SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
1. (Fuvest 2015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois
milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de
átomos presentes nessa grafite é
Nota:
1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite
é o diâmetro da base do cilindro.
2) Adote os valores aproximados de:
2,2g / cm3 para a densidade da grafita;
12g / mol para a massa molar do carbono;
6,0 × 1023 mol−1 para a constante de Avogadro
a) 5 × 1023
b) 1× 1023
c) 5 × 1022
d) 1× 1022
e) 5 × 1021
2. (Ufes 2015) Numa obra de construção civil, para escoar material de um andar para outro foi
construído um dispositivo formado por dois recipientes, A e B. O recipiente A, localizado no
andar superior, é uma justaposição de um tronco de pirâmide regular T, de altura 10 dm, com
um prisma reto P, de altura 12 dm. A base inferior (base menor) de T coincide com a base
superior de P, que é um quadrado de lado 3 dm. A base maior de T é um quadrado de lado
9 dm. O recipiente B, localizado no andar inferior, é uma caixa (prisma reto) de altura h e
base retangular de lados 6 dm e 8 dm. Todas as bases estão em planos horizontais. No
dispositivo, há uma pequena porta, localizada na base inferior de P, que é aberta no momento
de cada escoamento. Suponha que, num determinado momento, haja uma certa quantidade de
líquido no recipiente A e que a superfície livre desse líquido seja um quadrado de lado a que
está a uma altura x da base inferior de P. Ao abrir a pequena porta, o líquido é totalmente
escoado para o recipiente B, sem transbordar, e lá a superfície livre do líquido fica a uma
altura y da base inferior da caixa. Desprezando a espessura das paredes do dispositivo,
determine
a) o valor de a e o de y para x = 12 dm;
b) o valor de h de forma que, para x = 22 dm, se tenha y = h;
c) uma expressão para a e uma para y, em função de x, sendo x entre 0 e 22 dm.
3. (Epcar (Afa) 2015) Na figura abaixo, tem-se um cubo cuja aresta mede k centímetros; as
superfícies S1 e S2 , contidas nas faces desse cubo, são limitadas por arcos de circunferências
de raio k centímetros e centros em, respectivamente, D e B, H e F.
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O volume do sólido formado por todos os segmentos de reta com extremidades em S1 e S2 ,
paralelos a CG e de bases S1 e S2 , é, em cm3 , igual a
a)
k 3 ( π − 1)
2
b)
k 3 ( π − 2)
2
c)
k 3 ( π − 1)
4
d)
k 3 ( π − 2)
4
4. (Unesp 2015) Um bloco maciço com a forma de paralelepípedo reto-retângulo tem
dimensões 8 m, 12 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, foram
marcados retângulos, de 2 m por 3 m, centralizados com as faces do bloco e com lados
paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para perfurar
totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco.
Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco.
5. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo
reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2cm,
AD = 4cm e AB = 5cm.
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A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a
4
do volume da
3
pirâmide SEFGH é
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm
6. (Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um
plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo
representa o cubo com a água.
Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com
área igual a 32 5 dm2 .
Determine o volume total, em dm3 , de água contida nesse cubo.
7. (G1 - cftmg 2015) Uma caixa, em forma de paralelepípedo reto retângulo, cujas dimensões
são 800 mm de comprimento, 50 cm de largura e 6 dm de altura tem volume igual a
a) 0, 24 mm3
b) 0, 24 cm3
c) 0, 24 dm3
d) 0, 24 m3
8. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a
largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 20%?
a) Não se altera
b) Aumenta aproximadamente 3%
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c) Diminui aproximadamente 3%
d) Aumenta aproximadamente 8%
e) Diminui aproximadamente 8%
9. (Unesp 2015) Quando os meteorologistas dizem que a precipitação da chuva foi de 1mm,
significa que houve uma precipitação suficiente para que a coluna de água contida em um
recipiente que não se afunila como, por exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo, subisse
1mm. Essa precipitação, se ocorrida sobre uma área de 1m2, corresponde a 1 litro de água.
