam o número de alunos
matriculados em 2010 na Educação Básica dos dois países.
Tabela 5 – Número de matrículas na Educação Básica por Dependência Administrativa – Censo 2010
Matrícula na Educação
Total Geral
Pública
Brasil47
51 549 889
Chile48
3 205 699
43 989 507
-
Federal
Estadual
Municipal
Privada
235108
20 031 988
23 722 411
7 560 382
-
-
1 960 185
1 245 514
De acordo com a tabela acima, o Censo Escolar 2010 apontou que o
Brasil tem 51,5 milhões de estudantes matriculados na educação básica das
redes pública e privada, sendo creches, pré-escola, ensino fundamental e médio,
educação profissional, educação especial e de jovens e adultos. Dos 51,5
milhões, 43,9 milhões estudam nas redes públicas (85,4%) e 7,5 milhões em
escolas particulares (14,6%). Atendem estudantes da educação básica 194.939
estabelecimentos de ensino. Em 2009, o censo registrou 52,5 milhões de alunos
na educação básica.
Embora a Educação Básica seja “gratuita” o Brasil tem desafios a
enfrentar referentes às taxas de reprovação e de evasão escolar. A seguir
apresentamos na tabela 06 os índices de aprovação e reprovação em países do
MERCOSUL.
O Chile tem atualmente cerca de 3,2 milhões de estudantes no Ensino
Básico (oito séries) e 987,6 mil no Ensino Médio (quatro séries), distribuídos em
10803 escolas.
47
Disponível em: http://www.oei.es/noticias/spip.php?article8057&debut_5ultimasOEI=40
Disponível em: http://www.dipres.gob. f División de Planifcación y Presupuesto; División
Educación Superior. Ministerio de Educación.
48
97
98
As autoridades chilenas apresentam por meio do Compendio
Estatístico 2011, um total de 4.688.935 alunos matriculados, sendo que nesse
número está inserido 987.643 alunos matriculados no ensino superior, 349.720
alunos na pré-básica e 145.873 alunos na educação especial.
Segundo o PNAD49, o Brasil apresenta resultados menos satisfatórios
em relação aos demais países do Mercosul citados.
No Ensino Fundamental do Brasil, a evasão escolar é menor, com
3,2% das crianças fora das salas de aulas. Mesmo assim, essa taxa ainda é
preocupante, sendo essa, uma das maiores dos países que compõem o
MERCOSUL. Dentre todos os países citados, a menor taxa de evasão escolar
está com o Uruguai, com apenas 0,3% dos jovens fora das salas de aula do
Ensino Médio. Já a Venezuela, possui 1%.
Opazo (2009) realizou um estudo50 sobre o abandono escolar no Chile,
com isso, assegura que “En el ámbito de la enseñanza básica, la tasa de
deserción se mantiene relativamente constante en torno al 1% hasta el nivel del 6º
año. En el séptimo año de educación básica, esta tendencia experimenta un salto
importante, aumentando al doble” (OPAZO, 2009, p. 121).
Políticas de melhorias da Educação Básica têm sido uma constante no
Chile. De acordo com Cox51 (2005) uma dessas ações foram a criação do
Programa 900 escolas. Para Cox (2005), esse programa inaugurou o inicio da
discriminação positiva na educação chilena, dando atenção especial às 900
escolas com os piores resultados de aprendizagem em todo o país e tem como
prerrogativa fornecer material didático e montar bibliotecas de ensino;
desenvolver workshops de aprendizagem em horários alternativos para crianças
com atraso escolar ou com problemas sócio-afetivos. Monitores da comunidade,
que são bolsistas capacitados pelo Ministério da Educação, dão oficinas para os
docentes. As escolas atendidas por esse projeto aumentam as pontuações no
sistema de avaliação numa proporção superior à obtida pelas demais.
49
50
51
Disponível em: www.ibge.gov.br/home/estatistica/.../pnad2009/pnad_sintese_2009
Disponivel em: http://www.rinace.net/reice/numeros/arts/vol7num4/art6.pdf.
http://revistaescola.abril.com.br/politicas-publicas/planejamento-e-financiamento/educacao-chile-
nosso-desafio-426076.shtml
98
99
A finalidade do Programa 900 escolas, além de melhorar o
desempenho dos alunos em Leitura e Matemática, é também de reorientar as
políticas de reformas curriculares.
No Brasil diversas ações têm sido tomadas desde 1997 com cursos de
capacitação para os professores atuantes na Educação Básica. Essas ações têm
sido fomentadas pelas secretarias municipais e estaduais de Educação e tem
como finalidade aprimorar o trabalho pedagógico dos professores discutindo e
refletindo sobre sua prática escolar frente ao ensino e aprendizagem da
Matemática.
3.7 Configuração da Educação Básica em ambos os
países
O sistema brasileiro de Educação, de acordo com art. 21 da Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN 9394/96), é composto pela
Educação Básica, formada pela Educação Infantil, Ensino Fundamental, Médio e
pela Educação Superior. A educação básica é oferecida por quatro redes distintas
de ensino, são eles:
Rede municipal de ensino que oferece desde o infantil até o ensino
médio.
Rede estadual de ensino atendendo desde o Ensino Fundamental I
ao Ensino Médio.
Rede Federal de ensino: composta pelas Universidades Federais e;
pelos Instituto Federal de Tecnologia que atende exclusivamente ao
Ensino Médio Técnico e Superior;
Redes Particulares de ensino que atendem desde a Educação
Infantil ao Ensino Superior. Estas não possuem vínculos financeiros
com os governos sejam eles municipais, estaduais ou federais. As
escolas das redes particulares reportam-se diretamente as Diretorias
Regionais de Ensino Estaduais.
No Brasil, o Ensino Fundamental I e II vem sendo municipalizado nos
últimos anos e a tendência é de que o Estado atenda apenas ao Ensino Médio.
De acordo com o Artigo 17 da Lei 20 370/2009, a educação formal no
Chile está organizada em quatro níveis: parvularia, básica, media y superior, y por
modalidades educativas dirigidas a atender a poblaciones específicas. Os níveis
99
100
referentes a Educação Básica e Média são oferecidas pelas redes municipais,
subvencionadas e particulares
No Brasil, uma diferença marcante entre a LDB 9394/96 das anteriores
foi a expansão da escolaridade obrigatória, ou seja, é dever do Estado oferecer o
Ensino Médio, pois essa etapa educacional está compreendida na Educação
Básica, no entanto, como já afirmamos anteriormente é um dever do estado mas
não é obrigatório para o aluno.
Mesmo que a obrigatoriedade não recaia sobre o aluno Franco (2001)
considera que:
... sem dúvida, esta configuração representa um avanço em relação às
leis anteriores, embora seja preciso lembrar que existe uma distância
muito grande entre o que está prescrito por lei e a realidade. Resta, pois
saber que condições concretas possibilitarão ou dificultarão a expansão
da escolaridade obrigatória.
O avanço ao qual Franco (2001) menciona refere-se ao fato de que até
final de 1996 o governo brasileiro não tinha nenhuma obrigação em oferecer a
população, o ensino no nível Médio e que a partir da LDBEM 9394/96 essa triste
realidade mudou.
A Educação Superior brasileira é oferecida por instituições públicas
(municipais, estaduais e federais) e particulares.
A Lei de Diretrizes e Bases Nacionais 9394/96 é a atual lei máxima
na Educação brasileira.
Cox52 (1997) define o sistema educacional chileno como organizado
de forma descentralizada dos estabelecimentos escolares, sua administração é
de responsabilidade das institucionais municipais e particulares que antes do
Estado tem a responsabilidade de manter o sistema em funcionamento.
Retamal (2005) afirma que a educação chilena é administrada por um
sistema misto, com um rol condutor do Estado nacional, uma operação
52
Sociólogo formado pela Universidade Católica do Chile e Doutor pela Universidade de Londres,
Cristián Cox foi responsável pelo planejamento e pela execução do Programa de Melhoria da
Qualidade e Equidade da Educação (MECE). Desde 1997 é coordenador da Unidade de Currículo
e Avaliação do Ministério da Educação do Chile, de onde lidera a reforma curricular que está
sendo feita desde a pré-escola até o Ensino Médio.
100
101
descentralizada da Educação pública e uma forte área de gestão privada (43%
dos escolares concorrem a instituições de ensino privado). O Estado mantém
funções normativas, avaliativas, de supervisão e apoio técnico, de financiamento
e controle.
Outra característica do sistema educacional chileno de acordo com Cox
(1997) e ratificado por Retamal (2005) é o seu financiamento: há escolas
particulares que recebem subsídio do governo federal (50% das matrículas) e
ainda podem cobrar mensalidade; as municipais, que também recebem dinheiro
do Estado (42% da rede); e as particulares sem recursos estatais (8%).
A cobertura do sistema educacional é praticamente universal, como na
maioria dos países desenvolvidos, resultando em índices de matrículas que
representam esta realidade. O índice de matrículas na educação primária é de
99,7% das crianças entre 6 e 14 anos, enquanto na educação secundária é de
87,7% dos adolescentes de 15 a 18 anos (Retamal, 2005).
A Lei 20.370 set/2009 é a mais recente Lei Geral da Educação e explicita no
articulo 1º que:
La presente ley regula los derechos y deberes de los integrantes dela
comunidad educativa; fija los requisitos mínimos que deberán exigirse en
cada uno de los niveles de educación parvularia, básica y media; regula
el deber del Estado de velar por su cumplimiento, y establece los
requisitos y el proceso para el reconocimiento oficial de los
establecimientos e instituciones educacionales de todo nivel, con el
objetivo de tener un sistema educativo caracterizado por la equidad y
calidad de su servicio.
Já o artigo 3º estabelece que:
O sistema educativo chileno se construye sobre la base de los derechos
garantizados en la Constitución, así como en los tratados internacionales
ratificados por Chile y que se encuentren vigentes y, en especial, del
derecho a la educación y la libertad de enseñanza. Se inspira, además,
en los siguientes principios:
a) Universalidad y educación permanente. La educación debe estar al
alcance de todas las personas a lo largo de toda la vida.
b) Calidad de la educación. La educación debe propender a asegurar
que todos los alumnos y alumnas, independientemente de sus
condiciones y circunstancias, alcancen los objetivos generales y los
101
102
estándares de aprendizaje que se definan en la forma que
establezca la ley.
c) Equidad del sistema educativo. El sistema propenderá a asegurar
que todos los estudiantes tengan las mismas oportunidades de
recibir una educación de calidad, con especial atención en aquellas
personas o grupos que requieran apoyo especial.
d) Autonomía. El sistema se basa en el respeto y fomento de la
autonomía de los establecimientos educativos. Consiste en la
definición y desarrollo de sus proyectos educativos, en el marco de
las leyes que los rijan.
e) Diversidad. El sistema debe promover y respetar la diversidad de
procesos y proyectos educativos institucionales, así como la
diversidad cultural, religiosa y social de las poblaciones que son
atendidas por él.
f)
Responsabilidad. Todos los actores del proceso educativo deben
cumplir sus deberes y rendir cuenta pública cuando corresponda.
g) Participación. Los miembros de la comunidad educativa tienen
derecho a ser informados y a participar en el proceso educativo en
conformidad a la normativa vigente.
h) Flexibilidad. El sistema debe permitir la adecuación del proceso a la
diversidad de realidades y proyectos educativos institucionales.
i)
Transparencia. La información desagregada del conjunto del
sistema educativo, incluyendo los ingresos y gastos y los resultados
académicos debe estar a disposición de los ciudadanos, a nivel de
establecimiento, comuna, provincia, región y país.
j)
Integración. El sistema propiciará la incorporación de alumnos de
diversas condiciones sociales, étnicas, religiosas, económicas y
culturales.
k) Sustentabilidad. El sistema fomentará el respeto al medio ambiente
y el uso racional de los recursos naturales, como expresión concreta
de la solidaridad con las futuras generaciones.
l)
Interculturalidad. El sistema debe reconocer y valorar al individuo en
su especificidad cultural y de origen, considerando su lengua,
cosmovisión e historia.
Os princípios acima descritos revelam que o governo chileno tem
clareza quanto às finalidades da Educação, que é a formação cidadã.
102
103
3.8 O processo de organização curricular nos dois
países
Um primeiro questionamento que surgiu no grupo de pesquisa foi
exatamente em relação a qual documento recorrer para análise no caso brasileiro.
No texto Currículo, Avaliação e Aprendizagem Matemática na Educação
Básica, produzido para Seminário realizado no INEP, Pires (2011) traz
contribuições para análise dessa questão.
A autora sinaliza que currículo e avaliação são dois dos pilares de
sustentação das políticas educacionais de um país53, o que, em termos de Brasil,
traduz-se na Lei nº 9.394 (BRASIL, 1996), de 20 de dezembro de 1996, que
estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Em seu Art. 9º, a Lei
estabelece que a União incumbir-se-á de:
IV – estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e
os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o
ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus
conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum;
VI – assegurar processo nacional de avaliação do rendimento escolar no
ensino fundamental, médio e superior, em colaboração com os sistemas
de ensino, objetivando a definição de prioridades e a melhoria da
qualidade do ensino.
Pires (2011) reflete e argumenta que após quinze anos da promulgação
da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, é importante retomar fatos
recentes que marcaram a implementação desses itens constitucionais, em
particular do item IV. No período de 1995 a 2002, além da promulgação da Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), foram publicados os pareceres54
53
Outro pilar fundamental intrinsecamente ligado a estes dois é a formação de professores.
54
Parecer CNE/CEB nº 4/1998, aprovado em 29 de janeiro de 1998, Diretrizes Curriculares
Nacionais para o Ensino Fundamental. Parecer CNE/CEB nº 15/1998, aprovado em 1º de junho
de 1998, Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 1998c). Parecer
CNE/CEB nº 22/1998, aprovado em 17 de dezembro de 1998, Diretrizes Curriculares Nacionais da
Educação Infantil.
103
104
e as resoluções55 do Conselho Nacional de Educação por intermédio da Câmara
de Educação Básica – CNE/CEB, apresentando diretrizes curriculares nacionais
para os vários segmentos da Educação Básica. Concomitantemente, o Ministério
da Educação elaborou, colocou em discussão nacional, reelaborou e distribuiu um
conjunto de publicações denominadas “Parâmetros Curriculares Nacionais”
(PCN).
Em março de 1997, por meio do Parecer nº 03/97, a CEB/CNE assim
se pronuncia:
Os PCN resultam de uma ação legítima, de competência privativa do
MEC e se constituem em uma proposição pedagógica, sem caráter
obrigatório, que visa à melhoria da qualidade do ensino fundamental e o
desenvolvimento profissional do professor. Contudo, a existência de tal
proposição não dispensa a necessidade de formulação de diretrizes
curriculares nacionais, de acordo com a CF/88 e com a LDB. Assim, as
orientações propostas no âmbito dos Parâmetros Curriculares Nacionais
são um modo pelo qual a União exerce o disposto no art. 9o. III da
56
LDB . As diretrizes, por sua vez, decorrem explicitamente de um
mandato legal e devem se constituir a partir do disposto no art. 9o. § 1o.,
letra c da Lei n. 9.131/95 em consonância com os art. 9, IV, 26 e 27 da
Lei n. 9.394/96 as quais, por seu lado, devem ser coerentes com o art.
210 da Constituição Federal de 1988. Ao dar sequência a esta obrigação
legal, a CEB/CNE trabalhou intensamente em torno das diretrizes
nacionais curriculares do ensino fundamental e do ensino médio.
(BRASIL, 1997, p. 280)
No Parecer CNE/CEB nº 04/1998, que formula Diretrizes Curriculares
Nacionais para o Ensino Fundamental, a relatora assim escreve:
[...] para elaborar suas propostas pedagógicas, as Escolas devem
examinar, para posterior escolha, os Parâmetros Curriculares Nacionais
e as Propostas Curriculares de seus Estados e Municípios, buscando
definir com clareza a finalidade de seu trabalho, para a variedade de
alunos presentes em suas salas de aula. Tópicos regionais e locais
muito enriquecerão suas propostas, incluídos na Parte Diversificada,
mas integrando-se à Base Nacional Comum. (BRASIL, 1998, p. 10)
55
Resolução CNE/CEB n.º 2, de 7 de abril de 1998. Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais
para o Ensino Fundamental. Resolução CNE/CEB n.º 3, de 26 de junho de 1998. Institui as
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Resolução CNE/CEB n.º 1, de 7 de abril de
1999 Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Infantil.
56 III - prestar assistência técnica e financeira aos Estados, ao Distrito Federal e aos Municípios
para o desenvolvimento de seus sistemas de ensino e o atendimento prioritário à escolaridade
obrigatória, exercendo sua função redistributiva e supletiva.
104
105
Por sua vez, o texto do Plano Nacional de Educação assinalava os
Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN como a expressão de uma reforma
curricular:
A atualidade do currículo, valorizando um paradigma curricular que
possibilite a interdisciplinaridade, abre novas perspectivas no
desenvolvimento de habilidades para dominar esse novo mundo que se
desenha. As novas concepções pedagógicas, embasadas na ciência da
educação, sinalizaram a reforma curricular expressa nos Parâmetros
Curriculares Nacionais, que surgiram como importante proposta e
eficiente orientação para os professores. Os temas estão vinculados ao
cotidiano da maioria da população. Além do currículo composto pelas
disciplinas tradicionais, propõem a inserção de temas transversais como
ética, meio ambiente, pluralidade cultural, trabalho e consumo, entre
outros. Esta estrutura curricular deverá estar sempre em consonância
com as diretrizes emanadas do Conselho Nacional de Educação e dos
conselhos de educação dos Estados e Municípios. (BRASIL, 2001, p.23)
Com esses destaques Pires nos chama a atenção para a ambiguidade
da legislação brasileira no tocante a currículos prescritos,
Ela prossegue, relatando que mesmo estabelecido o status de não
obrigatoriedade para os PCN, no período de 1999 a 2002, projetos foram
desenvolvidos em diversas localidades do País, configurando-se como uma etapa
inicial de implementação das idéias veiculadas nos PCN. Também os livros
didáticos passaram a exibir o carimbo “de acordo com os PCN”. Desse modo,
criou-se certa redundância referente ao papel desses documentos.
Quando nos referimos a essa duplicidade documental, estamos
dizendo que a primeira intenção preconizada nos PCN era o de ser um
documento norteador que poderia ser utilizado como base para construção de
currículos pelas secretarias municipais e estaduais. Contudo, mais adiante
veremos que os PCN foram incorporados aos documentos de diversas secretarias
na íntegra e os livros didáticos foram elaborados com base nos PCN.
No
período
de
2000
a
2010,
o
Ministério
publicou
“Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio” (BRASIL, 2000, 2002,
2006), mas não coordenou ações focadas no debate curricular.
Por sua vez, nesse período, estados da federação e municípios
desenvolveram suas propostas curriculares para a Educação Básica. O Relatório
de Análise de Propostas Curriculares de Ensino Fundamental e Ensino Médio,
105
106
publicado em 2010 pelo Ministério da Educação57 (BRASIL, 2010) traz
contribuições importantes.
O relatório afirma que há semelhança indiscutível entre as propostas,
na medida em que levam em conta orientações nacionais, destacando-se os
fundamentos da psicologia da aprendizagem, na perspectiva do construtivismo.
Quanto à fundamentação das propostas, é central a concordância com
as indicações legais e com as perspectivas teóricas presentes nas
orientações oficiais centrais, principalmente a Lei de Diretrizes e Bases
da Educação (LDB 9.394/96), as Diretrizes e Parâmetros Curriculares
Nacionais (DCN e PCN), os fundamentos da psicologia da
aprendizagem, na perspectiva do construtivismo. Diferentes concepções,
tendências e tradições pedagógicas, presentes no campo pedagógico,
misturam-se, fundem-se com as orientações citadas, produzindo
explicações e abordagens que fazem sentido e confirmam o hibridismo
de contribuições distintas na constituição do discurso curricular no país,
apontado por muitos estudiosos do currículo (BRASIL, 2010, p. 441).
Pires (2011) adverte que esse estudo, de grande importância, nos
permite constatar que temos uma construção curricular em movimento no Brasil,
fato que não podemos ignorar em nenhum momento, ao pensar em políticas
públicas, sejam elas conduzidas nacional ou regionalmente.
Para essa autora é possível conjecturar que as experiências
vivenciadas ao longo da última década em diferentes estados da federação
tenham conduzido a um razoável consenso, quanto à necessidade de definição
coletiva de expectativas de aprendizagem básicas que se pretende sejam
alcançadas pelos estudantes em cada etapa da escolaridade.
Com essas ponderações, consideramos que seria adequado utilizar, no
caso do Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais como representantes dos
currículos prescritos no Brasil.
57
Documento da Secretaria de Educação Básica, Diretoria de Concepções e Orientações
Curriculares para Educação Básica. Foram analisadas propostas das secretarias municipais das
capitais, compondo uma amostra de 13 propostas de Ensino Fundamental. A análise incidiu sobre
um total de 60 propostas, sendo 34 de Ensino Fundamental (incluindo as 13 citadas e 21 de
secretarias estaduais) e 26 propostas de Ensino Médio. Não apresentaram propostas de Ensino
Fundamental os estados: Roraima, Maranhão, Paraíba, Rio Grande do Norte, Sergipe e Piauí. De
Ensino Médio, apenas o estado de Rondônia não apresentou proposta. Para o Ensino
Fundamental as propostas elaboradas pelas secretarias municipais das capitais e incluídas no
estudo foram: Fortaleza, Campo Grande, Boa Vista, Macapá, Maceió, João Pessoa, Recife,
Goiânia, Cuiabá, Vitória, São Paulo, Curitiba e Florianópolis.
106
107
No caso do Chile está claro que existem dois documentos referenciais
para a Educação. Um documento contemplando as orientações didáticometodológica, os princípios norteadores da ação didática do professor, lista de
conteúdos a serem ensinados em cada ano de escolaridade, orientações quanto
as tendências no ensino e aprendizagem da Matemática tais como: a resolução
de problemas, temas transversais, a contextualização, o papel do erro na
aprendizagem, entre outros. O documento ao qual estamos nos referindo é
denominado Programa de Estúdio, que em nossas análises denotaremos por
PE/CHILE.
O segundo documento também importante é o Bases Curriculares
Consulta Pública Educación Básica, que mencionaremos pela sigla BC/CHILE.
Esse documento traz indicações do que se deve privilegiar na sala de aula quanto
aos
aspectos
pedagógicos
e
didáticos;
ainda
oferece
sugestões
de
encaminhamentos e orientações sobre a prática na sala de aula frente alguns
conceitos matemáticos e as expectativas de aprendizagem que se quer alcançar.
Contudo, para as análises comparativas de currículos, consideraremos
a Educação Básica como segmento chileno equivalente ao Ensino Fundamental
no Brasil e a Educação Média do Chile equivalente ao Ensino Médio no Brasil.
Tal qual, no Brasil identificamos dois pilares de sustentação das
políticas públicas no Chile – Currículo e Avaliação.
A lei máxima da Educação Chilena 20 370 estabelece em seu artigo 1º
os direitos e deveres dos integrantes da comunidade educativa, fixando os
requisitos mínimos que deverão ser exigidos em cada ano escolar e as ações que
o Estado deverá desempenhar para a garantia de igualdade e da qualidade para
todos.
Na tentativa de garantir a qualidade do ensino aprendizagem propõe
que:
Artículo 6º - Es deber del Estado propender a asegurar una educación de
calidad y procurar que ésta sea impartida a todos, tanto en el ámbito
público como en el privado. Corresponderá al Ministerio de Educación, al
Consejo Nacional de Educación, a la Agencia de Calidad de la Educación
y a la Superintendencia de Educación, en el ámbito de sus competencias,
la administración del Sistema Nacional de Aseguramiento de la Calidad de
la Educación, de conformidad a las normas establecidas en la ley.
107
108
Artículo 7º - El Ministerio de Educación y la Agencia de Calidad de la
Educación velarán, de conformidad a la ley, y en el ámbito de sus
competencias, por la evaluación continua y periódica del sistema
educativo, a fin de contribuir a mejorar la calidad de la educación.
Para ello, la Agencia de Calidad de la Educación evaluará los logros de
aprendizaje de los alumnos y el desempeño de los establecimientos
educacionales en base a estándares indicativos.
La evaluación de los alumnos deberá incluir indicadores que permitan
efectuar una evaluación conforme a criterios objetivos y transparentes.
3.9 Síntese do capítulo
Em termos de dimensão, o Brasil é um país continental com área
territorial de aproximadamente 11 vezes maior e com uma população 11 vezes
maior que a do Chile. O PIB brasileiro equivale a 122,86 vezes o PIB chileno, mas
o IDH chileno é melhor que a do Brasil e, a expectativa de vida do aluno também
é maior que a do brasileiro.
Observando os dados apresentados nesse capitulo podemos verificar
que, embora o Chile apresente a Educação Básica configurada em Educação
Primária e Secundária de seis anos cada etapa, totalizando doze anos de
escolaridade, no Brasil, o tempo de escolaridade também é de doze anos
compreendidos em nove anos do Ensino Fundamental e três anos de Ensino
Médio. A diferença ocorre na obrigatoriedade que o Chile exige em relação à
Educação Média, mesmo quando era de quatro anos.
Como dissemos
anteriormente, a não obrigatoriedade, no Brasil, é relativa, pois os índices
apresentados pelas secretarias nos últimos anos demonstram crescimento
acentuado das matriculas no Ensino Médio. Uma justificativa para isso talvez seja
o fato de que para o jovem se inserir no mercado de trabalho uma das condições
seja ter completado ou ainda estar cursando o Ensino Médio.
Acreditamos que proporcionalmente o Brasil esteja em igualdade no
quesito índice de evasão escolar e de aprovação. Isso também não quer dizer
que nesses dois países não existam problemas e desafios a serem enfrentados,
contudo num país como dissemos anteriormente, continental, onde se tem uma
enorme diversidade cultural, de crença, social e econômica, podemos acenar que
estamos num caminho coerente com as intencionalidades mencionadas, o de
108
109
propor uma formação cidadã, nos documentos curriculares oficiais prescritos e
vigentes.
Ambos os países demonstram preocupações com o desempenho do
processo de ensino e aprendizagem da Matemática e criam diversos instrumentos
de avaliação e análise dos resultados na busca de novos direcionamentos a
serem adotados, porém toda boa intenção concorre com entendimentos
incorretos sobre esses documentos avaliativos que acabam por tornar-se uma
ferramenta de ranqueamento e de publicidade. Outra diferença verificada é a
respeito da carga horária anual que no Chile para 2012 corresponde quase ao
dobro da brasileira.
Com relação a prescrições curriculares salientamos a ambiguidade das
políticas públicas no Brasil, assim são apresentados argumentos que justificam
para a pesquisa, a escolha dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Fundamental e Médio como currículo oficial brasileiro prescrito e vigente.
No Chile também se verificou que a redundância das políticas públicas
também está presente na construção e execução do currículo de Matemática.
109
110
CAPÍTULO 4
ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS
DE MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL
4.1 Introdução
As leituras sobre as referencias teóricas, apresentadas no capítulo
primeiro, sobre currículos, permearam elencar as categorias de análises em seus
diferentes níveis de concretização:
1. O papel da Matemática na formação dos alunos brasileiros e chilenos;
2. Com relação à forma de estruturar o currículo prescrito
3. Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas;
4. Com relação à seleção de conteúdos;
5. Com relação às orientações metodológicas e didáticas;
6. Com relação a
aprendizagem.
indicações
sobre
o
processo
de
avaliação
da
Uma vez tomada à decisão de escolhas das categorias de análise para
o nosso trabalho passaremos à análise documental referente ao Ensino
Fundamental no Brasil e Educação Primária no Chile.
4.2 Comparando a estruturação dos currículos
prescritos
Nessa seção será analisado comparativamente os documentos
curriculares do Brasil e Chile. Os documentos brasileiros eleitos são os
Parâmetros Curriculares Nacional para o Ensino Fundamental (PCN) e os do
Chile são os Programas de Estúdio (PE).
É importante ressaltarmos, que os olhares estarão
sempre
direcionados aos PCN e PE, no entanto, analisaremos as orientações veiculadas
110
111
pela LDBEN 9394/96 e a Ley 20 370/2009, que são as leis máximas vigentes da
Educação no Brasil e Chile, respectivamente.
No Brasil, os conteúdos para o Ensino Fundamental propostos nos
PCN de 1996 estão organizados em quatro ciclos, sendo que cada ciclo
representa dois anos de escolaridade, ou seja, Ciclo I refere-se aos primeiros e
segundos anos, Ciclo II aos terceiros e quartos anos, Ciclo III ao quinto e sexto
anos e Ciclo IV aos sétimo e oitavo anos. Cada ano representava uma série
escolar.
O Ensino Fundamental de nove anos está dividido em duas etapas:
Ensino Fundamental I, que representa os cinco primeiros anos de escolaridade e
os conteúdos propostos para essa etapa educacional que equivalem aos ciclos I
e II.
O Ensino Fundamental II equivale do sexto ao nono ano, antes era
denominado 5ª a 8ª series e os conteúdos propostos referem-se aos ciclos III e
IV.
No Chile a Educação Básica contempla do 1º ao 8º anos de
escolaridade. O Programa de Estúdio do Chile, documento que traz a lista de
conteúdos e orientações didático-metodológicas, está proposto ano a ano, ou
seja, tem um programa para o 1º ano, para o 2º ano e assim por diante até o
último ano da Educação Primária.
Dessa forma ao analisarmos a lista de conteúdos para o Ensino
Fundamental desses países, tomamos a decisão de organizá-los numa tabela58
comparando-os de dois em dois anos.
Os conteúdos matemáticos para o Ensino Fundamental59, no Brasil,
foram organizados em quatro ciclos sendo que atualmente os ciclos I e II
equivalem aos cinco primeiros anos de escolaridade do Ensino Fundamental I e
os ciclos III e IV referem-se aos quatro últimos anos do Ensino Fundamental II.
Os conteúdos matemáticos, no Brasil, estão estruturados para o Ensino
Fundamental em quatro blocos temáticos, são eles:
58
Vide anexos 1 ao 4
59
Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática /
Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC /SEF, 1998. Parâmetros curriculares
nacionais. 2. Matemática: Ensino de quinta a oitava séries. I. Título. Pág. 50
111
112
•
Números e operações;
•
Espaço e Forma;
•
Grandezas e medidas;
•
Tratamento da informação.
No Chile, nos Programas de estudo da Matemática do 1º ao 8º anos,
identificamos o eixo Resolução de problemas com o caráter de transversalidade,
com isso vimos que estão inseridos nos cinco eixos:
•
Números y Operações;
•
Álgebra;
•
Patrones y Relaciones;
•
Geometría;
•
mediciones y datos.
Embora no Chile os conteúdos estejam organizados em cinco blocos e
no Brasil em quatro, observamos que os conceitos matemáticos se equivalem.
Notamos uma ênfase maior no eixo “Álgebra”. Os chilenos dedicam um maior
tempo escolar privilegiando esse tema.
4.6 O papel da Matemática na formação dos
alunos brasileiros e chilenos
Com o currículo organizado em blocos foi necessário, no Brasil, traçar
algumas metas baseadas em princípios norteadores sobre os objetivos para
aprendizagem da Matemática.
Nos PCN identificamos a preocupação sobre qual o papel da
Matemática na formação dos alunos no trecho a seguir:
Para dimensionar a Matemática no currículo do ensino fundamental é
importante que se discuta sobre a natureza desse conhecimento e que se
identifiquem suas características principais e seus métodos particulares
como base para a reflexão sobre o papel que essa área desempenha no
currículo, a fim de contribuir para a formação da cidadania (BRASIL, 1998
p. 24).
112
113
No documento chileno também nos deparamos com um trecho do texto
que descreve a importância de se aprender Matemática:
Aprender matemática es fundamental para la formación general de un
estudiante, ya que le entrega herramientas únicas y poderosas para
entender el mundo (BC/CHILE, 2011).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), influenciados pela
concepção de currículo discutido nas reformas educativas da década de 1990, em
especial o currículo espanhol, propõem os conteúdos em conceituais,
procedimentais e atitudinais. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN,1998 p.
49) explicitam que:
Conceitos permitem interpretar fatos e dados e são generalizações úteis
que permitem organizar a realidade, interpretá-la e predizê-la. Os
procedimentos por sua vez estão direcionados à consecução de uma
meta e desempenham um papel importante pois grande parte do que se
aprende em Matemática são conteúdos relacionados a procedimentos.
Os procedimentos não devem ser encarados apenas como aproximação
metodológica para aquisição de um dado conceito, mas como conteúdos
que possibilitem o desenvolvimento de capacidades relacionadas com o
saber fazer, aplicáveis a distintas situações. Esse “saber fazer” implica
construir as estratégias e os procedimentos, compreendendo os
conceitos e processos neles envolvidos. As atitudes envolvem o
componente afetivo – predisposição, interesse, motivação – que é
fundamental no processo de ensino e aprendizagem. As atitudes têm a
mesma importância que os conceitos e procedimentos, pois, de certa
forma, funcionam como condições para que eles se desenvolvam.
No Chile, documentos oficiais, como Implementación Curricular em el
Aula Matemáticas Primer Ciclo Básico (NB1 y NB2)60 de 2004 e Programa de
Estúdio – Educación Matemática do Primer Año Básico (pag. 20) ao Octavo Año
Básico, ressaltam que aprender Matemática ajuda na compreensão da realidade
e proporciona ferramentas para desenvolver situações e problemas na vida
cotidiana. Destaca entre as ferramentas matemáticas, o cálculo e a análise da
informação que surgem de diversas fontes, a capacidade de generalizar
situações, formular, conjecturar, validar os resultados e selecionar estratégias
para resolver problemas. Essas habilidades contribuem para o desenvolvimento
de pensamento lógico, ordenado, critico e autônomo e desenvolvem atitudes tais
como a precisão, o rigor, a perseverança e confiança em si mesmo as quais se
60
Implementación Curricular en el Aula Matemáticas Primer Ciclo Básico (NB1 y NB2).
Seguimiento a la Implementación Curricular Unidad de Currículum y Evaluación, Ministerio de
Educación del Chile.
113
114
valorizam não somente na Ciência e a Tecnologia, mas, também em todos os
aspectos da vida cotidiana.
No programa de estudo da Matemática do 1º ao 8º anos é ressaltado
que o eixo Resolução de problemas está em conexão em os outros eixos e
justifica-se pelo fato de Resoluções de Problemas constituírem-se como núcleo
central da atividade matemática e em consequência deve ocupar um lugar
importante na aprendizagem dessa disciplina desde os níveis mais elementares.
Esse eixo, segundo o documento tem a ver com o desenvolvimento das
habilidades do aluno para resolver problemas para o qual se fomenta a
apropriação dos aspectos básicos das etapas do processo de resolução e o
desenvolvimento da confiança na própria capacidade de formular e resolver
problemas.
As orientações didáticas, nesse documento, destacam a importância do
uso de situações contextualizadas, atividades desafiadoras, o uso do erro no
processo de ensino aprendizagem, motivar os alunos, da descoberta dos padrões
e regularidades etc.
Os PCN, ao definirem os objetivos para o Ensino Fundamental,
destacam a importância de o aluno valorizar a Matemática como instrumental
para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento
que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o
desenvolvimento da capacidade para resolver problemas.
Ressaltam a importância do estabelecimento de conexões da
Matemática com as demais disciplinas e, em particular, com os conteúdos
relacionados à Convivência Social e Ética, de modo a romper o isolamento que a
caracteriza nos currículos e a derrubar crenças e preconceitos ligados ao
conhecimento matemático, retomando o pressuposto de que acesso ao
conhecimento é a possibilidade de desenvolver a consciência sobre a importância
da Matemática nas ciências básicas e aplicadas.
No Chile também é reforçada a idéia de trabalho em conexões com
outras áreas de conhecimento privilegiando e valorizando o desenvolvimento de
114
115
habilidades, atitudes e a ética. No Decreto 40 del año 199661 que Establece
Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios para la Educación
Básica y fija normas generales para su aplicación e o Guía Ayuda Mineduc
/Educación Básica, 2010 é explicitado que:
Los Objetivos Fundamentales (OF) son los aprendizajes que los
alumnos/as deben lograr al finalizar los distintos niveles de la educación
Básica y Media. Se refieren a conocimientos, habilidades y actitudes que
han sido seleccionados considerando que favorezcan el desarrollo
integral de alumnos/as y su desenvolvimiento en distintos ámbitos, lo que
constituye el fin del proceso educativo.
El Marco Curricular
Fundamentales:
distingue
entre
dos
clases
de
Objetivos
a.
Objetivos Fundamentales Verticales: Son los aprendizajes
directamente vinculados a los sectores curriculares, o a las
especialidades de la formación diferenciada. (Educación Media).
b.
Objetivos Fundamentales Transversales: Corresponden a los
objetivos formativos que subyacen al conjunto del currículum. Tienen un
carácter comprensivo y general orientado al desarrollo personal,
cognitivo, social y moral de los alumnos.
Los OFT deben ser desarrollados tanto a través del currículum
manifiesto de los diferentes sectores curriculares, como a través de otras
actividades propias del establecimiento educacional y del clima de
convivencia interno. Su fin es:
•
Contribuir a fortalecer la formación ética de la persona;
•
orientar el proceso de crecimiento y autoafirmación personal;
•
•
orientar la forma en que la persona se relaciona con otras personas y
con el mundo;
contribuir al desarrollo del pensamiento crítico – reflexivo.
Los contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) explicitan los
conocimientos, habilidades y actitudes implicados en los Objetivos
Fundamentales y, que el proceso de enseñanza debe convertir de
oportunidades de aprendizaje para cada estudiante.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da Matemática
foram concebidos a partir de estudos e reflexões apresentadas por pesquisas e
debates decorrentes dos anos anteriores à sua elaboração tendo como objetivo
principal adequar o trabalho escolar a uma nova realidade, marcada pela
crescente presença dessa área do conhecimento em diversos campos da
atividade humana. Nesse documento (PCN, 1998 p. 56) são propostos os
seguintes princípios:
61
http://www.mineduc.cl/biblio/documento/dec19960040.pdf
115
116
•
a Matemática é importante na medida em que a sociedade
necessita e se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e
recursos tecnológicos, que por sua vez são essenciais para a inserção
das pessoas como cidadãos no mundo do trabalho, da cultura e das
relações sociais;
•
a atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e
definitivas”, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo
aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua
realidade;
•
recursos didáticos como livros, vídeos, televisão, rádio,
calculadoras, computadores, jogos e outros materiais têm um papel
importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles
precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise
e da reflexão;
Nas análises dos documentos oficiais e dos Programas de Estúdio que
trazem a lista de conteúdo para cada ano de escolaridade identificamos
pressupostos teóricos tais como o de resolução de problemas, o estabelecimento
de conexões com outras áreas de conhecimento, preocupações com o registro de
representações, o papel do jogo no processo de ensino aprendizagem, o uso de
tecnologias, o papel do erro no ensino da matemática, entre outros presentes nos
documentos oficiais brasileiros, em particular, os Parâmetros Curriculares para o
Ensino da Matemática.
