Unidade 11 – Geometria Plana I
Congruência e semelhança
de figuras planas
Relações métricas do
triângulo retângulo
Triângulo qualquer
Congruência e Semelhança de Figuras
Planas
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem,
simultaneamente, duas condições: os ângulos são
respectivamente congruentes e os lados correspondentes são
proporcionais.
Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial.
Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que
verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa
condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida.
Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os
ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos
correspondentes proporcionais.
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
PROPRIEDADES
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
Para você fazer – p. 33
Pela proporção, temos :
2 3 m
= =
5 n 10
2 3
15
1) = → 2n = 5.3 → 2n = 15 → n = → n = 7,5
5 n
2
2 m
20
2) = → 5m = 10.2 → 5m = 20 → m =
→m=4
5 10
4
n = 7,5 e m = 4
POLÍGONOS SEMELHANTES
Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham
ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos
segmentos correspondentes proporcionais.
Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE
das figuras
seguintes:
POLÍGONOS SEMELHANTES
POLÍGONOS SEMELHANTES
POLÍGONOS SEMELHANTES
Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança
do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE.
Dois polígonos com o mesmo número de lados são
de semelhantes quando possuem ângulos
respectivamente congruentes e lados
correspondentes proporcionais.
A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o
lado correspondente do outro chama-se razão de
semelhança.
POLÍGONOS SEMELHANTES
PROPRIEDADES
PROPRIEDADES
EXEMPLO 1
CONTINUAÇÃO
Para você fazer – p. 35
Pela proporção, temos :
AC 3
5
3
= →
=
DF 2
DF 2
3DF = 10 →
10
DF = cm
3
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
Os triângulos HBA, HAC e
ABC são semelhantes
A
α
c
β
h
m c
= ⇒ a.m = c 2 (1)
c a
b
2
B
α
m H
β
n
a=m+n
c = am
C
n b
= ⇒ a.n = b 2 (2)
b a
2
b = an
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
A
α
c
B
α
m
β
h
b
h
β
HH
n
C
a ( m + n) = b 2 + c 2
Somando as
equações (1) e (2)
2
2
a =b +c
2
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
m h
=
h n
A
α
β
c
h
b
2
α
m H
B
A
c
B
β
h
α
m H
β
n
a=m+n
C
A área do triângulo ABC
pode ser calculada por:
α
h
H
h = m.n
a .h
b .c
=
2
2
b
n
β
C
a.h = b.c
Resolução de Atividades
Página 37 e 38
Triângulo qualquer e suas
propriedades
O estudo de triângulos é um dos assuntos mais
importantes na Geometria.
Isso ocorre porque eles podem ser associados a
figuras geométricas circulares, possibilitando
relações importantes, além de serem elementos
básicos constituintes de figuras poligonais com mais
de três lados.
A seguir, apresentaremos algumas propriedades
geométricas e generalidades sobre triângulos.
Elementos principais de um triângulo
Os principais elementos de
um triângulo são os lados,
os vértices, os ângulos
internos e externos:
Considerando o triângulo
ABC ao lado, temos:
→ Os lados são os segmentos AB, AC e BC,
ˆ;
→ Os ângulos internos são formados Â, Bˆ e C
ˆ
→ Os ângulos externos são os ângulos Aˆ e , Bˆ e e C
e
Soma dos ângulos internos de um
triângulo
Vamos relembrar agora uma
propriedade que relaciona
os ângulos internos de um
triângulo. Observe:
Portanto, em qualquer triângulo, a
soma dos ângulos internos é
sempre igual a 180º.
Essa relação é conhecida como
Teorema Angular de Tales.
Se, pelo vértice C,
traçarmos uma reta paralela
ao lado AB, obteremos
ângulos congruentes aos
ângulos A e B.
Os três ângulos destacados
no vértice C, juntos,
correspondem a um ângulo
de 180º.
