CEEJA “MAX DADÁ GALLIZZI”
PRAIA GRANDE - SP
APRESENTAÇÃO
Nesta apostila, a intenção é que você adquira a
capacidade de visualizar e nomear, pontos, retas,
planos, ângulos e reconhecer triângulos.
É uma pequena dose da geometria que lhe fornece
uma breve noção destes assuntos, que são simples e
de fácil fixação.
MATEMÁTICA
ENSINO
FUNDAMENTAL
Estudaremos os triângulos, importantes figuras da
geometria.
 Condição para existência de um triângulo, dadas
três medidas de segmento de retas.
 A soma dos ângulos internos de um triângulo.
09
 Construção de ângulos com o uso de transferidor.
 Retas paralelas cortadas por uma transversal
 Diferenças e semelhanças
GEOMETRIA ELEMENTAR
Inicia-se com três elementos básicos: o ponto, a reta e
o plano.
Esses três elementos são idéias formadas em nossa
mente de modo intuitivo, quer dizer, são idéias
formadas
pela observação do mundo em que
vivemos.
Exemplos:
 Um furo de agulha numa folha de papel dá-nos a
idéia de um PONTO.
ÂNGULOS
A unidade de medida usada para ângulos é o grau (que
simbolizamos assim: (º). Em geral, o instrumento utilizado
para realizar medidas de ângulos é o transferidor, que pode ser
de dois tipos:
No papel o ponto é indicado assim:  ponto
 Um fio de cabelo bem esticado dá-nos a idéias de
RETA.
Você pode entender uma reta como uma
quantidade muito grande (infinita) de pontos
todos em uma mesma direção. A reta é indicada
assim:
 O chão, a parede de uma sala, o tampo de uma
mesa, dão-nos a idéia de um plano. Outro exemplo
de plano é uma folha de papel muito grande.
-01-
Os transferidores podem Ter o formato de um círculo, dividido
em 360 partes, ou
-02-
De um semi-círculo, dividido em 180 partes. Por ser circular, o
transferidor tem centro e diâmetro, o qual passa pelas
graduações zero e 180.
Como usar o transferidor
Para medir um ângulo, devemos colocar o centro do
transferidor sobre o vértice do ângulo e encaixar o diâmetro do
transferidor sobre um de seus lados, como mostra a figura.
A medida de um ângulo é determinada pela abertura de seus
lados. A unidade dessa medida é o grau.
Considere os ponteiros de um relógio; como os lados do
ângulo que é o espaço determinado pela abertura dos ponteiros.
Ângulos quanto às suas medidas:
 agudo < 90º
 reto = 90º
 obtuso > 90º
 raso ou meia volta = 180º
 1 volta = 360º
Dois ângulos poder ser:
 suplementares — quando somados resultam 180º.
 Complementares — quando somados resultam 90º.
Peça orientação caso não saiba manuseá-lo.
-03-
-04-
Ângulos opostos pelo vértice:
Possuem medidas iguais.
Posições de três retas no plano
-05-
No caso b temos oito ângulos, formados por retas paralelas
cortadas por uma transversal. Assim como dizemos: “A rua
Z é paralela à rua X, e a rua Y é transversal às duas” ,
também usamos esses termos em geometria. Quando nos
referimos a essas ruas, estamos falando de duas retas paralelas
cortadas por uma reta transversal.
O que observamos?
-06-
Você respondeu certo se a sua conclusão foi esta:
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam
ângulos correspondentemente iguais.
Para falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa
uma convenção universal. Com letras maiúsculas
representamos os vértices, pois ele são pontos do plano. Com
letras gregas (α, β, δ) ou letras maiúsculas com circunflexo nos
ângulos. E assim temos, por exemplo:
Assim, na figura anterior, temos que:
a=c
e
b = d.
TRIÂNGULOS
O triângulo é uma figura geométrica de:
-07-
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a
180º. Veja os exemplos abaixo:
Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre
descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria
resolvido esse problema usando os mesmos exemplos acima.
- 08 -
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos:
Os triângulos não são todos iguais. Quanto à medida de seus
ângulos, o triângulo pode ser: acutângulo, retângulo e
obtusângulo. Observe:
 O triângulo acutângulo possui os 3 ângulos agudos.
 O triângulo retângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos
agudos.
 O triângulo obtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2
ângulos agudos.
Classificação quanto aos lados:

- 09 -
triângulo equilátero possui os 3 lados com a mesma
medida.
- 10 -
Resposta: Em qualquer triângulo a medida de um lado deve ser
sempre menor que a soma dos outros dois lados.
3
< 4+ 8
4 < 3+8
porém

triângulo isósceles possui 2 lados com a mesma medida e o
terceiro lado com medida diferente.
8 > 4+3
portanto não é possível a construção do triângulo com essas
medidas.
Triângulos semelhantes
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se a razão de
proporção entre seus 3 lados for a mesma.

