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Complexidade
Introdução
Sistemas de Equaç ões Lineares , ou Sistemas Lineares , são um conjunto de equações que tem
tantas incógnitas quantas equações.
Podemos ver um exemplo abaixo que é um sistema de equações lineares com três equações e
três incógnitas.
+1·x1 - 2· x2 + 3· x3 = +1
+3·x1 + 1· x2 + 1· x3 = -1
-2·x1 + 3· x2 - 1· x3 = +2
A solução desse sistema é o conjunto de números que substituem x1, x2 e x3 de forma que todas
as equações sejam simultâneamente válidas.
9- 79 ,
4
, 89 =
9
Os x1, x2 e x3 que são solução do exemplo são respectivamente:
Podemos concretizar a idéia do sistema linear e sua solução imaginando que cada equação
representa um plano e a solução do sistema linear é o ponto de interseção dos planos.
O gráfico a seguir ilustra isso.
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Neste artigo vamos conhecer uma forma de encontrar a solução de sistemas lineares.
Desenvolvimento
Ÿ Definições
Um sistema de equações arbitrário cuja forma é:
x1 a1,1 + x2 a1,2 + ...+ x3 a1,n = b1
x1 a2,1 + x2 a2,2 + ...+ x3 a2,n = b2
»
x1 a3,1 + x2 a3,2 + ...+ x3 a3,n = bn
Pode ser representado matricialmente por:
A·x=b
Sendo A a matrix dos coeficientes:
a1,1 a1,2 ... a1,n
A= »
»
»
»
a3,1 a3,2 ... a3,n
x o vetor das incógnitas:
x=
x1
»
xn
b=
b1
»
bn
b o vetor dos termos independentes:
Vamos desenvolver apenas sistemas lineares quadrados, sistemas esses que tem o número
de incógnitas igual ao de equações.
è Pivô
Dada uma matriz quadrada de ordem 3 (3x3). Denominamos pivôs os elementos da diagonal
principal.
Sendo que o pivô da primeira linha é denominado primeiro pivô, o pivô da segunda linha é
nomeado segundo pivô, e assim sucessivamente.
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
è Matriz Triangular Superior
A matriz triangular superior é matriz que possui os elementos abaixo dos pivôs igual a zero e
apresenta forma semelhante a:
a1,1' a1,2 ' a1,3 '
0
a2,2' a2,3 '
0
0
a3,3'
Duas características importantes dessa matriz são:
- Permite resolver um sistema linear associado a ela através da substituição reversa,
- Permite obter o determinante simplesmente multiplicando a diagonal principal.
Ÿ Exemplo Numé rico
Vamos definir um exemplo com qual trabalharemos.
Dada as equações:
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Vamos definir um exemplo com qual trabalharemos.
Dada as equações:
+1·x1 - 2· x2 + 3· x3 = +1
+3·x1 + 1· x2 + 1· x3 = -1
-2·x1 + 3· x2 - 1· x3 = +2
Vamos extrair a matrix de coeficientes A:
1 -2 3
A= 3 1 1 ;
-2 3 -1
Os vetores de dos termos independentes (b) e das incó gnitas (X) .
b = 81, -1, 2<;
MatrixForm@%D
1
-1
2
X = 8x1, x2, x3<;
MatrixForm@%D
x1
x2
x3
Ÿ Método de Resoluç ão - Eliminaç ão de Gauss
Existem diversas formas de resolver um sistema linear. Vamos usar o método da Eliminaç ão de
Gauss. Método esse que consiste em:
a ) Realizar operaç ões na matriz de coeficientes e no vetor dos termos independentes
de forma que reduzam-se a uma matrix equivalente na forma triangular superior.
b ) Resolver o sistema linear atravé s da substituiç ão reversa.
Devemos conhecer algumas operações que podem ser realizadas com as equações e matrizes de
forma que não alteram o conjunto solução (X).
(i) Trocar equaç ões de ordem ou trocar uma linha por outra da matriz.
(ii) Multiplicar uma equaç ão por um nú mero ou a linha de matrix por um nú mero.
(iii) Somar uma equaç ão mú ltiplicada por um nú mero a outra ou somar a linha de uma
matriz multiplicada por um nú mero a outra.
Conhecendo essas propriedades podemos obter a matriz triangular superior.
è Triangularizando as Equaç ões
Vamos definir as equações do nosso sistema linear como funções do Mathematica:
equacao1@x1_, x2_, x3_D := +1 * x1 - 2 * x2 + 3 * x3 -1
equacao2@x1_, x2_, x3_D := +3 * x1 + 1 * x2 + 1 * x3 +1
equacao3@x1_, x2_, x3_D := -2 * x1 + 3 * x2 - 1 * x3 -2
equacao1@x1, x2, x3D + 1 Š 1
equacao2@x1, x2, x3D - 1 Š -1
equacao3@x1, x2, x3D + 2 == 2
x1 - 2 x2 + 3 x3 Š 1
3 x1 + x2 + x3 Š - 1
- 2 x1 + 3 x2 - x3 Š 2
Agora vamos eliminar o x1 das equaç ões 2 e 3 .
