INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS
ENGENHARIA E TECNOLOGIA ESPACIAIS
MECÂNICA ESPACIAL E CONTROLE – MESTRADO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Seminário de Dinâmica Orbital I – CMC-203-0
Prof. Dr. Mário César Ricci
André Guilherme da Silva Tavares
Registro: 82120
São José dos Campos, 20 de de 2005
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Programação:
• Motivação
• Teoria associada
•Exemplo unidimensional
• Vantagens e desvantagens
•Convergência
• Demonstração prática
• Referências
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Motivação
O Método dos Elementos Finitos (MEF) surgiu na área da indústria aeroespacial no
começo da década de 50 como uma poderosa ferramenta numérica para a solução de problemas
matemáticos da Engenharia e da Física.
Ele possibilita a solução de Equações Diferenciais (ou sistemas de Equações
Diferenciais) e sua abrangência é bastante ampla, cobrindo desde a análise de vibração simples
de uma estrutura até os geradores nucleares, passando por diversas áreas, como a mecânica dos
fluidos, dentre diversas outras. E não está limitado a estes exemplos, há inúmeras outras
aplicações para este método.
Por se enquadrar no grupo das ferramentas mais significativas dentro das Ciências
Exatas, o Método dos Elementos Finitos merece ser estudado.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
O conceito mais fundamental do MEF é que “toda função contínua, seja ela de
temperatura, pressão ou deslocamento, pode ser aproximada por um modelo composto de um
conjunto de funções contínuas (dentro de um certo intervalo) definidas sobre um número finitos
de subdomínios”[1].
A situação mais comum é quando desconhecemos o valor da função contínua e
queremos saber o quanto ela vale em certos pontos dentro de uma determinada região.
A construção do modelo discreto do objeto contínuo, denominado aqui por “domínio” é feita
como segue:
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
1) Um número finito de pontos é identificado no domínio. Estes pontos são chamados Pontos
Nodais ou Nós.
2) O valor da função em cada nó é definido como uma variável a ser determinada.
3) O domínio é dividido em subdomínios, chamados "elementos ". Estes elementos estão
conectados pelos nós comuns e juntos aproximam a forma do domínio.
4) A função desejada é aproximada em cada elemento por um polinômio que é definido usando
os valores da função nos nós. Um polinômio diferente é definido para cada elemento, mas estes
são selecionados de forma a manter a continuidade ao longo das fronteiras dos elementos.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
O exemplo unidimensional mais simples desta construção é relacionado à
distribuição da temperatura em uma barra não uniforme. A função contínua neste caso é T(x) e
o domínio é [O,L] (comprimento da barra ao longo do eixo x).
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
A construção do modelo discreto segue as etapas mencionadas anteriormente.
1) 5 pontos ao longo do eixo x são identificados e nomeados (a). Estes pontos são os nós, que
não precisam necessariamente serem eqüidistantes.
Mais que 5 pontos poderiam ser identificados,
mas neste exemplo, 5 pontos são o suficiente
para demonstrar os conceitos.
2) Os valores da função T(x) são especificados
para cada nó, sendo que formam o conjunto
de variáveis do problema, e são mostrados
graficamente, sendo que são nomeados de
acordo com o nó ao qual pertencem (b).
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
3) A divisão do domínio em subdomínios pode ocorrer de duas maneiras: Podemos limitar cada
elemento a dois nós, resultando em quatro elementos (a); ou então dividir o domínio em
apenas dois elementos, contendo três nós cada (b). Obs: observando sempre a continuidade.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Os polinômios dos elementos são definidos usando as variáveis T(x) de cada nó.
Se subdividirmos o domínio em quatro elementos, haverá dois nós por linha.
4) A aproximação final de T(x) irá consistir de 4 funções lineares contínuas no intervalo entre
os seus nós. Cada função é definida sobre um único elemento.
Notamos que a divisão do domínio em dois elementos faz com que as funções associadas
aos elementos sejam de ordem quadrática (figura anterior). Tais funções constituem uma
aproximação do resultado apenas, pois a inclinação destas duas funções não é
necessariamente a mesma no nó 3.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Os valores nodais de T(x) devem então ser ajustados a providenciar a melhor
aproximação da distribuição da temperatura ao longo da barra.