O esquema representa o sistema de captação de água da chuva que cai perpendicularmente à
superfície retangular plana e horizontal da laje de uma casa, com medidas 8 m por 10 m.
Nesse sistema, o tanque usado para armazenar apenas a água captada da laje tem a forma de
paralelepípedo reto-retângulo, com medidas internas indicadas na figura.
Estando o tanque de armazenamento inicialmente vazio, uma precipitação de 10 mm no local
onde se encontra a laje da casa preencherá
a) 40% da capacidade total do tanque.
b) 60% da capacidade total do tanque.
c) 20% da capacidade total do tanque.
d) 10% da capacidade total do tanque.
e) 80% da capacidade total do tanque.
10. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no
canto de um depósito.
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Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total dessa pilha, em metros cúbicos, é
de:
a) 0,513
b) 0,729
c) 0,810
d) 0,837
e) 0,864
11. (Cefet MG 2015) Uma caixa sem tampa no formato de um cubo, cuja aresta mede
3 metros, está sobre uma superfície plana e com água até uma altura de 2 metros em relação
à sua base, conforme mostra a FIG. 1.
A caixa será inclinada de tal forma que a aresta AB ficará totalmente em contato com a
superfície plana e haverá perda no volume de água, conforme a FIG. 2.
Sabendo-se que o ângulo formado, após a inclinação, entre a face ABCD e a superfície plana
é de 30° e, desprezando-se a espessura das faces da caixa, a quantidade de água que
sobrará na caixa, em m3 , é de
a) 9.
b) 18.
c) 4 3.
9 3
.
2
17 3
e)
.
4
d)
12. (Fuvest 2015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem
medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o
ângulo BMH e por x a medida do segmento AM.
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a) Exprima cos θ em função de x.
b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso?
c) Mostre que, se x = 4, então θ mede menos do que 45°.
13. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 12
metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta
vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura
2).
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 18 m2 ,
então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a
a) 3,25.
b) 2,75.
c) 3,50.
d) 2,50.
e) 3,00.
14. (Pucrj 2015) O octaedro regular de aresta 4 é cortado em 4 fatias da mesma espessura por
planos paralelos a um par de faces opostas, conforme a figura:
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a) Esboce as interseções entre o sólido e cada um dos planos. Calcule suas áreas. (Não utilize
valores aproximados)
b) Calcule a distância entre dois planos de corte consecutivos.
c) Calcule os volumes dos quatro sólidos em que o octaedro foi dividido.
15. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um
metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta.
O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado que leva em conta o
número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado
esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as
perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e
pistola pneumática 25%.
Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro
circular de 10m de altura e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem
rendimento teórico de 20m2 por litro e que são necessárias duas demãos.
Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a
pistola pneumática.
Dado: Use π ≅ 3,14.
16. (Pucrj 2015) O volume do sólido gerado pela rotação de um quadrado de lado 3 cm em
torno de um dos seus lados é, em cm3 :
a) 3 π
b) 6 π
c) 9 π
d) 18 π
e) 27 π
17. (Ita 2015) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido
cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na
taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de
a) 3 2 − h.
b) 3 2 − 1.
c) (3 2 − 1)h.
d) h.
h
e) .
2
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
18. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual
a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta
igual a 10 metros.
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório
cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere π ≅ 3 )
a) 5,76 m.
b) 4, 43 m.
c) 6,38 m.
d) 8,74 m.
19. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo
para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a
mesma capacidade.
De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ,
perpendicular ao plano horizontal β.
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente
cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade
H
da altura do funil , , o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na
2
geratriz AB.
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:
a)
b)
c)
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d)
20. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma
esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm3 ) é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1
π.
3
2
π.
3
4
π.
3
8
π.
3
3π .
21. (Unicamp 2015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a
mesma área de superfície total que uma esfera de raio
a) 2R.
b) 3R.
c) 2R.
d) R.
22. (Fuvest 2015) Diz-se que dois pontos da superfície terrestre são antípodas quando o
segmento de reta que os une passa pelo centro da Terra.
Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo, em
que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os
seus antípodas, sobre terra firme. Por exemplo, os pontos antípodas de parte do sul da
América do Sul estão no leste da Ásia.
Se um ponto tem latitude x graus norte e longitude y graus leste, então seu antípoda tem
latitude e longitude, respectivamente,
a) x graus sul e y graus oeste.
b) x graus sul e (180 − y) graus oeste.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
c) (90 − x) graus sul e y graus oeste.
d) (90 − x) graus sul e (180 − y) graus oeste.
e) (90 − x) graus sul e (90 − y) graus oeste.
23. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe
água na razão constante de 1 cm3 s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base
mede 3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo
t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone
e a superfície livre do líquido.
Admitindo π ≅ 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em
segundos, é representada por:
a) h = 43 t
b) h = 23 t
c) h = 2 t
d) h = 4 t
24. (Unifesp 2015) O metano (CH4 ) possui molécula de geometria tetraédrica (figura 1). Do
ponto de vista matemático, isso significa que, em uma molécula de metano, os 4 átomos de
hidrogênio localizam-se idealmente nos vértices de um tetraedro regular, e o átomo de carbono
localiza-se no centro da esfera que circunscreve esse tetraedro (figura 2). Nesse modelo de
molécula, a distância entre um átomo de hidrogênio e o átomo de carbono é de 0,109
nanômetro (nm).
a) Sabendo que 1nm = 10 −9 m, calcule, em milímetros, a medida da distância entre hidrogênio
e carbono na molécula de metano. Registre sua resposta em notação científica.
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b) Uma importante propriedade do tetraedro regular é a de que, sendo P um ponto interior
qualquer, a soma das distâncias de P às quatro faces do tetraedro será igual à altura do
tetraedro. Nas condições do problema, isso equivale a dizer que a altura do tetraedro é igual
4
a
do raio da esfera. Na figura 2, α indica a medida do ângulo de ligação HCH na
3
molécula de metano. Considerando a tabela trigonométrica a seguir e as informações
fornecidas, calcule o valor aproximado de α.
α (em grau)
70
70,5
71
71,5
72
72,5
73
73,5
74
74,5
75
75,5
76
senα
0,9397
0,9426
0,9455
0,9483
0,9511
0,9537
0,9563
0,9588
0,9613
0,9636
0,9659
0,9681
0,9703
cos α
0,3420
0,3338
0,3256
0,3173
0,3090
0,3007
0,2924
0,2840
0,2756
0,2672
0,2588
0,2504
0,2419
tgα
2,7475
2,8239
2,9042
2,9887
3,0777
3,1716
3,2709
3,3759
3,4874
3,6059
3,7321
3,8667
4,0108
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Considere o texto e as figuras para responder a(s) questão(ões).
O circo é uma expressão artística, parte da cultura popular, que traz diversão e
entretenimento. É um lugar onde as pessoas tem a oportunidade de ver apresentações de
vários artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e muito mais. Mas antes
que a magia desse mundo se realize, há muito trabalho na montagem da estrutura do circo.
A tenda de um circo deve ser montada em um terreno plano e para isso deve ser
construída uma estrutura, conforme a sequência de figuras.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
Nas figuras, considere que:
- foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao plano do chão;
- cada estaca tem 4 m acima do solo;
- as estacas estão igualmente distribuídas, sendo que suas bases formam um octógono
regular;
- os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 12 m de comprimento;
- para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado
que forma um ângulo de 45° com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos
os cabos têm a mesma medida;
- no centro do octógono regular é colocado o mastro central da estrutura, que é vertical;
- do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma outra vara. Todas essas varas
têm a mesma medida;
- na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e
- em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15 m.