Nos currículos de Matemática do Brasil e Chile é marcante a presença
da recomendação do uso da Resolução de Problema preconizada pelo National
Council of Teachers of Mathmatics (NTCM) na década de 1980 (Lorenzato e Vila,
1993), bem como da concepção construtivista (Coll et al., 2009).
Nos dois países é ressaltada a ideia de que aprender Matemática
possibilita ao indivíduo uma poderosa ferramenta para compreensão e resolução
de problemas na sociedade. As apreensões que Fey (1994) manifesta sobre qual
o papel da Matemática na formação dos alunos, parece-nos que Brasil e Chile
entendem que a Matemática a ser ensinada deverá ser aquela que permita o
exercício da cidadania estabelecendo a elementarização da disciplina.
Os documentos curriculares de Brasil e Chile sugerem que ao
apresentar a Matemática para os alunos essa tenha significado para suas vidas.
O conhecimento matemático deverá estar em conexão com outras áreas de
conhecimentos perpassando pelos temas transversais (ética, saúde, meio
116
117
ambiente, educação sexual e pluralidade cultural), que contribuem na formação
cidadã dos alunos.
Ao analisarmos as dimensões do currículo implícitas ou explicitas nos
currículos de Matemática dos dois países desvelamos o que Rico (1997)
denomina de Justificativa funcional, pois nos documentos oficiais do Brasil e Chile
são marcantes as orientações no que se refere à formação cidadã e preparação
para a vida produtiva dos alunos.
Nos PCN encontramos:
Falar em formação básica para a cidadania significa refletir sobre as
condições humanas de sobrevivência, sobre a inserção das pessoas no
mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura e sobre o
desenvolvimento da crítica e do posicionamento diante das questões
sociais. Assim, é importante refletir a respeito da colaboração que a
Matemática tem a oferecer com vistas à formação da cidadania(BRASIL:
1996, p. 26).
Nos PE/CHILE obtem-se a afirmação:
(…) El proceso de aprender matemática, por lo tanto, interviene en la
capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la
sociedad. En consecuencia, la calidad, pertinencia y amplitud de ese
conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las
personas, y a nivel de la sociedad, afecta el potencial de desarrollo del
país (PE/CHILE, 2010 p. 20).
Três das quatro dimensões que definem as finalidades da Educação
Matemática, que Rico (1997) sinaliza, se configuram presentes na organização
dos currículos de Matemática do Brasil e Chile.
A dimensão social está contemplada nas orientações e sugestões de
atividades e de encaminhamentos destacando a importância das ferramentas
matemáticas para resolução de problemas.
No bloco de conteúdos sobre Tratamento da Informação destacamos
as orientações que corroboram com a explicitação dessa dimensão social.
117
118
Los gráficos de líneas y barras múltiples no solo amplían el repertorio de
herramientas que los estudiantes tienen para representar información,
sino que también les permitirá analizar la relación entre variables y
comparar dos o más conjuntos de datos. En la construcción de gráficos
de líneas y barras se debe tener especial cuidado en guiar a los
estudiantes en la adecuada construcción de los intervalos de los ejes,
tanto en la secuencia de los valores como las magnitudes que se
representan. Lo anterior suele ser un error que se repite con frecuencia y
que origina interpretaciones equivocadas y errores en las conclusiones
establecidas (PE/CHILE, 2010 p. 40)
Nos PCN, também no bloco Tratamento da Informação, as orientações
reforçam a dimensão social do currículo.
(...) Com relação à estatística, a finalidade é fazer com que o aluno
venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e
interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que
aparecem frequentemente em seu dia-a-dia.
Relativamente à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com
situações-problema que envolva combinações, arranjos, permutações e,
especialmente, o princípio multiplicativo da contagem. Com relação à
probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que
grande parte dos acontecimentos do cotidiano é de natureza aleatória e
é possível identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As
noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem
ser exploradas na escola, em situações nas qual o aluno realiza
experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis) (BRASIL,
1996 p. 40).
Importante destacar aqui, que a dimensão social está presente em
todos os blocos de conteúdos dos currículos prescritos do Brasil e Chile, assim
apenas tomamos, como exemplo para citação, um desses blocos:
Identificamos
também
a
dimensão
educativa,
presentes
nos
documentos dos dois países, pressupondo que o ensino de Matemática na
dimensão educativa tem importância no desenvolvimento do raciocínio dos
alunos, levando-os a compreenderem padrões e regularidades. Nos PCN tem-se
a afirmação de que:
(...) a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à
atribuição e apreensão de significado; apreender o significado de um
objeto ou acontecimento pressupõe identificar suas relações com outros
objetos e acontecimentos. (...) O significado da Matemática para o aluno
resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais áreas,
entre ela e os Temas Transversais, entre ela e o cotidiano e das
conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos
(BRASIL, 1996, p. 57)
No Plano de Estudo chileno também é proposto que:
118
119
El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas
e importantes consecuencias en desarrollo, desempeño y vida de las
personas. En efecto, el entorno social valora el conocimiento matemático
y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. De esta
forma el aprendizaje de la la matemática influye en el concepto que
niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades
(PE/CHILE, 2010 p. 20)
A dimensão política que se refere ao papel que a Matemática pode
desempenhar na vida do cidadão em uma sociedade cada vez mais dependente
pela tecnologia, também se revela nos documentos oficiais dos dois países.
Na lista de conteúdos e nas orientações curriculares estão presentes
indicativos de utilização de recursos tecnológicos tais como calculadoras e
computadores. São propostos aos professores, atividades e encaminhamentos
que os instigue a analisar os resultados da aplicação dessas atividades e de
como conduzi-las durante suas aulas, fomentando o trabalho com padrões e
regularidades, levando os alunos a argumentarem suas hipóteses e conclusões e
as validá-las.
Ainda, com vistas a uma formação cidadã, nos documentos oficiais é
reforçada a necessidade de que os conhecimentos matemáticos estejam
conectados
com
propostas
de
urgência
social
numa
perspectiva
de
transversalidade desempenhando um papel para o desenvolvimento da
aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes.
Nesse sentido, a seleção de conteúdos perpassa por temas transversais
como ética:
Em sociedade, a Matemática usufrui de um status privilegiado em
relação a outras áreas do conhecimento, e isso traz como consequência
o cultivo de crenças e preconceitos. Muitos acreditam que a Matemática
é direcionada às pessoas mais talentosas e também que essa forma de
conhecimento é produzida exclusivamente por grupos sociais ou
sociedades mais desenvolvidas (BRASIL, 1998, p. 29).
A história da humanidade já mostrou que as pessoas ao se depararem
com situações cotidianas desenvolvem capacidades de natureza prática para lidar
com a atividade matemática permitindo o reconhecimento dos problemas,
tomadas de decisões, buscar e selecionar informações, adotar procedimentos
119
120
para a resolução, etc. Assim é importante não subestimar o potencial matemático
dos alunos em sala de aula.
Outro tema transversal considerado é orientação sexual e nesse sentido
um bloco temático da Matemática tem destaque quando trata da orientação
sexual. É o Tratamento da Informação, pois é possível analisar dados estatísticos
o aumento de doenças entre homens e mulheres, os índices da incidência de
gravidez prematura e discutir as informações veiculadas sobre doenças
sexualmente transmissíveis etc.:
As medidas estatísticas permitem aos jovens compreender, por exemplo,
a evolução da Aids nos diferentes grupos: se, por um lado, o número de
homens infectados é maior que o de mulheres, por outro, a taxa de
crescimento da doença entre as mulheres é maior do que a dos homens
o que leva a prever que no futuro serão elas as maiores vítimas. Por
outro lado situar num mesmo patamar os papéis desempenhados por
homens e mulheres na construção da sociedade contemporânea ainda
encontra barreiras que ancoram expectativas bastante diferenciadas com
relação ao papel futuro de meninos e meninas (BRASIL, 1998, p. 30).
O tema transversal meio ambiente também tem sua parcela de
contribuição no que tange ao ensino de Matemática, pois:
O estudo detalhado das grandes questões do Meio Ambiente, poluição,
desmatamento, limites para uso dos recursos naturais, sustentabilidade,
desperdício, camada, de ozônio pressupõe que o aluno tenha construído
determinados conceitos matemáticos (áreas, volumes, proporcionalidade
etc.) e procedimentos (coleta, organização, interpretação de dados
estatísticos, formulação de hipóteses, realização de cálculos,
modelização, prática da argumentação etc.).Desse modo, as
possibilidades de trabalhar as questões do Meio Ambiente em
Matemática parecem evidentes (BRASIL, 1998, p. 31).
No bloco Tratamento da informação outras questões interessantes de
serem analisadas e compreendidas via Matemática muitas vezes estão
relacionadas à saúde que é outro tema transversal.
As questões relacionadas à saúde no Brasil são bastante complexas e
muitas vezes contraditórias. Por um lado, há informações de que a
média de nossos padrões de saúde é aceitável dentro dos critérios
apresentados pela Organização Mundial de Saúde. Por outro, existem
estatísticas alarmantes quanto aos índices da fome, da subnutrição e da
mortalidade infantil em várias regiões do país (BRASIL, 1998, p. 32).
120
121
Esse tema permite explorar as relações de número de médicos e
número de habitantes de uma determinada cidade, o tempo real dos médicos, etc.
A análise dessas situações, tão presentes na vida da maioria dos alunos,
é bastante favorável para que eles compreendam a relatividade das
medidas estatísticas e de como elas podem ser manipuladas, em função
de determinados interesses (BRASI, 1998, p. 33).
Destacamos também o tema transversal Pluralidade Cultural como
outro elemento inserido no contexto da elaboração do currículo de Matemática:
A construção e a utilização do conhecimento matemático não são feitas
apenas por matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de formas
diferenciadas, por todos os grupos socioculturais, que desenvolvem e
utilizam habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar,
jogar e explicar, em função de suas necessidades e interesses. Valorizar
esse saber matemático cultural e aproximá-lo do saber escolar em que o
aluno está inserido, é de fundamental importância para o processo de
ensino e aprendizagem (BRASIL: 1998, p. 33).
Finalmente temos o tema Trabalho e Consumo:
Uma primeira aproximação entre o tema do Trabalho e a Matemática
está em reconhecer que o conhecimento matemático é fruto do trabalho
humano e que as idéias, conceitos e princípios que hoje são
reconhecidos como conhecimento científico e fazem parte da cultura
universal, surgiram de necessidades e de problemas com os quais os
homens depararam ao longo da história e para os quais encontraram
soluções brilhantes e engenhosas, graças a sua inteligência, esforço,
dedicação e perseverança (BRASIL, 1998, p. 33).
Esse tema tem forte ligação com o ensino da Matemática ligada às
práticas cotidianas como consumidor consciente, pois:
Aspectos ligados aos direitos do consumidor também necessitam da
Matemática para serem mais bem compreendidos. Por exemplo, para
analisar a composição e a qualidade dos produtos e avaliar seu impacto
sobre a saúde e o meio ambiente, ou para analisar a razão entre menor
preço/maior quantidade. Nesse caso, situações de oferta como, compre
3 e pague 2, nem sempre são vantajosas, pois geralmente são feitas
para produtos que não estão com muita saída, portanto, não há, muitas
vezes, necessidade de comprá-los em grande quantidade, ou que estão
com os prazos de validade próximos do vencimento(...).
(...) Habituar-se a analisar essas situações é fundamental para que os
alunos possam reconhecer e criar formas de proteção contra a
propaganda enganosa e contra os estratagemas de marketing a que são
submetidos os potenciais consumidores (BRASIL, 1998, p. 35).
O esquema a seguir apresenta os objetivos gerais referentes ao
currículo brasileiro.
121
122
No Chile identificamos orientações no sentido de propor uma
Matemática que leve os alunos a compreenderem de maneira significativa seu
entorno.
Los aprendizajes que promueven el marco curricular y los programas de
estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para estos
efectos, estos aprendizajes involucran tanto al desarrollo de
conocimientos propios de la disciplina, como habilidades y actitudes.
(…) Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos,
habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el
contexto del sector de aprendizaje, como al desenvolverse en su
entorno. Esto supone una orientación hacia el logro de competencias,
entendidas como la movilización de conocimientos, habilidades y
actitudes para desarrollar de manera efectiva una acción determinada
(PE, 2010 p. 5).
122
123
A educação chilena também se caracteriza perpassando pelos temas
transversais e apresentam Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)
destacando que:
(OFT) son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y
que
apuntan al desarrollo personal, ético, social e intelectual de los
estudiantes. Forman parte constitutiva del currículum nacional, y por lo
tanto los establecimientos deben hacerse cargo de promover su logro
(PE, 2010 p. 5).
O esquema a seguir nos dá uma visão geral de que todas as
disciplinas são desenvolvidas com caráter de transversalidade.
Figura 3 – Caráter de Transversalidade
Os componentes simbólicos que se caracterizam pelas atividades de
contar, localizar, medir, desenhar, jogos e explicar configuram-se presentes na
estrutura curricular de Matemática dos dois países.
O componente social que está relacionado com o trabalho escolar por
meio de projetos não é proposto explicitamente no currículo brasileiro, porém, nas
orientações didáticas – metodológicas é sugerido que haja interação entre os
alunos no desenvolvimento das atividades escolares, trocando ideias e
experiências que contribuam para as escolhas dos procedimentos para a
123
124
resolução de determinadas situações – problema. Ao nosso ver, essas
orientações aventam possibilidades de o professor desenvolver projetos escolares
fomentando a interação entre os alunos, alunos e professor, etc.
No Chile é mencionada a possibilidade de se trabalhar com projetos
educativos institucionais no art. 3º da lei 20.370/2009. Tais projetos são propostos
para serem desenvolvidos na escola e fora dela. Nos demais documentos chileno
por nós analisados nenhuma indicação sobre o uso de projetos na sala de aula.
Já o componente cultural que Bishop (1991) sugere, e que se baseia
em investigações na sala de aula estão presentes, principalmente, pelo fato da
estrutura curricular dos dois países considerarem como ponto de partida do
processo de ensino e aprendizagem da Matemática a Resolução de Problemas
que permeia a experimentação e reflexão e ainda, a argumentação e o registro
escrito pelos alunos.
Os esquemas com objetivos do ensino, que apresentamos (fig. 2 e 3), dos
dois países, remetem-nos a um conjunto de orientações e objetivos enfatizados
nos documentos prescritos de Brasil e Chile e nos levam a questionar:
“E os princípios básicos do componente cultural que Bishop (1991) ressalta
ser importantes e que devem ser inseridos nos currículos de Matemática se
revelam nos currículos de Matemática de Brasil e Chile”?
Verificamos que o princípio da representatividade, que deveria
representar adequadamente a cultura Matemática como por exemplo: as
demonstrações Matemáticas, não estão presentes nos documentos oficiais dos
dois países. Talvez isso justifica-se pelo fato do currículo de Matemática ter uma
finalidade: a de formar cidadãos para o mercado de trabalho em detrimento a
cultura Matemática.
O princípio do formalismo que tem como premissa levar o aluno a
compreender a Matemática como um fenômeno cultural, ou seja, estabelecendo
conexões entre a Matemática e a atual sociedade, é identificado nas atividades
Matemáticas, propostas pelos dois países. Tais atividades são elaboradas de tal
forma que
estabelecem interfaces com outras áreas de conhecimento,
possibilitando aos alunos uma compreensão da importância dos conhecimentos
matemáticos para a sociedade na qual ele está inserido.
124
125
Entendemos que o principio da acessibilidade ao qual Bishop (1991)
considera que os conteúdos propostos não podem estar fora das capacidades
intelectuais dos alunos, é revelado nos currículos dos dois países.
O princípio do poder explicativo que promove o ensino e aprendizagem
da Matemática considerando o entorno do aluno é presente na estrutura curricular
de Brasil e Chile, onde se propõe que as atividades tenham algum significado e
que atenda às individualidades dos alunos e permita o “fazer” e o “explicar”.
Finalmente o principio da concepção ampla e elementar está presente
no discurso referentes aos objetivos e orientações sobre o enfoque que a
Matemática precisa ter no processo de ensino e aprendizagem dos alunos. Esse
principio é uma continuação do principio do poder explicativo e que tem como
característica de proporcionar atividades mais complexas não reduzindo a
Matemática a situações – problema simplista.
4.6 Ênfase nas aplicações
especulações teóricas
práticas
ou
nas
Neste item temos como objetivo analisar qual ênfase é dada nos
documentos curriculares quanto às aplicações práticas e/ou especulações
teóricas que Almeida (2011) entende como importante na análise de curriculos de
Matemática e que discorremos na seção 1.3.2.3.
Nos PCN há a preocupação com as aplicações práticas no processo de
ensino e aprendizagem da Matemática:
As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam
capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática,
o que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar
informações, tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada
pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado” (BRASIL,
1996, p. 37).
Essa preocupação manifesta-se no item “conhecimento matemático”
proposto nos PCN que ressalta:
125
126
(...) Duas forças indissociáveis estão sempre a impulsionar o trabalho em
Matemática. De um lado, o permanente apelo das aplicações às mais
variadas atividades humanas, das mais simples na vida cotidiana, às
mais complexas elaborações de outras ciências. De outro lado, a
especulação pura, a busca de respostas a questões geradas no próprio
edifício da Matemática. A indissociabilidade desses dois aspectos fica
evidenciada pelos inúmeros exemplos de belas construções abstratas
originadas em problemas aplicados e, por outro lado, de surpreendentes
aplicações encontradas para as mais puras especulações.
A Matemática faz-se presente na quantificação do real, contagem,
medição de grandezas e no desenvolvimento das técnicas de cálculo
com os números e com as grandezas. No entanto, esse conhecimento
vai muito além, criando sistemas abstratos, ideais, que organizam, interrelacionam e revelam fenômenos do espaço, do movimento, das formas
e dos números, associados quase sempre a fenômenos do mundo físico
(BRASIL, 1996, p. 25).
No documento BC/CHILE selecionamos um trecho do texto que
descreve o aprendizado em Matemática de caráter prático levando o aluno a
transcender para o abstrato.
Aprender matemática es fundamental para la formación general de un
estudiante, ya que le entrega herramientas únicas y poderosas para
entender el mundo. Estas incluyen la habilidad de resolver problemas, el
razonamiento lógico y el pensamiento matemático con el mundo que los
rodea, es decir, el quehacer práctico con la reflexión abstracta. La
Matemática está siempre presente en la vida cotidiana y juega un papel
fundamental en la toma de decisiones, además de ser una herramienta
imprescindible en áreas como la ciencia y la tecnología, la medicina, la
economía, el estudio del medio ambiente, entre otras. (BC/CHILE, 2011)
Almeida (2011) em sua tese de doutorado apresentou as categorias
que utilizou para seus estudos sobre qual ênfase é dada nos currículos de
Matemática no Ensino Médio e, dessas categorias escolhemos algumas que
julgamos ser pertinente para nossas análises. São elas: Aplicações Práticas,
Cotidiano, Natureza da Matemática, Temas Transversais e Especulações
Teóricas.
A seguir apresentamos a análise quanto às frases que identificam os
componentes relacionados ao cotidiano, a natureza da Matemática, aos temas
transversais e especulações teóricas propostos para o Ensino Fundamental no
Brasil.
As frases que apresentamos como exemplos foram extraídas dos
textos propostos nos currículos oficiais e prescritos para os alunos que tem de 6 a
126
127
10 anos de idade. Evitamos frases repetidas ou que apresentavam palavras
sinônimas.
Nos PCN encontramos na apresentação e nas justificativas o porquê
ensinar Matemática no Ensino Fundamental, frases como essas a seguir:
<A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar
no mundo e...>
<o vínculo da Matemática com as situações do cotidiano>
< para a solução tanto de problemas do cotidiano como de problemas
ligados à investigação científica.>
< os conhecimentos matemáticos como meios que o auxiliam a
compreender e atuar no mundo.>
<o aspecto estético da Matemática>
< identificar os conhecimentos matemáticos como meios para
compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de
jogo intelectual>
<comunicar-se matematicamente>
<sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos
matemáticos>
Desconsideramos frases repetidas que tinham como intencionalidade
reforçar determinados argumentos sobre os benefícios a fim de alcançar os
objetivos propostos, nos documentos oficiais e prescritos, para o processo de
ensino e aprendizagem da Matemática. Para calcularmos a porcentagem, nos
quadros a seguir, utilizamos a fórmula:
Porcentagem =
f i da linha
∑ fi
127
128
Quadro 5 – Análise de conteúdo – Orientações Curriculares do Brasil – 1º e 2º Ciclos
(alunos com idades entre 6 e 10 anos)
Categorias
Componentes
Frases selecionadas
•
•
Cotidiano
Vida real
Dia-a-dia
Fora da
escola
•
•
•
•
•
•
•
Utilitária
Natureza da
Matemática
Ferramenta
•
•
•
Temas
transversais
Especulações
teóricas.
Reconhecimento de números no contexto
diário
Número como código na organização de
informações (linhas de ônibus, telefones,
placas de carros, registros de identidade,
bibliotecas, roupas, calçados);
Cédulas e moedas que circulam no Brasil e
de possíveis trocas entre cédulas;
Uso de instrumentos de medida conhecidos
— fita métrica, balança, recipientes de um
litro, etc.
Identificação de unidades de tempo: dia,
semana, mês, bimestre, ano e utilização do
calendário.
Identificação dos elementos necessários para
comunicar o resultado de uma medição e
produção de escritas que representem essa
medição;
Leitura de horas, comparando relógios
digitais e de ponteiros;
Recursos que funcionam como ferramentas
de visualização;
Criação de registros pessoais para
comunicação das informações coletadas;
Utilização de calculadoras para produzir
escritas numéricas;
Construção e representação de formas
geométricas;
•
Abstração
Própria
Matemática
Estético
7
39
5
28
0
•
•
•
•
•
%
Produção de textos escritos a partir da
interpretação de gráficos e tabelas.
Meio ambiente
Saúde
Pensamento
matemático
Frequência
( fi )
Representação
de
posição
e
de
movimentação no espaço a partir da análise
de maquetes, esboços, croquis e itinerários;
Percepção de semelhanças e diferenças
entre...;
Utilizar de representações algébricas para
expressar generalizações ...;
Descrição da localização e movimentação de
pessoas ou objetos no espaço, usando sua
própria terminologia;
Construção dos fatos básicos das operações
a partir de situações-problema, para
constituição de um repertório a ser utilizado
no cálculo;
Comparação de grandezas;
0
6
33
∑ = 18
128
129
Tal como se pode observar no quadro acima, no Ensino Fundamental
Ciclos I e II no Brasil há uma maior ênfase, que está presente nos documentos
oficiais e prescritos, sendo referente às aplicações práticas.
Quadro 6 – Análise de conteúdo – Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile – Primeiro ao
quarto Anos Básicos ( alunos com idades entre 6 e 10 anos)
Categorias
Componentes
Vida real
Dia-a-dia
Fora da escola
Cotidiano
Frases selecionadas
•
•
•
Utilitária
Frequência
( fi )
reconocer la diversidad de formas de
los objetos que les rodean.
Uso de fracciones en contexto
cotidiano;
Resolução de situações – problema.
•
Estimación de una cantidad o medida, a
partir de la visualización y manipulación
tanto de conjuntos de objetos como de
magnitudes físicas;
•
Medición de longitud, volumen, masa
(peso) y reconocimiento de unidades
correspondientes a cada una de estas
magnitudes (metro, centímetro; litro,
centímetro cúbico; kilogramo, gramo).
•
… con apoyo de material concreto;
•
en manipulaciones y visualizaciones de
material concreto;
•
repertorio de herramientas;
•
Uso de
entrada.
Natureza da
Matemática
3
%
25
6
Ferramenta
Temas
transversais
tablas,
cuadros de
doble
Meio ambiente
Saúde
Especulações
teóricas
Pensamento
matemático
Abstração
Própria
Matemática
Estético
50
0
•
el razonamiento lógico y el pensamiento
matemático con el mundo que los
rodea, es decir, el quehacer práctico
con la reflexión abstracta.;
•
el aspecto estético da Matemática.
•
Estimación y comparación de
cantidades…;
3
0
25
∑ = 12
No Chile também são enfatizadas as aplicações práticas.
129
130
Quadro 7 – Análise de conteúdo – Orientações Curriculares do Brasil – 3º e 4º Ciclos
(alunos com idades entre 11 a 14 anos)
Categorias
Cotidiano
Componentes
Vida real
Dia-a-dia
Fora da escola
Frases selecionadas
•
•
•
•
Natureza da
Matemática
Utilitária
•
Ferramenta
•
•
Temas
transversais
Especulações
teóricas
Meio ambiente
Saúde
Pensamento
matemático
Em diferentes contextos – cotidiano e
histórico;
Uso de instrumentos de medida conhecidos
— fita métrica, balança, recipientes de um
litro, etc.
Resolução de situações – problema.
Reconhecimento de números inteiros em
diferentes contextos — cotidianos e
históricos
recursos que funcionam como ferramentas
de visualização,
Interpretação, a partir de situaçõesproblema (leitura de plantas, croquis,
mapas);
Utilização de instrumentos de medida, como
régua, escalímetro, transferidor, esquadro,
trena, relógios, cronômetros, balanças para
fazer medições,
•
Construção do espaço amostral;
•
Como ferramenta para realizar
determinadas atividades
•
•
•
Abstração
Própria Matemática •
Estético
•
Relacionar idéias matemáticas entre si;
Compreensão do sistema de numeração;
Tradução de situações-problema por
equações ou inequações do primeiro grau;
Verificar propriedades de triângulos e
quadriláteros pelo reconhecimento dos
casos de congruência de triângulos;
Algarismo duvidoso, algarismo significativo
e erro de medição, na utilização de
instrumentos de medida;
•
Utilização de expressões algébricas para;
•
Desenvolvimento
do
conceito
de
congruência de figuras planas a partir de
transformações
(reflexões
em
retas,
translações, rotações e composições
destas),
identificando
as
medidas
invariantes (dos lados, dos ângulos, da
superfície).
Identificação de um número irracional como
um número de representação decimal
infinita
significado à potência de expoente nulo e
negativo pela observação de regularidades
e pela extensão das propriedades das
potências com expoente positivo.
•
•
Frequência
( fi )
%
4
22,2
5
27,8
0
0
9
50
∑ = 18
130
131
Na lista de conteúdos propostos para o 3º e 4º ciclos do Ensino
Fundamental no Brasil, e nas orientações didático-metodológicas proposta para
esse segmento educacional, observou-se que há um equilíbrio entre as
especulações práticas e teóricas. Possivelmente, justificada pelo fato de ser a
etapa final do Ensino Fundamental, com a intenção de que seja de oferecimento
de um ensino de Matemática aos alunos, além de possibilitar o uso desse
conhecimento para suas vidas produtivas em sociedade e ao mesmo tempo uma
compreensão da própria Matemática como um campo de conhecimento
organizado e estruturado. Nos conteúdos propostos para o Ensino Fundamental,
não identificamos nenhum aspecto que relacione os conceitos com os temas
transversais.
Quadro 8 – Análise de conteúdo – Conteúdos Mínimos Obrigatórios do Chile – Quinto ao
oitavo Anos Básicos ( alunos com idades entre 11 e 14 anos)
Categorias
Cotidiano
Componentes
Vida real
Dia-a-dia
Fora da escola
Frases selecionadas
•
•
•
•
Natureza da
Matemática
Utilitária
Ferramenta
Temas
transversais
Especulações
teóricas
Meio ambiente
Saúde
Pensamento
matemático
Abstração
Própria
Matemática
Estético
•
•
•
•
•
...em diferentes contextos – cotidiano e
histórico;
Formular y conjecturar e aplycar...;
...uso
de
instrumentos
de
medida
conhecidos — fita métrica, balança,
recipientes de um litro, etc.
Resolver
problemas
em
situaciones
variadas...;
...recursos que funcionam como ferramentas
de visualização,
•
•
Utilização de expressões algébricas para;
•
•
•
%
4
27
2
13
0
0
9
60
...construção do espaço amostral como
ferramenta para realizar determinadas
atividades
Relacionar idéias matemáticas entre si;
Compreensão do sistema de numeração;
Reconocer regularidades en la multiplicación
por potencias;
Mínimo Común Múltiplo y el Máximo Común
Divisor
Calcular expresiones algebraicas
reemplazando la letras por el valor
numérico;
Representar generalizaciones que surjan a
partir de relaciones numéricas utilizando
letras como variables;
Reconocer funciones en diversos contextos,
identificar sus elementos y representar
diversas situaciones por meio de ellas.
Establecer estrategias
•
Frequência
( fi )
∑ = 15
131
132
No Chile, constatamos que a ênfase nos documentos curriculares para
o ensino da Matemática, está nas especulações teóricas, embora, tenhamos
identificado uma presença marcante, nos documentos oficiais, das orientações no
sentido de se propor um ensino da Matemática para formar cidadãos, que possam
conviver numa sociedade, resolvendo problemas por meio dos conhecimentos
matemáticos.
4.6 Com relação à seleção de conteúdos
A organização dos conteúdos de Matemática é apresentada de forma
linear e traz no texto um discurso para estimular os alunos a refletirem sobre o
objeto de estudo a partir da visualização, manipulação e experimentação.
Nessa organização dos conteúdos são sugeridos, textualmente, dois
aspectos importantes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Primeiro, a importância do significado da aprendizagem do conceito estudado e,
segundo, trabalhar os conteúdos sem esgotar num determinado momento,
retomando-os posteriormente, ou seja, propondo um currículo em espiral.
De maneira
implícita
fica
subtendido
que
tais
conhecimentos
matemáticos servirão a um propósito para uma sociedade produtiva, revelando
um aspecto para o qual Silva (2009), chama a atenção: o de que a justificação do
ensino pela aplicação sabendo “por quem” ou “onde” é usado manifestando-se
aqui a distância crítica dos conteúdos da Educação que Skovsmose (2001)
defende com principio de um currículo democrático.
Os PCN destacam uma preocupação com a seleção de conteúdos na
organização curricular para o ensino da Matemática revelando a “riqueza”.
Um dos critérios de organização do currículo que Doll (1997) defende é
o de “responsabilidade”, devidamente proposto por Silva (2009):
Atualmente, há consenso a fim de que os currículos de Matemática para
o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos números e das
Operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), o estudo do espaço e
das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das
medidas (que permite interligações entre os campos da Aritmética, da
132
133
Álgebra, e da Geometria e de outros campos do conhecimento). Um
olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de
acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão, tratar,
as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com
dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando idéias
relativas à probabilidade e à combinatória (BRASIL,1998, p. 49).
Nos documentos, Bases Curriculares de Consulta Pública do Ministério
de Educacion Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao octavo años
chileno, identificamos o critério “riqueza” e “responsabilidade”:
Para desarrollar los conceptos y habilidades básicas en Matemática, es
necesario que el alumno descubra los conceptos trabajando en ámbitos
numéricos pequeño, y siempre con material concreto. De esta manera se
logrará una base sólida tanto en los conceptos de número y su
operatoria como en geometría, álgebra, medición y datos. (BC/CHILE,
2011, p. 54).
Nos PCN também identificamos o critério que Silva (2009) entende por
“realidade” e “reflexão” e o que Doll (1997) estabelece como “relações”:
O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses
vastos campos que conceitos, procedimentos e atitudes são socialmente
relevantes. Também apontar em que medida os conteúdos contribuem
para o desenvolvimento intelectual do aluno, os seja, para a construção
e coordenação do pensamento lógico-matemático, para o
desenvolvimento da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e
de crítica, que constituem esquemas lógicos de referência para
interpretar fatos e fenômenos (BRASIL, 1998, p. 49).
Nos documentos, Bases Curriculares e Consulta Pública do Ministério
de Educacion Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao octavo años,
também evidenciamos os critérios que Silva (2009) entende por “realidade” e
“reflexão” e o que Doll (1997) estabelece como “relações”:
Es por esto que se ha considerado de gran importancia el proveer a los
profesores de una estructura curricular con una secuencia y una
progresión clara, para así dar continuidad al desarrollo de los
conocimientos, y asegurando a lo s estudiantes un tránsito exitoso y
sólido hacia el logro de los aprendizajes (BC/CHILE, 2011, p. 54).
Nesse sentido, não Identificamos na seleção de conteúdos conceituais,
o que Doll (1997) entende por “recursão”, pois, uma vez que esses estão
133
134
organizados linearmente, não fica claro, que o professor deva desenvolver suas
ações didáticas num movimento de retomada de conteúdos no mesmo ano letivo.
Nossa impressão é de que, fica a cargo do professor de trabalhar com
determinados conteúdos inseridos em outros contextos privilegiando o currículo
em espiral, pois nas orientações veiculadas nos PCN encontramos:
(...) Por outro lado, um conhecimento só é pleno se for mobilizado em
situações diferentes daquelas que serviram para lhe dar origem. Para
que sejam transferíveis a novas situações e generalizados, os
conhecimentos devem ser descontextualizados, para serem novamente
contextualizados em outras situações (BRASIL,1998, p. 36).
Nessa citação temos a clareza de que um conhecimento aprendido
deva ser utilizado em outros blocos temáticos e em situações diversas, tornandose um conhecimento apreendido. Portanto, o ensino e aprendizagem em
Matemática devem ser propostos numa perspectiva de retomada de conceitos
trabalhados anteriormente, seja em anos anteriores e/ou no mesmo ano letivo.
Nesse documento temos também:
Nos terceiro e quarto ciclos alguns conceitos serão consolidados, uma
vez que eles já vêm sendo trabalhados desde os ciclos anteriores, como
o conceito de número racional. Outros serão iniciados como
noções/idéias que vão se completar e consolidar no ensino médio, como
é o caso do conceito de número irracional (BRASIL, 1998, p. 49).
Nessa citação evidencia-se a intencionalidade de se trabalhar com o
currículo em rede, mas por segmentos educacionais, começando pelo Ensino
Fundamental Ciclo I, depois o Fundamental Ciclo II e finalmente o Ensino Médio.
Na seleção de conteúdos matemáticos propostos nos Planos de
Estúdio do primer ao octavo años, no Chile, também não identificamos esse
mesmo critério, o da “recursão”, assumindo não termos desvelado no currículo
brasileiro. 62
O critério “ressignificação” proposto por Silva (2009) está presente nas
orientações didático – metodológicas, que incentiva que um dos caminhos
possíveis para o “fazer Matemática” seja com o recurso à Historia da Matemática:
62
A questão é pressuposta, uma vez que não há dados científicos ou entrevistas, que podem
afirmar tal questão.
134
135
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao
processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao
revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria
condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais
favoráveis diante desse conhecimento (BRASIL, 1998, p. 42).
Não identificamos nas Bases Curriculares, Consulta Pública do
Ministério de Educacion Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao octavo
años, o critério de ressignificação, ou seja, não é mencionado explicitamente o
uso da História da Matemática como recurso para aprender Matemática.
O critério “rigor” ao qual Doll (1997) faz referência sobre a avaliação e
interpretação dos resultados dessa avaliação é fortemente marcante nos dois
países. No capítulo três apresentamos vários tipos de avaliações que são
propostas para os alunos matriculados nas escolas desses dois países. As
análises, por parte das secretarias responsáveis pelas avaliações oficiais
externas, têm notoriamente, permeadas mudanças nas propostas curriculares e
fomentado formações continuadas de professores e também, análises para
escolha dos livros didáticos.
A lista de conteúdos, os princípios norteadores e as orientações
curriculares compõem uma estrutura que é permeada por alertas e orientações
aos professores de como trabalhar e o que privilegiar no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática.
Nos currículos de Matemática para o Ensino Fundamental nos dois
países temos algumas diferenças quanto às escolhas de conteúdos em cada ano
de escolaridade. Essas escolhas, a nosso ver, são subjetivas, pois, no Chile
dependendo do ano de escolaridade é dada maior ênfase a determinados
conteúdos e menos a outros.
Nos quatro primeiros anos de escolaridade no Chile a ênfase maior
está nas operações aritméticas. O trabalho com Grandezas e Medidas está
inserido nos demais blocos de conteúdos. O Tratamento da informação não está
sugerido nessa etapa educacional.
135
136
O ensino nessa etapa é focado em Números, nas Operações
aritméticas e no tema Espaço e Forma.
Já
no
Brasil,
o
ensino
da
Matemática
está
centrado,
no
desenvolvimento dos Números e operações, Espaço e Forma, Grandezas e
Medidas e Tratamento da Informação. Durante os anos de escolaridade do
Ensino Fundamental Ciclo I esses quatro blocos temáticos são trabalhados ano a
ano.
No Ensino Fundamental Ciclo II, os conteúdos elencados e propostos,
do 5º ao 8º anos, nos PCN são desenvolvidos, ao longo de cada ano letivo
perpassando
pelos
quatros
blocos
temáticos.
No
Chile
os
conteúdos
desenvolvidos, para os alunos com idade entre 11 e 14 anos também são
semelhantes aos propostos no Brasil.
4.6 Com relação a orientações metodológicas e
didáticas
Nessa seção, explicitaremos nossas análises sobre as orientações
metodológicas e didáticas presentes nos documentos prescritos do Brasil e Chile.
Analisaremos se as influências da Educação Matemática estão presentes nesses
documentos em relação aos aspectos que podem favorecer a aprendizagem em
sala de aula, bem como quais princípios construtivistas perfazem as orientações
para a ação didática do professor.
4.6.1 Resolução de Problemas
Na década de 80, o Brasil também começa a questionar o período
chamado de Matemática Moderna (décadas de 60 e 70), ora mencionamos
anteriormente. Também existem discussões a respeito de resoluções de
problemas, que começam a ter destaque e tomam forma em 1996, com os
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCN).
136
137
Nos PCN, as orientações reforçam o uso de resolução de problemas
como ponto de partida da atividade matemática:
a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não
a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem
desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las (BRASIL, 1998, p.
40-41)..
No Brasil a resolução de problemas é o eixo norteador e organizador do
processo de ensino aprendizagem em Matemática e apresenta os seguintes
princípios.
A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida
em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação
para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode
apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas
(BRASIL,1998, p. 40-41).
