FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
WANDERSON PINHEIRO
RELAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS EM
QUALQUER POTÊNCIA
Ji-Paraná
2013
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME
CAMPUS DE JI-PARANÁ
WANDERSON PINHEIRO
RELAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS EM
QUALQUER POTÊNCIA
Trabalho de Conclusão de Curso submetido ao
Departamento de Matemática e Estatística, da
Universidade Federal de Rondônia, Campus de
Ji-Paraná, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Licenciado em Matemática,
sob a orientação do professor Ms. Reginaldo
Tudeia dos Santos.
Ji-Paraná
2013
DEDICATÓRIA
Este Trabalho de Conclusão de Curso é dedicado a todos os meus familiares, em
especial aos meus pais Maria do Socorro Pinheiro e João Pinheiro; à minha esposa Gleicy M.
S. Pinheiro; a todos os meus irmãos, Edna, Edson, João e Antônio; aos meus sobrinhos
Vinicius, Vítor, João Gabriel, Maria Eduarda e Marcos Antônio; aos meus professores dos
quais estiveram presentes durante toda essa jornada.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter permitido que caminhasse até aqui e superado cada
dificuldade encontrada.
A todos os membros da minha família que acreditaram em mim desde o princípio.
A minha esposa por ter me apoiado com muito amor e dedicação.
A todos os professores, em especial aos de Matemática do Ensino Fundamental e
Médio: Edith Pinheiro, Gleisson Guardia, Israel Carley; Assim como os professores da UNIR:
Ms. Marlos Gomes de Albuquerque, Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos, Ms. Marcos Leandro
Ohse, Dra. Aparecida Augusta da Silva, Ms. Emerson da Silva Ribeiro, Dr. Ariveltom Cosme
da Silva e Dr. Fernando Luiz Cardoso.
Muito obrigado!
“A Matemática é como um fractal.
Nela existem infinitas ramificações, onde muitas ainda serão descobertas.”
(Wanderson Pinheiro)
RESUMO
O presente trabalho faz inicialmente, uma abordagem histórica sobre o desenvolvimento das
teorias matemáticas, suas demonstrações geométricas e algébricas, buscando mostrar as
diferentes formas de desenvolvimento da Matemática por cada civilização, no período em que
viveram. Faz também algumas demonstrações na busca da validação de um modelo
matemático que represente a diferença entre dois Números Inteiros em qualquer potência n,
para n também Inteiro. Ao longo do trabalho estão dispostos alguns conceitos, fórmulas e
Teoremas para a representação de equações e sequências que surgiram das observações do
autor. A pesquisa obteve bons resultados, originando novas ideias e provando que a
Matemática pode ser cada vez mais explorada.
Palavras Chave: Números, Consecutivos, Qualquer Potência.
ABSTRACT
The present study is initially a historical approach on the development of mathematical
theories, geometric and algebraic statements, trying to show the different ways of developing
mathematics for every civilization in the period in which they lived. It also makes some
statements in search of validation of a mathematical model that represents the difference
between two Integers in any potency n, for any integer n also. Throughout the work are
willing concepts, formulas and theorems for the representation of equations and sequences
that emerged from the author's observations. The survey achieved good results, yielding new
ideas and proving that mathematics can be increasingly exploited.
Key Words: Numbers Consecutive, Any Potency.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Ilustração do Teorema de Pitágoras .......................................................................... 22
Figura 2: Quadrado dos lados do triângulo de lado 3, 4 e 5 ..................................................... 22
Figura 3: Quadrado da Diferença ............................................................................................. 23
Figura 4: Diferença entre os quadrados de lado 5 e 1 .............................................................. 23
Figura 5: Quadrado da soma..................................................................................................... 24
Figura 6: O quadrado da soma de 4 e 1 .................................................................................... 24
Figura 7: Diferença geométrica entre dois quadrados consecutivos ........................................ 29
Figura 8: diferença entre dois cubos consecutivos ................................................................... 32
Figura 9: Diferença entre os cubos de base 4 e 3 ..................................................................... 32
Figura 10: Diferença entre dois cubos sucessivos .................................................................... 34
Figura 11: Diferença entre os cubos de 4 e 3 ........................................................................... 35
Figura 12: Diferença entre 3
1
e2
1
........................................................................................ 39
Figura 13: Diferença entre 3
2
e2
2
........................................................................................ 40
Figura 14: Diferença entre 3
3
e2
3
........................................................................................ 41
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Diferença entre dois quadrados consecutivos,
x
ℤ .......................................... 28
Tabela 2: Diferença entre dois quadrados consecutivos,
x
ℤ .......................................... 30
Tabela 3: Diferença entre dois cubos consecutivos,
x
ℤ ................................................. 33
Tabela 4: Diferença entre dois cubos consecutivos,
x
ℤ ................................................. 33
Tabela 5: Potências entre dois Números Inteiros ..................................................................... 35
Tabela 6: Demonstração das colunas 1 e 8 da Tabela 5 ........................................................... 37
Tabela 7: Potência dos Números Inteiros ................................................................................. 43
Tabela 8: Diferença entre potências de dois Números Inteiros Sucessivos ............................. 44
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 12
1. CONTEXTO HISTÓRICO DA MATEMÁTICA ........................................................... 13
1.1 A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE .......................................................................... 13
1.1.1 Pré-História, Egito E Mesopotâmia ............................................................................. 13
1.1.2 Grécia Antiga ................................................................................................................. 15
1.2 IDADE MÉDIA.................................................................................................................. 17
1.3 DA IDADE MODERNA A REVOLUÇÃO INDUSTRIAL ............................................. 18
2. OS MODELOS MATEMÁTICOS E SUAS DEMONSTRAÇÕES .............................. 20
2.1 OS GREGOS E SUAS DEMONSTRAÇÕES ................................................................... 21
2.2 OS MODELOS MATEMÁTICOS DA IDADE MEDIEVAL .......................................... 24
2.3 AS DEMONSTRAÇÕES APÓS A IDADE MÉDIA ........................................................ 25
2.4 AS DEMONSTRAÇÕES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM ............. 26
3. RECURSOS E MÉTODOS ............................................................................................... 27
4. RELAÇÕES ENTRE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS EM QUALQUER
POTÊNCIA ............................................................................................................................. 27
4.1 DIFERENÇAS ENTRE DOIS QUADRADOS SUCESSIVOS ........................................ 28
4.1.1 Diferença Entre Quadrados De Números Inteiros Não Negativos (ℤ )................... 28
4.1.2 Diferença Entre Quadrados De Números Inteiros Não Positivos (ℤ ) .................... 30
4.2 DIFERENÇAS ENTRE DOIS CUBOS CONSECUTIVOS ............................................. 31
4.3 DIFERENÇAS ENTRE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS (a e b) ELEVADOS A NÉSIMA POTÊNCIA ( a, b e n ℤ/ b=a+1) ............................................................................ 35
4.3.1 Relações Para Todo n≥0 ................................................................................................ 35
4.3.2 Análise Para Todo n<0 .................................................................................................. 38
4.3.2.1 Observações n= -1 ..................................................................................................... 38
4.3.2.2 Verificações Para n= -2 ................................................................................................ 39
4.3.2.3 Observações Para n= -3 ................................................................................................ 40
4.3.2.4 Análise Para Todo n≤-1 ................................................................................................ 41
4.3.2.5 Verificação Para n ℤ ................................................................................................... 43
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................. 47
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................... 48
ANEXOS ................................................................................................................................. 49
ANEXO 1: ANOTAÇÕES DO AUTOR............................................................................... 49
ANEXO 2: ANÁLISE GEOMÉTRICA ............................................................................... 50
ANEXO 3: DIFERENÇA ENTRE DOIS CUBOS .............................................................. 51
12
INTRODUÇÃO
Não é possível datar a época exata do surgimento da Matemática, mas é notório que
ela está presente na vida do ser humano desde os tempos primitivos, e seus conceitos surgiram
da necessidade de contar animais, coisas e objetos.
Com o passar do tempo, foi surgindo a necessidade de obter modelos para interpretar e
descrever os fenômenos naturais e sociais através de fórmulas ou modelos matemáticos. Foi
observando as semelhanças numéricas existentes em cada situação, local, objeto, população
ou elemento pesquisado e analisado, que no decorrer dos séculos, os pesquisadores
matemáticos fizeram associações, desenvolveram, e ainda desenvolvem representações
matemáticas.
Em razão das necessidades originadas pelas cheias e baixas do Rio Nilo no Egito
antigo (4.000 a.C. a 30 a.C.), foram criados algoritmos para calcular a área de uma superfície
plana, por exemplo. A partir de uma situação, bastava relacionar o novo problema a outro
semelhante previamente conhecido, onde por comparação, encontravam os passos a serem
seguidos para chegar a uma solução. Esses processos de resolução foram de fundamental
importância na delimitação de áreas e posteriormente na realização de cálculos envolvendo
áreas e volumes.
De forma abstrata, a Matemática começou a surgir quando os matemáticos gregos:
Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, por volta do século VI a.C, começaram a se
preocuparem como funcionava a lógica dos números. Posteriormente, essas ideias foram
sendo fortalecidas através de fórmulas e conjecturas que foram solidificadas com o
surgimento da álgebra.
Hoje, a Matemática continua em processo dinâmico de construção e este trabalho
nasceu da curiosidade e interesse do autor em aprofundar seus conhecimentos matemáticos e
poder contribuir para seu próprio desenvolvimento e de certa forma, para a construção da
Matemática.
Ainda no Ensino Fundamental, sem conhecimento matemático suficiente para
desenvolver uma pesquisa, o autor foi guardando os dados, que julgava interessante, até
chegar a oportunidade em que pudesse desenvolver e apresentar a comunidade suas ideias.
