153 ALGUMAS PROPRIEDADES RELATIVAS À CONJECTURA DE
GOLBACH
Antônio Carlos da Silva Filho
INTRODUÇÃO
A Conjectura de Goldbach estabelece que: "Todo inteiro par maior do que 2
pode ser escrito como a soma de dois números primos". Ela também é conhecida
como a
Conjectura de Goldbach “forte”. A Conjectura “fraca” de Goldbach's
(também conhecida como a “velha conjectura de Goldbach”, “o problema ternário de
Goldbach” ou “o problema dos três primos”) estabelece que:
“Todo número ímpar maior do que 7 pode ser expresso como a soma de três
primos ímpares (onde um dado número primo pode ser usado mais de uma vez na
mesma soma)”
Esta conjectura é conhecida como “fraca” porque se a Conjectura de
Goldbach relacionada à soma de dois primos, for provada, a conjectura “fraca” ficará
provada automaticamente, pois como cada número para maior do que sete é a soma
de dois primos, simplesmente adicionando 3 a cada número par maior do que 4
produzirá os números ímpares maiores do que 7.
Embora a Conjectura de Goldbach tenha sido verificada para os primeiros
trilhões de números pares no computador, ela não foi provada até hoje.
O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995:
“Todo número par é a soma de até 6 números primos “
Seguem alguns exemplos para a decomposição de um número par como
soma de dois primos:
4=2+2
154 6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
...
RESULTADOS
Resultados para números pares entre 4 e 202:
Quantidade de Números Primos que Somados Dois a Dois formam um dado Número Par
14
12
quantidade de números
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
números pares positivos
Figura 1. Quantidade de números primos que, somados dois a dois, formam
um número par, para números pares entre 4 e 202.
No caso dos primeiros 100 números pares entre 4 e 2002, temos a seguinte
decomposição em termos da quantidade de números de pares que, somados, dão
um determinado número:
1 decomposição: 4 – 6 – 8 – 12
2 decomposições: 10 – 14 – 16 – 18 – 20 – 28 – 32 – 38 – 68
155 3 decomposições: 22 – 24 – 26 – 30 – 40 – 44 – 52 – 56 – 62 – 98 – 128
4 decomposições: 34 – 36 – 42 – 46 – 50 – 58 – 80 – 88 – 92 – 122 – 152
5 decomposições: 48 – 54 – 64 – 70 – 74 – 76 – 82 – 86 – 94 – 104 – 124 –
136 – 148 – 158 – 164 – 188
E assim por diante.
Os primeiros oito pares de primos gêmeos e sua soma estão colocados a
seguir:
número par = 8
---
primos gêmeos = 3
5
número par = 12 ---
primos gêmeos = 5
7
número par = 24 ---
primos gêmeos = 11
13
número par = 36 ---
primos gêmeos = 17
19
número par = 60 ---
primos gêmeos = 29
31
número par = 84 ---
primos gêmeos = 41
43
número par = 120 ---
primos gêmeos = 59
61
número par = 144 ---
primos gêmeos = 71
73
A partir destes números, podemos formar a sequência onde os elementos são
formados pela distância entre pares formados pela soma de primos gêmeos:
4
12
12
24
24
36
24 ...
Este resultado é geral, pois todo número primo é do tipo: 6k ± 1. Assim, um
dado par de gêmos, (6p – 1) e (6p + 1), somado produz o numero par 12p, para p
inteiro. O mesmo sucede para o par de gêmeos sucessivo: (6q – 1) e (6q + 1), para
q inteiro. A soma destes gêmeos produz o número par 12q. A diferença entre eles é,
então, dada por 12(q-p), ou seja, um múltiplo de 12, exceto para a diferença entre os
dois primeiros pares de gêmeos (3, 5) e (5, 7), que formam 8 e 12, respectivamente.
As primeiras sete distâncias podem ser observadas na figura (1):
156 Distância entre pares formados por primos gêmeos
40
36
distância
24
12
0
1
2
3
4
5
6
7
número de ordem do número par formado por primos gêmeos
Figura 2. Distância entre pares formados por primos gêmeos, para os
primeiros sete pares de primos gêmeos.
Diagrama de retorno para a distância entre pares formados por primos gêmeos
40
36
32
28
distância (n)
24
20
16
12
8
4
0
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
distância (n-1)
Figura 3. Diagrama de retorno para a distância entre pares formados por
primos gêmeos.
Os
gráficos
correspondentes
comprendidos entre 4 e 20.002 estão a seguir:
aos
acima,
mas
para
números
157 Quantidade de Números Primos que Somados Dois a Dois Formam um Dado Número Par
600
500
quantidade de números
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
números pares positivos
1.2
1.4
1.6
1.8
2
4
x 10
Figura 4. Número de elementos na órbita em função do número gerador,
desde n = 1 até n = 10.
Os primeiros cinquenta números pares formados pela soma de dois primos
gêmeos estão, como exemplo, a seguir:
158 Distância entre Pares Formados por Primos Gêmeos
450
432
408
384
360
336
312
288
distância
264
240
216
192
168
144
120
96
72
48
24
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
número de ordem do primo par formado por primos gêmeos
Figura 5. Distância entre pares formados por primos gêmeos, para os
primeiros 204 pares de primos gêmeos..
Neste intervalo, temos um total de 204 números. As distâncias entre eles
estão colocadas a seguir:
60
4
12
12
24
24
36
24
60
12
60
24
60
24
12
60
24
24
60
72 144
24
60 120
96
60
36
48
36 300
24
12
60
48 276
24
36
24
60 120 156
240
24
96
60
48
132 168
24 192
60
84
60
84 336
240
96 168
192 108
12
60 132
132 168 120
96 276
84
48
72
72
84 132
60
24
36
168 192
264
24 120 192
48
60
240
24
36 180
36 216
48 336
48
60
12
96
60 108
12
48
36
24 336
60
36 120
12 120
72
60
120
24
24
36
48 180
24
36
72
84
12 168 216
36
24 420
60
24 120
24
60 384
96
36 216
24 264
60 120
84 216 120
12
84
24
48
36 144
24 144 132
48
36
60
60 180
336
12 108
36
60 120 180 204
24
24
24 144
144
84 120 156
60
96
84
36
24
72
24
24 156 264
84 132
84 156
24
60 336 240 144 120 156
36
48 216
96 180 144.
60
24
60 396
159 Diagrama de Retorno para a Distância entre Pares formados por Primos Gêmeos
432
408
384
360
336
312
288
distância (n)
264
240
216
192
168
144
120
96
72
48
24
0
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108 120 132
144 156
168 180
192 204
216 228 240
252 264
276 288
300 312
324 336 348
360 372
384 396
408 420
432
distância (n-1)
Figura 6. Diagrama de retorno para a distância entre pares formados por
primos gêmeos.
CONCLUSÃO
O nosso foco está nos resultados sumarizados na figura (4). O trabalho ainda
está em andamento, mas a proposta é modelar:
(a) mínimos da quantidade de pares de primos;
(b) máximos da quantidade de pares de primos;
(c) envoltórias da quantidade de pares de primos
REFERÊNCIAS
160 Pipping, N. "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradovsche Satz." Acta.
Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4-25, 1938.
Fliegel, H. F.; Robertson, D. S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's
Conjecture”; Journal of Recreational Mathematics, v21(1), 1989, pp. 1-7.