25. (G1 - cps 2015) A cobertura e as laterais da tenda descrita serão totalmente revestidas por
lona. Para que isso ocorra, a quantidade mínima de lona que deverá ser usada é, em metros
quadrados, igual a
a) 138.
b) 384.
c) 720.
d) 1104.
e) 1200.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]
Cálculo do volume da grafita:
diâmetro = 2 mm de espessura = 2 × 10−3 m = 2 × 10−1 cm
raio = 1 mm de espessura = 10 −1 m
altura = 15 cm
Vcilindro = (Área da base) × (altura)
Vcilindro = π × r 2 × h
Vcilindro = π × (10 −1 )2 × 15
Vcilindro = 0,471 cm3
dgrafita = 2,2 g / cm3
1 cm3
3
0,471 cm
2,2 g
mgrafita
mgrafita = 1,0362 g
6,0 × 1023 átomos de carbono
x
12 g de grafita
1,0362 g de grafita
x = 5,18 × 1022 átomos de carbono
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]
Tem-se que o volume de grafite é dado por
2
2
d
 0,2 
π ⋅   ⋅ h ≅ 3,14 ⋅ 
 ⋅ 15
2
 2 
≅ 0,47 cm3 .
Daí, sabendo que a densidade da grafita é 2,2 g cm3 , vem que a massa de grafite é igual a
m = 2,2 ⋅ 0,47 ≅ 1,03 g.
Portanto, sendo n o número de átomos de carbono presentes nessa grafite, temos
n⋅
12
6 ⋅ 10
23
= 1,03 ⇒ n ≅ 5 ⋅ 1022.
Resposta da questão 2:
Considere a figura.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
a) Para x = 12dm, a superfície livre do líquido coincidirá com a base superior do prisma P.
Logo, tem-se que a = 3 dm.
O volume de líquido em P é dado por VP = 32 ⋅ 12 = 108 dm3 . Desse modo, a altura y
atingida no recipiente B é tal que
6 ⋅ 8 ⋅ y = 108 ⇔ y =
9
dm.
4
b) Seja H a altura da pirâmide quadrangular regular de vértice V e aresta da base 3 dm,
semelhante à pirâmide quadrangular regular de vértice V e aresta da base 9 dm. Logo,
sendo 10 dm a altura de T, vem
H
3
= ⇔ H = 5 dm.
H + 10 9
Por conseguinte, se VT é o volume de T, então
VT =
1 2
1
⋅ 9 ⋅ 15 − ⋅ 32 ⋅ 5
3
3
= 390 dm3 .
Finalmente, temos
VB = VT + VP ⇔ 6 ⋅ 8 ⋅ h = 390 + 108
⇔h=
83
dm.
8
c) Se 0 ≤ x ≤ 12, tem-se a fixo com a = 3 dm. Para 12 ≤ x ≤ 22, considere a figura.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
Da semelhança de triângulos, obtemos
a x−7
3
=
⇔ a = ⋅ (x − 7).
3
5
5
Portanto, segue que
3, se 0 ≤ x ≤ 12

a = 3
.
 5 ⋅ (x − 7), se 12 ≤ x ≤ 22

Se 0 ≤ x ≤ 12, tem-se VP = 32 ⋅ x = 9x. Donde conclui-se que
VB = VP ⇔ 48y = 9x
⇔y=
3
⋅ x.
16
Por outro lado, se 12 ≤ x ≤ 22, tem-se
1 2
1
⋅ a ⋅ (x − 7) − ⋅ 32 ⋅ 5
3
3
1 9
3
= ⋅
⋅ (x − 7) − 15
3 25
3
=
⋅ (x 3 − 21x 2 + 147x − 343) − 15.
25
VT =
Logo, vem
3
⋅ (x 3 − 21x 2 + 147x − 343) − 15 + 108
25
1
⇔y=
⋅ (x 3 − 21x 2 + 147x + 432).
400
VB = VT + VP ⇔ 48y =
Por conseguinte, obtemos
3
 ⋅ x, se 0 ≤ x ≤ 12
16
y=
.
 1 ⋅ (x3 − 21x2 + 147x + 432), se 12 ≤ x ≤ 22
 400
Resposta da questão 3:
[B]
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A área da superfície S1 corresponde ao dobro da área de um segmento circular de ângulo
π
k 2 ( π − 2)
k 3 ( π − 2)
rad e raio k, ou seja,
cm2 . Portanto, a resposta é
cm3 .