Este ajuste é feito por meio da minimização de alguma quantidade associada ao
problema físico em questão.
A minimização produz um conjunto de equações algébricas lineares que podem ser
solucionadas para os valores nodais de T(x) (que são as variáveis do problema).
O conceito básico do MEF é também aplicável a domínios bidimensionais e
tridimensionais.
No caso bidimensional, os elementos são funções de x e y e possuem em geral forma
triangular ou quadrilateral.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
As funções dos elementos passam a ser planos ou superfícies curvas (figuras abaixo).
A função de um plano é associada ao número mínimo de nós por elemento, que é
três, no caso de elementos triangulares e quatro para os quadrilaterais (figura da esquerda).
Analogamente, as funções podem ser superfícies curvas quando mais do que o número
mínimo de nós por elemento é utilizado (figura da direita).
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Um número excessivo de nós sendo utilizados também permite que os elementos
tenham fronteiras curvas.
A aproximação final da função contínua bidimensional Φ (x,y) é um conjunto de
superfícies contínuas dentro dos seus intervalos. Cada qual definida dentro de um elemento
utilizando os valores de Φ (x,y) nos pontos nodais.
A habilidade de separar um elemento típico de um conjunto de elementos para o
propósito de definir a função do elemento é um aspecto importante no MEF.
Esta propriedade permite que a função do elemento seja definida sem depender da
localização final do elemento no modelo ao qual ele está conectado e também sem depender
das funções dos outros elementos.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Discretização de um domínio
A discretização do domínio não tem uma regra teórica, depende do “feeling” de quem
está solucionando o problema. A má escolha dos pontos nodais irá produzir resultados
incertos, uma vez que as etapas seguintes do processo dependem desta primeira.
Este procedimento envolve a escolha do número, tamanho e forma dos elementos.
O “feeling” mencionado permite que definamos menores elementos nas regiões de
intensa modificação no valor da função objetivo e permite que aumentemos o tamanho dos
elementos nas regiões onde o gradiente da função é pequeno e a função é praticamente
constante (reduzindo esforço computacional). Este “feeling” se adquire com a experiência.
Para os menos experientes existem algumas regras gerais a seguir.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Regras gerais para a discretização de um domínio contínuo
1) Tipos de elementos finitos
Elementos unidimensionais
O caso mais simples possui dois pontos nodais (a),
um em cada extremidade do elemento.
Se possuir mais pontos nodais pode ser um elemento
quadrático (3 nós, fig. b) ou cúbico (4 nós, fig. c).
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Elementos bidimensionais
Estendendo os conceitos dos elementos unidimensionais
obtém-se os elementos bidimensionais, que podem também
apresentar o mínimo de pontos nodais (3), ou apresentar
pontos intermediários, possibilitando as superfícies curvas.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Elementos tridimensionais
De forma análoga, temos os elementos
tridimensionais.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
A divisão do domínio em elementos
A divisão do domínio deve ter início com a divisão do meio contínuo em regiões, que serão
depois divididas em elementos.
As subdivisões em regiões devem acontecer onde houver mudança na geometria, nas
propriedades físicas do meio ou ambos os casos.
Após a divisão em regiões, acontece a divisão de cada região em elementos. Para o caso de
uma região triangular, haverá (n-1)² elementos nesta região, sendo n o número de nós
identificados na lateral da região.
Para o caso de elementos quadrilaterais, haverá em uma região 2(n-1)(m-1) elementos, onde
n e m são os números de nós das laterais adjacentes.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Nomeando os pontos nodais
A nomenclatura não pode ser feita sem uma prévia análise, pois o esforço computacional
depende da numeração dos nós.
O conjunto de equações lineares obtido com a utilização do MEF tem um grande número de
coeficientes nulos. Quando as equações estão na forma matricial, vê-se que alguns destes
e também alguns não nulos ficam entre uma faixa limitada por duas linhas paralelas à diagonal
principal.
A distância destas linhas com relação a diagonal principal é chamada de “bandwidth”. Todos os
coeficientes fora desta faixa são nulos e não têm necessidade de serem armazenados.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
É interessante, com relação à redução do esforço computacional, que esta faixa seja o mais
estreita possível.