O currículo de Matemática chileno do primeiro ao oitavo ano está
estruturado e centrado na resolução de problemas:
La resolución de problemas debe ser el foco de toda la enseñanza de la
Matemática, ya que da un sentido al aprendizaje de esta disciplina,
permitiéndole al estudiante aplicar y hacer conexiones con sus
experiencias cotidianas. La comprensión de todos los conceptos y
habilidades que debe aprender un estudiante en estas edades; como el
significado de los números, la operatoria básica, la geometría y la
medición, se ven maximizados desde la comprensión cuando se
enseñan desde ele foco de la resolución de problemas. Esta actividad
fundamental proporciona al profesor una visión sobre el pensamiento
matemático de sus estudiantes cuando éstos seleccionan las estrategias
y comunican su pensamiento para solucionar el problema, y entregan
una evidencia muy relevante a la hora de apoyar y ajustar la enseñanza
a las necesidades de los alumnos (BC/CHILE, 2011).
Os planos de estudos chilenos apresentam, além dos conteúdos
distribuídos em eixos temáticos e a “resolução de problemas” como eixo
metodológico, orientações de como abordar os temas propostos para cada ano de
escolaridade destacando as necessidades e encaminhamentos metodológicos
afirmando:
Como ya se ha señalado, el eje Resolución de problemas atraviesa los
otros ejes ya descritos; este hecho se justifica por cuanto la resolución
de problemas constituye el núcleo central de la actividad matemática y,
en consecuencia, debe ocupar un lugar importante en el aprendizaje de
esta disciplina, desde los niveles más elementales. En este eje se
137
138
diferencian claramente dos aspectos. El primero tiene que ver con el
desarrollo de la habilidad para resolver problemas, para lo cual se
propone la apropiación de los aspectos básicos de las etapas del
proceso de resolución, y el desarrollo de la confianza en la propia
capacidad de formular y resolver problemas. El segundo aspecto se
refiere al tipo de problemas que los niños deben resolver, los que
deberán tener relación con los contenidos de cada uno de los otros ejes,
y no sólo con el eje de operaciones aritméticas (BASES
CURRICULARES / CONSULTA PÚLICA, EDUCACIÓN BÁSICA, 2011).
As citações apresentadas confirmam que as orientações, referentes ao
uso da Resolução de Problemas, propostas pelo NCTM (1980) influenciaram os
documentos oficiais prescritos para o ensino de Matemática tanto no Brasil como
no Chile.
As orientações propostas nos documentos brasileiros e chilenos
revelam que “esse movimento de reforma na Educação Matemática, vigente até
hoje, aponta para a Resolução de Problemas como primeiro padrão de
procedimento para o trabalho com os padrões de conteúdo, sendo que o ensino
de Matemática por meio da resolução de problemas é nele fortemente
recomendado” (ONUCHIC e ALLEVATO, 2011 p.3).
4.6.2 Conceitos da Educação Matemática
O tópico almeja a perspectiva de elucidamento de perspectivas do
pesquisador Fey (1994), os quais restringem na concepção de que: “se a
Matemática escolar deve ser concebida com um olho na formação acadêmica, ou
se nas considerações das diferentes formas de as pessoas usarem Matemática
na vida diária e no trabalho”.
Ao refletir sobre esses anseios, emerge a questão de “quais seriam as
perspectivas de Matemática que desempenham um papel na tarefa de
elementarização na concepção curricular para a escola”.
Nesse sentido, a fim de buscar respostas para a questão, serão
analisados os aspectos de como se evidenciam tais perspectivas nos currículos
prescritos de Matemática, além de buscar informações sobre métodos de como
ensinar e aprender Matemática no ambiente escolar.
138
139
4.6.2.1
Perspectivas de Matemática
Nos Parâmetros Curriculares Nacional para o Ensino Fundamental no
Brasil é evidenciada tal preocupação:
Para dimensionar a Matemática no currículo do ensino fundamental é
importante que se discuta sobre a natureza desse conhecimento e que
se identifiquem suas características principais e seus métodos
particulares como base para a reflexão sobre o papel que essa área
desempenha no currículo, a fim de contribuir para a formação da
cidadania (BRASIL, 1998, p. 24).
No Chile também, na lei 20.370/2009, são incitadas preocupações com
relação a qual perspectiva o ensino da Matemática deve considerar na Educação
Básica:
La Educación Básica es el nivel educacional que se orienta hacia la
formación integral de los alumnos, en sus dimensiones física, afectiva,
cognitiva, social, cultural, moral y espiritual, desarrollando sus capacidades
de acuerdo a los conocimientos, habilidades y actitudes definidos en las
bases curriculares que se determinen en conformidad a esta ley, y que les
permiten continuar el proceso educativo formal (Artículo 19).
Fato é que o ensino de Matemática proposto nos currículos de Brasil e
Chile tem como finalidade a formação cidadã dos alunos e de que o currículo de
Matemática para esses dois países está organizado de forma a possibilitar essa
formação. A estruturação em blocos temáticos contempla diversos aspectos
relacionados com o cotidiano dos alunos, levando-os a perceber-se como parte
integrante de uma sociedade compreendendo os fenômenos que os rodeiam,
interpretando-os e solucionando-os via os conhecimentos matemáticos.
Em nossas análises queremos, ainda, buscar elementos que
evidenciem se as contribuições da Educação Matemática estão presentes nos
currículos oficiais e prescritos do Brasil e Chile.
Quando nos referimos às perspectivas da Matemática no ambiente
escolar não podemos esquecer-nos das contribuições da área de Psicologia para
o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
139
140
Existe uma longa tradição de investigação por Psicólogos americanos
e europeus sobre questões relacionadas com o ensino e aprendizagem da
matemática Kilpatrick (1996) e Schoenfeld, (1992).
Às vezes essa investigação centra-se na Matemática, porque o
assunto parece oferecer um domínio do conteúdo bem definido, no qual o
conhecimento pode ser objetivamente medido, mas também investigações
psicológicas abordam questões que são fundamentais para a educação
matemática.
No apogeu do conectivismo63 e da psicologia comportamental64,
estudos de aprendizagem em Matemática são examinados com vistas aos
aspectos processuais65 da aritmética e álgebra.
Podemos citar com exemplo Piaget e seus descendentes na escola
construtivista da aprendizagem e do ensino. Tais perspectivas têm sido
enormemente influentes no pensamento sobre ensino e aprendizagem na
Matemática escolar.
Existe então, uma forte e ativa colaboração de investigação de
psicólogos em Matemática e de educadores, que se traduziu em investigações
centradas da aprendizagem humana nas questões que são centrais para a
Educação Matemática na escola.
63
A Teoria do Conectivismo foi desenvolvida por George Siemens e Stephen Downes essa teoria
de aprendizagem utilizada em ciência da computação que se baseia na premissa de que o
conhecimento existe no mundo ao contrário do que rezam outras Teorias da Aprendizagem que
afirmam que simplesmente existe na cabeça de um indivíduo. Em termos gerais, a teoria da
atividade e a cognição distribuída são as disciplinas em torno do paradigma conectivista, como
conta o conhecimento que existe dentro de sistemas que são acessados por meio de pessoas que
participam em atividades. Foi apelidado de "uma teoria de aprendizagem para a era digital",
devido a como ela tem sido utilizada para explicar o efeito que a tecnologia teve sobre a forma
como as pessoas vivem, como elas se comunicam, e como elas aprendem.
64
Psicologia comportamental é um ramo de atuação dos profissionais da psicologia o qual dá
ênfase às interações entre as emoções, pensamentos, comportamento e estados fisiológicos. A
base teórica deste ramo de atuação do psicólogo é o behaviorismo. Edward L. Thorndike e John
Watson foram um dos precursores dessa teoria.
65
Quando estamos nos referimos ao aspecto processual da Álgebra, estamos considerando as
operações aritméticas que são realizadas com números e que produzirão como resultado também
números. Podemos citar um exemplo para ilustrar. Se tomarmos a expressão algébrica 5x - 2y e
substituirmos x e y por 3 e 5, respectivamente, o resultado será 5. Sendo assim, observamos que
esse exemplo esconde uma falsa impressão de estar trabalhando com as estruturas da Álgebra,
porém, ele ilustra uma perspectiva processual da Álgebra.
140
141
Por exemplo, nas modernas teorias cognitivas uma das questões
centrais é a representação do conhecimento na memória. Representação dos
fatos e das relações é um aspecto muito importante do pensamento matemático e
da aprendizagem, matemática tornou-se vital para educadores interessados em
investigação
na
psicologia
que
contribua
para
a
compreensão
das
representações.
Na pesquisa psicológica contemporânea, há também um interesse
considerável em processos de meta-cognição e de auto-regulação do controle
mental de atividade.
Com base no exposto nossa impressão, sobre os documentos
curriculares de Matemática oficiais do Brasil e Chile, é de que esses documentos
têm fortes ligações com o princípio do construtivismo, pois nas orientações
didáticas e metodológicas observamos que implicitamente, é permeado todo o
trabalho na sala de aula com preocupação em valorização do aluno, da
autoestima, etc., estimulando o fazer em sala de aula e considerando que alguns
slogans são aventados, por exemplo:
[...] importância do desempenho de um papel ativo do aluno na
construção do seu conhecimento; [...] necessidade de levar os alunos a
compreender a importância do uso da tecnologia e a acompanhar sua
permanente renovação (BRASIL, 1998, p. 20).
[…] A modo de ejemplo, los aprendizajes involucran actitudes tales como
perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas
matemáticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de
problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las
propias. (PE/CHILE, p. 6).
Nos documentos curriculares de Brasil e Chile encontramos em vários
momentos, um discurso textual, relacionado ao ensino e aprendizagem da
Matemática, demonstrando assim, reocupações com a linguagem Matemática e
as escolhas de situações contextualizadas que leve os alunos a compreenderem
os significados matemáticos. Nesse contexto o texto do PE/CHILE ressalta:
El uso del contexto: Es importante que la matemática sea presentada
como una disciplina culturalmente situada, con historia, con impacto en
otras áreas del conocimiento científico o tecnológico, con consecuencias y
aplicaciones. La pregunta acerca del origen de los conceptos y modelos
matemáticos, y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de
141
142
la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que debemos
proponer a nuestros estudiantes. El uso de analogías y representaciones
cercanas a los estudiantes, son un recurso didáctico altamente
recomendado, especialmente en las etapas de exploración. A su vez, se
sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas del
conocimiento y en la vida diaria, como un apoyo en la construcción del
conocimiento matemático (p.22).
Entendemos que o problema central da Educação Matemática consiste
em ajudar os estudantes a adquirir um repertório de conhecimento conceitual e
processual, significativos da habilidade de transferir esse conhecimento a partir de
contextos específicos em que é apresentado ao novo e, aparentemente, de
diferentes configurações. Estudos recentes sobre cognição situada vêm sugerindo
que é impossível separar o que é “aprendido a partir da atividade e do contexto
em que assume lugar na aprendizagem, essa aprendizagem e cognição..., são
situações fundamentais". (Brown, Collins, & Duguid, 1989) Nos PCN é enfatizado
que:
A contextualização pode ser um recurso para conseguir esse objetivo.
Contextualizar o conteúdo que se quer aprendido significa, em primeiro
lugar, assumir que todo conhecimento envolve uma relação entre sujeito
e objeto (BRASIL, 1999, p. 91).
Outro aspecto importante é o papel do professor na sala de aula, nesse
sentido os PCN enfatizam:
Numa perspectiva de trabalho em que se considere o aluno como
protagonista da construção de sua aprendizagem, o papel do professor
ganha novas dimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da
aprendizagem; para desempenhá-la, além de conhecer as condições
socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará
escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos e
procedimentos e alimentar os processos de resolução que surgirem,
sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir (BRASIL,
1998, p. 38).
Na lei geral de Educação Chilena 20370/2009 são explicitados os
deveres do professor como mediador da aprendizagem dos alunos:
[…]son deberes de los profesionales de la educación ejercer la función
docente en forma idónea y responsable; orientar vocacionalmente a sus
alumnos cuando corresponda; actualizar sus conocimientos y evaluarse
periódicamente; investigar, exponery enseñar los contenidos curriculares
correspondientes a cada nivel educativo establecidos por las bases
curriculares y los planes y programas de estudio; respetar tanto las
normas del establecimiento en que se desempeñan como los derechos de
142
143
los alumnos y alumnas, y tener un trato respetuoso y sin discriminación
arbitraria con los estudiantes y demás miembros de la comunidad
educativa (Articulo 10º).
Nessa perspectiva, considerando o professor e o saber Matemático, o
aluno e o saber matemático e as relações professor – alunos e aluno – aluno
(BRASIL, 1998, p. 36-37) temos a configuração do triângulo pedagógico que nos
remete à noção de Contrato Didático proposta por Brosseau.
Contrato didático é o conjunto das regras que determinam explicitamente, para
uma pequena parte, mas, sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da
relação didática vai ter a gerenciar e o que cada um, de uma maneira ou outra,
terá que computar frente ao outro (BROUSSEAU, 1986, p.51).
Outro aspecto que está presente nos documentos de Brasil e Chile é
quanto ao papel do erro no processo de ensino da Matemática:
Uso del error: Asociado a un ambiente de búsqueda y de creación, está el
uso adecuado del error. En un clima de construcción, un error puede, en
manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes
especialmente significativos. El error debe considerarse como un elemento
concreto para trabajar en clases la diversidad, permitiendo que todos los
alumnos alcancen los aprendizajes propuesto (PE/CHILE, p. 22).
Quanto a essa questão, os PCN destacam que:
(...) Assim, considera-se que uma reprodução correta é evidência de que
ocorreu a aprendizagem. Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz,
pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que
o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não
apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos. É
relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da
construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas (BRASIL,
1998, p. 37).
O entendimento a esse respeito é de que o erro deve ser visto como
possibilidade de o aluno refletir e mobilizar conhecimentos na busca da solução
da situação apresentada. Essa ação, por parte do aluno deve ser valorizada e
cabe ao professor mediar e conduzir os alunos na construção de seu
conhecimento matemático.
143
144
O recurso à História da Matemática também é valorizado nos discursos
presentes nos documentos curriculares do Brasil. Os PCN ressaltam que:
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao
processo e ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao
revelar a Matemática como ma criação humana, ao mostrar necessidades
e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos,
ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos
do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno
desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento
(BRASIL, 1998, p. 42).
Já no Chile, não observamos a utilização desse recurso de maneira
explicita nos currículos oficiais e prescritos.
O recurso ao uso das tecnologias está presente nos currículos de
ambos os países. No Chile é enfatizado que “El desarrollo de las capacidades
para utilizar las tecnologías de la información y comunicación (TICs) está
contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales
Transversales del marco curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas
tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de
los sectores de aprendizaje” (PE/CHILE, 2010, p.12).
No Brasil também é marcante as orientações quanto ao uso dos
recursos tecnológicos, pois “é fato que as calculadoras, computadores e outros
elementos tecnológicos estão cada vez mais presentes nas diferentes atividades
da população. O uso desses recursos traz significativas contribuições para se
repensar sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemática” (BRASIL,
1998, p. 43).
Nos documentos curriculares do Chile não identificamos explicitamente
o recurso à História da Matemática como elemento que pode vir a favorecer o
aprendizado em Matemática.
144
145
4.7 Com relação a indicações sobre o processo de
avaliação da aprendizagem
Nesse item vamos analisar como são as orientações de avaliação do
desempenho dos alunos em Matemática. Analisaremos com olhar nas avaliações
institucionais e as oficiais externas.
A Lei de Diretrizes e Bases Nacionais, a LDB 9394/96 manteve um
currículo caracterizado por uma base nacional comum e uma parte diversificada
que permite de acordo com a Lei 5472/1971:
Art. 26. Os currículos do ensino fundamental e médio devem ter uma
base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de
ensino e estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida
pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da
economia e da clientela.
§ 1o Os currículos a que se refere o caput devem abranger,
obrigatoriamente, o estudo da língua portuguesa e da matemática, o
conhecimento do mundo físico e natural e da realidade social e política,
especialmente do Brasil ( LDB, 1971, p. 23).
Porém, resultados obtidos pelos alunos do Ensino Fundamental nos
testes de rendimento em Matemática, aplicados em todo o país, também são
indicadores expressivos de como se encontra o ensino dessa área.
As provas de Matemática aplicadas em 1993, pelo Sistema Nacional
de Avaliação Escolar da Educação Básica (SAEB), indicavam que, na primeira
série do ensino fundamental, 67,7% dos alunos acertavam pelo menos metade
dos testes. Esse índice caía para 17,9% na terceira série, tornava a cair para
3,1%, na quinta série e subia para 5,9% na sétima série. Nas provas de
Matemática, aplicadas em 1995, abrangendo alunos de quartas e oitavas séries
do ensino fundamental, os percentuais de acerto por série/grau e por capacidades
cognitivas, além de continuar diminuindo à medida que aumentavam os anos de
escolaridade, indicavam também que as maiores dificuldades encontravam-se
nas questões relacionadas à aplicação de conceitos e à resolução de problemas.
Nesse sentido, concluímos que em relação ao ensino de Matemática há
problemas
antigos
e
novos,
a
serem
enfrentados,
tarefa
que
requer
operacionalização efetiva das intenções anunciadas nas diretrizes curriculares
145
146
dos anos 80 e início dos anos 90, e a inclusão de novos elementos na pauta de
discussões e que este documento procura contemplar.
No entanto, acreditamos haver um exagero de avaliações externas que
“bombardeiam” os alunos e refletem na forma de atuação dos professores que
preocupados com os índices insatisfatórios tendem a trabalhar na sala de aula
preparando os alunos para as avaliações do tipo municipal em São Paulo – prova
cidade de São Paulo, referente ao estado de São Paulo (SARESP) em nível
nacional SAEB, ENEM, etc.
Segundo os PCN, os critérios de avaliação não expressam todos os
conteúdos que foram trabalhados no ciclo, mas apenas aqueles que são
fundamentais para que se possa considerar que um aluno desenvolveu as
capacidades previstas de modo que possa continuar aprendendo no ciclo
seguinte, sem que seu aproveitamento seja comprometido (BRASIL, 1998, p. 75).
No Chile, como no Brasil, avaliação é parte do processo de ensino e
aprendizagem em Matemática:
La evaluación es un proceso que forma parte constitutiva del proceso de
enseñanza.
No sólo debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los
estudiantes, sino que cumple un rol central en la promoción y desarrollo
del aprendizaje. Para que la evaluación efectivamente cumpla con esta
función debe tener como objetivos.
•
Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los
aprendizajes.
•
Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades
de los
•
estudiantes, y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar
los logros esperados dentro del sector.
Ser una herramienta útil para la planificación (Programa de Estudio,
MINEDUC, p. 17).
O governo chileno criou o SIMCE que é a Avaliação Nacional de
resultados de aprendizagem do Ministério da Educação do Chile. Seu principal
objetivo é
ajudar
a
melhorar a
qualidade e
promover
a
equidade
da
educação, elaborar relatórios sobre o desempenho dos alunos em diferentes
segmentos do currículo nacional e, relacioná-los à escola e contexto social em
que eles aprendem.
146
147
É importante que se tenha transparência e clareza na fixação dos
critérios e na análise dos resultados dessas avaliações, pois nas leituras
realizadas, mesmo com todas as orientações propostas no sentido de tornar os
alunos agentes da construção de seu próprio conhecimento, encontramos
autores, como Martín (2009) afirmando haver diferenças de aprendizagens e/ou
dos resultados de aprendizagens quando se considera aspectos econômicos e
sociais dos alunos:
[…] Por otra parte, es sabido que en la educación media chilena existe
una fuerte segmentación estructural. En efecto, más de 50% de los
liceos municipales (con el menor nivel socioeconómico) obtienen un
promedio menor a la media nacional. Bajo esta fuerte segmentación de
resultados existe una dispersión interna, no despreciable, en los logros
de aprendizaje de los alumnos (Bellei, 2002). Por ejemplo, los resultados
de la prueba del Sistema de Medición de Calidad de la Educación
(SIMCE) de Matemática, aplicada a alumnos de 2° med io en el año
2001, muestra que si se considera al conjunto de alumnos de los grupos
socioeconómicos bajo, medio bajo y medio que son atendidos por el
sector municipalizado se encuentra que existe una diferencia de 52
puntos si se compara el nivel medio con el bajo y una diferencia de 43
puntos cuando la comparación se hace con el sector medio bajo (SIMCE,
2002).
Observamos, que tanto no Brasil e Chile existem vários instrumentos
de avaliação que são levados em consideração para a busca da melhoria
educacional principalmente com relação ao ensino da Matemática. Porém
queremos deixar claro que esses instrumentos que têm como objetivo identificar
problemas pontuais para uma reflexão de como superar as dificuldades
levantadas, são utilizadas em muitos casos para classificar escolas, regiões,
países, etc.
Nos dois países é evidente a dicotomia das políticas publicas que
discorremos no capítulo três considerando que Currículo e Avaliação são dois
pilares que as sustentam.
147
148
CAPÍTULO 5
ESTUDO COMPARATIVO DOS CURRÍCULOS PRESCRITOS
DE MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO
5.1
Introdução
O quarto capítulo do trabalho foi marcado pela realização do estudo
comparativo dos currículos prescritos e vigentes de Matemática do Ensino
Fundamental e Educação Básica, entre Brasil e Chile, nesse, será realizada uma
análise técnica-comparativa em analogia ao Ensino Médio de ambos os países.
Nesse sentido, serão afastadas quaisquer possibilidades de prolixidade,
uma vez que foram observados muitos aspectos entre as etapas educacionais do
Ensino Médio e Ensino Fundamental no Brasil e Educação Básica e Média no
Chile. Decerto podemos considerados semelhantes, haja vista que o Ensino
Médio nos dois países é composto por um segmento de continuidade na
formação educacional.
A Lei 9394 de 20 de dezembro de 1996, defini o Ensino Médio no
Brasil:
O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima
de três anos, terá como finalidades:
I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no
ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; [...]
(art. 35)
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM),
essa definição é ratificada quanto aos conhecimentos que os alunos irão aprender
e ou aprofundar nesse segmento educacional:
A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se junta a idéia de
que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se aproximado de
vários campos do conhecimento matemático e agora estão em
condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo
148
149
capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em
todas as suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo,
investigação, análise e compreensão de fatos matemáticos e de
interpretação da própria realidade (BRASIL: 1999, p. 252).
No Chile, a Lei 20.370 de 2009 enfatiza que:
La Educación Media es el nivel educacional que atiende a la población
escolar que haya finalizado el nivel de educación básica y tiene por
finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación
general y desarrolle los conocimientos, habilidades y actitudes (Artículo
20).
Serão utilizadas as mesmas categorias de análises:
1. Com relação à forma de estruturar o currículo prescrito;
2. O papel da Matemática na formação dos alunos brasileiros e
chilenos;
3. Ênfase nas aplicações práticas ou nas especulações teóricas;
4. Com relação à seleção de conteúdos;
5. Com relação a orientações metodológicas e didáticas;
6. Com relação a indicações sobre o processo de avaliação da
aprendizagem.
5.2 Comparando a estruturação dos currículos
prescritos
Essa seção tem a pretensão de mapear a organização e estrutura dos
currículos de Matemática para o Ensino Médio, prescritos e vigentes no Brasil e
Chile respectivamente.
Tal como já deve ter sido identificado pelo leitor, os documentos
curriculares utilizados pela pesquisa, são os PCNEM no Brasil e o PE para a
Educação Média no Chile. Contudo, no Brasil há o PCNEM + (2002), que
complementa o PCNEM e Diretrizes que ao longo dos anos foram sendo
implementadas para suprirem alguns aspectos que não foram contemplados na
elaboração dos PCNEM e “PCNEM +”.
149
150
O Ensino Médio no Brasil compõe a Educação Básica (art. 21 LDB
9394/96)66. Sua duração é de três anos, de acordo com Lei Nº 11.274, de
06/02/2006, contudo, não é obrigatório. No entanto, a LDB 9394/96 dita que é um
dever do estado o anúncio de que “O Ensino Médio é a etapa final da educação
básica” (Art.36).
No Brasil, embora o Ensino Médio não seja obrigatório, dados
divulgados no sitio do INEP, apontam que, nos últimos anos, o Ensino Médio foi o
que mais se expandiu no Brasil. No período de 1987 a 1997, o crescimento da
demanda superou 90% das matriculas até então existentes. Em 1998, o Ensino
Médio do Estado de São Paulo atendeu aproximadamente 30% dos alunos
matriculados em todo o país, ou seja, 1.900.000 estudantes. Deste universo, 80%
eram alunos da rede estadual de ensino, um total aproximado de 1.600.000
alunos. A grande expansão, porém, deu-se no período noturno por alunos que
estão trabalhando ou desejam trabalhar.
É importante ressaltar que embora, no Brasil, o Ensino Médio não seja
obrigatório para o aluno, já existe um projeto de lei que está tramitando no
Congresso Nacional, onde está sendo proposto que esse segmento educacional
seja obrigatório para os alunos cursarem.
No Chile, a Educação Média compreende seis anos de escolaridades.
Antes da promulgação da nova lei, a Educação Média era de quatro anos nesse
país. Atualmente os sétimos e oitavos anos passaram a compor essa etapa
educacional.
Artículo 25.- El nivel de educación básica regular tendrá una duración de
seis años y el nivel de educación media regular tendrá una duración de
seis años.[…] (Ley 20370, 2009).
Como já mencionado anteriormente, para fins de análise e comparação
do currículo de Matemática chileno com o do Ensino Médio brasileiro, o objeto de
estudo em questão se apoiará na Educação Média chilena de quatro anos, pois o
sétimo e oitavo ano já foi devidamente analisado no capítulo quatro.
66
LDB – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
150
151
Em face do crescimento da demanda de matriculas no Ensino Médio
no Brasil, a LDBEN 9394/96 incentiva transformações nessa etapa escolar,
desvinculando-o do vestibular e flexibilizando os mecanismos de acesso ao
ensino superior. Além disso, delineia no artigo 36 parágrafo 1o, o perfil de saída
do aluno estipulando que, ao final do Ensino Médio, ele demonstre:
•
Domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a
produção moderna;
•
Conhecimento das formas contemporâneas de linguagem;
•
Domínio dos conhecimentos de Filosofia e de Sociologia necessários
ao exercício da cidadania.
Os PCNEM enfatizam que o papel da Matemática no Ensino Médio
não é apenas formativo (que ajuda a estruturar o raciocínio dedutivo) ou
instrumental (ferramenta que auxilia em todas as atividades humanas), mas que
também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais
específicas (BRASIL, 1999, p. 251). Destaca também a importância do aluno
perceber que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e
lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e
que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Cabe ainda
apresentar ao aluno o conhecimento matemático de modo a que ele possa buscar
novas informações e instrumentos necessários para que seja possível continuar
aprendendo.
Diante do exposto, tendo em vista cumprir os objetivos dessa
formação são propostos nos PCNEM três eixos ou temas estruturadores para
serem desenvolvidos de forma concomitante nas três séries do ensino médio
(BRASIL, 2002, p. 120):
•
Álgebra: números e funções;
•
Geometria e medidas;
•
Análise de dados.
151
152
No Chile evidenciamos tais preocupações com a preparação dos
alunos para o exercício da cidadania ao fim da Educação Média.
Retomamos o artigo 20 da lei 20 370/2009 onde é manifestado que:
La Educación Media es el nivel educacional que atiende a la población
escolar que haya finalizado el nivel de educación básica y tiene por
finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación
general y desarrolle los conocimientos, habilidades y actitudes que le
permitan ejercer una ciudadanía activa e integrarse a la sociedad, los
cuales son definidos por las bases curriculares que se determinen en
conformidad a esta ley. Este nivel educativo ofrece una formación general
común y formaciones diferenciadas. Estas son la humanístico-científica,
técnico-profesional y artística, u otras que se podrán determinar a través
de las referidas bases curriculares.
Na expectativa de atender essa formação o currículo de Matemática
chileno é dividido em cinco blocos temáticos, são eles:
•
Números;
•
Álgebra y Funciones;
•
Geometria;
•
dados e azar;
•
Álgebra.
A diferença constatada nos documentos curriculares está no número
de eixos estruturadores, mas, que não se revela no conjunto de saberes
matemáticos que são propostos aos alunos do inicio ao fim dessa etapa de
escolaridade.
5.3 O papel da Matemática na formação dos alunos
brasileiros e chilenos
Os currículos de Matemática prescritos e vigentes no Brasil e Chile
para o Ensino Médio e Educação Média respectivamente, sugerem que ao
apresentar a Matemática para os alunos, essa tenha significado para suas vidas.
O conhecimento matemático deverá estar em conexão com outras áreas de
conhecimentos perpassando pelos temas transversais (ética, saúde, meio
ambiente, educação sexual e pluralidade cultural), que contribuem na formação
cidadã dos alunos.
152
153
Nos PCNEM é aventada também essa preocupação
A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a
estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também
desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve
para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as
atividades humanas (BRASIL: 1999, p. 251).
Para atender essa realidade os PCNEM sugerem que isso ocorra por
meio das conexões entre os conceitos a serem aprendidos nas diferentes formas
de pensamento matemático, sendo que para que isso ocorra é primordial que
tenhamos como critério central a contextualização e a interdisciplinaridade
(BRASIL, 1999, p. 255).
As orientações curriculares para o ensino de Matemática são
permeadas com reflexões que levem os alunos a desenvolverem seus
conhecimentos, valorizando as dimensões do conteúdo como os conceituais
procedimentais e atitudinais.
Nessa perspectiva de ensino e aprendizagem da Matemática no
ambiente escolar, explorando os temas transversais e os aspectos relacionados
aos conceitos, procedimentos e atitudes, os PCNEM explicitam as finalidades do
ensino de Matemática no Brasil, e por fim indicam como objetivos do Ensino
Médio, levar o aluno a:
•
•
•
•
•
•
•
compreender os conceitos, procedimentos e estratégias
matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e
adquirir uma formação científica geral;
aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas,
utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e
nas atividades cotidianas;
analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes,
utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria
que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da
Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;
desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de
problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas
para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas
e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em
Matemática;
estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre
esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
153
154
•
•
reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,
relacionando
procedimentos
associados
às
diferentes
representações;
promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança
em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento
de atitudes de autonomia e cooperação (BRASIL, 1999, p. 254).
No Chile a formação dos alunos na Educação Média tem como
premissa a formação para o exercício da cidadania.
No artigo 30 da Lei 20
370/2009 é enfatizado que:
La educación media tendrá como objetivos generales, sin que esto
implique que cada objetivo sea necesariamente una asignatura, que los
educandos desarrollen los conocimientos, habilidades y actitudes que les
permitan:
1) En el ámbito personal y social:
a) Alcanzar el
desarrollo moral, espiritual, intelectual, afectivo y físico que los faculte
para conducir su propia vida en forma autónoma, plena, libre y
responsable.
b) Desarrollar planes de vida y proyectos personales,
con discernimiento sobre los propios derechos, necesidades e intereses,
así como sobre las responsabilidades con los demás y, en especial, en el
ámbito de la familia.
c) Trabajar en equipo e interactuar en contextos
socio-culturalmente heterogéneos, relacionándose positivamente con
otros, cooperando y resolviendo adecuadamente los conflictos.
d)
Conocer y apreciar los fundamentos de la vida democrática y sus
instituciones, los derechos humanos y valorar la participación ciudadana
activa, solidaria y responsable, con conciencia de sus deberes y
derechos, y respeto por la diversidad de ideas, formas de vida e
intereses.
e) Desarrollar capacidades de emprendimiento y hábitos,
competencias y cualidades que les permitan aportar con su trabajo,
iniciativa y creatividad al desarrollo de la sociedad.
f) Tener hábitos de
vida activa y saludable.
A Educação Média no Chile se caracteriza perpassando pelos temas
transversais, por isso apresentam os Objetivos Fundamentais Transversais (OFT,
Decreto Nº 220), que tem como finalidade geral da educação, o desenvolvimento
pessoal e a formação ética e intelectual dos alunos que são:
Los OFT de ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal referidos al
interés y capa cidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la
información.
Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensamiento, en especial los relativos
a habilidades de investigación, a través de las actividades que suponen
selección y organización de información y datos; y las de resolución de
problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos
y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos
rutinarios, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y
de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. El
154
155
desarrollo del pensamiento probabilístico así como el análisis estadístico
contribuye a tomar decisiones fundamentadas en situaciones sociales.
Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referidos al trabajo, y que
plantean el desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, así como de
flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de
recibir y aceptar consejos y críticas.
A través de los problemas a resolver matemáticamente y el estudio de la
estadística, que plantean las actividades del programa es posible ampliar
el trabajo de los OFT con alumnos y alumnas a su capacidad de juicio, y
la aplicación de criterios morales, a problemas del medio ambiente,
económicos y sociales (PE/CHILE, 2010 p. 12).
Desvelamos nas finalidades e objetivos, para essa etapa educacional
dos dois países, que três das quatro dimensões que definem as finalidades da
Educação Matemática, a qual Rico (1997) propõe, estão presentes na
organização dos currículos de Matemática para o Ensino Médio e Educação
Média do Brasil e Chile, respectivamente.
A dimensão social está contemplada no discurso textual dos currículos
ressaltando a importância das ferramentas matemáticas para resolução de
situações-problemas no domínio da prática profissional.
[...] además de ser una herramienta imprescindible en áreas como la
ciencia y la tecnología, la medicina, la economía, el estudio del medio
ambiente, entre otras […] (BC/CHILE, 2011, p. 54).
Nos PCNEM também é reforçada essa dimensão:
No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino
Médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e
estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim
como para a atividade profissional. Não se trata de os alunos possuírem
muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa
e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as
adequadamente no momento oportuno (BRASIL, 1999, p. 251).
Identificamos também as dimensões, educativa e política, presentes
nas citações da dimensão social, pois o ensino de matemática na dimensão
educativa tem importância no desenvolvimento do raciocínio dos alunos, levandoos a compreenderem padrões e regularidades. Já na dimensão política, no que se
refere ao papel da matemática, pode se desempenhar na vida do cidadão, uma
sociedade cada vez mais dependente pela tecnologia.
155
156
Para ilustrarmos a presença dessas dimensões nos currículos de
Matemática, nos PCNEM (BRASIL, 1999, p. 259), são preconizadas as
competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática, tais como:
Representação e comunicação
• Ler e interpretar textos de Matemática.
• Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos,
expressões etc).
• Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para
linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas
etc.) e vice-versa.
• Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na
linguagem matemática, usando a terminologia correta.
• Produzir textos matemáticos adequados.
• Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de
produção e de comunicação.
• Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho.
Investigação e compreensão
• Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc).
• Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema.
• Formular hipóteses e prever resultados.
• Selecionar estratégias de resolução de problemas.
• Interpretar e criticar resultados numa situação concreta.
• Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos.
• Fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos,
esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades.
• Discutir idéias e produzir argumentos convincentes.
Contextualização sócio-cultural
• Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e
intervenção no real.
• Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em
especial em outras áreas do conhecimento.
• Relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da
humanidade.
• Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas
limitações e potencialidades.
No Chile também se busca meio de se alcançar a excelência de uma
formação cidadã para os alunos passando pela Matemática.
156
157
O documento chileno Bases Curriculares / Consulta Pública do Chile,
2011 destaca que:
[…] Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al
análisis de situaciones y a la resolución de problemas.
Reconocer y analizar las propias aproximaciones a la resolución de
problemas matemáticos y perseverar en la sistematización y búsqueda
de formas de resolución.
Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que
continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de
resolver problemas prácticos, pero también planteándose problemas
propios, a menudo por el sólo placer intelectual o estético (p. 14).
As dimensões do currículo implícitas ou explicitas nos currículos de
Matemática dos dois países que Rico (1997) denomina de Justificativa funcional,
estão presentes nas orientações referentes à formação cidadã e preparação para
a vida produtiva dos alunos.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 9394/96, explicita
que o Ensino Médio é a “etapa final da educação básica” (Art.36), o que concorre
para a construção de sua identidade.
Nessa perspectiva, o Ensino Médio passa a ter a característica da
terminalidade, o que significa:
... assegurar a todos os cidadãos a oportunidade de consolidar e
aprofundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental;
aprimorar o educando como pessoa humana; possibilitar o
prosseguimento de estudos; garantir a preparação básica para o trabalho
e a cidadania; dotar o educando dos instrumentos que o permitam
“continuar aprendendo”, tendo em vista o desenvolvimento da
compreensão dos “fundamentos científicos e tecnológicos dos processos
produtivos” (Art.35, incisos I a IV).
Nos PE/CHILE retomamos a afirmação de que:
El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas
e importantes consecuencias en desarrollo, desempeño y vida de las
personas. En efecto, el entorno social valora el conocimiento matemático
y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden superior. De esta
forma el aprendizaje de la la matemática influye en el concepto que
niños, jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades.
El proceso de aprender matemática, por lo tanto, interviene en la
capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la
sociedad. En consecuencia, la calidad, pertinencia y amplitud de ese
conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las
personas, y a nivel de la sociedad, afecta el potencial de desarrollo del
país (PE/CHILE, 2010 p. 20).
157
158
A fim de prosseguir com essas reflexões, pode-se observar que o
componente simbólico proposto por Bishop (1991), se caracteriza pelas seis
atividades de contar, localizar, medir, desenhar, jogos e explicar, revelando-se
presente na organização curricular tanto do Brasil como no Chile.
O componente social, no Chile, somente é identificado no artigo 3º da lei
20.370/2009, nos PE não é explicitado essa sugestão de trabalho pedagógico.
No Brasil, a recomendação, é o de proporcionar o ensino da Matemática
com enfoque em realização de projetos escolares;
Os projetos coletivos são particularmente apropriados para esse
propósito educacional, envolvendo turmas de alunos em projetos de
produção e de difusão do conhecimento, em torno de temas amplos,
como edificações e habitação ou veículos e transporte, ou ambiente,
saneamento e poluição, ou ainda produção, distribuição e uso social da
energia, temas geralmente interdisciplinares (BRASIL, 1999, p. 269).
O componente cultural que Bishop (1991) sugere, revela-se tanto nas
orientações curriculares dos Planos de Estudo, como no PCNEM com o caráter
de investigação na sala de aula. Essa investigação é permeada, como já
afirmamos no capítulo quatro, pela Resolução de Problemas como eixo
metodológico no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Nossas análises sobre orientações e objetivos propostos nos
documentos
curriculares
prescritos
de
Brasil
e
Chile
reforçam
nossas
considerações apontadas no capitulo quatro, de que os princípios básicos que
Bishop (1991) enfatiza serem importantes e que devem ser inseridos nos
currículos de Matemática, que são o princípio da representatividade, princípio do
poder explicativo, princípio do formalismo, e os da acessibilidade, estão presentes
no discurso referentes aos objetivos e orientações sobre o enfoque que a
Matemática precisa ter no processo de ensino e aprendizagem dos alunos.
Os argumentos que justificam as nossas conclusões sobre a presença
ou não desses princípios nos currículos de Matemática para o Ensino Médio e
Educação Média, respectivamente, de Brasil e Chile, são os mesmos que
discorremos no capítulo anterior e não queremos ser redundantes.