2
2
2
Resposta da questão 4:
O volume V do sólido restante será dado pelo volume do sólido inicial V(i) e o sólido retirado
V(r) .
V = V(i) − V(r)
V = 8 ⋅ 10 ⋅ 12 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 ⋅ 12 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4
V = 960 − 24 − 72 − 24
V = 960 − 120
V = 84 0 m 3
Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas:
Área das faces externas paralelas à face A: A1 = 2 ⋅ (8 ⋅ 10 − 2 ⋅ 3) = 148m2
Área das faces internas paralelas à face A: A 2 = 4 ⋅ (4 ⋅ 3) = 48m2
Área das faces externas paralelas à face B: A 3 = 2 ⋅ (12 ⋅ 8 − 2 ⋅ 3) = 180m2
Área das faces internas paralelas à face B: A 4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60m2
Área das faces externas paralelas à face C: A5 = 2 ⋅ 12 ⋅ 10 = 240m2
Área das faces internas paralelas à face C: A 6 = 2 ⋅ (2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 2 ⋅ 5) = 80m2
Portanto, a área total será dada por:
A = A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 = 148 + 48 + 180 + 60 + 240 + 80 = 756 m2
Resposta da questão 5:
[E]
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF = AB e EH = AD. Portanto, segue
que o resultado pedido é dado por
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
[SABCD] + [ABCDHEFG] =
4
1
4 1
⋅ [SEFGH] ⇔ ⋅ SA + AE = ⋅ (AE + SA)
3
3
3 3
⇔ 3 ⋅ SA + 9 ⋅ 2 = 4 ⋅ (2 + SA)
⇔ SA = 10cm.
Resposta da questão 6:
No retângulo ABCD: : 8x = 32 5 ⇒ x = 4 5dm
No triângulo AED: (4 5 )2 = 82 + y 2 ⇒ y 2 = 16 ⇒ y = 4
Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por:
4⋅8⋅8
= 128 dm3
V=
2
Resposta da questão 7:
[D]
Transformando as dimensões em metros, temos:
800 mm = 0,8m
50 cm = 0,5m
6 dm = 0,6m
Daí, o volume será dado por V = 0,6 ⋅ 0,5 ⋅ 0,8 = 0,24m3 .
Resposta da questão 8:
[C]
V(inicial) = a ⋅ b ⋅ c
V(final) = 1,1⋅ a ⋅ 1,1⋅ b ⋅ 0,8 ⋅ c = 0,968 ⋅ V(inicial)
V(final) − V(inicial) = −0,032V(inicial) , portanto houve uma redução de aproximadamente 3%.
Resposta da questão 9:
[C]
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
O volume de água captado corresponde a 8 ⋅ 10 ⋅ 10 = 800 litros. Portanto, como a capacidade
do tanque de armazenamento é igual a 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4 m3 = 4000 litros, segue-se que o resultado é
800
⋅ 100 = 20%.
4000
Resposta da questão 10:
[E]
Volume de cada cubo em m3 = V = (0,3)3 = 0,027m3
Total de cubos na figura: 4 ⋅ 4 + 9 + 4 + 3 = 32
Volume Total: 32 ⋅ 0,027 = 0,864m3
Resposta da questão 11:
[D]
Considere a vista frontal, em que o ponto E é tal que DE é paralelo à superfície plana na qual
a caixa está apoiada.
O volume de água que sobra na caixa corresponde ao volume do prisma triangular reto cuja
base é o triângulo retângulo de catetos AE e AD, e cuja altura é igual à aresta do cubo.
Portanto, a resposta é
3
1
9 3 3
⋅ AD ⋅ tg30° =
m .
