Teorema das cordas
MA13 - Unidade 11
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
26 de agosto de 2014
1 - Duas retas concorrentes são secantes a uma
circunferência
Nessa situação há dois casos a considerar: o ponto de interseção
das retas é interior ou exterior à circunferência.
Nesses dois casos existe uma mesma propriedade chamada de
Teorema das cordas.
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Teorema
Se uma reta passa pelo ponto P e corta uma circunferência nos
pontos A e B o produto PA.PB é constante.
1o caso: P é interior à circunferência
Na figura a seguir, a corda AB passa por P. Seja CD uma outra
corda também passando por P.
C
B
A
P
D
PA
PD
Os triângulos PAD e PCB são semelhantes. Logo,
=
, ou
PC
PB
seja, PA.PB = PC .PD. Assim, o produto PA.PB é constante.
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2o caso: P é exterior à circunferência
Uma reta passa por P e corta a circunferência em A e B.
Tracemos uma outra reta passando por P e cortando a
circunferência em C e D como na figura a seguir.
B
A
P
C
D
PA
PD
Os triângulos PAD e PCB são semelhantes. Logo,
=
, ou
PC
PB
seja, PA.PB = PC .PD. Assim, o produto PA.PB é constante.
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Caso particular
A figura a seguir mostra uma secante e uma tangente passando
pelo ponto P. Vale a relação PT 2 = PA.PB.
T
P
A
B
Os triângulos PAT e PTB são semelhantes. Por quê?
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Potência de um ponto em relação a uma circunferência
Considere uma circunferência de centro O e raio R e um ponto P
qualquer. Seja PO = d.
A Potência do ponto P em relação a essa circunferência é o
número real definido por
Pot(P) = d 2
R2
P
P
d
O
d
O
Pot(P) > 0
Teorema das cordas
Pot(P) = 0
P
d
O
Pot(P) < 0
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Complete:
Na figura ao lado, Pot(P) = . . ..
T
t
P
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Potência, cordas e secantes
a) P é interior à circunferência de centro O e raio R
AB é uma corda qualquer passando por P, CD é um diâmetro
passando por P e PO = d.
B
d
C
P
R
D
O
A
Pot(P) = d 2 R 2 = (d R)(d + R) =
PC ⇥ PD = PA ⇥ PB.
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(R
d)(d + R) =
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b) P é exterior à circunferência de centro O e raio R
PAB é uma secante qualquer, PCD uma secante passando pelo
centro e PO = d.
B
A
d
P
C
Pot(P) = d 2
R 2 = (d
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R
D
O
R)(d + R) = PC ⇥ PD = PA ⇥ PB.
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Eixo radical
Considere as circunferências (A, R) e (B, r ) com R r e P um
ponto que possui mesma potência em relação às duas
circunferências.
Teorema
O lugar geométrico de P é uma reta perpendicular à reta que
contém os centros das circunferências.
Pergunta
Dadas duas circunferências você consegue localizar um ponto que
tenha mesma potência em relação às duas circunferências?
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Demonstração
Sejam: AB = 2d, M o ponto médio do segmento AB, Q a
projeção de P sobre a reta AB, PQ = h e MQ = x.
P
x
A
m
M Q
m
B
PotA (P) = PotB (P) ) PA2 R 2 = PB 2 r 2 ) PA2 PB 2 =
R 2 r 2.
A diferença dos quadrados das distâncias de P aos centros A e B
das circunferências é constante e igual à diferença dos quadrados
dos raios.
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Continuação da demonstração
R2
r 2 = PA2
= PA2
PB 2
h2
= (m + x)2
(PB 2
(m
h2 )
x)2 = 4xm
R2 r 2
que é constante.
4m
Logo o ponto Q, projeção de P sobre a reta AB é fixo.
Assim, x =
Portanto, o LG do ponto P é a reta perpendicular a AB distando
R2 r 2
x=
do ponto médio de AB e mais próxima de B do que
4m
de A.
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Eixo radical em quatro situações
E
E
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E
E
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