RESOLUÇÃO
Matemática APLICADA
FGV Administração - 01.06.14
VESTIBULAR FGV 2014 – 01/06/2014
RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA
DA PROVA DA TARDE - MÓDULO DISCURSIVO
QUESTÃO 1
Em certo mês, o Departamento de Estradas registrou a velocidade
do trânsito em uma rodovia. A partir dos dados, é possível estimar que,
por exemplo, entre 12:00 horas e 18:00 horas em um dia de semana
normal, a velocidade registrada em um posto de pedágio é dada pela
função f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x + 41 km/h, sendo x o número de horas
após o meio-dia . Assim, por exemplo, f(0) expressa a velocidade ao
meio-dia. O gráfico de f(x) está representado ao lado.
a) Quais são a velocidade máxima e a velocidade mínima registradas
entre 12:00 horas e 18:00 horas?
17 − i 39
é uma raiz da equação
4
3
2
2x – 15x +24x + 41 = 0 . Quais são as outras duas raízes?
b) O número complexo
Resolução:
a) Temos f(x) = x[x(2x – 15) + 24] + 41
Os máximos relativos em [0, 6] são:
f(1) = [–13 + 24] + 41 = 52
f(6) = 6[6(–3) + 24] + 41 = 6[6] + 41 = 77
O máximo absoluto em [0, 6] é 77.
Os mínimos relativos são: f(0) = 41 e
f(4) = 4[4(–7) + 24] + 41 = 25.
O mínimo absoluto é 25.
17  i 39
17 − i 39
é raiz, o conjugado,
, também é raiz.
4
4
(− 15) 15
A soma das raízes é: −
=
2
2
b) Como os coeficientes são reais e
A outra raiz é:
15 2 $ 17 15 17
2
15
17 + i 39 17 − i 39
=
=− =−1
+
−
−
−f
p=
4
2
2
2
2
4
4
2
Respostas:
a) A velocidade máxima é 77 km/h e a mínima é 25 km/h.
17  i 39
b) As outras raízes são
e –1.
4
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QUESTÃO 2
A figura mostra um Tangran chinês, que é um quadrado subdividido em sete figuras: dois triângulos retângulos grandes, um triângulo retângulo médio, dois triângulos retângulos pequenos, um paralelogramo e um
quadrado pequeno.
a) Comprove que a área do triângulo AOB é igual à soma das áreas dos dois triângulos pequenos mais a área
do quadrado pequeno.
b) Comprove que a área do paralelogramo mais a área do triângulo DEF é igual à área do triângulo COA.
Resolução:
O quadrado fica dividido em 16 triângulos retângulos pequenos equivalentes. Adotando esses triângulos
como unidade de medida de área (u), temos:
a) SAOB = 4u
Squadrado = 2u
Logo, SAOB = 2u + 2u = 2u + Squadrado
b) Spar = 2u
SDEF = 2u
SCOA = 4u
Logo, SCOA = Spar + SDEF
Respostas: a) Demonstração acima.
b) Demonstração acima.
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QUESTÃO 3
a) Ana, Marta e Pablo compraram 6 000 selos. O número de selos que comprou Ana é um terço dos que
comprou Marta e um quarto dos que comprou Pablo. Quantos selos comprou cada um?
b) Ana, Marta e Pablo compraram 48 de outros tipos de selos, mais valiosos. Ana comprou um terço dos que
comprou Marta. Cada um dos três comprou pelo menos 5 selos e Pablo foi o que mais selos comprou.
Quantos selos pode ter comprado Pablo?
Resolução:
a) A: número de selos comprados por Ana
M: número de selos comprados por Marta
P: número de selos comprados por Pablo
A + M + P = 6 000
*A = M = P
3
4
&
Z
M = 3A
]
]
[P = 4A
] A + 3A + 4A = 6000
\
A = 750, M = 2 250, P = 3 000
b) Agora temos:
Z
] A + M + P = 48 
]
] A = M & M = 3A
3
[
] A $ 5, M $ 5, P $ 5
]
] ( P > A e P > M ) & P > 3A
\
 & A + 3A + P = 48 &
P = 48 – 4A
A ∈ N*
48
48 – 4A > 3A & 7A < 48 & A <
⋅ & 5 # A # 6
A≥5
7
A = 5 & (M = 15 e P = 28)
A = 6 & (M = 18 e P = 24)
Respostas:
a) Ana comprou 750 selos; Marta, 2 250, e Pablo, 3 000 selos.
b) Pablo pode ter comprado 24 ou 28 selos.