2
2
Resposta da questão 12:
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
a) EM = x − 1
No ΔMAB: BM = x 2 + 1
No ΔEMH: HM =
2
x − 1 + 12 = x 2 − 2x + 2
HB = 3 (diagonal do cubo)
Aplicando agora, o teorema dos cossenos no ΔMHO, temos:
2
2
2
3 = x 2 − 2x + 2 + x 2 + 1 − 2 ⋅ x 2 − 2x + 2 ⋅ x 2 + 1 ⋅ cos θ
3 = x2 − 2x + 2 + x 2 + 1 − 2 ⋅ x 2 − 2x + 2 ⋅ x2 + 1 ⋅ cos θ
cos θ =
b) Como
x2 − x
x 2 − 2x + 2 ⋅ x 2 + 1
2
x 2 + 1 são positivos para todo x real, concluímos que θ será
x − 2x − 2 e
obtuso se, e somente se: x2 − x < 0 ⇒ 0 < x < 1.
Portanto, {x ∈ / 0 < x < 1}.
c) x = 4 ⇒ cos θ =
cos 45o =
12
144
170 170
2
1
85
85
=
⋅
=
2
2 85
170
Como cos θ > cos 45o ⇒ θ < 45°.
Resposta da questão 13:
[E]
Sabendo que (12 − 2x) ⋅ x = 18 m2 , vem
x2 − 6x + 9 = 0 ⇔ (x − 3)2 = 0 ⇔ x = 3 m.
Resposta da questão 14:
a) Temos dois tipos de secção no Octaedro regular.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
b) Teremos:
Considerando A e B os baricentros das faces do octaedro, temos:
4 3
BC =
=2 3
2
AD =
1 4 3 2 3
⋅
=
3 2
3
CB =
2 4 3 4 3
⋅
=
3 2
3
EC =
2 3
e DE = 4x, sendo x a distância pedida.
3
No ∆DEC, temos:
2
2 3 
= 2 3

 3 
( 4x )2 = 
(
)
2
2
⇒ ( 4x ) =
96
4 6
6
⇒ 4x =
⇒x=
9
3
3
c) Temos dois tipos de sólidos formados.
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
Fórmula para o volume de um tetraedro regular de aresta a, V =
a3 ⋅ 2
.
12
2
29 ⋅ 2
⋅ 53 − 43 − 3 ⋅ 13 =
(sólido mais próximo da face)
12
6
(
)
2
29 ⋅ 2 35 2
V2 =
⋅ ( 63 − 43 − 3 ⋅ 23 ) −
=
12
6
6
V1 =
Resposta da questão 15:
Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão
aplicadas duas demãos, a área que receberá a tinta é igual a 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ (2 + 10) ≅ 301,44 m2 .
Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria
301,44
de
= 15,072 litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta
20
15,072
utilizada, segue que o resultado pedido é
= 20,096 litros.
0,75
Resposta da questão 16:
[E]
O volume V do cilindro resultante será dado por:
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
V = π ⋅ 32 ⋅ 3 = 27 π cm3
Resposta da questão 17:
[C]
Admitindo que x seja a altura pedida , v o volume do líquido de altura h e utilizando a razão
entre os volumes de cones semelhantes, temos:
3
2v
x+h 3
 x+h
3
 h  = v ⇒ h = 2 ⇒ x = h ⋅ ( 2 − 1).


Resposta da questão 18:
[A]
O volume de água no reservatório cônico é igual a
1
⋅ π ⋅ 82 ⋅ 9 ≅ 576 m3 .
3
Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será
102 ⋅ h = 576 ⇔ h = 5,76 m.
Resposta da questão 19:
[A]
Volume do cilindro: V
Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi
Daí, temos:
3
H
Vi  2 
V
=   ⇒ Vi =
V H
8
 
 
Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: V −
V 7V
=
, ou seja,
8
8
87,5% do volume do cilindro, portanto a alternativa [A] é mais adequada.
Resposta da questão 20:
[D]
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
Considerando O o centro da esfera, temos:
No triângulo AOD, temos: AD2 + 12 = 32 ⇒ AD = 8cm
ΔADO − ΔABC ⇒
8 1
4
= ⇒r =
cm
4
r
8
Portanto, o volume V do cone será dado por:
2
V=
 4 
1
1
8⋅π
⋅ π ⋅ R2 ⋅ h = ⋅ π ⋅ 
cm3
 ⋅4 =
3
3
3
 8
Resposta da questão 21:
[D]
Seja r o raio da esfera. Tem-se que
4 π ⋅ r 2 = 2π ⋅ R ⋅ (R + R) ⇔ r = R.
