MATEMÁTICA – ÁLGEBRA
Sistemas Lineares
Equação Linear: uma equação linear é toda aquela que possui como forma a1 x1 +
a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b. A solução de uma equação linear é ênupla, ou seja, uma sequência
ordenada de números reais.
•Todas as soluções de uma equação devem ser reunidas no conjunto-solução
•Uma equação linear cujo termo independente é zero chama-se equação homogêna. Tal
equação sempre admite a solução nula (também chamada de solução trivial).
•Duas ou mais equações são equivalentes quando possuem as mesmas soluções e o mesmo
conjunto universo.
•Uma equação linear pode ser classificada como determinada quando possuir uma única
solução, indeterminada quando possui mais de uma solução e impossível quando não tiver
solução.
Sistemas lineares: é um conjunto de duas ou mais equações lineares, consideradas
simultaneamente.
•Um sistema linear pode ser determinado (SPD) quando possuir uma única solução,
indeterminado (SPI) quando possuir mais de uma solução e impossível (SI) quando não possuir
solução. O conjunto-solução de um sistema linear é aquele que contém a(s) solução (ões)
comum (ns) a todas as equações.
•Um sistema linear é aquele em que o termo independente de todas as equações é nulo.
•Dois ou mais sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução podem ser chamados
de equivalentes.
↔ Matrizes associadas a um sistema linear: pode associar a um sistema uma matriz
incompleta, ou seja, aquela composta apenas pelos coeficientes, ou uma matriz completa, ou
seja, aquela composta pelos coeficientes e pelos termos independentes.
↔ Regra de Cramer: é válida quando o número de equações é igual ao número de incógnitas
e o determinante da matriz incompleta tem que ser diferente de zero. Considerando essas
restrições, ao resolver um sistema de n equações e n incógnitas devemos calcular o
determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos
independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes.
Considerando essa equação, D = 31.
Agora, para calcular o valor das incógnitas, escolhe-se uma variável e troca-se seus coeficientes
pelos resultados das equações. Por exemplo, vamos fazer primeiro com a variável x. Dessa
forma, vamos trocar a coluna referente aos coeficientes detx (2, 3, 5) pela coluna referente aos
resultados (18, 23, 27). Logo, Dx= 93. Após isso, divide-se Dx por D e obtém-se, então, o valor
de x. Caso D seja igual a zero, o sistema é impossível.
↔ Escalonamento: para realizar-se o método do escalonamento pode-se trocar posições das
equações, multiplicar uma equação por um número real ou adicionar a uma equação outra
equação previamente multiplicada por um número real. Assim como o método da adição, o
escalonamento envolve a eliminação de incógnitas em algumas equações objetivando chegar
em um sistema escalonado como esse abaixo:
↔Discussão de sistemas lineares: discutir um sistema, em função de um ou mais parâmetro,
significa dizer para que valores desses parâmetros ele é possível e determinado, possível e
indeterminado ou impossível. Pode ser realizada por meio do escalonamento ou, quando o
número de equações é igual ao número de incógnitas, por meio do determinante da matriz
incompleta do sistema.