QUESTÃO 4
Para receber um montante de M reais daqui a x anos, o capital inicial C reais que a pessoa deve aplicar hoje
é dado pela equação:
C = M ∙ e−0,1x
a) Se ela aplicar hoje R$ 3.600,00, quanto receberá de juro no período de 1 ano?
b) Se ela aplicar hoje R$ 3.600,00, daqui a quanto tempo, aproximadamente, obterá um montante que será
o dobro desse valor?
Se necessário, use as aproximações: e0,1 = 1,1; ln 2 = 0,7
Resolução:
a) C = M ∙ e–0,1x & M = C ∙ e0,1x & M = 3 600 ∙ e0,1 = 3 600 ⋅ 1,1 = 3 960.
Juro: J = M – C = 3 960 – 3 600 = 360.
b) M = 2C
2C = C ∙ e0,1x & e0,1x = 2 & 0,1x = ln 2 & x =
Respostas: a) R$ 360,00
b) 7 anos
0, 7
7
0, 1
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QUESTÃO 5
Com estes quatro triângulos cujas medidas dos lados estão em centímetros, forma-se uma pirâmide triangular. Calcule:
a) A área total da superfície da pirâmide.
b) O volume da pirâmide.
Resolução:
H2 + 52 = 132 & H = 12
S
S
10 $ 12
 60
2
a) At = 3 · 60 + 25 3
At = 180 + 25 3
b)
H2 + d
H=
2 10 3 10 3
$

3
2
3
Respostas: a) (180 + 25 3 ) cm2
25 407
b)
cm3
3
2
10 3
2
n = 13
3
1 221
3
1
1 221
$
$ 25 3
3
3
1 3 $ 407
V= $
$ 25
3
3
25 407
V=
3
V=
2
10 $ 3
 25
4
3
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QUESTÃO 6
A Secretaria de Transportes de certa cidade autoriza os táxis a fazerem as cobranças a seguir, que são registradas no taxímetro de cada veículo autorizado:
• bandeirada (valor inicial do taxímetro) = R$ 4,70;
• bandeira I = R$ 1,70 por quilômetro rodado (de segunda a sábado, das 6h às 21h);
• bandeira II = R$ 2,04 por quilômetro rodado (de segunda a sábado, das 21h às 6h; domingos e feriados em
qualquer horário).
a) Em porcentagem, quanto uma viagem de 6 km, em uma segunda-feira, às 22h, é mais cara do que a mesma viagem de 6 km, também em uma segunda-feira, às 8h?
b) É possível que uma viagem de x km em uma segunda-feira, às 22h, custe 20% a mais do que uma viagem
de x km, também em uma segunda-feira, às 8h?
Resolução:
a) Custodacorridaàs22hdesegunda-feira:4,70+6∙2,04=16,94
Custodacorridaàs8hdesegunda-feira:4,70+6∙1,70=14,90
Diferença:16,94–14,90=2,04
Relativamente ao preço da corrida às 8h, a diferença em porcentagem é:
2, 04
$ 100% , 13, 76%
14, 90
b) 4,70+x∙2,04=1,2(4,70+x∙1,70) & 2,04x=0,94+2,04x & 0∙x=0,94
Equação impossível.
Respostas: a) 13,76% (aproximadamente).
b) Não é possível.
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QUESTÃO 7
Nazareno é muito supersticioso e acha que placas de carro que contêm o algarismo 7 dão azar. Ele quer
comprar um carro usado e, num certo dia, ele vê, no jornal, o anúncio de um carro que lhe agrada e, para
conhecê-lo, agenda uma visita.
Lembrando que placas de carro no Brasil têm quatro algarismos, qual a probabilidade de que a placa do carro
que Nazareno vai conhecer não seja considerada por ele como fonte de azar?
1ª Resolução: Admitindo que todos os algarismos da placa possam ser nulos.