158
159
Ainda ratificamos o que já dissemos anteriormente sobre as dimensões
do currículo implícitas ou explicitas nos currículos de Matemática dos dois países
e que Rico (1997) denomina de Justificativa funcional, pois nos documentos
curriculares de Matemática do Brasil e Chile é constantemente enfatizada que o
ensino de Matemática é centrado na formação cidadã e preparação para a vida
produtiva dos alunos.
[…] e los propósitos formativos de la Educación Media en cuatro
ámbitos: Crecimiento y Autoafirmación Personal, Desarrollo del
Pensamiento, Formación Ética, Persona y Entorno; su realización, como
se dijo, es responsabilidad de la institución escolar y la experiencia de
aprendizaje y de vida que ésta ofrece en su conjunto a alumnos y
alumnas (PE/CHILE, 2010 p. 12).
Nos PCNEM encontramos:
A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a
estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também
desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve
para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas
as atividades humanas (BRASIL, 1999, p. 251).
5.4 Ênfase nas
especulações teóricas
aplicações
práticas
ou
nas
Nessa seção serão verificados qual ênfase são dadas aos documentos
curriculares, quanto às aplicações prática e/ou especulações teóricas. Os PCNEM
foram concebidos com a iniciativa formativa, apresentando como meta, a ajuda na
estrutura do pensamento e do raciocínio dedutivo, porém também desempenha
um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e
para muitas tarefas especificas em quase todas as atividades humanas:
Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como um
sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de
comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la.
Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria
na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na
compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da
Matemática especialmente ligadas às aplicações. Contudo, a Matemática
no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental,
mas também deve ser vista como ciência, com suas características
estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as
definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a
função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que
servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas
(BRASIL, 1999, p. 251).
159
160
No Chile esse caráter instrumental de preparação para a vida pelo
ensino da Matemática também está presente nos documentos curriculares:
El
pensamiento
matemático
comprende
cuatro
habilidades
interrelacionadas: resolver problemas como las más importantes, razonar
y comunicar, modelar y representar. Todas ellas tienen un rol importante
en el desarrollo de nuevas destrezas y conceptos y en la aplicación de
conocimientos para la resolución de los problemas propios de la
matemática (rutinarios y no rutinarios) y de otros ámbitos. Es
fundamental que el desarrollo de los ejes temáticos se organice de
manera que los alumnos puedan adquirir a través de un trabajo activo en
la sala de clases, en forma constructiva y por descubrimiento, las
habilidades propias del pensamiento matemático (BC/CHILE, 2011, p.
55).
A seguir é apresentada a análise quanto às frases que identificam os
componentes relacionados ao cotidiano, a natureza da Matemática, aos temas
transversais e especulações teóricas propostas para o Ensino Médio no Brasil.
Para a elaboração do quadro abaixo, observamos nos documentos analisados
quantas frases apresentavam o mesmo sentido, com isso, apontamo-nos na
frequência.
Para calcular a porcentagem utilizaremos: Porcentagem =
f i da linha
∑ fi
Quadro 9 – Análise de conteúdo – Orientações Curriculares do Brasil – Ensino Médio
Categorias
Cotidiano
Componentes
Vida real
Dia-a-dia
Fora da
escola
Algumas frases selecionadas
•
•
•
Utilitária
Natureza da
Matemática
•
•
•
compreender o conceito de
função associando-o a exemplos
da vida cotidiana;
usar formas geométricas planas
para representar ou visualizar
partes do mundo real;
descrever e representar dados
numéricos e informações de
natureza
social,
econômica,
política, cientifico-tecnológica ou
abstrata;
descrição de dados;
representações gráficas;
análise de dados;
Frequência
( fi )
%
8
44,4
4
22,2
0
0
Ferramenta
Temas
transversais
Especulações
Meio ambiente
Saúde
Pensamento
•
compreender
o
conhecimento
160
161
teóricas
matemático
•
Abstração
Própria
Matemática
Estético
•
•
•
cientifico e tecnológico;
identificar
regularidades
em
expressões matemáticas;
reconhecer e utilizar a linguagem
algébrica nas ciências;
regularidades para estabelecer
regras
e
propriedades
em
processos;
Identificar em diferentes áreas
científicas e outras atividades
práticas modelos e problemas
que fazem uso de;
6
33,4
∑ = 18
As análises permitem afirmar, que na lista dos conteúdos de
Matemática para o Ensino Médio no Brasil, a ênfase maior é referente às
aplicações práticas. Nesse sentido, apresentaremos as análises referentes aos
conteúdos propostos para a Educação Média no Chile.
Quadro 10 – Analice de contenido – Contenidos Mínimos Obligatorios del Chile – Primer a
Cuarto Año Medio – Programa de Estudio de Chile
Categorias
Cotidiano
Componentes
Vida real
Dia-a-dia
Fora da
escola
Algumas frases selecionadas
•
•
Natureza da
Matemática
Utilitária
•
Ferramenta
•
Temas
transversais
Especulações
teóricas
Meio ambiente
Saúde
Pensamento
matemático
•
•
Abstração
Própria
Matemática
Estético
•
Noción de variable. Análisis y
descripción de fenómenos y
situaciones que ilustren la idea
de variabilidad;
Lectura e interpretación de
información científica y
publicitaria>
Selección de diversas formas
de organizar, presentar y
sintetizar un conjunto de
datos;
Aplicaciones
de
las
transformaciones geométricas
en las artes;
Demostración de propiedades
asociadas a los conceptos;
Comentarios históricos acerca
de…;
Evolución del pensamiento
geométrico durante los siglos
XVI y XVII; aporte de René
Frequência
( fi )
%
2
18,0
2
18,0
0
0
7
64
161
162
Descartes al desarrollo de la
relación entre álgebra y
geometría>
∑ = 11
No Chile, como pode ser observado no quadro acima, identifica-se na
organização dos conteúdos para o ensino de Matemática na Educação Média,
que a ênfase está nas especulações teóricas.
5.5
Com relação à seleção de conteúdos
Os PCNEM enfatizam como critério essencial para a escolha do
conteúdo a ser ensinado o potencial de permitir conexões entre diferentes temas
matemáticos, entre temas matemáticos e de outras áreas do conhecimento e
entre temas matemáticos e temas transversais. O critério central é o da
contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema
permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas
de pensamento matemático, ou, ainda, a relevância cultural do tema, tanto no que
diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como à sua
importância histórica no desenvolvimento da própria ciência. (BRASIL, 1999, p.
254-255)
Tendo em vista que esses princípios se concretizem é importante
observar a relevância cientifica e cultural dos temas selecionados, privilegiando
“além das justificativas relativas às aplicações e à linguagem, sua importância em
seu potencial explicativo” (BRASIL, 2002, p. 119).
Silva (2009) analisou diferentes pressupostos atribuído ao Ensino Médio
em meio a diferentes perspectivas teóricas da Educação e da Educação
Matemática, com isso teceu criticas a organização curricular veiculadas nos
documentos que compõem os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio (PCNEM) e concluiu que ainda está presente o paradigma linear nos
currículos de Matemática e não o da ideia de rede e, ainda, enfatiza que existe
uma grande distância entre a apresentação e a articulação das áreas de pesquisa
e eixos norteadores da Matemática nessa etapa educacional.
162
163
Skovsmose (2001) ressalta a importância da justificação do ensino pela
aplicação, sabendo “por quem” ou “onde” é usado, manifestando-se assim a
distância crítica que defende o princípio de um currículo democrático.
Nessa perspectiva de um currículo democrático observarmos que os 4
Rs, a riqueza, a recursão, as relações e o rigor, que Doll (1997) propõe como
critérios imprescindíveis para a seleção e organização dos conteúdos para o
Ensino Médio no Brasil e Educação Média no Chile emergem nos documentos
curriculares dos dois países.
Os PCNEM+ demonstram a preocupação com a seleção de conteúdos
na organização curricular para o ensino da Matemática: “Um primeiro critério,
básico e geral, é que os conteúdos ou temas escolhidos devem permitir ao aluno
desenvolver competências avançando a partir do ponto em que se encontra”.
(BRASIL, 2002, p. 119)
Nessa preocupação, identificamos alguns critérios como à “riqueza”
proposta por Doll (1997) e a “responsabilidade” indicada por Silva (2009).
Ainda, os PCNEM+ manifesta outra preocupação que é:
Explorar conteúdos relativos aos temas números, álgebra, medidas,
geometria e noções de estatística e probabilidade envolve diferentes
formas do pensar em Matemática, diferentes contextos para as
aplicações, bem como a existência de razões históricas que deram
origem e importância a esses conhecimentos. Mas para evitar a
quantidade [...] (BRASIL, 2002, p. 119).
Nesse trecho entendemos que os critérios de “recursão” e “relações”
de Doll (1997) são evidenciados, pois a intencionalidade é de propor os
conteúdos de forma que se possa retomar à medida que os alunos
compreendam, sua relevância, os fatos históricos e a evolução desse
conhecimento.
No Chile o Programa de Matemática para a Educação Média contém
na sua apresentação os objetivos fundamentais, os conteúdos mínimos de cada
nível e as aprendizagens esperadas. As orientações didáticas, nesse documento,
destacam a importância do uso de situações contextualizadas, atividades
163
164
desafiadoras, o uso do erro no processo de ensino aprendizagem, motivar os
alunos, da descoberta dos padrões e regularidades, etc.
Nessa etapa educacional, no Chile, também é priorizado o eixo
metodológico, Resolução de Problema, com caráter de transversalidade, com isso
está proposto seu desenvolvimento ao longo da Educação Média.
Nas Bases Curriculares Consulta Pública do Ministério de Educacion
Del Chile e nos Planos de Estúdio do primer ao cuarto años da Educação Média,
identificamos, em relação a seleção de conteúdos, os critérios como “riqueza”, a
“reflexão’, a “realidade” e a “responsabilidade”.
Nas Bases Curriculares de Consulta Pública do Ministerio de Educacion
Del Chile extraímos o trecho:
Para desarrollar los conceptos y habilidades básicas en Matemática, es
necesario que el alumno descubra los conceptos trabajando en ámbitos
numéricos pequeño, y siempre con material concreto. De esta manera se
logrará una base sólida tanto en los conceptos de número y su
operatoria como en geometría, álgebra, medición y datos. Es por esto
que se ha considerado de gran importancia el proveer a los profesores
de una estructura curricular con una secuencia y una progresión clara,
para así dar continuidad al desarrollo de los conocimientos, y
asegurando a lo s estudiantes un tránsito exitoso y sólido hacia el logro
de los aprendizajes (p. 54).
Nesse trecho, também são desvelados os critérios de “recursão” e
“relações” como um dos nortes para a concepção do currículo de Matemática no
Chile.
Entendemos que, embora no Brasil o Ensino Médio seja de três anos e
no Chile de quatro anos, existe um equilíbrio, ao analisarmos comparativamente
os conteúdos de Matemática prescritos nos dois paises, entre as escolhas dos
temas e conceitos para serem desenvolvidos ao longo dessa etapa escolar.
A revermos as orientações quanto a seleção dos conteúdos a serem
ensinados no Ensino Médio e Educação Média de Brasil e Chile, respectivamente,
visualizamos o enfoque dado a preparação do aluno para uma sociedade
produtiva
possibilitando
aos
mesmos
situações-problema
que
inicia-se
privilegiando o entorno dos alunos e transcendendo para outras áreas de
conhecimento.
164
165
Bruner (1960), entende que essa “possibilidade de compreensão dos
problemas dentro e fora da Matemática permeia a possibilidade de discussão dos
problemas do cotidiano transcendendo para problemas globais respeitando os
níveis de aprendizagem dos alunos”.
Quanto ao critério de “ressignificação” mencionado por Silva (2009),
que remete ao uso da História da Matemática em sala de aula, no Chile, não
identificamos orientações à respeito desse recurso de maneira explicita. Já no
Brasil é mencionada sua utilização timidamente nas orientações didática –
metodológicas.
Quanto ao “rigor” proposto por Doll (1997), está fortemente presente
nos dois países. Esse critério tem haver com os procedimentos, as avaliações, os
resultados dessas avaliações e principalmente com as interpretações dos
resultados. Mencionamos no capitulo três, que diversos instrumentos são
utilizados como forma de avaliar o processo de ensino e aprendizagem nos dois
países evidenciando-se assim, a presença na elaboração e consecução do
currículo de Matemática desse critério.
5.6 Com relação a orientações metodológicas e
didáticas
Essa seção apresenta as análises pesquisadas, as quais se designam
como comparativas sobre as orientações metodológicas e didáticas presentes nos
documentos prescritos do Brasil e Chile. Dada a essas premissas, almeja-se a
compreensão, se de fato a Educação Matemática de alguma forma tem
contribuído para a confecção dos documentos curriculares nos dois países.
Na análise dessa categoria observa-se que são fortes as influências da
Educação Matemática no contexto da concepção e construção dos currículos da
disciplina prescritos de Brasil e Chile.
165
166
Basta relembrar quais são os diferentes campos de investigações, que
podem contribuir na construção de um currículo de Matemática. Segundo Pires
(2002), são eles:
•
os que fazem referência ao pensamento do professor e à influência
de seu marco conceitual sobre suas maneira de agir;
•
os que fazem referência aos alunos, que buscam compreender as
idéias dos alunos, as dificuldades que têm na aprendizagem, a
influência do meio social, cultural e afetivo sobre a aprendizagem, o
papel da motivação e dos interesses dos alunos, das atitudes e das
aptidões, das interações entre estudantes e entre professores e
estudantes;
•
os que fazem referência às propostas curriculares, e também às
tendências educacionais que interferem nessas propostas (como
ênfase nos recursos de ensino, foco nas teorias sobre a
aprendizagem, resolução de problemas, etc).
•
os que fazem referência ao marco em que se desenvolve o ensino
(contexto), como é a escola, a aula, a oficina, o laboratório, as
interrelações aluno-aluno, professor-aluno, professor-classe.
•
os que se referem a multiculturalismo e questões relacionadas, como
a Etnomatemática e os problemas relativos a questões de gênero e
de discriminação.
•
os que investigam a História da Matemática e de seu ensino como
elemento motivador e como caminho para esclarecer a origem das
idéias matemáticas.
5.6.1 Resolução de Problemas
Toda a trajetória desse trabalho está focada na explicitação das
possíveis semelhanças e ou diferenças presentes nos documentos curriculares de
Matemática prescritos e vigentes nos dois países pesquisados. Nesse sentido, tal
como discutido anteriormente, uma tendência presente nos dois países é a de
privilegiar o tratamento de situações-problemas para atingir as finalidades
estabelecidas de promoção de competências, habilidades e o conhecimento de
Matemática.
No PCNEM é enfatizado que “a resolução de problemas é a
perspectiva metodológica escolhida nesta proposta e deve ser entendida como a
postura de investigação frente a qualquer situação ou fato que possa ser
questionado” (BRASIL, 2002, p. 129).
Concebendo
as
sequências
de
atividades
matemáticas
nessa
perspectiva metodológica, possivelmente esteja oportunizando momentos para
166
167
que os alunos envolvam-se para a busca de solução, as suas argumentações,
hipóteses diversas e seus ritmos de aprendizagens, etc.
Os currículos de Matemática chileno, do primeiro ao oitavo ano e da
Educação Média, estão estruturados no eixo metodológico “resolução de
problemas”:
La resolución de problemas debe ser el foco de toda la enseñanza de la
Matemática, ya que da un sentido al aprendizaje de esta disciplina,
permitiéndole al estudiante aplicar y hacer conexiones con sus
experiencias cotidianas. La comprensión de todos los conceptos y
habilidades que debe aprender un estudiante en estas edades; como el
significado de los números, la operatoria básica, la geometría y la
medición, se ven maximizados desde la comprensión cuando se
enseñan desde ele foco de la resolución de problemas (Bases
Curriculares/ Consulta Pública, Educación Básica, 2011).
Nos Programas de Estudo (2001), para Educação Matemática e para a
Educação Média do Chile, destacamos um trecho das orientações que ressalta a
importância da resolução de problemas nas atividades matemáticas:
Las actividades explicitan acciones y procesos que importa e interesa
que vivan los alumnos y las alumnas para el logro de los aprendizajes
esperados. No existe una correspondencia biunívoca entre los
aprendizajes esperados y las actividades; una actividad puede estar al
servicio de varios aprendizajes esperados; además, la dinámica que se
dé en el desarrollo de la clase puede favorecer más a unos que a otros.
Para la realización de cada actividad se sugieren ejemplos que pueden
ser implementados tal cual se propone en el programa, adaptados a la
realidad escolar o sustituidos por otros que se consideren más
pertinentes. Al hacer estas adecuaciones locales hay que procurar el
desarrollo de las habilidades de pensamiento que el programa promueve
(p. 10).
Os dois países preocupam-se em atender as recomendações do NCTM
(1980), pelo menos nos documentos oficiais, em relação ao tratamento das
atividades matemáticas.
167
168
5.6.2 Conceitos da Educação Matemática
Nessa seção buscaremos explicitar de que forma está proposto nos
currículos prescritos de Matemática do Ensino Médio no Brasil e da Educação
Média no Chile, como ensinar e aprender matemática no ambiente escolar nessa
etapa educacional.
5.6.2.1
Perspectivas de Matemática
Fey (2004), questiona “se a matemática escolar deve ser concebida
com um olho na formação acadêmica ou nas considerações das diferentes formas
que as pessoas usam matemática na diária e do trabalho”.
As análises dos currículos prescritos de Matemática do Brasil e Chile
revelam que a Matemática que deve ser ensinada no ambiente escolar é aquela
da elementarização, ou seja, voltada para a formação cidadã.
Nos Parâmetros Curriculares Nacional para o Ensino Médio no Brasil é
evidenciado que:
[...] cabe à Matemática do Ensino Médio apresentar ao aluno o
conhecimento de novas informações e instrumentos necessários para que
seja possível a ele continuar aprendendo. Saber aprender é a condição
básica para prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida. Sem dúvida,
cabe a todas as áreas do Ensino Médio auxiliar no desenvolvimento da
autonomia e da capacidade de pesquisa, para que cada aluno possa
confiar em seu próprio conhecimento (BRASIL, 1999, p. 252).
Ainda acena que:
O currículo do Ensino Médio deve garantir também espaço para que os
alunos possam estender e aprofundar seus conhecimentos sobre números
e álgebra, mas não isoladamente de outros conceitos, nem em separado
dos problemas e da perspectiva sócio-histórica que está na origem desses
temas. Estes conteúdos estão diretamente relacionados ao
desenvolvimento de habilidades que dizem respeito à resolução de
problemas, à apropriação da linguagem simbólica, à validação de
argumentos, à descrição de modelos e à capacidade de utilizar a
Matemática na interpretação e intervenção no real (BRASIL, 1999, p.
257).
168
169
No Chile também, o enfoque que é dado a Educação Média é a da
formação para o exercício da cidadania:
La Educación Media es el nivel educacional que atiende a la población
escolar que haya finalizado el nivel de educación básica y tiene por
finalidad procurar que cada alumno expanda y profundice su formación
general y desarrolle los conocimientos, habilidades y actitudes que le
permitan ejercer una ciudadanía activa (CHILE, Artículo 20).
Retomamos as considerações veiculadas nos Programas de Estudo que
assegura:
El aprendizaje de la Matemática ayuda en la comprensión de la realidad
y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana.
Entre estas herramientas se encuentra el cálculo, el análisis de la
información proveniente de diversas fuentes, la capacidad de generalizar
situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados y la
selección de estrategias para resolver problemas. Todo esto contribuye
al desarrollo de un pensamiento lógico, ordenado, crítico y autónomo y al
desarrollo de actitudes tales como la precisión, rigurosidad,
perseverancia y confianza en sí mismo, las cuales se valoran no sólo en
la Ciencia y la Tecnología sino también en todos los aspectos de la vida
cotidiana (PE/CHILE, p. 20).
Nos documentos brasileiros e chilenos encontramos o discurso de que o
ensino da Matemática deve ser proposto não somente com vistas a formação
cidadã, mas, também pelo valor cientifico desse saber cientifico:
Contudo, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter
formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com
suas características estruturais específicas. É importante que o aluno
perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais
e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir
de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas
aplicadas (BRASIL, 1999, p. 252).
Continua:
Nessa etapa da escolaridade, portanto, a Matemática vai além de seu
caráter instrumental, colocando-se como ciência com características
próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador
importante junto às demais Ciências da Natureza. Enquanto ciência, sua
dimensão histórica e sua estreita relação com a sociedade e a cultura
em diferentes épocas ampliam e aprofundam o espaço de
conhecimentos não só nesta disciplina, mas nas suas inter-relações com
outras áreas do saber (BRASIL, 2002, p. 111).
Nos documentos chilenos também é ressaltado essas orientações:
169
170
[…] 2) En el ámbito del conocimiento y la cultura:
a) Conocer diversas
formas de responder a las preguntas sobre el sentido de la existencia, la
naturaleza de la realidad y del conocimiento humano.
b) Pensar en
forma libre y reflexiva, siendo capaces de evaluar críticamente la propia
actividad y de conocer y organizar la experiencia.
c) Analizar procesos
y fenómenos complejos, reconociendo su multidimensionalidad y
multicausalidad.
d) Expresarse en lengua castellana en forma clara y
eficaz, de modo oral y escrito; leer comprensiva y críticamente diversos
textos de diferente nivel de complejidad, que representen lo mejor de la
cultura, y tomar conciencia del poder del lenguaje para construir
significados e interactuar con otros.
e) Usar tecnología de la
información en forma reflexiva y eficaz, para obtenerla, procesarla y
comunicarla.
f) Comprender el lenguaje oral y escrito de uno o más
idiomas extranjeros, y expresarse en forma adecuada.
g) Comprender y
aplicar conceptos, procedimientos y formas de razonamiento matemático
para resolver problemas numéricos, geométricos, algebraicos y
estadísticos, y para modelar situaciones y fenómenos reales, formular
inferencias y tomar decisiones fundadas.
h) Comprender y aplicar
conceptos, teorías y formas de razonamiento científico, y utilizar
evidencias empíricas, en el análisis y comprensión de fenómenos
relacionados con ciencia y tecnología.
i) Conocer la importancia de la
problemática ambiental global y desarrollar actitudes favorables a la
conservación del entorno natural.
j) Comprender y valorar la historia y
la geografía de Chile, su institucionalidad democrática y los valores cívicos
que la fundamentan.
k) Conocer los principales hitos y procesos de la
historia de la humanidad y en especial aquellos aspectos de carácter
político, culturales y religiosos de relevancia para la sociedad chilena y
tener conciencia de ser parte de un mundo globalizado.
l) Tener un
sentido estético informado y expresarlo utilizando recursos artísticos de
acuerdo a sus intereses y aptitudes (CHILE, art. 30).
Essas ponderações sobre qual Matemática a ser ensinada nesse
segmento educacional são manifestadas timidamente. A ênfase que dada é a de
preparação de pessoas produtivas para se inserirem no mercado de trabalho em
ambos os países.
As análises dos documentos curriculares para a etapa final da
Educação Média nos dois países, reforçam as conclusões já mencionadas nas
análises do Ensino Fundamental e Básica, de que o princípio do construtivismo
está presente nas orientações didáticas e metodológicas de Brasil e Chile.
Sabemos que o Brasil sofreu influências do Movimento da Matemática
Moderna (MMM) e que estas tiveram impactos no Ensino Médio também. Ao se
promulgar a LDB 4024/61, o cenário escolar era dominado pelo ensino tradicional,
ainda que esforços de renovação estivessem em processo. As propostas para o
ensino de ciências debatidas para a confecção daquela lei orientavam-se pela
necessidade de o currículo responder ao avanço do conhecimento científico e às
novas concepções educacionais, deslocando o eixo da questão pedagógica, dos
170
171
aspectos
puramente
lógicos
para
aspectos
psicológicos,
valorizando
a
participação ativa do aluno no processo de aprendizagem (BRASIL, 1999, p. 261).
Posteriormente o Brasil buscou novos rumos para o ensino da
Matemática, uma vez que havia no mundo ocidental uma aceleração do modelo
industrial e tecnológico. Os impactos sobre os custos sociais e ambientais
começaram a surgir nos currículos escolares e pela LDB 5692/71 legitimava a
formação de profissionais em nível técnico formado pelo “Ensino Médio” que não
teve sucesso.
Nesse período, diferentes correntes denominadas “construtivistas” cujo
pressuposto básico “é tomar a aprendizagem como resultado da construção do
conhecimento pelo aluno, processo em que se respeitam às idéias dos alunos
prévias ao processo de aprendizagem” (BRASIL, 1999, p. 262), surgiram e
influenciou as novas propostas curriculares de Matemática.
De acordo com os PCNEM a nova LDB/96, assim como seu
detalhamento e encaminhamento pela Resolução CNE/98, apontam para uma
revisão e uma atualização na direção correta. Vários dos artigos daquela
Resolução
são
dedicados
a
orientar
o
aprendizado
para
uma
maior
contextualização, uma efetiva interdisciplinaridade e uma formação humana mais
ampla, não só técnica, já recomendando uma maior relação entre teoria e prática
no próprio processo de aprendizado.
Esse documento enfatiza que entre os maiores desafios para a
atualização pretendida no aprendizado de Matemática, no Ensino Médio, está a
formação adequada de professores, a elaboração de materiais instrucionais
apropriados e até mesmo a modificação do posicionamento e da estrutura da
própria escola, relativamente ao aprendizado individual e coletivo e a sua
avaliação.
O currículo oficial do Brasil contempla as idéias veiculas pelos
construtivistas ressaltando:
[...] podemos destacar que ter iniciativa na busca de informações,
demonstrar responsabilidade, ter confiança em suas formas de pensar,
fundamentar suas idéias e argumentações são essenciais para que o
aluno possa aprender, se comunicar, perceber o valor da Matemática
como bem cultural de leitura e interpretação da realidade e possa estar
171
172
melhor preparado para sua inserção no mundo do conhecimento e do
trabalho (BRASIL,1999, p. 258).
No Chile emanam também essas reflexões sobre o aprendizado em
Matemática dos alunos e os princípios construtivistas estão presentes de forma
implícita nos textos curriculares:
Las habilidades, conocimientos y actitudes no se adquieren
espontáneamente a través del estudio de las disciplinas. Requieren ser
promovidas de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que
articulan el trabajo de los docentes (PE, 2001, MINEDUC, p. 5).
O trabalho no Ensino Médio no Brasil é orientado que se desenvolva
por meio de projetos e em grupos:
Um importante recurso para o desenvolvimento das competências é o
trabalho em grupo. Apesar de rejeitado por muitos, sob alegação de que
os alunos fazem muito barulho e não sabem trabalhar coletivamente,
essa modalidade de trabalho é valiosa para várias das competências que
se deseja desenvolver (BRASIL, 2002, p. 129).
Os PCNEM+ sinalizam que esses trabalhos devem ser desenvolvidos
em forma de projetos e nesse sentido o professor tem um papel importante que é
o de:
[...] propor aos alunos o que deseja e buscar com eles, numa primeira
negociação, seu engajamento na tarefa, questionando o que significa
descrever o perfil dos alunos da classe e sua importância, não só para
que seus professores os conheçam e possam aproximar seus planos de
trabalho das suas histórias, expectativas e interesses, como para que
eles próprios também se conheçam mais, ampliando seus espaços de
interação e trocas (BRASIL, 2002, p. 130).
Essa postura esperada do professor em sala de aula configura a noção
de Contrato Didático proposta por Brosseau (2000) .
A lei geral de Educação Chilena 20370/2009 é o documento que define
a educação de modo geral desde a parvulária a média, por isso, recorremos ao
que é explicitado como os deveres do professor como mediador da aprendizagem
dos alunos:
[…]son deberes de los profesionales de la educación ejercer la función
docente en forma idónea y responsable; orientar vocacionalmente a sus
alumnos cuando corresponda; actualizar sus conocimientos y evaluarse
periódicamente; investigar, exponery enseñar los contenidos curriculares
172
173
correspondientes a cada nivel educativo establecidos por las bases
curriculares y los planes y programas de estudio; respetar tanto las
normas del establecimiento en que se desempeñan como los derechos de
los alumnos y alumnas, y tener un trato respetuoso y sin discriminación
arbitraria con los estudiantes y demás miembros de la comunidad
educativa (Articulo 10º).
O recurso ao uso das tecnologias:
El desarrollo de las capacidades para utilizar las tecnologías de la
información y comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita
como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del marco
curricular. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se
promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de los
sectores de aprendizaje. Para esto se debe procurar que la labor de los
estudiantes incluya el uso de las TICs para:
- buscar, acceder y recolectar información en páginas web y otras fuentes;
y seleccionar esta información examinando críticamente su relevancia y
calidad
- procesar y organizar datos utilizando plantillas de cálculo, y manipular la
información sistematizada en éstas para identificar tendencias,
regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector
- desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de
texto, plantillas de
presentación (Power Point), así como herramientas y aplicaciones de
imagen, audio y video
- intercambiar información a través de las herramientas que ofrece
Internet como el correo
electrónico, Chat, espacios interactivos en sitios web, o comunidades
virtuales
- respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el
cuidado personal y el respeto por el otro al utilizar estas herramientas,
señalar las fuentes de donde se obtiene la información, y respetar las
normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales (PE/CHILE, 2010,
p.12).
Nos PCNEM é enfatizado que:
O impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo vai exigir competências
que vão além do simples lidar com as máquinas. A velocidade do
surgimento e renovação de saberes e de formas de fazer em todas as
atividades humanas tornarão rapidamente ultrapassadas a maior parte das
competências adquiridas por uma pessoa ao início de sua vida
profissional. O trabalho ganha então uma nova exigência, que é a de
aprender continuamente em um processo não mais solitário. O indivíduo,
imerso em um mar de informações, se liga a outras pessoas, que, juntas,
complementar-se-ão em um exercício coletivo de memória, imaginação,
173
174
percepção, raciocínios e competências para a produção e transmissão de
conhecimentos. Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais
relevante é hoje o computador, exigirá do ensino de Matemática um
redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o
desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo
possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em
constante movimento. (BRASIL, 1999, p. 252).
Nos PCNEM e PCNEM+ o texto proposto permite ao leitor reflexões
sobre o que é importante no processo de ensino aprendizagem, não faz menção
explicita as noções de didática da Matemática, no entanto tece considerações
sobre a importância de se trabalhar em grupo e em projetos, destaca a
importância da resolução de problemas como eixo metodológico. Discute algumas
deficiências que se perpetuam no ensino tais como formação de professores,
elaboração de materiais adequados, etc.
5.7 Com relação a indicações sobre o processo de
avaliação da aprendizagem
Nesse item vamos analisar como são as orientações de avaliação do
desempenho dos alunos em Matemática no Ensino Médio e Educação Média de
Brasil e Chile, respectivamente, frente avaliações oficiais externas.
A Lei de Diretrizes e Bases Nacional – LDB 9394/96 manteve um currículo
caracterizado por uma base nacional comum e uma parte diversificada que
permite de acordo com a Lei 5472/1971:
Art. 26. Os currículos do ensino fundamental e médio devem ter uma
base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de
ensino e estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida
pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da
economia e da clientela.
§ 1o Os currículos a que se refere o caput devem abranger,
obrigatoriamente, o estudo da língua portuguesa e da matemática, o
conhecimento do mundo físico e natural e da realidade social e política,
especialmente do Brasil. (p. 23)
Art. 36. O currículo do ensino médio observará o disposto na Seção I
deste Capítulo e as seguintes diretrizes:
174
175
I – destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do
significado da ciência, das letras e das artes; o processo histórico de
transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como
instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício;
da cidadania;
II – adotará metodologias de ensino e de avaliações que estimulem a
iniciativa dos estudantes;
(...)
§ 1o Os conteúdos, as metodologias e as formas de avaliações serão
organizados de tal forma que ao final do ensino médio o educando
demonstre:
I – domínio dos princípios científicos e tecnológicos que presidem a
produção moderna;
II – conhecimento das formas contemporâneas de linguagem (LDB,
1996, p. 29-30)
As preocupações com o desempenho escolar, em face de uma
aprendizagem significativa em Matemática, fomentaram os Ministérios de
Educação dos dois países a conceberem alguns instrumentos de avaliação oficial,
com a finalidade de que, após as análises dos resultados, orientem os novos
rumos à serem seguidos para alcançar as metas educacionais para essa etapa
final da Educação Básica nos dois países.
Tais preocupações se justificam pelo que Cerqueira (2003), apurou em
documentos da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, divulgado em
1997, indicando que nas séries iniciais do ensino fundamental os alunos revelam
um desempenho mais razoável na aplicação de conhecimentos matemáticos 50% segundo resultados do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do
Estado de São Paulo (SARESP), mas nas séries finais o desempenho cai para
cerca de 30% e ao final do Ensino Médio cai mais ainda para cerca de 27%.
No ano de 1997, os alunos concluintes da terceira série do Ensino
Médio da rede estadual do Estado de São Paulo participaram de uma avaliação
promovida pelo INEP/MEC. Os dados do desempenho escolar em Matemática
foram analisados por uma equipe de técnicos da Secretaria de Estado de
Educação de São Paulo e esta análise deu origem a um documento publicado em
1998.
175
176
Os itens da prova de Matemática abordaram os seguintes conteúdos:
Geometria, Geometria Analítica, Trigonometria, Sistema Cartesiano, Função,
Equação Modular, Logaritmo, Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares,
Análise Combinatória, Estatística, Números Complexos e Polinômios, ou seja
conteúdos básicos apontados como essenciais por professores que lecionam no
Ensino Médio em conversas informais.
O índice médio de acertos, de acordo com Cerqueira (2003), dos alunos
foi de 27%. Esse desempenho dos alunos foi considerado insatisfatório, se
levarmos em conta, principalmente, os dez anos de escolaridade, que no mínimo
os estudantes já frequentaram.
Possivelmente, o desempenho ruim dos alunos no Ensino Médio seja
uma das justificativa da tomada de decisão por parte do Ministério da Educação
de ter criado o Exame Nacional para o Ensino Médio – ENEM em 1998, para
avaliar conhecimentos obtidos até o término do Ensino Médio.
Atualmente o ENEM67 é usado como forma de seleção unificada nos
processos seletivos das universidades públicas federais e privado.
A nova proposta tem como principais objetivos democratizar as
oportunidades de acesso às vagas federais de ensino superior, possibilitar a
mobilidade acadêmica e induzir a reestruturação dos currículos do ensino médio.
As universidades possuem autonomia e poderão optar entre quatro
possibilidades de utilização do novo exame como processo seletivo:
•
Como fase única, com o sistema de seleção unificada, informatizado
e on-line;
•
Como primeira fase;
•
Combinado com o vestibular da instituição;
•
Como fase única para as vagas remanescentes do vestibular.
Além dessa possibilidade proposta pelo MEC do Brasil o Exame
Nacional para o Ensino Médio tem sido usado de forma publicitária como
67
Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=310&id=13318&option=com_content&view=article
176
177
rankiamento por muitas escolas e algumas revistas educacionais, sem a
preocupação de analisar os avanços pessoais dos alunos e das instituições
escolares.
Em muitos casos pode se tornar um instrumento que servirá a
propósitos distantes dos preconizados pelos Ministérios Educacionais.
No Chile, diferente do Brasil, a avaliação é parte constitutiva do
processo de ensino e aprendizagem em Matemática. As avaliações são propostas
regularmente dentro do ano letivo. Retomamos a citação já mencionada no quarto
capitulo onde é enfatizado que:
La evaluación es un proceso que forma parte constitutiva del proceso de
enseñanza.
No sólo debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los
estudiantes, sino que cumple un rol central en la promoción y desarrollo
del aprendizaje. Para que la evaluación efectivamente cumpla con esta
función debe tener como objetivos.
•
Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los
aprendizajes.
•
Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades
de los
•
estudiantes, y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar
los logros esperados dentro del sector.
Ser una herramienta útil para la planificación (Programa de Estudio,
MINEDUC, p. 17).
Como
instrumentos
mencionado
para
anteriormente,
as
realização
dos
avaliar a
provas
do
objetivos
SIMCE
são
fundamentais
e conteúdos mínimos obrigatórios (OF-CMO).
Diversos instrumentos avaliativos compõem
as análises do SIMCE
para a Educação Média, são elas:
•
Pruebas nacionales SIMCE Evalúa Lenguaje, Matemática y Ciencias
(Naturales y Sociales) en alumnos y alumnas de 2° M edio. El
subsector de Inglés es evaluado en 3° Medio.
•
CÍVICA Civic Education Study. Evalúa educación cívica en alumnos
y alumnas de 4° Medio.
177
178
•
PISA Programme for International Student Assessment. Evalúa
Lenguaje, Matemática y Ciencias en alumnos y alumnas de 15 años
(2° Medio principalmente).
Os resultados apresentados nos relatórios referentes aos resultados
das avaliações no Ensino Médio no Brasil e Chile têm motivado reflexões e a
busca de alternativas para a elaboração e consecução de planos curriculares para
o ensino de Matemática que atendam as necessidades dos alunos e que
garantam o ensino e aprendizagem da Matemática nos dois países.
178
179
CAPÍTULO 6
IMPRESSÕES SOBRE OS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA –
DEPOIMENTOS DE ALGUNS ATORES
6.1
Introdução
O capítulo objetiva uma tomada de realizações analíticas referentes às
entrevistas realizadas no Brasil e Chile, dadas por gestores que conceberam e/ou
acompanham a execução dos currículos nas escolas. Na exposição, não poderia
faltar os professores que, em tese, têm o papel de desempenhar o que está
preconizado nos documentos curriculares para o ensino da Matemática.
6.2
Perfil dos elaboradores de currículos
O entrevistado brasileiro, professor Ruy César Pietropaolo, participou
da equipe de elaboração do PCN de Matemática para o Ensino Fundamental II.
Na época era mestre em Educação e atualmente é Doutor em Educação
Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Atua como
pesquisador e formador de professores. É co-autor de livros didáticos para o
ensino Fundamental II.
Nosso entrevistado no Chile, o professor Fidel Oteiza, é Mestre em
Educação Matemática e Doutor em Currículo e Instrução pela Universidade do
Estado da Pensilvânia, EUA. Atualmente é professor titular do Departamento de
Matemática e Ciências da Computação da Faculdade de Ciências da
Universidade de Santiago, no Chile e Co-autor de livros didáticos.
Foi fundador e primeiro presidente da Sociedade Chilena de Educação
Matemática - SOCHIEM. Também ocupa as presidências da Associação Chilena
de Informática e Computação na Educação (ACHICE), do Comitê Interamericano
de Educação Matemática (1995/99), além de ser membro da National Council of
179
180
Teachers of Mathematics (NCTM-EUA). Teve ativa participação no governo
chileno na reorganização de currículos para o ensino da Matemática.
