Curso Satélite de
Matemática
Sessão n.º 1
Universidade Portucalense
Conceitos Algébricos
Propriedades das operações de números reais
Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c.
1. A adição de números reais é comutativa, i.e.,
a + b = b + a.
Exemplo: 3 + 2 = 2 + 3 = 5;
2. A adição de números reais é associativa, i.e.,
(a + b) + c = a + (b + c).
Exemplo: (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6 = 3 + 3 = 3 + (2 + 1);
3. O elemento neutro da adição é o 0, i.e.,
a + 0 = 0 + a = a.
Exemplo: 50 + 0 = 0 + 50 = 50;
4. Qualquer número real a tem um elemento simétrico
(denotado por – a) que satisfaz
a + (– a) = – a + a = 0.
Exemplo: 101 + (– 101) = – 101 + 101 = 0;
5. A multiplicação de números reais é comutativa, i.e.,
a × b = b × a.
Exemplo: 3 × 2 = 2 × 3 = 6;
6. A multiplicação de números reais é associativa, i.e.,
(a × b) × c = a × (b × c).
Exemplo: (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24 = 3 × 8 = 3 × (2 × 4);
7. O elemento neutro da multiplicação é o 1, i.e.,
a × 1 = 1 × a = a.
Exemplo: 78 × 1 = 1 × 78 = 78;
8. Qualquer número real não nulo a tem um elemento inverso
(denotado por a-1) que satisfaz
a × a-1 = a-1 × a = 1.
1
1
Exemplo: 10   10  1;
10 10
9. A multiplicação é distributiva em relação à adição, i.e.,
a × (b + c) = a × b + a × c.
Exemplo: 3 × (2 + 4) = 3 × 6 = 18 = 6 + 12 = 3 × 2 + 3 × 4
Note-se que a subtracção de b a a pode ser definida como a
soma de a com o simétrico de b, i.e.,
a – b = a + (– b).
Por outro lado, a divisão de a por b pode ser definida como a
multiplicação de a pelo inverso de b, i.e.,
a ÷ b = a × b-1.
1
Como b  para qualquer b ≠ 0, então
b
1
a b  a .
b
1
O inverso multiplicativo de 0 não existe, por isso a divisão por 0
não está definida.
Regras das operações com números reais:
Para somar dois números reais com o mesmo sinal, some os dois
valores absolutos (sem o sinal) e acrescente o sinal comum;
Exemplo: – 4 – 6 = – 4 + (–6) = – (4 + 6) = – 10.
Para somar dois números reais com sinais opostos, encontre a
diferença entre os dois valores absolutos e acrescente o sinal do
número com maior valor absoluto;
Exemplos: – 6 + 4 = – (6 – 4) = – 2; – 3 + 7 = + (7 – 3) = 4.
O produto de dois números reais com sinais iguais é positivo;
Exemplos: – 4 × (– 10) = 4 × 10 = 40; 2 × 4 = 8.
O produto de dois números reais com sinais opostos é negativo;
Exemplos: – 10 × 2 = – (10 × 2) = – 20; 3 × (– 6) = – 18.
Para somar fracções:
• com o mesmo denominador, somam-se os numeradores e
mantém-se o denominador comum.
1 6 1  6 5
1
Exemplo:



 .
10 10
10
10
2
• com denominadores diferentes, reduz-se as fracções ao
mesmo denominador e depois cai-se no ponto anterior.
1 3 5 1 4 3  2 5 4 6 5 3
Exemplo:

 

