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Equações e inequações
GUIÃO REVISÕES
Equações e Inequações
Equações
Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes.
Quantos rapazes há nesta turma?
O objectivo do problema é determinar o número de rapazes da turma, comecemos por
designar este valor por .
O número de raparigas excede em o número dos rapazes o que significa em linguagem
matemática que o número de raparigas é
.
A turma tem no total
alunos, logo
.
É necessário descobrir o valor de
que transforma esta expressão em
.
Podemos sugerir vários valores para .
Se
então existem
apenas rapazes.
Se
então
Se
então
alunos, o que é falso. Logo não existem
. Logo não existem apenas 10 rapazes.
. Logo existem 11 rapazes.
Este procedimento poderá ser moroso quanto mais complicado for o problema. Existe um
método que nos permite encontrar soluções para incógnitas de um modo mais simples e
prático. Trata-se da resolução de equações.
O que é uma equação?
No tema anterior estudamos a simplificação de expressões com e sem incógnitas no
entanto se igualarmos duas expressões que envolvam incógnitas ficamos perante uma
equação.
Assim, uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma incógnita.
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Equações e inequações
O significa resolver uma equação?
Resolver uma equação não é nada mais do que um processo para encontrar um valor
(ou valores) desconhecido (s), uma incógnita.
Sempre que estiver perante um problema onde precisar de saber determinado valor
deve designa-lo por uma letra (incógnita) e recorrer a um conjunto de regras para o encontrar
Uma equação pode ser comparada a uma balança como a da figura
ao lado. Numa balança o equilíbrio consegue-se quando os dois pratos têm
a mesma massa. Cada alteração que seja feita num dos pratos terá que ser
feita no outro, caso contrário, a balança entra em situação de desequilíbrio.
Equações equivalentes
Então, ao resolver uma equação
cada operação que se realize no primeiro
membro terá que ser realizada no segundo.
Duas equações dizem-se equivalentes quando têm o
mesmo conjunto solução. Obtemos equações
equivalentes ao procedermos à simplificação desta.
O que é a solução da equação?
A solução de uma equação é um número que colocado no lugar da incógnita
transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira.
Quando estamos a resolver uma equação que traduz um problema é necessário ter em
atenção a validade desta.
Por exemplo, se num problema a nossa incógnita representa uma medida de
comprimento e a solução é um número negativo é importante verificar que esta solução não é
válida no contexto do problema pois não existem comprimentos negativos.
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Equações e inequações
Equações do 1º grau
Princípio da adição e da multiplicação
x 1 2
x 1 1 2 1
x 3
.
x 1 2
x 1 1
x 1
.
x
2
2
x
2x 1
2 1
• Para isolar o x é necessário “eliminar” o -1,
para tal, vamos adicionar o simétrico de -1 a
cada um dos membros.
• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 1,
para tal, vamos adicionar o simétrico de 1 a
cada um dos membros.
1
x
2
2
.
z
2x
2
.
x
Para isolar o x é necessário “eliminar” o , para
2 1
tal, vamos multiplicar pelo inverso de cada um
dos membros.
1
2
1
2
• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 2,
para tal, vamos multiplicar pelo inverso de 2
cada um dos membros.
Resolva a equação do problema inicial,
1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita
no 2º membro e reduza os termos semelhantes;
2º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;
3º Identifique o conjunto solução.
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Equações e inequações
Resolva a equação
.
1º Comece desembaraçar de parênteses;
2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;
3º Elimine os denominadores;
4º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º
membro e reduza os termos semelhantes;
5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;
6º Identifique o conjunto solução.
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Equações e inequações
Teste os seus conhecimentos
1) Resolva as seguintes equações:
a) 5 x
4 17 2 x
b) 4
2 x 1
c) 2
x 1
15
3 2 x
3
10
x 1
10
2) Resolva os seguintes problemas:
a) O dono de uma oficina apresentou um orçamento de 242,5 € para reparar um
automóvel. O carro precisa de uma peça nova de 80 € e o mecânico ganha 25 € à hora.
Quantas horas levam o mecânico a reparar o carro?
b) A Marta foi ao bar da escola e gastou metade do dinheiro que tinha num sumo, dois
terços do restante num bolo e ainda lhe sobrou 50 cêntimos. Quanto dinheiro tinha a Marta?
c) O automóvel do Vítor é mais novo três anos do que o automóvel da Sara. Daqui a dois
anos, a soma das idades dos dois carros será igual ao triplo da idade actual do carro do Paulo
que é mais novo dois anos que o carro do Vítor. Qual a idade dos três carros?
Até agora….
Definição de equação
Resolução de equações do 1º grau
Resolução de equações do 2º grau
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Equações e inequações
Equações do 2º grau
Um tapete rectangular tem
de área. O comprimento excede em
metro a
medida da largura. Qual o comprimento do tapete?
Dado que o tapete é rectangular, a sua área é dada pela multiplicação do
comprimento pela largura.
Se considerar que o tapete tem
metros de largura terá
metros de
comprimento logo,
Como o tapete tem
de área então,
É possível determinar o valor de
analiticamente? Que tipo de equação está aqui
representada?
Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na
forma
com
e
. Esta forma denomina-se forma canónica.
são os coeficientes da equação do 2º grau.
Se
e/ou
a equação chama-se equação de 2º grau incompleta.
Antes de resolvermos o problema vamos resolver alguns exercícios que nos permitem
fazer uma breve revisão das equações do 2º grau.
Resolva as seguintes equações:
a)
b)
a) A equação
c)
é uma equação do 2º grau incompleta do tipo
pois
.
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Equações e inequações
1º Comece por factorizar o 1º membro, isto é, transforme o 1º membro num produto
de factores. Neste caso basta colocar o
em
evidência
Lei do anulamento
O produto de dois factores é zero
2º Aplique a lei do anulamento do produto
quando pelo menos um deles é zero.
Note que
3º Simplifique
Se
então
Se
então
.
Logo,
4º Identifique o conjunto solução.
b) Note que a equação
pois
é uma equação do 2º grau incompleta do tipo
.
1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e os termos sem
incógnita no 2º membro;
2º Simplifique;
3º Identifique o conjunto solução.
c)
1º Comece desembaraçar de parênteses e escrever a equação na forma canónica;
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Equações e inequações
A equação
é do 2º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes
de zero.
Para resolver uma equação do segundo grau completa devemos aplicar a fórmula resolvente
Fórmula resolvente
As equações do 2º grau incompletas também podem ser resolvidas através da fórmula resolvente.
Poderá optar pelo processo que considerar mais adequado.
2º Identifique os coeficientes da equação
,
,
e
aplique a fórmula resolvente;
3º Identifique o conjunto solução.
Teste os seus conhecimentos
1) Resolva as seguintes equações:
a) 1 3x2
b) 4 x
c) x2
2
2
1
x
2
5x
6
0
d)
e)
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Equações e inequações
2) Se ao quadrado da idade do Joaquim adicionarmos o triplo da idade dele, e em seguida
subtrairmos trinta anos, obtemos o dobro da idade do Joaquim. Qual é a idade do Joaquim?
3) Uma piscina rectangular, com dimensões de
por
, tem a toda a volta uma parte com
relva de largura , como mostra a figura.
x
x
Sabendo que a área total ocupada pela piscina e pela relva é igual
, calcule a largura da
parte com relva.
Inequações
Inequações do 1º grau
Qual dos seguintes rectângulos representados na figura ao lado, tem maior perímetro?
A
B
Os rectângulos têm o mesmo comprimento, logo, terá maior perímetro o que tiver maior
largura.
Suponhamos que pretendemos determinar os valores de
de modo a que o perímetro do
rectângulo B seja maior que o do rectângulo A. Traduzindo o problema em linguagem
matemática vem,
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Equações e inequações
Estamos perante uma inequação! Mais à frente iremos ver como a podemos resolver. Mas
facilmente conseguimos tirar as seguintes conclusões:
Se
, o rectângulo B tem o maior perímetro.
Se
Se
, o rectângulo A tem maior perímetro.
, os dois rectângulos têm igual perímetro.
O que é uma inequação?
Uma inequação é uma desigualdade onde figura pelo menos uma incógnita. Como tal, numa
inequação está sempre presente um dos símbolos , ,
ou .
Resolve-se uma inequação do 1º grau do mesmo modo que se resolve uma equação?
A resposta a esta pergunta é sim com uma única diferença.
Quando numa inequação é necessário multiplicar ou
dividir os dois membros por um número negativo, é
Verdadeiro
Falso
necessário inverter o sinal da desigualdade.
Verifique a diferença no seguinte exemplo,
Equação
Inequação
Verdadeiro
Ao multiplicar os
dois membros por
inverte-se o
sinal da
desigualdade.
Voltando a problema inicial,
Concluímos assim que o rectângulo B é maior que o rectângulo A para todos os valores de
maiores do que .
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Equações e inequações
Indique o conjunto que verifica a condição
1º Comece desembaraçar de parênteses;
2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;
3º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º
membro e reduza os termos semelhantes;
4º Multiplique ambos os membros por
e inverta o sinal da desigualdade
5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;
5º Identifique o conjunto solução.
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Equações e inequações
Teste os seus conhecimentos
1) Represente, utilizando intervalos de números reais, o conjunto solução de cada uma das
seguintes condições:
a) 4x 1
b)
2
2x 1
4x
2
c) 2 x
4 x
3
3
3
1 x
2) Determine os valores inteiros que C pode tomar de modo que a fracção
seja menor do
que 10 e menor do que 9.
3) As dimensões de um rectângulo são
esteja compreendido entre
e
por
. Determine
de modo que o perímetro
.
4) Pretende-se transportar num camião um certo número de sacos de mercadoria A (pesando
100Kg cada saco) e o dobro desse número de sacos de uma mercadoria B (pesando 75Kg cada
saco). A carga do camião tem que ser inferior a 3 toneladas mas não é rentável transportar
menos de 2 toneladas de carga. Qual o número mínimo e o número máximo de sacos que
podem ser transportados?
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