A apresentação analítica das entrevistas objetiva desvelar o que há de
positivo, ou não na constituição dos currículos nas especificidades propostas por
Sacristán (2000):
•
Os Currículos prescritos;
•
Os Currículos apresentados aos professores;
•
Os Currículos moldados pelos professores;
•
Os Currículos em ação;
•
Os Currículos realizados;
•
Os Currículos avaliados
6.3 Com relação ao processo de construção dos
currículos e sua obrigatoriedade ou não
Nessa seção iniciaremos nossas análises das entrevistas concedidas
por duas pessoas, uma em cada país, que participaram ativamente na construção
e elaboração dos documentos curriculares prescritos de Matemática.
6.3.3 Na voz dos elaboradores dos currículos
O professor Dr. Ruy Cesar Pietropaolo, fora questionado se para ele, o
Brasil detinha um currículo oficial de Matemática. Como resposta declarou:
Sim e não, na verdade nos estados, sabemos que as únicas referências
curriculares são os PCN ainda, e as escolas fazem uma interpretação
desses currículos. As secretarias de educação sejam municipal ou
estadual fazem interpretação e têm esses currículos vamos dizer assim.
Outros estados já há uma interpretação dos currículos locais, quer dizer,
a própria secretaria investiu na elaboração dos currículos, mais
especifico obedecendo as grandes diretrizes dos PCN mas fizeram um
currículo mais especifico e outros estados não. Agora, eu penso, que,
na verdade o grande currículo, o currículo nacional de matemática e, são
os livros didáticos. Parece-me que os livros didáticos, eles acabam
fazendo o papel desses currículos dentro das escolas. Na verdade,
apesar de ter esses currículos aqui e ali os livros didáticos que são
verdadeiramente no Brasil inteiro, são vendidos em São Paulo, são
vendidos no Amazonas em outros lugares... outro fator que a escola
segue, na hora de elaborar o plano de aula o professor vai olhar para o
180
181
livro didático, entendeu? Então, por um outro lado o currículo tenta
implementar, tenta fazer suas ações seja de formação contínua tentando
seguir o currículo por outro lado o professor na sala de aula , só sua, lá
no âmbito dele, na sua sala tentando fazer sua aula com sua turma ele
se baseia fundamentalmente no livro didático. Lógico que ele tenta uma
vez ou outra alguma inovação aqui e ali e mesmo porque algumas
dessas inovações que o currículo traz são encontradas no livro didático
também que eles incorporam.
Uma vez obtida a resposta do Dr. Ruy, podemos tornar evidente a
concepção processual que Sacristán (2000) entende como currículo, ou seja, que
é um objeto que se constrói, e que sua implantação, concretização e expressão
de determinadas práticas pedagógicas nos “leva a ver seu significado e
importância real como o resultado das diversas operações” (SACRISTÁN, 2000,
p. 101). Na fala do entrevistado entendemos que a implantação do currículo de
Matemática fica delegada ao professor, na sala de aula, e ele deposita toda sua
crença no livro didático para a concretização por falta de um currículo oficial
prescrito.
Tampouco, observamos também na fala do entrevistado dois níveis de
importância na concepção da objetivação do significado do currículo por Sacristán
(2000), ou seja, o currículo prescrito e o currículo apresentado aos professores.
Qual é o currículo prescrito de Matemática? São os PCN? E qual currículo é
apresentado para os professores? É o livro didático? Tais questionamentos
suscitam preocupações uma vez que o governo brasileiro não se definiu quanto
ao currículo de Matemática prescrito, a fim de sanar essas dúvidas.
Perguntado ao entrevistado, como ocorreu o convite para participar da
elaboração dos PCN e se houve alguma influência da Educação Matemática para
as reflexões e construção desses parâmetros, ele respondeu:
Participei da elaboração da Proposta Curricular do Estado de São Paulo
nos anos 80 juntamente com outras pessoas que inclusive mantínhamos
contato muitas vezes por meio de reuniões ou no trabalho em instituições
de nível superior e acredito que o MEC ao analisar as propostas de todos
os estados entendeu que a de São Paulo estava adequada para as
pretensões deles uma vez que a proposta de São Paulo trazia os
pressupostos da Educação Matemática e acredito que o convite para
participar da elaboração foi natural uma vez que as pessoas convidadas
estavam a frente da elaboração de documentos curriculares para o estado
de São Paulo nos anos 80 e entendo que houve sim grande influencia da
Educação Matemática na preparação dos PCN..
181
182
Prosseguindo a entrevista, Dr. Ry foi indagado sobre seu crédulo no
que tange a possibilidade de influência dos PCN no livro didático e nas propostas
municipais e estaduais. Assim, respondeu:
Eu acho que sim [...] No Ensino Fundamental, o PCN, é mais
compreensível, ele tem uma linguagem mais direta, diversas
interlocuções, ele explicita as capacidades e habilidades, ele fala dos
conteúdos e dá várias indicações interessantes; Já os PCNEM ele foram
tão vagos que vem sendo modificados ao longo dos anos [...] por isso,
acredito que influencia de formas diferentes no ensino Fundamental e
Médio, nos livros didáticos.
[...] qualquer autor de livro didático não olha para o Ensino Fundamental
e o Ensino Médio da mesma forma, pois para o Ensino Médio são vários
documentos que em alguns casos, apresentam alguma contradição.
Quanto às secretarias não tem no Ensino Médio um documento para
basearem-se [...] qual é o documento PCNEM, PCNEM+, diretrizes,
etc..? Eu sei que o Ensino Médio é complicado[...] no próprio Ensino
Médio o professor não sabe a qual documento recorrer enquanto no
Ensino Fundamental está claro, ele tem uma interlocução mais fácil com
o professor direto com a secretaria de Educação[...]
Essa resposta pode levar ao entendimento de que é reforçada a idéia
sobre o currículo apresentado ao professor e que é cabível considerarmos o
currículo moldado, os quais Sacristán (2000) menciona e caracteriza no primeiro
capítulo dessa pesquisa.
Sacristán (2000) afirma que existem diferentes meios para a
transposição do significado e dos conteúdos do currículo prescrito, até que o
professor tenha contato e assim possa interpretá-los. O autor ainda ratifica, que
como as descrições prescritas costumam ser muito genéricas, o livro didático,
desempenha um papel importante nesse cenário.
Na
resposta
dada
pelo
professor,
é
possível
explicitarmos
preocupações sobre os documentos curriculares brasileiros, os quais nos servem
de apoio para essa pesquisa. Fato é, que para o Ensino Fundamental está
basicamente definido, uma vez que sofreram poucas modificações. Contudo, os
documentos curriculares referentes ao Ensino Médio vêm sofrendo diversas
intervenções e modificações68 caracterizando-se assim, um documento que ainda
não está alicerçado.
68
Leis que alteraram a LDB, no que se relaciona direta ou indiretamente com o Ensino Médio, e
cujas alterações estão em vigor atualmente:
182
183
De forma semelhante, no que concerne os questionamentos anteriores,
coube ao professor Oteiza a seguinte pergunta: “Para o senhor o Chile tem um
currículo oficial de Matemática?” Traduzida, a resposta foi a seguinte:
Sim, o Chile está em constante movimento de reflexão e retomada de
direcionamento da Educação obrigatória. Antes era de oito a educação
primária e quatro anos para a educação secundária, agora, será de seis
anos para a educação básica e seis anos para Educação Média. Essa
política de seis e seis anos é uma tentativa de consolidar na etapa final
os conhecimentos aprendidos na primeira etapa.
Até pouco tempo o currículo era organizado em quatro eixos agora são
cinco. Os conteúdos são aqueles que contribuem com a formação do
aluno[...] somos como carpinteiro e vamos moldando até conseguir
atingir o objetivo pretendido..
A fim de aprofundar mais na discussão, o referido professor foi
questionado se existem documentos curriculares para apoiarem os professores
na execução do currículo em sala de aula. Como resposta, obteve-se:
Sim, temos os guias de ajuda e orientação ao professor, os planos de
estudo ano a ano e os livros didáticos também são documentos que
atendem as orientações curriculares.
- Lei nº 12.061/2009: alterou o inciso II do art. 4º e o inciso VI do art. 10 da LDB, para assegurar o
acesso de todos os interessados ao Ensino Médio público.
- Lei nº 12.020/2009: alterou a redação do inciso II do art. 20, que define instituições de ensino
comunitárias.
- Lei nº 12.014/2009: alterou o art. 61 para discriminar as categorias de trabalhadores que se
devem considerar profissionais da Educação Básica.
- Lei nº 12.013/2009: alterou o art. 12, determinando às instituições de ensino obrigatoriedade no
envio de informações escolares aos pais, conviventes ou não com seus filhos.
- Lei nº 11.788/2008: alterou o art. 82, sobre o estágio de estudantes.
- Lei nº 11.741/2008: redimensionou, institucionalizou e integrou as ações da Educação
Profissional Técnica de nível médio, da Educação de Jovens e Adultos e da Educação Profissional
e Tecnológica.
- Lei nº 11.769/2008: incluiu parágrafo no art. 26, sobre a Música como conteúdo obrigatório, mas
não exclusivo.
- Lei nº 11.684/2008: incluiu Filosofia e Sociologia como obrigatórias no Ensino Médio.
- Lei nº 11.645/2008: alterou a redação do art. 26-A, para incluir no currículo a obrigatoriedade do
estudo da
História e Cultura Afro-Brasileira e Indígena.
- Lei nº 11.301/2006: alterou o art. 67, incluindo, para os efeitos do disposto no § 5º do art. 40 e no
§ 8º do art. 201 da Constituição Federal, definição de funções de magistério.
- Lei nº 10.793/2003: alterou a redação do art. 26, § 3o, e do art. 92, com referência à Educação
Física nos Ensinos Fundamental e Médio.
- Lei nº 10.709/2003: acrescentou incisos aos art. 10 e 11, referentes ao transporte escolar.
- Lei nº 10.287/2001: incluiu inciso no art. 12, referente à notificação ao Conselho Tutelar do
Município, ao juiz competente da Comarca e ao respectivo representante do Ministério Publico da
relação dos estudantes que apresentem quantidade de faltas acima de cinquenta por cento do
percentual permitido em lei.
183
184
Destaca-se na fala do professor Oteiza o que Sacristán identifica como
currículo prescrito, algo que tem influências sociais que orientam sobre o
conteúdo e as finalidades da educação obrigatória. As orientações são
explicitadas nos Planos de Estudo, Guias de Ajuda Básica e como foi dito o livro
didático desempenha um papel importante sendo uma extensão das orientações
curriculares.
Perguntado sobre a influência da Educação Matemática na elaboração
dos currículos prescritos, o mesmo, preferiu não emitir nenhuma opinião a esse
respeito.
Já ao ser questionado sobre a organização e elaboração dos livros
didáticos, ou seja, quais são os parâmetros para sua elaboração. A resposta foi
simples, ao afirmar que os livros têm que estar de acordo com os princípios e
orientações didático-metodológicas preconizadas no documento oficial chileno,
caso contrário não é aprovado pelo Mineduc.
As impressões tomadas por essas entrevistas, tal como aportadas com
base nas leituras dos documentos oficiais curriculares são de que no Chile, é que
se tem um documento único, aos quais os professores, secretarias de Educação
e demais interessados recorrem para pesquisas de quaisquer naturezas,
enquanto que no Brasil temos documentos fragmentados para a Educação
Básica, um documento para o Ensino Fundamental e outros para o Ensino Médio.
Na fala dos elaboradores é evidenciado em alguns momentos que o
livro didático, na verdade desempenha a função dos documentos curriculares
prescritos e vigentes na sala de aula, principalmente no Brasil que não tem
oficialmente um currículo de Matemática anunciado. No Chile, embora tenha o
documento curricular de Matemática definido nas entrevistas é enfatizada que o
currículo chega à mão do professor por meio do livro didático.
Perguntado aos elaboradores de currículos do Brasil e Chile quanto a
participação dos professores nas reformas curriculares temos o sentimento de
que a grande maioria não tem participado das discussões e muitos tomam
conhecimento somente quando já está sendo implementado oficialmente.
O professor Ruy relembra que ao participar da elaboração do PCN,
diversas instituições superiores e associações ligadas ao ensino da Matemática,
184
185
bem como secretarias de educação do país todo, participaram enviando
pareceres. Aos coordenadores que estavam à frente da construção dos PCN na
época, cabia a responsabilidade de analisá-los juntamente com os participantes,
fazendo as devidas inserções e mudanças dos textos.
Dado a essas premissas, a sensação é de que possivelmente os livros
didáticos que tem como função, segundo os elaboradores de currículos dos dois
países, de apresentar o currículo oficial aos professores, num primeiro momento
não atendam a tais expectativas contempladas. Tal conclusão pode ser dada
partindo do pressuposto de que ao acreditar na implementação dos novos
currículos pelas secretarias de Educação dos âmbitos municipal, estadual ou
federal, não seja possível apresentar, aos professores, também livros didáticos,
que por sua vez tenham sido elaborados na nova concepção.
A credulidade se dá na necessidade de um determinado tempo para
que se absorvam as novas orientações por parte de autores, afim de que se
estruture o novo livro didático sob uma nova visão que atenda às necessidades
dos professores e alunos à luz dos princípios norteadores do currículo proposto.
No Brasil os PCN não são documentos obrigatórios, no entanto o
Relatório de Análise de Propostas Curriculares de Ensino Fundamental e Ensino
Médio de 2010, demonstram que a grande maioria das secretarias municipais e
estaduais no Brasil têm utilizado frequentemente as orientações e princípios
sugeridos por eles.
[...] As propostas atuais trazem as marcas das orientações presentes nos
parâmetros e diretrizes curriculares nacionais para a escola básica.
Afinal, são documentos produzidos no âmbito estadual e no municipal,
como
propostas oficiais, elaboradas na interlocução com essas
proposições.
Nas propostas analisadas há muitas semelhanças e significativa
concordância com essas orientações [...] (p. 6).
Essa citação ratifica a fala do professor Ruy que salienta que o PCN
que deveria servir como uma base de construção dos currículos de Matemática
das secretarias, na verdade foram sendo apropriados, na sua totalidade, por
diversas secretárias de Educação.
185
186
6.3.2 Na voz dos diretores de escola
Nessa seção será apresentada uma análise das respostas às questões
ligadas à execução dos currículos no âmbito escolar, tal como o diretor lida com
as orientações oficiais prescritas e vigentes e como é feita a adaptação dessas
orientações para serem colocadas em prática na sala de aula.
Entendemos que o diretor desempenha uma função pedagógica e
também administrativa. Ele ocupa uma função importante na cadeia “política”,
“administrativa”, de gestão, mais propriamente, na Educação. Além de o diretor
gerir toda a dinâmica escolar do ponto de vista administrativo ele também, de
forma, direta ou indireta, tem que se preocupar com a execução do plano político
pedagógico e isso inclui o cumprimento do currículo oficial prescrito.
Na realização da entrevistas foram efetuados vários questionamentos
aos diretores de escolas na tentativa de elucidar se nossa afirmação anterior de
fato se revela na prática escolar. Como ponto de partida, a entrevista foi iniciada
com a pergunta:
a) “Qual a relação do currículo de Matemática da escola com o PCN? A
escola segue o PCN? Em quais aspectos”?
DIRBR1: Utilizamos o PCN observando os princípios e orientações
didáticas e metodológicas. O currículo de matemática da escola precisa
ter os PCN como medida uma vez que objetiva a construção do
conhecimento dos alunos.É um documento nacional que a maioria das
secretarias incorporam ao seu discurso. As provas de concurso para
professores trazem claramente essas perspectivas contempladas, se o
professor não estiver antenado com isso, ele não passará no concurso,
não podendo assim, assumir o cargo. Então, “para mim está muito claro
que a escola tem que seguir os PCN em todos os aspectos neles
propostos. (grifo nosso)
Na fala do DIRBR1 evidencia-se que o currículo prescrito de
Matemática de fato é o PCN.
DIRBR2: Deveria seguir a risca, mas existe uma grande diferença nos
conteúdos desenvolvidos nas escolas públicas e nas privadas. Nas
públicas os conteúdos devem coincidir com o programa das apostilas
desenvolvidas pela SEE e embasadas nos PCN. Enquanto que nas
escolas privadas que são conteudistas e seguem seus materiais
elaborados dentro dos PCN mas com muito mais conteúdos. Deve seguilo na maioria de seus aspectos atendendo sempre as características de
186
187
sua comunidade escolar, quanto à cultura, desenvolvimento educacional
familiar, classe social e regional.
Na resposta do DIRBR2, revelam-se duas assertivas. Uma a de que o
PCN é o currículo de Matemática prescrito e, a segunda, de que possivelmente
não há o cumprimento desse currículo em sala de aula.
b) A escola tem autonomia para elaborar seu currículo de matemática?
DIRBR1: A partir das orientações dos PCN a escola tem autonomia para
escolher o currículo a ser trabalhado. Toda escola tem que ter um
currículo político pedagógico que represente o ensino e aprendizagem
dos alunos. A escola tem um currículo de matemática dividido em
bimestre e acompanha como está sendo trabalhado e cumprido.
DIRBR2: Desde que não fuja aos PCN, as variações estão em trabalhar
conteúdos com maior ou menor ênfase.
Na fala dos dois diretores, novamente, é explicitado que o currículo
prescrito são os PCN.
c) Como a escola elabora seu currículo de matemática?
DIRBR1: Aqui em São Caetano, elaboramos o currículo de Matemática
com olhar nos PCN e no currículo argentino que apresenta diversas
pesquisas com sequências didáticas que foram testadas e validadas e
também com base nos livros didáticos.
DIRBR2: O currículo é elaborado pelos professores da área e depois
apresentado à Coordenação e Direção, sempre embasados e
estruturados nos PCN.
Novamente é enfatizado que os PCN são os aportes para a elaboração
de quaisquer materiais didáticos e currículos de Matemática.
d) Quais textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o
currículo escolar/aula? Como a direção/coordenação pedagógica acompanha a
execução do currículo de matemática?
187
188
DIRBR1: Como diretora, sentava com os professores e coordenadores
para analisar e decidir os ajustes do currículo. Duas vezes ao ano,
observarmos se havia sido cumprido com qualidade, se atingiu as
metas... Fazíamos análises dos materiais utilizados... Esse livro atendia
as necessidades dos alunos? Se o livro não atendesse 75% das
necessidades dos alunos, nós não adotávamos. Quanto aos livros
didáticos, porém entendemos que era muito essa porcentagem, mas
tínhamos que tomar um número como parâmetro para justificar se ele
era ou não coerente com as propostas dos PCN.
DIRBR2: Geralmente os professores o fazem consultando os PCN,
quanto aos materiais didáticos, os livros, servem de referência. Esse
trabalho de constatação do currículo em sala de aula é realizado mais
pelo coordenador e/ou supervisão. O trabalho é de apoio ao professor do
que de intervenção, mesmo porque nem sempre, os coordenadores ou
supervisores, têm conhecimento matemático para poder intervir ou
interferir.
e) Qual o papel da direção/coordenação pedagógica na elaboração do
currículo de matemática?
DIRBR1: proporcionar um espaço para reflexão, contribuindo com
materiais que sejam necessários a essas reflexões, como
disponibilizando os PCN, resultados de pesquisas da área, fazendo
sugestões, etc.”
DIRBR2: Normalmente tem o papel de subsidiar as pesquisas dos
professores com material de orientação e direcionamento para que os
mesmos não deixem de cumprir os PCN.
As reflexões sobre as respostas obtidas pelos diretores nos conduzem
a pensar que de fato os PCN são a maior referência documental oficial prescrita e
vigente. Todas as iniciativas dentro da escola para a concretização do currículo
de Matemática estão respaldadas nesses documentos. Mesmo trazendo
informações e contribuições de outros países, como o caso da Argentina,
mencionado pelo DIRBR1 de São Caetano do Sul, quaisquer inserções devem
ser compreendidas nas orientações e princípios didáticos e metodológicos
decorrentes dos PCN.
Na fala de Sacristán (2000), que reforça nossa análise de que “[...] Em
todo sistema educativo, como consequência das regulações inexoráveis à quais
está submetido, levando em conta sua significação social, existe algum tipo de
prescrição ou orientação do que deve ser seu conteúdo, principalmente em
relação à escolaridade obrigatória. São aspectos que atuam na ordenação do
188
189
sistema curricular servindo de ponto de partida para a elaboração de materiais,
controle do sistema, etc. [...]” (p. 104).
No Chile, não houve a oportunidade de entrevistar diretores de escola
por motivo das escolas estarem em greve em nossa visita a esse país. Raimundo
Olfos, no entanto, procurou esclarecer alguns questionamentos semelhantes ao
que foram direcionadas aos diretores brasileiros e que foram sintetizadas a
seguir.
O currículo chileno apresenta estrutura com uma base comum de
conteúdos matemáticos, que devem ser obrigatoriamente cumpridos. As
secretarias de Educação, de cada região, têm autonomia para agregar
conhecimentos que julgarem necessários para suas comunidades. A escola e o
professor também têm essa autonomia.
Como mencionado anteriormente, o SIMCE acompanha por meio de
questionários de contexto e avaliações para alunos, o desempenho das escolas,
que existe uma competição entre elas pleiteando subvenções por dois anos.
Dentre as análises sobre o desempenho escolar que o SIMCE avalia, está a
verificação do cumprimento do currículo proposto pelo ministério da Educação.
Ainda no Chile, existe o Centro de Pais e Apoderados (CPA), que tem
como finalidade auxiliar alunos com dificuldades, orientá-los quanto sua postura
disciplinar, inclusive a de como se vestir, higienizar-se, cortar os cabelos, etc.,
também acompanha o desenvolvimento curricular nas escolas.
Esses esclarecimentos permite-nos compreender que, no Chile, como
existe um currículo definido e proposto pelo governo, possivelmente este esteja
sendo implementado em sala de aula, pelo fato das avaliações que o SIMCE
promove e ainda, pela gratificação aos quais os professores e escola passam a
ter pelo período de dois anos. Acreditamos que a participação dos pais e
apoderados seja, também, uma forma do governo chileno verificar se está sendo
de fato cumprido o currículo de Matemática na sala de aula. Pois, caso isto não
seja uma verdade as escolas, provavelmente, não atingirão o nível de
“excelência” e não receberão a subvenção em peso.
189
190
6.3.3
Na voz dos professores que atuam em sala de aula
O objeto de estudo busca explicitar o que pensam os elaboradores de
currículos sobre o papel do currículo de Matemática como documento oficial.
Nesse sentido, entendemos que de fato, esse procedimento deveria estar sendo
concretizado em sala de aula. Cabe ao trabalho então, explorar a análise das
entrevistas de diferentes profissionais em educação, que atuam de forma direta e
ou indireta, com a execução dos currículos de Matemática na práxis.
Assim,
buscamos
Identificar
e
convidar,
para
entrevistarmos,
profissionais que atuam de maneira direta – o professor em sala de aula – e os de
forma indireta – aqueles que lidam com formações de professores e os diretores.
Nossa
preocupações
experiência
centradas
nas
permite
afirmar
sequências
que
os
didáticas,
formadores
contribuindo
têm
com
pressupostos teóricos que justificam o uso de determinados parâmetros, assim
como, seus encaminhamentos. Tais posições, se valem da prerrogativa de se
efetivar o processo de aprendizagem da matemática, sejam pelos alunos
respaldados, sejam pelas orientações curriculares oficiais prescritas e vigentes. O
diretor tem o papel administrativo de verificar se o currículo está sendo cumprido
e se é necessário ajustamentos, para que, seja de fato executado e satisfeito.
Nas entrevistas uma questão proposta está relacionada com a
participação do professor nos movimentos de reconstrução dos currículos de
Matemática.
No
próximo
item
objetiva-se
a
verificação
da
ideia
de
acompanhamento, assim como, da atuação, de forma que possa ser ouvido e
compreendido no processo de discussão para elaboração do novo currículo oficial
de Matemática.
190
191
6.4 Com relação à participação dos professores e/ou
suas representações
A participação dos professores seja ela pessoal, ou por meio de
instituições representativas da categoria, é uma atitude que possibilita ao
professor atuante ser ouvido. Isso não quer dizer que ele será atendido, mas, num
estado democrático poderá debater suas idéias, assim no final poderá convergir
para uma decisão que seja alentadora para todos.
Nesse sentido, foi realizada a seguinte pergunta aos entrevistados:
“Você participa de alguma maneira, pessoalmente ou por meio de instituições
relacionadas ao ensino de matemática, das reformas curriculares”?
Como resposta dos entrevistados:
PBR1 – “Participo das formações que ocorrem no CECAPE (centro de
formação em SCS), onde tenho a oportunidade de discutir e elaborar
atividades que tenham significado para o aluno”.
PBR2 – “Não”.
PBR3 – “Não”.
PBR4 – “Sim, de reuniões e discussões feitas no período da elaboração
da nova proposta curricular do estado, porém, desde sua implantação
(há 5 anos atrás) não houve momentos para reflexão sobre a eficácia de
tal proposta quanto à ensino-aprendizagem da Matemática, mesmo
frente à resultados insatisfatórios apontados por indicadores da
qualidade do ensino (Saresp, Enem, prova Brasil, etc). Portanto, mais
importante que a implantação de uma proposta curricular, é a sua
manutenção, para que ajustes possam ser feitos visando a excelência do
ensino público”.
PBR5 – “Não”.
PCH1 – “Não”.
Os professores entrevistados demonstraram que, não vivenciam
democraticamente, de forma direta ou por meio de comunidades representativas
da categoria educacional, de discussões sobre os movimentos de reorientação
curricular em seus países.
191
192
6.5 Com relação a currículos apresentados e a
perspectiva de serem moldados.
Nesse tópico tentaremos elucidar qual a visão que os professores têm
acerca dos Currículos Oficiais Prescritos e Vigentes que são apresentados. As
questões propostas tendem a permitir uma análise de quais são as concepções
desses profissionais, que lidam de forma direta com o ensino e aprendizagem de
Matemática, quanto à utilização do currículo apresentado. É intenção explicitar se
eles tem autonomia para realizar escolhas dos conteúdos a serem ensinados na
sala de aula e ainda, se trabalham de maneira linear ou com uma proposta mais
dinâmica,
retomando
os
conteúdos
em
diversos
contextos
além
de
estabelecerinterfaces com outras áreas de conhecimento e conexões entre os
diversos temas matemáticos propostos para o ano letivo em que lecionam.
A seguinte pergunta foi aferida aos professores: “Você tem autonomia
para elaborar o currículo de matemática”?
Como resposta da questão, obtivemos de cada professor brasileiro:
PBR1: “Acredito que indiretamente, por meio da formação de
professores que a Prefeitura de São Caetano do Sul oferece. Nessas
formações tenho aprendido que é importante rever minha postura em
sala de aula e sobre as escolhas de sequências didáticas que apresento
aos alunos. No entanto não posso fugir do que é proposto pela secretaria
de Educação daqui.”
PBR2: “Sim e neste ano faremos nas primeiras semanas iniciais, uma
avaliação diagnóstica, para depois decidirmos o currículo, mas sempre
abordando os conteúdos da Proposta Curricular do Estado de São
Paulo.”
PBR3: “Sim, desde que não fuja muito dos conteúdos da Proposta
Curricular e que contemple a continuidade deste currículo. Neste ano,
por exemplo, aplicaremos uma avaliação diagnóstica nas semanas
iniciais e só depois decidiremos o currículo. Esta avaliação visa detectar
as principais dificuldades do aluno, traçar estratégias para promover o
aprendizado efetivo, corrigir práticas pedagógicas não eficazes e tentar
outras possíveis.”
PBR4: “Não, tendo em vista que a determinação dos conteúdos a serem
ministrados em cada série deverá ser obedecido conforme a proposta
curricular do estado”.
192
193
PBR5: “Sim, desde que esteja dentro das orientações da Proposta do
Estado de São Paulo. No inicio de cada ano analisamos cada sala para
verificarmos como está o nível de aprendizagem em Matemática e assim
em conjunto com os demais professores tomamos a decisão de quais
inserções, resgates e conteúdos devem ser realizadas. A autonomia que
temos é no sentido de fazer com que o aluno ganhe com isso, jamais
para simplesmente acomodar um currículo que facilite a vida do
professor”.
PCH1 – “Sim, existe um currículo que é considerado núcleo comum e
obrigatório e os professores tem autonomia para acrescentar o que
considerar ser importante para o aluno. “Isso pode variar de acordo com
a região onde o aluno reside”.
As análises sobre essas respostas enredam o nível de objetivação do
currículo, que Sacristán (2000) menciona com “O currículo apresentado aos
professores”. Não obstante, afirma que comumente os currículos prescritos são
muito genéricos e que para o professor, necessita de uma adequação da
linguagem que revela-se nos livros didáticos. Assim, ao questionar os professores
queríamos explicitar se ele pode realizar escolhas dos conteúdos propostos de
acordo com a realidade e necessidade de seus alunos.
Quanto ao nível, “O currículo moldado pelos professores”, Sacristán
(2000) entende que o professor é o agente ativo e decisivo na concretização dos
conteúdos e dos significados dos currículos.
Os professores, em suas respostas, revelam que possuem certa
autonomia para incorporarem algumas mudanças no currículo proposto, porém,
devem seguir aquilo que é determinado pelas secretarias sejam elas municipais
ou estaduais. Essas determinações têm sido apresentadas aos professores por
meio de sequências didáticas prontas, propostas, livros didáticos etc.
É a decisão do professor que determinará o currículo a ser praticado na
sala de aula. O professor mediará às atividades conduzindo o aluno a construir
seu próprio conhecimento por meio de diferentes estratégias e experiências que
viverão na sala de aula.
Pertinente, foi dirigida aos professores, a seguinte pergunta: “Você
segue o PCN? Em quais aspectos”?
193
194
PBR1: “Sim. O currículo é elaborado com base nos PCN’s. E ainda,
desenvolvo projetos que abordam os temas transversais. Este ano, por
exemplo, trabalharei Meio Ambiente. E os objetivos para o Ensino
Fundamental II estão de acordo com o que é exigido pelo PCN”.
PBR2: “Sim, porque a Proposta Curricular está baseada no PCN.
Sempre no aspecto de garantir ao aluno o direito de usufruir do conjunto
de conhecimentos reconhecidos como necessários para o exercício de
sua cidadania”.
PBR3: “Sim, visto que a Proposta Curricular está baseada no PCN, sigo
sim”.
PBR4: “Na medida do possível sim, principalmente em temas
transversais que podem ser incorporados a determinados conteúdos no
decorrer do ano letivo, em forma de trabalhos complementares, sem
comprometer o cumprimento dos conteúdos e atividades direcionados
pela proposta curricular e os respectivos cadernos do aluno, distribuídos
e seguidos bimestralmente”.
PBR5: “Sim, em relação a atividades que relacionam a matemática com
o cotidiano do aluno”.
As respostas dadas sacramentam a existência de um currículo oficial
prescrito e vigente no Brasil, na visão dos professores, pois todos são unânimes
ao afirmarem que as atividades devem estar de acordo com as orientações dos
PCN. Na fala deles, as propostas de São Paulo, por exemplo, estão
fundamentadas nas orientações e princípios do PCN. Identificamos nesse
momento o nível “O currículo prescrito” de Sacristán.
Para o professor chileno foi perguntado: “Você segue algum documento
oficial para lecionar Matemática? Em quais aspectos”? Como resposta:
PCH1: “Sim, temos a Lei Geral da Educação que traz todas as
orientações didáticas e metodológicas, os Plano de Estudo, além dos
pressupostos teóricos que embasam os princípios e orientações
curriculares.
Seguindo, também foi perguntado: “Você tem autonomia decidir o que
ensinar de Matemática na sala de aula?” Obteve-se a seguinte resposta:
PCH1: “Como disse anteriormente, existe uma lista de conteúdos
obrigatórios, mas temos autonomia para acrescentar outros temas que
entendemos ser importantes”.
Pelas respostas dadas, entendemos que o professor tem amparo de
documentos curriculares, para embasar seu trabalho pedagógico. Existem
determinados conteúdos, dos quais ele tem que cumprir ao longo do ano letivo e
194
195
ainda, pode inserir outros conteúdos matemáticos que julgar pertinente para seus
alunos. É marcante nesse cenário a presença do nível “O currículo prescrito”
proposto por Sacristán (2000), que ratifica “existe algum tipo de prescrição ou
orientação do que deve ser seu conteúdo, principalmente em relação à
escolaridade obrigatória” (SACRISTÁN, 2000, p. 104).
6.6 Com relação a currículos praticados
Busca-se então, a compreensão de qual é o currículo praticado pelos
professores na sala de aula baseados na fala deles.
Para isso, elege-se algumas perguntas que possibilitarão percebe
indícios dessa prática, tanto para os professores brasileiros, como para os
chilenos.
A primeira pergunta feita aos professores foi a seguinte: “ Como você
elabora seu plano de ensino”?
PBR1: “O plano de ensino é elaborado com base no livro didático e no
PTD – Planejamento do Trabalho Didático já elaborado pela Prefeitura
de São Caetano. Acrescento projetos que serão desenvolvidos ao longo
do ano, como por exemplo, a Mostra Cultural, Desafios de Matemática,
etc”.
PBR2: “A base para a elaboração do plano de ensino é a Proposta
Curricular do Estado de São Paulo. Na minha unidade escolar, nos
reunimos por disciplina para discutir e decidir o conteúdo programático e
os projetos pedagógicos para o 1º semestre letivo”.
PBR3: “A base para a elaboração do plano de ensino é a Proposta
Curricular do Estado de São Paulo, visto que leciono em duas escolas
estaduais. Ao mesmo tempo em que o grupo de professores se reúne
por disciplina para discutir e escolher o conteúdo programático e os
projeto s pedagógicos para o 1º semestre letivo, a coordenação faz o elo
entre as diversas disciplinas. Eu, pondero o que a equipe decide com o
que o estado delibera”.
PBR4: “O plano de ensino é elaborado nos encontros de planejamento
que antecedem cada período letivo, em conjunto com outros professores
de Matemática, a partir de determinações da proposta curricular a ser
seguida e também das necessidades dos alunos da escola, com base
em experiências de anos anteriores e índices apontados por indicadores
oficiais do rendimento escolar (Saresp e ENEM)”.
195
196
PBR5: “No Ensino Fundamental da escola pública o plano de ensino já
está estabelecido desde a implementação do novo currículo prescrito
pelo Projeto São Paulo faz escola, porém existe uma autonomia, onde o
professor pode melhorar a abordagem dos assuntos previstos para cada
série. Em uma escola particular o plano é elaborado levando em conta
os tópicos que são exigidos nos vestibulares de universidades públicas.
Em outro colégio particular o plano é elaborado segundo uma sequência
de conteúdos que o material do Sistema Didático de Ensino propõe”.
PCH1: “ temos os livros didáticos, o guia básico e lei que norteiam as
tomadas de decisão, além disso temos também os resultados do SIMCE
que indicam os rumos à serem tomados e o que priorizar na sala de
aula.
Na sequência da entrevista foi efetuada a seguinte pergunta: “ Quais
textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o currículo escolar/aula”?
As respostas dadas foram as seguintes:
PBR1: “Gosto de trabalhar com “O homem que calculava” como leitura
em sala de aula. Ano passado desenvolvemos uma peça teatral que
abordou uma passagem do livro em questão. Foi um trabalho bacana.
Trabalho também com as sequências propostas pela secretaria de
educação e o Livro Didático adotado”.
PBR2: “O Caderno do Aluno fornecido pela SEESP, livros didáticos
escolhidos no PNLD – Programa Nacional do Livro Didático e internet”.
PBR3: “A base da consulta é o Caderno do Aluno fornecido pela SEESP.
Optei pela consulta de muitos livros didáticos (diversos autores) que
foram escolhidos no PNDL. Assim, tenho um visão mais real do que a
sociedade espera que este aluno aprenda para ser inserido no mercado
de trabalho e/ou dar continuidade à seus estudos. A internet, também, é
uma fonte muito boa fonte de consulta para mim e para os alunos.
Particularmente, utilizo muito meus blog, site, twitter e face como
ferramentas complementares de informação. Softwares matemáticos são
excelentes para a contextualização do conhecimento mas, o uso da sala
de informática da escola é muito limitado (para não dizer nulo). Mesmo
assim, indico aos alunos softwares grátis para que eles mesmos possam
ter tal contato”.
PBR4: “São utilizados os livros didáticos distribuídos aos alunos pelo
estado no começo de cada ano letivo, a partir da escolha dos
professores nos anos anteriores por meio dos programas PNLD ou
PNLEM. Nem sempre o livro didático utilizado é a melhor escolha frente
à outros materiais disponíveis em cada ocasião, tais como softwares,
apostilas, etc, porém, utilizá-los, é uma forma de familiarizar o aluno com
o livro que ele possui e que o acompanhará tanto em casa quanto na
escola”.
PBR5: “Parâmetros Curriculares Nacionais e Proposta Curricular do
Estado de São Paulo”.
PCH1: “Como disse utilizando os resultados das avaliações que indicam
as necessidades dos alunos, a lista de conteúdos oficial, etc.”.
196
197
Por fim, foi efetuada a terceira pergunta, ora restrita à ideia de: “como
você trabalha em sala de aula (organização do trabalho com o aluno, forma de
participação do aluno, dinâmica de aula etc.)”.
PBR1: “Os alunos realizam atividades em grupo, em duplas ou mesmo,
individualmente. Trabalho com atividades concretas, como por exemplo,
um trabalho que já realizei este ano sobre sistemas de numeração. Os
alunos aprenderam a registrar números em papiros e tábuas de argila
produzidas em sala de aula. Utilizo o recurso da lousa interativa, assim
como os nets para pesquisas, registros e elaboração e construção de
tabelas e gráficos. As vezes ministro aulas ao ar livre. Acredito que os
alunos mantém uma concentração maior. Trabalho de uma forma que
possibilita ao aluno desenvolver sua autonomia”.
PBR2: “Por lecionar na parte da manhã e tarde, início pela parte teórica
com exercícios resolvidos para exemplificação e após, o caderno do
aluno por conter muitos exercícios com situações-problema, sempre
verificando a realidade dos meus alunos. Por falta de espaço físico e
recursos visuais, utilizo à lousa”.
PBR3: “Vezes começo pelo caderno do aluno, visto que este trabalha
muito com situações-problema, onde o aluno vai construindo seu
conhecimento. Mas, na maioria das outras vezes, como leciono no
período noturno e dependendo da sinergia da sala, opto pela base
teórica com exemplificações de exercícios resolvidos. Prefiro o aluno
fazendo com a minha ajuda do que esperando acontecer o “insight” pois,
o fator tempo atrapalha muito. Por falta de recursos visuais e até de
espaço físico adequado, a maior parte das aulas é na lousa. Vez ou
outra uma aula prática, um vídeo, etc, e muitas dicas do uso de software
e referências na internet. Quando a sala de vídeo (que tem o computador
e o projetor) está ocupada, trago o meu computador pessoal e utilizo-o”.