Para eliminar a incógnita x1 da segunda equação multiplicamos a equaç ão um por - 3 e a
somamos a segunda equaç ão, em seguida substituimos a segunda equaç ão pelo resultado.
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Simplify@
equacao1@x1, x2, x3D * 3 - equacao2@x1, x2, x3D
D
- 4 - 7 x2 + 8 x3
equacao2@x1_, x2_, x3_D := -4 - 7 x2 + 8 x3
Processo análogo para equação três.
Simplify@
equacao1@x1, x2, x3D * -2 - equacao3@x1, x2, x3D
D
4 + x2 - 5 x3
equacao3@x1_, x2_, x3_D := 4 + x2 - 5 x3
Nosso novo conjunto de equações é:
equacao1@x1, x2, x3D
equacao2@x1, x2, x3D
equacao3@x1, x2, x3D
- 1 + x1 - 2 x2 + 3 x3
- 4 - 7 x2 + 8 x3
4 + x2 - 5 x3
Repetimos o processo para eliminarmos x2 da terceira equaação
Simplify@
equacao2@x1, x2, x3D * -1  7 - equacao3@x1, x2, x3D
D
3
H- 8 + 9 x3L
7
3
equacao3@x1_, x2_, x3_D := H-8 + 9 x3L
7
Nosso conjunto de equações resultante é:
equacao1@x1, x2, x3D
equacao2@x1, x2, x3D
equacao3@x1, x2, x3D
- 1 + x1 - 2 x2 + 3 x3
- 4 - 7 x2 + 8 x3
3
H- 8 + 9 x3L
7
è Substituiç ão Reversa
Tendo nosso sistema de equações triangularizado simplesmente resolvemos o sistema da última
equação para a primeira.
x3 = x3 . Solve@equacao3@x1, x2, x3D Š 0, x3D@@1DD
8
9
x2 = x2 . Solve@equacao2@x1, x2, x3D Š 0, x2D@@1DD
4
9
x1 = x1 . Solve@equacao1@x1, x2, x3D Š 0, x1D@@1DD
7
9
è Verificando a Soluç ão
Nosso vetor X com as incógnitas ficou:
X
7 4 8
:- , , >
9 9 9
Podemos verificar se o vetor X satifaz a expressão:
A.X= b
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Através de:
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Podemos verificar se o vetor X satifaz a expressão:
A.X= b
Através de:
A.X Š b
True
A igualdade retornou True o que significa que a equação é verdadeira.
è Triangularizando da Matriz Aumentada
A forma mais simples de resolver um sistema de equações lineares é através de suas matrizes.
Logo, veremos o processo usando apenas notação matricial, pois saberemos que as operações
realizadas com as matrizes são análogas as realizadas com as equações.
Vamos enfatizar que as matrizes representam as equações e como consequência disso todas as
operações realizadas do lado esquerdo ( Matriz de Coeficientes ) devem ser realizadas do lado
direito (Termos Independentes ) .
A.X= b
Vamos definir uma matriz aumentada que é a união da matriz de coeficientes com o vetor dos
termos independentes de forma a facilitar as operações.
matrizAumentada = MapThread @
Append ,
8A, b<
D;
MatrixForm@
matrizAumentada ,
TableHeadings ® 8None, 8"", "A", "", "b"<<
D
A
b
1 -2 3 1
3 1 1 -1
-2 3 -1 2
Visualizando o sistema linear como uma matriz fica mais claro entender a triangularização.
Temos que fazer com que os elementos abaixo do primeiro pivô sejam iguais a zero.
Para isso realizaremos operações semelhantes a realizadas com o sistema de equações.
matrizAumentada  MatrixForm
1 -2 3 1
3 1 1 -1
-2 3 -1 2
Vamos criar uma função que multipllica a linha de uma matriz por um número e a soma a outra
linha.
multiplicaLinha @linha_, linhaDoPivo_ , multiplicador_ D :=
ReplacePart @
matrizAumentada ,
linha ®
multiplicador * matrizAumentada @@linhaDoPivo DD - matrizAumentada @@linhaDD
D
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matrizAumentada = multiplicaLinha @2, 1, 3D;
MatrixForm@matrizAumentada D
1 -2 3 1
0 -7 8 4
-2 3 -1 2
matrizAumentada = multiplicaLinha @3, 1, -2D;
MatrixForm@matrizAumentada D
1 -2 3 1
0 -7 8 4
0 1 -5 -4
Agora passamos para o segundo pivô.
matrizAumentada = multiplicaLinha @3, 2, -1  7D;
MatrixForm@matrizAumentada D
1 -2 3 1
0 -7 8 4
0
0
27
7
24
7
O resultado final é
MatrixForm@
matrizAumentada ,
TableHeadings ® 8None, 8"", "A", "", "b"<<
D
A
b
1 -2 3 1
0 -7 8 4
0
0
27
7
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Tendo a matriz dos coeficientes triangularizada aplica-se a substituição reversa e obtem-se a
solução do sistema linear.
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