Probabilidades
Experiência Aleatória

Experiência aleatória
é uma experiência em que:
 não se sabe exactamente o resultado que se virá a observar,
mas
 conhece-se o universo dos resultados possíveis.
Exemplo 2.1
Alguns exemplos de experiências aleatórias:
 Lançamento de uma moeda e observação do lado voltado para
cima.
 Observação do sexo numa série de nascimentos.
 Inquérito ao rendimento de um certo conjunto de famílias.
 Inquérito sobre o número de filhos de um casal.
Probabilidades
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Espaço de Resultados

Espaço de resultados ou espaço amostra (Ω)
conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência
aleatória
Para os exemplos anteriores temos:
 Ω={1,2,3,4,5,6}
 Ω= {“Feminino”, “Masculino”}
 Ω= IR+
 Ω= IN0
Probabilidades
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Noção de acontecimento

Acontecimento
qualquer subconjunto do espaço de resultados
Da definição anterior segue que Ω e o conjunto vazio (∅) são
acontecimentos.
 Ω - acontecimento certo
 ∅ - acontecimento impossível

Acontecimento elementar – qualquer subconjunto de Ω composto
por apenas um elemento

Acontecimento composto – qualquer subconjunto de Ω composto
por mais de um elemento
Probabilidades
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Acontecimentos
Seja Ω o espaço de resultados de uma experiência aleatória.
Diz-se que A ⊂ Ω se realizou se o resultado, ω, da experiência é
um elemento de A, i.e., ω∈A .
Exemplo 2.2
Considere-se a experiência aleatória que consiste no lançamento
de um dado e a observação do número inscrito na face voltada para
cima.
Ora, Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Considere-se o acontecimento A - “saída da face par”.
 Se lançarmos o dado e sair face 2, então o acontecimento
realizou-se e diz-se que ocorreu um sucesso.

Se lançarmos o dado e sair a face 3, então o acontecimento não
se realizou e diz-se que ocorreu um insucesso.
Probabilidades
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Acontecimentos (cont.)

Ā diz-se acontecimento complementar ou contrário a A, ao
acontecimento que se realiza se e só se o acontecimento A não
se realiza.

A∪B (ou A+B), diz-se união ou soma de A com B ao
acontecimento que consiste na realização de A ou de B (ou de
ambos).

A∩B (ou AB), diz-se intersecção ou produto de A com B ao
acontecimento que consiste na realização de ambos os
acontecimentos A e B
Probabilidades
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Acontecimentos (cont.)

A-B diz-se diferença dos acontecimentos A e B ao
acontecimento que consiste na realização de A mas não de B.

Os acontecimentos A e B dizem-se incompatíveis, disjuntos
ou mutuamente exclusivos, se não podem ocorrer
conjuntamente, i.é, se A∩B= ∅
Probabilidades
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Conceitos de Probabilidade

Definição Clássica
Em 1812, Laplace apresenta a seguinte definição de probabilidade,
para o caso de Ω finito:
“Probabilidade de um acontecimento é o quociente entre o
número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de
casos possíveis, todos supostos igualmente prováveis”

Se uma experiência tem n resultados diferentes (n casos possíveis),
igualmente prováveis que se excluem mutuamente e n(A) desses
têm a característica A, então a probabilidade associada ao
acontecimento A é dada por
n( A )
P( A ) =
n
Probabilidades
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Conceitos de Probabilidade (cont.)

Definição Frequencista
A probabilidade de qualquer acontecimento A define-se através do
limite da frequência relativa desse acontecimento, numa
sucessão de experiências realizadas sob o mesmo conjunto de
condições, isto é,
n( A )
P( A ) = lim
n→ ∞
n
em que:
n - número de experiências realizadas
n(A) - número de vezes que o acontecimento A se verificou.

À medida que se aumenta o número de provas realizadas sob
condições idênticas, a frequência relativa tende a estabilizar
para um valor que será a probabilidade do acontecimento.
Probabilidades
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Conceitos de Probabilidade (cont.)

Definição Axiomática
Dada uma experiência aleatória, seja Ω o espaço de resultados
associado. Probabilidade, P, é uma função que a cada
acontecimento de Ω associa um número real satisfazendo o
seguinte conjunto de axiomas:
A1) P(A)≥0 para todo A⊂ Ω
A2) P(Ω)=1
A3) Se A e B são acontecimentos disjuntos (A∩B= ∅) então
P(A∪B )=P(A)+P(B)
Probabilidades
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Probabilidade

Com base nos axiomas A1, A2 e A3 podem deduzir-se
as seguintes propriedades:

P(∅)=0

P(Ā)=1-P(A)

P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

Se A⊆B então P(A)≤P(B)