PBR4: “O trabalho em sala de aula é feito de forma restrita, com aula
expositiva em quadro negro (lousa), demonstração do conteúdo e
exemplos , seguido da resolução de exercícios por parte dos alunos. Um
trabalho diferenciado como o uso da sala de informática ou debate de
idéias com os alunos sentados em círculo é dificultado, em geral, devido
a grande quantidade de alunos por sala de que ainda ocorre em escolas
estaduais em São Paulo aula (normalmente mais de 40 alunos por sala,
que confortavelmente, comportaria no máximo 30 alunos), o que muitas
vezes, dificulta inclusive que o aluno possa participar da aula de outras
maneiras diferente de somente “prestar atenção na aula e fazer sua lição
no seu lugar”.
PBR5: “Na rede pública as aulas são expositivas utilizando o caderno do
aluno e o livro didático. Dependendo do assunto é possível trabalhar
utilizando atividades que explorem a criatividade do aluno. Montar
sólidos geométricos, atividades de raciocínio lógico”.
PCH1: “No Chile o eixo principal em todas as séries é o da Resolução de
Problemas, então trabalhamos diversas situações contextualizadas que
197
198
são significativas para os alunos e depois apresentamos outras
atividades que levem eles a capacidade de abstração. Os livros trazem
muitas atividades que ajudam o professor e os alunos a entenderem os
conceitos matemáticos. Utilizamos também os recursos de jogos,
calculadoras e em alguns casos o uso de softwares. Os softwares são
mais utilizados no ensino da Geometria.
Uma analise mais profunda, do material colhido, ou seja nas respostas
dos professores, concluímos que nos três questionamentos, somos remetidos a
visualização dos níveis de objetivação do currículo que Sacristán (2000) descreve
como “o currículo moldado pelo professor” e “o currículo em ação”. São vários os
fatores que estão presentes no momento da elaboração do plano de aula e de
sua realização na sala de aula, desde os efeitos cognitivos, afetivos, sociais e
morais.
Muitas vezes o professor debruça apenas no material que possui no
momento, como o livro didático, a fim de ajudá-lo a desenvolver suas aulas e
cumprir minimamente o que está prescrito nos documentos oficiais.
Essa conclusão é reforçada pela necessidade de diversas secretarias
de Educação terem que elaborar materiais didáticos, sejam elas sequências
didáticas propostas em cadernos de apoio ou apostilas, entre outros. Qualquer
que seja sua denominação, para que o professor se aproprie das idéias e
concepções dos documentos oficiais e façam uso delas na sala de aula.
Assim, entendemos que ainda há um distanciamento entre o que está
proposto nos documentos curriculares oficiais vigentes e o que está sendo
praticado em sala de aula. Mesmo que os discursos de diretores e professores
que apresentamos nas entrevistas nos levem a crer que esse distanciamento não
exista mais. No entanto, se o professor tem no livro didático, todo a seu
planejamento e suas escolhas didáticas, é preciso que esses livros, de fato,
revelem o currículo prescrito. Embora, não seja objeto de nossa pesquisa,
entendemos ser importante destacar que os livros didáticos de Matemática no
Brasil têm sido alvos de muitas críticas e, em muitos casos de não aprovação pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).
Acreditamos que uma vez que os materiais são elaborados pelas
secretarias municipais e estaduais, eles tendem a diminuir esse distanciamento.
198
199
Nas entrevistas realizadas com professores, eles foram questionados
sobre quais eram as teorias que conheciam sobre o ensino e aprendizagem de
Matemática, assim, muitos deles fizeram menção as teorias cognitivas de Piaget e
Vygotsky. Não mencionaram teorias relacionadas ao uso de sequências didáticas,
aos níveis de aprendizagem de geometria de Van Hiele, Parzis, Aline Robert, e
outras teorias que consubstanciam o planejamento da aula do professor de
Matemática.
A resolução de Problemas e Contextualização ficou subtendida na fala
deles, como o uso de sequências didáticas relacionadas ao dia-a-dia do aluno.
O professor chileno fez menção ao uso de alguns recursos que são
sugeridos nos documentos oficiais prescritos, tais como, o recurso às tecnologias,
o uso de jogos e o trabalho com enfoque na resolução de problemas.
6.7 A voz dos professores que atuam na formação e
pesquisas relacionadas ao ensino da Matemática
A seção objetiva a exploração das indagações de professores do Brasil
e Chile, de pesquisadores do processo de ensino e aprendizagem em Matemática
e atuantes como formadores de professores da Educação Básica, que tenham
participação direta ou indireta na elaboração das propostas curriculares de
Matemática.
Nesse caso, a pesquisa parte do pressupondo, que o pesquisador
atuante na formação de professores de Matemática, desempenha um papel ligado
à implementação curricular, tornando uma ponte entre o que está disposto nos
documentos (oficiais prescritos e vigentes), com a efetiva ação pedagógica do
professor.
Nesse sentido, o professor por meio dos projetos de formação tem
oportunidades de se apropriar de novas orientações curriculares e dos
pressupostos que norteiam essas orientações, bem como, de estudar, analisar e
refletir sobre novas tendências em Educação Matemática.
199
200
Com essa nossa visão de formação, a pesquisa almejou alcançar na
fala dos formadores, o que pensam sobre as reorganizações curriculares e como
é a atuação deles frente aos professores, buscando ainda, entender se eles
acreditam que de fato o currículo prescrito e vigente se revela na prática pelos
professores. Assim, Questionado:
a) Você tem alguma participação direta na elaboração do currículo de
Matemática?
FPCH1: “Diretamente não tenho nenhuma, no entanto a maioria das
pessoas que estão a frente dessas mudanças no Ministério de Educação
foram alunos meus e queira ou não de forma indireta acredito que tenha
sim alguma influência”.
FPCH2: “Não, algumas vezes fui chamado para levantamento e/ou
acompanhamento das ações de implementações, para fins de estudo do
MINEDUC”
FPBR1 – “Não participo de nenhuma instituição que possibilita na
mudança da reforma curricular de forma direta, mas desenvolvo miniprojetos em outras instituições para sensibilizar professores de
matemáticas a participarem de mudanças curriculares nos diversos
níveis de ensino. Esses mini-projetos englobam a discussão de artigos
científicos no âmbito da Educação Matemática, curso de álgebra,
geometria e tendências da área da Educação Matemática como
Modelagem Matemática, formação de professores, enfim, tendências
que tratam desde questões pertinentes a Matemática, Filosofia,
Pedagogia, História da Matemática e da Educação Matemática,
Epistemologia, didática e Currículo”.
FPBR2 – “Fiz parte de Departamento que trabalha na formação
continuada de professores de matemática num período pequeno na
CENP ( Centro de Estudos e Normas Pedagógicas do Estado de São
Paulo) no período da elaboração do currículo, mas não tive espaço para
opinar, pois o material já vinha pronto”.
b) Quais são as dificuldades encontradas durante o desenvolvimento
dos planos curriculares de matemática?
FPCH1: “Acredito que a maioria dos professores demoram muito tempo
para compreender o que está sendo proposto nos documentos oficiais.
Essa compreensão ela acaba sendo concretizada por meio dos materiais
didáticos. Toda reforma curricular demanda tempo para ser
compreendida e posta em prática”.
FPCH2: “Quando se tem uma nova proposta curricular ela é apresentada
ao professor após estar finalizada, pronta... alguns professores desde
1960 com a reforma de Frei Montalva, por conta própria participavam de
formações, grupos de verão, para se apropriarem das informações
contidas no novo documento, mas eram poucos os que faziam isso....
então entendo que falta uma ação por parte do governo que atenda a
todos.... essa função é desempenhada pelas editoras com seus livros
didáticos, apostilamentos, etc.”
200
201
FPBR1 – “Acesso aos documentos e tempo para que se apropriem das
reorientações. Nas formações observo que muitos professores apesar de
já terem passado dezesseis anos de PCN, alguns ainda demonstram
não ter compreensão das propostas neles contidos. As jornadas dos
professores são cansativas, exaustivas e estressantes, indo de uma
escola para outra num curto espaço de tempo, não sobrando “tempo”
para sua formação continuada”.
FPBR2 – “Acredito que é a falta de informação por parte de muitos
professores.. hoje num mundo tecnológico a informação circula mais
rapidamente, mas mesmo assim encontramos professores que não
estão em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais sejam
para o Ensino Fundamental e ou Médio. A falta da iniciativa de
participação por meio de associações que representam os professores
também é um atenuante que depõe contra os professores”.
c)
Que
materiais
educativos
disponíveis
para
discussão
e
implementação da reforma curricular são propostos nos encontros de formações?
FPCH1: “Toda a formação é pautada na lei magna do país, e são
incorporadas sequências que possibilitem aos professores compreender
como ocorre a aprendizagem de Matemática pelos alunos. Os resultados
pelos órgãos oficiais chilenos – as avaliações do SIMCE, as produções
do CPEIP e as pesquisas em Educação Matemática são avaliadas e
disponibilizadas para o grupo em formação”.
FPCH2: “Toda a formação tem uma finalidade e se é intenção dialogar
com os professores sobre a implementação curricular entendo que deva
ser discutido os “por quês” da reorganização curricular. Assim, acredito
que é mais compreensível para os professores e sua aceitação torna-se
mais amena a medida que entendam as novas necessidades da
aprendizagem no ambiente escolar. Posteriormente, trabalhamos os
aportes teóricos que são frutos de pesquisa que auxiliam o professor tem
uma visão mais ampliada da sua ação didática”.
FPBR1 – “Muitos materiais são preparados pelas secretarias que levam
o professor a compreender e incorporar as novas tendências do ensino
da Matemática. Trabalhamos prioritariamente sequências de atividades
que sejam significativas para os alunos e possibilitem a compreensão
dos conteúdos matemáticos”.
FPBR2 – “Entendo que estamos vivendo desde 1997 muitos movimentos
de reorientação curricular no ensino da Matemática, são secretarias
produzindo materiais desde orientação curriculares e expectativas de
aprendizagem até sequências de atividades para serem trabalhadas na
sala de aula. Nesse sentido nas formações são discutidas as dinâmicas
pedagógicas e analise didáticas das atividades. Todas as orientações
são aportadas pelos documentos oficiais vigentes”.
201
202
6.8 Considerações finais
Na realização dessa pesquisa procuramos nos ater as fases que Ferrer
(2002) sugere como primordiais para um estudo comparativo.
Na Fase Pré- Descritiva fizemos nossas escolhas quanto a seleção,
Identificação
e
Justificativa
da
problemática
em
questão.
Em
seguida
apresentamos a hipótese de reconhecimento, de que nos últimos 20 anos as
mudanças curriculares influenciadas pelas pesquisas na área da Educação e da
Educação Matemática, tornaram-se relevantes em diversos países, em especial,
no Brasil e no Chile.
Ao delimitarmos nossa investigação, nos deparamos com termos que
cada país utiliza a fim de indicar a etapa educacional. No primeiro momento no
Chile, havia uma educação primária e outra secundária. Atualmente é
denominada Básica e Média, respectivamente, porém com uma diferença. A
educação primária era de oito anos e a secundária de quatro anos.
Atualmente, a Básica e Média são compostas por seis anos de
escolaridade cada. No Brasil, para efeitos comparativos, temos o Ensino
Fundamental e Médio. Por isso, ao identificarmos os segmentos educacionais
para comparação, indicávamos também, a faixa etária dos alunos inseridos
nessas etapas escolares.
Não obstante, estabelecemos nossa questão de investigação que é de
explicitação direcionada à questão de quais são as influências da Educação
Matemática nos currículos de Matemática do Brasil e Chile.
Para a busca de uma resposta plausível, nosso questionamento de
pesquisa procurou estabelecer categorias de análises para comparar os
currículos de Matemática prescritos em ambos os países, assim como as
categorias de análises das entrevistas.
Destacamos que nosso estudo seria realizado em três etapas, ao
considerar, a primeira etapa compreende pesquisa bibliográfica, a segunda,
pesquisa de campo, e a terceira, análises documentais das entrevistas
concedidas.
202
203
A intenção inicial resumiu-se em parear as entrevistas, ou seja,
entrevistar um diretor no Brasil e um diretor no Chile, um professor de uma etapa
educacional no Brasil e outro no Chile, além de um professor na etapa
equivalente ao do Brasil. Contudo, isso não foi possível, pois em visita ao Chile,
em julho de 2011, havia greve geral da Educação, encerrou-se no final do ano
referido. Mesmo ao contatar alguns professores, eles se negaram em conceder
entrevistas.
No Brasil, houve diversas dificuldades para entrevistar professores e/ou
diretores, pois muitos se negaram. Entretanto, obtivemos sucesso, pois colhemos
alguns depoimentos de professores, diretores e formadores de professores que
se disponibilizaram em atender-nos.
Uma dúvida suscitou-nos, a de escolher apenas uma entrevista com
professor no Brasil e parear com o professor do Chile que nos concedeu a
entrevista. E os demais professores brasileiros que concederam a entrevista?
Excluir ou manter todas as entrevistas, mesmo não sendo possível parear por
segmento educacional.
Nossa decisão foi a de manter todas as contribuições dos professores e
diretores, além de acrescentar informações obtidas por meio de observações e
conversas informais com as pessoas receptivas do Brasil e Chile. Tampouco,
foram lícitas as informações colhidas em comunicações via e-mails.
Na fase descritiva e interpretativa da pesquisa, houve interação com a
fase da justaposição, pois, foi nesse momento, que descrevemos, interpretamos e
confrontamos os dados levantados. Para tanto, apresentamos no final dos
capítulos 1 e 3, uma síntese das coletas. Já no capitulo 2, entendemos não ser
necessário a síntese, pelo fato de dissertamos integralmente sobre a importância
da Educação Comparada, que por sua vez intui ao trabalho e na dinâmica de
pesquisa, a ideia de que desenvolveríamos coleta de dados e entrevistas.
Nos capítulos 4 e 5 analisamos comparativamente os ensinos por etapa
educacional, sendo que a primeira compreende alunos com faixa etária dos 6 aos
14 anos, e a segunda dos 15 aos 17 anos.
203
204
6.9 Explicitando semelhanças e ou diferenças na
etapa educacional para alunos com idades entre 6 a 17
anos
Nesse momento passaremos a fase comparativa, objetivo final, ou
seja, apresentarmos quais são as semelhanças e ou diferenças nesses currículos
de Matemática, tratando o cerne da questão de nosso objeto de pesquisa.
A primeira e significativa diferença identificada é quanto ao currículo
oficial prescrito. No Chile, todos os envolvidos na Educação sabem qual
documento curricular que deverá usar para lecionar Matemática na Educação
Básica e Média.
No Brasil, não há definição por parte do Ministério de Educação, de
qual é o documento oficial, prescrito e aplicável, que o professor deverá apoiar-se.
Para os que atuam no Ensino Fundamental, a escolha são os Parâmetros
Curriculares Nacionais, que possivelmente poderá ajudá-lo a pensar em suas
aulas.
Para o Ensino Médio têm-se os Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio, PCNEM, o PCNEM + e diversas Diretrizes69, as quais vem
69
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.
•
Parecer CEB n.º 15, de 1 de junho de 1998
•
Resolução n.º 3, de 26 de junho de 1998 Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para
o Ensino Médio.
•
Parecer CNE/CEB nº 39/2004, aprovado em 08 de dezembro de 2004
Aplicação do Decreto nº 5.154/2004 na Educação Profissional Técnica de nível médio e no Ensino
Médio.
•
Resolução CNE/CEB nº 1, de3 de fevereiro de 2005, Atualiza as Diretrizes Curriculares
Nacionais definidas pelo Conselho Nacional de Educação para o Ensino Médio e para a Educação
Profissional Técnica de nível médio às disposições do Decreto nº 5.154/2004.
•
Parecer CNE/CEB nº 20/2005, aprovado em 15 de setembro de 2005, Inclusão da
Educação de Jovens e Adultos, prevista no Decreto nº 5.478/2005, como alternativa para a oferta
da Educação Profissional Técnica de nível médio de forma integrada com o Ensino Médio.
•
Resolução CNE/CEB nº 4, de 27 de outubro de 2005, Inclui novo dispositivo à Resolução
CNE/CEB 1/2005, que atualiza as Diretrizes Curriculares Nacionais definidas pelo Conselho
Nacional de Educação para o Ensino Médio e para a Educação Profissional Técnica de nível
médio às disposições do Decreto nº 5.154/2004.
204
205
sendo anunciadas ao longo dos últimos anos, para elucidar dúvidas e propor
encaminhamentos para a concretização do ensino da Matemática nessa etapa de
escolaridade.
No ensino Médio, os livros didáticos brasileiros que, muitos dos
entrevistados, afirmaram ser o currículo oficial de Matemática apresentado nas
escolas, apresentam os conteúdos que estão propostos nos PCNEM+ e outros,
que não estão contemplados, como é o caso dos Números Complexos. Também
poderíamos indicar funções modulares e funções inversas, que não estão
explicitados no documento curricular.
Isso remete os professores a quererem cumprir todos os conteúdos do
livro didático, principalmente, se levarem em conta o processo seletivo para
inserção no curso superior de diversas instituições públicas, que tradicionalmente
elaboram provas sem contexto, valorando as técnicas matemáticas presentes em
cada questão da prova. Esse fato é muito comum nas instituições particulares do
que nas públicas. Mas, incomoda-nos pensar que realmente temos duas
realidades distintas na Educação, uma vinculada aos Parâmetros Curriculares
Nacionais para ensino Fundamental e Médio, que é o da formação cidadã, e a
outra que além da preparação para a cidadania, prepara os alunos para o ensino
•
Parecer CNE/CEB nº 38/2006, aprovado em 7 de julho de 2006, Inclusão obrigatória das
disciplinas de Filosofia e Sociologia no currículo do Ensino Médio.
•
Resolução CNE/CEB nº 4, de 16 de agosto de 2006, Altera o artigo 10 da Resolução
CNE/CEB nº 3/98, que institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.
•
Parecer CNE/CEB nº 18/2007, aprovado em 8 de agosto de 2007, Esclarecimentos para a
implementação da Língua Espanhola como obrigatória no Ensino Médio, conforme dispõe a Lei nº
11.161/2005.
•
Parecer CNE/CEB nº 22/2008, aprovado em 8 de outubro de 2008
Consulta sobre a implementação das disciplinas Filosofia e Sociologia no currículo do Ensino
Médio.
•
Resolução CNE/CEB nº 1, de 18 de maio de 2009, Dispõe sobre a implementação da
Filosofia e da Sociologia no currículo do Ensino Médio, a partir da edição da Lei nº 11.684/2008,
que alterou a Lei nº 9.394/1996, de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB).
•
Parecer CNE/CP nº 11/2009, aprovado em 30 de junho de 2009, Proposta de experiência
curricular inovadora do Ensino.
•
Parecer CNE/CEB nº 5/2011, aprovado em 5 de maio de 2011 - Diretrizes Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio.
205
206
propedêutico de instituições públicas, que apresentam avaliações para inserção
de dados, que privilegiam técnicas em detrimento das competências e habilidades
dos candidatos ao ingresso nessas instituições.
Em nossas investigações, essa dicotomia não se revelou no Chile.
Embora, o SIMCE ratifica que analisa e respeita as limitações concernentes ao
processo de aprendizagem em Matemática das comunidades, na qual, o aluno
está inserido, promove a ideia de que há diferenças sócio-econômicas entre
diversas regiões chilenas, além de que, dependendo da atividade econômica
dessas regiões, os resultados de desempenho nas avaliações da aprendizagem
demonstram significativas diferenças, assim isto pode influenciar na decisão dos
alunos em prosseguir seus estudos em nível superior.
No Ensino Fundamental e Médio do Brasil e Educação Básica e Média
do Chile, observamos que a estrutura curricular difere em números de blocos de
conteúdos, no entanto, essa diferença é apenas escolha de cada país na forma
de organização e distribuição dos conteúdos a serem desenvolvidos no decorrer
dessas etapas educacionais. Verificamos conteúdos elencados em um país, que
pareiam com a do outro, isto é, não identificamos diferenças nas listas de
conteúdos matemáticos.
A tendência do processo de ensino e aprendizagem da Matemática,
indicada nos documentos de Brasil e Chile, é permeada pelo eixo metodológico,
Resolução de Problemas. Essa metodologia é fomentada por diversos
organismos, fundamentados nas diversas pesquisas em Educação Matemática.
Nos dois países é reforçada a necessidade de uma formação
conceitual, procedimental e atitudinal, mas para isso, dialogam os conhecimentos,
perpassando, no caso do ensino Fundamental, pelos temas transversais e no
ensino Médio por meio de projetos escolares.
Na Educação Básica chilena, há uma ênfase maior em Álgebra. A
ênfase dada no ensino Fundamental está relacionada à prática em detrimento às
especulações teóricas.
Já na etapa educacional para alunos com idades compreendidas de 15
a 17 anos, que no Brasil equivale ao Ensino Médio e no Chile Educação Média,
206
207
existe quase um equilíbrio, tendendo um pouco mais para as especulações
teóricas. Acreditamos que, como essa etapa é a da finalização dos estudos antes
ligados ao nível superior, existam uma ponderação entre os conhecimentos para
o aluno exercer sua cidadania, assim como apresentá-lo a uma estrutura
matemática organizada, estruturada e axiomátizada. Estamos nos referindo ao
rigor da Matemática, para que o aluno compreenda sua cultura.
Revelamos preocupações e orientações com o papel do erro no
processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Em ambos os países, as
relações devem ser desenvolvidas no ambiente escolar, entre professores e
alunos, alunos e alunos, etc.
Identificamos alguns princípios do construtivismo nos currículos de
Matemática dos dois países, tais como, o aluno como ser ativo no processo de
construção de seu conhecimento.
Uma característica importante e que difere com o Brasil, é a
participação do Centro de Professores e Apoderados (CPA), que é uma
organização reconhecida pelo Ministério de Educação chilena e que tem uma
presença importante nas escolas, como discorrido antes.
No Brasil, essa ação por parte dos pais e responsáveis pelos alunos
não existe, pelo menos oficialmente reconhecido pelo governo brasileiro.
Nos documentos curriculares que elegemos para nossas análises,
foram contempladas diversas orientações para o uso dos recursos tecnológicos,
principalmente calculadoras e computadores. No discurso textual desses
documentos é preconizado que as tecnologias estão a serviço da sociedade e por
isso, é elementar que os alunos tenham acesso a elas e aprendam a utilizá-las
adequadamente, atendendo as necessidades peculiares de cada disciplina
Outro aspecto marcante e presente nos dois países é o da avaliação de
aprendizagem dos alunos. Existem diversos instrumentos para esse fim nos dois
países.
No Brasil e Chile, os resultados das avaliações podem oferecer
indicativos de possíveis problemas que obstruam os avanços no processo de
207
208
ensino e aprendizagem da Matemática e, após as análises e reflexão, por parte
dos governos de cada país, a partir desses resultados, estabelecer quais rumos
tomarem. Tomada de decisão, que tem a finalidade de reorientar a jornada
pedagógica com perspectivas a concretizar as finalidades para o ensino da
Matemática. Retomamos a fala de Sacristám (2002) anunciando que o “currículo
desde um enfoque processual ou prático e é um objeto que se constrói durante
sua configuração, implantação, concretização e expressão de determinadas
práticas pedagógicas e em sua própria avaliação, como resultado de diversas
intervenções que nele se operam”. (SACRISTÁM, 2002, p.101)
Outra diferença que observamos é relacionada com a carga horária
anual letiva de cada país. No Chile é de 1680 horas/aula, enquanto que no Brasil
pode chegar a 1000 horas. No Chile e no Brasil está sendo implantada, muito
lentamente, a jornada integral para a Educação Básica nesses países.
Uma diferença entre Brasil e Chile nesse aspecto, é que no Chile existe
a possibilidade de gratificação por desempenho escolar durante dois anos. Essa
prática, a nosso ver, promove uma disputa acirrada entre as escolas, fomentando,
provavelmente, a consecução do currículo prescrito naquele país.
No Brasil, alguns estados oferecem um bônus, atrelado a metas, que
determinadas secretarias de educação estipulam. Em São Paulo, isso vem
acontecendo há alguns anos e é denominado de 14º (décimo quarto pagamento).
Esse bônus é pago apenas uma vez no inicio do ano.
Retomando nossa pergunta de pesquisa:
Quais são as influências da Educação Matemática nos currículos
de Matemática do Brasil e Chile?
Elencamos diversas tendências, que vêm sendo verbalizadas e
dialogadas em seminários e congressos em Educação Matemática, tais como, o
uso da contextualização para o ensino da Matemática, resolução de problemas
como ponto de partida para o ensino da Matemática, o desenvolvimento das
capacidades e habilidades dos alunos, o recurso ao uso das tecnologias e da
História nas aulas de Matemática, valorizar o erro e idéias relacionadas ao
contrato didático.
208
209
Verificamos que os currículos de Matemática do Brasil e Chile estão
estruturados com uma visão modernista, considerando as dimensões que Rico
(1997) evidencia presente nas análises que realizamos nos capítulos quatro e
cinco.
Os três componentes que constituem um currículo pós modernista, que
Bishop (1991) considera relevante, assim como os componentes simbólicos que
são definidos pelas seis atividades de contar, localizar, medir, desenhar, jogar e
explicar configura-se presentes nos currículos analisados. Isso, partindo da
premissa de que essas atividades constituem a base para a formação cidadã dos
alunos. O componente social é ressaltado pelas propostas de se trabalhar nas
escolas, por meio de projetos educativos. E o componente cultural é que se
caracteriza mais no Ensino Médio do Brasil e Educação Média do Chile, uma vez
que a estrutura e os encaminhamentos pedagógicos sugerem um tratamento pelo
rigor da Matemática, atendendo os cinco princípios enunciados que são: os da
representatividade, o do formalismo, da acessibilidade, do poder explicativo e da
concepção ampla e elementar.
Nas comparações de currículos entre os dois países, desvelou-se que
Matemática ensinar para os alunos, e que Fey (1994) anunciava, ou seja, uma
Matemática Pura ou o da elementarização. A estrutura curricular, da forma como
está organizada, nos permite afirmar que a Matemática presente para os alunos
nas etapas educacionais, por nós investigadas é o da elementarização. Somente
na etapa final dos estudos pelos alunos é que se notam preocupações com os
aspectos do rigor.
Os quatro critérios que Doll (1997) destaca como essenciais na
construção do currículo pós modernista, foram por nós explicitados nas
comparações entre nosso Ensino Fundamental e Médio com os da Educação
Básica e Média do Chile, ou seja, nos currículos dos dois países. Os quatro
critérios que Silva (2009) sugeriu, também se mostraram presentes na
configuração dos currículos brasileiros e chilenos.
Os elementos necessários que Skovsmose (2001), defende para a
elaboração e consecução do currículo como a competência crítica, a distância
209
210
crítica e o engajamento crítico, manifestaram-se na organização desses currículos
com vistas a formação cidadã dos alunos.
E finalmente, os níveis ou fases na objetivação do significado e
concretização dos currículos que Sacristán (2000) argumenta, foram identificados
nas entrevistas concedidas. Ao analisarmos as respostas dadas pelos diversos
atores envolvidos na Educação, desvelamos que no Brasil o documento curricular
oficial prescrito de fato são os Parâmetros Curriculares Nacionais (currículo
prescrito) para o Ensino Fundamental e Médio e que o currículo apresentado aos
professores, nas escolas, são os livros didáticos e os outros materiais produzidos
por secretarias de Educação.
Nas
falas
dos
diretores
quanto
ao
currículo
apresentado,
a
possibilidade de rever o que será ensinado e de aberta a possibilidade de inserir
outros conceitos, é revelado que os livros didáticos e materiais confeccionados
por secretarias de Educação das esferas municipais e estaduais são concebidos
fundamentados
nos
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
para
o
ensino
fundamental e médio. Nesse contexto, a maioria dos professores seguem os
conteúdos matemáticos propostos.
Alguns demonstraram terem uma visão limitada acerca do ensino de
Matemática, quando afirmaram para nós que a autonomia que possuem é de dar
mais ou menos ênfase a determinados conteúdos
Já os professores, apresentaram um discurso que demonstra
entendimento sobre o seu papel no processo de ensino e aprendizagem em
Matemática, alegando que respeitam as orientações curriculares anunciadas nos
currículos apresentados. Contudo, refletem e fazem escolhas de como ensinar
seus alunos a aprenderem Matemática. Configura então, uma espécie de
currículo
moldado
pelos
professores,
que
por
sua
vez
define
suas
intencionalidades.
Quanto ao currículo realizado, que remete ao nível da concretização
dos currículos, os professores, afirmaram que em conjunto com os demais pares
da profissão de docente, refletem sobre os conteúdos propostos nos currículos
apresentados. Tomam o devido cuidado em não fugir da proposta veiculada pela
210
211
secretaria de Educação ao qual, está inserido. Contudo, organizam seus
planejamentos para o ensino da Matemática a partir das necessidades de
aprendizagem dos alunos e também, dos indicadores de desempenhos oficiais de
rendimentos escolares, caracterizando também, o currículo avaliado.
Nossa
experiência
em
Educação
no
Brasil,
aportados
pelos
depoimentos dos entrevistados por nós, é revelado por uma tendência no ensino
de Matemática no Brasil e pelas diversas secretarias de Educação, que é a de
produzir materiais didáticos com ênfase em sequências didáticas, que por sua vez
é permeada pela resolução de problemas, além de ligada ao cotidiano dos alunos.
No Chile, os entrevistados asseguram possuir autonomia para fazer
inserções de conceitos matemáticos, além daqueles que são obrigatórios para
cada ano letivo. Como no Chile existe um currículo oficial todas as instâncias
ligadas ao ensino obrigatório e de nível superior, há clareza de onde buscar
orientações para avaliar o conhecimento dos alunos, para quaisquer que sejam as
finalidades; como a de verificar o nível de desenvolvimento do aluno bem como a
de acesso aos cursos promovidos pelos Liceus e instituições em nível superior.
Não
identificamos
a
dualidade
que
mencionamos
existir
no
Brasil, principalmente nas instituições particulares, no que se refere à formação
cidadã, e ou a preparação para o vestibular, que não ocorre no Chile por conta da
existência da obrigatoriedade da Educação Básica e Média e do currículo oficial
prescrito nesse país. Nesse sentido, é desejável que o Ministério de Educação do
Brasil posicione-se o mais urgente possível e institua o Currículo Oficial Prescrito
para o ensino de Matemática na Educação Básica.
No Chile, a mudança quanto ao número de anos em cada etapa de
escolaridade – seis anos para a Educação Básica e seis para a Educação Média
– está ligada às necessidades de mercado de trabalho. Antes a Educação Básica
era de oito anos e, agora sendo de seis, possibilita aos jovens (principalmente de
classes sociais mais desfavorecidas), serem aproveitados no mercado de
211
212
trabalho, pois a cada ano concluído na Educação Média, ele recebe uma
certificação dessa conclusão assegurando o prosseguimento de seus estudos.70
Diante do que expusemos sobre o levante das análises e reflexões,
acreditamos na possibilidade de afirmar, que existem vários elementos
indicadores de que as contribuições da Educação Matemática têm de fato, não só
influenciado, mas também, foram de suma importância para a elaboração dos
currículos prescritos do Brasil e Chile.
70
Tais afirmativas são baseadas em pressupostos. Nesse sentido, não há especificações técnicas
ou documentais que possas fundamentar essa afirmativa.
212
213
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Médio – PCN+. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
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___________, Lei nº 12.061/2009: alterou o inciso II do art. 4º e o inciso VI do
art. 10 da LDB, para assegurar o acesso de todos os interessados ao Ensino
Médio público.
___________, Lei nº 12.020/2009: alterou a redação do inciso II do art. 20,
que define instituições de ensino comunitárias.
___________, Lei nº 12.014/2009: alterou o art. 61 para discriminar as
categorias de trabalhadores que se devem considerar profissionais da
Educação Básica.
___________, Lei nº 12.013/2009: alterou o art. 12, determinando às
instituições de ensino obrigatoriedade no envio de informações escolares
aos pais, conviventes ou não com seus filhos.
___________,
estudantes.
Lei nº 11.788/2008: alterou o art. 82, sobre o estágio de
___________, Lei nº 11.741/2008: redimensionou, institucionalizou e integrou
as ações da Educação Profissional Técnica de nível médio, da Educação de
Jovens e Adultos e da Educação Profissional e Tecnológica.
___________, Lei nº 11.769/2008: incluiu parágrafo no art. 26, sobre a Música
como conteúdo obrigatório, mas não exclusivo.
___________, Lei nº 11.684/2008: incluiu Filosofia e Sociologia como
obrigatórias no Ensino Médio.
216
217
___________, Lei nº 11.645/2008: alterou a redação do art. 26-A, para incluir
no currículo a obrigatoriedade do estudo da História e Cultura AfroBrasileira e Indígena.
__________, Lei nº 11.301/2006: alterou o art. 67, incluindo, para os efeitos
do disposto no § 5º do art. 40 e no § 8º do art. 201 da Constituição Federal,
definição de funções de magistério.
__________, Lei nº 10.793/2003: alterou a redação do art. 26, § 3o, e do art.
92, com referência à Educação Física nos Ensinos Fundamental e Médio.
__________, Lei nº 10.709/2003: acrescentou incisos aos art. 10 e 11,
referentes ao transporte escolar.
__________, Lei nº 10.287/2001: incluiu inciso no art. 12, referente à
notificação ao Conselho Tutelar do Município, ao juiz competente da
Comarca e ao respectivo representante do Ministério Publico da relação dos
estudantes que apresentem quantidade de faltas acima de cinquenta por
cento do percentual permitido em lei.
__________, Parecer CNE/CEB n.º 3/1997, aprovado em 12 de março de 1997,
Aprecia os Parâmetros Curriculares Nacionais
__________, Parecer CNE/CEB n.º 4/1998, aprovado em 29 de janeiro de 1998,
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completa diurna y dicta normas para su aplicación.
__________, Ley 19979 de 03/11/2004 Modifica el régimen de jornada escolar
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Enseñanza de la Matemática Nivel de Educación Básica Fondo de
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217
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Abril/2010
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222
223
ANEXO 1 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio
BRASIL
Conceitos e procedimentos para o
primeiro ciclo do Ensino Fundamental PCN
Números
Naturais
e
Sistema
de
Numeração Decimal
• Reconhecimento de números no contexto
diário.
• Utilização de diferentes estratégias para
quantificar elementos de uma coleção:
contagem,
pareamento,
estimativa
e
correspondência de agrupamentos.
• Utilização de diferentes estratégias para
identificar números em situações que
envolvem contagens e medidas.
• Comparação e ordenação de coleções pela
quantidade de elementos e ordenação de
grandezas pelo aspecto da medida.
• Formulação de hipóteses sobre a grandeza
numérica, pela identificação da quantidade de
algarismos e da posição ocupada por eles na
escrita numérica.
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de
números familiares ou frequentes.
• Observação de critérios que definem uma
classificação de números (maior que, menor
que, estar entre) e de regras usadas em
seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade).
• Contagem em escalas ascendentes e
descendentes de um em um, de dois em dois,
de cinco em cinco, de dez em dez, etc., a
partir de qualquer número dado.
• Identificação de regularidades na série
numérica para nomear, ler e escrever
números menos frequentes.
• Utilização de calculadora para produzir e
comparar escritas numéricas.
• Organização em agrupamentos para facilitar
a contagem e a comparação entre grandes
coleções.
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de
notações numéricas pela compreensão das
características do sistema de numeração
decimal (base, valor posicional).
CHILE
Programa de Estudio
Del Primer y Segundo Años Básico
Números
Lectura de números: nombres, secuencia
numérica y reglas a considerar (lectura de
izquierda a derecha, reiteraciones en los
nombres).
Escritura de números: formación de números
de dos y tres cifras y reglas a considerar
(escritura de izquierda a derecha, la posición
de cada dígito).
Usos de los números en contextos en que
sirven para identificar objetos, para ordenar
elementos de un conjunto, para cuantificar, ya
sea contando, midiendo o calculando Conteo
de cantidades: de uno en uno, y formando
grupos, si procede (de 10, de 5, de 2).
Medición de longitud, volumen, masa (peso) y
reconocimiento de unidades correspondientes
a cada una de estas magnitudes (metro,
centímetro; litro, centímetro cúbico; kilogramo,
gramo).
Comparación de números y empleo de las
relaciones “igual que”, “mayor que” y “menor
que”.
Estimación de una cantidad o medida, a partir
de la visualización y manipulación tanto de
conjuntos de objetos como de magnitudes
físicas.
Comparación de cantidades y de medidas
utilizando relaciones de orden entre los
números correspondientes.
Transformación de números por aplicación
reiterada de una regla aditiva y estudio de
secuencias numéricas para determinar
regularidades (Ej: números terminados en 0 o
en 5, números pares e impares).
Descomposiciones aditivas de un número y
representación con objetos concretos o
dibujos. (Ejs: 9 como 4 + 5, como 3 + 6, etc.,
23 como 19 + 4, como 10 + 13, etc.).
Variación del valor de un dígito de acuerdo a
la posición que ocupa: centenas, decenas,
unidades y transformación de un número por
cambio de posición de sus dígitos.
Composición y descomposición aditiva de un
número en un múltiplo de 100, un múltiplo de
223
224
10 y unidades.
Operações com Números Naturais
• Análise, interpretação, resolução e
formulação
de
situações-problema,
compreendendo alguns dos significados das
operações, em especial da adição e da
subtração.
• Reconhecimento de que diferentes
situações-problema podem ser resolvidas por
uma única operação e de que diferentes
operações podem resolver um mesmo
problema.
• Utilização de sinais convencionais (+, -, x, :,
=) na escrita das operações.
• Construção dos fatos básicos das
operações a partir de situações-problema,
para constituição de um repertório a ser
utilizado no cálculo.
• Organização dos fatos básicos das
operações pela identificação de regularidades
e propriedades.
• Utilização da decomposição das escritas
numéricas para a realização do cálculo
mental exato e aproximado.
• Cálculos de adição e subtração, por meio de
estratégias pessoais e algumas técnicas
convencionais.
• Cálculos de multiplicação e divisão por meio
de estratégias pessoais.
• Utilização de estimativas para avaliar a
adequação de um resultado e uso de
calculadora
para
desenvolvimento
de
estratégias de verificação e controle de
cálculos.
Operaciones aritméticas
Asociación de situaciones que implican:
• juntar y separar, agregar y quitar
• avanzar y retroceder
• y comparar por diferencia, con
operaciones de adición y sustracción
las
Utilización de adiciones y sustracciones para
relacionar la información disponible (datos)
con la información no conocida (incógnita), al
interior de una situación de carácter aditivo.