  
  .
2 4 8 2 4 4 2 8 8 8 8 8
Para multiplicar fracções:
• multiplicam-se numeradores com numeradores e
denominadores com denominadores.
1 3 2 1 (3)  2
6
3
Exemplo:   
  .
2 4 8
2 48
64
32
Para calcular o resultado de uma expressão é necessário seguir a
seguinte ordem:
1. Efectue as operações que se encontram dentro de parêntesis
(ou módulos);
2. Calcule o valor das potências indicadas (exemplo: 22 = 2 × 2);
3. Execute as multiplicações e divisões da esquerda para a
direita;
4. Faça as adições e subtracções da esquerda para a direita.
Exemplo: 22 × 3 + 10 ÷ (4 + 1) = 22 × 3 + 10 ÷ 5 = 4 × 3 + 10 ÷ 5
= 12 + 2 = 14.
Propriedades das potências
Para qualquer número real a define-se:
a1 = a;
a2 = a × a;
a3 = a × a × a;
………
an = a × a × … × a (produto de n factores, com n ∈ ℕ).
a denomina-se a base da potência e n o expoente.
Note-se que –an não é o mesmo que (–a)n.
–an = – a × a × … × a
e
(–a)n = (–a) × (–a) × … × (–a).
Por definição, a0 = 1 para qualquer a ≠ 0.
Regras da multiplicação de potências:
Seja a ∈ ℝ e m, n ∈ ℕ. Então
an × am = a × a × … × a × a × a × … × a = an + m.
n factores
m factores
Na multiplicação de potências com a mesma base e com
expoentes diferentes, dá-se a mesma base e somam-se os
expoentes.
Exemplo:   70 
 83 
220
30
 70 
 70 
      
 83 
 83 
22030
 70 
  
 83 
250
.
Da regra anterior conclui-se que, se a ∈ ℝ e m, n ∈ ℕ, então
m parcelas
a 
n m
 a n  a n  ...  a n  a nn...n  a mn
m factores
Quando temos uma potência de outra potência, dá-se a mesma
base da potência dentro dos parêntesis e multiplicam-se os
expoentes.
20 2
  7    7 202  7 40
Exemplo: 

  .
  4    4 
4


Note que:  a

n m
nm
não é o mesmo que a .
Seja a, b ∈ ℝ e n ∈ ℕ. Então
an × bn = a × a × … × a × b × b × … × b
n factores
n factores
Pela comutatividade da multiplicação obtém-se
= a × b × a × b × a × b × … × a × b = (a × b)n.
n multiplicações de a × b
Na multiplicação de potências com o mesmo expoente e com
bases diferentes, mantém-se o mesmo expoente e multiplicam-se as bases.
300
300
300
300
1
3
1
3
1
Exemplo:                .
 3
2
 3 2
 2
Por vezes é necessário trabalhar com expoentes negativos.
As regras anteriores mantêm-se válidas em expoentes negativos.
Exemplo: 23 × 2-2 = 23-2 = 2.
Atendendo à potência de potência e à definição de inverso, para
qualquer a, b ∈ ℝ\{0} e n ∈ ℕ verifica-se que
1 n
n


a
a
b


      .
 
b
 b    a 
Concluindo, qualquer número elevado a um expoente negativo é
igual ao seu inverso elevado ao expoente positivo.
n
Exemplo:  9 
3
3
 1
   .
 9
Propriedades dos radicais
Define-se a raiz n-ésima (n ∈ ℕ) de um número real a por:
n
a  b se e só se a  b n ,
seguindo as seguintes condições:
a=0
a>0
n par
n
a 0
n
a 0
n ímpar
n
a 0
n
a 0
a<0
n
a não é real
n
a 0
Nota: não existe nenhum número real que elevado a um número
par dê um número negativo.
Exemplos:
2
4  2 uma vez que 4  22.
Repare-se que
2
4  2 embora 4   2  ;
2
Por definição, o resultado das raízes pares é sempre positivo.
2
4
não é um número real.
Não existe nenhum número real que elevado a um expoente par
dê um número negativo.
3
27  3 uma vez que 27  33.
3
27  3 uma vez que  27   3 .
3
Sempre que a n-ésima raiz de a ∈ ℝ é um número real,
definimos
1
an  n a,
para qualquer número natural n.
Nas condições anteriores, utilizando a potência de potência, é
possível concluir que
m
n
a a
1
m
n
ou que
m
n
a a
1
m
n
m
 
