X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
INVESTIGANDO REGULARIDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR 99 A PARTIR
DE UM PROBLEMA
Ana Regina Zubiolo
Rede Pública Estadual Paranaense
[email protected]
Magna Natalia Marin Pires
Universidade Estadual de Londrina - UEL
[email protected]
Resumo: Este trabalho relata a descoberta de regularidades em resultados da multiplicação
por 99, desencadeado por um problema apresentado numa aula de formação continuada do
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional, do Estado do Paraná. A partir da
discussão das regularidades observadas na multiplicação por 99, utiliza-se o
“conhecimento” construído para resolver o problema que motivou a investigação.
Palavras-chave: Regularidades; Multiplicação, Investigação matemática.
INTRODUÇÃO
A primeira autora deste relato é professora da rede pública do Estado do Paraná e
em 2008 ingressou no PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional. Este programa
tem a intenção de capacitar professores da rede colocando-os em contato com professores
das Instituições de Ensino Superior. Uma das ações de projeto são cursos oferecidos pelos
professores das IES nas áreas específicas e pedagógicas.
Uma das disciplinas oferecidas pelo Departamento de Matemática da Universidade
Estadual de Londrina em 2008 foi Resolução de Problemas e Investigação na aula de
Matemática, ministrada pela segunda autora deste relato.
Utilizar a estratégia de Investigação Matemática em sala de aula é uma forma de
desafiar, oportunizar descobertas e promover reflexões. Esses elementos podem ser
determinantes para envolver os alunos na aula.
Além disso, concordamos com Ponte (2003):
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade
matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora
educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na
formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e
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refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e
argumentação com os seus colegas e o professor.
(PONTE, 2003, p. 23)
O seguinte problema foi uma das tarefas proposta na disciplina:
Ao descobrir o número de uma fatura nos encontramos com dois algarismos
borrados, 273x49x5. No entanto nos informaram que o número é múltiplo de
9 e de 11. Qual é o número?
REGULARIDADES NA MULTIPLICAÇÃO POR 99
O relato que segue descreve os caminhos percorridos pela primeira autora deste
relato e por isso é apresentado na primeira pessoa do singular.
Fui participar de um curso promovido pela Secretaria de Educação em Faxinal do
Céu e, como ia passar alguns dias longe de casa, levei algumas tarefas para fazer.
Foi então que li o problema 6, fiquei confusa porque entendi o símbolo x, que
significava um algarismo borrado, como sendo o sinal da multiplicação. Precisei reler
várias vezes para compreender que se tratava de um algarismo.
Compreendi que o número procurado era múltiplo de 9 e também de 11. Decidi
fazer o mmc (9,11) e obtive 99. Comecei então a pensar nos múltiplos de 99 e iniciei a
escrita numa tabela:
99x1 = 099
99x11 = 1089
99x21= 2079
99x31= 3069
99x2 = 198
99x12 = 1188
99x22 = 2178
99x32=3168
99x3 = 297
99x13 = 1287
99x23 = 2277
99x33=3267
99x4 = 396
99x14 = 1386
99x24 = 2376
99x34=3366
99x5 = 495
99x15 = 1485
99x25 = 2475
99x35=3465
99x6 = 594
99x16 = 1584
99x26 = 2574
99x36=3564
99x7 = 693
99x17 = 1683
99x27 = 2673
99x37=3663
99x8 = 792
99x18 = 1782
99x28 = 2772
99x38=3762
99x9 = 891
99x19 = 1881
99x29 = 2871
99x39=3861
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99x10 = 990
99x20 = 1980
99x30 = 2970
99x40=3960
Foi aí que observei que essa tabuada tinha algumas particularidades. Veja: na
seqüência dos múltiplos de 99 as dezenas aumentam de 10 em 10 e as unidades diminuem
de 1 em 1.
Dezenas:
099
198
297
396
495
594
693
792
891
990
1089
1188
1287
1386
1485
1584
1683
1782
1881
1980
Isso me fez lembrar a tabuada do nove, em que a quantidade da dezena aumenta de
10 em 10 e da unidade diminui de 1 em 1.
Outra coisa interessante era a formação:
0 9 9
10
8
9
20
7
9
1 9 8
11
8
8
21
7
8
2 9 7
12
8
7
22
7
7
3 9 6
13
8
6
23
7
6
4 9 5
14
8
5
24
7
5
5 9 4
15
8
4
25
7
4
6 9 3
16
8
3
26
7
3
7 9 2
17
8
2
27
7
2
8 9 1
18
8
1
28
7
1
9 9 0
19
8
0
29
7
0
Todas essas observações me intrigaram e quando encontrei a professora da
disciplina perguntei se ela sabia algo em especial sobre os múltiplos de 99. Para
trabalharmos com isso ela propôs esta investigação para toda a turma.
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Discutindo sobre isso com um colega de turma, ele verificou que a soma dos
algarismos que formavam o múltiplo de 99 era 18, ás vezes 36, 45,.... Mas não tinha uma
regularidade.
Em casa fiz uma planilha no Excel até 700 x 99. A partir daí fiz outras observações:
99 x 1 =
099
99 + 1 = 100
1–0=1
99 x 2 =
198
98 + 2 = 100
2–1=1
99 x 3 =
297
97 + 3 = 100
3–2=1
99 x 17 = 1683
83 + 17 = 100
17 – 16 = 1
99 x 48 = 4752
52 + 48 = 100
48 – 47 = 1
99 x 100 = 9900
100 + 00 = 100
100 – 99 =1
99 x 101 = 9999
99 + 01 = 100
101 – 99 = 2
99 x 201 = 19899
99 + 01 = 100
201-198 = 3
99 x 301 = 29799
99 + 01 = 100
301-297 = 4
Feito isso conclui: para efetuarmos uma multiplicação por 99 bastaria efetuar
rapidamente duas subtrações. Exemplo:
99 x 347 =
100 – 47 = 53
347 – 4 = 343,
então
99 x 347 = 34353.