Descripción de resultados de adiciones y
sustracciones en el contexto de la situación
en que han sido aplicadas.
Conteo de objetos concretos o de dibujos
para determinar sumas y restas.
Combinaciones
aditivas
básicas:
memorización gradual de adiciones de dos
números de una cifra (Ej. 2 + 4 = 6), apoyada
en manipulaciones y visualizaciones de
material concreto.
Deducción de las sustracciones respectivas
considerando la reversibilidad de las acciones
(Ej. 6 - 4 = 2 y 6 - 2 = 4)
Generalización de las combinaciones aditivas
básicas a las correspondientes decenas (Ej.
20 + 40 = 60) y centenas (Ej. 200 + 400 =
600).
Cálculo mental de sumas de números de dos
y de tres cifras con un número de una cifra,
utilizando
estrategias
tales
como:
descomposición aditiva de un sumando para
completar decenas (Ej. 25 + 7 como 25 + 5 +
2).
Conmutación de sumandos (Ej. 6 + 241 como
241 + 6).
Cálculo por proximidad a una suma de dobles
(Ej. 8 + 9 como 8 + 8 + 1).
Cálculo mental de restas de números de dos
y de tres cifrasmenos un número de una cifra,
utilizando descomposición aditiva para
completar decenas (Ej. 37 - 9 como 37 - 7 =
30 y 30 - 2 = 28).
Simbología
asociada
a
adiciones
y
sustracciones escritas Cálculo escrito de
sumas y restas con números de dos y tres
cifras, con complejidad creciente de las
relaciones entre ellos:
• para la adición, utilizando estrategias como
la descomposición aditiva de cada sumando.
Ejs. 40 +1 3 = 40 + 10 + 3;
57 + 38 = 50 + 30 + 7 + 8. En forma similar al
sumar números con tres cifras. Ejs. 125 + 24
= 100 +20 + 5 + 20 + 4;
237 + 452 = 200 + 30 + 7 + 400 + 50 + 2.
• para la sustracción, completando decenas y
centenas a
224
225
Espaço e Forma
• Localização de pessoas ou objetos no
espaço, com base em diferentes pontos de
referência e algumas indicações de posição.
• Movimentação de pessoas ou objetos no
espaço, com base em diferentes pontos de
referência e algumas indicações de direção e
sentido.
• Descrição da localização e movimentação
de pessoas ou objetos no espaço, usando
sua própria terminologia.
• Dimensionamento de espaços, percebendo
relações de tamanho e forma.
• Interpretação e representação de posição e
de movimentação no espaço a partir da
análise de maquetes, esboços, croquis e
itinerários.
• Observação de formas geométricas
presentes em elementos naturais e nos
objetos criados pelo homem e de suas
características:
arredondadas
ou
não,
simétricas ou não, etc.
• Estabelecimento de comparações entre
objetos do espaço físico e objetos
geométricos — esféricos, cilíndricos, cônicos,
cúbicos, piramidais, prismáticos — sem uso
obrigatório de nomenclatura.
• Percepção de semelhanças e diferenças
entre cubos e quadrados, paralelepípedos e
retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e
círculos.
• Construção e representação de formas
geométricas.
partir del sustraendo. Ejemplos:
(a) 54 - 30 como 30 + ___ = 54 ; 30 + 20 + 4
= 54;
(b) 50 - 28 como 28 +____= 50 ; 28 + 2+ 20 =
50.
Estimación de resultados de adiciones y
sustracciones a partir del redondeo de los
términos involucrados
Comparación de variados ejemplos de
adiciones
con
el
mismo
resultado,
correspondientes a cambio de orden de los
sumandos (conmutatividad) y a la secuencia
en que se realizan las adiciones de más de
dos sumandos (asociatividad) y formulación
de
afirmaciones
que
implican
un
reconocimiento de estas propiedades.
Comparación de variados ejemplos de
adiciones y sustracciones en que uno de los
términos es 0 (elemento neutro) y formulación
de afirmaciones respecto al comportamiento
del 0 en sumas y restas.
Comparación de variados ejemplos de
adiciones y sustracciones que corresponden
a acciones inversas como agregar5 y quitar 5
y formulación de afirmaciones que implican
un reconocimiento de la relación inversa entre
adición y sustracción
Formas y espacio
Asociación entre objetos del entorno y formas
geométricas (líneas curvas y rectas,
cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos,
cubos, prismas rectos, cilindros y esferas),
utilizando
los
nombres
geométricos
correspondientes.
Número de dimensiones de las formas
geométricas: distinción entre líneas (una
dimensión), figuras planas (dos dimensiones)
y cuerpos (tres dimensiones).
Reconocimiento del carácter curvo o recto en
las formas geométricas de una y dos
dimensiones y del carácter curvo o plano, en
las formas de tres dimensiones.
Identificación de lados, vértices, ángulos, en
una figura plana y descripción de cuadrados,
rectángulos y triángulos considerando número
y longitud de los lados y presencia de ángulos
rectos.
Exploración de figuras planas empleando
materiales de apoyo (varillas, geoplanos,
redes de puntos y otros); trazado y armado de
cuadrados, rectángulos y triángulos.
Formación y transformación de figuras planas
mediante yuxtaposición y corte de formas
cuadradas, triangulares y rectangulares.
Identificación de caras, aristas y vértices en
cuerpos geométricos y descripción de cubos y
prismas rectos con bases de distintas formas,
considerando número de aristas y de vértices,
número y forma de las caras y percepción de
la perpendicularidad entre ellas.
225
226
Exploración
de
cuerpos
geométricos;
modelado y armado de cubos y prismas
rectos.
Transformación de cuerpos geométricos
mediante yuxtaposición y separación de
cubos y prismas rectos.
Posiciones y trayectorias de objetos:
descripción
considerando
referentes,
direcciones y cambios de dirección.
Grandezas e Medidas
• Comparação de grandezas de mesma
natureza, por meio de estratégias pessoais e
uso de instrumentos de medida conhecidos
— fita métrica, balança, recipientes de um
litro, etc.
• Identificação de unidades de tempo — dia,
semana, mês, bimestre, semestre, ano — e
utilização de calendários.
• Relação entre unidades de tempo — dia,
semana, mês, bimestre, semestre, ano.
• Reconhecimento de cédulas e moedas que
circulam no Brasil e de possíveis trocas entre
cédulas e moedas em função de seus
valores.
• Identificação dos elementos necessários
para comunicar o resultado de uma medição
e produção de escritas que representem essa
medição.
• Leitura de horas, comparando relógios
digitais e de ponteiros.
Tratamento da Informação
• Leitura e interpretação de informações
contidas em imagens.
• Coleta e organização de informações.
• Criação de registros pessoais para
comunicação das informações coletadas.
• Exploração da função do número como
código na organização de informações (linhas
de ônibus, telefones, placas de carros,
registros de identidade, bibliotecas, roupas,
calçados).
• Interpretação e elaboração de listas, tabelas
simples, de dupla entrada e gráficos de barra
para comunicar a informação obtida.
• Produção de textos escritos a partir da
interpretação de gráficos e tabelas.
226
227
ANEXO 2 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio
.
-
.
BRASIL
Conceitos e procedimentos para o
Segundo Ciclo do Ensino Fundamental
PCN
Números Naturais, Sistema de Numeração
Decimal e Números Racionais.
• Reconhecimento de números naturais e
racionais no contexto diário.
• Compreensão e utilização das regras do
sistema de numeração decimal, para leitura,
escrita, comparação e ordenação de números
naturais de qualquer ordem de grandeza.
• Formulação de hipóteses sobre a grandeza
numérica, pela observação da posição dos
algarismos na representação decimal de um
número racional.
• Extensão das regras do sistema de
numeração decimal para compreensão,
leitura e representação dos números
racionais na forma decimal.
• Comparação e ordenação de números
racionais na forma decimal.
• Localização na reta numérica, de números
racionais na forma decimal.
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de
representações fracionárias de uso frequente.
• Reconhecimento de que os números
racionais admitem diferentes (infinitas)
representações na forma fracionária.
• Identificação e produção de frações
equivalentes,
pela
observação
de
representações gráficas e de regularidades
nas escritas numéricas.
• Exploração dos diferentes significados das
frações em situações-problema: parte-todo,
quociente e razão.
• Observação de que os números naturais
podem ser expressos na forma fracionária.
• Relação entre representações fracionária e
decimal de um mesmo número racional.
• Reconhecimento do uso da porcentagem no
contexto diário.
CHILE
Programa de Estudio
Del Tercer y Cuarto Años Básico
Números
Números naturales: del 0 al 1 000 000
Lectura de números: nombres, tramos de
secuencia, consideración del cero en distintas
posiciones, regularidades(reiteración de los
nombres de los números de una, dos y tres
cifras a los que se agrega la palabra “mil”
para nominar números de cuatro, cinco y seis
cifras).
Escritura de números: formación de números
de cuatro, cinco y seis cifras a partir de los ya
conocidos, a los que se agrega una, dos y
tres cifras según se trate de miles, decenas
de miles o centenas de miles,
respectivamente.
Representación de números, cantidades y
medidas en una recta graduada y lectura de
escalas en instrumentos de medición.
Uso de tablas, cuadros de doble entrada,
gráficos de barra para seleccionar y organizar
datos Usos de los números en situaciones
diversas, tales como: comunicar resultados,
responder preguntas, relatar experiencias
Procedimiento para comparar números,
considerando el número de cifras y el valor
posicional de ellas y para redondear números
a distintos niveles de aproximación (a
decenas, a unidades de mil, etc.) y uso de los
símbolos asociados al orden de los números.
Estimación y comparación de cantidades y
medidas, directa mente, por visualización o
manipulación, o mediante redondeo de
acuerdo al contexto de los datos.
Transformación de números por aplicación
reiterada de una regla aditiva y estudio de
secuencias numéricas constituidas por
múltiplos de un número.
Descomposición multiplicativa de un número,
representación con objetos concretos o
dibujos y exploración de distintas
descomposiciones de un mismo número
(Ejemplo: 24 como 12 x 2, como 8 x 3, como
6 x 4, etc.).
Valor representado por cada cifra de acuerdo
a su posición en un número expresado en
unidades y transformación de un número de
más de 3 cifras por cambio de posición de
sus dígitos
Composición y descomposición aditiva y
multiplicativa de un número en unidades y
múltiplos de potencias de 10. (Ejemplo 2 384
= 2 x 1 000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 4).
Sistema monetario nacional: monedas,
227
228
billetes, sus equivalencias y su relación con el
sistema de numeración decimal.
Unidades de medida: de longitud (kilómetros,
metros, centímetros), de superficie (metros
cuadrados, centímetros cuadrados), de
volumen (litros, centímetros cúbicos), de
masa o “peso” (toneladas, kilogramos,
gramos), equivalencias dentro de unidades de
medida para una misma magnitud y su
relación con el sistema de numeración
decimal.
Unidades de medida de tiempo: días, horas,
minutos, segundos, como ejemplos de un
sistema de medida no decimal.
Números racionales: las fracciones
Situaciones de reparto equitativo y de
medición que dan lugar a la necesidad de
incorporar las fracciones.
Fraccionamiento en partes iguales de objetos,
de unidades de medida (longitud, superficie,
volumen) mediante procedimientos tales
como, dobleces y cortes, trazado de líneas y
coloreo de partes, trasvasamientos.
Reconstrucción del entero a partir de las
partes, en cada caso.
Lectura y escritura de fracciones: medios,
tercios, cuartos, octavos, décimos y
centésimos, usando como referente un
objeto, un conjunto de objetos fraccionables o
una unidad de medida.
Uso de fracciones: en la representación de
cantidades y medidas de diferentes
magnitudes, en contextos cotidianos.
Familias de fracciones de igual valor con
apoyo de material concreto.
Comparación de fracciones mediante
representación gráfica y ubicación en tramos
de una recta numérica graduada en unidades
enteras.
Operações com Números Naturais e
Racionais
• Análise, interpretação, formulação e
resolução
de
situações-problema,
compreendendo diferentes significados das
operações envolvendo números naturais e
racionais.
• Reconhecimento de que diferentes
situações-problema podem ser resolvidas por
uma única operação e de que diferentes
operações podem resolver um mesmo
problema.
• Resolução das operações com números
naturais, por meio de estratégias pessoais e
do uso de técnicas operatórias convencionais,
com compreensão dos processos nelas
envolvidos.
• Ampliação do repertório básico das
operações com números naturais para o
Operaciones aritméticas
Adiciones y sustracciones en situaciones que:
implican una combinación de ambas
operaciones, contienen la incógnita en
distintos
lugares;
permiten
diferentes
respuestas.
Generalización de combinaciones aditivas
básicas a múltiplos de 1 000 (Ejemplos: 3 000
+ 4 000; 30 000 + 40 000; 300 000 + 400 000)
y empleo de estrategias de cálculo mental
conocidas (Ejemplo: 25 + 7 como 25 + 5 + 2 )
en números de la familia de los miles
(Ejemplo: 25 000 + 7 000 como 25 000 + 5
000 + 2 000).
Procedimientos de cálculo escrito de
adiciones y sustracciones que, partiendo de la
descomposición aditiva de los sumandos y de
la completación de decenas y centenas,
gradualmente se van resumiendo hasta llegar
228
229
desenvolvimento do cálculo mental e escrito.
• Cálculo de adição e subtração de números
racionais na forma decimal, por meio de
estratégias pessoais e pelo uso de técnicas
operatórias convencionais.
• Desenvolvimento de estratégias de
verificação e controle de resultados pelo uso
do cálculo mental e da calculadora.
• Decisão sobre a adequação do uso do
cálculo mental — exato ou aproximado — ou
da técnica operatória, em função do
problema, dos números e das operações
envolvidas.
• Cálculo simples de porcentagens.
a alguna versión de los algoritmos
convencionales.
Aplicación
de
estos
procedimientos en el ámbito de los números
conocidos.
Asociación de situaciones correspondientes a
una
adición
reiterada,
un
arreglo
bidimensional (elementos ordenados en filas
y columnas), una relación de proporcionalidad
(correspondencia uno a varios), un reparto
equitativo y una comparación por cuociente,
con las operaciones de multiplicación y
división.
Utilización de multiplicaciones y divisiones
para relacionar la información disponible
(datos) con la información no conocida
(incógnita), al interior de una situación de
carácter multiplicativo.
Descripción del significado de resultados de
multiplicaciones y divisiones en el contexto de
la situación en que han sido aplicadas.
Manipulación de objetos y representación
gráfica de situaciones multiplicativas y
utilización de técnicas tales como adiciones o
sustracciones reiteradas, para determinar
productos y cuocientes.
Combinaciones
multiplicativas
básicas:
memorización paulatina de multiplicaciones
con factores hasta 10 (Ejemplo: 3 x 4 = 12),
apoyada en manipulaciones y visualizaciones
con material concreto. Deducción de las
divisiones respectivas (Ejemplo: 12 : 4 = 3 y
12 : 3 = 4).
Multiplicación de un número por potencias de
10 (Ejemplo: 23 x 1 000= 23 000) y las
divisiones respectivas (Ejemplo: 23 000 : 1
000 = 23).
Cálculo mental de productos y cuocientes
utilizando
estrategias
tales
como:
descomposición aditiva de factores (Ejemplo:
25 x 12 como 25 x 10 + 25 x 2),
descomposición multiplicativa de factores
(Ejemplo: 32 x 4 como 32 x 2 x 2), reemplazo
de un factor por un cuociente equivalente
(Ejemplo: 48 x 50 como 48 x 100 : 2).
Simbología asociada a multiplicaciones y
divisiones escritas.
División con resto distinto de 0 y
establecimiento de igualdades del tipo: 29 = 7
x 4 + 1 que proviene de la división 29 : 4.
Prioridad de la multiplicación y la división
sobre la adición y la sustracción en la
realización de cálculos combinados (Ejemplo:
16 – 4 x 2 = 16 – 8).
Cálculo escrito de productos en que uno de
los factores es un número de una o dos cifras
o múltiplo de 10, 100 y 1 000; y de cuocientes
y restos en que el divisor es un número de
una cifra:
• para la multiplicación, utilizando inicialmente
estrategias basadas en la descomposición
229
230
Espaço e Forma
• Descrição, interpretação e representação da
posição de uma pessoa ou objeto no espaço,
de diferentes pontos de vista.
• Utilização de malhas ou redes para
representar, no plano, a posição de uma
pessoa ou objeto.
• Descrição, interpretação e representação da
movimentação de uma pessoa ou objeto no
espaço e construção de itinerários.
• Representação do espaço por meio de
maquetes.
• Reconhecimento de semelhanças e
diferenças entre corpos redondos, como a
esfera, o cone, o cilindro e outros.
• Reconhecimento de semelhanças e
aditiva de los factores y en la propiedad
distributiva de la multiplicación sobre la
adición, que evolucionan hasta llegar a
alguna versión del algoritmo convencional;
• para la división, basándose en la
determinación del factor por el cual hay que
multiplicar el divisor para acercarse al
dividendo, de modo que el resto sea inferior al
divisor.
Uso de la calculadora en base a
consideraciones tales como, cantidad de
cálculos a realizar, tamaño de los números,
complejidad de los cálculos.
Técnicas de estimación y redondeo para
controlar la validez de un cálculo y detectar
eventuales errores.
Comparación de variados ejemplos de
multiplicaciones con resultado constante y
formulación de afirmaciones que implican un
reconocimiento de las propiedades en juego,
correspondientes a:
• cambio de orden de los factores
(conmutatividad);
• secuencia en que se realizan las
multiplicaciones de más de dos factores
(asociatividad);
• productos en los que uno de los factores es
una suma (distributividad de la multiplicación
respecto a la adición).
Comparación de variados ejemplos de
multiplicaciones y divisiones en las que
intervienen el 0 y el 1 (Ejemplos: 24 x 1 = 24;
84 x 0 = 0; 18 : 0 no está definida), y
formulación de afirmaciones respecto del
comportamiento del 0 y el 1 en
multiplicaciones y divisiones.
Comparación de variados ejemplos de
multiplicaciones
y
divisiones
que
corresponden a situaciones inversas como:
repartir equitativamente entre 5 y luego volver
a juntar lo repartido, y formulación de
afirmaciones que implican un reconocimiento
de la relación inversa entre la multiplicación y
la división.
Formas y espacio
Elementos geométricos en figuras planas:
rectas paralelas y rectas perpendiculares
(percepción y verificación); clasificación de
ángulos en rectos, agudos (menor que el
ángulo recto), y obtusos (mayor que el ángulo
recto).
Triángulos:
Exploración de diversos tipos de triángulos y
clasificación en relación con:
• la longitud de sus lados (3 lados iguales,
sólo 2 lados iguales, 3 lados desiguales);
• la medida de sus ángulos (1 ángulo recto,
sólo ángulos agudos, 1 ángulo obtuso);
• el número de ejes de simetría (con 0, con 1
o con 3 ejes de simetría).
230
231
diferenças entre poliedros (como os prismas,
as pirâmides e outros) e identificação de
elementos como faces, vértices e arestas.
• Composição e decomposição de figuras
tridimensionais,
identificando
diferentes
possibilidades.
• Identificação da simetria em figuras
tridimensionais.
• Exploração das planificações de algumas
figuras tridimensionais.
• Identificação de figuras poligonais e
circulares nas superfícies planas das figuras
tridimensionais.
• Identificação de semelhanças e diferenças
entre polígonos, usando critérios como
número de lados, número de ângulos, eixos
de simetria,
etc.
• Exploração de características de algumas
figuras planas, tais como: rigidez triangular,
paralelismo e perpendicularismo de lados,
etc.
• Composição e decomposição de figuras
planas e identificação de que qualquer
polígono pode ser composto a partir de
figuras triangulares.
• Ampliação e redução de figuras planas pelo
uso de malhas.
• Percepção de elementos geométricos nas
formas da natureza e nas criações artísticas.
• Representação de figuras geométricas.
Trazado de triángulos pertenecientes a las
clases estudiadas.
Cuadriláteros:
Exploración de diversos tipos de cuadriláteros
y clasificación en relación con:
• la longitud de sus lados (todos los lados
iguales, todos los lados diferentes y 2 pares
de lados iguales);
• el número de pares de lados paralelos (con
0, con 1 o con 2 pares);
• el número de ángulos rectos (con 0, con 2 o
con 4);
• el número de ejes de simetría (con 0, con 1,
con 2, con 4).
Trazado de cuadriláteros pertenecientes a las
clases estudiadas.
Realización de traslaciones, reflexiones y
rotaciones manipulando dibujos de objetos y
de formas geométricas, para
observar qué características cambian y
cuáles se mantienen.
Ampliación y reducción de dibujos de objetos
y de formas geométricas para observar qué
características cambian y cuáles se
mantienen.
Prismas rectos, pirámides, cilindros y conos:
Exploración y descripción en relación con:
• el número y forma de las caras
• el número de aristas y de vértices
Armado de estos cuerpos en base a una red.
Representación plana de objetos y cuerpos
geométricos, e identificación del objeto
representado y de la posición desde la cual
se realizó.
Representación gráfica de trayectorias:
dibujar considerando referentes, direcciones y
cambios de dirección e interpretación que
permita ejecutar la trayectoria representada.
Grandezas e Medidas
• Comparação de grandezas de mesma
natureza, com escolha de uma unidade de
medida da mesma espécie do atributo a ser
mensurado.
• Identificação de grandezas mensuráveis no
contexto
diário:
comprimento,
massa,
capacidade, superfície, etc.
• Reconhecimento e utilização de unidades
usuais de medida como metro, centímetro,
quilômetro, grama, miligrama, quilograma,
litro, mililitro, metro quadrado, alqueire, etc.
• Reconhecimento e utilização de unidades
usuais de tempo e de temperatura.
• Estabelecimento das relações entre
unidades usuais de medida de uma mesma
grandeza.
• Reconhecimento dos sistemas de medida
que são decimais e conversões usuais,
utilizando-as nas regras desse sistema.
• Reconhecimento e utilização das medidas
de tempo e realização de conversões
231
232
simples.
• Utilização de procedimentos e instrumentos
de medida, em função do problema e da
precisão do resultado.
• Utilização do sistema monetário brasileiro
em situações-problema.
• Cálculo de perímetro e de área de figuras
desenhadas em malhas quadriculadas e
comparação de perímetros e áreas de duas
figuras sem uso de fórmulas.
Tratamento da Informação
• Coleta, organização e descrição de dados.
• Leitura e interpretação de dados
apresentados de maneira organizada
(por meio de listas, tabelas, diagramas e
gráficos)
e
construção
dessas
representações.
• Interpretação de dados apresentados por
meio de tabelas e gráficos, para identificação
de características previsíveis ou aleatórias de
acontecimentos.
• Produção de textos escritos, a partir da
interpretação
de
gráficos
e
tabelas,
construção
de gráficos e tabelas com
base em informações contidas em textos
jornalísticos, científicos ou outros.
• Obtenção e interpretação de média
aritmética.
• Exploração da idéia de probabilidade em
situações-problema simples, identificando
sucessos possíveis, sucessos seguros e as
situações de “sorte”.
• Utilização de informações dadas para
avaliar probabilidades.
• Identificação das possíveis maneiras de
combinar elementos de uma coleção e de
contabilizá-las usando estratégias pessoais.
232
233
ANEXO 3 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio
BRASIL
Conceitos e procedimentos para o terceiro
ciclo do Ensino Fundamental II
Números e Operações
• Reconhecimento dos significados dos
números naturais em diferentes contextos e
estabelecimento de relações entre números
naturais, tais como “ser múltiplo de”, “ser
divisor de”.
• Compreensão do sistema de numeração
decimal, identificando o conjunto de regras e
símbolos que o caracterizam e extensão das
regras desse sistema para leitura, escrita e
representação dos números racionais na
forma decimal.
• Reconhecimento de números inteiros em
diferentes contextos — cotidianos e históricos
— e exploração de situações-problema em
que indicam falta, diferença, orientação
(origem) e deslocamento entre dois pontos.
• Reconhecimento de números racionais em
diferentes contextos — cotidianos e históricos
— e exploração de situações-problema em
que indicam relação parte/todo, quociente,
razão ou funcionam como operador.
• Localização na reta numérica de números
racionais e reconhecimento de que estes
podem ser expressos na forma fracionária e
decimal, estabelecendo relações entre essas
representações.
• Análise, interpretação, formulação e
resolução
de
situações-problema,
compreendendo diferentes significados das
operações, envolvendo números naturais,
inteiros e racionais, reconhecendo que
diferentes situações-problema podem ser
resolvidas por uma única operação e que
eventualmente diferentes operações podem
resolver um mesmo problema.
• Cálculos (mentais ou escritos, exatos ou
aproximados) envolvendo operações — com
números naturais, inteiros e racionais —, por
meio
de
estratégias
variadas,
com
compreensão
dos
processos
nelas
envolvidos, utilizando a calculadora para
verificar e controlar resultados.
• Compreensão da potência com expoente
inteiro positivo como produto reiterado de
fatores iguais, identificando e fazendo uso
das propriedades da potenciação em
situações-problema.
• Atribuição de significado à potência de
expoente nulo e negativo pela observação de
regularidades
e
pela
extensão
das
propriedades das potências com expoente
positivo.
• Compreensão da raiz quadrada e cúbica de
um número, a partir de problemas como a
determinação do lado de um quadrado de
CHILE
Programa de Estudio
Del quinto e Sexto Años Básico
Unidad 1 – Números para 5º ano
1. Escribir, ordenar y comparar números
naturales de más de seis dígitos.
2. Comunicar información relativa a
situaciones representadas por números de
más de seis cifras.
3. Reconocer números primos de una, dos y
tres cifras y resolver problemas matemáticos
donde ellos intervienen.
4. Calcular el Mínimo Común Múltiplo y el
Máximo Común Divisor de números
Naturales.
5. Descubrir regularidades que se establecen
entre divisores, factores y múltiplos
de
números naturales al descomponer éstos en
factores primos.
6.
Reconocer
regularidades
en
la
multiplicación por potencias de diez con
números naturales.
7. Resolver en forma oral y escrita los
procedimientos utilizados en la multiplicación
y en la división.
8. Resolver problemas con:
• adición, sustracción y multiplicación.
• divisiones, utilizando la relación entre
el dividendo, divisor y resto de esas
divisiones.
úmeros y Álgebra para 5º ano
1.
Calcular
expresiones
algebraicas
reemplazando la letras por el valor numérico.
2.
Representar
situaciones
numéricas
utilizando letras.
3. Utilizar el procedimiento de reducción de
términos semejantes.
4. Demostrar y comprender las fracciones
utilizando representaciones
concretas y pictóricas para:
• Escribir grupos de fracciones iguales
• Comparar fracciones con igual y
distinto denominador
5. Describir y representar decimales
(decimos, centésimos y milésimos) en forma
concreta pictórica y simbólica.
6. Relacionar decimales con fracciones (hasta
centésimas).
7. Utilizar estrategias para representar y
ordenar fracciones y decimales positivos en la
recta numérica.
8. Utilizar procedimientos escritos para
efectuar adiciones y sustracciones con
fracciones.
9. Utilizar procedimientos de cálculo mental y
escrito
para
efectuar
adiciones
y
sustracciones con decimales positivos.
233
234
área conhecida ou da aresta de um cubo de
volume dado.
• Cálculos aproximados de raízes quadradas
por meio de estimativas e fazendo uso de
calculadoras.
• Resolução de situações-problema que
envolve a idéia de proporcionalidade,
incluindo os cálculos com porcentagens, pelo
uso de estratégias não-convencionais.
• Resolução de problemas de contagem,
incluindo os que envolvem o princípio
multiplicativo, por meio de estratégias
variadas, como a construção de esquemas e
tabelas.
• Utilização de representações algébricas
para
expressar
generalizações
sobre
propriedades das operações aritméticas e
regularidades observadas em algumas
sequências numéricas.
• Compreensão da noção de variável pela
interdependência da variação de grandezas.
• Construção de procedimentos para calcular
o valor numérico de expressões algébricas
simples.
10. Resolver problemas en contextos diversos
utilizando
operatorias con fracciones y
decimales
Unidad 1 – Números y Algebra I para 6º
ano
1. Identificar regularidades en la multiplicación
y división de un número decimal por 10, 100,
o 1.000.
2. Calcular en forma escrita y mental
multiplicaciones y divisiones de fracciones.
3. Relacionar las fracciones impropias
Con números mixtos.
4. Demostrar que comprenden
la
multiplicación y la división de decimales.
5. Estudiar regularidades en la multiplicación
y división de fracciones
y números decimales positivos utilizando la
calculadora.
6. Demostrar que comprenden las
razones utilizando material concreto,
en forma gráfica y simbólica.
7. Demostrar que comprenden porcentajes
(en el ámbito de los números naturales) con
material
concreto,
gráficamente,
y
simbólicamente.
8. Establecer la relación que existe entre
porcentajes y su expresión como fracción o
decimal y aplicarla en la resolución de
problemas.
9. Formular y verificar conjeturas respecto
del comportamiento de algún fenómeno
mediante
el
estudio
de
variaciones
porcentuales.
10. Resolver problemas en contextos
diversos que:
- Involucran las cuatro operaciones
aritméticas en el ámbito de los
números naturales, fracciones y
decimales positivos.
Unidad 2 – Números y Algebra II para 6º
ano
1. Expresar potencias de base 10 y
exponente natural y aplicarlas en situaciones
diversas.
2. Identificar regularidades al multiplicar y
dividir potencias de igual
base y exponente natural.
3. Representar generalizaciones que surjan a
partir de relaciones numéricas utilizando
letras como variables.
4. Reconocer ecuaciones de primer grado con
una incógnita en el ámbito de los números
naturales verificando la igualdad.
5. Utilizar estrategias para resolver
ecuaciones de primer grado que son
234
235
Tratamento da Informação
• Coleta, organização de dados e utilização
de recursos visuais adequados (fluxogramas,
tabelas e gráficos) para sintetizá-los,
comunicá-los e permitir a elaboração de
conclusões.
• Leitura e interpretação de dados expressos
em tabelas e gráficos.
• Compreensão do significado da média
aritmética como um indicador da tendência de
uma pesquisa.
• Representação e contagem dos casos
possíveis em situações combinatórias.
• Construção do espaço amostral e indicação
da possibilidade de sucesso de um evento
pelo uso de uma razão.
Espaço e Forma
• Interpretação, a partir de situaçõesproblema (leitura de plantas, croquis, mapas),
da posição de pontos e de seus
deslocamentos no plano, pelo estudo das
representações
em
um
sistema
de
modelos de diversas situaciones de la vida
cotidiana.
6. Verificar soluciones de ecuaciones de
primer grado con una incógnita obtenidas en
la resolución de ellas, mediante sustitución de
la incógnita o el análisis del contexto.
Unidad 2 – Dato y Azar para 5º ano
1. Extraer información a partir de datos
organizados en gráficos de línea y barras
múltiples.
2. Comparar información extraída de datos
organizados en gráficos de línea, barras
múltiples y responder preguntas a partir de la
información obtenida.
3. Construir gráficos de líneas, manualmente
o usando herramientas
tecnológicas a partir de datos organizados en
tablas.
4. Construir gráficos de barras múltiples,
manualmente
o
usando
herramientas
tecnológicas a partir de datos organizados en
tablas.
5. Reconocer como se comportan ciertas
variables cuya relación se expresa en un
gráfico de barras múltiples y de línea.
6. Expresar la probabilidad de ocurrencia de
un evento mediante un
lenguaje simple.
Unidad 2 – Dato y Azar para 6º ano
1. Demostrar que comprenden las medidas
de tendencia central:
• determinando las medidas de tendencia
central (media, mediana, moda) y el conjunto
de datos.
• determinando la más apropiada de las
medidas de tendencia central que
Entregue resultados y conclusiones.
• interpretando su significado a partir de
información obtenida en medios de
comunicación.
2. Construir y rotular gráficos circulares.
3. Resolver problemas que impliquen
interpretar
información
desde
gráficos
circulares.
4. Comprender los conceptos de población y
muestra.
5. Identificar situaciones donde es necesario
tomar muestras.
6. Estimar la probabilidad de ocurrencia de
eventos, a partir de la identificación de
patrones en el comportamiento de resultados
de experimentos aleatorios simples en
contextos lúdicos.
Unidad 4 – Geometría para 5º ano
1. Estimar áreas de figuras del plano
utilizando distintas estrategias: concreta,
pictórica y simbólica.
2.Elaborar y utilizar estrategias para calcular
235
236
coordenadas cartesianas.
• Distinção, em contextos variados, de figuras
bidimensionais
e
tridimensionais,
descrevendo
algumas
de
suas
características, estabelecendo relações entre
elas e utilizando nomenclatura própria.
• Classificação de figuras tridimensionais e
bidimensionais, segundo critérios diversos,
como: corpos redondos e poliedros; poliedros
regulares e não-regulares; prismas, pirâmides
e outros poliedros; círculos, polígonos e
outras figuras; número de lados dos
polígonos; eixos de simetria de um polígono;
paralelismo de lados, medidas de ângulos e
de lados.
• Composição e decomposição de figuras
planas.
• Identificação de diferentes planificações de
alguns poliedros.
• Transformação de uma figura no plano por
meio de reflexões, translações e rotações e
identificação de medidas que permanecem
invariantes nessas transformações (medidas
dos lados, dos ângulos, da superfície).
• Ampliação e redução de figuras planas
segundo uma razão e identificação dos
elementos que não se alteram (medidas de
ângulos) e dos que se modificam (medidas
dos lados, do perímetro e da área).
• Quantificação e estabelecimento de
relações entre o número de vértices, faces e
arestas de prismas e de pirâmides, da relação
desse número com o polígono da base e
identificação de algumas propriedades, que
caracterizam cada um desses sólidos, em
função desses números.
• Construção da noção de ângulo associada à
idéia de mudança de direção e pelo seu
reconhecimento em figuras planas.
• Verificação de que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é 180º.
áreas de rectángulos y figuras que se
descomponen en rectángulos expresando el
resultado en metros, centímetros o milímetros
cuadrados.
3. Elaborar y utilizar estrategias para obtener
áreas de triángulos y aplicar este cálculo para
obtener áreas de paralelogramos.
4. Formular y verificar conjeturas en casos
particulares relativa al cambio en el área de
paralelogramos al variar uno o más de sus
lados y de triángulos al variar los lados y su
altura correspondiente.
5. Resolver problemas en contextos diversos
que implican áreas de triángulos y
paralelogramos
utilizando
diversas
estrategias.
Unidad 3 – Geometría para 6º ano
1. Demostrar que comprenden los ángulos:
• identificando ejemplos de ángulos en el
ambiente.
• clasificando ángulos de acuerdo a sus
medidas.
• estimando las medidas de ángulos,
utilizando 45°, 90° y 180° como ángulos de
referencia.
• determinando ángulos en grados.
• dibujando y rotulando ángulos cuando la
medida es específica.
2. Resolver problemas relativos a ángulos
que se forman en rectas paralelas cortadas
por una transversal.
3. Formular y demostrar conjeturas acerca de
la suma de ángulos en:
• Triángulos
• Cuadriláteros
4. Resolver problemas en situaciones
variadas que implican el cálculo de la medida
de ángulos interiores y exteriores en
triángulos y cuadriláteros
Grandezas e Medidas
• Reconhecimento de grandezas como
comprimento, massa, capacidade, superfície,
volume,
ângulo,
tempo,
temperatura,
velocidade e identificação de unidades
adequadas (padronizadas ou não) para medilas, fazendo uso de terminologia própria.
• Reconhecimento e compreensão das
unidades de memória da informática, como
bytes, quilobytes, megabytes e gigabytes em
contextos apropriados, pela utilização da
potenciação.
• Obtenção de medidas por meio de
estimativas e aproximações e decisão quanto
a resultados razoáveis dependendo da
situação-problema.
• Utilização de instrumentos de medida, como
régua, escalímetro, transferidor, esquadro,
236
237
trena, relógios,
cronômetros, balanças para fazer medições,
selecionando os instrumentos e unidades de
medida adequadas à precisão que se
requerem, em função da situação-problema.
• Compreensão da noção de medida de
superfície e de equivalência de figuras planas
por meio da composição e decomposição de
figuras.
• Cálculo da área de figuras planas pela
decomposição e/ou composição em figuras
de áreas conhecidas, ou por meio de
estimativas.
• Indicar o volume de um recipiente em forma
de paralelepípedo retângulo pela contagem
de cubos utilizados para preencher seu
interior.
• Estabelecimento de conversões entre
algumas unidades de medida mais usuais
(para comprimento, massa, capacidade,
tempo) em resolução de situações-problema.
237
238
ANEXO 4 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio
BRASIL
Conceitos e procedimentos para o quarto
ciclo do Ensino Fundamental II
Números e Operações
• Constatação que existem situaçõesproblema, em particular algumas vinculadas à
Geometria e medidas, cujas soluções não são
dadas por números racionais (caso do p, da
23 , etc.).
• Identificação de um número irracional como
um número de representação decimal infinita,
e não-periódica, e localização de alguns deles
na reta numérica, com régua e compasso.
•
Análise, interpretação, formulação e
resolução
de
situações-problema,
compreendendo diferentes significados das
operações, envolvendo números naturais,
inteiros, racionais e irracionais aproximados
por racionais.
• Resolução de situações-problema de
contagem, que envolvem o princípio
multiplicativo, por meio de estratégias
variadas, como a construção de diagramas,
tabelas e esquemas sem a aplicação de
fórmulas.
• Construção de procedimentos para calcular
o número de diagonais de um polígono pela
observação de regularidades existentes entre
o número de lados e o de diagonais.
• Identificação da natureza da variação de
duas grandezas diretamente proporcionais,
inversamente
proporcionais
ou
nãoproporcionais
(afim
ou
quadrática),
expressando a relação existente por meio de
uma sentença algébrica e representando-a no
plano cartesiano.
• Resolução de problemas que envolvem
grandezas diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais
por meio de
estratégias variadas, incluindo a regra de três.
•
Resolução de situações-problema que
envolvem juros simples e alguns casos de
juros compostos, construindo estratégias
variadas, particularmente as que fazem uso
de calculadora.
• Tradução de situações-problema por
equações ou inequações do primeiro grau,
utilizando as propriedades da igualdade ou
desigualdade,
na
construção
de
procedimentos para resolvê-las, discutindo o
significado das raízes encontradas em
confronto com a situação proposta.
• Resolução de situações-problema por meio
de um sistema de equações do primeiro grau,
construindo diferentes procedimentos para
resolvê-lo, inclusive o da representação das
equações no plano cartesiano, discutindo o
CHILE
Programa de Estudio
Del setimo e octavo Años Básico
Unidad 1 – úmeros y Álgebra para 7º ano
1. Identificar problemas que no admiten
solución en los números naturales y que
pueden ser resueltos en los números enteros.