 a  
 
1
n
 a
n
m
,
1
n
  am   n am ,
para qualquer valor de m ∈ ℤ (quando m ≤ 0, a tem que ser não
nulo).
Regras da multiplicação de radicais:
As regras dos radicais resultam das regras das potências.
Exemplo: sempre que a n-ésima raiz de a e a n-ésima raiz de b
são números reais, então
n
1
n
1
n
1
n
a  b  a  b   ab   n ab .
n
Se, para além das condições anteriores, o b for não nulo,
1
n
1
n
a a
a
a
n
 1   
.
n
b
b
b
n
b
n
Exemplos:
3
3  9  3  9  27  3; e
3
3
3
4
32 4 32 4

 16  2.
4
2
2
Equações do 1º grau
Uma equação é uma afirmação que duas quantidades
(expressões algébricas) são iguais.
Exemplos: (x – 3) ÷ 2 = 1 ou x2 + x = 0.
As duas quantidades de cada lado do sinal de igualdade são
chamados os membros da equação.
A 1ª equação do exemplo anterior tem membros (x – 3) ÷ 2 e 1.
Nos exemplos anteriores, x chama-se a variável uma vez que à
medida que x varia, a equação pode ser verdadeira ou falsa.
A variável x de uma equação também é designada de incógnita
da equação.
Todos os valores de x que tornam uma equação verdadeira são
chamados soluções dessa equação.
O conjunto solução de uma equação é formado por todos os
valores da variável x que tornam essa equação verdadeira.
Duas equações dizem-se equivalentes (representa-se com o sinal
⇔) se elas têm exactamente o mesmo conjunto solução.
Exemplo:
4x – 12 = 16
⇔ 4x = 28
⇔x=7
Todas as equações anteriores dizem-se equivalentes uma vez
que têm todas o mesmo conjunto solução que é {7}.
Propriedades da igualdade:
Propriedade da substituição: sempre que se substitui a
expressão dum membro de uma equação por outra expressão
igual a ela, a equação obtida é equivalente à primeira.
Exemplo: 3(x + 2) – 2x – 6 = 1 ⇔ 3x + 6 – 2x – 6 = 1 ⇔ x = 1.
Dizemos que o conjunto solução desta equação é {1}.
Propriedade aditiva: sempre que se adiciona a mesma
quantidade a ambos os membros de uma equação, obtém-se
uma equação equivalente.
Exemplo: x + 4 = 10 ⇔ x + 4 + (–4) = 10 + (–4) ⇔ x = 6.
Dizemos que o conjunto solução desta equação é {6}.
Propriedade multiplicativa: sempre que se multiplica a mesma
quantidade (diferente de zero) por ambos os membros de uma
equação, obtém-se uma equação equivalente.
1
1
5 x 10
  x  2.
Exemplo 1: 5 x  10   (5 x)  10 
5
5
5
5
Dizemos que o conjunto solução desta equação é {2}.
x
4x
x
Exemplo 2:  2  4     4  2 
 8  x  8.
4
4
4
Dizemos que o conjunto solução desta equação é {8}.
Se numa equação a variável aparece sempre com o expoente
igual a 1, dizemos que essa é uma equação do primeiro grau.
As propriedades anteriores são suficientes para resolver (achar o
conjunto solução de) qualquer equação do primeiro grau.
Como resolver uma equação do primeiro grau
3x
2( x  1)
3
.
4
6
1. Se a equação contém fracções, multiplique ambos os
membros da equação pelo denominador comum das fracções
(ou seja, pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores);
Exemplo: Resolva
3x
2( x  1)
 3x

 2( x  1) 
3
 12   3   12 
Exemplo:
.
4
6
 4

 6 
2. Remova todos os parêntesis da equação;
12
 3x

 2( x  1)  12
12

3

12


3
x

12

3

 2( x  1)
Exemplo: 



