Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa
Apontamentos Cálculo II
Lista 6.2 – Teorema da Função Implícita
1.
Sistema de m equações e n variáveis reais (S): Conjunto de m condições lógicas, que podem ser respeitadas por um número infinito de pontos de n , um número finito de pontos de n , ou por nenhum ponto de n . f1 x1 , … ,xn
…
S:
fm x1 , … ,xn
b1
bm
2.
Conjunto solução de um sistema de m equações e n variáveis reais: n
Conjunto de pontos de f1 x1 , … ,xn
…
S:
fm x1 , … ,xn
b1
bm
a1 , … ,an
CSS
que respeitam todas as condições do sistema de equações. n
: f1 a1 , … ,an
b1
… fm a1 , … ,an
bm 3.
Função de
n
m
em
: Aplicação que faz corresponder aos pontos de só ponto de m . n
f: Df
m
f x1, … ,xn
4.
n
que pertencem ao seu domínio um e um f1 x1, … ,xn , … ,fm x1, … ,xn Sistemas de equações e funções: A definição do conjunto solução de um sistema de equações é equivalente à definição do conjunto de zeros (objectos cujas imagens são o vector nulo) de uma função associada ao sistema. f1 x1 , … ,xn
…
fm x1 , … ,xn
F: Df1
…
bm
n
Dfm
F x1 , … ,xn
5.
f1 x1 , … ,xn
…
fm x1 , … ,xn
b1
m
b1
0
bm
0
F x1 , … ,xn
0, … ,0 F1 x1 , … ,xn , … , Fm x1 , … ,xn
f1 x1 , … ,xn
b1 , … , fm x1 , … ,xn
bm Teorema da Função Implícita aplicado a uma equação de 2 variáveis reais: Se: F: DF
2
S: F x,y
a,b
0 CSS
F a,b
0 1
Apontamentos Cálculo II
Lista 6.2 – Teorema da Função Implícita
DF : F Ck V a,b , k
V a,b
Fy a,b
1 0 Então: Va , Vb
:
f: F x,f x
; CDf
f: Va
f x
0 Vb y x Ck f
Fx x,f x
f x
Fy x,f x
6.
Teorema da Função Implícita: Se: n m
F: DF
S: F x,y
a,b
m
0; x
CSS
x1 , … ,xn
y1 , … ,ym
m
0, … ,0,0, … ,0 1 JF a1 , … ,an , b1 , … ,bm
JF a,b
;y
F a1 , … ,an , b1 , … ,bm
F a,b
DF : F Ck V a,b , k
V a,b
n
0 Então: n
Va
f: Va
n
f x1 , … ,xn
f
Jf x
, Vb
m
; CDf
m
:
f: F x,f x
0 Vb y1 x1 , … ,xn , … ,ym x1 , … ,xn Ck JFy x,f x
1
. JFx x,f x 7.
Suficiência e Necessidade das condições do Teorema da Função Implícita: Se as condições do Teorema da Função Implícita se verificarem, a existência local de uma função definida implicitamente é garantida, mas se não se verificarem, nada se pode concluir sobre a existência local de uma função definida implicitamente com base no Teorema da Função Implícita, podendo ocorrer ou não. Por isso, a verificação das condições do Teorema da Função Implícita é suficiente, mas não necessária, para a existência local de uma função definida implicitamente a partir de um sistema de equações. 2