Oportunidade que surge na elaboração deste Trabalho de Conclusão de Curso – TCC.
13
O presente trabalho busca representações geométricas da diferença entre dois
quadrados ou cubos consecutivos e, posteriormente, a generalização para
. Por fim, com o
uso da Modelagem Matemática, busca demonstrar a solução para potências de ordem dois,
três e posterior extensão para todo o Conjunto dos Inteiros em qualquer potência n inteira.
Esta pesquisa está estruturada da seguinte forma:
O capítulo 1 faz o uso da História da Matemática para relatar os principais
acontecimentos matemáticos de acordo com cada período histórico;
No capítulo 2 são expostos exemplos, resoluções e demonstrações de problemas
matemáticos enfrentados no decorrer da história;
Os recursos e métodos utilizados foram expressos no capítulo 3;
No capítulo 4 está presente o desenvolvimento da pesquisa, com teoremas e suas
demonstrações;
Por fim, as considerações finais (capítulo 5), refere-se aos bons resultados obtidos
no decorrer da pesquisa.
1. CONTEXTO HISTÓRICO DA MATEMÁTICA
Ao longo da história, a Matemática mostra que sua evolução está ligada aos problemas
do cotidiano, onde cada povo ou civilização procura resolvê-los de maneira sistemática ou
não, organizada ou não, tendo suas próprias características de acordo com a região e o período
histórico de cada povo.
1.1 A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE
1.1.1 Pré-história, Egito e Mesopotâmia
O princípio da contagem surgiu da necessidade diária dos povos primitivos. E seus
primeiros registros datam aproximadamente 50.000 anos. Para Paiva (2004), o fato de um
indivíduo olhar para um animal e observar a quantidade de patas, a capacidade de perceber os
tamanhos distintos de cada ser vivo já estaria comparando e contando, mesmo sem se dar
conta.
Com o início do cultivo de plantas e criação de animais, a princípio, rebanhos de
ovelhas, os primitivos passaram a ter necessidade, cada vez maior, de uma representação
14
matemática. Assim, era necessário certificar, no final de cada dia, se todas as ovelhas, que
tinham saído para a pastagem pela manhã, haviam voltado. Precisavam buscar formas mais
eficientes e seguras para atender suas necessidades. Para essa averiguação, usavam uma
quantidade de pedrinhas de forma que representasse todo o rebanho, tal que cada ovelha era
representada por uma pedra.
No Egito, as dificuldades enfrentadas com as cheias do Rio Nilo fizeram com que os
habitantes de suas margens procurassem alternativas para contornar esse problema e poder
plantar e sobreviver. Os egípcios também precisavam construir canais e diques para distribuir
e reservar água para as épocas de baixa do Nilo. Após o período de cheia, era necessário
remarcar as terras - papel fundamental dos esticadores de corda. Este foi um dos motivos que
levou ao crescimento do Egito e impulsionou o desenvolvimento da Matemática.
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste,
um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios
criaram um calendário solar composto de doze meses de 30 dias cada mês, mais
cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys.
(LIMA, et al, 2004, pg. 2).
De acordo com Lima et al (2004), esses doze meses foram divididos em três estações
contendo quatro meses cada. As estações representavam os períodos de semear, de
crescimento e de colheita. Seriam os primeiros relatos de “relação e progressão” obtidos.
Outros problemas envolvendo Progressão Aritmética e Progressão Geométrica são
encontrados em um papiro escrito por volta de 1650 a.C. denominado “Papiro Rhind”. Além
das progressões, havia diversos problemas com soluções tais como: problemas envolvendo
equação do primeiro grau, cálculo de áreas e volumes, divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães para 10
pessoas, entre outros.
No Egito, a Matemática era voltada para a prática. Os egípcios apresentavam
conhecimento em diversas áreas, tais como: cálculos do calendário, administração das
colheitas, utilização nas obras públicas, cobrança de impostos, cálculo de áreas e volumes,
algumas erradas, mas que para eles dava certo, e ainda dominavam algumas equações
algébricas, além de conhecer bem a medicina.
Semelhante ao Egito, na Mesopotâmia – “terra entre rios” -, comunidade localizada na
região entre os rios Tigres e Eufrates, a Matemática desenvolvida também era voltada para as
aplicações do cotidiano. Dominavam diversos campos tais como: astronomia, matemática
15
financeira, sistemas de pesos e medidas e ainda desenvolviam alguns cálculos de
multiplicação e de divisão.
1.1.2 Grécia Antiga
Enquanto os egípcios e os mesopotâmicos se preocupavam apenas em desenvolver
uma Matemática voltada para o cumprimento e facilitação de seus trabalhos, os gregos iam
além e procuravam saber “por que” os fatos ocorriam. Procuravam entender todo o processo
lógico existente, impulsionando não somente a Matemática, como também as ciências da
natureza e originando a Filosofia.
Segundo Ohse (2005), apesar da existência de diversos conhecimentos algébricos, é
nesta época que começa a surgir a Matemática demonstrativa, inicialmente com o grande
filósofo, matemático e astrônomo Tales de Mileto, que viveu no século VI a.C. dotado de
forte raciocínio lógico e dedutivo, principalmente aplicado a geometria.
Existem diversas estórias relacionadas a Tales: uma delas é a de que teria calculado a
altura de uma das pirâmides do Egito observando somente a proporção entre o comprimento
da sombra de seu bastão e da sombra da pirâmide; outra relata que teria calculado a distância
de um navio no mar usando seus conhecimentos de proporção entre os triângulos retângulos.
Com fatos comprovados ou não, Tales é considerado como o primeiro filósofo, o
primeiro dos sete sábios1 e criador da geometria demonstrativa.
Provável discípulo de Tales, por ser aproximadamente 50 anos mais jovem, Pitágoras
de Samos (570 a 496 a.C) foi um dos primeiros matemáticos a ter curiosidade em trabalhar
com as semelhanças numéricas, onde gostava de “brincar com os números” e desvendar seus
mistérios. São atribuídos a Pitágoras alguns dos primeiros modelos matemáticos e identidades
algébricas.
Pitágoras de Samos “foi uma das figuras mais influentes e, no entanto, mais
misteriosas da Matemática” (SINGH, 2008, pg. 28). Até os dias atuais existem dúvidas se
Pitágoras foi realmente uma pessoa ou simplesmente um pseudônimo, entretanto, inúmeras
descobertas são atribuídas a ele. Dentre elas estão:
1
São considerados como os sete sábios da humanidade: Tales de Mileto, Periandro de Corinto, Pítaco de
Mitilene, Bias de Priene, Cleóbulo de Lindos, Sólon de Atenas e Quílon de Esparta.
16
A descoberta dos Números Perfeitos, os quais são iguais a soma de seus divisores.
Exemplos: os divisores do número 6 são os números 1, 2 e 3 e, portanto é um
número perfeito, pois 1+2+3=6, assim como o número 28, do qual
1+2+4+7+14=28;
A descoberta dos números amigáveis 284 e 220, cuja soma dos divisores de 284 é
igual a 220, assim como a soma dos divisores de 220 resulta em 284;
A prova de que, se 2n-1 é um número primo, então
(2n-1) é um número
perfeito;
A descoberta das grandezas irracionais;
As três identidades algébricas:
1. (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2
2. 4ab + (a - b)2 = (a+ b)2
3. (a + b)(a – b) = a2 - b2;
A relação entre os diversos trios pitagóricos representados pela equação a²=b²+c²,
onde a soma de dois quadrados resultam em um novo quadrado. O famoso
“teorema de Pitágoras” foi demonstrado como um teorema abstrato, ao contrário
dos babilônicos que o recebiam como um resultado de medições;
Por fim, um teorema do qual se refere que “números quadrados sucessivos são
formados pela sequência 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1)” (BOYER, 1996, pg. 37).
Além de Tales de Mileto e Pitágoras de Samos, vários matemáticos da época
contribuíram para o crescimento da Matemática. Alguns com grandes descobertas ou
simplesmente se dedicando a manuscritos, disseminando as ideias daqueles que não quiseram
ou não tiveram a oportunidade de divulgar o seu trabalho. Dentre eles podem ser citados:
 Euclides (306?-283? a.C.) foi bibliotecário da grande biblioteca de Alexandria e é
responsável pela publicação de “Os Elementos”, escritos em 13 volumes contendo
“aplicações da álgebra à geometria, baseados numa dedução estritamente lógica de
teoremas, postulados, definições e axiomas. Até os dias de hoje, este é o livro mais
impresso em matemática” (OHSE, 2005, pg. 11). De todas as áreas, perde em
números de publicações apenas para a Bíblia.
 Arquimedes (287 – 212 a.C.):
17
É considerado o maior matemático do período helenístico 2 e de toda antiguidade.
Suas maiores contribuições foram feitas no campo que hoje denominamos “cálculo
integral”, por meio do seu “método de exaustão”. Arquimedes também deu
importante contribuição na mecânica e engenharia, com o desenvolvimento de
vários artefatos, principalmente militares. Foi morto por um soldado romano quando
da queda de Siracusa (OHSE, 2005, pg. 11).
 Apolônio (262-190 a.C.) ficou conhecido com suas publicações envolvendo as
“secções cônicas”, denominadas por ele como “parábolas, elipses e hipérboles”.
 Claudio Ptolomeu (150 d.C.), conhecido principalmente pela obra “Almagesto”, de
grande importância para a astronomia, desenvolveu fórmulas para o cálculo do
seno e cosseno da soma e da diferença.
 Diofanto de Alexandria: não se sabe da época exata em que viveu, mas estima-se
que tenha vivido por volta do século III. Teve fundamental importância para a
álgebra e para a teoria dos números. Aritmética foi sua escrita mais importante,
abordando a solução e análise de equações indeterminadas.
1.2 IDADE MÉDIA
Para Ohse (2005), com a ascensão da Igreja no período da Idade Média, a busca pelo
conhecimento científico foi substituída pelas teologias cristãs, com opressões e violências
físicas contra aqueles que desrespeitassem suas ordens. Os cientistas eram vistos como
bruxos, perdendo suas vidas nas fogueiras.
Neste período, a Matemática e as demais ciências ficaram estagnadas na Europa,
sendo chamado de “Idade das Trevas”. São poucos os registros de descobertas significativas
desta época. Alguns matemáticos se tornaram conhecidos somente por terem feito algumas
traduções de exemplares antigos ou de outra região, com algumas exceções, tais como
Fibonacci e Beda.
Leonardo de Pisa (1175 – 1250 d.C.), mais conhecido como Fibonacci (filho de
Bonacci), tornou-se conhecido pela “seqüência de Fibonacci” (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...) e
principalmente pela introdução e propagação da Álgebra na Europa. Conhecimentos muito
desenvolvidos no Oriente Médio.
2
Período da história da Grécia e de parte do Oriente Médio compreendido entre a morte de Alexandre o
Grande em 323 a.C. e a anexação da península grega e ilhas por Roma em 146 a.C..
18
Beda (673 – 735 d.C.), também conhecido como “São Beda” e “Beda, o Venerável”,
nasceu na Inglaterra onde se tornou monge. Conta-se que este foi o primeiro a propor
mudanças no calendário cristão, que viria ocorrer apenas séculos mais tarde. Sua contribuição
para a Matemática está relacionada aos cálculos envolvendo Raciocínio Lógico.
Enquanto a Matemática na Europa fica desprovida de grandes avanços, na China,
Índia e Oriente Médio ela continua crescendo e contribuindo, posteriormente, para uma
grande evolução no Ocidente.
1.3 DA IDADE MODERNA A REVOLUÇÃO INDUSTRIAL
Os principais fatores que marcam o início da “Idade Moderna” ou “Período do
Renascimento” são basicamente: a perda gradativa do poder da Igreja, ascensão da burguesia
visando apenas o lucro, o início das expedições marítimas, o aumento das atividades
comerciais, o uso das moedas e a invenção da imprensa móvel.
A sociedade volta a ter interesse pela educação e a ciência passa a ter certa liberdade
para a pesquisa, ocorrendo muitos avanços nas mais diversas áreas. Dentre elas:

O avanço na medicina desenvolvendo estudos sobre anatomia, principalmente com
Eustáquio, Falópio, Della Torre, Mundius e Da Vinci;

O desenvolvimento da Física e da Astronomia com Da Vinci, Galileu Galilei e
Isaac Newton;

Evolução da Engenharia e da Arquitetura;

O maior avanço da Matemática já ocorrido em todos os tempos, onde as maiorias
das descobertas sofreram fortes influencias dos campos citados anteriormente.
Entre tantas realizações matemáticas ocorridas neste período, estão:
Diversas traduções de manuscritos para o latim;
O enfoque dado no cálculo de operações com os números racionais e irracionais;
Surgimento do logaritmo;
Desenvolvimento e organização das progressões aritméticas e geométricas;
Resolução de equações trigonométricas;
O desenvolvimento das notações algébricas.
19
São inúmeras as descobertas matemáticas obtidas nesta época, onde nomes, que talvez
tivessem sido considerados em outras épocas, foram omitidos nesse período. No entanto, o
presente trabalho pretende destacar apenas algumas daquelas voltadas a Álgebra.
Pode-se dizer que a Álgebra dos dias atuais são frutos do conhecimento da Matemática
existente nas antigas civilizações do Egito, Mesopotâmia e Grécia, além da influência do
Oriente Médio e Índia.
Dentre outros, Ohse (2005) destaca os seguintes matemáticos no campo da Álgebra:
 Luca Pacioli (1445-509), autor de summa, primeira obra impressa sobre álgebra,
contendo operações fundamentais para a extração de raízes quadradas;
 Johann Widman (1460-1498), sendo o primeiro matemático a publicar os sinais de
+ e de – para indicar excesso e deficiência;
 Robert Recorde (1510-1558) do qual, além da Álgebra, também se dedicava a
medicina, a astronomia e a geometria. Credita-se a ele a implantação do sinal =
para representar igualdade;
 Scipione del Ferro (1465-1526) e Niccolo Tartáglia(1500-1557) foram
respectivamente, responsáveis pela descoberta de métodos algébricos para a
resolução das equações cúbicas do tipo x³+mx=n e x²+px²=n. Estas descobertas
serviram de base para algumas formas de resolução de equações quárticas.
 René Descartes (1596-1650), um dos mais importantes matemáticos da época,
muito conhecido pela aplicação da álgebra à geometria, originando a Geometria
Analítica;
 Pierre de Fermat (1601-1665) autor de alguns fundamentos da Geometria
Analítica, junto com Descartes, e dono de diversas provas de teoremas. Entretanto,
tornou-se muito famoso pelo único teorema que não deixou suas provas escritas
antes de falecer, caso realmente tivesse provado, denominado como “O Último
Teorema de Fermat”. Fermat partia do pressuposto de que não existia solução para
a equação
+
=
para n>2. Este teorema é considerado como aquele que mais
teve demonstrações incorretas em todos os tempos, sendo provado apenas
recentemente.
Em se tratando de grandes descobertas, não pode deixar de ser mencionada a grande
disputa travada por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried W. Leibniz (1646-1716) na origem
do Cálculo Integral e Diferencial. Esta é, certamente, uma das mais notáveis entre as
20
descobertas matemáticas, pois tem fundamental importância, não somente para a Matemática,
mas também, para a Física, Ciências Biológicas entre outras.
Além do Cálculo Diferencial e Integral, até o final do século XVIII ocorreram
inúmeras descobertas envolvendo Equações Diferenciais, Permutação, Combinação,
Probabilidade, Trigonometria, métodos de resolução por aproximação de uma raiz de uma
equação de grau n>4, novos símbolos para representações algébricas, etc.
“Muitos matemáticos, ao final do século XVIII expressaram o sentimento de que as
descobertas matemáticas estavam saturadas. Segundo eles, os matemáticos das gerações
vindouras apenas iriam desvendar problemas de menor envergadura” (OHSE, 2005, pg. 20).
Teoria totalmente infundada, pois não existem limites para novas descobertas.
2. OS MODELOS MATEMÁTICOS E SUAS DEMONSTRAÇÕES
Sem dúvida, uma das primeiras representações matemáticas a surgir foi o princípio de
contagem, desenvolvida ainda pelos povos primitivos, originando o conjunto dos Números
Naturais não nulos (*=1, 2, 3, 4, 5, 6,...). Provavelmente, alguns conceitos relacionados às
quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) já eram conhecidas neste
período da Pré-História em função da necessidade de sobrevivência.
Com o início das civilizações foi surgindo modelos para a representação de área,
volume, entre outros. Esses métodos seguiam uma estrutura lógica onde a resposta era exata
ou aproximada. Observe o seguinte problema encontrado em um dos diversos tabletes de
argila construídos pelos babilônios e seu procedimento de resolução:
PROBLEMA 1: Encontre o lado de um quadrado do qual a área menos o lado é igual
a 870.
Resolução:
Tome a unidade 1;
Divida esta unidade em duas partes iguais (1/2) e multiplique por ela mesma (1/2 x
1/2);
Some o resultado a 870 → 1/4 + 870 = 3481/4;
Este resultado é o quadrado de 59/2;
21
Some 1/2 com 59/2 → 1/2 + 59/2;
O lado do quadrado vale 30.
Os babilônios ainda não conheciam nenhuma fórmula algébrica, entretanto, possuíam
este método de resolução de equações do tipo x²-px=q, que se assemelhava ao modelo
matemático expresso pela fórmula abaixo:
x=
+
para p e q positivos
(1)
Agora observe como seria a resolução deste mesmo problema utilizando a notação
algébrica atual usando a fórmula resolutiva da equação quadrática:
 Encontre o lado de um quadrado do qual a área menos o lado é igual a 870.
Resolução:
o Considerando x o lado do quadrado, então:
x² - x = 870 ou
x² - x – 870 = 0
o A fórmula resolutiva é:
2
b
b
x
4ac
, para equação do tipo ax² + bx + c = 0
(2)
2a
o Substituindo os dados na fórmula, fica:
1
1 ²
4 .1 .
870
x
2 .1
x'
1
59
30
e
x"
2
1
59
29
2
o Logo, o valor do lado do quadrado é 30, pois não se representa comprimento
com números negativos.
2.1 OS GREGOS E SUAS DEMONSTRAÇÕES
Ao se depararem com um problema, os gregos não buscavam apenas sua solução, mas
o entendimento da lógica existente nos processos e métodos de resolução. Eles procuravam
representar tais problemas na forma geométrica e também algébrica para melhor entendê-los.
Muitas dessas representações foram feitas por Pitágoras de Samos e Euclides de Alexandria,
sendo “O Teorema de Pitágoras” uma das primeiras e mais conhecidas demonstrações
geométricas feitas na Grécia Antiga.
22
Partindo da ideia de que, em um triângulo retângulo, “a soma dos quadrados dos
catetos é igual ao quadrado da hipotenusa” ( a ²
b²
c² ,
onde “a” é a hipotenusa, “b” e “c” os
catetos), veja nas Figuras 1 e 2:
a²
@
²
b²
@
²
c²
Figura 1: Ilustração do Teorema de
Pitágoras
Figura 2: Quadrado dos lados do
triângulo de lado 3, 4 e 5
Na Figura 2 pode ser observado o funcionamento do Teorema de Pitágoras. Veja que o
quadrado de lado cinco, formado pelos quadradinhos verdes e amarelos, é preenchido
totalmente com a soma das áreas dos quadrados de lado três e quatro. Algebricamente, tem se:
a²
b²
c²
5²
3³
4²
25
9
19
25
25
Outras demonstrações bem conhecidas, principalmente nos livros de Ensino
Fundamental, são as que se referem ao “quadrado da soma” e ao “quadrado da diferença”.
Dado um quadrado de lado “a” e subtraindo, de dois de seus lados consecutivos, um
tamanho “b”, obtém-se um quadrado de lado (a – b). Observe nas Figuras 3 e 4 a ilustração
geométrica do “quadrado da diferença”:
23
b
a-b
1
4
b
a
1
5
4
a-b
a
Figura 3: Quadrado da Diferença
5
Figura 4: Diferença entre os quadrados de lado
5e1
Veja o desenvolvimento algébrico referente a Figura 3:
(a - b)² = a² -b(a – b) – b(a – b) - b²
(a - b)² = a² - 2[b(a - b)] – b²
(a - b)² = a² - 2[ab – b²] – b²
(a - b)² = a² - 2ab + 2b² - b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(3)
Numericamente, podem ser usados os valores da Figura 4 na aplicação da equação
anterior: “(a - b)² = a² - 2ab + b²”:
(5 - 1)² = 5² - 2.1.5 + 1²
(4)² = 25 – 10 + 1
16 = 16
Partindo de princípios semelhantes, para um quadrado de lado “a”, o “quadrado da
soma” pode ser obtido adicionando um valor “b” em duas de suas laterais consecutivas, onde
tem se (a + b)². Ver Figuras 5 e 6:
24
a
4
b
1
1
b
a+b
a
4
5
5
a+b