Resposta da questão 22:
[B]
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]
O antípoda do ponto dado tem latitude x graus sul e longitude (180 − y) graus oeste.
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Geografia]
Como a latitude é definida pela distancia à Linha do Equador, o antípoda do ponto com latitude
x graus norte será de x graus sul. Já a longitude é definida pela distancia ao Meridiano de
Greenwich num intervalo entre 180° leste e 180° oeste e, portanto, se a longitude do ponto é
de y graus leste, sua antípoda será 180° − y a oeste.
Resposta da questão 23:
[A]
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura
24 cm e altura 3 cm. Logo, temos
r
3
h
=
⇔r= .
h 24
8
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O volume desse cone é dado por
2
V=
1
h3
h
⋅ π ⋅  ⋅h ≅
cm3 .
3
64
8
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 1cm3 s, segue-se que
V = 1⋅ t = t cm3 ,
com t em segundos.
Em consequência, encontramos
h3
= t ⇔ h = 43 t cm.
64
Resposta da questão 24:
Considere o tetraedro regular VMNP da figura.
Sabemos que CV = CM = R, com R sendo o raio da esfera circunscrita ao tetraedro. Além
4
R
disso, se O é o centro da base MNP e VO = R, então CO = .
3
3
Desde que MCV = α, do triângulo MOC, vem
R
cosMCO =
⇔ cos(180° − α ) = 3
R
CM
⇒ cos(180° − α ) ≅ 0,3333
CO
⇒ 180° − α ≅ 70,5°
⇒ α ≅ 109,5°.
Resposta da questão 25:
[D]
O resultado pedido é dado por
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015

12 ⋅ 15 
2
8 ⋅  12 ⋅ 4 +
 = 1104 m .
2 

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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
08/10/2015 às 19:28
Sólidos - 2015
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 135893 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha
2 ............. 138177 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufes/2015............................. Analítica
3 ............. 142628 ..... Baixa ............. Matemática ... Epcar (Afa)/2015 .................. Múltipla escolha
4 ............. 141239 ..... Elevada ......... Matemática ... Unesp/2015.......................... Analítica
5 ............. 135922 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha
6 ............. 137067 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2015 ............................. Analítica
7 ............. 138220 ..... Média ............ Matemática ... G1 - cftmg/2015 ................... Múltipla escolha
8 ............. 135427 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha
9 ............. 140393 ..... Média ............ Matemática ... Unesp/2015.......................... Múltipla escolha
10 ........... 135445 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha
11 ........... 140526 ..... Baixa ............. Matemática ... Cefet MG/2015..................... Múltipla escolha
12 ........... 136250 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Analítica
13 ........... 140395 ..... Baixa ............. Matemática ... Unesp/2015.......................... Múltipla escolha
14 ........... 135449 ..... Elevada ......... Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Analítica
15 ........... 140055 ..... Média ............ Matemática ... Ufu/2015 .............................. Analítica
16 ........... 135431 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha
17 ........... 137177 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2015 ................................ Múltipla escolha
18 ........... 137587 ..... Baixa ............. Matemática ... Uemg/2015 .......................... Múltipla escolha
19 ........... 132710 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha
20 ........... 134945 ..... Elevada ......... Matemática ... Espcex (Aman)/2015 ........... Múltipla escolha
21 ........... 135853 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2015 ...................... Múltipla escolha
22 ........... 135917 ..... Baixa ............. Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha
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SÓLIDOS – QUESTÕES DOS EXAMES 2015
23 ........... 134146 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha
24 ........... 137085 ..... Média ............ Matemática ... Unifesp/2015 ........................ Analítica
25 ........... 137526 ..... Baixa ............. Matemática ... G1 - cps/2015 ...................... Múltipla escolha
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