A faixa, B, é calculada usando:
B = (R+1) NDOF
onde, R é a maior diferença entre os números dos nós em um mesmo elemento da malha e
NDOF é o número de graus de liberdade desconhecidos de cada nó. A minimização de B
depende da minimização de R, que pode ser facilitada com a numeração dos nós no sentido de
menor dimensão.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
No exemplo abaixo, que considera 1 grau de liberdade desconhecido, vemos que a figura
(a) fornece B=10 (R=9 e R+1 = 10) enquanto na figura (b), B=22 (R=21 e R+1=22). Daí a
necessidade do cuidado na hora de nomear (numerar) os pontos nodais. Os números entre
parêntesis são a identificação do elemento. A diferença no sentido da nomenclatura implica
em uma diferença de 50% de processamento.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Interpolação polinomial linear
Como visto na definição do conceito fundamental do MEF, a solução é aproximada por um
conjunto de funções.
A forma mais comum destas funções são polinômios. A ordem destes polinômios depende
do número de itens conhecidos sobre a função objetivo em cada ponto nodal de cada elemento.
Os elementos finitos são classificados em três grupos, de acordo com a ordem do polinômio
associado a ele. Estes grupos são: “Simplex, Complex e Multiplex”.
Os elementos Simplex têm uma aproximação polinomial que consiste de um termo
constante, mais os termos lineares. O número de coeficientes no polinômio é igual à dimensão
do espaço de coordenadas, mais 1.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
O polinômio
Φ = α1 + α2x + α3y
é a função Simplex de um elemento triangular bidimensional, uma vez que o polinômio é
linear em x e y e contém três coeficientes, já que o triângulo possui três nós.
Os elementos Complex utilizam funções polinomiais compostas por um termo
constante e por termos lineares, além dos termos de segunda, terceira e quantas ordens mais
forem necessárias.
Os elementos Complex têm a mesma forma que os elementos Simplex. No entanto,
possuem pontos nodais adicionais nas fronteiras e podem também ter nós internos.
A diferença primária entre os elementos Simplex e Complex é que o número de nós nos
elementos Complex é maior do que 1 além da dimensão do espaço de coordenadas.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
O polinômio interpolador para elementos Complex bidimensionais triangulares tem a
forma:
Φ = α1 + α2x + α3y + α4x² + α5xy + α6y²
esta equação tem seis coeficientes; então o elemento deve ter seis pontos nós. Isto também é
percebido pela presença de termos de segunda ordem. (segunda ordem implica o dobro de nós;
terceira ordem implica o triplo, etc).
Os elementos Multiplex também usam polinômios contendo termos de ordem superior, mas
as fronteiras do elemento devem ser paralelas aos eixos de coordenadas para executar a
condição de continuidade entre os elementos. As fronteiras dos elementos Simplex e Complex
não estão sujeitas à esta restrição.
Os elementos retangulares alinhados aos eixos de coordenadas são um exemplos de
elementos Multiplex.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Elementos Simplex unidimensionais
Os elementos Simplex unidimensionais são segmentos de reta com comprimento L e dois
pontos nodais, um em cada extremidade. Os nós são referenciados por i e j e os valores nodais
por Φi e Φj.
A origem do sistema de coordenadas é fora do elemento. A função polinomial para uma
quantidade escalar Φ é:
Φ = α1 + α2x
Os coeficientes α1 e α2 podem ser determinados utilizando as condições nodais:
Φ = Φi quando x = Xi e também Φ = Φj quando x = Xj
(ver figura a seguir)
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Estas duas condições nodais resultam no
par de equações
Φi = α1 + α2Xi
Φj = α1 + α2Xj
que pode ser solucionado por:
α1 = ΦiXj – ΦjXi
L
α2 = Φj – Φi
L
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
Substituindo os valores de α1 e α2 na equação original, temos
 φ i X j φ j X i   φ j φi 
 + 
 x
φ = 
L
L

 

que pode ser rearranjado em:
 Xj − x
 x − Xi 


φ =
φi +  L φ j
L




As funções lineares de x acima são chamadas de funções interpoladoras. Estas funções são
indicadas por aí como N, com um índice associado ao nó ao qual elas pertencem.