P(A)≤1

P(A∪B )=P(A)+P(B)-P(A∩B )
Probabilidades
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Exemplo
Exemplo 2.3
Num restaurante registaram-se, durante bastante tempo, os pedidos
dos clientes, tendo-se chegado à conclusão que, para terminar a
refeição, 20% do clientes pedem só sobremesa, 40% pedem só
café e 30% pedem café e sobremesa.
a) Construa um diagrama de Venn para ilustrar a situação anterior.
b) Determine a probabilidade do acontecimento “pedir café”
c) Determine a probabilidade do acontecimento “não pedir sobremesa”
d) Determine a probabilidade do acontecimento “nem pede café nem
sobremesa”
e) Determine a probabilidade do acontecimento “pedir café ou sobremesa”
f) Os acontecimentos “pedir café” e “pedir sobremesa” são disjuntos?
Probabilidades
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Probabilidade Condicional

Definição
A probabilidade condicional de A dado B (ou sabendo B, ou se B)
é o quociente entre a probabilidade conjunta do acontecimento A e
B e a probabilidade do acontecimento dado, ou seja,
P( A | B) =
Probabilidades
P( A ∩ B)
, se P(B) > 0
P(B)
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Probabilidade Condicional (Exemplo)
Exemplo 2.4
Uma determinada companhia investigou junto de cada um dos seus 280
empregados qual o estado civil (e.c.) e qual o tipo de assistência médica
(a.m.) pretendida, de entre três tipos à escolha. Os resultados obtidos
encontram-se na seguinte tabela:
e.c.
Solteiros Casados
a.m.
Total
Tipo 1
50
20
70
Tipo 2
10
140
150
Tipo 3
15
45
60
Total
75
205
280
Qual a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, preferir a
assistência do tipo 1?
Suponha agora que o individuo escolhido é casado. Qual a probabilidade de
ele preferir assistência do tipo 1?
Probabilidades
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Probabilidade Condicional (Exercício)
Exercício 2.1
Um indivíduo que trabalha em Lisboa, mas reside na margem Sul
do Tejo, tem diariamente duas possibilidades para se dirigir ao
trabalho: o barco ou o autocarro. Ele gosta muito de ir de barco,
pelo que escolhe o barco 75% das vezes. A probabilidade de
chegar atrasado ao trabalho é 16,35%. Sabe-se ainda que a
probabilidade de ir de barco e chegar atrasado é 11,25%.
a) Qual a probabilidade de chegar atrasado, sabendo que veio de barco?
b) Qual a probabilidade de chegar atrasado, sabendo que não veio de
barco?
c) Qual a probabilidade de chegar atrasado ou vir de barco?
d) Qual a probabilidade de vir de barco, sabendo que chegou atrasado?
e) Qual a probabilidade de não chegar atrasado e não vir de barco?
Probabilidades
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Probabilidade da intersecção de acontecimentos
Como
P( A | B) =
P( A ∩ B)
P(B)
e
P(B | A ) =
P( A ∩ B)
P( A )
vem
P(A∩B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
Probabilidades
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Acontecimentos Independentes

Definição
Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente independentes
(ou simplesmente independentes) se e só se
P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B)

Da definição anterior e da definição de probabilidade condicional
resulta que dois acontecimentos A e B são mutuamente
independentes se e só se
P(A∩B)=P(A)P(B)
Exemplo 2.3 (cont.)
Os acontecimentos “pedir café” e “pedir sobremesa” são
independentes?
Probabilidades
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Teorema da probabilidade total
Teorema da Probabilidade Total
Sejam A1, A2, ..., An acontecimentos definindo uma partição sobre
Ω, i.é.,
A 1 ∪ A 2 ∪ L ∪ A n = Ω e A i ∩ A j = φ (i ≠ j).
Se P(Ai)>0, então para qualquer acontecimento B⊂Ω tem-se
n
P(B) = ∑ P( A i )P(B | A i )
i=1
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Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Sejam A1, A2, ..., An acontecimentos formando uma partição de Ω,
onde P(Ai)>0. Seja B um outro acontecimento de Ω, tal que P(B)>0.
Então para i=1,2,…,n tem-se
P ( A i | B) =
P( A i )P(B | A i )
n
∑ P( A i )P(B | A i )
i=1
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Teorema de Bayes (Exemplo)
Exemplo 2.5
O José está indeciso em ir passar o fim de semana fora e telefonou
para o serviço meteorológico para saber qual a previsão do tempo.
Disseram-lhe que havia 20% possibilidades de chover. Se chover o
José tem uma probabilidade de 0,25% de ir para o Algarve. Se não
chover esta probabilidade aumenta para 0,85.
a) Qual a probabilidade do José ir para o Algarve?
b) O José foi passar o fim de semana para o Algarve. Qual a
probabilidade de ter chovido?
Probabilidades
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