triângulo escaleno possui os 3 lados com medidas
diferentes.
Condição de existência:
Será possível construir um triângulo quando seus lados medem
8 cm, 4 cm e 3 cm?
-11-
Logo, os triângulos são semelhantes.
-12-
Exercício 01:
Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos
ângulos e quanto aos lados.
Exercício 03:
Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo?
Exercício 04: Num triângulo isósceles, os ângulos da base
medem 50º cada um. Quanto mede o outro ângulo?
Exercício 05:
Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas
abaixo:
a) 7 cm, 10 cm e 15 cm
b) 6 cm, 6 cm e 6 cm
c) 4 cm, 5 cm e 10 cm
d) 3 cm, 7 cm e 10 cm
Exercício 06: Determine a medida do terceiro ângulo:
Exercício 02:
Use o transferidor e construa os seguintes ângulos:
a) 30º
d) 180º
b) 90º
e)
210º
c) 120º
-13-
-14-
Exercício 10:Em cada um destes pares de retas concorrentes,
quanto medem os outros ângulos?
Exercício 07:
Se eu pedir a um amigo, por telefone, que peque três varetas e
faça um triângulo com ângulos de 77º, 69º e 34º, será que poço
ter certeza de que ele fará um triângulo?
Exercício 08:
Quanto mede o suplemente de:
a) 58º ………………
b) 122º …………..…
c) 13º ………………
d) 60º ………………
e) 45º ………………
f) 0º ………………..
g) 90º ………………
h) x graus ………….
Exercício 09:
Meça com um transferidor os ângulos a, b, c e d da figura
abaixo. Se não tiver um transferidor, use papel transparente
para comparar os ângulos a e b com c e d.
Tente tirar uma conclusão.
-15-
Exercício 11:
Esta figura mostra duas retas paralelas cortadas por uma reta
transversal. Complete-a com a medida dos outros ângulos.
-16-
Exercício 12:
Exercício 14:
Determine a razão de semelhança entre os triângulos:
Sabendo que trata-se de ângulos complementares, diga qual é o
valor de x em cada caso. (Lembre: dois ângulos são
complementares quando a soma entre eles é igual a 90o)
a)
c)
26o
x
40o
x
Exercício 15:
Exercício 13:
Classifique os ângulos das seguintes figuras como: agudo, reto
ou obtuso:
a)
x
c)
Calcule o complemento de cada ângulo, cuja medida é dada a
seguir:
a) 72o
d) 33o
o
b) 45
e) 66o
c) 81o
f) 2o
Exercício 16:
b)
d)
Determine o valor de x, sabendo que são ângulos opostos pelo
vértice:
a)
c)
2x
x
40o
86o
17
18
Exercício 17:
Exercício 19:
Coloque V para verdadeiro ou F para falso, nas seguintes
afirmações:
Às 15h00 os ponteiros do relógio formam entre si um ângulo
__________________
a) ( ) Triângulo escaleno é aquele que possui os três lados de
medidas iguais.
b) ( ) Triângulo qüilátero é aquele que possui os três lados
de medias iguais.
c) ( ) Triângulo isósceles é aquele que tem dois lados de
medidas iguais.
d) ( ) Não existe triângulo retângulo isósceles.
e) ( ) Todo triângulo qüilátero é também isósceles.
Exercício 20:
Às 06h00 os ponteiros do relógio formam entre si um ângulo
__________________
Exercício 18:
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é
igual a 180o, calcule o valor de x:
a)
c)
x
75o
x
50o
b)
38o
d)
90o
x
x
45o
50o
30o
19
20
Gabarito
Exercício 10:
Exercício 01:
a) retângulo, isósceles
b) obtusângulo, escaleno
c) acutângulo, equilátero
Exercício 02:
Confira com o professor os ângulos que você construiu.
Exercício 03: 60º
Exercício 04: 80º
Exercício 05:
a) sim
b) sim
Exercício 06:
a) 85º
b) 92º
Exercício 07: Sim.
c) não
d) não
c) 40º
Exercício 11:
Exercício 08:
a) 122º
b) 58º
c) 167º
d) 120º
e) 135º
f) 180º
g) 90º
h) 180º - x graus.
Exercício 09:
Os ângulos a e c são iguais; os ângulos b e d são iguais.
21
22
Exercício 12:
1
3
Exercício 13:
a) obtuso
b) reto
Exercício 19:
Reto
Exercício 20:
c) agudo
d) reto
Exercício 14:
a) x = 64o
Exercício 15:
a) 6o
b) 45o
c) 9o
Raso
b) x = 25o
d) 57o
e) 24o
f) 88o
Exercício 16:
a) 40o
b) 43o
Exercício 17:
F,V,V,F,F,
Exercício 18:
a) 55o
b) 85o
c) 52o
d) 60o
23
24
BIBLIOGRAFIA
Os textos e os exercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos
seguintes livros:
Este conjunto de apostilas (01 a 12) foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do CEESMAG, com base
nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora
transcrevendo exercícios e teoria, ora criando com base nos
conteúdos observados.
PROFESSORES
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática,
2002. (5a a 8a séries)
DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Conceitos e
Histórias. São Paulo: Scipione, 1998. ( 5a a 8a séries)
ANA PAULA PITA PONSONI
EDNILTON FELICIANO
PAULO TELES DE ARAUJO
REGINA E. G. BIZARRO
GIOVANI, José Rui. Et all. A Conquista da Matemática. São
Paulo: FTD, 1998. (5a a 8a séries).
MORI, Iracema. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática Idéias e
Desafios. São Paulo: Saraiva, 1996. (5a a 8a séries)
2007