O número 47, formado a partir da dezena e unidade do fator 347, é subtraído de
100. A diferença 53 representa a dezena e a unidade do produto. O fator 347 subtraído de 4
resulta na diferença 343. Percebe-se que 343 representam os algarismos da centena, da
unidade de milhar e da dezena de milhar do produto em questão.
A diferença entre o fator 347 e parte do resultado do produto, que neste caso é o
343, é sempre 4 quando o fator pertencer ao intervalo de 301 a 400.
Lista das diferenças e seus respectivos intervalos:
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1 até 100
1
101 até 200
2
201 até 300
3
301 até 400
4
1001 até 1100
11
Essa particularidade do número 99 está relacionada com o Sistema de Numeração
Decimal (SND). Considero este sistema uma das melhores “invenções” do ser humano.
Veja por que:
198 = 200 – 2 = 2 . 102 – 2 = 2 (10² - 1)
Como (10² - 1 ) = 99
198/99 = 2 ( 10² - 1)/99 = 2
Então 198 é múltiplo de 99.
Outro exemplo:
4572 pode ser escrito da seguinte maneira:
4752 = 4000 + 700 + 50 + 2 = 40.10² + 7.10² + 50.10².10-² + 2.10².10-²
4752 = 40(99 +1) + 7(99+1) + 50.(99+1)/100 + 2.(99+1)/100
4752 = (40+7)(99+1) + (50 +2)((99+1)/100)
4752 = 47. (99+1) + 52 . (99+1)/100.
Dividindo os dois termos por 99 temos:
4752/99 = 47.99/99 + 47/99 + (52.99/100)/99 + (52/100)/99
4752/99 = 47 + 47/99 + 52/100 + 52/(100.99)
4752/99 = 47+47/99+(52/100).(1+1/99)
4752/99 = 47+47/99+(52/100).(99+1)/99
4752/99 = 47+47/99+(52/100).(100/99)
4752/99 = 47+47/99+52/99
4752/99 = 47+(47+52)/99 = 47+1=48.
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Desta forma conclui que somando o número formado pelos algarismos de dois em
dois, ou seja, de 4752, 47 + 52, se a soma for igual a 99.k, sendo k pertencente ao conjunto
dos números naturais, o número será múltiplo de 99 e também divisível por 99.
Com isso mostro como outro colega da turma encaminhou sua investigação. Tudo
isso foi possível por causa de outra colega que teve a idéia de dividir um determinado
número em grupos de 3 para provar a regra da divisibilidade por 3.
Quero ainda discutir os porquês daquilo que observei.
Bom, se 99 x 17 = 1683 podemos dizer que:
17 x 99 = 17(100-1) = 1700-17 = (1600+100)-17 = 1600+(100-17) =
17 x 99 = 1600 + 83 = 1683.
Assim a diferença caracterizada por 17 – 16 que resulta 1 na verdade é uma
centena, como demonstrei acima. Utilizando as propriedades distributiva e associativa,
justifiquei o porquê de completar o 100 e também o valor da diferença.
Outro exemplo:
99 x 201=19899
201(100-1) = 20100 – 201 = (20000+100) – (200+1) =
= (20000 – 200) + (100 – 1) = 19800 + 99 = 19899
Foram acrescidas 3 centenas ao produto 19899, assim mostra a diferença que é 3
para o intervalo de 201 até 300 e como completar o 100.
APRESENTANDO UMA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA INSPIRADOR
O problema apresentado no início do relato pode ser resolvido utilizando diferentes
estratégias. Apresentamos aqui uma delas, que se relaciona com a investigação apresentada
no item anterior.
Se a soma dos números de dois algarismos formados pelo número dado é 99.k
então o número é divisível por 99.
No problema o número é 273x49x5 então a soma 27 + 3x + 49 + 5x = 99.k.
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Como 27 + 49 = 76 então restam apenas 23 para chegar a 99. Como um dos
números formados é 3x concluo que essa soma não pode ser 99. Suponhamos então que a
soma seja 99.2 = 198.
Sabemos que 27 + 49 = 76, restam então 122 para chegar a 198. Fazendo:
3x
+ y5
122
Podemos concluir que x = 7 e y = 8.
Assim o número é 27374985.
Verificando as condições dadas do problema percebemos que:
27374985 : 9 = 3041665
27374985 : 11 = 2488635
27374985 : 99 = 276515
Ou seja, o número é divisível por 9, por 11 e 99.
Desta ideia surgiu que: para ser divisível por 999 a soma dos números de 3
algarismos formado pelo número dado deveria ser 999.k
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Ao desenvolver essa investigação pudemos perceber a importância das
propriedades das operações, observamos várias relações que podem ser construídas e, de
alguma forma, provamos o que é uma investigação matemática e o que é “fazer
matemática”.
A partir de uma investigação podemos realizar a discussão de diversos conteúdos e
perceber como esses conteúdos são interligados.
A Investigação Matemática tem se mostrado útil no desenvolvimento de idéias
matemáticas, e também por possibilitar aos alunos ensino alternativo, que oferece ao
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educando a oportunidade de descobrir qual a natureza envolvida nesta disciplina e como a
matemática precisa ser vista.
Podemos dizer que experiências como estas têm influenciado o nosso trabalho
como professoras. Buscamos com este tipo de trabalho a possibilidade do aluno realizar
uma maneira própria de trabalho matemático sem a preocupação com padrões préestabelecidos.
REFERÊNCIAS
PONTE, J. P., BROCARDO, J., OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de
aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
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