4
6
 4

 6 
 3  3x  36  4( x  1)
 9 x  36  4 x  4.
3. Calcule todas as somas por forma a obter todos os termos
que contêm a variável no primeiro membro e todos os termos
independentes no segundo membro;
Exemplo: 9x + 36 = 4x – 4 ⇔ 9x + 36 – 4x = 4x – 4 – 4x
⇔ (9 – 4)x + 36 = (4 – 4)x – 4
⇔ 5x + 36 = – 4
⇔ 5x + 36 – 36 = – 4 – 36
⇔ 5x = – 40.
4. Divida ambos os membros da equação pelo coeficiente da
variável;
5 x 40
5
x


40


 x  8.
Exemplo:
5
5
5. Verifique a solução obtida substituindo na equação original.
Exemplo:
3  (8)
2(8  1)
24
2  (9)
3

3
4
6
4
6
18
 6  3 
6
 3  3.
Obteve-se uma proposição verdadeira, logo -8 é solução desta
equação.
Desafio: Resolva a equação:
1

2 x  
1
2 3

  1  ( x  2)
3
2
6
Resolução:
 

1
1

2 x  
2 x  

1
2 3
2 3 
1



  1  ( x  2)  6 
  1  6  ( x  2) 
3
2
6
3
2 
6






1

12  x  
2  18


 6 x2
3
2
1

 4 x    9  6  x  2
2

 4x  2  3  x  2
 4x  5  x  2
 4 x  x  2  5
 3 x  3  x  1.
O conjunto solução desta equação é {1}.
Verificação que 1 é solução da equação:
 1
1
2 1  
2
3
1
2

   1  (1  2) 
2  3  2  1  (1)
3
2
6
3
2 2 6
1 1
1
  
3 2
6
2 3
1
  
6 6
6
1
1
  .
6
6
Obteve-se um proposição verdadeira, logo 1 é solução da
equação.
Equações de graus superiores – equações do
segundo grau
Uma equação do segundo grau (numa variável x) é uma equação
que se pode escrever na forma geral
ax2 + bx + c = 0,
onde a, b e c são constantes reais com a ≠ 0.
Exemplos: a equação 4x2 + 4x + 1 = 0
é uma equação do 2º grau e já está escrita na sua forma geral.
A equação 5x2 + 2x = x2 – 2x – 1
é equivalente à equação anterior. Logo é uma equação do 2º
grau mas não está escrita na sua forma geral.
O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é
transformá-la na sua forma geral.
Para tal usam-se as mesmas propriedades da igualdade que se
usam nas equações do 1º grau.
Exemplo: converta a equação 5x2 + 2x = x2 – 2x – 1 na sua forma
geral:
5x2 + 2x = x2 – 2x – 1 ⇔ 5x2 + 2x – x2 = x2 – 2x – 1 – x2
⇔ (5 – 1)x2 + 2x = – 2x – 1
⇔ 4x2 + 2x + 2x = – 2x – 1 + 2x
⇔ 4x2 + 4x = – 1
⇔ 4x2 + 4x + 1 = – 1 + 1
⇔ 4x2 + 4x + 1 = 0.
Para resolvermos equações do 2º grau que já estão na sua forma
geral convém relembrar algumas propriedades importantes:
Lei do anulamento do produto: Sejam a e b quaisquer dois
números reais. O produto a × b é igual a zero se e só se um dos
factores (a ou b) for igual a zero, isto é,
a × b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0.
Quadrado da soma: Sejam a e b quaisquer dois números reais
então
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Diferença de quadrados: Sejam a e b quaisquer dois números
reais então
a2 – b2 = (a – b)(a + b).
Resolução de uma equação do 2º grau com b e c iguais a zero
Quando b e c são nulos, a equação quadrática fica equivalente a
ax2 + 0 × x + 0 = 0 ⇔ ax2 = 0 ⇔ x = 0.
Resolução de uma equação do 2º grau apenas com b igual a zero
Quando b é nulo, a equação quadrática fica equivalente a
ax2 + 0 × x + c = 0 ⇔ ax2 + c = 0
⇔ ax2 = – c
⇔ x2 = – c/a.
Se – c/a for negativo, a equação não tem solução (é impossível)
uma vez que não há nenhum número real que elevado ao
quadrado seja negativo. Se – c/a for positivo, a solução é
x  c / a  x   c / a  x   c / a .
Exemplo 1:
( x  1) 2  2 x  3 x 2  2  x 2  2 x  (1)  (1) 2  2 x  3 x 2  2
 x 2  2 x  1  2 x  3 x 2  2
 x 2  1  3 x 2  2
 x 2  1  3x 2  2  0
 4x2 1  0
 4x2  1
1
x 
4
2
 x
O conjunto solução é {-1/2,1/2}.
1
1
1
1
 x  x x .
4
2
2
2
Exemplo 2:
 ( x  2) 2

