ENEM
Geometria
Área de Triângulos
Wallace Alves da Silva
DICAS MATEMÁTICAS
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Áreas de triângulos
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Olá Galera,
Vamos dar sequência a aula de triângulos e vamos aprender como se efetua o cálculo das
suas áreas. É importante que você tenha acompanhado as aulas de TRIÂNGULOS e
aula ÁREAS DE QUADRILÁTEROS.
Há muito tempo atrás você aprendeu no colégio com a sua "tia" uma fórmula básica para o
calculo da área de um triângulo qualquer.
Observe que a área de verde acima representa metade da área de um Paralelogramo, ou
seja,
Porém, nem sempre o problema te fornecerá a base e a altura de um triângulo para que você
calcule diretamente a sua área. Existem outras maneiras de chegar no resultado da área de um
triângulo.
Podemos dizer que existe três tipos de triângulos: equiláteros, isósceles e escalenos.
Equiláteros: as medidas de todos os lados são iguais (congruentes), consequentemente todos
os ângulos internos medem 60°. Por essa característica, o triângulo equilátero é classificado
como triângulo acutângulo ou ainda triângulo equiângulo.
Isósceles: as medidas de dois lados são iguais e um lado é diferente, consequentemente dois
ângulos internos são congruentes. Os ângulos que são congruentes são os que fazem ângulo
nas extremidades do lado de medida diferente.
Escalenos: as medidas de todos os lados são diferentes, consequentemente todos os ângulos
internos são distintos.
Vamos determinar a fórmula para o cálculo da área de um triângulo equilátero em função
apenas da medida de seus lados.
Dessa forma, considere um triângulo equilátero de lado l, como mostra a figura.
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Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:
Vamos chamar a base de b e a altura de h. No triângulo equilátero, b = l e a altura é, ao mesmo
tempo, mediatriz e bissetriz. Dessa forma, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para
determinar a altura em função do lado l.
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Que é a fórmula para o cálculo da área do triângulo equilátero em função apenas da medida do
lado.
Resumindo:
1) Triângulo Equilátero
3
2)
3)
4) Fórmual de Heron
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S é o semi-perímetro
Exemplo 1. Qual a área de um triângulo equilátero de lado 5 cm?
Solução: Sabemos que l = 5cm. Assim,
Exemplo 2. Um triângulo equilátero possui área de 16√3 cm2. Determine a medida do lado
desse triângulo.
Solução: Temos que A = 16√3 cm2. Logo,
Portanto, os lados desse triângulo medem 8 cm.
Exemplo 3. Determine a medida da altura de um triângulo equilátero de área 25√3 cm2.
Solução: Podemos determinar a altura do triângulo equilátero se as medidas de seus lados
forem conhecidas. Assim, vamos encontrar a medida do lado utilizando a área que foi dada
pelo exercício.
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TREINE ESSES EXERCÍCIOS:
1) Dois ângulos opostos de um paralelogramo medem (3x + 25º) e (8x – 10º). Calcule as
medidas dos ângulos desse paralelogramo.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
3x + 25º = 8x – 10º
25º + 10º = 8x – 3x
46º
134º
134º
46º
35º = 5x
x=7
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2) No paralelogramo ABCD da figura, determine as medidas x e y.
Os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.
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112º + 41º + x = 180º
X= 180º - 112º - 41
x = 180º - 153º
x = 27º e y = 112º
) Responda:
a) Como se chamam os trapézios que apresentam dois ângulos internos retos ?
retângulos
b) Qual é o trapézio que tem os lados não paralelos congruentes?
isósceles
c) Qual o nome do paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares entre si mas não são
losango
congruentes ? _________________________
4) Observe o losango e determine:
15
a)
O valor da medida x .
20
b)
O valor da medida y .
c)
A medida da diagonal AC.
20 + y
20 + 20
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5) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x +
13°. Determine a medida de x.
x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360°
4x + 112° = 360°
4x = 360° - 112°
x = 248° / 4
x = 62°
7) No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°
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7
17 x + 5° = 90°
17 x = 90° - 5°
17 x = 85°
8
x = 85° / 17°
x = 5°
y = 5x + 3°
y = 5 (5°) + 3°
y = 28°
8) Determina as amplitudes dos ângulos desconhecidos em cada uma das seguintes figuras:
a)
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b )
c)
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9) Coloque (V) para verdadeiro e (F) para falso nas afirmativas abaixo:
a) ( ) As diagonais de um quadrado são sempre congruentes.
b) ( ) As diagonais de um losango são sempre congruentes.
9
c) ( ) As diagonais de um retângulo são sempre congruentes.
d) ( ) As diagonais de um losango são sempre perpendiculares.
e) ( ) Todo retângulo é um quadrado.
10) Considere as seguintes proposições:
- todo quadrado é um losango;
- todo quadrado é um retângulo;
- todo retângulo é um paralelogramo;
- todo triângulo eqüilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
12) Quais são as medidas dos ângulos de um quadrilátero cujas medidas são expressas por X +
250, 3X, X + 200 e 2X + 350?
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13) As medidas de dois ângulos opostos de um paralelogramo são expressas por 4X + 1 e 6X –
21. Determine as medidas dos quatro ângulos do paralelogramo.
14)
Determine as medidas x e y indicadas no retângulo abaixo.
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15) Determine as medidas do ângulo agudo e do ângulo obtuso do trapézio retângulo da
figura.
Respostas
12. 115o, 60o, 120o, 65o
13. 45o, 45o, 135o, 135o.
14. x = 5o e y = 28o
15. agudo = 50o e o obtuso= 130o
Fonte: http://www.alunosonline.com.br/matematica/area-do-triangulo-equilatero.html
Fonte: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/areas-de-triangulos
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