Logo, podemos concluir
que:
ˆ = 180º
 + Bˆ + C
Soma dos ângulos externos de um
triângulo
Observe, no triângulo ABC
abaixo, que a soma de
qualquer ângulo interno de um
triângulo com correspondente
ângulo externo é sempre igual
a 180º.
Assim, podemos escrever as
seguintes relações.
Aˆ + Aˆ = 180º
e
Bˆ + Bˆ e = 180º
ˆ +C
ˆ = 180º
C
e
Soma dos ângulos externos de um
triângulo
Somando, membro a membro, essas
três íltimas equações, temos :
ˆ +C
ˆ = 180º +180º +180º
Aˆ + Aˆ + Bˆ + Bˆ + C
e
e
(Aˆ + Bˆ + Cˆ )+ Aˆ
e
ˆ = 540º
+ Bˆ e + C
e
ˆ = 540º
180º + Aˆ e + Bˆ e + C
e
e
ˆ = 540º −180º
Aˆ e + Bˆ e + C
e
ˆ
ˆ
ˆ
A e + B e + C e = 360º
Resolução de Atividades
Página 39
Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo
com dois critérios principais: quanto aos lados e
quanto aos ângulos.
Quanto aos lados:
Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os
ângulos com a mesma medida.
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois
ângulos com a mesma medida.
Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os
ângulos com medidas diferentes.
Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos:
Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos
internos agudos, ou seja, de medidas
menores que 90º;
Triângulo retângulo: apresenta um ângulo
reto, ou seja, com medida igual a 90º;
Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo
interno obtuso, ou seja, de medida maior que
90º.
Condição de existência de um
triângulo
Para a existência de um triângulo cujos
lados tenham medidas a, b, e c devem ser
verificadas as seguintes condições:
A medida de cada lado deve ser menor que
a soma das medidas dos outros dois lados:
a>b+c
b>a+c
c>a+b
Condição de existência de um
triângulo
A medida de cada lado deve ser maior que o módulo
da diferença das medidas dos outros dois lados:
a > |b – c |
b > |a – c |
c > |a – b |
Para qualquer lado de medida a de um triângulo,
necessariamente, devemos ter:
|b – c | < a < b + c
Essa última expressão é denominada desigualdade
triangular.
Outros elementos de um triângulo
Além dos chamados elementos principais de um
triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos
internos e externos, existem outros elementos cujo
conhecimento será importante no desenvolvimento
da Geometria.
Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as
alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes.
Cada um desses elementos determinará um ponto
notável distinto de um triângulo:
Outros elementos de um triângulo
Altura
Uma altura de um triângulo é um segmento
de reta que tem extremidades em u vértice e
no lado oposto a esse vértice, sendo
perpendicular a esseAlado.
H é o ortocentro do triângulo ABC
ha
hb
B
hc
C
Altura
Triângulo Obtuso
A
ha
hc
B
C
hb
H é o ortocentro do triângulo ABC
Mediana
Mediana em um triângulo é um segmento de
reta que tem extremidades no ponto médio
de um lado e no vértice oposto a esse lado.
G é o baricentro
A do triângulo ABC
M2
B
G
M1
M3
C
VOCÊ LEMBRA?
Mediatriz de um segmento é
a reta que passa pelo ponto
médio desse segmento
sendo perpendicular a ele.
A mediatriz de um segmento
traduz o lugar geométrico
dos pontos equidistantes
dos vértices do segmento:
Bissetriz de um ângulo é a
reta que divide esse ângulo
em duas partes iguais.
A bissetriz é o lugar
geométrico dos pontos
equidistantes dos lados de
um ângulo.
Mediatriz
Todo triângulo admite um
circunferência circunscrita a
ele que passa pelos vértices
desse triângulo.
O centro dessa
circunferência, chamado
circuncentro, é obtido pela
intersecção das mediatrizes
dos lados do triângulo.
A
O
B
C
Bissetriz
Todo triângulo admite uma
circunferência inscrita que
tangencia internamente os
três lados.
O centro dessa
circunferência, chamada de
incentro, é obtido pela
intersecção das bissetrizes
dos ângulos internos do
triângulo.