( x  2) 2
1
1
 x   4
 x   4
4
2
2
 4

 ( x  2) 2  4 x  2
 x 2  2  2 x  22  4 x  2
 x2  4x  4  4x  2  0
 x2  2  0
 x 2  2
Equação impossível uma vez que não existe nenhum número
real que elevado ao quadrado dê – 2.
O conjunto solução da equação é {}.
Resolução de uma equação do 2º grau apenas com c igual a zero
Quando c é nulo, a equação quadrática fica equivalente a
ax2 + bx + 0 = 0 ⇔ ax2 + bx = 0
⇔ x × (ax + b) = 0.
Pela lei do anulamento do produto resulta que
x × (ax + b) = 0 ⇔ x = 0 ∨ ax + b = 0
⇔ x = 0 ∨ ax = – b
⇔ x = 0 ∨ x = – b/a.
Exemplo 1:
2x2 + 2x + 2 = x2 + 2 ⇔ 2x2 + 2x + 2 – x2 – 2 = 0
⇔ x2 + 2x = 0 ⇔ x(x + 2) = 0
⇔ x = 0 ∨ x + 2 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = – 2.
Resolução de uma equação do 2º grau com a, b e c não nulos
Quando a, b e c não são nulos, a equação quadrática resolve-se
utilizando a fórmula resolvente que diz que
2

b

b
 4ac
2
ax  bx  c  0  x 
2a
b  b 2  4ac
b  b 2  4ac
x
x
.
2a
2a
Sempre que b2 – 4ac < 0, a raiz quadrada do numerador não é
um número real. Neste caso a equação não tem soluções reais.
Sempre que b2 – 4ac = 0, a raiz quadrada do numerador é igual a
zero. Neste caso a equação tem uma solução real.
Sempre que b2 – 4ac > 0, a equação tem duas soluções reais.
Exemplo 1:
x2  5x
x

x

2
    5   x  5 x  4   5 
4
4

4

 x 2  5 x   x  20
 x 2  5 x  x  20  0
 x 2  4 x  20  0
Como a = 1, b = – 4 e c = 20, pela fórmula resolvente obtém-se
(4)  (4) 2  4 1 20
(4)  (4) 2  4 1 20
x
x
2 1
2 1
4  64
4  64
x
x
.
2
2
A equação é impossível em ℝ.
Exemplo 2:
1
2
x  x    4 x 2  4 x  1  4 x 2  4 x  1  0.
4
Como a = 4, b = 4 e c = 1, pela fórmula resolvente obtém-se
4  42  4  4 1
4  42  4  4 1
x
x
2 4
2 4
4  0
4  0
x
x
8
8
4
4
1
x
x
 x .
8
8
2
O conjunto solução desta equação é { – 0.5}.
Exemplo 3:
x 2  2 x  x  2  x 2  2 x  x  2  0  x 2  3x  2  0.
Como a = 1, b = – 3 e c = 2, pela fórmula resolvente obtém-se
(3)  (3) 2  4 1 2
(3)  (3) 2  4  1 2
x
x
2 1
2 1
3 1
3 1
x
x
2
2
3 1
3 1
x
x
 x  1  x  2.
2
2
O conjunto solução desta equação é {1, 2}.