Figura 5: Quadrado da soma
Figura 6: O quadrado da soma de 4 e 1
Desenvolvimento algébrico do quadrado da soma:
(a + b)² = a² + a.b + a.b + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(4)
Utilizando valores numéricos indicados na Figura 6:
(4 + 1)² = 4² + 2.4.1 + 1²
(5)² = 16 + 8 + 1
25 = 25
→
Que verifica a igualdade da equação.
2.2 OS MODELOS MATEMÁTICOS DA IDADE MEDIEVAL
Apesar de não ser um período de grande relevância, das descobertas científicas
atribuídas a Idade Média, devem ser destacados dois feitos importantes: a obtenção da
Sequência de Fibonacci e o fortalecimento do raciocínio lógico matemático.
A sequência de Fibonacci merece destaque no campo da Modelagem Matemática, pois
a mesma foi obtida pela primeira vez para representar o número de casais numa população de
coelhos em função de cada mês. A quantidade de casais obedeceria a seguinte sequência:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
25
Quanto ao raciocínio lógico, ele contribui muito para a educação, logo, timidamente
começava a ser descoberto e valorizado por alguns matemáticos. Porém, a valorização
ocorrida apenas no processo do ensino-aprendizagem, e não como campo de pesquisa
científica.
Beda (673 – 735 d.C.), por exemplo, usava os problemas relacionados ao dia-a-dia
para trabalhar com sistemas de equações, entretanto, eram solucionados apenas com o uso do
raciocino lógico.
Observe o problema de um comprador encontrado nos manuscritos do matemático
Beda:
Problema do comprador
PROBLEMA 2: Deseja-se comprar 100 suínos com 100 unidades monetárias ($):
cada porco custa $10, cada leitoa custa $5 e cada 2 porquinhos, $1. Quantos porcos, leitoas e
porquinhos devem ser comprados para que o preço seja exatamente $100, nem mais nem
menos?
SOLUÇÃO: Entre outras, uma solução possível pode ser: 5 porcos ($50), 5 leitoas
($25) e 50 porquinhos ($25), totalizando 100 unidades monetárias.
Vale ressaltar que nesta época, não havia os diversos métodos de resolução com o uso
de equações e incógnitas conhecidas hoje. Porém, serviram de base para a Matemática mais
algébrica de hoje.
2.3 AS DEMONSTRAÇÕES APÓS A IDADE MÉDIA
Devido ao grande avanço da Matemática durante a Idade Moderna, período que sucede
a Idade Medieval, as demonstrações geométricas já não eram suficientes e, em muitos casos,
tornava-se impossível essa forma de representação. Surgia então, a Matemática abstrata
conhecida atualmente, com variadas simbologias, contendo diversas regras e letras,
denominada Álgebra.
Com a ciência novamente em ascensão, não bastava mais realizar uma grande
descoberta: era necessário prová-la, ou seja, realizar sua demonstração algébrica para validar
tal modelo.
26
Em busca de novas descobertas e suas demonstrações, grandes nomes da Matemática
travaram verdadeiras disputas intelectuais neste período da História. Podem ser citados como
exemplos: os desafios de Pierre de Fermat; a disputa pelas Equações Cúbicas entre Cardano e
Tartáglia; a “grande batalha” entre Newton e Leibniz, envolvendo o Cálculo Diferencial e
Integral, entre outras.
Além das demonstrações algébricas e geométricas, também foi nesta época que
surgiram as máquinas de calcular, sendo a primeira feita por Blaise Pascal (1623 – 1662 d.C.)
em 1642, da qual realizava operações de adição. Seriam então, os primeiros registros de uma
calculadora, nada muito diferente das atuais.
Outra máquina de calcular foi inventada anos mais tarde, em 1694, por Leibniz (1646
– 1716 d.C.), agora com maior eficiência, capaz de somar, subtrair, multiplicar, dividir e
extrair raiz quadrada.
É possível afirmar que, neste período, a Matemática passa a ter uma estrutura mais
organizada, facilitando seu estudo e servindo de suporte para outros ramos das Ciências, tais
como a Física e Química.
2.4 AS DEMONSTRAÇÕES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
As demonstrações são passos organizados contendo inicio, meio e fim. Sendo assim, a
partir de um ponto inicial, chega-se a um resultado através de um determinado caminho, ou
seja, é construída uma lógica para provar um novo conhecimento tendo como base outro já
adquirido.
Ambas as demonstrações (geométricas e algébricas), além de facilitar a compreensão
da análise de alguns dados algébricos, podem ser usadas como um grande auxílio no processo
de ensino e aprendizagem. A partir do momento em que o aluno percebe que “a²” representa a
área de um quadrado de lado “a”, ou seja, um número qualquer elevado ao quadrado, fica fácil
perceber que as letras (a, b, c, x, y, z, etc.) aplicadas às fórmulas representam, de maneira
genérica, diversos números, dos quais podem ser substituídos por cada uma das letras.
No momento em que a representação algébrica passa a ser aplicada à geometria, uma
situação imaginária se transforma em algo que pode ser visto e até mesmo, palpável. No
mundo acadêmico, isto significa que pode ser usado como um recurso para atrair a
27
curiosidade dos alunos para novas descobertas ou mesmo para a reconstrução de situações já
vividas.
3. RECURSOS E MÉTODOS
Na abordagem histórica foram apresentadas algumas fórmulas e teoremas que
surgiram no decorrer dos séculos através de análises e comparações de dados, considerando as
necessidades que levaram a essas descobertas. Na sequência, com o uso da Modelagem
Matemática, através de figuras e tabelas, será desenvolvida uma relação que represente a
diferença entre dois Números Inteiros consecutivos elevados a mesma potência, também
Inteira, tendo como suporte alguns conhecimentos já existentes.
Os dados a serem apresentados são resultados de, aproximadamente, 10 anos de
anotações, pois as ideias iniciais que originam o presente trabalho surgiram quando o autor
observava um calendário e uma toalha de mesa, quadriculada, e percebeu uma regra poderia
descrever a diferença entre dois quadrados consecutivos. Logo após essa percepção, procurou
saber se também haveria outra relação envolvendo os cubos e demais potência, conforme
ANEXO 1.
Para melhor compreensão, a pesquisa fica subdividida em três tópicos. São eles:
Diferenças Entre Dois Quadrados Sucessivos;
Diferenças Entre Dois Cubos Consecutivos;
Diferenças Entre Dois Números Consecutivos (a e b) Elevados a N-Ésima
Potência ( a, b e n ℤ/ b=a+1).
4. RELAÇÕES ENTRE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS EM QUALQUER
POTÊNCIA
A partir deste tópico, serão utilizadas as letras a e b para representar dois números
consecutivos de maneira que b=a+1.
28
4.1 DIFERENÇAS ENTRE DOIS QUADRADOS SUCESSIVOS
Neste tópico, para melhor compreensão, a análise feita em relação a diferença entre
dois quadrados sucessivos subdivide-se em duas partes. São elas:
4.1.1 Números Inteiros Não Negativos (ℤ )
4.1.2 Números Inteiros Não Positivos (ℤ ).
4.1.1 Diferença entre Quadrados de Números Inteiros Não Negativos (ℤ )
A Tabela 1 ilustra a sequência dos Números Inteiros Não Negativos, também
conhecidos como Números Naturais ( ), contendo seus respectivos quadrados e a diferença
entre cada grupo de dois números consecutivos.
Tabela 1: Diferença entre dois quadrados consecutivos,
x
ℤ
x
0
1
2
3
4
5
...
x²
0
1
4
9
16
25
...
(x+1)²- x²
1
3
5
7
9
...
Veja que a sequência formada pela diferença entre dois quadrados consecutivos
sempre será constituída por um número ímpar. Pitágoras (570 a 496 a.C) já havia afirmado
algo semelhante: “números quadrados sucessivos são formados pela sequência 1 + 3 + 5 +... +
(2n – 1)” (BOYER, 1996, pg. 37). Em outras palavras diz que:
TEOREMA 1: “a diferença entre dois quadrados sucessivos é igual à soma de
suas raízes”.
Ou seja: b² - a² = a + b
DEMONSTRAÇÃO GEOMÉTRICADO TEOREMA 1:
A Figura 7 mostra como pode ser formado um quadrado partindo de outro já existente:
29
b=a+1
a
Figura 7: Diferença geométrica entre dois quadrados consecutivos
Na figura 7, observa-se que ao adicionar uma unidade de comprimento a duas das
laterais consecutivas, forma-se um novo quadrado, onde a diferença entre as unidades de área
do novo quadrado e do quadrado anterior é igual à soma de suas raízes, ou seja, é quantidade
de quadradinhos acrescentados no novo quadrado.
COMPROVAÇÃO NUMÉRICA DA FIGURA 7:

1² - 0² = 1 + 0 = 1

2² - 1² = 2 + 1 = 3

3² - 2² = 3 + 2 = 5

4² - 3² = 4 + 3 = 7

[...]
DEMONSTRAÇÃO:
aeb
/ b=a+1, temos que:
b² - a² = (a+1)² - a²
b² - a² = a² + 2a + 1 – a²
b² - a² = 2a + 1 ou
(5)
b² - a² = a + (a+1)
b² - a² = a+ b
(6)
Note que a+ b é igual à soma das raízes das potências indicadas, conforme citado no
Teorema 1.
30
EXEMPLO 1: Adote os valores a=7 e b=8 para averiguar as igualdades (5) e (6).
SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1:
(5)
(6)
b² - a² = 2a + 1
ou
b² - a² = a + (a+1)
8² - 7² = 2.7 + 1
8² - 7² = 7 + (7+1)
64 – 49 = 14 + 1
64 – 49 = 7 + 8
15 = 15
15 = 15
4.1.2 Diferença entre Quadrados de Números Inteiros Não Positivos (ℤ )
Observe a seguir que as relações observadas entre os quadrados gerados por números
Naturais também são validas para o conjunto dos Inteiros não positivos:
Tabela 2: Diferença entre dois quadrados consecutivos,
x
ℤ
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
0
x²
...
25
16
9
4
1
0
(x+1)²- x²
...
-9
-7
-5
-3
-1
Veja que a diferença entre o quadrado de certo número e o quadrado de seu antecessor,
também equivalem à soma de suas raízes.
COMPROVAÇÃO NUMÉRICA:

0² - (-1)² =0 – 1 = -1

(-1)² - (-2)² =1 – 4 = -3

(-2)² - (-3)² =4 – 9 = -5

(-3)² - (-2)² =9 – 16 = -7

[...]
DEMONSTRAÇÃO PARA ℤ :
31
Sejam a e b ℤ / b=a+1 vem que:
b² - a² = (a+1)² - a²
b² - a² = a² + 2a + 1 – a²
b² - a² = 2a + 1 ou
(7)
b² - a² = a + (a+1)
b² - a² = a + b → “soma de suas raízes”
(8)
EXEMPLO 2: Seja a=-5 e b=-4, verifique a igualdade (7) e (8).
SOLUÇÃO:
(7)
b² - a² = 2a + 1
(8)
ou
b² - a² = a + b
(-4)² - (-5)² = 2(-5) +1
(-4)² - (-5)² = (-5) + (-4)
16 – 25 = -10 + 1
16 - 25 = -5 -4
-9 = -9
-9 = -9
Sendo as igualdades (5) e (7) equivalentes, bem como as igualdades (6) e (8), logo o
Teorema 1 é válido para todo o conjunto dos Números Inteiros.
4.2 DIFERENÇAS ENTRE DOIS CUBOS CONSECUTIVOS
Na Figura 7 foi possível observar que a diferença entre dois quadrados sucessivos é
igual à soma de suas raízes, ou seja, equivale à soma dos quadradinhos acrescentados nas
partes superior e direita que deu origem ao novo quadrado, respectivamente. Com o cubo, o
processo acontece de maneira similar. Veja Figura 8:
32
Figura 8: diferença entre dois cubos consecutivos
Observe que pode ser formado um novo cubo ao encaixar as peças na ordem ilustrada.
As peças necessárias para formar o próximo cubo representam a diferença entre os mesmos.
A Figura 9 ilustra a quantidade de unidades cúbicas necessárias para a construção de
um cubo de base 4 partindo de outro de base 3.
-
=
Figura 9: Diferença entre os cubos de base 4 e 3
Note que é preciso unir 37 cubinhos (de base igual a 1) aos 27 já existentes para
formar outro cubo, agora de base 4. As 37 unidades cúbicas formam três paralelepípedos de
uma unidade de espessura, onde cada um deles possui como base:
 Um quadrado de lado 4;
 Um retângulo de lados 3 e 4;
 Um quadrado de lado3.
Em geral, a diferença entre dois cubos sucessivos se assemelha ao caso visto na Figura
9. Com isso, seja a=3 e b=4, a diferença entre os cubos de lado b e a, respectivamente, pode
ser descrita como:
4³ - 3³ = 3² + 3.4 + 4²
4³ - 3³ = 9 + 12 + 16
33
4³ - 3³ = 37, ou seja:
b³ - a³ = a² + ab + b²
(9)
ALGEBRICAMENTE
Sejam a e b ℤ / b=a+1 vem que:
b³ - a³ = (a+1)³ - a³
b³ - a³ = (a+1)(a+1)² - a³
b³ - a³ = (a+1)(a² + 2a + 1) – a³
b³ - a³ = a³ + 2a² + a + a² + 2a + 1 – a³
b³ - a³ = 2a² + a + a² + 2a + 1
b³ - a³ = a² + (a²+a) + (a² + 2a + 1)
b³ - a³ = a² + a(a+1) + (a+1)²
b³ - a³ = a² + ab + b², que comprova a equação (9).
Apesar da igualdade (9) ser conhecida há muito tempo, o autor não a conhecia na
época que foram feitas suas primeiras observações, pois ainda freqüentava o Ensino
Fundamental II. O fato é que, este trabalho teve origem nas observações numéricas
relacionadas às Tabelas 1 e 3.
Agora, analise a sequência obtida através da diferença entre dois cubos consecutivos
nas Tabelas 3 e 4, em seguida, procure relacioná-la à sequência obtida nas Tabelas 1 e 2.
Tabela 3: Diferença entre dois cubos consecutivos,
x
ℤ
x
0
1
2
3
4
5
...
x³
0
1
8
27
64
125
...
(x+1)³- x³
1
7
19
37
61
Tabela 4: Diferença entre dois cubos consecutivos,
x
...
ℤ
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
0
x²
...
-125
-64
-27
-8
-1
0
(x+1)³- x³
...
61
37
19
7
1
34
Analisar uma sequência numérica pode não ser tão simples quanto uma análise
geométrica. Para facilitar o entendimento, veja os procedimentos numéricos seguir:

1³ - 0³ = 1
→
1 = 0² + (0+1).1

2³ - 1³ = 7
→
7 = 1² + (1+2).2

3³ - 2³ = 19
→
19 = 2² + (2+3).3

4³ - 3³ = 37
→
37 = 3² + (3+4).4

5³ - 4³ = 61
→
61 = 4² + (4+5).5

[...]
GENERALIZANDO
a e b ℤ / b=a+1 tem que:
b³ - a³ = a² + (a+b)b
(10)
Lembre-se que (a+b) é a soma das raízes entre as potências para n=2 (diferença entre
seus quadrados).
Geometricamente, a situação exposta pela equação (10) é ilustrada pelas Figuras 10 e
11.
a².1= a²
a³
b
1
+
=
(a+b)b
b
1
a
Figura 10: Diferença entre dois cubos sucessivos
Veja a Figura 11 como exemplo numérico:
b³
35
3².1= 3²
4
1
(3+4)4
3³
+
=
4³
4
1
3
Figura 11: Diferença entre os cubos de 4 e 3
TEOREMA 2: “a diferença entre dois cubos sucessivos pode ser representada
pela soma de um quadrado de base „a‟ e o produto da soma de „a e b‟ por b.”
Ou seja: a² + (a+b).b.
4.3 DIFERENÇAS ENTRE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS (a e b) ELEVADOS A NÉSIMA POTÊNCIA ( a, b e n ℤ/ b=a+1)
4.3.1 Relações para todo n≥0
A Tabela 5 ilustra, em cada linha, a sequência dos Números Inteiros elevados a uma
potência de grau n.
Tabela 5: Potências entre dois Números Inteiros
...
1n
n=1
...
1
1
2
1
3
1
4
n=2
...
1
3
4
5
9
7
n=3
...
1
7
8
19
27
n=4
...
1
15
16
65
...
...
...
...
...
...
n
...
1n
(2
(2
n
n
-1
-1
n
n
)
)
2n
2n
(3
(3
n
n
-2
-2
n
n
)
)
5n
...
1
5
...
16
9
25
...
37
64
61
125
...
81
175
256
369
625
...
...
...
...
...
...
...
5n
...
3n
3n
(4
(4
n
n
-3
-3
n
n
)
)
4n
4n
(5
(5
n
n
-4
-4
n
n
)
)
36
Seja S n a sequência que representa a diferença (D n ) entre dois números a e b (com
b=a+1), onde n indica o grau da potência de a e b, analise as sequências abaixo pertencentes
ao Conjunto dos Números Inteiros Não Negativos:

S 1 = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...}

S 2 = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}

S 3 = {1, 7, 19, 37, 61, 91, 127,...}

S 4 = {1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105,...}

S 5 = {1, 31, 211, 781, 2101, 4651, 9031,...}

[...]

S n = {...}
De maneira geral, cada diferença (D n ) é válida não somente para a e b pertencentes
aos Números Naturais, mas para todo o conjunto dos Números Inteiros:
a e b ℤ/ b=a+1, onde n

D 1 = (b – a)

D 2 = (a+b), conforme Teorema 1, ou

D 3 = a² + (a+b).b

D 4 = a³ + [a² + (a+b).b].b

D 5 = a 4 + {a³ + [a² + (a+b).b].b}.b

[...]

