Teste Intermédio de Matemática A
Versão 1
Teste Intermédio
Matemática A
Versão 1
Duração do Teste: 90 minutos | 26.05.2011
12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
RESOLUÇÃO
GRUPO I
1.  Resposta (D)
Tem-se:
1 1
1
+ +a = 1 , a =
6
2 3
2.  Resposta (B)
O número de casos favoráveis é 16C2 (número de maneiras de escolher duas bolas de entre 16).
O número de casos possíveis é 3 a#1, 6 -, #2, 5 - e #3, 4 -k
3
1
Portanto, a probabilidade pedida é 16
=
C2 40
3.  Resposta (D)
Na opção D, tem-se:
g _− 1i = _− 1i2 − f _− 1i = 1 − 3 = − 2
g _ 4 i = 42 − f _ 4 i = 16 − 9 = 7
Como g _- 1 i e g _ 4 i têm sinais contrários, e como g é contínua no intervalo 7 -1, 4 A , o teorema de Bolzano
permite garantir a existência de pelo menos um zero de g no intervalo A-1, 47
Em cada uma das restantes opções, g _- 1 i e g _ 4 i têm o mesmo sinal.
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4.  Resposta (C)
Da observação do gráfico, conclui-se que a função f é estritamente crescente. Portanto, f l é sempre
positiva.
Como o gráfico tem a concavidade voltada para baixo, conclui-se que f ll é sempre negativa.
5.  Resposta (B)
Seja z o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto B
Como os pontos A e B estão igualmente distanciados da origem do referencial, tem-se
| z | = | 3 + 4i | = 32 + 42 = 5
Como o arco BC tem
Portanto, z = 5 cis
p
3p p 25p
de amplitude , tem-se que um argumento de z é
− =
9
2
9
18
25p
18
GRUPO II
1.  Como 1 é um zero do polinómio z 3 − z 2 + 4z − 4 , este polinómio é divisível por z - 1
Efectuando a divisão do polinómio z 3 − z 2 + 4z − 4 por z - 1 , utilizando a regra de Ruffini, tem-se:
-1
1
1
1
-4
-1
4
0
-0
4
-0
-4
Portanto,
z 3 − z 2 + 4z − 4 = 0 , _z − 1i_z 2 + 4i = 0 , z − 1 = 0 0 z 2 + 4 = 0 ,
, z = 1 0 z = 2i 0 z = − 2i
Na figura, está representado o triângulo cujos vértices são as imagens geométricas dos números
complexos 1, 2i e -2i
Im(z)
2
O
1
Re(z)
2
O perímetro deste triângulo é igual a 4 + 2 5
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2.1. Tem-se:
lim f _x i = lim f2 +
x "1 −
x "1 −
sen (x − 1)
sen (x − 1)
sen (x − 1)
1
p = 2 + lim
= 2 + lim
−
−
1
ex −e
e
x
(
)
e
x −1
−
x "1
x "1
Seja y = x − 1. Como x " 1 −, y " 0 −
Tem-se:
2+
sen (x − 1)
sen y
1
1
1
1
lim
= 2 + lim
= 2+ #1 =2+
e
e
e x "1−
x −1
e y "0− y
1
lim f _x i = lim ax e −x + 2x k = e −1 + 2 = + 2
e
x "1 +
x "1 +
f _1 i =
1
+2
e
Portanto, lim f _x i = lim f _x i = f _1 i
x "1 −
x "1 +
Podemos então concluir que a função f é contínua em x = 1
2.2. Seja m o declive da assimptota, e seja b a sua ordenada na origem.
Tem-se:
m = lim
x " +3
f _x i
x e −x + 2x
= lim
= lim _e −x + 2 i = 0 + 2 = 2
x
x
x " +3
x " +3
b = lim a f _x i − 2x k = lim ax e −x + 2x − 2x k = lim _x e −x i =
x " +3
= lim
x " +3
x " +3
x " +3
1
1
1
x
= lim
=
=
=0
x
x
x
3
+
x
"
3
+
e
e
e
lim
x
x " +3 x
Portanto, a equação reduzida da assimptota oblíqua do gráfico da função f é y = 2x
2.3. Em 71, + 37 , tem-se
e −x + 2 = e x −
, ex =
f _x i
= e −x + 2
x
2
1
2
2
2
, x + 2 = ex − , 3 + 6ex = 3 _ex i − 2ex , 3 _ex i − 8ex − 3 = 0 ,
3
3
e
8 ! 64 − 4 # 3 # _− 3i
8 ! 10
, ex =
,
6
6
1
, ex = 3 0 ex = − , ex = 3 , x = ln 3
3
S
Equação
impossível
Como ln 3 2 1 , conclui-se que ln 3 é solução da equação.
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3.1.  Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo
sen x =
OQ
1
=
OP 1 + d
1
1
1 − sen x 1 − 1 + d
Portanto, f _x i =
=
= d1 −
n # _1 + d i = 1 + d − 1 = d
1
1+d
sen x
1+d
2.º Processo
sen x =
OQ
1
=
OP 1 + d
Tem-se
sen x =
1
1 − sen x
, _1 + d i sen x = 1 , sen x + d sen x = 1 , d =
, d = f _x i
1+d
sen x
l _1 − sen x il sen x − _1 − sen x i_sen x il − cos x sen x − _1 − sen x i cos x
=
=
sen2 x
sen2 x
3.2.  f l_x i = d 1 − sen x n =
sen x
=
cos x
− cos x sen x − cos x + sen x cos x
=−
sen2 x
sen2 x
Para qualquer x ! E0,
p;
, tem-se cos x 2 0, logo f l_x i 1 0 , pelo que a função f é decrescente.
2
Assim, quanto maior é o valor de x , menor é o valor de d
Portanto, a afirmação é verdadeira.
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4. Designando por x a abcissa do ponto A , o declive da recta tangente ao gráfico da função f , no ponto A,
é igual a f l_x i
Trata-se, assim, de encontrar o valor de x tal que f l_x i = 3
f l_x i = 3 , ax ln x + sen_2x ikl = 3 , ln x + 1 + 2 cos _2x i = 3
Na figura, estão representados o gráfico da função f l e a recta de equação y = 3 , bem como o ponto de
intersecção destas duas linhas. Também se indica a abcissa deste ponto, arredondada às centésimas.
Portanto, a abcissa do ponto A , arredondada às centésimas, é 2,63
5. Tem-se:
P _A , B i 1 P _A | B i # P _B i , P _Ai + P _B i − P _A + B i 1 P _A | B i # _1 − P _B ii ,
, P _Ai + P _B i − P _A + B i 1 P _A | B i − P _A | B i # P _B i ,
, P _A i + P _B i − P _A + B i 1 P _A | B i − P _A + B i ,
, P _A i + P _B i 1 P _A | B i
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