PROF. JOÃO BATISTA
TEOREMA DE TALES
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então esse
feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
Assim, um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos
proporcionais.
Exemplo: Quanto vale x?
Resolução:
4
3
5
x
4x = 15
x=
15
4
EXERCÍCIOS
1. Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada.
a)
r
12
b)
r
15
12
s
4
x
s
x
t
5
4
t
d)
r
c)
r
x+2
8
3x - 5
s
s
x
x
2. Calcule os valores desconhecidos, sabendo que r // s // t.
a) x + y = 16 cm
r
3
s
y
5
t
b) x + y = 28 cm
r
9
x
s
5
24
t
2x
t
x
6
y
t
3. Três terrenos têm frente para a rua A e fundos para a rua B, conforme mostra a figura. As divisas
laterais são paralelas entre si. Qual a medida de fundo de cada lote?
x + y + z = 80 m
x
50 m
y
z
30 m
20 m
4. Três terrenos têm frente para a rua "A" e para a rua "B", como na figura. As divisas laterais são
perpendiculares à rua "A". Qual a medida de frente para a rua "B" de cada lote, sabendo que a frente
total para essa rua é 180 m?
SEMELHANÇA
Missão do Colégio Dom Bosco:
“Promover a vida propiciando a educação integral da juventude por meio do sistema formal de ensino”.
Semelhança de Polígonos
Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
Observe que:
os ângulos correspondentes são congruentes:
os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
ou
Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")
Ou seja:
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e
os lados correspondentes são proporcionais.
Obs.: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são
satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas
uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.
Propriedades
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as
medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.
Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:
Missão do Colégio Dom Bosco:
“Promover a vida propiciando a educação integral da juventude por meio do sistema formal de ensino”.
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:
Exemplo:
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um
outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.
Solução
Razão de semelhança =
Logo, os lados do segundo triângulo são 9 cm, 16 cm e 20 cm.
Casos de semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então
os triângulos são semelhantes.
Missão do Colégio Dom Bosco:
“Promover a vida propiciando a educação integral da juventude por meio do sistema formal de ensino”.
Se A~D e C~F então: ABC~DEF
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os
ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Como
m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2
então
ABC ~ EFG
Exemplo: Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser "rodado" sobre o outro para
gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.
Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos. Identificaremos os lados
homólogos e com eles construiremos a proporção:
3
6
4
x
3x = 24
x=8
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então
os triângulos são semelhantes.
Missão do Colégio Dom Bosco:
“Promover a vida propiciando a educação integral da juventude por meio do sistema formal de ensino”.
EXERCÍCIOS
1. Um triângulo tem seus lados medindo 20 cm, 30 cm e 35 cm, respectivamente. Determine as
medidas dos lados de um outro triângulo, semelhante ao primeiro, que tem 34 cm de
perímetro.
2. Um triângulo tem seus lados medindo 9 cm, 11 cm e 15 cm, respectivamente. Determine as
medidas dos lados de um outro triângulo, semelhante ao primeiro, que tem 105 cm de
perímetro.
2
3. A razão de semelhança entre dois triângulos eqüiláteros é . Sabendo-se que o perímetro
3
do menor mede 18 cm, quanto mede os lados do triângulo maior?
4. Os triângulos dados nas figuras são semelhantes. Calcule o valor de x e y.
a)
15 cm
25 cm
18 cm
x
20 cm
y
b)
6 cm
9 cm
4 cm
x
x
5.
y
10 cm
Um lado de um polígono mede 5 cm e seu perímetro é 75 cm. Qual é o perímetro de um
polígono semelhante a este, cujo lado correspondente ao lado dado mede 14 cm ?
Missão do Colégio Dom Bosco:
“Promover a vida propiciando a educação integral da juventude por meio do sistema formal de ensino”.