Dn = a
n 1
D 2 = a 1 + (b – a).b
+ (D n 1 ).b
(11)
Observe que cada termo da sequência S n , representado pela diferença (D n ) entre b e
a elevados a “n”, sempre tem uma relação com os termos da sequência de grau “n-1”. Por
exemplo:
D 3 = a² + (a+b).b
D 3 = a² + (D 2 ).b
→
sendo D 2 = (a+b), temos:
37
Veja na Tabela 6, exemplos numéricos da coluna 8 da Tabela 5, onde a=3 e b=4:
Tabela 6: Demonstração das colunas 1 e 8 da Tabela 5
n
Dn = a
n
(4 -3 )
n 1
+ (D
n 1
).b
n=1
1
→
D 1 = 3 + (0).4 =1
n=2
7
→
D 2 = 3 + (1).4 = 7
n=3
37
→
D 3 = 3 + (7).4 = 37
n=4
175
→
D 3 = 3 + (37).4 = 175
...
...
→
...
0
1
2
3
Logo, cada diferença entre dois números elevados a uma potência n está diretamente
relacionada aos mesmos valores para a potência n-1, conforme a coluna 3 da Tabela 6.
A seguir, a demonstração da equação (11), busca validara sequência obtida pela
diferença entre dois números Inteiros consecutivos elevados a qualquer potência não negativa
(n
).
DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO 11.
n
n
n
n
n 1
n
n
n 1
n
n
n 1
n
n
n 1
n
n
n 1
n
n
n
b - a = Dn = a
b -a =a
b -a =a
b -a =a
b -a =a
b -a =a
n 1
+ (b
+b
+ (D n 1 ).b
n 1
-a
n 1 1
n
n 1
n
n 1 1
+b -a
n 1
-a
n 1
, tem:
).b
n 1
n 1
+b -a
n
-a
n
+b -a
b -a =b -a
n 1
seja D n 1 = b
.b
.b
sendo b=a+1, segue:
.(a+1)
-a
n 1
→
igualdade verdadeira.
38
Seja n
a e b ℤ/ b=a+1, D n define qualquer elemento da sequência (S n ) que
,
representa a diferença entre b e a elevados a n-ésima potência. Ou seja, se D 1 for elemento da
sequência S 1 da qual representa a diferença entre esses números elevados a uma potência de
grau n=1, D 2 para n=2 da sequência (S 2 ), D 3 se n=3 de (S 3 ) e assim sucessivamente, D n será
uma solução geral que define qualquer número de uma sequência S n originada pela diferença
entre b e a elevados a n.
TEOREMA 3:
Dn = a
n 1
n
onde a e b ℤ com b=a+1 tem-se:
+ (D n 1 ).b →
conforme equação (11).
4.3.2 Análise para todo n<0
Após encontrar uma representação que relaciona qualquer sequência formada pela
diferença entre dois números consecutivos elevados a uma potência n≥0, será feita a
verificação para potências de n<0.
Trabalhar com potência negativa requer um pouco mais de atenção, pois envolve o
estudo de Frações. Dessa maneira, na representação geométrica será tomada como base a
divisão de unidades iguais por valores distintos, originados de acordo com cada potenciação.
4.3.2.1 Observações n= -1
Para ter uma ideia do que é representar geometricamente a diferença entre dois
números elevados a uma potência negativa, observe o exemplo 3:
EXEMPLO 3: Seja a=2 e b=3, determine a diferença entre b e a elevados a n= -1.
SOLUÇÃO:
3 1-2
1
=
1
1
3
2
→
3 1-2
1
=
1
6
39
O resultado é um valor negativo (-1/6), sendo assim, observe a Figura 12 que, para
retirar 1/2 de 1/3, ficaria faltando (1/6).
-1/6
1
1
-
3
=
2
Figura 12: Diferença entre 3
1
6
1
e2
1
A seguir estão, alguns exemplos numéricos representando a diferença entre dois
Números Naturais elevados a n= -1 e, por fim, a representação para qualquer n negativo.




2 1e1
1
3 1-2
1
4 1-3
1
5 1-4
1

[...]

b
1
–a
=
=
=
=
1
=
1
2
1
6
1
12
1
20
1
a .b
(12)
Logo, qualquer elemento da sequência definida pela diferença entre b e a ( b e a
, onde b=a+1 e a≥1) elevados a n= -1 pode ser representado por:
D 1=
1
, conforme equação (12).
a .b
4.3.2.2 Verificações Para n= -2
A análise para n= -2ocorre de maneira similar às feitas para n= -1.
40
O Exemplo 4 mostra a diferença existente entre b=3 e a=2, ambos elevados a potência
“-2”.
EXEMPLO 4:
3 2-2
2
=
1
1
27
8
→
3 2-2
2
=
5
36
Novamente foi obtido um valor negativo como resultado, similar ao caso exposto na
Figura 12. Veja na Figura 13 que, para ser retirado 1/4 de 1/9, faltariam 5/36 unidades de área,
expresso em vermelho no segundo lado da igualdade:
1
1
-
9
5
=
4
36
Figura 13: Diferença entre 3
aeb
2
e2
2
/ b=a+1 e a≥1 segue a sequência para n= -2 da qual representa a diferença
entre b e a:
S
D
2
2
=
3
5
,
36
4
=
a
a .b
,
7
144
b
2
,
9
, ...
, com isso, a diferença entre b e a é dado por:
400
(13)
4.3.2.3 Observações Para n= -3
Semelhante aos casos anteriores (onde n= -1 e n= -2), para n= -3 segue o princípio da
diferença entre uma unidade cúbica dividida em diversos cubinhos, de acordo com o resultado
de cada potenciação.
41
A Figura 14 mostra que, ao retirar 1/8 de 1/27, ficariam faltando 19/216 unidades
cúbicas. Observe:
1
1
27
8
1
27
-
1
8
Figura 14: Diferença entre 3
Sendo assim,
a e b
19
=
216
3
e2
3
/ b=a+1 e a≥1 segue a sequência para n= -3 da qual
representa a diferença entre b e a:
S
3
7
=
3
37
,
3
a .b
, ...
8000
3
a
=
61
,
1728
216
8
b
D
19
,
(14)
3
4.3.2.4 Análise Para Todo n≤-1
Como não é possível obter uma representação geométrica a partir da quarta potência
(R 4 ), será mostrada apenas a maneira numérica e algébrica para tais valores.
Veja a seguir algumas sequências originadas de cada diferença entre dois Números
Naturais b e a em potências negativas (com b=a+1 e a≥1).



S 1=
S
S
2
=
3
=
1
1
,
6
2
3
,
8
,
1
,
12
5
19
216
, ...
20
7
,
9
,
144
36
4
7
1
,
,
37
1728
, ...
400
,
61
8000
, ...
42

S
4
15
=
65
,
1296
16

[...]

S n = {...}
,
175
20736
369
,
, ...
160000
Algebricamente, cada diferença presente nas sequências, pode ser descrita como:


1
D 1=
D
2
a .b
a
=
b
2
a .b

3
b
D
3
=
3
a .b

4
b
D
4

4
a
=
a .b

3
a
4
[...]
n
b
n
a
Dn =
(15)
n
a .b
Para verificar a validade da equação (15) no conjunto dos Inteiros Negativos,
acompanhe a demonstração:
a e b ℤ/ b=a+1, onde n ≤ -1vem que:
n
b
Dn =
n
a .b
1
b
Dn =
1
n
a
n
1
n
a .b
Dn =
n
a
a
n
a .b
b
n
n
a .b
.
1
n
43
Dn =
Dn =
a
b
n
n
b
a
n
n
→ demonstração válida.
Dn = Dn
4.3.2.5 Verificação para n ℤ
Após alguns estudos, verificou-se a validade tanto da equação (11) para todo n≥0,
quanto da equação (15) para n ≤ -1, logo:
a, b e n ℤ onde b=a+1 tem-se:
TEOREMA 4:
Dn = a
n 1
+ (D n 1 ).b
(16)
A Tabela 7 representa os Números Inteiros elevados a uma potência n e a Tabela 8
representa a diferença entre dois números consecutivos da Tabela 7.
Tabela 7: Potência dos Números Inteiros
...
...
-4 n
-3 n
-2 n
-1 n
0n
1n
2n
3n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
n= 4
...
256
81
16
1
0
1
16
81
...
n= 3
...
-64
-27
-8
-1
0
1
8
27
...
n= 2
...
16
9
4
1
0
1
4
9
...
n= 1
...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
n= 0
...
1
1
1
1
0
1
1
1
...
...
1
1
1
-1
0
1
1
1
...
4
3
2
2
3
1
1
4
9
1
1
8
27
n= -1
n= -2
n= -3
...
...
1
1
1
16
9
4
1
1
1
1
64
27
8
-1
0
0
1
1
...
...
44
...
n= -4
1
1
1
256
81
16
...
...
...
...
...
1
0
...
1
...
...
1
1
16
81
...
...
...
...
Tabela 8: Diferença entre potências de dois Números Inteiros Sucessivos
n
...
(-3)
n
-(-4)
n
(-2)
n
-(-3)
n
(-1)
n
-(-2)
n
0
n
-(-1)
n
1
n
-0
n
2
n
-1
n
3
n
-2
n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4
...
-175
-65
-15
-1
1
15
65
...
3
...
37
19
7
1
1
7
19
...
2
...
-7
-5
-3
-1
1
3
5
...
1
...
1
1
1
1
1
1
1
...
0
...
0
0
0
-1
1
0
0
...
-1
1
1
1
1
1
1
...
12
6
2
6
3
5
4
36
7
19
8
216
-2
-3
...
...
...
1
2
7
5
3
144
36
4
37
19
7
1728
216
8
...
...
-
...
...
-1
1
...
1
1
...
...
...
...
...
...
...
Acompanhe alguns exemplos de verificação da validade da equação (16).
EXEMPLO 5: Utilize a equação (16) para encontrar a diferença entre b n e a n , onde
5
a=2; b=3; n= -1 e (D n 1 ) =
Dn = a
n 1
36
+ (D n 1 ).b
3 1-2 1=2 2+
3 1-2 1=
1
5
4
12
5
36
.3
.
45
1
3 1-2 1=
6
EXEMPLO 6: Seja a= -4; b= -3; n= -2 e, de acordo com a Tabela 8, (D n 1 ) =
37
,
1728
calcule b n - a n .
Dn = a
n 1
+ (D n 1 ).b
(-3) 2 - (-4)
2
(-3) 2 - (-4)
2
(-3) 2 - (-4)
2
(-3) 2 - (-4)
2
37
= (-4) 3 +
1
=
9
37
+
64
=
.(-3)
1728
576
37
576
7
=
144
A partir do Teorema 4, onde D n expressa uma solução geral que define qualquer
número de uma sequência S n surge uma nova observação: cada coluna da Tabela 8 representa
uma nova sequência.
Analise:
[...]
S(
2, 3)
= {...,
S(
1, 2 )
= {...,
S (0,
1)
19
,
216
7
8
5
,
, 0, 1, -5, 19, -65,...}
6
36
3
1
4
2
, ,
1
, 0, 1, -3, 7, -15,...}
= {...,1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1,...}
S (1 , 0 ) = {..., 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...}
46
S ( 2 ,1 ) = {...,
S ( 3 , 2 ) = {...,
7
,
8
19
216
3
1
,
4
,
, 0, 1, 3, 7, 15,...}
2
5
,
36
1
, 0, 1, 5, 19, 65,...}
6
[...]
S ( b , a ) = {..., (b n 2 - a n 2 ), (b n 1 - a n 1 ), (b n - a n ), (b n 1 - a n 1 ), (b n 2 - a n 2 ),...}
(17)
TEOREMA 5:
Seja D n (b,a) a diferença entre b e a elevados a n ( a, b e n Z onde b=a+1), S ( b , a ) é
a sequência dada por:
S ( b , a ) = {..., a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,..., a n }, onde:
a 1 = D 1 (b,a) = (b 1 - a 1 )
a 2 = D 2 (b,a) = (b 2 - a 2 )
a 3 = D 3 (b,a) = (b 3 - a 3 )
...
a n = D n (b,a) = (b n - a n )
Então:
S ( b , a ) = {..., D 1 (b,a), D 2 (b,a), D 3 (b,a),...,D n (b,a)}
(18)
Exemplo para n>0, onde a=2 e b=3, expresso também pela coluna 6 da Tabela 5.
S ( 3 , 2 ) = {1, 5, 19, 65,..., [2 n 1 + (D
n 1
(3,2)).b]}
47
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esse trabalho teve como finalidade, fazer uma abordagem histórica da Matemática ao
longo de vários períodos e buscou um modelo que representasse a diferença entre dois
Números Inteiros consecutivos elevados a potência n (para n ℤ), conforme equação (16).
Para melhor assimilação, os Teoremas 1 e 2, por exemplo, foram demonstrados de
maneira geométrica e algébrica. São demonstrações simples e que poderiam ser usadas
também em sala de aula.
As partes mais minuciosas foram as demonstrações para potências Inteiras Negativas,
conforme Figuras 12, 13 e 14, onde foi usada a ideia de completar os quadrados e cubos que
faltariam.
O grande resultado da pesquisa é fornecido pelo Teorema 4, pois este, valida o modelo
matemático desenvolvido pelo autor.
No decorrer do processo, novas ideias foram surgindo e serviram para ir além do
projeto inicial. Conforme Teorema 5, do qual descreve uma seqüência numérica composta por
termos descritos pela equação 16 .
Talvez o conteúdo deste trabalho pode não despertar grandes interesses, mas fica a
satisfação do dever cumprido e a vontade de ir além, seja com essas ideias ou com outras
ainda engavetadas.
Desde o surgimento de suas observações ocorrido, precisamente no dia 05 de Janeiro
de 2004 (conforme os anexos: 1, 2 e 3), o autor sempre buscou torná-las públicas. Com isso,
durante o processo, novas ideias foram surgindo e outras sendo aprimoradas.
O objetivo não era somente tornar as relações matemáticas acessíveis a todos, mas sim
mostrar que cada observação feita por um aluno deve ser valorizada.
Então fica o desejo de que o aluno também deve ser instigado a “redescobrir” cada
modelo matemático durante as aulas. Essa incitação, com o auxílio dos novos e velhos
métodos de ensinos – material concreto, Historia da Matemática e o uso da tecnologia – pode
tornar a Matemática mais agradável, voltando a competir com os outros ramos da Ciência,
principalmente as vinculadas a Era Digital e ao Meio Ambiente.
48
BIBLIOGRAFIA
BOYER, Carl B. Historia da Matemática. Revista por Uta C. Merzbach; tradução Elza F.
Gomide – 2a Ed.. – São Paulo: Edgard Bücher, 1996.
LIMA, Valéria Scomparim de et al. Progressões aritméticas e geométricas: história,
conceitos
e
aplicações.
2004.
35
p.
Disponível
em:
<http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/Artigo_Valeri
a.pdf> acesso em 02/06/2010.
PAIVA, Manoel. Matemática. – I Ed. – São Paulo: Moderna, 2004.
OHSE, Marcos Leandro. A MATEMÁTICA NA ANTIGUIDADE: (Pré-História, Egito
Antigo,
Mesopotâmia
e
Grécia
Antiga).2005.
p.
20.
Disponível
em
<http://www.somatematica.com.br/historia.php> acesso em 09 de março de 2011.
OHSE, Marcos Leandro. A MATEMÁTICA NA IDADE MODERNA: Do Renascimento
à
Revolução
Industrial.
2005.
Disponível
em
<http://www.somatematica.com.br/historia.php> acesso em 12 de março de 2011.
SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as
maiores mentes do mundo durante 358 anos; tradução de Jorge Luiz Calife – 15a Ed. – Rio
de Janeiro: Record, 2008.
49
ANEXOS
ANEXO 1: ANOTAÇÕES DO AUTOR
50
ANEXO 2: ANÁLISE GEOMÉTRICA
51
ANEXO 3: DIFERENÇA ENTRE DOIS CUBOS