No caso acima, as funções interpoladoras são:
Ni = Xj – x e
L
Nj = x – X i
L
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Teoria associada
(continuação)
A equação final, contendo as funções interpoladoras, pode ser escrita na forma matricial:
Φ = NiΦi + NjΦj = [N] {Φ}
Onde N é uma matriz linha [N] = [Ni Nj] e {Φ} é um vetor coluna {Φi Φj}T.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Exemplo unidimensional
Exemplo: Um elemento Simplex unidimensional foi usado para aproximar a distribuição de
temperatura em uma barra. A solução indica que a temperatura nos nós i e j são 120º e 90º,
respectivamente. Determine a temperatura a um ponto 4cm distante da origem e o gradiente de
temperatura dentro do elemento. Os nós i e j estão localizados a 1.5cm e 6cm da origem.
A temperatura T é dada por:
 X j −x
 x − Xi 
Ti + 
T = 
T j
L
L




Sendo:
Xi = 1.5cm Xj = 6.0cm
Ti = 120ºC Tj = 90ºC
x = 4.0cm L = Xj-Xi = 4.5cm
Temos que:
T = 103.33ºC
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Exemplo unidimensional
(continuação)
O gradiente de temperatura é obtido por:
dT = -1 Ti + 1 Tj = 1 (Tj – Ti)
dx
L
L
L
dT = - 6.67 ºC/cm
dx
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Convergência
O MEF irá convergir na direção da solução correta à medida em que o tamanho dos
elementos forem diminuindo, de modo que os valores das funções polinomiais gerem um
valor constante ao longo dos elementos quando os valores nodais forem numericamente
constantes.
A existência de um valor constante também implica no desaparecimento do
gradiente de qualquer função (desejado no limite do tamanho mínimo de cada elemento).
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Vantagens e desvantagens
O MEF tem sido amplamente utilizado em todos os problemas físicos que são
governados por equações diferenciais. Diversas vantagens apresentadas na utilização deste
método têm contribuído com o aumento da sua utilização.
Algumas das principais vantagens são:
•
As propriedades dos materiais não precisam ser necessariamente as mesmas em elementos
adjacentes, o que possibilita a utilização de corpos compostos por diversos materiais.
• Fronteiras irregulares podem ser aproximadas usando elementos com lados estreitos ou
representadas com exatidão utilizando elementos com fronteiras curvas.
• O tamanho dos elementos pode ser variado. Esta propriedade permite que os
elementos tenham tamanhos adaptados ao gradiente da função objetivo.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Vantagens e desvantagens
(continuação)
A principal desvantagem da utilização do MEF é relacionada à necessidade de programas
de computador e facilidades computacionais.
Além da necessidade de um computador, o método necessita de uma grande quantidade de
memória para a solução de grandes problemas complicados.
Na verdade, essa desvantagem foi motivo de preocupação durante algumas décadas, porém,
na atualidade, com o avanço da tecnologia e a redução do preço dos equipamentos, considerase neste grupo os computadores, tal desvantagem quase que desaparece.
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Implementação prática
LEVsoft IEAv/CTA
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Implementação prática
(continuação)
LEVsoft IEAv/CTA
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Método dos elementos finitos
Referências
•
[1] SEGERLIND; Larry. J., “Applied Finite Element Analysis” – John Wiley & Sons, New
York, 1976. ISBN: 0-471-77440-5
•
[2] RIBEIRO; Fernando L. B., “Introdução ao método dos elementos finitos”
COPPE/UFRJ – Notas de aulas do Programa de Engenharia Civil, 2003.
•
[3] PILCHOWSKI; Hans-Ulrich, “Estudo da solução numérica de alguns problemas de
difusão, usando o método de elementos finitos” – INPE-3003-TDL/154, Tese de doutorado
em Ciência Espacial, 1984.
•
[4] AZEVEDO; Álvaro F. M., “Método dos elementos finitos” – Faculdade de Engenharia
da Universidade de Porto – Portugual, 1ª edição, 2003.
•
[5] BARKANOV; Evgene., “Introduction to the finite elements method” – Institute of
Materials and Structures – Faculty of Civil Engineering – Riga Technical University, 2001.