1
e a probabilidade de que não seja é
10
9
. Assim também para o segundo, o terceiro e o quarto algarismos. Então, a probabilidade de que ne10
nhum deles seja 7 é:
A probabilidade de que o primeiro algarismo da placa seja o 7 é
4
9
9
9
9
9
$
$
$
f
p
10 10 10 10
10
Resposta: f
4
9
p
10
2ª Resolução: Supondo que não existam placas com todos os algarismos nulos.
Fixadas as letras, o total de placas é: 104 – 1
E as placas sem o algarismo 7 são: 94 – 1
A probabilidade pedida é
94 – 1
10 4 – 1
.
Observação: As respostas nas duas interpretações são números muito próximos um do outro (0,6561 e
0,656165616561...).
Resposta:
94 – 1
10 4 – 1
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QUESTÃO 8
Uma pulga com algum conhecimento matemático brinca, pulando sobre as doze marcas correspondentes
aos números das horas de um relógio. Quando ela está sobre uma marca correspondente a um número não
primo, ela pula para a primeira marca a seguir, no sentido horário. Quando ela está sobre a marca de um
número primo, ela pula para a segunda marca a seguir, sempre no sentido horário.
Se a pulga começa na marca do número 12, onde ela estará após o 2014º pulo?
Resolução:
Do número 12 (não primo), a pulga pula para o número 1 (1º pulo).
Do número 1 (não primo), pula para o número 2 (2º pulo).
Do número 2 (primo), para o número 4 (3º pulo).
Do número 4 (não primo), para o número 5 (4º pulo).
Do número 5 (primo), para o número 7 (5º pulo).
Do número 7 (primo), para o número 9 (6º pulo).
Do número 9 (não primo), para o número 10 (7º pulo).
Do número 10 (não primo), para o número 11 (8º pulo).
Do número 11 (primo), para o número 1 (9º pulo), voltando assim ao número que estava após o 1º pulo.
Desse modo, as posições da pulga, após o 1º pulo, formam a sequência (1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 1, 2, 4, ...),
cujos termos se repetem de 8 em 8. Como 2 014 = 251 ∙ 8 + 6, após 2 014º pulo a pulga estará na mesma
posição do 6º termo da sequência, portanto no 9.
Resposta: No número 9.
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QUESTÃO 9
Considere a sequência 2 013, 2 014, 2 015, ... em que cada termo an, a partir do 4º termo, é calculado pela
fórmula an = an − 3 + an − 2 − an − 1. Por exemplo, o 4º termo é 2 013 + 2 014 − 2 015 = 2 012.
Determine o 2 014º termo dessa sequência.
Resolução:
Temos:
a5 = 2 014 + 2 015 – 2 012 = 2 017
a6 = 2 015 + 2 012 – 2 017 = 2 010
a7 = 2 012 + 2 017 – 2 010 = 2 019
a8 = 2 017 + 2 010 – 2 019 = 2 008
A sequência obtida é:
(S
2 013 , S
2 014 , S
2 015 , S
2 012 , S
2 017 , S
2 010 , S
2 019 , S
2 008 , ...) .
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
Como
a2k = a2k – 3 + a2k – 2 – a2k –1
a2k = a2k – 3 + a2k – 2 – (a2k – 4 + a2k – 3 – a2k – 2)
a2k = 2a2k – 2 – a2k – 4
a
+ a2k
a2k – 2 = 2k − 4
(k ≥ 3),
2
os termos de ordem par formam uma P.A. com 1º termo 2 014 e razão (–2). O 2 014º termo da sequência será
o 1 007º termo da sequência dos termos de ordem par, isto é:
a2 014 = 2 014 + (1 007 – 1) $ (–2) = 2 014 – 2 012 = 2
Resposta: 2.
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QUESTÃO 10
Na equação x3 – 2 014x + m = 0, onde m é real, uma das raízes é igual à soma das outras duas.
a) Determine o valor de m.
b) Resolva a equação.
Resolução:
a) As raízes da equação são: α, β, e (α + β).
Pelas relações de Girard:
α + β + (α + β) = 0 & 2α + 2β = 0 & α + β = 0.
α · β · (α + β) = –m & m = 0
S
0
b) Comom=0,aequaçãoficax3 – 2 014x = 0.
Temos: x(x2 – 2 014) = 0 & (x = 0 ou x = ± 2 014 ).
Respostas: a) m = 0
b) S = {0; ± 2 014 }