2. Establecer relaciones de orden entre
números enteros y ubicar estos números en
la recta numérica.
3. Sumar y restar números enteros e
interpretar estas operaciones.
4. Reconocer propiedades relativas a la
adición y sustracción de números enteros y
aplicarlas en cálculos numéricos.
5. Reconocer una proporción como una
igualdad entre dos razones.
6. Caracterizar expresiones semejantes y
reconocerlas en contextos diversos.
7. Establecer estrategias para reducir
términos semejantes.
8. Resolver problemas que impliquen
plantear y resolver ecuaciones de primer
grado con una incógnita en el
ámbito de los números enteros y
fracciones o decimales positivos,
y problemas que involucran proporcionalidad.
Unidad 1 – Números y Algebra para 8º ano
1. Establecer estrategias para calcular
multiplicaciones y divisiones de números
enteros.
2. Utilizar estrategias para determinar el valor
de potencias de base entera y
exponente natural.
3. Determinar propiedades de multiplicación y
división de potencias de base entera y
exponente natural.
4. Verificar que propiedades de potencias de
base entera y exponente natural se cumplen
en potencias de base fraccionaria positiva,
decimal positiva y exponente natural.
5. Resolver problemas que involucren las
operaciones con números enteros
Y las potencias de base entera, fraccionaria
o decimal positiva y exponente natural
Unidad 4 – Algebra para 8º ano
1. Plantear ecuaciones que representan la
relación entre dos variables en diversos
contextos.
2. Reconocer funciones en diversos
contextos, identificar sus elementos y
representar diversas situaciones por meio de
ellas.
3. Identificar variables relacionadas en
238
239
significado das raízes encontradas em
confronto com a situação proposta.
• Construção de procedimentos para calcular
o valor numérico e efetuar operações com
expressões
algébricas,
utilizando
as
propriedades conhecidas.
• Obtenção de expressões equivalentes a
uma expressão algébrica por meio de
fatorações e simplificações.
•
Resolução de situações-problema que
podem ser resolvidas por uma equação do
segundo grau cujas raízes sejam obtidas pela
fatoração, discutindo o significado dessas
raízes em confronto com a situação proposta.
forma proporcional y
en forma no
proporcional.
4. Analizar mediante el uso de software
gráficos situaciones de proporcionalidad
5. Resolver problemas en diversos contextos
que implican proporcionalidad directa y
problemas que implican proporcionalidad
inversa.
Tratamento da Informação
• Leitura e interpretação de dados expressos
em gráficos de colunas, de setores,
histogramas e polígonos de frequência.
• Organização de dados e construção de
recursos visuais adequados, como gráficos
(de colunas, de setores, histogramas e
polígonos de frequência) para apresentar
globalmente os dados, destacar aspectos
relevantes, sintetizar informações e permitir a
elaboração de inferências.
• Compreensão de termos como frequência,
frequência relativa, amostra de uma
população para interpretar informações de
uma pesquisa.
• Distribuição das frequências de uma variável
de uma pesquisa em classes de modo que
resuma os dados com um grau de precisão
razoável.
• Obtenção das medidas de tendência central
de uma pesquisa (média, moda e mediana),
compreendendo seus significados para fazer
inferências.
• Construção do espaço amostral, utilizando o
princípio multiplicativo e a indicação da
probabilidade de um evento por meio de uma
razão.
• Elaboração de experimentos e simulações
para estimar probabilidades e verificar
probabilidades previstas.
Unidad 2 – Dato y Azar para 7º ano
1. Analizar información presente en diversos
tipos de tablas y gráficos.
2. Seleccionar formas de organización y
representación de datos de acuerdo al tipo de
análisis que se quiere realizar.
3. Reconocer que la naturaleza y el método
de selección de muestras inciden en el
estudio de una población.
4. Predecir la probabilidad de ocurrencia de
eventos a partir de la frecuencia relativa
obtenida en la realización de experimentos
aleatorios simples
Espaço e Forma
• Representação e interpretação do
deslocamento de um ponto num plano
cartesiano por um segmento de reta
orientado.
• Secções de figuras tridimensionais por um
plano e análise das figuras obtidas.
• Análise em poliedros da posição relativa de
duas arestas (paralelas, perpendiculares,
reversas) e de duas faces (paralelas,
Unidad 3 – Dato y Azar para 8º ano
1. Interpretar información a partir de tablas de
frecuencia, cuyos datos están agrupados en
intervalos.
2. Representar datos, provenientes de
diversas fuentes, en tablas de frecuencias
con datos agrupados en intervalos.
3. Interpretar y producir información, en
contextos diversos, mediante el uso de
medidas de tendencia central,
extendiendo al caso de datos agrupados en
intervalos.
4. Comprender el concepto de aleatoriedad
en el uso de muestras y
su importancia en la realización de
inferencias.
5. Asignar probabilidades teóricamente a la
ocurrencia de eventos, en experimentos
aleatorios
con
resultados
finitos
y
equiprobables, y contrastarlas con resultados
experimentales.
Unidad 4 – Geometría para 7º ano
1. Construir rectas perpendiculares,
paralelas y bisectrices de ángulos usando
regla y compás o procesadores geométricos.
2. Comprobar propiedades de alturas,
simetrales, bisectrices y transversales de
gravedad de triángulos utilizando regla y
compás o procesadores geométricos.
3. Construir triángulos a partir de la medida
239
240
perpendiculares).
• Representação de diferentes vistas (lateral,
frontal e superior) de figuras tridimensionais e
reconhecimento da figura representada por
diferentes vistas.
• Divisão de segmentos em partes
proporcionais e construção de retas paralelas
e retas perpendiculares com régua e
compasso.
• Identificação de ângulos congruentes,
complementares e suplementares em feixes
de retas paralelas cortadas por retas
transversais.
• Estabelecimento da razão aproximada entre
a medida do comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro.
• Determinação da soma dos ângulos internos
de um polígono convexo qualquer.
• Verificação da validade da soma dos
ângulos internos de um polígono convexo
para os polígonos não-convexos.
• Resolução de situações-problema que
envolvam a obtenção da mediatriz de um
segmento, da bissetriz de um ângulo, de retas
paralelas e perpendiculares e de alguns
ângulos
notáveis,
fazendo
uso
de
instrumentos
como
régua,
compasso,
esquadro e transferidor.
•
Desenvolvimento
do
conceito
de
congruência de figuras planas a partir de
transformações
(reflexões
em
retas,
translações, rotações e composições destas),
identificando as medidas invariantes (dos
lados, dos ângulos, da superfície).
• Verificar propriedades de triângulos e
quadriláteros pelo reconhecimento dos casos
de congruência de triângulos.
• Identificação e construção das alturas,
bissetrizes, medianas e mediatrizes de um
triângulo utilizando régua e compasso.
• Desenvolvimento da noção de semelhança
de figuras planas a partir de ampliações ou
reduções, identificando as medidas que não
se alteram (ângulos) e as que se modificam
(dos lados, da superfície e perímetro).
• Verificações experimentais e aplicações do
teorema de Tales.
• Verificações experimentais, aplicações e
demonstração do teorema de Pitágoras.
Grandezas e Medidas
•
Resolução
de
situações-problema
envolvendo grandezas (capacidade, tempo,
massa, temperatura) e as respectivas
unidades de medida, fazendo conversões
adequadas para
efetuar cálculos e expressar resultados.
• Cálculo da área de superfícies planas por
meio da composição e decomposição de
figuras e por aproximações.
de sus lados y/o ángulos, usando regla y
compás o procesadores geométricos.
4. Construir ángulos utilizando regla y
compás o un procesador geométrico.
Unidad 3 – Números y Geometría para 7º
ano
1. Interpretar potencias de exponente natural
cuya base es un número fraccionario o
decimal positivo.
2. Interpretar potencias de base 10 y
exponente entero.
3. Conjeturar y verificar algunas propiedades
de las potencias de base y exponente natural.
4. Calcular multiplicaciones y cocientes de
potencias de base y exponente natural.
5. Calcular multiplicaciones y cocientes de
potencias de base 10
y exponente entero.
6. Comprender el significado de la raíz
cuadrada de un número entero positivo.
7. Determinar y estimar el valor de raíces
cuadradas.
8. Comprender el Teorema de Pitágoras y el
teorema recíproco de Pitágoras.
9. Utilizar estrategias para obtener el volumen
en prismas rectos y pirámides en contextos
diversos, y expresar los resultados en las
unidades de medida correspondiente.
10. Formular y verificar conjeturas, en casos
particulares, relativas a cambios en el
perímetro de polígonos al variar uno o más de
sus elementos lineales.
11. Formular y verificar conjeturas, en casos
particulares, relativas a cambios en el
volumen de prismas rectos y pirámides al
variar uno o más de sus elementos lineales.
12. Resolver problemas en contextos
diversos:
a.7Aplicando propiedades de las potencias de
base y exponente natural, y las potencias de
base 10 y exponente entero.
b. Utilizando el teorema de Pitágoras y el
teorema recíproco de Pitágoras.
Unidad 2 – Geometría para 8º ano
1. Caracterizar transformaciones isométricas
de figuras planas y reconocerlas en diversas
situaciones y contextos.
2. Reconocer algunas propiedades de las
transformaciones isométricas.
3. Construir transformaciones isométricas de
figuras geométricas planas utilizando regla y
compás o procesadores geométricos.
4. Teselar el plano con polígonos regulares
utilizando regla y compás o
procesadores geométricos.
5. Utilizar las transformaciones isométricas
como herramienta para realizar teselaciones
240
241
• Construção de procedimentos para o cálculo
de áreas e perímetros de superfícies planas
(limitadas por segmentos de reta e/ou arcos
de circunferência).
• Cálculo da área da superfície total de alguns
sólidos geométricos (prismas e cilindros).
• Cálculo do volume de alguns prismas retos
e composições destes.
• Análise das variações do perímetro e da
área de um quadrado em relação à variação
da medida do lado e construção dos gráficos
cartesianos
para
representar
essas
interdependências.
•
Resolução
de
situações-problema
envolvendo grandezas determinadas pela
razão de duas outras (densidade e
velocidade) ou pelo produto (energia elétrica:
kWh).
• Compreensão dos termos algarismo
duvidoso, algarismo significativo e erro de
medição, na utilização de instrumentos de
medida.
• Estabelecimento da relação entre a medida
da diagonal e a medida do lado de um
quadrado e a relação entre as medidas do
perímetro e do diâmetro de um círculo.
regulares y teselaciones semirregulares.
6. Caracterizar la circunferencia y el círculo
como lugares geométricos.
7. Calcular el perímetro de circunferencias y
de arcos de ellas.
8. Calcular el área del círculo y de sectores
de él.
9. Calcular medidas de superficies de
cilindros, conos y pirámides utilizando
fórmulas.
10.Calcular volúmenes de cilindros y conos
utilizando fórmulas.
11. Resolver problemas en contextos diversos
relativos a cálculos de:
- Perímetros de circunferencias y
áreas de círculos.
- Áreas de superficies de cilindros, conos y
pirámides.
- Volúmenes de cilindros y conos
241
242
ANEXO 5 – Comparação do PCN e Programa de Estúdio
BRASIL
Conteúdos para o 1º
ao 3º Ensino Médio – PCNEM+
CHILE
Contenidos Mínimos Obligatorios
Primer a Cuarto Año Medio –
Programa de Estudio - Mineduc
Álgebra: números e funções
1. Variação de grandezas:
• noção de função; funções analíticas e nãoanalíticas; representação e análise gráfica;
sequências numéricas: progressões e noção
de infinito; variações exponenciais ou
logarítmicas; funções seno, cosseno e
tangente;
taxa de variação de grandezas.
• Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica
nas ciências, necessária para expressar a
relação entre grandezas e modelar situaçõesproblema, construindo modelos descritivos de
fenômenos e fazendo conexões dentro e fora
da Matemática.
• Compreender o conceito de função,
associando-o a exemplos da vida cotidiana.
• Associar diferentes funções a seus gráficos
correspondentes.
• Ler e interpretar diferentes linguagens e
representações envolvendo variações de
grandezas.
• Identificar regularidades em expressões
matemáticas e estabelecer relações entre
variáveis.
Números y Proporcionalidad
1. Números
a. Distinción entre números racionales e
irracionales. Aproximación y estimación de
números irracionales.
Estimaciones
de
cálculos,
redondeos.
Construcción de decimales no periódicos.
Distinción entre una aproximación y un
número exacto.
b. Análisis de la significación de las cifras en
la resolución de problemas. Conocimiento
sobre las limitaciones de las calculadoras en
relación con truncar y aproximar decimales.
c. Resolución de desafíos y problemas
numéricos, tales como cuadrados mágicos o
cálculos orientados a la identificación de
regularidades numéricas.
d. Comentario histórico sobre la invención del
cero, de los números negativos y de los
decimales.
e. Potencias de base positiva y exponente
entero. Multiplicación de potencias.
2. Proporcionalidad
a. Noción de variable. Análisis y descripción
de fenómenos y situaciones que ilustren la
idea de variabilidad. Tablas y gráficos.
b. Proporcionalidad directa e inversa.
Constante de proporcionalidad. Gráfico
cartesiano asociado a la proporcionalidad
directa e inversa (primer cuadrante).
c. Porcentaje. Lectura e interpretación de
información científica y publicitaria que
involucre porcentaje. Análisis de indicadores
económicos y sociales. Planteo y resolución
de problemas que perfilen el aspecto
multiplicativo del porcentaje. Análisis de la
pertinencia de las soluciones. Relación entre
porcentaje, números decimales y fracciones.
d. Planteo y resolución de problemas que
involucren proporciones directa e inversa.
Análisis de la pertinencia de las soluciones.
Construcción de tablas y gráficos asociados a
problemas de proporcionalidad directa e
inversa. Resolución de ecuaciones con
proporciones.
e. Relación entre las tablas, los gráficos y la
expresión
algebraica de la proporcionalidad directa e
inversa. Relación entre la proporcionalidad
directa y cuocientes
constantes y entre la proporcionalidad inversa
y productos constantes.
I. Algebra y Funciones
a.Sentido, notación y uso de las letras en el
lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas
2. Trigonometria: do triângulo retângulo; do
triângulo qualquer; da primeira volta.
• Utilizar e interpretar modelos para resolução
de situações-problema que envolvam
medições, em especial o cálculo de distâncias
inacessíveis, e para construir modelos que
correspondem a fenômenos periódicos.
• Compreender o conhecimento científico e
tecnológico como resultado de uma
construção humana em um processo histórico
e social, reconhecendo o uso de relações
trigonométricas em diferentes épocas e
contextos sociais.
242
243
no fraccionarias y su operatoria. Múltiplos,
factores, divisibilidad. Transformación de
expresiones algebraicas por eliminación de
paréntesis, por reducción de términos
semejantes y por factorización. Cálculo de
productos, factorizaciones
y productos
notables.
b. Análisis de fórmulas de perímetros, áreas y
volúmenes en relación con la incidencia de la
variación de los elementos lineales y
viceversa.
c. Generalización de la operatoria aritmética a
través del uso de símbolos. Convención de
uso de los paréntesis.
d. Comentario histórico sobre la evolución del
lenguaje algebraico.
e. Demostración de propiedades asociadas a
los conceptos de múltiplos, factores y
divisibilidad. Interpretación
geométrica de los productos notables.
f. Ecuación de primer grado. Resolución de
ecuaciones
de primer grado con una incógnita. Planteo y
resolución de problemas que involucren
ecuaciones de primer grado con una
incógnita. Análisis de los datos, las soluciones
y su pertinencia.
II. Algebra y Funciones
1. Lenguaje algebraico
a. Expresiones algebraicas fraccionarias
simples, (con binomios o productos notables
en el numerador y en el
denominador). Simplificación, multiplicación y
adición de expresiones fraccionarias simples.
b. Relación entre la operatoria con fracciones
y la operatoria con expresiones fraccionarias.
c. Resolución de desafíos y problemas no
rutinarios que involucren sustitución de
variables por dígitos y/o números.
d. Potencias con exponente entero.
Multiplicación y división de potencias. Uso de
paréntesis.
2. Funciones
a. Representación, análisis y resolución de
problemas contextualizados en situaciones
como la asignación de precios por tramos de
consumo, por ejemplo, de agua, luz, gas, etc.
Variables dependientes e independientes.
Función parte entera. Gráfico de la función.
b. Evolución del pensamiento geométrico
durante los siglos XVI y XVII; aporte de René
Descartes al desarrollo de la relación entre
álgebra y geometría.
c. Ecuación de la recta. Interpretación de la
pendiente y del intercepto con el eje de las
ordenadas. Condición de paralelismo y de
perpendicularidad.
d. Resolución de sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas. Gráfico de las
243
244
rectas. Planteo y resolución de problemas y
desafíos que involucren sistemas de
ecuaciones. Análisis y pertinencia de las
soluciones.
Relación entre las expresiones gráficas y
algebraicas de los sistemas de ecuaciones
lineales y sus soluciones.
e. Función valor absoluto; gráfico de esta
función. Interpretación del valor absoluto
como expresión de distancia en la recta real.
f. Uso de algún programa computacional de
manipulación algebraica y gráfica.
III. Algebra
a. Raíces cuadradas y cúbicas. Raíz de un
producto y de un cuociente. Estimación y
comparación de fracciones que tengan raíces
en el denominador.
b. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas
con una incógnita. Intervalos en los números
reales. Planteo y
resolución de sistemas de inecuaciones con
una incógnita. Análisis de la existencia y
pertinencia de las soluciones. Relación entre
las ecuaciones y las inecuaciones lineales.
2. Funciones
a. Función cuadrática. Gráfico de las
siguientes funciones:
y = x²
y = x² ± a, a > 0
2, a > 0
y = (x ± a)
y = ax² + bx + c
Discusión de los casos de intersección de la
parábola
con el eje x. Resolución de ecuaciones de
segundo grado por completación de
cuadrados y su aplicación en la resolución de
problemas.
b. Función raíz cuadrada. Gráfico de: y =
x , enfatizando que los valores de x, deben
ser siempre mayores o iguales a cero.
x ² = |x|. Comentario
Identificación de
histórico sobre los números irracionales; tríos
pitagóricos; comentario sobre el Teorema de
Fermat.
c. Uso de algún programa computacional de
manipulación algebraica y gráfica.
IV. Algebra y Funciones
a. Función potencia: y = a xn
, a > 0, para n = 2, 3 y 4, y su gráfico
correspondiente. Análisis del gráfico de la
función potencia y su comportamiento para
distintos valores de a.
b. Funciones logarítmica y exponencial, sus
gráficos correspondientes. Modelación de
fenómenos naturales y/o sociales a través de
esas funciones. Análisis de las expresiones
algebraicas y gráficas de las funciones
logarítmica y exponencial. Historia de los
logaritmos; de las tablas a las calculadoras.
244
245
c. Análisis y comparación de tasas de
crecimiento.
Crecimiento
aritmético
y
geométrico. Plantear y resolver problemas
sencillos que involucren el cálculo de interés
compuesto.
e. Uso de programas computacionales de
manipulación
algebraica y gráfica.
Geometria e medidas
1. Geometria plana: semelhança e
congruência; representações de figuras.
• Identificar dados e relações geométricas
relevantes na resolução de situaçõesproblema.
• Analisar e interpretar diferentes
representações de figuras planas, como
desenhos, mapas, plantas de edifícios etc.
• Usar formas geométricas planas para
representar ou visualizar partes do mundo
real.
• Utilizar as propriedades geométricas
relativas aos conceitos de congruência e
semelhança de figuras.
• Fazer uso de escalas em representações
planas.
Geometria espacial: elementos dos
poliedros, sua classificação e representação;
sólidos redondos; propriedades relativas à
posição: intersecção, paralelismo e
perpendicularismo; inscrição e circunscrição
de sólidos.
• Usar formas geométricas espaciais para
representar ou visualizar partes do mundo
real, como peças mecânicas, embalagens e
construções.
• Interpretar e associar objetos sólidos a suas
diferentes representações bidimensionais,
como projeções, planificações, cortes e
desenhos.
• Utilizar o conhecimento geométrico para
leitura, compreensão e ação sobre a
realidade.
• Compreender o significado de postulados ou
axiomas e teoremas e reconhecer o valor de
demonstrações para perceber a Matemática
como ciência com forma específica para
validar resultados.
3. Métrica: áreas e volumes; estimativa, valor
exato e aproximado.
• Identificar e fazer uso de diferentes formas
para realizar medidas e cálculos.
• Utilizar propriedades geométricas para
medir, quantificar e fazer estimativas de
comprimentos, áreas e volumes em situações
reais relativas, por exemplo, de recipientes,
refrigeradores, veículos de carga, móveis,
I. Geometría
a. Semejanza de figuras planas. Criterios de
semejanza Dibujo a escala en diversos
contextos.
b. Teorema de Thales sobre trazos
proporcionales. División interior de un trazo
en una razón dada. Planteo y
resolución de problemas relativos a trazos
proporcionales. Análisis de los datos y de la
factibilidad de las soluciones.
c. Teoremas relativos a proporcionalidad de
trazos, en triángulos, cuadriláteros y
circunferencia, como aplicación del Teorema
de Thales. Relación entre paralelismo,
semejanza y la proporcionalidad entre trazos.
Presencia de la geometría en expresiones
artísticas; por ejemplo, la razón áurea.
d. Ángulos del centro y ángulos inscritos en
una circunferencia. Teorema que relaciona la
medida del ángulo del centro con la del
correspondiente ángulo inscrito. Distinción
entre hipótesis y tesis. Organización lógica de
los argumentos.
e. Uso de algún programa computacional
geométrico que permita medir ángulos, y
ampliar y reducir figuras.
II.Geometría
a. Demostración de los Teoremas de Euclides
relativos a la proporcionalidad en el triángulo
rectángulo.
b. Razones trigonométricas en el triángulo
rectángulo.
c. Resolución de problemas relativos a
cálculos de alturas o distancias inaccesibles
que pueden involucrar proporcionalidad en
triángulos rectángulos. Análisis y pertinencia
de las soluciones. Uso de calculadora
científica para apoyar la resolución de
problemas.
III.Geometría
a. Resolución de problemas sencillos sobre
áreas y volúmenes de cuerpos generados por
rotación o traslación
de figuras planas. Resolución de problemas
que plantean diversas relaciones entre
cuerpos geométricos; por ejemplo, uno
inscrito en otro.
b. Rectas en el espacio, oblicuas y
coplanares.
Planos
en
el
espacio,
245
246
cômodos, espaços públicos.
• Efetuar medições, reconhecendo, em cada
situação, a necessária precisão de dados ou
de resultados e estimando margens de erro.
4. Geometria analítica: representações no
plano cartesiano e equações; intersecção e
posições relativas de figuras.
• Interpretar e fazer uso de modelos para a
resolução de problemas geométricos.
• Reconhecer que uma mesma situação pode
ser tratada com diferentes instrumentais
matemáticos, de acordo com suas
características.
• Associar situações e problemas geométricos
a suas correspondentes formas algébricas e
representações gráficas e vice-versa.
• Construir uma visão sistemática das
diferentes linguagens e campos de estudo da
Matemática, estabelecendo conexões entre
eles.
Análise de dados
1. Estatística: descrição de dados;
representações gráficas; análise de dados:
médias, moda e mediana, variância e desvio
padrão.
• Identificar formas adequadas para descrever
e representar dados numéricos e informações
de natureza social, econômica, política,
científico-tecnológica ou abstrata.
• Ler e interpretar dados e informações de
caráter estatístico apresentados em
diferentes linguagens e representações, na
mídia ou em outros textos e meios de
comunicação.
• Obter médias e avaliar desvios de conjuntos
de dados ou informações de diferentes
naturezas.
• Compreender e emitir juízos sobre
informações estatísticas de natureza social,
econômica, política ou científica apresentadas
em textos, notícias, propagandas, censos,
determinación por tres puntos no colineales.
Planos paralelos, intersección de dos planos.
Ángulos diedros, planos perpendiculares,
intersección
detres
o
más
planos.
Coordenadas cartesianas en el espacio.
IV. Geometría
1. Congruencia
a. Congruencia de dos figuras planas.
Criterios de congruencia de triángulos.
b. Resolución de problemas relativos a
congruencia de trazos, ángulos y triángulos.
Resolución de problemas relativos a
polígonos,
descomposición
en
figuras
elementales congruentes o puzzles con
figuras geométricas.
c. Demostración de propiedades de
triángulos, cuadriláteros y circunferencia,
relacionadas con congruencia.
Aporte de Euclides al desarrollo de la
Geometría.
2. Transformaciones
a. Traslaciones, simetrías y rotaciones de
figuras planas.
Construcción de figuras por traslación, por
simetría y por rotación en 60, 90, 120 y 180
grados.
Traslación y simetrías de figuras en sistemas
de coordenadas.
b. Análisis de la posibilidad de embaldosar el
plano con algunos polígonos. Aplicaciones de
las transformaciones geométricas en las
artes, por ejemplo, M.C. Escher.
c. Clasificación de triángulos y cuadriláteros
considerando sus ejes y centros de simetría.
d. Uso de regla y compás; de escuadra y
transportador; manejo de un programa
computacional que permita dibujar y
transformar figuras geométricas.
I. Estadística y Probabilidad
a.
Variable
aleatoria:
estudio
y
experimentación en casos
concretos. Gráfico de frecuencia de una
variable aleatoria a partir de un experimento
estadístico.
b. Relación entre la probabilidad y la
frecuencia relativa. Ley de los grandes
números. Uso de programas
computacionales para la simulación de
experimentos aleatorios.
c. Resolución de problemas sencillos que
involucren
suma
o
producto
de
probabilidades. Probabilidad condicionada.
II. Estadística y Probabilidad
a. Graficación e interpretación de datos
estadísticos
provenientes
de
diversos
contextos. Crítica del uso de ciertos
descriptores
utilizados
en
distintas
informaciones.
246
247
pesquisas e outros meios.
2. Contagem: princípio multiplicativo;
problemas de contagem.
• Decidir sobre a forma mais adequada de
organizar números e informações com o
objetivo de simplificar cálculos em situações
reais envolvendo grande quantidade de
dados ou de eventos.
• Identificar regularidades para estabelecer
regras e propriedades em processos nos
quais se fazem necessários os processos de
contagem.
• Identificar dados e relações envolvidas
numa situação-problema que envolva o
raciocínio combinatório, utilizando os
processos de contagem.
3. Probabilidade: possibilidades; cálculo
de probabilidades.
• Reconhecer o caráter aleatório de
fenômenos e eventos naturais, científico
tecnológicos ou sociais, compreendendo o
significado e a importância da probabilidade
como meio de prever resultados.
• Quantificar e fazer previsões em situações
aplicadas a diferentes áreas do conhecimento
e da vida cotidiana que envolvam o
pensamento probabilístico.
• Identificar em diferentes áreas científicas e
outras atividades práticas modelos e
problemas que fazem uso de estatísticas e
probabilidades.
b. Selección de diversas formas de organizar,
presentar y sintetizar un conjunto de datos.
Ventajas y desventajas. Comentario histórico
sobre los orígenes de la estadística.
c. Uso de planilla de cálculo para análisis
estadístico y para construcción de tablas y
gráficos.
d. Muestra al azar, considerando situaciones
de la vida cotidiana; por ejemplo, ecología,
salud pública, control de calidad, juegos de
azar, etc. Inferencias a partir de distintos tipos
de muestra.
III. Estadística y Probabilidad
a. Juegos de azar sencillos; representación y
análisis de los resultados; uso de tablas y
gráficos. Comentarios históricos acerca de los
inicios del estudio de la probabilidad.
b. La probabilidad como proporción entre el
número de resultados favorables y el número
total de resultados posibles, en el caso de
experimentos con resultados equiprobables.
Sistematización de recuentos por medio de
diagramas de árbol.
c. Iteración de experimentos sencillos, por
ejemplo, lanzamiento de una moneda;
relación con el triángulo de Pascal.
Interpretaciones combinatorias.
247
248
ANEXO 6 – Instrumento de coleta de dados
6.1. Entrevista no Brasil
1. representante da Sociedade (SOCHIEM)
a) qual foi a participação dos dirigentes e associados da SBEM na
elaboração do PCN?
b) quais os avanços da área de EDMAT que foram contemplados na
proposição do PCN?
c) Quais foram os questionamentos dos professores durante a elaboração
do PCN?
2. autoridade do sistema educativo nacional ligada à projetos curriculares
a) qual foi sua participação efetiva na elaboração do PCN?
b) quais os avanços da área de EDMAT foram considerados importantes
na elaboração do PCN?
c) qual o papel do Ministério de Educação na elaboração do PCN? E na
implementação? E no acompanhamento?
d) Em matemática, quais os pontos-chave da proposta curricular?
e) Quais as contribuições dos professores ao PCN?
f) Quais as contribuições da comunidade acadêmica ao PCN?
g) Qual o perfil de professor de matemática a proposta previa?
h) os materiais didáticos disponíveis foram compatíveis com a reforma
curricular?
i) Houve reformulação do PCN?
3. autoridade do sistema educativo nacional ligada à avaliação (se houver)
a) qual foi a avaliação institucional do sistema educativo, para validar a
reforma curricular?
b) Como é divulgado ao sistema educativo regional (e ao público em geral)
o resultado das avaliações institucionais?
c) qual acompanhamento (orientação) é dado (a) ao sistema educativo
regional?
4. autoridade do sistema educativo regional ligada à projetos curriculares
a) qual foi sua participação do sistema educativo regional na elaboração do
PCN?
b) Quais as dificuldades encontradas durante a elaboração do PCN?
c) qual o papel da Secretaria de Educação na elaboração do PCN? E na
implementação? E no acompanhamento?
248
249
d) Como foi organizada a participação dos professores na elaboração do
PCN?
e) quais os materiais didáticos disponíveis para discussão e implementação
da reforma curricular na escola?
5. autoridade do sistema educativo regional ligada à avaliação (se houver)
a) quais são as avaliações institucionais das escolas?
b) a análise das avaliações evidencia a viabilidade do PCN?
c) qual acompanhamento (orientação) é dado (a) às escolas com baixo
desempenho nas avaliações institucionais?
5.1 Diretor/CP
a) Qual a relação do currículo de matemática da escola com o PCN?
b) A escola tem autonomia para elaborar seu currículo de matemática?
c) A escola segue o PCN? Em quais aspectos?
d) Como a escola elabora seu currículo de matemática?
e) Quais textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o
currículo escolar/aula?
f) Qual o papel da direção/coordenação pedagógica na elaboração do
currículo de matemática?
g) Como a direção/coordenação pedagógica acompanha a execução do
currículo de matemática?
5.2 Professor
a) Como você elabora seu plano de ensino?
b) Você tem autonomia para elaborar o currículo de matemática?
c) Você segue o PCN? Em quais aspectos?
d) Quais textos/materiais didáticos são consultados para elaborar o
currículo escolar/aula?
e) como você trabalha em sala de aula (organização do trabalho com o
aluno, forma de participação do aluno, dinâmica de aula etc.)
249
250
6.2.
Instrumento de entrevista no Chile
1. representante de la Sociedad (SOCHIEM)
a) ¿cuál fue la participación de dirigentes y asociados de la SOCHIEM en la
preparación del planos curriculares de las matemáticas?
b) ¿qué avances del campo de la EDMAT que fueron considerados en la
propuesta del del planos curriculares de las matemáticas??
c) ¿Cuáles fueron las preguntas de los profesores durante el desarrollo del del
planos curriculares de las matemáticas?
2. autoridad del sistema nacional de educación vinculadas a los proyectos
curriculares
a) ¿cuál fue su participación efectiva en el desarrollo del del planos curriculares
de las matemáticas?
b) ¿qué avances del campo de la EDMAT se consideraron importantes en el
desarrollo del del planos curriculares de las matemáticas?
c) ¿cuál es el papel del Ministerio de Educación en la preparación del del planos
curriculares de las matemáticas?
Y en la ejecución? Y el acompañamiento?
d) En matemáticas, ¿cuáles son los puntos clave del plan de estudios?
e) ¿Cuáles son las contribuciones de los profesores para el del planos
curriculares de las matemáticas?
f) ¿Cuáles son las contribuciones de la comunidad académica para el del planos
curriculares de las matemáticas?
g) ¿Cuál es el perfil del profesor de matemáticas que la propuesta preveía?
materiales de instrucción
h) disponibles son compatibles con la reforma curricular?
i) ¿Se incluyó una reformulación de la del planos curriculares de las
matemáticas??
3. autoridad del sistema de educación nacional en la evaluación (si procede)
a) ¿Cuál fue la evaluación institucional del sistema educativo, para validar la
reforma curricular?
b) ¿Cómo se libera al sistema de educación regional (y el público en general) el
resultado de las evaluaciones institucionales?
c) ¿Qué seguimiento (orientación) es dado (a) el sistema regional de educación?
4. autoridad de los proyectos regionales de educación vinculada al plan de
estudios
250
251
a) ¿cuál fue su participación en el sistema educativo regional en la preparación
del del planos curriculares de las matemáticas??
b) ¿Cuáles son las dificultades encontradas durante el desarrollo del del planos
curriculares de las matemáticas??
c) ¿cuál es el papel del Departamento de Educación en la preparación del del
planos curriculares de las matemáticas? Y en la ejecución? Y el
acompañamiento?
d) ¿Cómo se organizó para que los profesores participen en el desarrollo del del
planos curriculares de las matemáticas?
e) ¿Qué materiales educativos disponibles para la discusión e implementación de
la reforma curricular en la escuela?
5. autoridad del sistema educativo regional en la evaluación (si procede)
a) ¿cuáles son las evaluaciones institucionales de las escuelas?
b) ¿los resultados de las evaluaciones demuestra la viabilidad del del planos
curriculares de las matemáticas?
c) ¿Qué seguimiento (orientación) es dado (a) a las escuelas con bajo
rendimiento en las evaluaciones institucionales?
5.1 Director / PL
a) ¿Cuál es la relación del currículo de matemáticas de la escuela con el del
planos curriculares de las matemáticas??
b) ¿la escuela tiene autonomía para desarrollar su plan de estudios de
matemáticas?
c) ¿El colegio sigue el del planos curriculares de las matemáticas? ¿En qué
aspectos?
d) ¿Cómo la escuela prepara su plan de estudios de matemáticas?
e) ¿Qué textos o materiales son consultados para desarrollar el currículo de la
escuela / clase?
f) ¿Cuál es el papel de liderazgo y coordinación de la educación en la elaboración
del currículo de matemáticas?
g) ¿Como que la dirección y coordinación pedagógica supervisa la aplicación del
currículo de matemáticas?
5.2 Profesor
a) ¿Cómo te preparas tu plan de estudios?
b) ¿Usted tiene la autonomía para desarrollar el currículo de matemáticas?
c) ¿Se siguen las del planos curriculares de las matemáticas? ¿En qué aspectos?
d) ¿Qué textos o materiales son consultados para desarrollar el currículo de la
escuela / clase?
251
252
e) ¿Cómo se trabaja en el aula (organización del trabajo con el alumno, forma de
participación de los estudiantes, la dinámica del aula, etc.)
252
253
ANEXO 7 – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
7.1. Documentos para os entrevistados da Educação brasileira
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Prezado Professor:
Eu, Dermeval Santos Cerqueira, sou doutorando do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia – FCET da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo. Estou realizando uma pesquisa sob orientação da professora
doutora Célia Maria Carolino Pires, cujo objetivo é estudar as influências da Educação Matemática
nos currículos oficiais e praticados por Brasil e Chile.
Sua participação envolve uma entrevista, que será gravada, se assim você permitir, e que
tem a duração aproximada de 20 minutos. A participação nesse estudo é voluntária e se você
decidir não participar ou quiser desistir de continuar em qualquer momento, tem
absoluta
liberdade de fazê-lo.
Na publicação dos resultados desta pesquisa, sua identidade será mantida no mais
rigoroso sigilo. Serão omitidas todas as informações que permitam identificá-lo(a).
Mesmo não tendo benefícios diretos em participar, indiretamente você estará contribuindo
para a compreensão do fenômeno estudado e para a produção de conhecimento científico.
Quaisquer dúvidas relativas à pesquisa poderão ser esclarecidas pelo(s) pesquisador fone (55-11)
9931-3127 ou direto no Programa, tel. (55-11) 3124.7200 - ramal 7210 - fax. (55-11) 3159.0189 e-mail: [email protected]
Atenciosamente;
___________________________
Dermeval Santos Cerqueira
Documento de Identidad: 14.219.772-5 SP
São Paulo,___/____________/201__
______________________________________
Célia Maria Carolino Pires - CPF 072 345 468 04
Coordinadora del Proyecto de investigación
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consinto em participar deste estudo e declaro ter recebido uma cópia deste termo
de consentimento.
_____________________________
Profº
Guarulhos, ___ de ________________ de
201__
CPF: ______________________________________R.G.Nº _________________________
253
254
7.2. Documentos para os entrevistados da Educação chilena
TÉRMINO DE CONSENTIMIENTO LIBRE Y ESCLARECIDO
Estimado Profesor
__________________________________________________________
Yo, Dermeval Santos Cerqueira, soy estudiante de doctorado del Programa de
Estudios de Postgrado en Educación Matemática de la Facultad de Ciencias y Tecnología
- FCET de la Universidad Católica de São Paulo. Estoy realizando una investigación bajo
la dirección del Profesora Dra. Célia Maria Carolino Pires, cuyo objetivo es estudiar la
influencia de la Educación Matemática en los planes de estudio oficiales y practicados por
Brasil y Chile.
Su participación consiste en una entrevista, que será registrada con su permisión,
y que dura aproximadamente 20 minutos.
La participación en este estudio es voluntaria y si usted decidir renunciar a
continuar en cualquier momento, tiene absoluta libertad para hacerlo.
En la publicación de resultados de la investigación, su identidad se mantendrá en
el más absoluto secreto. Se omite toda la información para identificarlo (a).
Mismo sin recibir beneficios directos en participar, indirectamente estará
contribuyendo para la comprensión del fenómeno estudiado y la producción de
conocimiento científico. Cualquier pregunta con respecto a la encuesta puede ser
aclarada por el E-mail: [email protected] o [email protected].
Gracias,
___________________________
Dermeval Santos Cerqueira
Documento de Identidad: 14.219.772-5 SP
Santiago, ____ /__________ /201___
_______________________________________
Célia Maria Carolino Pires - CPF 072 345 468 04
Coordinadora del Proyecto de investigación
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------TÉRMINO DE CONSENTIMIENTO LIBRE Y ESCLARECIDO
Doy mi consentimiento para participar en este estudio y declaro que he recibido
una copia de este formulario de consentimiento.
____________________________
Nombre y firma del participante
Santiago, ___/____/201___
Restos
254