LIMPÍADA CAPI
ABA DE MATE
ÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE/UFES
2ª Fase - 31 de agosto de 2002
NÍVEL 1 - 5ª e 6ª séries
Soluções das Questões*
1ª Questão. A figura abaixo é um quadrado de área igual a 9 unidades. Ache a área da parte
sombreada, sabendo-se que os lados do quadrado estão divididos em três partes iguais.
Solução. A área da parte sombreada é 4,5. Basta observar que a cada região sombreada
corresponde uma região não sombreada de mesma área, e vice-versa. Logo a região sombreada
tem a mesma área da região não sombreada.
2ª Questão. No elevador de um prédio de 30 andares há dois botões, um verde e um vermelho.
Apertando-se o verde, o elevador sobe 5 andares e apertando-se o vermelho, ele desce 8 andares.
Do 26º andar em diante o verde não funciona e do térreo até o 7º, o vermelho também não
funciona. Você pega o elevador no 13º andar e pretende saltar no 29º. Como fazê-lo?
Solução. Aperta-se 3 vezes seguidas o botão verde e chega-se ao 28º andar. Aperta-se 3 vezes
seguidas o botão vermelho e o elevador desce até o 4º andar. Por último, aperta-se 5 vezes
seguidas o botão verde e chega-se no 29º andar. No total são dados onze apertos de botão. Há
muitas outras soluções. Observe que 29 = 13 + 5 + 5 + 5 – 8 – 8 – 8 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.
Qualquer solução pode ser obtida combinando subidas e descidas, desde que cada soma parcial
não ultrapasse 30, nem seja negativa.
Observação: É possível mostrar que, para se chegar ao 29º andar a partir do 13º, é preciso apertar
11 vezes os botões, ou 24 vezes ou 37 vezes ou em geral (11 + múltiplo de 13) vezes. Assim 11 é
o número mínimo de vezes possível. De fato, vamos chamar de S o número de vezes que se
aperta o botão verde e de D o número de vezes que se aperta o botão vermelho, para se sair do
13º e chegar ao 29º andar. Como a diferença 29 – 13 = 16 não é múltiplo de 5, precisa-se usar
necessariamente os dois botões, isto é, os números S e D são positivos. Então 13 + 5S - 8D = 29,
isto é, 5S = 16 + 8D. Logo o número S é múltiplo de 8 e pondo S = 8A temos que 5A = 2 + D.
Daí S + D = 13A - 2 = 11 + 13(A - 1).
3ª Questão. Quatro cometas passam pela terra de tempos em tempos. O primeiro passa de 2 em 2
anos. O segundo de 7 em 7 anos. O terceiro de 11 em 11 anos e o quarto de 13 em 13 anos. Se os
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quatro passaram juntos na terra no ano 2000, em que ano eles novamente passarão juntos na
terra, pela primeira vez?
Solução. No ano 4002. De fato, os quatro passarão juntos novamente num intervalo de anos que
é o mínimo múltiplo comum de 2, 7, 11 e 13. Como estes números são primos, o m.m.c deles é o
produto 2·7·11·13 = 2002. Logo eles passarão de novo na terra em 2000 + 2002 = 4002.
Observação: O número 1001 é curioso. A sua fatoração em primos é 1001 = 7·11·13. Esta
igualdade proporciona um critério de divisibilidade, por redução, que é o seguinte:
Um número N = ab......cdefg é divisível por 7, por 11 ou por 13 se e somente se a
diferença entre o número A = ab......cd e o número B = efg é divisível, , por 7, por 11
ou por 13, respectivamente
Por exemplo, dado o número 241227, a diferença 241 - 227 = 14 é múltiplo de 7. Logo 241227 é
múltiplo de 7. Para provar o critério basta observar que N = 1000ab......cd + efg também pode
ser escrito como N = 1001ab.....cd - (ab.....cd - efg).
4ª Questão. Um número inteiro maior do que 1 é um número primo quando é divisível apenas
por 1 e por ele próprio. Seja N o número obtido multiplicando-se os 100 primeiros números
primos. Quantos zeros existem no final de N?
Solução: Existe apenas um zero no final de N. Com efeito, os 100 primeiros números primos são
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ..., p, onde p é o centésimo. O produto de todos eles é o número N =
2·3·5·7·11·13·17·19·····p, e esta é a fatoração de N em números primos. Como os números 2 e 5
são fatores, N é múltiplo de 10 e portanto termina em 0. Como cada fator primo de N aparece
uma única vez, ele não é múltiplo de 4, logo N não termina em 00.
5ª Questão. Quatro meninos se uniram para comprar um brinquedo. O primeiro pagou a metade
do que pagaram os outros três. O segundo pagou um terço do que pagaram os outros três. O
terceiro pagou um quarto do que pagaram os outros três e o último menino pagou R$ 130,00.
Quanto custou o brinquedo e quanto cada um dos meninos pagou?
Solução. O brinquedo custou 600 reais. De fato, se dividirmos o preço do brinquedo em 3
partes, verificamos que o primeiro pagou uma parte e os outros três pagaram as outras 2 partes.
Logo o primeiro pagou 1/3 do preço do brinquedo. Pensando de maneira análoga, o segundo
pagou 1/4 do preço do brinquedo e o terceiro pagou 1/5. Logo os três primeiros pagaram juntos
1/3 + 1/4 + 1/5 = 47/60 da compra. Logo os 130 reais pagos pelo quarto menino correspondem a
13/60 do preço do brinquedo. Portanto o brinquedo custou 600 reais.
5ª Questão. Numa lanchonete, o preço de 5 sanduíches, 9 sorvetes e uma porção de batatas fritas
é R$ 39,50. Na mesma lanchonete, o preço de 3 sanduíches, 5 sorvetes e uma porção de batatas
fritas é R$ 23,50. Qual o preço de 2 sanduíches, 2 sorvetes e 2 porções de batatas fritas nesta
lanchonete?
Solução. Valem 15 reais. De fato, se subtrairmos a segunda compra da primeira, vemos que o
preço de 2 sanduíches e 4 sorvetes é R$ 16,00. Subtraindo este resultado da segunda compra
vemos que o preço de 1 sanduíche, 1 sorvete e 1 porção de batatas fritas é 23,50 - 16,00 = 7,50
reais. Duplicando esta compra, vemos que o preço de 2 sanduíches, 2 sorvetes e 2 porções de
batatas fritas é R$ 15,00.
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